Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është të gjejë pritshmërinë matematikore. Probleme të zgjidhura në lidhje me DSV

X jepet me ligjin e shpërndarjes së probabilitetit: Atëherë devijimi standard i tij është i barabartë me ... 0,80

Zgjidhja:
Devijimi standard i ndryshores së rastësishme X përcaktohet si , ku varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të llogaritet duke përdorur formulën Pastaj , dhe

Zgjidhja:
A(një top i tërhequr në mënyrë të rastësishme është i zi) zbatojmë formulën e probabilitetit total: Këtu është probabiliteti që një top i bardhë është transferuar nga urna e parë në urnën e dytë; – probabiliteti që një top i zi është transferuar nga urna e parë në urnën e dytë; – probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i zi nëse një top i bardhë është zhvendosur nga urna e parë në të dytën; – probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i zi nëse një top i zi është zhvendosur nga urna e parë në të dytën.

Ndryshorja diskrete e rastësishme X jepet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit: Pastaj probabiliteti të barabartë...

Zgjidhja:
Varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të llogaritet duke përdorur formulën. Pastaj

Ose . Duke zgjidhur ekuacionin e fundit, marrim dy rrënjë dhe

Tema: Përcaktimi i probabilitetit
Në një grup prej 12 pjesësh, ka 5 pjesë të dëmtuara. Tre pjesë u zgjodhën në mënyrë të rastësishme. Atëherë probabiliteti që të mos ketë pjesë të përshtatshme midis pjesëve të zgjedhura është i barabartë me...

Zgjidhja:
Për të llogaritur ngjarjen A (nuk ka pjesë të përshtatshme midis pjesëve të zgjedhura), përdorim formulën ku n m– numri i rezultateve elementare të favorshme për ndodhjen e ngjarjes A. Në rastin tonë, numri total i rezultateve të mundshme elementare është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat mund të nxirren tre detaje nga 12 të disponueshme, d.m.th.

Dhe numri i përgjithshëm i rezultateve të favorshme është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat tre pjesë të dëmtuara mund të nxirren nga pesë, domethënë.

Banka lëshon 44% të të gjitha kredive për personat juridikë dhe 56% për individët. Probabiliteti që një person juridik të mos e kthejë kredinë në kohë është 0.2; dhe për një individ ky probabilitet është 0.1. Atëherë probabiliteti që kredia e radhës të shlyhet në kohë është...

0,856

Zgjidhja:
Për të llogaritur probabilitetin e një ngjarjeje A(kredia e lëshuar do të shlyhet në kohë) zbatoni formulën e probabilitetit total: . Këtu është probabiliteti që kredia i është dhënë një personi juridik; – probabiliteti që kredia i është dhënë një individi; – probabiliteti i kushtëzuar që kredia të shlyhet në kohë nëse i është dhënë një personi juridik; – probabiliteti i kushtëzuar që kredia të shlyhet në kohë nëse i është dhënë një individi. Pastaj

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit
Për një ndryshore diskrete të rastësishme X

0,655

Tema: Përcaktimi i probabilitetit
Mjeti rrotullohet dy herë. Atëherë probabiliteti që shuma e pikave të rrotulluara të jetë jo më pak se nëntë është...

Zgjidhja:
Për të llogaritur ngjarjen (shuma e pikëve të grumbulluara do të jetë të paktën nëntë), ne përdorim formulën , ku është numri total i rezultateve të mundshme elementare të testit, dhe m– numri i rezultateve elementare të favorshme për ndodhjen e ngjarjes A. Në rastin tonë është e mundur rezultatet elementare të testit, nga të cilat ato të favorshmet janë rezultate të formës , , , , , , , dhe , d.m.th. Prandaj,

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit

funksioni i shpërndarjes së probabilitetit ka formën:

Atëherë vlera e parametrit mund të jetë e barabartë me...

			0,7

			0,85
			0,6

Zgjidhja:
Sipas përkufizimit . Prandaj, dhe . Këto kushte plotësohen, për shembull, nga vlera

Tema: Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit
Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme specifikohet nga një funksion i shpërndarjes së probabilitetit:

Atëherë varianca e tij është...

Zgjidhja:
Kjo variabël e rastësishme shpërndahet në mënyrë uniforme në interval. Pastaj varianca e tij mund të llogaritet duke përdorur formulën . Kjo është

Tema: Probabiliteti total. Formulat e Bayes
Urna e parë përmban 6 topa të zinj dhe 4 topa të bardhë. Urna e dytë përmban 2 topa të bardhë dhe 8 të zinj. Një top u mor nga një urnë e rastësishme, e cila doli të ishte e bardhë. Atëherë probabiliteti që ky top të jetë tërhequr nga urna e parë është...

Zgjidhja:
A(një top i tërhequr rastësisht është i bardhë) sipas formulës së probabilitetit total: . Këtu është probabiliteti që topi të tërhiqet nga urna e parë; – probabiliteti që topi të nxirret nga urna e dytë; – probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse është tërhequr nga urna e parë; është probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse ai nxirret nga urna e dytë.
Pastaj .
Tani le të llogarisim probabilitetin e kushtëzuar që ky top është tërhequr nga urna e parë duke përdorur formulën e Bayes:

Tema: Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit
Ndryshore diskrete e rastësishme X jepet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit:

Atëherë varianca e tij është...

			7,56
			3,2
			3,36
			6,0

Zgjidhja:
Varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të llogaritet duke përdorur formulën

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit

Zgjidhja:
Sipas përkufizimit . Pastaj
a) në , ,
b) në , ,
c) në , ,
d) në , ,
d) në , .
Prandaj,

Tema: Përcaktimi i probabilitetit
Një pikë hidhet rastësisht brenda një rrethi me rreze 4. Atëherë probabiliteti që pika të jetë jashtë katrorit të brendashkruar në rreth është...

Tema: Përcaktimi i probabilitetit
Në një grup prej 12 pjesësh, ka 5 pjesë të dëmtuara. Tre pjesë u zgjodhën në mënyrë të rastësishme. Atëherë probabiliteti që të mos ketë pjesë me defekt midis pjesëve të zgjedhura është i barabartë me...

Zgjidhja:
Për të llogaritur ngjarjen (nuk ka pjesë të dëmtuara midis pjesëve të zgjedhura), përdorim formulën ku nështë numri total i rezultateve të mundshme të testit elementar, dhe m– numri i rezultateve elementare të favorshme për ndodhjen e ngjarjes. Në rastin tonë, numri total i rezultateve të mundshme elementare është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat mund të nxirren tre detaje nga 12 të disponueshme, domethënë. Dhe numri i përgjithshëm i rezultateve të favorshme është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat tre pjesë jo të dëmtuara mund të nxirren nga shtatë, domethënë. Prandaj,

Tema: Probabiliteti total. Formulat e Bayes

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Zgjidhja:
Për të llogaritur probabilitetin e një ngjarjeje A
Pastaj

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit
Një ndryshore e rastësishme diskrete specifikohet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit:

Pastaj probabiliteti të barabartë...

Zgjidhja:
Le të përdorim formulën . Pastaj

Tema: Probabiliteti total. Formulat e Bayes

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Zgjidhja:
Le të llogarisim së pari probabilitetin e ngjarjes A
.
.

Tema: Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit

Atëherë pritshmëria e tij matematikore është...

Zgjidhja:
Le të përdorim formulën . Pastaj .

Tema: Përcaktimi i probabilitetit

Zgjidhja:

Tema: Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit
Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme specifikohet nga dendësia e shpërndarjes së probabilitetit . Pastaj pritshmëria matematikore a dhe devijimi standard i kësaj ndryshoreje të rastësishme janë të barabarta me ...

Zgjidhja:
Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht ka formën , Ku , . Kjo është arsyeja pse .

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit
Një ndryshore e rastësishme diskrete specifikohet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit:

Pastaj vlerat a Dhe b mund të jetë e barabartë ...

Zgjidhja:
Meqenëse shuma e probabiliteteve të vlerave të mundshme është e barabartë me 1, atëherë . Përgjigja plotëson këtë kusht: .

Tema: Përcaktimi i probabilitetit
Një rreth më i vogël me rreze 5 vendoset në një rreth me rreze 8. Atëherë probabiliteti që një pikë e hedhur rastësisht në rrethin më të madh të bjerë gjithashtu në rrethin më të vogël është ...

Zgjidhja:
Për të llogaritur probabilitetin e ngjarjes së dëshiruar, ne përdorim formulën, ku është sipërfaqja e rrethit më të vogël dhe është sipërfaqja e rrethit më të madh. Prandaj, .

Tema: Probabiliteti total. Formulat e Bayes
Urna e parë përmban 3 topa të zinj dhe 7 topa të bardhë. Urna e dytë përmban 4 topa të bardhë dhe 5 topa të zinj. Një top u transferua nga urna e parë në urnën e dytë. Atëherë probabiliteti që një top i nxjerrë rastësisht nga urna e dytë të jetë i bardhë është...

			0,47
			0,55
			0,35
			0,50

Zgjidhja:
Për të llogaritur probabilitetin e një ngjarjeje A(një top i tërhequr rastësisht është i bardhë) zbatoni formulën e probabilitetit total: . Këtu është probabiliteti që një top i bardhë është transferuar nga urna e parë në urnën e dytë; – probabiliteti që një top i zi është transferuar nga urna e parë në urnën e dytë; – probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse një top i bardhë është zhvendosur nga urna e parë në të dytën; – probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse një top i zi zhvendoset nga urna e parë në të dytën.
Pastaj

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit
Për një ndryshore të rastësishme diskrete:

funksioni i shpërndarjes së probabilitetit ka formën:

Atëherë vlera e parametrit mund të jetë e barabartë me...

			0,7

			0,85
			0,6

DETYRA N 10 raportoni një gabim
Tema: Probabiliteti total. Formulat e Bayes
Banka lëshon 70% të të gjitha kredive për personat juridikë dhe 30% për individët. Probabiliteti që një person juridik të mos e kthejë kredinë në kohë është 0.15; dhe për një individ ky probabilitet është 0.05. U mor një mesazh që tregonte se kredia nuk ishte shlyer. Atëherë probabiliteti që personi juridik të mos e kthejë këtë kredi është...

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Zgjidhja:
Le të llogarisim së pari probabilitetin e ngjarjes A(huaja e lëshuar nuk do të shlyhet në kohë) sipas formulës së probabilitetit total: . Këtu është probabiliteti që kredia i është dhënë një personi juridik; – probabiliteti që kredia i është dhënë një individi; – probabiliteti i kushtëzuar që kredia të mos shlyhet në kohë nëse i është dhënë një personi juridik; – probabiliteti i kushtëzuar që kredia të mos shlyhet në kohë nëse i është dhënë një individi. Pastaj
.
Tani le të llogarisim probabilitetin e kushtëzuar që personi juridik nuk e ka shlyer këtë kredi duke përdorur formulën Bayes:
.

DETYRA N 11 raportoni një gabim
Tema: Përcaktimi i probabilitetit
Në një grup prej 12 pjesësh, ka 5 pjesë të dëmtuara. Tre pjesë u zgjodhën në mënyrë të rastësishme. Atëherë probabiliteti që të mos ketë pjesë të përshtatshme midis pjesëve të zgjedhura është i barabartë me...

Zgjidhja:
Për të llogaritur ngjarjen (nuk ka pjesë të përshtatshme midis pjesëve të zgjedhura), përdorim formulën, ku nështë numri total i rezultateve të mundshme të testit elementar, dhe m– numri i rezultateve elementare të favorshme për ndodhjen e ngjarjes. Në rastin tonë, numri total i rezultateve të mundshme elementare është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat mund të nxirren tre detaje nga 12 të disponueshme, domethënë. Dhe numri i përgjithshëm i rezultateve të favorshme është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat tre pjesë të dëmtuara mund të nxirren nga pesë, domethënë. Prandaj,

DETYRA N 12 raportoni një gabim
Tema: Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit
Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme specifikohet nga densiteti i shpërndarjes së probabilitetit:

Atëherë varianca e tij është...

Zgjidhja:
Varianca e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme mund të llogaritet duke përdorur formulën

Pastaj

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit
Një ndryshore e rastësishme diskrete specifikohet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit:

Atëherë funksioni i shpërndarjes së probabilitetit të tij ka formën...

Zgjidhja:
Sipas përkufizimit . Pastaj
a) në , ,
b) në , ,
c) në , ,
d) në , ,
d) në , .
Prandaj,

Tema: Probabiliteti total. Formulat e Bayes
Ka tre urna që përmbajnë 5 topa të bardhë dhe 5 të zinj, dhe shtatë urna që përmbajnë 6 topa të bardhë dhe 4 topa të zinj. Një top nxirret nga një urnë e rastësishme. Atëherë probabiliteti që ky top të jetë i bardhë është...

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Zgjidhja:
Për të llogaritur probabilitetin e një ngjarjeje A(një top i tërhequr rastësisht është i bardhë) zbatoni formulën e probabilitetit total: . Këtu është probabiliteti që një top të nxirret nga seria e parë e urnave; – probabiliteti që topi është tërhequr nga seria e dytë e urnave; – probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse është tërhequr nga seria e parë e urnave; – probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse ai është tërhequr nga seria e dytë e urnave.
Pastaj .

Tema: Përcaktimi i probabilitetit
Mjeti rrotullohet dy herë. Atëherë probabiliteti që shuma e pikëve të tërhequra të jetë dhjetë është...

Përkufizimi 2.3. Një ndryshore e rastësishme, e shënuar me X, quhet diskrete nëse merr një grup vlerash të fundme ose të numërueshme, d.m.th. grup - një bashkësi e fundme ose e numërueshme.

Le të shqyrtojmë shembuj të ndryshoreve të rastësishme diskrete.

1. Dy monedha hidhen një herë. Numri i emblemave në këtë eksperiment është një ndryshore e rastësishme X. Vlerat e tij të mundshme janë 0,1,2, d.m.th. - një grup i kufizuar.

2. Regjistrohet numri i thirrjeve të ambulancës brenda një periudhe të caktuar kohore. Ndryshore e rastësishme X– numri i thirrjeve. Vlerat e tij të mundshme janë 0, 1, 2, 3, ..., d.m.th. =(0,1,2,3,...) është një grup i numërueshëm.

3. Në grup janë 25 nxënës. Në një ditë të caktuar, regjistrohet numri i studentëve që erdhën në klasë - një ndryshore e rastësishme X. Vlerat e tij të mundshme: 0, 1, 2, 3, ...,25 d.m.th. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Edhe pse të 25 personat në shembullin 3 nuk mund të humbasin klasat, ndryshorja e rastësishme X mund të marrë këtë vlerë. Kjo do të thotë që vlerat e një ndryshoreje të rastësishme kanë probabilitete të ndryshme.

Le të shqyrtojmë një model matematikor të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Le të kryhet një eksperiment i rastësishëm, i cili korrespondon me një hapësirë të fundme ose të numërueshme të ngjarjeve elementare. Le të shqyrtojmë paraqitjen e kësaj hapësire në bashkësinë e numrave realë, d.m.th., le t'i caktojmë secilës ngjarje elementare një numër të caktuar real, . Bashkësia e numrave mund të jetë e fundme ose e numërueshme, d.m.th. ose

Një sistem nënbashkësish, i cili përfshin çdo nëngrup, duke përfshirë një pikë me një pikë, formon një -algjebër të një bashkësie numerike ( - e fundme ose e numërueshme).

Meqenëse çdo ngjarje elementare lidhet me probabilitete të caktuara p i(në rastin e gjithçkaje të fundme), dhe , atëherë çdo vlerë e një ndryshoreje të rastësishme mund të shoqërohet me një probabilitet të caktuar p i, e tillë që .

Le Xështë një numër real arbitrar. Le të shënojmë R X (x) probabiliteti që ndryshorja e rastësishme X mori një vlerë të barabartë me X, d.m.th. P X (x)=P(X=x). Pastaj funksioni R X (x) mund të marrë vlera pozitive vetëm për ato vlera X, të cilat i përkasin një bashkësie të fundme ose të numërueshme , dhe për të gjitha vlerat e tjera probabiliteti i kësaj vlere P X (x) = 0.

Pra, ne kemi përcaktuar bashkësinë e vlerave, -algjebër si një sistem i çdo nëngrupi dhe për çdo ngjarje ( X = x) krahasoi probabilitetin për çdo, d.m.th. ndërtoi një hapësirë probabiliteti.

Për shembull, hapësira e ngjarjeve elementare të një eksperimenti që përbëhet nga hedhja e një monedhe simetrike dy herë përbëhet nga katër ngjarje elementare: , ku

Kur monedha u hodh dy herë, u shfaqën dy bishta; kur monedha u hodh dy herë, ranë dy stema;

Në hedhjen e parë të monedhës doli një hash dhe në të dytën një stemë;

Në hedhjen e parë të monedhës dilte stema dhe në të dytën shenja hash.

Lëreni ndryshoren e rastësishme X– numri i braktisjeve të rrjetës. Përcaktohet në dhe grupi i vlerave të tij . Të gjitha nëngrupet e mundshme, duke përfshirë ato me një pikë, formojnë një algjebër, d.m.th. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Probabiliteti i një ngjarjeje ( X=x i}, і = 1,2,3, ne e përkufizojmë atë si probabilitetin e ndodhjes së një ngjarjeje që është prototipi i saj:

Kështu, në ngjarjet elementare ( X = xi) vendosni një funksion numerik R X, Pra .

Përkufizimi 2.4. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është një grup çiftesh numrash (x i, р i), ku x i janë vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme, dhe р i janë probabilitetet me të cilat merr këto vlera, dhe .

Forma më e thjeshtë e përcaktimit të ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është një tabelë që rendit vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme dhe probabilitetet përkatëse:

			…		…
			…		…

Një tabelë e tillë quhet seri e shpërndarjes. Për t'i dhënë serisë së shpërndarjes një pamje më vizuale, ajo përshkruhet grafikisht: në bosht Oh pika x i dhe vizatoni prej tyre pingulet e gjatësisë p i. Pikat që rezultojnë lidhen dhe fitohet një shumëkëndësh, i cili është një nga format e ligjit të shpërndarjes (Fig. 2.1).

Kështu, për të specifikuar një ndryshore të rastësishme diskrete, duhet të specifikoni vlerat e saj dhe probabilitetet përkatëse.

Shembulli 2.2. Vendi i parave të gatshme i makinës aktivizohet sa herë që futet një monedhë me probabilitetin r. Sapo të ndizet, monedhat nuk zbresin. Le X– numri i monedhave që duhet të futen përpara se të aktivizohet sloti i parave të makinës. Ndërtoni një seri shpërndarjesh të një ndryshoreje të rastësishme diskrete X.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme X: x 1 = 1, x 2 = 2,..., x k = k, ... Le të gjejmë probabilitetet e këtyre vlerave: f 1– probabiliteti që marrësi i parave të funksionojë herën e parë që ulet, dhe p 1 = p; f 2 - probabiliteti që do të bëhen dy përpjekje. Për ta bërë këtë, është e nevojshme që: 1) marrësi i parave të mos funksionojë në përpjekjen e parë; 2) në provën e dytë funksionoi. Probabiliteti i kësaj ngjarje është (1–р)р. Po kështu dhe kështu me radhë, . Gama e shpërndarjes X do të marrë formën

	1	2	3	…	për të	…
	r	qp	q 2 fq		q r -1 f

Vini re se probabilitetet r k formoni një progresion gjeometrik me emëruesin: 1–p=q, q<1, prandaj kjo shpërndarje probabiliteti quhet gjeometrike.

Le të supozojmë më tej se është ndërtuar një model matematikor eksperiment i përshkruar nga një ndryshore e rastësishme diskrete X, dhe merrni parasysh llogaritjen e probabiliteteve të ndodhjes së ngjarjeve arbitrare.

Le të përmbajë një ngjarje arbitrare një grup vlerash të fundme ose të numërueshme x i: A= {x 1, x 2,..., x i, ...) .Ngjarje A mund të paraqitet si bashkim i ngjarjeve të papajtueshme të formës: . Pastaj, duke përdorur aksiomën 3 të Kolmogorov , marrim

pasi që probabilitetet e ndodhjes së ngjarjeve i përcaktuam të jenë të barabarta me probabilitetet e ndodhjes së ngjarjeve që janë prototipe të tyre. Kjo do të thotë se probabiliteti i ndonjë ngjarjeje , , mund të llogaritet duke përdorur formulën, pasi kjo ngjarje mund të përfaqësohet në formën e një bashkimi ngjarjesh, ku .

Pastaj funksioni i shpërndarjes F(x) = Р(-<Х<х) gjendet me formulë. Nga kjo rrjedh se funksioni i shpërndarjes i një ndryshoreje të rastësishme diskrete Xështë i ndërprerë dhe rritet në kërcime, pra është një funksion hap (Fig. 2.2):

Nëse bashkësia është e fundme, atëherë numri i termave në formulë është i fundëm, por nëse është i numërueshëm, atëherë numri i termave është i numërueshëm.

Shembulli 2.3. Pajisja teknike përbëhet nga dy elementë që funksionojnë në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri. Probabiliteti i dështimit të elementit të parë gjatë kohës T është 0,2, dhe probabiliteti i dështimit të elementit të dytë është 0,1. Ndryshore e rastësishme X– numri i elementeve të dështuara gjatë kohës T. Gjeni funksionin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme dhe vizatoni grafikun e saj.

Zgjidhje. Hapësira e ngjarjeve elementare të një eksperimenti që konsiston në studimin e besueshmërisë së dy elementeve të një pajisjeje teknike përcaktohet nga katër ngjarje elementare, , , : – të dy elementët janë funksionalë; - elementi i parë funksionon, i dyti është i gabuar; - elementi i parë është i gabuar, i dyti funksionon; - të dy elementët janë të gabuar. Secila prej ngjarjeve elementare mund të shprehet përmes ngjarjeve elementare të hapësirave Dhe , ku – elementi i parë është funksional; – elementi i parë ka dështuar; – elementi i dytë funksionon; – elementi i dytë ka dështuar. Pastaj, dhe meqenëse elementët e një pajisjeje teknike punojnë në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri, atëherë

8. Sa është probabiliteti që vlerat e një ndryshoreje diskrete të rastësishme t'i përkasin intervalit?

Diskret quhet një ndryshore e rastësishme që mund të marrë vlera individuale, të izoluara me probabilitete të caktuara.

SHEMBULL 1. Sa herë shfaqet stema në tre hedhje monedhash. Vlerat e mundshme: 0, 1, 2, 3, probabilitetet e tyre janë përkatësisht të barabarta:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

SHEMBULL 2. Numri i elementeve të dështuar në një pajisje të përbërë nga pesë elementë. Vlerat e mundshme: 0, 1, 2, 3, 4, 5; probabilitetet e tyre varen nga besueshmëria e secilit element.

Ndryshore diskrete e rastësishme X mund të jepet nga një seri shpërndarjeje ose një funksion shpërndarjeje (ligji i shpërndarjes integrale).

Pranë shpërndarjes është bashkësia e të gjitha vlerave të mundshme Xi dhe probabilitetet përkatëse të tyre ri = P(X = xi), mund të specifikohet si një tabelë:

x i				x n
p i				р n

Në të njëjtën kohë, probabilitetet ri plotësojnë kushtin

ri= 1 sepse

ku është numri i vlerave të mundshme n mund të jetë i kufizuar ose i pafund.

Paraqitja grafike e serisë së shpërndarjes quhet poligon i shpërndarjes . Për ta ndërtuar atë, vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme ( Xi) janë paraqitur përgjatë boshtit x dhe probabilitetet ri- përgjatë boshtit të ordinatave; pikë Ai me koordinata ( Xi, рi) janë të lidhura me vija të thyera.

Funksioni i shpërndarjes ndryshore e rastësishme X i quajtur funksion F(X), vlera e së cilës në pikë Xështë e barabartë me probabilitetin që ndryshorja e rastit X do të jetë më pak se kjo vlerë X dmth

F(x) = P(X< х).

Funksioni F(X) Për ndryshore diskrete e rastësishme llogaritur me formulë

F(X) = ri , (1.10.1)

ku përmbledhja kryhet mbi të gjitha vlerat i, për të cilën Xi< х.

SHEMBULL 3. Nga një grup që përmban 100 produkte, nga të cilat 10 janë me defekt, pesë produkte përzgjidhen në mënyrë të rastësishme për të kontrolluar cilësinë e tyre. Ndërtoni një seri shpërndarjesh të një numri të rastësishëm X produktet me defekt të përfshira në mostër.

Zgjidhje. Meqenëse në mostër numri i produkteve me defekt mund të jetë çdo numër i plotë që varion nga 0 në 5 përfshirëse, atëherë vlerat e mundshme Xi ndryshore e rastësishme X janë të barabarta:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Probabiliteti R(X = k) që mostra përmban saktësisht k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) produkte me defekt, është e barabartë

P (X = k) = .

Si rezultat i llogaritjeve duke përdorur këtë formulë me një saktësi prej 0.001, marrim:

r 1 = P(X = 0) @ 0,583;r 2 = P(X = 1) @ 0,340;r 3 = P(X = 2) @ 0,070;

r 4 = P(X = 3) @ 0,007;r 5 = P(X= 4) @ 0;r 6 = P(X = 5) @ 0.

Përdorimi i barazisë për të kontrolluar rk=1, sigurohemi që llogaritjet dhe rrumbullakimi të jenë bërë saktë (shih tabelën).

x i
p i

SHEMBULL 4. Jepet një seri shpërndarjeje të një ndryshoreje të rastësishme X :

x i
p i

Gjeni funksionin e shpërndarjes së probabilitetit F(X) të kësaj ndryshoreje të rastësishme dhe ndërtojeni atë.

Zgjidhje. Nëse X 10 £ atëherë F(X)= P(X<X) = 0;

nëse 10<X 20 £ atëherë F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

nëse 20<X 30 £ atëherë F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

nëse 30<X 40 £ atëherë F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

nëse 40<X 50 £ atëherë F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Nëse X> 50, atëherë F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Në këtë faqe kemi mbledhur një teori të shkurtër dhe shembuj të zgjidhjes së problemeve arsimore në të cilat një variabël e rastësishme diskrete është specifikuar tashmë nga seritë e shpërndarjes së saj (forma tabelare) dhe kërkohet ta studiojmë atë: gjeni karakteristikat numerike, ndërtoni grafikë, etj. Shembuj të llojeve të njohura të shpërndarjes mund të gjenden në lidhjet e mëposhtme:

Teori e shkurtër rreth DSV

Një ndryshore diskrete e rastësishme specifikohet nga seria e saj e shpërndarjes: një listë me vlerat $x_i$ që mund të marrë dhe probabilitetet përkatëse $p_i=P(X=x_i)$. Numri i vlerave të një ndryshoreje të rastësishme mund të jetë i fundëm ose i numërueshëm. Për saktësi, ne do të shqyrtojmë rastin $i=\overline(1,n)$. Atëherë paraqitja tabelare e ndryshores së rastësishme diskrete ka formën:

$$ \begin(array)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end(array) $ $

Në këtë rast, kushti i normalizimit plotësohet: shuma e të gjitha probabiliteteve duhet të jetë e barabartë me një

$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$

Grafikisht, seritë e shpërndarjes mund të përfaqësohen poligonin e shpërndarjes(ose poligonin e shpërndarjes). Për ta bërë këtë, pikat me koordinata $(x_i,p_i)$ vizatohen në plan dhe lidhen sipas radhës me një vijë të thyer. Do të gjeni shembuj të detajuar.

Karakteristikat numerike të DSV

Pritshmëria matematikore:

$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$

Dispersioni:

$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $

Devijimi standard:

$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$

Koeficienti i variacionit:

$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.

Modaliteti: vlera $Mo=x_k$ me probabilitetin më të lartë $p_k=\max_i(p_i)$.

Ju mund të përdorni kalkulatorë në internet për të llogaritur vlerën e pritur, variancën dhe devijimin standard të DSV.

Funksioni i shpërndarjes DSV

Nga seria e shpërndarjes mund të përpilohet funksioni i shpërndarjes ndryshore diskrete e rastësishme $F(x)=P(X\lt x)$. Ky funksion specifikon probabilitetin që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë një vlerë më të vogël se një numër i caktuar $x$. Shembuj ndërtimi me llogaritje dhe grafikë të detajuar do të gjeni në shembujt e mëposhtëm.

Shembuj të problemeve të zgjidhura

Detyra 1. Një ndryshore e rastësishme diskrete specifikohet nga një seri shpërndarjeje:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Ndërtoni një poligonin e shpërndarjes dhe funksionin e shpërndarjes $F(x)$. Llogaritni: $M[X], D[X], \sigma[X]$, si dhe koeficientin e variacionit, anshmërisë, kurtozës, modalitetit dhe mesatares.

Detyra 2. Kërkohet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme:
a) përcaktoni pritshmërinë matematikore M(x), variancën D(x) dhe devijimin standard (x) të ndryshores së rastësishme X; b) ndërtoni një grafik të kësaj shpërndarjeje.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02

Detyra 3. Për një ndryshore të rastësishme X me një seri të caktuar shpërndarjeje
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
A) gjeni $p_1$ dhe $p_2$ në mënyrë që $M(X)=0,5$
B) pas kësaj, llogaritni pritshmërinë matematikore dhe variancën e ndryshores së rastësishme $X$ dhe vizatoni funksionin e shpërndarjes së saj

Detyra 4. SV diskrete $X$ mund të marrë vetëm dy vlera: $x_1$ dhe $x_2$, dhe $x_1 \lt x_2$. Dihet probabiliteti $P$ i një vlere të mundshme, pritshmëria matematikore $M(x)$ dhe varianca $D(x)$. Gjeni: 1) Ligjin e shpërndarjes së kësaj ndryshoreje të rastësishme; 2) Funksioni i shpërndarjes SV $X$; 3) Ndërtoni një grafik prej $F(x)$.
$P=0,3; M(x)=6.6; D(x)=13.44.$

Detyra 5. Ndryshorja e rastësishme X merr tre vlera: 2, 4 dhe 6. Gjeni probabilitetet e këtyre vlerave nëse $M(X)=4.2$, $D(X)=1.96$.

Detyra 6. Jepet një seri e shpërndarjes së r.v. $X$. Gjeni karakteristikat numerike të pozicionit dhe dispersionit të r.v. $X$. Gjeni m.o. dhe dispersion r.v. $Y=X/2-2$, pa shkruar serinë e shpërndarjes r.v. $Y$, kontrolloni rezultatin duke përdorur funksionin gjenerues.
Ndërtoni funksionin e shpërndarjes r.v. $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0,3¦ 0,1¦ 0,3¦ 0,2¦ 0,1¦

Detyra 7. Shpërndarja e një ndryshoreje diskrete të rastësishme $X$ jepet nga tabela e mëposhtme (pranë shpërndarjes):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Përcaktoni vlerën që mungon në tabelën e shpërndarjes. Llogaritni karakteristikat kryesore numerike të shpërndarjes: $M_x, D_x, \sigma_x$. Gjeni dhe ndërtoni funksionin e shpërndarjes $F(x)$. Përcaktoni probabilitetin që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlerat e mëposhtme:
A) më shumë se 6,
B) më pak se 12,
C) jo më shumë se 9.

Detyra 8. Problemi kërkon gjetjen e: a) pritshmërisë matematikore; b) dispersion; c) devijimi standard i një ndryshoreje diskrete të rastësishme X sipas një ligji të caktuar të shpërndarjes së saj, të dhënë në një tabelë (rreshti i parë i tabelës tregon vlerat e mundshme, rreshti i dytë tregon probabilitetet e vlerave të mundshme).

Detyra 9. Jepet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme $X$ (rreshti i parë tregon vlerat e mundshme të $x_i$, rreshti i dytë tregon probabilitetet e vlerave të mundshme të $p_i$).
Gjeni:
A) pritshmëria matematikore $M(X)$, varianca $D(X)$ dhe devijimi standard $\sigma(X)$;
B) kompozoni funksionin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $F(x)$ dhe ndërtoni grafikun e saj;
C) llogarit probabilitetin që një ndryshore e rastësishme $X$ të bjerë në intervalin $x_2 \lt X \lt x_4$, duke përdorur funksionin e përpiluar të shpërndarjes $F(x)$;
D) hartoni një ligj shpërndarjeje për vlerën $Y=100-2X$;
D) llogarit pritshmërinë matematikore dhe variancën e ndryshores së rastësishme të përpiluar $Y$ në dy mënyra, d.m.th. duke përfituar
veti e pritjes dhe dispersionit matematikor, si dhe drejtpërdrejt sipas ligjit të shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4

Problemi 10. Një ndryshore e rastësishme diskrete i jepet një tabele. Llogaritni momentet e tij fillestare dhe qendrore deri në renditjen e 4-të përfshirëse. Gjeni probabilitetet e ngjarjeve $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi $.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1

Kapitulli 1. Ndryshore diskrete e rastësishme

§ 1. Konceptet e një ndryshoreje të rastësishme.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Përkufizimi : E rastësishme është një sasi që, si rezultat i testimit, merr vetëm një vlerë nga një grup i mundshëm vlerash, të panjohur paraprakisht dhe në varësi të arsyeve të rastësishme.

Ekzistojnë dy lloje të variablave të rastësishëm: diskrete dhe të vazhdueshme.

Përkufizimi : Thirret ndryshorja e rastësishme X diskrete (i ndërprerë) nëse grupi i vlerave të tij është i fundëm ose i pafund, por i numërueshëm.

Me fjalë të tjera, vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të rinumërohen.

Një ndryshore e rastësishme mund të përshkruhet duke përdorur ligjin e saj të shpërndarjes.

Përkufizimi : Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete thirrni korrespondencën midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X mund të specifikohet në formën e një tabele, në rreshtin e parë të së cilës tregohen të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme në rend rritës, dhe në rreshtin e dytë probabilitetet përkatëse të këtyre vlerat, d.m.th.

ku р1+ р2+…+ рn=1

Një tabelë e tillë quhet një seri shpërndarjeje e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Nëse grupi i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme është i pafund, atëherë seria p1+ p2+…+ pn+… konvergjon dhe shuma e saj është e barabartë me 1.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X mund të përshkruhet grafikisht, për të cilën ndërtohet një vijë e thyer në një sistem koordinativ drejtkëndor, duke lidhur pikat vijuese me koordinatat (xi; pi), i=1,2,…n. Vija që rezulton quhet poligonin e shpërndarjes (Fig. 1).

Kimi organike" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">kimia organike janë përkatësisht 0.7 dhe 0.8. Hartoni një ligj shpërndarjeje për ndryshoren e rastësishme X - numri i provimeve që do të kalojë studenti.

Zgjidhje. Ndryshorja e rastësishme X e konsideruar si rezultat i provimit mund të marrë një nga vlerat e mëposhtme: x1=0, x2=1, x3=2.

Le të gjejmë probabilitetin e këtyre vlerave Le të shënojmë ngjarjet:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Pra, ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X jepet nga tabela:

Kontrolli: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Funksioni i shpërndarjes

Një përshkrim i plotë i një ndryshoreje të rastësishme jepet gjithashtu nga funksioni i shpërndarjes.

Përkufizimi: Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X quhet një funksion F(x), i cili përcakton për secilën vlerë x probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël se x:

F(x)=P(X<х)

Gjeometrikisht, funksioni i shpërndarjes interpretohet si probabiliteti që ndryshorja e rastësishme X të marrë vlerën që përfaqësohet në vijën numerike nga një pikë që shtrihet në të majtë të pikës x.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) është një funksion jo-zvogëlues në (-∞;+∞);

3) F(x) - e vazhdueshme në të majtë në pikat x= xi (i=1,2,...n) dhe e vazhdueshme në të gjitha pikat e tjera;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Nëse ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X jepet në formën e një tabele:

atëherë funksioni i shpërndarjes F(x) përcaktohet nga formula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 për x≤ x1,

р1 në x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 në x2< х≤ х3

1 për x>xn.

Grafiku i tij është paraqitur në Fig. 2:

§ 3. Karakteristikat numerike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Një nga karakteristikat e rëndësishme numerike është pritshmëria matematikore.

Përkufizimi: Pritshmëria matematikore M(X) ndryshorja diskrete e rastësishme X është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të saj dhe probabiliteteve të tyre përkatëse:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Pritshmëria matematikore shërben si një karakteristikë e vlerës mesatare të një ndryshoreje të rastësishme.

Vetitë e pritjes matematikore:

1)M(C)=C, ku C është një vlerë konstante;

2)M(C X)=C M(X),

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), ku X, Y janë variabla të rastësishme të pavarura;

5)M(X±C)=M(X)±C, ku C është një vlerë konstante;

Për të karakterizuar shkallën e shpërndarjes së vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete rreth vlerës mesatare të saj, përdoret dispersioni.

Përkufizimi: Varianca D ( X ) Variabli i rastësishëm X është pritshmëria matematikore e devijimit në katror të ndryshores së rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore:

Karakteristikat e shpërndarjes:

1)D(C)=0, ku C është një vlerë konstante;

2)D(X)>0, ku X është një ndryshore e rastësishme;

3)D(C X)=C2 D(X), ku C është një vlerë konstante;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), ku X, Y janë variabla të rastësishme të pavarura;

Për të llogaritur variancën, shpesh është e përshtatshme të përdoret formula:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

ku M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Varianca D(X) ka dimensionin e një ndryshoreje të rastësishme në katror, e cila nuk është gjithmonë e përshtatshme. Prandaj, vlera √D(X) përdoret gjithashtu si një tregues i shpërndarjes së vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme.

Përkufizimi: Devijimi standard σ(X) ndryshorja e rastësishme X quhet rrënja katrore e variancës:

Detyra nr. 2. Ndryshorja diskrete e rastësishme X përcaktohet nga ligji i shpërndarjes:

Gjeni P2, funksionin e shpërndarjes F(x) dhe vizatoni grafikun e tij, si dhe M(X), D(X), σ(X).

Zgjidhja: Meqenëse shuma e probabiliteteve të vlerave të mundshme të ndryshores së rastësishme X është e barabartë me 1, atëherë

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes F(x)=P(X

Gjeometrikisht, kjo barazi mund të interpretohet si më poshtë: F(x) është probabiliteti që ndryshorja e rastësishme të marrë vlerën që përfaqësohet në boshtin e numrave nga një pikë që shtrihet në të majtë të pikës x.

Nëse x≤-1, atëherë F(x)=0, pasi nuk ka asnjë vlerë të vetme të kësaj ndryshoreje të rastësishme në (-∞;x);

Nëse -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Nëse 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) ka dy vlera x1=-1 dhe x2=0;

Nëse 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Nëse 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Nëse x>3, atëherë F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, sepse katër vlera x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 bien në intervalin (-∞;x) dhe x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 në x≤-1,

0.1 në -1<х≤0,

0.2 në 0<х≤1,

F(x)= 0,5 në 1<х≤2,

0.7 në 2<х≤3,

1 në x>3

Le të paraqesim funksionin F(x) grafikisht (Fig. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Ligji i shpërndarjes binomiale

ndryshore diskrete e rastësishme, ligji i Poisson-it.

Përkufizimi: Binom quhet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X - numri i shfaqjeve të ngjarjes A në n prova të pavarura të përsëritura, në secilën prej të cilave ngjarja A mund të ndodhë me probabilitet p ose të mos ndodhë me probabilitet q = 1-p. Atëherë P(X=m) - probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A saktësisht m herë në n prova llogaritet duke përdorur formulën Bernoulli:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Pritshmëria matematikore, shpërndarja dhe devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme X të shpërndarë sipas një ligji binar gjenden, përkatësisht, duke përdorur formulat:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Probabiliteti i ngjarjes A - "shfaqja e pesë" në çdo provë është e njëjtë dhe e barabartë me 1/6 , d.m.th. P(A)=p=1/6, pastaj P(A)=1-p=q=5/6, ku

- "Dështimi për të marrë një A."

Ndryshorja e rastësishme X mund të marrë këto vlera: 0;1;2;3.

Ne gjejmë probabilitetin e secilës prej vlerave të mundshme të X duke përdorur formulën e Bernoulli:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Se. ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X ka formën:

Kontrolli: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Le të gjejmë karakteristikat numerike të ndryshores së rastësishme X:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Detyra nr 4. Një makinë automatike stampon pjesë. Probabiliteti që një pjesë e prodhuar të jetë me defekt është 0.002. Gjeni probabilitetin që midis 1000 pjesëve të zgjedhura të ketë:

a) 5 me defekt;

b) të paktën njëri është me defekt.

Zgjidhja: Numri n=1000 është i madh, probabiliteti për të prodhuar një pjesë me defekt p=0.002 është i vogël dhe ngjarjet në shqyrtim (pjesa rezulton e dëmtuar) janë të pavarura, prandaj formula Poisson qëndron:

Рn(m)= e- λ λm

Le të gjejmë λ=np=1000 0,002=2.

a) Gjeni probabilitetin që do të ketë 5 pjesë me defekt (m=5):

Р1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Gjeni probabilitetin që të ketë të paktën një pjesë të dëmtuar.

Ngjarja A - "të paktën një nga pjesët e zgjedhura është me defekt" është e kundërta e ngjarjes - "të gjitha pjesët e zgjedhura nuk janë me të meta, prandaj, P(A) = 1-P(). Prandaj probabiliteti i kërkuar është i barabartë me: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

Detyrat për punë të pavarur.

1.1

1.2. Ndryshorja e rastësishme e shpërndarë X është e specifikuar nga ligji i shpërndarjes:

Gjeni p4, funksionin e shpërndarjes F(X) dhe vizatoni grafikun e tij, si dhe M(X), D(X), σ(X).

1.3. Ka 9 shënues në kuti, 2 prej të cilëve nuk shkruajnë më. Merrni 3 shënues në mënyrë të rastësishme. Ndryshorja e rastësishme X është numri i shënuesve të shkrimit midis atyre që merren. Hartoni një ligj të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.

1.4. Ka 6 tekste të renditura rastësisht në një raft bibliotekë, 4 prej të cilëve janë të lidhur. Bibliotekari merr 4 tekste shkollore rastësisht. Ndryshorja e rastësishme X është numri i teksteve të lidhura midis atyre të marra. Hartoni një ligj të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.

1.5. Ka dy detyra në biletë. Probabiliteti për të zgjidhur saktë problemin e parë është 0.9, i dyti është 0.7. Ndryshorja e rastësishme X është numri i problemeve të zgjidhura saktë në biletë. Hartoni një ligj të shpërndarjes, llogaritni pritshmërinë matematikore dhe variancën e kësaj ndryshoreje të rastësishme dhe gjeni gjithashtu funksionin e shpërndarjes F(x) dhe ndërtoni grafikun e tij.

1.6. Tre gjuajtës qëllojnë në një objektiv. Probabiliteti për të goditur objektivin me një gjuajtje është 0.5 për gjuajtësin e parë, 0.8 për të dytin dhe 0.7 për të tretën. Ndryshorja e rastësishme X është numri i goditjeve në objektiv nëse gjuajtësit gjuajnë një herë në të njëjtën kohë. Gjeni ligjin e shpërndarjes, M(X),D(X).

1.7. Një basketbollist gjuan topin në kosh me një probabilitet për të goditur çdo goditje prej 0.8. Për çdo goditje, ai merr 10 pikë dhe nëse mungon, nuk i jepen pikë. Hartoni një ligj të shpërndarjes për ndryshoren e rastësishme X - numri i pikëve të marra nga një basketbollist në 3 goditje. Gjeni M(X),D(X), si dhe probabilitetin që ai të marrë më shumë se 10 pikë.

1.8. Në letra shkruhen shkronja, gjithsej 5 zanore dhe 3 bashkëtingëllore. 3 letra zgjidhen në mënyrë të rastësishme dhe çdo herë letra e marrë kthehet mbrapsht. Ndryshorja e rastësishme X është numri i zanoreve midis atyre të marra. Hartoni një ligj të shpërndarjes dhe gjeni M(X),D(X),σ(X).

1.9. Mesatarisht, nën 60% të kontratave, kompania e sigurimit paguan shumat e sigurimit në lidhje me ndodhjen e një ngjarje të siguruar. Hartoni një ligj shpërndarjeje për variablin e rastësishëm X - numri i kontratave për të cilat është paguar shuma e sigurimit midis katër kontratave të zgjedhura në mënyrë të rastësishme. Gjeni karakteristikat numerike të kësaj sasie.

1.10. Stacioni radio dërgon shenja thirrjesh (jo më shumë se katër) në intervale të caktuara derisa të vendoset komunikimi i dyanshëm. Probabiliteti për të marrë një përgjigje për një shenjë thirrjeje është 0.3. Variabli i rastësishëm X është numri i shenjave të thirrjes të dërguara. Hartoni një ligj të shpërndarjes dhe gjeni F(x).

1.11. Ka 3 çelësa, nga të cilët vetëm njëri i përshtatet kyçit. Hartoni një ligj për shpërndarjen e ndryshores së rastësishme X-numri i përpjekjeve për të hapur bllokimin, nëse çelësi i provuar nuk merr pjesë në përpjekjet e mëvonshme. Gjeni M(X),D(X).

1.12. Testet e njëpasnjëshme të pavarura të tre pajisjeve kryhen për besueshmërinë. Çdo pajisje pasuese testohet vetëm nëse e mëparshmja doli e besueshme. Probabiliteti për të kaluar testin për secilën pajisje është 0.9. Hartoni një ligj të shpërndarjes për variablin e rastësishëm X-numri i pajisjeve të testuara.

1.13 Variabla e rastësishme diskrete X ka tre vlera të mundshme: x1=1, x2, x3 dhe x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Blloku i pajisjeve elektronike përmban 100 elementë identikë. Probabiliteti i dështimit të secilit element gjatë kohës T është 0,002. Elementet funksionojnë në mënyrë të pavarur. Gjeni probabilitetin që jo më shumë se dy elementë të dështojnë gjatë kohës T.

1.15. Teksti shkollor u botua në një tirazh prej 50.000 kopjesh. Probabiliteti që teksti të jetë i lidhur gabimisht është 0,0002. Gjeni probabilitetin që qarkullimi të përmbajë:

a) katër libra me defekt,

b) më pak se dy libra me të meta.

1 .16. Numri i thirrjeve që arrijnë në PBX çdo minutë shpërndahet sipas ligjit të Poisson-it me parametrin λ=1.5. Gjeni probabilitetin që në një minutë të arrijë sa vijon:

a) dy thirrje;

b) të paktën një telefonatë.

1.17.

Gjeni M(Z),D(Z) nëse Z=3X+Y.

1.18. Janë dhënë ligjet e shpërndarjes së dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura:

Gjeni M(Z),D(Z) nëse Z=X+2Y.

Përgjigjet:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; 0 në x≤-2,

0.3 në -2<х≤0,

F(x)= 0,5 në 0<х≤2,

0.9 në 2<х≤5,

1 në x>5

1.2. p4=0.1; 0 në x≤-1,

0.3 në -1<х≤0,

0.4 në 0<х≤1,

F(x)= 0,6 në 1<х≤2,

0.7 në 2<х≤3,

1 në x>3

M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1.612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 në x≤0,

0.03 në 0<х≤1,

F(x)= 0,37 në 1<х≤2,

1 për x>2

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈

M(X)=2.4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. a)0.0189; b) 0,00049

1.16. a) 0,0702; b)0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Kapitulli 2. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme

Përkufizimi: E vazhdueshme Ata quajnë një sasi të gjitha vlerat e mundshme të të cilave plotësojnë plotësisht një hapësirë të fundme ose të pafundme të vijës numerike.

Natyrisht, numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i pafund.

Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme mund të specifikohet duke përdorur një funksion shpërndarjeje.

Përkufizimi: F funksioni i shpërndarjes një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X quhet funksion F(x), i cili përcakton për secilën vlerë xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R

Funksioni i shpërndarjes nganjëherë quhet funksioni i shpërndarjes kumulative.

Karakteristikat e funksionit të shpërndarjes:

1)1≤ F(x) ≤1

2) Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, funksioni i shpërndarjes është i vazhdueshëm në çdo pikë dhe i diferencueshëm kudo, përveç, ndoshta, në pikat individuale.

3) Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X të bjerë në një nga intervalet (a;b), [a;b], [a;b], është e barabartë me diferencën midis vlerave të funksionit F(x) në pikat a dhe b, d.m.th. R(a)<Х

4) Probabiliteti që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X të marrë një vlerë të veçantë është 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Specifikimi i një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme duke përdorur një funksion shpërndarjeje nuk është mënyra e vetme. Le të prezantojmë konceptin e densitetit të shpërndarjes së probabilitetit (densiteti i shpërndarjes).

Përkufizimi : Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit f ( x ) i një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X është derivati i funksionit të shpërndarjes së tij, d.m.th.

Funksioni i densitetit të probabilitetit nganjëherë quhet funksioni i shpërndarjes diferenciale ose ligji i shpërndarjes diferenciale.

Grafiku i shpërndarjes së densitetit të probabilitetit f(x) quhet kurba e shpërndarjes së probabilitetit .

Vetitë e shpërndarjes së densitetit të probabilitetit:

1) f(x) ≥0, në xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" lartësi ="62 src="> 0 në x≤2,

f(x)= c(x-2) në 2<х≤6,

0 për x>6.

Gjeni: a) vlerën e c; b) funksionin e shpërndarjes F(x) dhe ndërto grafikun e tij; c) P(3≤x<5)

Zgjidhja:

+ ∞

a) Vlerën e c-së e gjejmë nga kushti i normalizimit: ∫ f(x)dx=1.

Prandaj, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

nëse 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 në x≤2,

F(x)= (x-2) 2/16 në 2<х≤6,

1 për x>6.

Grafiku i funksionit F(x) është paraqitur në figurën 3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 në x≤0,

F(x)= (3 arktan x)/π në 0<х≤√3,

1 për x>√3.

Gjeni funksionin e shpërndarjes diferenciale f(x)

Zgjidhja: Meqë f(x)= F’(x), atëherë

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Të gjitha vetitë e pritjes dhe shpërndarjes matematikore, të diskutuara më parë për variablat e rastësishme të shpërndara, janë gjithashtu të vlefshme për ato të vazhdueshme.

Detyra nr. 3. Ndryshorja e rastësishme X specifikohet nga funksioni diferencial f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Problemet për zgjidhje të pavarur.

2.1. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X përcaktohet nga funksioni i shpërndarjes:

0 në x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 për x≤ π/6,

F(x)= - cos 3x në π/6<х≤ π/3,

1 për x> π/3.

Gjeni funksionin e shpërndarjes diferenciale f(x), dhe gjithashtu

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 në x≤2,

f(x)= c x në 2<х≤4,

0 për x>4.

2.4. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X përcaktohet nga dendësia e shpërndarjes:

0 në x≤0,

f(x)= c √x në 0<х≤1,

0 për x>1.

Gjeni: a) numrin c; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> në x,

0 në x.

Gjeni: a) F(x) dhe ndërtoni grafikun e tij; b) M(X),D(X), σ(X); c) probabiliteti që në katër prova të pavarura vlera e X do të marrë saktësisht 2 herë vlerën që i përket intervalit (1;4).

2.6. Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X është dhënë:

f(x)= 2(x-2) në x,

0 në x.

Gjeni: a) F(x) dhe ndërtoni grafikun e tij; b) M(X),D(X), σ (X); c) probabiliteti që në tre prova të pavarura vlera e X do të marrë saktësisht 2 herë vlerën që i përket segmentit.

2.7. Funksioni f(x) jepet si:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Funksioni f(x) jepet si:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

Gjeni: a) vlerën e konstantës c në të cilën funksioni do të jetë dendësia e probabilitetit të disa ndryshoreve të rastësishme X; b) funksioni i shpërndarjes F(x).

2.9. Ndryshorja e rastësishme X, e përqendruar në intervalin (3;7), specifikohet nga funksioni i shpërndarjes F(x)= . Gjeni probabilitetin që

Ndryshorja e rastësishme X do të marrë vlerën: a) më pak se 5, b) jo më pak se 7.

2.10. Ndryshorja e rastësishme X, e përqendruar në intervalin (-1;4),

jepet me funksionin e shpërndarjes F(x)= . Gjeni probabilitetin që

Ndryshorja e rastësishme X do të marrë vlerën: a) më pak se 2, b) jo më pak se 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Gjeni: a) numrin c; b) M(X); c) probabiliteti P(X> M(X)).

2.12. Ndryshorja e rastësishme specifikohet nga funksioni i shpërndarjes diferenciale:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Gjeni: a) M(X); b) probabiliteti P(X≤M(X))

2.13. Shpërndarja Rem jepet nga densiteti i probabilitetit:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> për x ≥0.

Vërtetoni se f(x) është me të vërtetë një funksion i densitetit të probabilitetit.

2.14. Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X është dhënë:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Fig. 4) (Fig.5)

2.16. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit të “trekëndëshit kënddrejtë” në intervalin (0;4) (Fig. 5). Gjeni një shprehje analitike për densitetin e probabilitetit f(x) në të gjithë vijën numerike.

Përgjigjet

0 në x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 për x≤ π/6,

F(x)= 3sin 3x në π/6<х≤ π/3,

0 për x> π/3. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X ka një ligj uniform të shpërndarjes në një interval të caktuar (a;b), të cilit i përkasin të gjitha vlerat e mundshme të X, nëse densiteti i shpërndarjes së probabilitetit f(x) është konstant në këtë interval dhe i barabartë me 0 jashtë atë, d.m.th.

0 për x≤a,

f(x)= për a<х

0 për x≥b.

Grafiku i funksionit f(x) është paraqitur në Fig. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 për x≤a,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Detyra nr. 1. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet në mënyrë uniforme në segment. Gjeni:

a) dendësia e shpërndarjes së probabilitetit f(x) dhe vizatoni atë;

b) funksionin e shpërndarjes F(x) dhe vizatoni atë;

c) M(X),D(X), σ(X).

Zgjidhja: Duke përdorur formulat e diskutuara më sipër, me a=3, b=7, gjejmë:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> në 3≤х≤7,

0 për x>7

Le të ndërtojmë grafikun e tij (Fig. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 në x≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Fig. 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 në x<0,

f(x)= λε-λх për x≥0.

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X, i shpërndarë sipas ligjit eksponencial, jepet me formulën:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)=

Kështu, pritshmëria matematikore dhe devijimi standard i shpërndarjes eksponenciale janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Probabiliteti që X të bjerë në intervalin (a;b) llogaritet me formulën:

P(a<Х

Detyra nr. 2. Koha mesatare e funksionimit pa dështim të pajisjes është 100 orë Duke supozuar se koha e funksionimit pa dështime të pajisjes ka një ligj të shpërndarjes eksponenciale, gjeni:

a) dendësia e shpërndarjes së probabilitetit;

b) funksionin e shpërndarjes;

c) probabiliteti që koha e funksionimit pa dështim të pajisjes të kalojë 120 orë.

Zgjidhja: Sipas kushtit, shpërndarja matematikore M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 në x<0,

a) f(x)= 0,01e -0,01x për x≥0.

b) F(x)= 0 në x<0,

1-e -0,01x në x≥0.

c) Ne gjejmë probabilitetin e dëshiruar duke përdorur funksionin e shpërndarjes:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3.

§ 3.Ligji i shpërndarjes normale

Përkufizimi: Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X ka ligji i shpërndarjes normale (ligji i Gausit), nëse dendësia e shpërndarjes së tij ka formën:

ku m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Kurba e shpërndarjes normale quhet kurba normale ose Gaussian (Fig. 7)

Kurba normale është simetrike në lidhje me drejtëzën x=m, ka një maksimum në x=a, të barabartë me .

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X, i shpërndarë sipas ligjit normal, shprehet përmes funksionit Laplace Ф (x) sipas formulës:

ku është funksioni Laplace.

Koment: Funksioni Ф(x) është tek (Ф(-х)=-Ф(х)), përveç kësaj, për x>5 mund të supozojmë Ф(х) ≈1/2.

Grafiku i funksionit të shpërndarjes F(x) është paraqitur në Fig. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Probabiliteti që vlera absolute e devijimit është më e vogël se një numër pozitiv δ llogaritet me formulën:

Në veçanti, për m=0 vlen barazia e mëposhtme:

"Rregulli i tre sigmave"

Nëse një ndryshore e rastësishme X ka një ligj të shpërndarjes normale me parametrat m dhe σ, atëherë është pothuajse e sigurt që vlera e saj qëndron në intervalin (a-3σ; a+3σ), sepse

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) Le të përdorim formulën:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

Duke përdorur tabelën e vlerave të funksionit Ф(х), gjejmë Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

Pra, probabiliteti i dëshiruar:

P (28

Detyrat për punë të pavarur

3.1. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet në mënyrë uniforme në intervalin (-3;5). Gjeni:

b) funksioni i shpërndarjes F(x);

c) karakteristikat numerike;

d) probabiliteti P(4<х<6).

3.2. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet në mënyrë uniforme në segment. Gjeni:

a) dendësia e shpërndarjes f(x);

b) funksioni i shpërndarjes F(x);

c) karakteristikat numerike;

d) probabiliteti P(3≤х≤6).

3.3. Në autostradë është instaluar një semafor automatik, në të cilin drita jeshile ndizet për 2 minuta për automjetet, e verdhë për 3 sekonda dhe e kuqe për 30 sekonda, etj. Një makinë lëviz përgjatë autostradës në një moment të rastësishëm. Gjeni probabilitetin që një makinë të kalojë në semafor pa u ndalur.

3.4. Trenat e metrosë qarkullojnë rregullisht në intervale prej 2 minutash. Një pasagjer hyn në platformë në një kohë të rastësishme. Sa është probabiliteti që një pasagjer do të duhet të presë më shumë se 50 sekonda për një tren? Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme X - koha e pritjes për trenin.

3.5. Gjeni variancën dhe devijimin standard të shpërndarjes eksponenciale të dhënë nga funksioni i shpërndarjes:

F(x)= 0 në x<0,

1-8x për x≥0.

3.6. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X përcaktohet nga dendësia e shpërndarjes së probabilitetit:

f(x)= 0 në x<0,

0,7 e-0,7x në x≥0.

a) Emërtoni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme në shqyrtim.

b) Gjeni funksionin e shpërndarjes F(X) dhe karakteristikat numerike të ndryshores së rastësishme X.

3.7. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit eksponencial të specifikuar nga densiteti i shpërndarjes së probabilitetit:

f(x)= 0 në x<0,

0,4 e-0,4 x në x≥0.

Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X të marrë një vlerë nga intervali (2.5; 5).

3.8. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit eksponencial të specifikuar nga funksioni i shpërndarjes:

F(x)= 0 në x<0,

1-0,6x në x≥0

Gjeni probabilitetin që, si rezultat i testit, X të marrë një vlerë nga segmenti.

3.9. Vlera e pritur dhe devijimi standard i një variabli të rastësishëm të shpërndarë normalisht janë 8 dhe 2, përkatësisht.

a) dendësia e shpërndarjes f(x);

b) probabilitetin që si rezultat i testit X të marrë një vlerë nga intervali (10;14).

3.10. Ndryshorja e rastësishme X zakonisht shpërndahet me një pritshmëri matematikore prej 3.5 dhe një variancë prej 0.04. Gjeni:

a) dendësia e shpërndarjes f(x);

b) probabilitetin që si rezultat i testit X të marrë një vlerë nga segmenti .

3.11. Ndryshorja e rastësishme X zakonisht shpërndahet me M(X)=0 dhe D(X)=1. Cila nga ngjarjet: |X|≤0.6 ose |X|≥0.6 ka më shumë gjasa?

3.12. Variabli i rastësishëm X shpërndahet normalisht me M(X)=0 dhe D(X)=1 Nga cili interval (-0.5;-0.1) ose (1;2) ka më shumë gjasa të marrë një vlerë gjatë një testi?

3.13. Çmimi aktual për aksion mund të modelohet duke përdorur ligjin e shpërndarjes normale me M(X)=10 den. njësi dhe σ (X)=0,3 den. njësi Gjeni:

a) probabiliteti që çmimi aktual i aksionit të jetë prej 9,8 den. njësi deri në 10.4 ditë njësi;

b) duke përdorur “rregullin tre sigma”, gjeni kufijtë brenda të cilëve do të vendoset çmimi aktual i aksionit.

3.14. Substanca peshohet pa gabime sistematike. Gabimet e rastësishme të peshimit i nënshtrohen ligjit normal me raportin katror mesatar σ=5g. Gjeni probabilitetin që në katër eksperimente të pavarura një gabim në tre peshime nuk do të ndodhë në vlerën absolute 3r.

3.15. Ndryshorja e rastësishme X zakonisht shpërndahet me M(X)=12.6. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të bjerë në intervalin (11.4;13.8) është 0.6826. Gjeni devijimin standard σ.

3.16. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet normalisht me M(X)=12 dhe D(X)=36 Gjeni intervalin në të cilin do të bjerë ndryshorja e rastësishme X si rezultat i testit me probabilitet 0,9973.

3.17. Një pjesë e prodhuar nga një makinë automatike konsiderohet e dëmtuar nëse devijimi X i parametrit të tij të kontrolluar nga vlera nominale tejkalon modulin 2 njësi matëse. Supozohet se ndryshorja e rastësishme X është e shpërndarë normalisht me M(X)=0 dhe σ(X)=0.7. Sa përqind e pjesëve me defekt prodhon makina?

3.18. Parametri X i pjesës shpërndahet normalisht me një pritje matematikore prej 2 të barabartë me vlerën nominale dhe një devijim standard prej 0,014. Gjeni probabilitetin që devijimi i X nga vlera nominale të mos kalojë 1% të vlerës nominale.

Përgjigjet

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) 0 për x≤-3,

F(x)= majtas">