Linjära ekvationer är ett ganska ofarligt och begripligt ämne i skolmatematiken. Men konstigt nog är antalet fel ur det blå när man löser linjära ekvationer bara något mindre än i andra ämnen - andragradsekvationer, logaritmer, trigonometri och andra. Orsakerna till de flesta fel är banala identiska transformationer av ekvationer. Först och främst är detta förvirring i tecken när man överför termer från en del av ekvationen till en annan, såväl som fel när man arbetar med bråk och bråkkoefficienter. Ja, ja! Bråk förekommer också i linjära ekvationer! Runt om. Nedan kommer vi definitivt att analysera sådana onda ekvationer.)
Nåväl, låt oss inte dra katten i svansen och låt oss börja ta reda på det, eller hur? Sedan läser vi och fördjupar oss i det.)
Vad är en linjär ekvation? Exempel.
Vanligtvis ser den linjära ekvationen ut så här:
yxa + b = 0,
Där a och b är valfria tal. Alla slag: heltal, bråk, negativa, irrationella - de kan vara vad som helst!
Till exempel:
7x + 1 = 0 (här a = 7, b = 1)
x – 3 = 0 (här a = 1, b = -3)
x/2 – 1,1 = 0 (här a = 1/2, b = -1,1)
I allmänhet förstår du, hoppas jag.) Allt är enkelt, som i en saga. För tillfället... Och om man tittar närmare på den allmänna notationen ax+b=0, och funderar lite? När allt kommer omkring är a och b några siffror! Och om vi har, säg, a = 0 och b = 0 (man kan ta vilka tal som helst!), vad får vi då?
0 = 0
Men det är inte allt det roliga! Vad händer om, säg, a = 0, b = -10? Sedan visar det sig vara något slags nonsens:
0 = 10.
Vilket är väldigt, väldigt irriterande och undergräver det förtroende för matematik som man får genom svett och blod... Speciellt vid prov och tentor. Men ur dessa obegripliga och märkliga jämlikheter behöver du också hitta X! Vilket inte existerar alls! Och här kan även väl förberedda elever ibland hamna i vad som kallas för dvala... Men oroa dig inte! I den här lektionen kommer vi också att titta på alla sådana överraskningar. Och vi kommer definitivt att hitta ett X från sådana likheter.) Dessutom kan samma X hittas väldigt, väldigt enkelt. Ja, ja! Överraskande men sant.)
Okej, det är förståeligt. Men hur kan du av uppgiftens utseende se att det är en linjär ekvation och inte någon annan ekvation? Tyvärr är det inte alltid möjligt att känna igen typen av ekvation bara genom utseende. Poängen är att inte bara ekvationer av formen ax+b=0 kallas linjära, utan även alla andra ekvationer som genom identiska transformationer på ett eller annat sätt reduceras till denna form. Hur vet du om det stämmer eller inte? Tills man knappt kan lösa exemplet – nästan inte alls. Det här är upprörande. Men för vissa typer av ekvationer kan du omedelbart med säkerhet avgöra om det är linjärt eller inte med en snabb blick.
För att göra detta, låt oss återigen titta på den allmänna strukturen för en linjär ekvation:
yxa + b = 0
Observera: i den linjära ekvationen Alltid endast variabel x är närvarande i första graden och några siffror! Det var allt! Inget mer. Samtidigt finns det inga X i kvadraten, i kuben, under roten, under logaritmen och andra exotiska saker. Och (viktigast av allt!) det finns inga bråk med X i nämnaren! Men bråk med tal i nämnare eller division per nummer- lätt!
Till exempel:
Detta är en linjär ekvation. Ekvationen innehåller endast X till den första potensen och talen. Och det finns inga X i högre makter - i kvadrat, i kub, och så vidare. Ja, det finns bråk här, men samtidigt innehåller bråkens nämnare bara siffror. Nämligen - två och tre. Det finns med andra ord ingen division med x.
Och här är ekvationen
Det kan inte längre kallas linjärt, även här finns det bara siffror och X i första potensen. För det finns bland annat också bråk med X i nämnaren. Och efter förenklingar och transformationer kan en sådan ekvation bli vad som helst: linjär, kvadratisk - vad som helst.
Hur löser man linjära ekvationer? Exempel.
Så hur löser man linjära ekvationer? Läs vidare och bli förvånad.) Hela lösningen av linjära ekvationer är baserad på bara två huvudsakliga saker. Låt oss lista dem.
1) En uppsättning elementära handlingar och regler för matematik.
Dessa är att använda parenteser, öppna parenteser, arbeta med bråktal, arbeta med negativa tal, multiplikationstabeller och så vidare. Dessa kunskaper och färdigheter är nödvändiga inte bara för att lösa linjära ekvationer, utan för all matematik i allmänhet. Och, om du har problem med detta, kom ihåg de lägre betygen. Annars får du det jobbigt...
2)
Det finns bara två av dem. Ja, ja! Dessutom ligger dessa mycket grundläggande identitetstransformationer till grund för lösningen av inte bara linjära, utan generellt sett alla matematiska ekvationer! Med ett ord, lösningen på alla andra ekvationer - kvadratisk, logaritmisk, trigonometrisk, irrationell, etc. – som regel börjar det med dessa mycket grundläggande transformationer. Men lösningen av linjära ekvationer slutar faktiskt med dem (transformationer). Klart svar.) Så var inte lat och ta en titt på länken.) Dessutom analyseras linjära ekvationer i detalj där.
Nåväl, jag tycker att det är dags att börja titta på exempel.
Till att börja med, som en uppvärmning, låt oss titta på några grundläggande saker. Utan några bråkdelar eller andra klockor och visselpipor. Till exempel denna ekvation:
x – 2 = 4 – 5x
Detta är en klassisk linjär ekvation. Alla X är högst i första potens och det finns ingen division med X någonstans. Lösningsschemat i sådana ekvationer är alltid detsamma och fruktansvärt enkelt: alla termer med X måste samlas till vänster, och alla termer utan X (dvs. siffror) måste samlas till höger. Så låt oss börja samla.
För att göra detta lanserar vi den första identitetsförvandlingen. Vi måste flytta -5x till vänster och flytta -2 till höger. Med ett teckenbyte såklart.) Så vi överför:
x + 5x = 4 + 2
Varsågod. Halva striden är klar: X:en har samlats i en hög, och det har även siffrorna. Nu presenterar vi liknande till vänster, och vi räknar dem till höger. Vi får:
6x = 6
Vad saknar vi nu för fullständig lycka? Ja, så att det rena X:et blir kvar till vänster! Och sexan kommer i vägen. Hur blir man av med det? Nu kör vi den andra identitetstransformationen - dividera båda sidor av ekvationen med 6. Och - voila! Svaret är klart.)
x = 1
Exemplet är förstås helt primitivt. För att få den allmänna idén. Nåväl, låt oss bestämma något mer betydelsefullt. Låt oss till exempel titta på denna ekvation:
Låt oss titta på det i detalj.) Detta är också en linjär ekvation, även om det verkar som att det finns bråk här. Men i bråk finns det division med två och det finns division med tre, men det finns ingen division med ett uttryck med ett X! Så låt oss bestämma. Använder samma identiska transformationer, ja.)
Vad ska vi göra först? Med X - till vänster, utan X - till höger? I princip är detta möjligt. Flyg till Sotji via Vladivostok.) Eller så kan du ta den kortaste vägen, omedelbart med en universell och kraftfull metod. Om du känner till identitetstransformationerna, förstås.)
Först ställer jag en nyckelfråga: vad sticker ut för dig mest och ogillar mest med den här ekvationen? 99 av 100 personer kommer att säga: bråk! Och de kommer att ha rätt.) Så låt oss bli av med dem först. Säkert för själva ekvationen.) Låt oss därför börja direkt med andra identitetsförvandling- från multiplikation. Vad ska vi multiplicera vänster sida med så att nämnaren framgångsrikt reduceras? Det stämmer, en tvåa. Hur är det med höger sida? För tre! Men... Matematik är en nyckfull dam. Hon, förstår du, kräver att bara multiplicera båda sidorna för samma nummer! Att multiplicera varje del med sitt eget nummer fungerar inte... Vad ska vi göra? Något... Leta efter en kompromiss. För att tillfredsställa våra önskningar (att bli av med bråk) och inte förolämpa matematiken.) Låt oss multiplicera båda delarna med sex!) Det vill säga med den gemensamma nämnaren för alla bråk som ingår i ekvationen. Sedan kommer både de två och de tre att reduceras i ett slag!)
Så låt oss multiplicera. Hela vänstersidan och hela högersidan! Därför använder vi parenteser. Så här ser själva proceduren ut:
Nu öppnar vi samma parenteser:
Nu, som representerar 6 som 6/1, låt oss multiplicera sex med vart och ett av bråken till vänster och höger. Detta är den vanliga multiplikationen av bråk, men så är det, jag kommer att beskriva det i detalj:
Och här - uppmärksamhet! Jag sätter täljaren (x-3) inom parentes! Detta beror på att när man multiplicerar bråk så multipliceras täljaren helt, helt! Och x-3-uttrycket måste fungera som en integrerad struktur. Men om du skriver täljaren så här:
6x – 3,
Men vi har allt rätt och vi måste slutföra det. Vad ska jag göra härnäst? Öppna parentesen i täljaren till vänster? Inget sätt! Du och jag multiplicerade båda sidor med 6 för att bli av med bråk och för att inte oroa dig för att öppna parenteser. I det här skedet behöver vi minska våra fraktioner. Med en känsla av djup tillfredsställelse minskar vi alla nämnare och får en ekvation utan bråk, i en linjal:
3(x-3) + 6x = 30 – 4x
Och nu kan de återstående parenteserna öppnas:
3x – 9 + 6x = 30 – 4x
Ekvationen blir bättre och bättre! Låt oss nu komma ihåg den första identiska transformationen. Med rakt ansikte upprepar vi besvärjelsen från juniorklasser: med X - till vänster, utan X - till höger. Och tillämpa denna transformation:
3x + 6x + 4x = 30 + 9
Vi presenterar liknande till vänster och räknar till höger:
13x = 39
Det återstår att dela båda delarna med 13. Det vill säga tillämpa den andra transformationen igen. Vi delar upp och får svaret:
x = 3
Jobbet är gjort. Som du kan se var vi i den här ekvationen tvungna att tillämpa den första transformationen en gång (överföra termer) och den andra två gånger: i början av lösningen använde vi multiplikation (med 6) för att bli av med bråk, och i slutet av lösningen använde vi division (med 13), för att bli av med koefficienten framför X. Och lösningen på vilken (ja, vilken!) linjär ekvation som helst består av en kombination av samma transformationer i en eller annan sekvens. Var exakt man ska börja beror på den specifika ekvationen. På vissa ställen är det mer lönsamt att börja med överföring och på andra (som i detta exempel) med multiplikation (eller division).
Vi arbetar från enkelt till komplext. Låt oss nu överväga ren grymhet. Med en massa bråk och parentes. Och jag ska berätta hur du inte ska överanstränga dig själv.)
Till exempel, här är ekvationen:
Vi tittar på ekvationen en minut, är förskräckta, men tar oss ändå ihop! Huvudproblemet är var man ska börja? Du kan lägga till bråk på höger sida. Du kan subtrahera bråk inom parentes. Du kan multiplicera båda delarna med något. Eller dela... Så vad är fortfarande möjligt? Svar: allt är möjligt! Matematik förbjuder inte någon av de listade åtgärderna. Och oavsett vilken sekvens av åtgärder och transformationer du väljer, kommer svaret alltid att vara detsamma - det korrekta. Såvida du inte vid något steg kränker identiteten för dina transformationer och därigenom gör misstag...
Och för att inte göra misstag, i sådana sofistikerade exempel som det här, är det alltid mest användbart att utvärdera dess utseende och ta reda på i ditt sinne: vad kan göras i exemplet så att maximal förenkla det i ett steg?
Så låt oss ta reda på det. Till vänster finns sexor i nämnarna. Personligen gillar jag dem inte, och de är väldigt lätta att ta bort. Låt mig multiplicera båda sidor av ekvationen med 6! Då kommer sexorna till vänster att reduceras framgångsrikt, bråken inom parentes kommer inte att gå någonstans ännu. Det är okej. Vi kommer att ta itu med dem lite senare.) Men till höger har vi nämnare 2 och 3 som avbryter. Det är med denna åtgärd (multiplicera med 6) som vi uppnår maximala förenklingar i ett steg.
Efter multiplikation blir hela vår onda ekvation så här:
Om du inte förstår exakt hur denna ekvation kom till, så har du inte förstått analysen av det tidigare exemplet väl. Och jag försökte förresten...
Så låt oss avslöja:
Nu skulle det mest logiska steget vara att isolera fraktionerna på vänster sida och skicka 5x till höger sida. Samtidigt kommer vi att presentera liknande på höger sida. Vi får:
Redan mycket bättre. Nu har vänstersidan förberett sig för multiplikation. Vad ska vi multiplicera vänster sida med så att både de fem och de fyra reduceras på en gång? Den 20! Men vi har också nackdelar på båda sidor av ekvationen. Därför är det mest bekvämt att multiplicera båda sidor av ekvationen inte med 20, utan med -20. Då försvinner i ett slag både minusen och fraktionerna.
Så vi multiplicerar:
Den som fortfarande inte förstår detta steg betyder att problemet inte finns i ekvationerna. Problemen ligger i grunderna! Låt oss återigen komma ihåg den gyllene regeln att öppna parenteser:
Om ett tal multipliceras med något uttryck inom parentes, måste detta tal multipliceras i följd med varje term i just detta uttryck. Dessutom, om siffran är positiv, bevaras tecknen på uttrycken efter expansion. Om negativ, ändra till motsatsen:
a(b+c) = ab+ac
-a(b+c) = -ab-ac
Våra nackdelar försvann efter att ha multiplicerat båda sidor med -20. Och nu multiplicerar vi parenteserna med bråk till vänster med ganska positivt tal 20. Därför, när dessa konsoler öppnas, bevaras alla tecken som fanns inuti dem. Men var parenteserna i täljarna av bråk kommer ifrån, förklarade jag redan i detalj i föregående exempel.
Nu kan du minska fraktioner:
4(3-5x)-5(3x-2) = 20
Öppna de återstående fästena. Återigen, vi avslöjar det korrekt. De första parenteserna multipliceras med det positiva talet 4 och därför bevaras alla tecken när de öppnas. Men de andra parenteserna multipliceras med negativ talet är -5 och därför är alla tecken omvända:
12 - 20x - 15x + 10 = 20
Det finns bara småsaker kvar. Med X till vänster, utan X till höger:
-20x – 15x = 20 – 10 – 12
-35x = -2
Det är nästan allt. Till vänster behöver du ett rent X, men siffran -35 är i vägen. Så vi delar båda sidor med (-35). Låt mig påminna dig om att den andra identitetsomvandlingen tillåter oss att multiplicera och dividera båda sidor med vad som helst antal. Inklusive negativa.) Så länge det inte är noll! Dela gärna upp och få svaret:
X = 2/35
Den här gången visade sig X:et vara bråkdel. Det är okej. Ett sådant exempel.)
Som vi kan se är principen för att lösa linjära ekvationer (även de mest komplicerade) ganska enkel: vi tar den ursprungliga ekvationen och, med hjälp av identiska transformationer, förenklar den successivt tills vi får svaret. Med grunderna såklart! De största problemen här är just misslyckandet med att följa grunderna (till exempel finns det ett minus framför parenteserna, och de glömde att ändra tecknen när de expanderade), såväl som i banal aritmetik. Så försumma inte grunderna! De är grunden för all annan matematik!
Några roliga saker att göra när man löser linjära ekvationer. Eller speciella tillfällen.
Allt skulle vara bra. Men... Bland de linjära ekvationerna finns också sådana roliga pärlor som i färd med att lösa dem kan driva dig in i en stark stupor. Till och med en utmärkt student.)
Till exempel, här är en ofarlig ekvation:
7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2
Gäspar brett och lätt uttråkade, samlar vi alla X till vänster och alla siffror till höger:
7x-4x-3x = 5-2-3
Vi presenterar liknande, räknar och får:
0 = 0
Det är det! Jag gav ett provtrick! Denna jämlikhet i sig ger inga invändningar: noll är verkligen lika med noll. Men X saknas! Utan ett spår! Och vi måste skriva ner i svaret, vad är x lika med. Annars räknas inte beslutet, ja.) Vad ska man göra?
Få inte panik! I sådana icke-standardiserade fall kommer de mest allmänna begreppen och principerna för matematik till undsättning. Vad är en ekvation? Hur löser man ekvationer? Vad innebär det att lösa en ekvation?
Att lösa en ekvation innebär att hitta Alla värden för variabeln x, som, när den ersätts med original ekvation kommer att ge oss rätt likhet (identitet)!
Men vi har sann jämlikhet det har redan hänt! 0=0, eller snarare ingenstans!) Vi kan bara gissa vid vilka X vi får denna likhet. Vilken typ av X kan ersättas i original ekvation om, vid substitution, alla av dem kommer de fortfarande att reduceras till noll? Har du inte kommit på det än?
Jo, självklart! X kan ersättas några!!! Absolut vilken som helst. Skicka in vad du vill. Minst 1, minst -23, minst 2,7 - vad som helst! De kommer fortfarande att minska och som ett resultat kommer den rena sanningen att finnas kvar. Prova det, byt ut det och se själv.)
Här är ditt svar:
x – valfritt tal.
I vetenskaplig notation skrivs denna likhet så här:
Det här inlägget lyder så här: "X är vilket reellt tal som helst."
Eller i annan form, med intervaller:
Designa det som du gillar bäst. Detta är ett korrekt och fullständigt svar!
Nu ska jag bara ändra ett tal i vår ursprungliga ekvation. Låt oss nu lösa denna ekvation:
7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2
Återigen överför vi villkoren, räknar och får:
7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2
0 = 1
Och vad tycker du om det här skämtet? Det fanns en vanlig linjär ekvation, men det blev en obegriplig likhet
0 = 1…
Vetenskapligt sett fick vi falsk jämlikhet. Men på ryska är detta inte sant. Skitsnack. Nonsens.) För noll är inte på något sätt lika med ett!
Och låt oss nu ta reda på igen vilken typ av X, när de ersätts med den ursprungliga ekvationen, kommer att ge oss verklig jämställdhet? Som? Men ingen! Oavsett vilket X du ersätter, kommer allt fortfarande att förkortas och allt förblir skit.)
Här är svaret: inga lösningar.
I matematisk notation skrivs detta svar så här:
Det står: "X tillhör den tomma uppsättningen."
Sådana svar i matematik förekommer också ganska ofta: inte alltid några ekvationer har rötter i princip. Vissa ekvationer kanske inte har rötter alls. Alls.
Här är två överraskningar. Jag hoppas att nu det plötsliga försvinnandet av X från ekvationen inte kommer att lämna dig förvirrad för alltid. Detta är ganska bekant.)
Och så hör jag en logisk fråga: kommer de att delta i OGE eller Unified State Exam? På Unified State Examination agerar de inte som en uppgift på egen hand. För enkelt. Men i OGE eller i ordproblem - lätt! Så nu ska vi träna och bestämma:
Svar (i oordning): -2; -1; valfritt nummer; 2; inga lösningar; 13/7.
Har allt löst sig? Stor! Du har goda chanser på provet.
Stämmer inte något? Hm... Sorg, såklart. Det betyder att det fortfarande finns luckor någonstans. Antingen i grunderna eller i identiska transformationer. Eller så är det bara en fråga om enkel ouppmärksamhet. Läs lektionen igen. För det här är inte ett ämne som så lätt kan undvaras i matematik...
Lycka till! Hon kommer definitivt att le mot dig, tro mig!)
Ett system av linjära ekvationer är en förening av n linjära ekvationer, som var och en innehåller k variabler. Det är skrivet så här:
Många, när de möter högre algebra för första gången, tror felaktigt att antalet ekvationer nödvändigtvis måste sammanfalla med antalet variabler. I skolalgebra händer detta vanligtvis, men för högre algebra är detta i allmänhet inte sant.
Lösningen till ett ekvationssystem är en talföljd (k 1, k 2, ..., k n), som är lösningen till varje ekvation i systemet, d.v.s. när du substituerar i denna ekvation istället för variablerna x 1, x 2, ..., ger x n den korrekta numeriska likheten.
Att lösa ett ekvationssystem innebär följaktligen att hitta mängden av alla dess lösningar eller bevisa att denna mängd är tom. Eftersom antalet ekvationer och antalet okända kanske inte sammanfaller, är tre fall möjliga:
- Systemet är inkonsekvent, d.v.s. uppsättningen av alla lösningar är tom. Ett ganska sällsynt fall som lätt upptäcks oavsett vilken metod som används för att lösa systemet.
- Systemet är konsekvent och målmedvetet, d.v.s. har exakt en lösning. Den klassiska versionen, välkänd sedan skolan.
- Systemet är konsekvent och odefinierat, d.v.s. har oändligt många lösningar. Detta är det svåraste alternativet. Det räcker inte att indikera att "systemet har en oändlig uppsättning lösningar" - det är nödvändigt att beskriva hur denna uppsättning är uppbyggd.
En variabel x i kallas tillåten om den ingår i endast en ekvation i systemet, och med koefficienten 1. Med andra ord, med andra ekvationer måste koefficienten för variabeln x i vara lika med noll.
Om vi väljer en tillåten variabel i varje ekvation får vi en uppsättning tillåtna variabler för hela ekvationssystemet. Själva systemet, skrivet i denna form, kommer också att kallas löst. Generellt sett kan ett och samma ursprungliga system reduceras till olika tillåtna, men för närvarande är vi inte bekymrade över detta. Här är exempel på tillåtna system:
Båda systemen löses med avseende på variablerna x 1 , x 3 och x 4 . Men med samma framgång kan det hävdas att det andra systemet är löst med avseende på x 1, x 3 och x 5. Det räcker med att skriva om den allra sista ekvationen i formen x 5 = x 4.
Låt oss nu överväga ett mer allmänt fall. Låt oss ha k variabler totalt, varav r är tillåtna. Då är två fall möjliga:
- Antalet tillåtna variabler r är lika med det totala antalet variabler k: r = k. Vi får ett system av k ekvationer där r = k tillåtna variabler. Ett sådant system är gemensamt och definitivt, eftersom xl = bi, x2 = b2, ..., xk = bk;
- Antalet tillåtna variabler r är mindre än det totala antalet variabler k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Så i ovanstående system är variablerna x 2, x 5, x 6 (för det första systemet) och x 2, x 5 (för det andra) fria. Fallet när det finns fria variabler är bättre formulerat som ett teorem:
Observera: detta är en mycket viktig punkt! Beroende på hur du skriver det resulterande systemet kan samma variabel vara antingen tillåten eller fri. De flesta högre matematiklärare rekommenderar att man skriver ut variabler i lexikografisk ordning, d.v.s. stigande index. Du är dock inte skyldig att följa dessa råd.
Sats. Om variablerna x 1, x 2, ..., x r är tillåtna i ett system av n ekvationer och x r + 1, x r + 2, ..., x k är fria, då:
- Om vi ställer in värdena för de fria variablerna (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), och sedan hittar värdena x 1, x 2, ..., x r, vi får ett av besluten.
- Om värdena för fria variabler i två lösningar sammanfaller, så sammanfaller också värdena för tillåtna variabler, dvs. lösningar är lika.
Vad är meningen med detta teorem? För att få alla lösningar på ett löst ekvationssystem räcker det med att isolera de fria variablerna. Sedan, genom att tilldela olika värden till de fria variablerna, kommer vi att få färdiga lösningar. Det är allt - på så sätt kan du få alla lösningar i systemet. Det finns inga andra lösningar.
Slutsats: det upplösta ekvationssystemet är alltid konsekvent. Om antalet ekvationer i ett löst system är lika med antalet variabler, kommer systemet att vara definitivt om det är mindre, kommer det att vara obestämt.
Och allt skulle vara bra, men frågan uppstår: hur får man en löst från det ursprungliga ekvationssystemet? För detta finns
En linjär ekvation med okända x 1, x 2, ..., x n är en ekvation av formen
A 1 x 1 + a 2 x 2 + …+ a n x n = b;
talen a och a 2 , a 2 , ..., a n kallas koefficienter för de okända, talet b är ekvationens fria term.
Linjära ekvationer med en okänd kunde lösas tillbaka i det antika Babylon och i Egypten för mer än 4 tusen år sedan. Låt oss till exempel citera ett problem från Rhind-papyrusen (även kallad Ahmes-papyrusen), lagrad i British Museum och som går tillbaka till perioden 2000–1700. B.C e.: "Hitta ett tal om det är känt att genom att addera 2/3 av det till det och subtrahera dess tredjedel från den resulterande summan, erhålls talet 10." Lösningen på detta problem handlar om att lösa den linjära ekvationen
x + (2/3)x − (1/3)(x + (2/3)x) = 10, varav x = 9.
Låt oss också presentera problemet med Metrodorus, om vars liv ingenting är känt, förutom att han var författare till intressanta problem sammansatta på vers.
Här ligger Diophantus begravd, och gravstenen
Med skicklig räkning kommer han att berätta för oss
Hur långt var hans liv.
Enligt Guds dekret var han en pojke under en sjättedel av sitt liv;
I den tolfte delen gick sedan hans ljusa ungdom över.
Låt oss lägga till den sjunde delen av livet - framför oss finns mödomshinnans härd.
Fem år har gått; och Hymen sände honom en son.
Men ve barnet! Han levde knappt hälften
De åren som fadern dog, den olyckliga.
Diophantus led i fyra år av förlusten av en sådan grav
Och han dog efter att ha levt för vetenskapen. Säg mig,
Hur gammal var Diophantus när han nådde döden?
Lösa en linjär ekvation
(1/6)x + (1/12)x +(1/7)x + 5 + (1/2)x + 4 = x,
vi finner att x = 84 - så här många år levde Diophantus.
Diophantus själv ägnade mycket uppmärksamhet åt obestämda ekvationer (detta är namnet på algebraiska ekvationer eller system av sådana ekvationer med två eller flera okända med heltalskoefficienter, för vilka heltals eller rationella lösningar söks; antalet okända måste vara större än antalet ekvationer). Dessa ekvationer kallas diofantiska ekvationer. Visserligen var Diophantus, som levde vid sekelskiftet 2-300, huvudsakligen sysselsatt med obestämda ekvationer av högre grader.
Ett system av algebraiska ekvationer, som var och en har formen (1), kallas ett linjärt system. Koefficienterna för de ekvationer som ingår i systemet är vanligtvis numrerade med två index, varav det första är ekvationens nummer och det andra (som i (1)) är numret på det okända. Till exempel skrivs ett ekvationssystem med n okända i formen
$\vänster. \begin(aligned) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))+\ldots+((a)_ (1n))((x)_(n))=((b)_(1)), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_ (22))((x)_(2))+\ldots+((a)_(2n))((x)_(n))=((b)_(2)), \\ ((a) )_(m1))((x)_(1))+((a)_(m2))((x)_(2))+\ldots+((a)_(mn))((x) _(n))=((b)_(m)). \\ \end(justerad) \right\)(2)$
Betrakta ett system av två linjära ekvationer med två okända:
$\vänster. \begin(aligned) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))=((b)_(1) )), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_(22))((x)_(2))=((b)_(2) )), \\ \end(aligned) \right\)(3)$
Låt oss multiplicera den första ekvationen i system (3) med 22 och subtrahera den andra från den resulterande ekvationen, multiplicerad med 12; på samma sätt multiplicerar vi den andra ekvationen i system (3) med 11 och subtraherar den första, multiplicerad med 21, från den resulterande ekvationen. Efter detta får vi systemet:
$\vänster. \begin(aligned) (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 2 = a 11 b 2 -b 1 a 21 , (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 1 = b 1 a 22 - a 12 b 2 , \end(aligned) \right\)(4)$
$\vänster. \begin(aligned) (a_(11)a_(22)−a_(12)a_(21))x_2 = a_(11)b_2−b_1a_(21), \\ (a_(11)a_(22)−a_ (12)a_(21))x_1 = b_1a_(22)−a_(12)b_2, \\ \end(aligned) \right\)(4)$
vilket är en konsekvens av system (3). System (4) kan skrivas i formen
$\vänster. \begin(aligned) Δ⋅x_1=Δ_1, \\ Δ⋅x_2=Δ_2, \\ \end(aligned) \right\)(5)$
där ∆ är determinanten för en matris som består av koefficienterna för systemet (se Determinant), ∆ i är determinanterna för matriser som erhållits från föregående ersättning av den i:te kolumnen med en kolumn med fria termer, i = 1,2 . Vidare, om ∆ ≠ 0, så har system (5) en unik lösning:
x 1 = ∆ 1 /∆, x 2 = ∆ 2 /∆.
Direkt substitution verifierar att detta nummerpar också är en lösning på systemet (3). Med samma regel söker man efter en lösning till ett system av n linjära ekvationer med n okända: om determinanten för systemet ∆ är icke-noll, så har systemet en unik lösning, och
x i = ∆ i /∆
där ∆ i är determinanten för matrisen som erhålls från en matris som består av koefficienterna för systemet genom att ersätta den i:te kolumnen i den med en kolumn med fria termer. Den beskrivna regeln för att lösa linjära system kallas Cramers regel. (G. Cramer - schweizisk matematiker, 1704–1752).
Om ∆ = 0, måste både ∆ 1 och ∆ 2 försvinna (annars har (5), och speciellt (3) inga lösningar). Om villkoret ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = 0 är uppfyllt, om motsvarande koefficienter för de okända och de fria termerna i ekvationen för system (3) är proportionella, kommer systemet att ha oändligt många lösningar; om åtminstone en av koefficienterna för de okända är skild från noll (till exempel om a 12 ≠ 0), så kan x 1 tas som vilken som helst, då
x 2 = b 1 /a 12 − a 11 x 1 /a 12
Det återstår att analysera fallet när systemet har formen
$\vänster. \begin(aligned) 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ \end(aligned) \right\)$
för vilket svaret är uppenbart: om b 1 = b 2 = 0, så är lösningen valfritt talpar, annars finns det inga lösningar.
I det allmänna fallet, för ett system av n ekvationer med n okända för ∆ ≠ 0, har systemet en unik lösning, som, som redan nämnts, kan hittas med Cramers regel. Om ∆ = 0 och minst en av determinanterna ∆ i skiljer sig från noll, är systemet inkonsekvent (det vill säga har inga lösningar). I det fall då ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = ... = ∆ n = 0, kan systemet antingen vara inkonsekvent eller ha oändligt många lösningar. Det är ganska svårt att fastställa vilket av dessa två fall som realiseras med hjälp av determinanter, och vi kommer inte att behandla detta. I praktiken används Cramers regel vanligtvis inte för att lösa linjära system. Oftast används den Gaussiska metoden för dessa ändamål (se Okänt undantag).
Som bekant definierar den linjära ekvationen a 1 x 1 + a 2 x 2 = b en rät linje på planet (x 1 ; x 2) i det fall då åtminstone en av koefficienterna a 1 och a 2 är olika från noll. Om vi tar två linjer på ett plan, så är följande fall möjliga (se figur): 1) linjerna är parallella och har inga gemensamma punkter, och då har systemet inga lösningar; 2) linjerna skär varandra, och då har systemet en lösning; 3) linjerna sammanfaller, och då har systemet oändligt många lösningar. Men två "slumpmässigt" tagna linjer kommer "som regel" att skära varandra, det vill säga som regel kommer ett system med två linjära ekvationer med två variabler att ha en lösning. Vilken punkt som helst på en viss linje på planet motsvarar lösningen av ett "system" (bestående av en ekvation), det vill säga som regel inträffar fall 3 (fall 2 är omöjligt, och fall 1 realiseras om vi tar ekvationen 0 x 1 + 0 x 2 = b, där b ≠ 0, vilket inte definierar en linje i planet). Om vi tar 3 eller fler linjer på ett plan, så kan de, generellt sett, alla sammanfalla eller passera genom en punkt, men som regel inträffar det första fallet - linjerna har inte en gemensam punkt.
Först måste du förstå vad det är.
Det finns en enkel definition linjär ekvation, som ges i en vanlig skola: "en ekvation där variabeln endast förekommer i första potens." Men det är inte helt korrekt: ekvationen är inte linjär, den reducerar inte ens till det, den reducerar till kvadratisk.
En mer exakt definition är: linjär ekvationär en ekvation som använder motsvarande transformationer kan reduceras till formen , där title="a,b i bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}
Faktum är att för att förstå om en ekvation är linjär eller inte, måste den först förenklas, det vill säga bringas till en form där dess klassificering kommer att vara entydig. Kom ihåg att du kan göra vad du vill med en ekvation så länge den inte ändrar sina rötter - det är vad det är. motsvarande konvertering. De enklaste ekvivalenta transformationerna inkluderar:
- öppnande parenteser
- föra liknande
- multiplicera och/eller dividera båda sidorna av en ekvation med ett tal som inte är noll
- addera och/eller subtrahera från båda sidor av samma tal eller uttryck*
*En speciell tolkning av den sista transformationen är "överföringen" av termer från en del till en annan med ett teckenbyte.
Exempel 1:
(låt oss öppna parenteserna)
(lägg till båda delarna och subtrahera/överför genom att ändra talets tecken till vänster och variablerna till höger)
(låt oss ge liknande)
(diva båda sidor av ekvationen med 3)
Så vi får en ekvation som har samma rötter som den ursprungliga. Låt oss påminna läsaren om det "lös ekvationen"- innebär att hitta alla dess rötter och bevisa att det inte finns några andra, och "ekvationens rot"- detta är ett tal som, när det ersätts med det okända, kommer att förvandla ekvationen till en sann likhet. Tja, i den sista ekvationen är det väldigt enkelt att hitta ett tal som förvandlar ekvationen till en sann likhet - det här är talet. Inget annat nummer kommer att göra en identitet från denna ekvation. Svar:
Exempel 2:
(multiplicera båda sidor av ekvationen med 
, efter att ha sett till att vi inte multiplicerar med : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(låt oss öppna parenteserna)
(låt oss flytta villkoren)
(låt oss ge liknande)
(vi delar båda delarna med )
Ungefär så löses alla linjära ekvationer. För yngre läsare verkade den här förklaringen troligen komplicerad, så vi erbjuder en version "linjära ekvationer för årskurs 5"
Lektionens innehållLinjära ekvationer i två variabler
En skolbarn har 200 rubel att äta lunch i skolan. En tårta kostar 25 rubel och en kopp kaffe kostar 10 rubel. Hur många kakor och koppar kaffe kan du köpa för 200 rubel?
Låt oss beteckna antalet kakor med x, och antalet koppar kaffe genom y. Då kommer kostnaden för kakorna att betecknas med uttrycket 25 x, och kostnaden för koppar kaffe i 10 y .
25x — pris x kakor
10y — pris y koppar kaffe
Det totala beloppet bör vara 200 rubel. Då får vi en ekvation med två variabler x Och y
25x+ 10y= 200
Hur många rötter har denna ekvation?
Allt beror på elevens aptit. Om han köper 6 kakor och 5 koppar kaffe, blir rötterna till ekvationen siffrorna 6 och 5.
Värdeparet 6 och 5 sägs vara rötterna till ekvation 25 x+ 10y= 200 . Skrivet som (6; 5), där den första siffran är variabelns värde x, och den andra - värdet på variabeln y .
6 och 5 är inte de enda rötterna som vänder på ekvation 25 x+ 10y= 200 till identitet. Om så önskas, för samma 200 rubel kan en student köpa 4 kakor och 10 koppar kaffe:
I det här fallet, rötterna till ekvation 25 x+ 10y= 200 är ett värdepar (4; 10).
Dessutom kanske en skolbarn inte köper kaffe alls, men köper kakor för hela 200 rubel. Sedan rötterna till ekvation 25 x+ 10y= 200 kommer att vara värdena 8 och 0
Eller vice versa, köp inte kakor, utan köp kaffe för hela 200 rubel. Sedan rötterna till ekvation 25 x+ 10y= 200 blir värdena 0 och 20
Låt oss försöka lista alla möjliga rötter till ekvation 25 x+ 10y= 200 . Låt oss komma överens om att värdena x Och y tillhör mängden heltal. Och låt dessa värden vara större än eller lika med noll:
x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Detta kommer att vara bekvämt för studenten själv. Det är bekvämare att köpa hela kakor än till exempel flera hela kakor och en halv kaka. Det är också bekvämare att ta kaffe i hela koppar än till exempel flera hela koppar och en halv kopp.
Observera att för udda x det är omöjligt att uppnå jämlikhet under några omständigheter y. Sedan värdena x följande siffror blir 0, 2, 4, 6, 8. Och att veta x kan lätt bestämmas y
Således fick vi följande värdepar (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Dessa par är lösningar eller rötter till ekvation 25 x+ 10y= 200. De gör denna ekvation till en identitet.
Formens ekvation axe + by = c kallad linjär ekvation med två variabler. Lösningen eller rötterna till denna ekvation är ett par värden ( x; y), vilket gör det till identitet.
Observera också att om en linjär ekvation med två variabler skrivs i formen ax + b y = c , då säger de att det är inskrivet kanonisk(normal) form.
Vissa linjära ekvationer i två variabler kan reduceras till kanonisk form.
Till exempel ekvationen 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) kan man komma ihåg axe + by = c. Låt oss öppna parenteserna på båda sidor av denna ekvation och få 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Vi grupperar termer som innehåller okända på vänster sida av ekvationen och termer fria från okända - till höger. Då får vi 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Vi presenterar liknande termer på båda sidor, vi får ekvation 16 x+ 8y= 32. Denna ekvation reduceras till formen axe + by = c och är kanonisk.
Ekvation 25 diskuterades tidigare x+ 10y= 200 är också en linjär ekvation med två variabler i kanonisk form. I denna ekvation parametrarna a , b Och cär lika med värdena 25, 10 respektive 200.
Egentligen ekvationen axe + by = c har otaliga lösningar. Lösa ekvationen 25x+ 10y= 200, vi letade efter dess rötter endast på mängden heltal. Som ett resultat fick vi flera värdepar som gjorde denna ekvation till en identitet. Men på uppsättningen av rationella tal, ekvation 25 x+ 10y= 200 kommer att ha oändligt många lösningar.
För att få nya värdepar måste du ta ett godtyckligt värde för x, uttryck sedan y. Låt oss till exempel ta för variabeln x värde 7. Då får vi en ekvation med en variabel 25×7 + 10y= 200 där man kan uttrycka sig y
Låta x= 15. Sedan ekvationen 25x+ 10y= 200 blir 25 × 15 + 10y= 200. Härifrån finner vi det y = −17,5
Låta x= −3 . Sedan ekvationen 25x+ 10y= 200 blir 25 × (−3) + 10y= 200. Härifrån finner vi det y = −27,5
System av två linjära ekvationer med två variabler
För ekvationen axe + by = c du kan ta godtyckliga värden så många gånger du vill x och hitta värden för y. Separat kommer en sådan ekvation att ha otaliga lösningar.
Men det händer också att variablerna x Och y inte sammankopplade med en, utan av två ekvationer. I detta fall bildar de den så kallade system av linjära ekvationer i två variabler. Ett sådant ekvationssystem kan ha ett par värden (eller med andra ord: "en lösning").
Det kan också hända att systemet inte har några lösningar alls. Ett system av linjära ekvationer kan ha otaliga lösningar i sällsynta och exceptionella fall.
Två linjära ekvationer bildar ett system när värdena x Och y gå in i var och en av dessa ekvationer.
Låt oss gå tillbaka till den allra första ekvationen 25 x+ 10y= 200 . Ett av värdeparen för denna ekvation var paret (6; 5) . Detta är ett fall när du för 200 rubel kunde köpa 6 kakor och 5 koppar kaffe.
Låt oss formulera problemet så att paret (6; 5) blir den enda lösningen för ekvation 25 x+ 10y= 200 . För att göra detta, låt oss skapa en annan ekvation som skulle ansluta detsamma x kakor och y koppar kaffe.
Låt oss ange texten till problemet enligt följande:
”Eleven köpte flera kakor och flera koppar kaffe för 200 rubel. En tårta kostar 25 rubel och en kopp kaffe kostar 10 rubel. Hur många kakor och koppar kaffe köpte eleven om man vet att antalet kakor är en enhet större än antalet koppar kaffe?
Vi har redan den första ekvationen. Detta är ekvation 25 x+ 10y= 200 . Låt oss nu skapa en ekvation för villkoret "Antalet kakor är en enhet större än antalet koppar kaffe" .
Antalet kakor är x, och antalet koppar kaffe är y. Du kan skriva denna fras med hjälp av ekvationen x−y= 1. Denna ekvation kommer att betyda att skillnaden mellan kakor och kaffe är 1.
x = y+ 1 . Denna ekvation betyder att antalet kakor är en fler än antalet koppar kaffe. För att uppnå jämlikhet läggs därför en till antalet koppar kaffe. Detta kan lätt förstås om vi använder den modell av skalor som vi övervägde när vi studerade de enklaste problemen:
Vi har två ekvationer: 25 x+ 10y= 200 och x = y+ 1. Eftersom värdena x Och y 6 och 5 ingår i var och en av dessa ekvationer, sedan bildar de tillsammans ett system. Låt oss skriva ner detta system. Om ekvationerna bildar ett system, ramas de in av systemtecknet. Systemsymbolen är ett lockigt hängslen:
Låt oss lösa det här systemet. Detta gör att vi kan se hur vi kommer fram till värdena 6 och 5. Det finns många metoder för att lösa sådana system. Låt oss titta på de mest populära av dem.
Substitutionsmetod
Namnet på denna metod talar för sig själv. Dess essens är att ersätta en ekvation med en annan, efter att tidigare ha uttryckt en av variablerna.
I vårt system behöver inget uttryckas. I den andra ekvationen x = y+ 1 variabel x redan uttryckt. Denna variabel är lika med uttrycket y+ 1 . Då kan du ersätta detta uttryck i den första ekvationen istället för variabeln x
Efter att ha ersatt uttrycket y+ 1 i den första ekvationen istället x, får vi ekvationen 25(y+ 1) + 10y= 200 . Detta är en linjär ekvation med en variabel. Denna ekvation är ganska lätt att lösa:
Vi hittade värdet på variabeln y. Låt oss nu ersätta detta värde i en av ekvationerna och hitta värdet x. För detta är det bekvämt att använda den andra ekvationen x = y+ 1 . Låt oss ersätta värdet i det y
Det betyder att paret (6; 5) är en lösning på ekvationssystemet, som vi tänkt oss. Vi kontrollerar och ser till att paret (6; 5) uppfyller systemet:
Exempel 2
Låt oss ersätta den första ekvationen x= 2 + y in i den andra ekvationen 3 x− 2y= 9. I den första ekvationen variabeln x lika med uttrycket 2+ y. Låt oss ersätta detta uttryck i den andra ekvationen istället för x
Låt oss nu hitta värdet x. För att göra detta, låt oss ersätta värdet y in i den första ekvationen x= 2 + y
Det betyder att lösningen till systemet är parvärdet (5; 3)
Exempel 3. Lös följande ekvationssystem med hjälp av substitutionsmetoden:
Här, till skillnad från tidigare exempel, uttrycks inte en av variablerna explicit.
För att ersätta en ekvation med en annan behöver du först .
Det är tillrådligt att uttrycka variabeln som har koefficienten ett. Variabeln har en koefficient på ett x, som ingår i den första ekvationen x+ 2y= 11. Låt oss uttrycka denna variabel.
Efter variabelt uttryck x, kommer vårt system att ha följande form:
Låt oss nu ersätta den första ekvationen med den andra och hitta värdet y
Låt oss ersätta y x
Det betyder att lösningen till systemet är ett par värden (3; 4)
Naturligtvis kan du också uttrycka en variabel y. Detta kommer inte att förändra rötterna. Men om du uttrycker y, Resultatet är inte en väldigt enkel ekvation, som kommer att ta längre tid att lösa. Det kommer att se ut så här:
Vi ser att i detta exempel uttrycker vi x mycket bekvämare än att uttrycka sig y .
Exempel 4. Lös följande ekvationssystem med hjälp av substitutionsmetoden:
Låt oss uttrycka i den första ekvationen x. Då kommer systemet att ta formen:
y
Låt oss ersätta y in i den första ekvationen och hitta x. Du kan använda den ursprungliga ekvationen 7 x+ 9y= 8, eller använd ekvationen där variabeln uttrycks x. Vi kommer att använda denna ekvation eftersom det är bekvämt:
Det betyder att lösningen till systemet är ett par värden (5; −3)
Tilläggsmetod
Adderingsmetoden består i att addera ekvationerna som ingår i systemet term för term. Detta tillägg resulterar i en ny ekvation med en variabel. Och att lösa en sådan ekvation är ganska enkelt.
Låt oss lösa följande ekvationssystem:
Låt oss lägga till den vänstra sidan av den första ekvationen med den vänstra sidan av den andra ekvationen. Och den högra sidan av den första ekvationen med den högra sidan av den andra ekvationen. Vi får följande jämställdhet:
Låt oss titta på liknande termer:
Som ett resultat fick vi den enklaste ekvationen 3 x= 27 vars rot är 9. Att känna till värdet x du kan hitta värdet y. Låt oss ersätta värdet x in i den andra ekvationen x−y= 3 . Vi får 9 − y= 3 . Härifrån y= 6 .
Det betyder att lösningen till systemet är ett par värden (9; 6)
Exempel 2
Låt oss lägga till den vänstra sidan av den första ekvationen med den vänstra sidan av den andra ekvationen. Och den högra sidan av den första ekvationen med den högra sidan av den andra ekvationen. I den resulterande jämlikheten presenterar vi liknande termer:
Som ett resultat fick vi den enklaste ekvationen 5 x= 20, vars rot är 4. Att känna till värdet x du kan hitta värdet y. Låt oss ersätta värdet x in i den första ekvationen 2 x+y= 11. Låt oss få 8+ y= 11. Härifrån y= 3 .
Det betyder att lösningen till systemet är ett par värden (4;3)
Tilläggsprocessen beskrivs inte i detalj. Det måste göras mentalt. Vid addering måste båda ekvationerna reduceras till kanonisk form. Det vill säga ac + by = c .
Av de övervägda exemplen är det tydligt att huvudsyftet med att lägga till ekvationer är att bli av med en av variablerna. Men det är inte alltid möjligt att omedelbart lösa ett ekvationssystem med hjälp av additionsmetoden. Oftast bringas systemet först till en form där de ekvationer som ingår i detta system kan läggas till.
Till exempel systemet 
kan lösas omedelbart med hjälp av additionsmetoden. När man lägger till båda ekvationerna, termerna y Och −y kommer att försvinna eftersom deras summa är noll. Som ett resultat bildas den enklaste ekvationen 11 x= 22, vars rot är 2. Det kommer då att vara möjligt att bestämma y lika med 5.
Och ekvationssystemet 
Adderingsmetoden kan inte lösas omedelbart, eftersom detta inte kommer att leda till att en av variablerna försvinner. Addition kommer att resultera i ekvation 8 x+ y= 28, som har ett oändligt antal lösningar.
Om båda sidor av ekvationen multipliceras eller divideras med samma tal, inte lika med noll, får du en ekvation som motsvarar den givna. Denna regel gäller också för ett system av linjära ekvationer med två variabler. En av ekvationerna (eller båda ekvationerna) kan multipliceras med valfritt tal. Resultatet kommer att bli ett likvärdigt system, vars rötter kommer att sammanfalla med det föregående.
Låt oss återgå till det allra första systemet, som beskrev hur många kakor och koppar kaffe en skolbarn köpte. Lösningen på detta system var ett par värden (6; 5).
Låt oss multiplicera båda ekvationerna som ingår i detta system med några tal. Låt oss säga att vi multiplicerar den första ekvationen med 2 och den andra med 3
Som ett resultat fick vi ett system 
Lösningen på detta system är fortfarande värdeparet (6; 5)
Detta innebär att de ekvationer som ingår i systemet kan reduceras till en form som lämpar sig för att tillämpa additionsmetoden.
Låt oss återgå till systemet , som vi inte kunde lösa med additionsmetoden.
Multiplicera den första ekvationen med 6 och den andra med −2
Då får vi följande system:
Låt oss lägga ihop ekvationerna som ingår i detta system. Lägga till komponenter 12 x och -12 x kommer att resultera i 0, tillägg 18 y och 4 y kommer att ge 22 y, och att lägga till 108 och −20 ger 88. Då får vi ekvation 22 y= 88, härifrån y = 4 .
Om det till en början är svårt att lägga till ekvationer i ditt huvud kan du skriva ner hur den vänstra sidan av den första ekvationen stämmer överens med den vänstra sidan av den andra ekvationen, och den högra sidan av den första ekvationen med den högra sidan av ekvationen. andra ekvationen:
Att veta att värdet av variabeln yär lika med 4 kan du hitta värdet x. Låt oss ersätta y in i en av ekvationerna, till exempel i den första ekvationen 2 x+ 3y= 18. Då får vi en ekvation med en variabel 2 x+ 12 = 18. Låt oss flytta 12 till höger sida, ändra tecknet, vi får 2 x= 6, härifrån x = 3 .
Exempel 4. Lös följande ekvationssystem med hjälp av additionsmetoden:
Låt oss multiplicera den andra ekvationen med −1. Då kommer systemet att ha följande form:
Låt oss lägga till båda ekvationerna. Lägger till komponenter x Och −x kommer att resultera i 0, tillägg 5 y och 3 y kommer att ge 8 y, och att lägga till 7 och 1 ger 8. Resultatet är ekvation 8 y= 8 vars rot är 1. Att veta att värdet yär lika med 1 kan du hitta värdet x .
Låt oss ersätta y in i den första ekvationen får vi x+ 5 = 7, alltså x= 2
Exempel 5. Lös följande ekvationssystem med hjälp av additionsmetoden:
Det är önskvärt att termer som innehåller samma variabler placeras under varandra. Därför, i den andra ekvationen, termerna 5 y och −2 x Låt oss byta plats. Som ett resultat kommer systemet att ta formen:
Låt oss multiplicera den andra ekvationen med 3. Då kommer systemet att ta formen:
Låt oss nu lägga till båda ekvationerna. Som ett resultat av addition får vi ekvation 8 y= 16, vars rot är 2.
Låt oss ersätta y i den första ekvationen får vi 6 x− 14 = 40. Låt oss flytta termen −14 till höger sida, ändra tecknet och få 6 x= 54 . Härifrån x= 9.
Exempel 6. Lös följande ekvationssystem med hjälp av additionsmetoden:
Låt oss bli av med bråk. Multiplicera den första ekvationen med 36 och den andra med 12
I det resulterande systemet 
den första ekvationen kan multipliceras med −5 och den andra med 8
Låt oss lägga ihop ekvationerna i det resulterande systemet. Då får vi den enklaste ekvationen −13 y= −156 . Härifrån y= 12. Låt oss ersätta y in i den första ekvationen och hitta x
Exempel 7. Lös följande ekvationssystem med hjälp av additionsmetoden:
Låt oss föra båda ekvationerna till normal form. Här är det bekvämt att tillämpa proportionsregeln i båda ekvationerna. Om i den första ekvationen den högra sidan representeras som , och den högra sidan av den andra ekvationen som , kommer systemet att ta formen:
Vi har en proportion. Låt oss multiplicera dess extrema och mellantermer. Då kommer systemet att ta formen:
Låt oss multiplicera den första ekvationen med −3 och öppna parenteserna i den andra:
Låt oss nu lägga till båda ekvationerna. Som ett resultat av att addera dessa ekvationer får vi en likhet med noll på båda sidor:
Det visar sig att systemet har otaliga lösningar.
Men vi kan inte bara ta godtyckliga värden från himlen för x Och y. Vi kan ange ett av värdena, och det andra kommer att bestämmas beroende på värdet vi anger. Till exempel, låt x= 2 . Låt oss ersätta detta värde i systemet:
Som ett resultat av att lösa en av ekvationerna, värdet för y, vilket kommer att uppfylla båda ekvationerna:
Det resulterande värdeparet (2; −2) kommer att uppfylla systemet:
Låt oss hitta ett annat värdepar. Låta x= 4. Låt oss ersätta detta värde i systemet:
Du kan se på ögat att värdet yär lika med noll. Då får vi ett par värden (4; 0) som uppfyller vårt system:
Exempel 8. Lös följande ekvationssystem med hjälp av additionsmetoden:
Multiplicera den första ekvationen med 6 och den andra med 12
Låt oss skriva om det som är kvar:
Låt oss multiplicera den första ekvationen med −1. Då kommer systemet att ta formen:
Låt oss nu lägga till båda ekvationerna. Som ett resultat av addition bildas ekvation 6 b= 48, vars rot är 8. Ersättare b in i den första ekvationen och hitta a
System av linjära ekvationer med tre variabler
En linjär ekvation med tre variabler inkluderar tre variabler med koefficienter, samt en skärningsterm. I kanonisk form kan det skrivas så här:
axe + by + cz = d
Denna ekvation har otaliga lösningar. Genom att ge två variabler olika värden kan ett tredje värde hittas. Lösningen i det här fallet är en trippel av värden ( x; y; z) som gör ekvationen till en identitet.
Om variablerna x, y, zär sammankopplade av tre ekvationer, då bildas ett system av tre linjära ekvationer med tre variabler. För att lösa ett sådant system kan man använda samma metoder som gäller för linjära ekvationer med två variabler: substitutionsmetoden och additionsmetoden.
Exempel 1. Lös följande ekvationssystem med hjälp av substitutionsmetoden:
Låt oss uttrycka i den tredje ekvationen x. Då kommer systemet att ta formen:
Låt oss nu göra bytet. Variabel xär lika med uttrycket 3 − 2y − 2z . Låt oss ersätta detta uttryck i de första och andra ekvationerna:
Låt oss öppna parenteserna i båda ekvationerna och presentera liknande termer:
Vi har kommit fram till ett system av linjära ekvationer med två variabler. I det här fallet är det bekvämt att använda tilläggsmetoden. Som ett resultat, variabeln y kommer att försvinna och vi kan hitta värdet på variabeln z
Låt oss nu hitta värdet y. För att göra detta är det bekvämt att använda ekvationen − y+ z= 4. Ersätt värdet i det z
Låt oss nu hitta värdet x. För att göra detta är det bekvämt att använda ekvationen x= 3 − 2y − 2z . Låt oss byta ut värdena i det y Och z
Således är trippeln av värden (3; −2; 2) en lösning på vårt system. Genom att kontrollera ser vi till att dessa värden uppfyller systemet:
Exempel 2. Lös systemet med additionsmetoden
Låt oss addera den första ekvationen med den andra, multiplicerad med −2.
Om den andra ekvationen multipliceras med −2 tar den formen −6x+ 6y − 4z = −4 . Låt oss nu lägga till det i den första ekvationen:
Vi ser att som ett resultat av elementära transformationer bestämdes variabelns värde x. Det är lika med ett.
Låt oss återgå till huvudsystemet. Låt oss addera den andra ekvationen med den tredje, multiplicerad med −1. Om den tredje ekvationen multipliceras med −1 tar den formen −4x + 5y − 2z = −1 . Låt oss nu lägga till det till den andra ekvationen:
Vi har ekvationen x− 2y= −1 . Låt oss ersätta värdet i det x som vi hittade tidigare. Sedan kan vi bestämma värdet y
Nu vet vi innebörden x Och y. Detta låter dig bestämma värdet z. Låt oss använda en av ekvationerna som ingår i systemet:
Således är trippeln av värden (1; 1; 1) lösningen på vårt system. Genom att kontrollera ser vi till att dessa värden uppfyller systemet:
Problem med att komponera system av linjära ekvationer
Uppgiften att komponera ekvationssystem löses genom att ange flera variabler. Därefter sammanställs ekvationer baserat på villkoren för problemet. Från de sammanställda ekvationerna bildar de ett system och löser det. Efter att ha löst systemet är det nödvändigt att kontrollera om dess lösning uppfyller villkoren för problemet.
Problem 1. En Volgabil körde ut ur staden till kollektivgården. Hon gick tillbaka längs en annan väg, som var 5 km kortare än den första. Totalt färdades bilen 35 km tur och retur. Hur många kilometer är längden på varje väg?
Lösning
Låta x — längden på den första vägen, y- längden på den andra. Om bilen reste 35 km tur och retur kan den första ekvationen skrivas som x+ y= 35. Denna ekvation beskriver summan av längderna på båda vägarna.
Det sägs att bilen kom tillbaka längs en väg som var 5 km kortare än den första. Då kan den andra ekvationen skrivas som x− y= 5. Denna ekvation visar att skillnaden mellan väglängderna är 5 km.
Eller den andra ekvationen kan skrivas som x= y+ 5. Vi kommer att använda denna ekvation.
Eftersom variablerna x Och y i båda ekvationerna betecknar samma tal, då kan vi bilda ett system från dem:
Låt oss lösa detta system med några av de tidigare studerade metoderna. I det här fallet är det bekvämt att använda substitutionsmetoden, eftersom variabeln i den andra ekvationen x redan uttryckt.
Ersätt den andra ekvationen med den första och hitta y
Låt oss ersätta det hittade värdet y i den andra ekvationen x= y+ 5 så hittar vi x
Längden på den första vägen indikerades genom variabeln x. Nu har vi hittat dess mening. Variabel xär lika med 20. Det betyder att längden på den första vägen är 20 km.
Och längden på den andra vägen indikerades av y. Värdet på denna variabel är 15. Det betyder att den andra vägens längd är 15 km.
Låt oss kolla. Låt oss först se till att systemet är löst korrekt:
Låt oss nu kontrollera om lösningen (20; 15) uppfyller villkoren för problemet.
Det sades att bilen åkte totalt 35 km tur och retur. Vi lägger till längderna på båda vägarna och ser till att lösningen (20; 15) uppfyller detta villkor: 20 km + 15 km = 35 km
Följande villkor: bilen återvände längs en annan väg, som var 5 km kortare än den första . Vi ser att lösningen (20; 15) också uppfyller detta villkor, eftersom 15 km är kortare än 20 km gånger 5 km: 20 km − 15 km = 5 km
När man komponerar ett system är det viktigt att variablerna representerar samma tal i alla ekvationer som ingår i detta system.
Så vårt system innehåller två ekvationer. Dessa ekvationer innehåller i sin tur variabler x Och y, som representerar samma tal i båda ekvationerna, nämligen väglängder på 20 km och 15 km.
Problem 2. Ek- och tallslipers lastades på plattformen, totalt 300 slipers. Det är känt att alla eksliprar vägde 1 ton mindre än alla tallsliprar. Bestäm hur många ek- och tallsliprar det fanns separat, om varje eksliper vägde 46 kg och varje tallsliper 28 kg.
Lösning
Låta x ek och y tallslipers lastades på plattformen. Om det fanns 300 sliprar totalt, så kan den första ekvationen skrivas som x+y = 300 .
Alla eksliprar vägde 46 x kg, och tallarna vägde 28 y kg. Eftersom ekslipers vägde 1 ton mindre än tallslipers, kan den andra ekvationen skrivas som 28y − 46x= 1000 . Denna ekvation visar att skillnaden i massa mellan ek- och tallslipers är 1000 kg.
Ton omvandlades till kilogram eftersom massan av ek- och tallslipers mättes i kilogram.
Som ett resultat får vi två ekvationer som bildar systemet
Låt oss lösa det här systemet. Låt oss uttrycka i den första ekvationen x. Då kommer systemet att ta formen:
Byt ut den första ekvationen med den andra och hitta y
Låt oss ersätta y in i ekvationen x= 300 − y och ta reda på vad det är x
Det betyder att 100 ek- och 200 tallsliprar lastades på plattformen.
Låt oss kontrollera om lösningen (100; 200) uppfyller villkoren för problemet. Låt oss först se till att systemet är löst korrekt:
Det sades att det fanns 300 sliprar totalt. Vi summerar antalet ek- och tallsliprar och ser till att lösningen (100; 200) uppfyller detta villkor: 100 + 200 = 300.
Följande villkor: alla eksliprar vägde 1 ton mindre än alla tallsliprar . Vi ser att lösningen (100; 200) också uppfyller detta villkor, eftersom 46 × 100 kg ekslipers är lättare än 28 × 200 kg tallslipers: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.
Problem 3. Vi tog tre stycken koppar-nickellegeringar i viktförhållandena 2: 1, 3: 1 och 5: 1. En bit som vägde 12 kg smältes från dem med ett förhållande mellan koppar och nickelhalt på 4:1. Hitta massan för varje originaldel om massan på den första är dubbelt så stor som den andra.
