Symmetrins många ansikten i världen omkring oss. Som ett resultat av arbetet ställde vi oss följande frågor: Varför behöver vi känna till symmetri, var i världen omkring oss förekommer det? Symmetrins roll i kunskapen om naturen

III vetenskaplig och praktisk konferens för skolbarn

Dovolensky-distriktet

Symmetri finns runt omkring oss

Sobolev Roman kommunala utbildningsinstitution gymnasieskola nr 2, årskurs 10, byn Dovolnoye, Dovolensky-distriktet

Vetenskaplig rådgivare:

Dobrenkaya Galina Vasilievna,

matematiklärare av den första examenskategorin

Kontakttelefon: 22-377

S. Nöjd, 2010

Innehållsförteckning:

1. Inledning 3-4

2. Symmetribegreppet. Typer av symmetri i geometri.

4-8

3. Människan är en symmetrisk varelse 8-9

4. Perfekt symmetri är tråkigt 9-10

5. Varför världen omkring oss är vacker. 10-14

6. Referenser 15

1. INTRODUKTION

Detta abstrakt ägnas åt ett sådant koncept inom modern naturvetenskap som SYMMETRI. Ledmotivet i hela abstraktet är begreppet symmetrispel (

det finns en åsikt) ledande, men inte alltid medveten, roll i modern vetenskap, konst, teknik och livet omkring oss. Symmetri genomsyrar bokstavligen allt runt omkring och fångar till synes helt oväntade områden och föremål. Det är lämpligt att här citera uttalandet av J. Newman, som särskilt framgångsrikt betonade symmetrins allomfattande och allestädes närvarande manifestationer: "Symmetri etablerar en rolig och överraskande affinitet mellan objekt, fenomen och teorier..."

En verkligt omfattande litteratur ägnas åt problemet med symmetri.

I Concise Oxford Dictionary definieras symmetri som "skönhet på grund av proportionaliteten av kroppens delar eller någon helhet, balans, likhet, harmoni, konsistens" (termen "symmetri" i sig på grekiska betyder "proportionalitet", vilket forntida filosofer förstås som ett specialfall av harmoni - samordning av delar inom helheten).

Vi är mycket bekanta med ordet symmetri. Förmodligen, när vi uttalar det, kommer vi ihåg en fjäril eller ett lönnlöv, där vi mentalt kan rita en rak axel och delarna som kommer att ligga på olika sidor av denna raka linje kommer att vara nästan identiska. (Bild 3) Vi möter symmetri överallt. Begreppet symmetri går igenom hela den mänskliga kreativitetens månghundraåriga historia. Den finns redan vid ursprunget till mänsklig kunskap; det används i stor utsträckning av alla områden inom modern vetenskap utan undantag.

Symmetriprinciperna spelar en viktig roll inom fysik och matematik, kemi och biologi, teknik och arkitektur, måleri och skulptur, poesi och musik. Naturlagarna som styr den outtömliga bilden av fenomen i deras mångfald är i sin tur underkastade symmetriprinciperna.

2. Vad är symmetri?

Proportionalitet, likhet i arrangemanget av delar av något på motsatta sidor av en punkt, rät linje eller plan.

i geometri - egenskapen hos geometriska figurer.

proportionalitet, proportionalitet, lika (eller olika) likhet, enhetlighet, likvärdighet, överensstämmelse, likhet; likhet, eller proportionell likhet i arrangemanget av delar av en helhet, två halvor; förståelse, överensstämmelse; motjämställdhet, kontrast.

Pythagoras och hans elever ägnade stor uppmärksamhet åt symmetri. Baserat på läran om siffror gav pytagoreerna den första matematiska tolkningen av harmoni, symmetri, som inte har förlorat sin mening till denna dag. Pythagoras och hans skolas åsikter utvecklades vidare i Platons kunskapslära. Av särskilt intresse är Platons syn på världens struktur, som enligt honom består av regelbundna polygoner med perfekt symmetri.

Typer av symmetri:

Huvudtyperna av symmetri är: symmetri kring en punkt (central symmetri), symmetri kring en axel (axiell symmetri), rotation kring en given punkt, parallell translation och spegelsymmetri.

Det har noterats att när vissa transformationer utförs på geometriska figurer, kommer deras delar, efter att ha flyttats till en ny position, återigen att bilda den ursprungliga figuren. Till exempel, om vi ritar en rät linje genom höjden av en likbent triangel till basen och byter ut delar av triangeln som ligger på motsatta sidor av denna räta linje, kommer vi att få samma (i form och storlek) likbent triangel .

Axialsymmetri är en kartläggning av planet på sig själv i förhållande till någon rät linje, som är symmetriaxeln. Axialsymmetri är en rörelse eftersom den bevarar avståndet mellan punkter. Men det håller inte riktningen. (Glida

Rotation är en rörelse runt en punkt med en vinkel α, där punkten förblir, och alla andra roterar runt den i en given riktning med en vinkel α. (Bild 5)

En femuddig stjärna, när den roteras i en vinkel på 72 grader runt den centrala punkten (skärningspunkten för dess strålar), kommer att ta sin ursprungliga position.

I växtvärlden finns också rotationssymmetri. Ta en kamomillblomma i handen. Kombinationen av olika delar av blomman uppstår om de roteras runt stjälken (Bild 6).

Exemplen som ges diskuterar olika typer av symmetri. I det första fallet talar vi om axiell symmetri. Delarna, som så att säga ersätta varandra, bildas av en viss rät linje. Denna linje brukar kallas symmetriaxeln. I rymden är analogen till symmetriaxeln symmetriplanet. Om du ritar ett plan i en kub parallellt med sidoytorna och passerar genom skärningspunkten för kubens diagonaler, kommer sidoytorna att vara symmetriska med avseende på detta plan. Eller planet som innehåller diagonalerna för sidoytorna kommer att vara ett symmetriplan för delar som är belägna på motsatta sidor av detta plan.

Med hänsyn till båda fallen (plan och rymd) kallas denna typ av symmetri ibland spegelsymmetri. Detta namn motiveras av det faktum att båda delarna av figuren, belägna på motsatta sidor av symmetriaxeln eller symmetriplanet, liknar något objekt och dess reflektion i spegeln. Observera att du också kan stöta på ett annat namn för denna typ av symmetri. Till exempel, inom biologi kallas denna typ av symmetri bilateralt, och symmetriplanet kallas ett bilateralt plan.

En annan typ av symmetri som vi inte har pratat om ännu är överföringssymmetri. Denna typ av symmetri består i det faktum att delar av hela formen är organiserade på ett sådant sätt att varje nästa upprepar den föregående och skiljs från den med ett visst intervall i en viss riktning. Detta intervall kallas symmetristeget. (Bild 7)

Bärbar symmetri används vanligtvis vid konstruktion av gränser (Bild 8). I arkitektoniska konstverk kan det ses i ornament eller galler som används för att dekorera dem. Bärbar symmetri används också i interiörer av byggnader.

Prydnad

3. Människan är en symmetrisk varelse

Låt oss för närvarande inte ta reda på om en absolut symmetrisk person faktiskt existerar. Alla kommer naturligtvis att ha en mullvad, en hårstrå eller någon annan detalj som bryter den yttre symmetrin. Det vänstra ögat är aldrig exakt detsamma som det högra, och mungiporna är på olika höjd, åtminstone för de flesta.

Ändå är detta bara mindre inkonsekvenser. Ingen kommer att tvivla på att en person utåt är symmetriskt byggd: vänster hand motsvarar alltid höger och båda händerna är exakt likadana!

MEN! Det är värt att stanna här. Om våra händer verkligen var exakt likadana skulle vi kunna byta dem när som helst. Det skulle vara möjligt, säg, genom transplantation att transplantera vänster handflata på höger hand, eller, enklare, vänstra handsken skulle då passa höger hand, men så är faktiskt inte fallet.

Alla vet att likheten mellan våra händer, öron, ögon och andra delar av kroppen är densamma som mellan ett föremål och dess reflektion i en spegel.

Många konstnärer ägnade stor uppmärksamhet åt människokroppens symmetri och proportioner, åtminstone så länge de styrdes av viljan att följa naturen så nära som möjligt i sina verk. De proportioner som Albrecht Durer och Leonardo da Vinci sammanställt är kända. Enligt dessa kanoner är människokroppen inte bara symmetrisk utan också proportionell.

Huvudets storlek är proportionell inte bara mot kroppens längd, utan också till storleken på andra delar av kroppen. Alla människor är byggda på denna princip, varför vi i allmänhet är lika varandra. Men våra proportioner är bara ungefär konsekventa, och därför är människor bara lika, men inte lika. Symmetriska är vi alla i alla fall! Dessutom framhåller vissa konstnärer särskilt denna symmetri i sina verk.

4. Perfekt symmetri är tråkigt.

Och i kläder försöker en person som regel också behålla intrycket av symmetri: höger ärm motsvarar vänster, höger byxben motsvarar vänster.

Knapparna på jackan och på skjortan sitter exakt i mitten, och om de rör sig bort från den, då på symmetriska avstånd.

Komplett felfri symmetri skulle se outhärdligt tråkigt ut. Det är små avvikelser från den som ger karakteristiska, individuella drag. För att göra detta, använd asymmetri och dissymmetri

Men mot bakgrunden av denna allmänna symmetri tillåter vi medvetet asymmetri i små detaljer - det här är en fullständig brist på symmetri, till exempel att kamma vårt hår i en sidodel - till vänster eller till höger. Eller, säg, placera en asymmetrisk ficka på bröstet på en kostym. Eller att sätta en ring på ringfingret på endast en hand. Beställningar och märken bärs endast på ena sidan av bröstet (vanligtvis till vänster).

Dissymmetri är en partiell brist på symmetri, en störning av symmetri, uttryckt i närvaro av vissa symmetriska egenskaper och frånvaro av andra.

Och samtidigt försöker en person ibland betona och stärka skillnaden mellan vänster och höger. Under medeltiden bar män en gång byxor med ben i olika färger (till exempel en röd och den andra svart eller vit). I inte så avlägsna dagar var jeans med ljusa fläckar eller färgade fläckar populära. Men sådant mode är alltid kortlivat. Endast taktfulla, blygsamma avvikelser från symmetri finns kvar under lång tid.

5. Varför är världen omkring oss vacker?

Symmetri används ofta inom arkitektur.

Arkitektoniska strukturer skapade av människan är till största delen symmetriska. De är tilltalande för ögat och folk anser dem vara vackra. Vad är detta kopplat till? Här kan vi bara göra antaganden.
För det första lever du och jag alla i en symmetrisk värld, som bestäms av livsvillkoren på planeten Jorden, i första hand av gravitationen som finns här. Och troligtvis förstår en person undermedvetet att symmetri är en form av stabilitet och därför existens på vår planet. Därför strävar han intuitivt efter symmetri i konstgjorda saker.
För det andra är människorna, växterna, djuren och sakerna runt omkring oss symmetriska. Men vid närmare granskning visar det sig att naturliga föremål (i motsats till konstgjorda) bara är nästan symmetriska. Men detta uppfattas inte alltid av det mänskliga ögat. Det mänskliga ögat vänjer sig vid att se symmetriska föremål. De upplevs som harmoniska och perfekta.
Symmetri uppfattas av en person som en manifestation av regelbundenhet, och därför intern ordning. Externt uppfattas denna inre ordning som skönhet.
Symmetriska objekt har en hög grad av ändamålsenlighet - trots allt har symmetriska objekt större stabilitet och likvärdig funktionalitet åt olika håll. Allt detta ledde en person till idén att för att en struktur ska vara vacker måste den vara symmetrisk. Symmetri användes vid konstruktionen av religiösa och inhemska byggnader i det antika Egypten. Utsmyckningarna av dessa byggnader representerar också exempel på användningen av symmetri. Men symmetri manifesteras tydligast i antikens Greklands gamla byggnader (bild 16-17), lyxartiklar och prydnadsföremål som dekorerade dem. Från då till idag har symmetri i det mänskliga sinnet blivit ett objektivt tecken på skönhet.
Att upprätthålla symmetri är den första regeln för en arkitekt när man designar en struktur. Man behöver bara titta på A.N Voronikhins storslagna verk, Kazan-katedralen i St. Petersburg, för att övertygas om detta.
Om vi ​​mentalt drar en vertikal linje genom spiran på kupolen och toppen av frontonen, kommer vi att se att det på båda sidor av den finns helt identiska delar av strukturen (kolonnader och katedralbyggnader (Bild 18) Men det är möjligt att du inte vet vad som finns i Kazan-katedralen finns det ytterligare en, så att säga, "misslyckad" symmetri.

Faktum är att, enligt den ortodoxa kyrkans kanoner, bör ingången till katedralen vara från öster, d.v.s. det ska vara från gatan, som ligger till höger om katedralen och går vinkelrätt mot Nevskij Prospekt. Men å andra sidan förstod Voronikhin att katedralen borde vara vänd mot stadens huvudväg. Och så gjorde han entré till katedralen från öster, men planerade en annan entré, som han dekorerade med en vacker pelargång. För att göra byggnaden perfekt, och därför symmetrisk, måste samma pelargång placeras på andra sidan katedralen. Sedan, om vi tittade på katedralen från ovan, skulle dess plan inte ha en, utan två symmetriaxlar. Men arkitektens planer var inte avsedda att gå i uppfyllelse.

Kazan-katedralen i St Petersburg

Förutom symmetri i arkitektur kan man överväga antisymmetri och dissymmetri. Antisymmetri är motsatsen till symmetri, dess frånvaro. Ett exempel på antisymmetri i arkitekturen är St. Basilius-katedralen i Moskva, där symmetri är helt frånvarande i strukturen som helhet (Bild 19). Det är dock förvånande att de enskilda delarna av denna katedral är symmetriska och detta skapar dess harmoni. Dissymmetri är en partiell brist på symmetri, en störning av symmetri, uttryckt i närvaro av vissa symmetriska egenskaper och frånvaro av andra. Ett exempel på dissymmetri i en arkitektonisk struktur är Katarinapalatset i Tsarskoje Selo nära St. Petersburg (bild 20-21). Nästan alla symmetriegenskaper bibehålls fullt ut i den, med undantag av en detalj. Palatskyrkans närvaro rubbar symmetrin i byggnaden som helhet. Om vi ​​inte tar hänsyn till denna kyrka, blir palatset symmetriskt.

I modern arkitektur används tekniker av både antisymmetri och dissymmetri alltmer. Dessa sökningar leder ofta till mycket intressanta resultat. En ny estetik för stadsplanering växer fram. Sålunda är skönhet enheten av symmetri, asymmetri och dissymmetri (Bild 22-25).

6. Sammanfattning

Så vi lever i en ganska symmetrisk värld. Det är inte förvånande att vi själva är symmetriska och tenderar att anse allt som symmetriskt vackert. Ibland är det dock trevligt att bryta den ideala symmetrin något, det ger lite livlighet, men inte för mycket, inte till kaos. Djur är mycket symmetriska, växter är ganska symmetriska, kristaller är helt symmetriska, vår sfäriska planet är nästan perfekt symmetrisk (Bild 26), dess bana är nära symmetri. Efter det som har sagts kanske påståendet att alla naturlagar bestäms av världens symmetri inte verkar så fantastiskt.

Bibliografi:

1. Atanasyan L.S. "Geometry 7-9 grades" 2003 M. "Upplysning"

3. Moscow University Publishing House "En manual om geometri för dem som går in på universitet" 1974.

4.Kritsman.V.A ”Bok för läsning om geometri” 1975 M. "Upplysning"

5. Pogorelov A.V. "Geometri 7-9 grader" 2005 M. "Upplysning"

6. Stanzo.V.V "Encyclopedic Dictionary of Geometry" 1982 M. "Upplysning"

7.http://yandex.ru

Regional forskningskonferens "Junior"

Forskning

Symmetri i världen omkring oss

(sektion av exakta vetenskaper)

Genomförde: Merizanova Anna,

Eliseenko Vera,

8:e klass elev

Handledare: Kolesnikova

Lyudmila Alexandrovna,

matematiklärare

Introduktion. . 2

1.1. ..................................................... . 3

1.2. ................................................................... . 4

1.3. Symmetri genom århundradena . 7

Kapitel 2. Symmetri omkring oss. 8

.. 8

2.2. .......................................................... . 9

Slutsats. 11

Bibliografi. 12

Introduktion

Det här läsåret diskuterade vi detta ämne på matematiklektionerna. Vi var intresserade av ämnet "Symmetri". Och vi bestämde oss för att skapa ett projekt om detta ämne, för i geometriboken ägnas lite uppmärksamhet åt att studera ämnet "Symmetri", medan studenter ofta ställer frågan: varför behövs det, var finns det, varför studeras det på Allt.

Men symmetri finns i naturen, och i vetenskapen och i konsten - symmetrins enhet och motsättning finns i allt.

Symmetri är kännetecknande för olika fenomen som ligger bakom allt det beskriver många livsfenomen och många vetenskaper

Som ett resultat av vårt arbete ställde vi oss följande frågor:

Varför behöver du veta symmetri, var i världen omkring dig förekommer det?

Vi har satt upp ett mål för oss:

skapa idéer om symmetri , genom systematisering av kunskap om symmetri, samt genom analys av naturfenomen och mänsklig aktivitet.

För att avslöja ämnet för vårt forskningsarbete sattes följande uppgifter:

Lär dig känna igen symmetriska figurer bland andra.

Bekanta dig med användningen av symmetri i naturen, vardagen, konsten och tekniken.

Demonstrera de olika tillämpningarna av matematik i verkliga livet.

Inse graden av ditt intresse för ämnet och utvärdera möjligheterna att bemästra det utifrån ett framtidsperspektiv (visa möjligheterna att tillämpa de förvärvade kunskaperna i ditt framtida yrke som konstnär, arkitekt, biolog, civilingenjör).

För att skriva arbetet använde jag olika metoder:

2) metoden för induktiv generalisering och specifikation;

3) användning av datorutrustning.

Kapitel 1. Första idéer om symmetri

I det här kapitlet beskriver vi de första idéerna om symmetri, historisk information om detta ämne; några exempel på symmetriska figurer ges; Exempel på forskningskaraktär på ämnet: ”Symmetri” beaktas.

1.1. Historisk utveckling och förståelse av symmetribegreppet

I processen för historisk utveckling och förståelse av symmetri förknippas ett speciellt stadium av symmetri som ett mått på skönhet och harmoni med den framstående matematikern Hermann Weyls arbete "Symmetri" (1952). G. Weil förstod symmetri som omätbarheten (invariansen) av ett objekt under transformationer: ett objekt är symmetriskt i det fall det utsätts för någon operation, varefter det kommer att se ut som före transformationen.

Det grekiska ordet "symmetri" betyder "proportionalitet", "proportionalitet", "likhet i arrangemanget av delar." Ordet "symmetri" förstås dock ofta som ett bredare begrepp: regelbundenhet i förändringar i vissa fenomen (årstider, dag och natt, etc.), balansen mellan vänster och höger, likheten mellan naturfenomen. I själva verket har vi att göra med symmetri varhelst någon ordning observeras. Begreppet symmetri användes flitigt inom psykologi och moral. Således trodde den store Aristoteles att symmetri har betydelsen av ett visst medelmått som en dygdig person bör sträva efter i sina handlingar. Den romerske läkaren Galenos (2:a århundradet e.Kr.) förstod symmetri som ett sinnestillstånd lika långt från båda ytterligheterna, till exempel från sorg och glädje, apati och spänning. Symmetri, förstås som fred och balans, står i motsats till kaos och oordning. Det vittnar om gravyren av Marius Escher "Ordning och kaos" (fig. 196), där, som konstnären själv skrev, "en stjärnformad dodekaeder, en symbol för skönhet och ordning, är omgiven av en genomskinlig sfär. Det speglar en meningslös samling av värdelösa saker."

1.2. Matematisk idé om symmetri

De idéer om symmetri som beskrivs ovan är av allmän karaktär och är inte exakta och strikta för matematik.

Definition 1. Symmetri – detta är proportionalitet, likheten i arrangemanget av delar av något på motsatta sidor av en punkt, rät linje eller ett plan.

En matematiskt rigorös definition av symmetri bildades relativt nyligen – på 1800-talet, då begreppen spegel och rotationssymmetri introducerades.

Rosetter och snöflingor är symmetriska och mycket vackra figurer.

I planimetri finns det axiell (symmetri i förhållande till en rät linje), central symmetri (symmetri i förhållande till en punkt), såväl som rotations-, spegel- och bärbar.

Definition 2. Två punkter A och A1 kallas symmetrisk i förhållande till rät linje a, om denna linje går genom mitten av segmentet AA1 och är vinkelrät mot det.

Varje punkt är rak A

Definition 2 . Figuren sägs vara symmetrisk kring en rät linje A, om det för varje punkt i figuren finns en punkt som är symmetrisk till den i förhållande till den räta linjen A tillhör också denna figur. Hetero A kallad symmetriaxel siffror. De säger att figuren har axiell symmetri. Former som har en symmetriaxel: rektangel, romb, kvadrat, liksidig triangel, likbent triangel, cirkel, etc.

Definition 3. Två punkter A och A1 kallas symmetrisk om punkt O, om O är mitten av segment AA1. Punkt HANDLA OM anses vara symmetrisk med sig själv.

Definition 4. Figuren kallas symmetrisk om punkt O, om det för varje punkt i figuren finns en punkt som är symmetrisk till den i förhållande till punkten HANDLA OM tillhör också denna figur. Punkt HANDLA OM, ringde figurens symmetricentrum. De säger att figuren har central symmetri. Exempel på figurer som har central symmetri: cirkel, parallellogram, triangel, etc.

Matematik studerar många figurer som har både axiell och central symmetri (cirkel, kvadrat, etc.), endast axiell symmetri (till exempel en likbent triangel) och endast central symmetri (till exempel ett allmänt parallellogram).

För att förstå detta ämne har vi genomfört ett antal forskningsuppgifter.

Forskningsuppdrag.

Övning 1. På en rak linje AB hitta en punkt vars avstånd är summan av två givna punkter M Och N skulle vara den minsta.

Diskussion. 1 fall. Låta M Och N ligga på motsatta sidor av , det kortaste avståndet mellan dem är därför den nödvändiga punkten X ligger vid skärningspunkten och https://pandia.ru/text/79/046/images/image024_13.jpg" align="left hspace= 12" width ="187" height="132">Vilken annan punkt som helst på en rak linje AB har inte den här egenskapen, eftersom .gif" width="36" height="23"> Bygg M1, symmetrisk M angående https://pandia.ru/text/79/046/images/image023_17.gif" width="36 height=27" height="27">.gif" width="36" height="23 src=" >, då är den nödvändiga punkten X skärningspunkten för linjerna MN Och AB.

Uppgift 2. Givet raka linjer AB och prickar M Och N. Hitta den på https://pandia.ru/text/79/046/images/image028_8.jpg" align="left hspace=12" width="207" height="140"> Diskussion. 1 fall. Poäng M Och N ligga på ena sidan av linjen AB (och dessutom på olika avstånd från den. Därefter punkt X på linjen AB, för vilken skillnaden i avstånd från punkterna M Och N den största, är skärningspunkten för linjen AB med fortsättningen av segmentet MN. Sedan någon annan punkt X1 på linjen AB har inte denna egenskap, eftersom (en följd av triangelaxiomet). Om M Och N ligger på samma avstånd från https://pandia.ru/text/79/046/images/image031_8.jpg" align="left hspace=12" width="207" height="148"> Fall 2. Poäng M Och N ligga på motsatta sidor av . Sedan den nödvändiga punkten , Var .

Om poäng M Och När på motsatta sidor av och på samma avstånd från den, så har problemet inga lösningar.

Uppgift 3. Undersök om följande har ett symmetricentrum: 1) ett segment; 2) stråle; 3) kvadrat.

Diskussion. 1) ja; 2) nej; 3 ja

Uppgift 4. Undersök vilka av följande punkter i det latinska alfabetet som har ett symmetricentrum: A, O, M, X.

Diskussion. O och X

Diskussion. 1) två; 2) "oändlig mängd": vilken linje som helst vinkelrät mot en given linje, såväl som själva linjen; 3) en.

Uppgift 6. Utforska vilka av följande bokstäver som har en symmetriaxel: A, B, d, E, O i alfabetet.

Diskussion. A, E, O

Slutsats: Dessa exempel visar oss att även punkter i alfabetet har en symmetrisk position. Olika geometriska former har en symmetriaxel.

1.3. Symmetri av gammal rysk prydnad

Rysk prydnad kännetecknas av både blommiga och geometriska former, samt bilder av fåglar, djur och fantastiska djur. Rysk prydnad är särskilt tydligt uttryckt i träsnideri och broderi. De mest använda var så kallade flätor - sammanvävning av band, bälten och blomstänglar. På 1600-talet Arkitekten Stepan Ivanov skapade sin berömda prydnad "Peacock Eye".

Enligt akademikern, en berömd arkeolog och världsberömd historiker, inkluderade grunden för den gamla ryska prydnaden universella, olika idéer om världen. Den antika slavens medvetande var betingat av mytologiska verklighetsuppfattningar. Allt detta återspeglades i motiven som är karakteristiska för rysk prydnad.

· Motiv av "amulett"-tecken, som applicerades på kläder, hushållsartiklar och olika detaljer i hemmet..jpg" width="300" height="239 src=">

· Motiv flätor, karakteristisk för Rusal-armband, som tolkades som ett tecken på vatten och den underjordiska härskaren Perepluts rike.

· Urgammalt motiv gudinnan Mokoshi som en specifik förkroppsligande av idén om den stora förmodern, gemensam för alla folk i ett visst skede av den historiska existensen. Mokosha (Makosh) är den enda kvinnliga bilden i forntida rysk mytologi. Hennes namn för tankarna till slem, fukt, vatten. Mokosh var nedlåtande för alla kvinnors aktiviteter, särskilt spinning, och vördades främst av kvinnor.

https://pandia.ru/text/79/046/images/image041_6.jpg" width="324" height="211">

Sedan antiken har rysk prydnad utvecklat ett speciellt system för arrangemang av symboler som representerar solens rörelse runt jorden. Det finns flera typer av soltecken de kännetecknas av rotationssymmetri. Det vanligaste är en cirkel uppdelad med radier i olika sektorer ("Jupiters hjul"), samt en cirkel med ett kors inuti.

Slutsats: Efter att ha analyserat litteraturen om denna fråga kom vi till slutsatsen att symmetriska symboler ofta finns i gamla ryska ornament. I traditionella nationella smycken och hushållsartiklar kan du hitta alla typer av symmetri på ett plan: central, axiell, roterande, bärbar.

1.4. Symmetri genom århundradena

I sina reflektioner över bilden av världen har människor aktivt använt idén om symmetri under lång tid. Enligt legenden myntades termen "symmetri" av skulptören Pythagoras av Rhegium, som bodde i staden Regulus. Han definierade avvikelse från symmetri med termen "asymmetri". De gamla grekerna trodde att universum var symmetriskt bara för att det var vackert. Med tanke på att sfären var den mest symmetriska och perfekta formen drog de slutsatsen att jorden var sfärisk och att den rörde sig på en sfär runt en viss "central eld", där de 6 då kända planeterna också rörde sig tillsammans med månen, solen, och stjärnorna.

Representanter för den första vetenskapliga skolan i mänsklighetens historia, anhängare av Pythagoras från Samoa, försökte koppla symmetri med nummer.

I stor utsträckning använde idén om harmoni och symmetri, gamla forskare älskade att vända sig inte bara till sfäriska former, utan också till vanliga polyedrar, för vars konstruktion de använde det "gyllene förhållandet". Regelbundna polyedrar har ytor som är regelbundna polygoner av samma typ, och vinklarna mellan ytorna är lika. De gamla grekerna etablerade ett häpnadsväckande faktum: det finns bara fem vanliga konvexa polyedrar, vars namn är associerade med antalet ansikten - tetraeder, oktaeder, icosahedron, kub, dodekaeder.

Kapitel 2. Symmetri omkring oss

Detta kapitel beskriver en teori som indikerar olika representationer av symmetri i naturen. I detta kapitel bevisar vi att strukturer skapade av människan också har symmetriska figurer.

2.1. Symmetrins roll i kunskapen om naturen

Kristallers symmetri är en konsekvens av deras inre struktur: deras atomer och molekyler har ett ordnat ömsesidigt arrangemang och bildar ett symmetriskt gitter av atomer - det så kallade kristallgittret.

De saknade symmetrielementen bestämdes av akademikern Axel Vilgelmovich Gadolin (). Den berömda professorn i mineralogi från den tyska staden Marburg Johann Hessel 1830. Publicerade sitt arbete om kristallers symmetri. Av någon anledning gick hans arbete obemärkt förbi. Men 1897 Hessels verk publicerades på nytt, och sedan dess har hans namn gått till vetenskapens historia.

Så vi lärde oss att studera och jämföra kristallers symmetri. Det finns 9 symmetrielement och bara 32 olika uppsättningar av symmetrielement - symmetrigrupper, som bestämmer den yttre formen på kristaller. Men eftersom antalet symmetrielement hos kristaller är ändligt, så är antalet av deras uppsättningar - kombinationer som beskriver symmetrin hos den yttre formen - ändligt. Därav följer att symmetri är en strikt och omfattande lag som styr kristallernas rike. Det bestämmer formen på kristallen, antalet ytor och kanter, och det dikterar också dess inre struktur.

Symmetri kan hittas i havsdjur som sjöstjärnor, sjöborrar och vissa maneter.

Blad, grenar, blommor och frukter av växter har uttalad symmetri. Vissa av dem kännetecknas endast av spegelsymmetri, eller endast av rotationssymmetri, glidning.

Det är intressant att bland växter av samma art finns de som har både vänster och höger bladstrukturer.

Levande natur kännetecknas inte bara av välkända typer av symmetri. Således är den krökta stjälken på en växt och den vridna formen på ett blötdjur inte mindre symmetriska än en kristall. Men det här är en annan symmetri - kurvlinjär, som upptäcktes 1926.

Och 1960 Akademikern tog hänsyn till likhetens symmetri. Liknande figurer anses ha samma form. Likhetssymmetri består av att överföra (rotera) en figur samtidigt som den minskar eller ökar dess storlek.

2.2. Symmetri i arkitektoniska strukturer

Symmetri dominerar inte bara i naturen, utan också i mänsklig kreativitet. Arkitekturverk visar utmärkta exempel på symmetri. Gamla ryska byggnader är intressanta, särskilt träkyrkor. Smala och uttrycksfulla, skurna i en åttakant, det vill säga med symmetriska åttakantiga tält, motsvarade de perfekt begreppet skönhet i det medeltida Ryssland.

Ett exempel är St. Basil's Cathedral på Röda torget i Moskva. Templet består av tio olika tempel, som var och en är strikt symmetriska, men som helhet har den varken spegel eller rotationssymmetri.

Det finns många exempel på användningen av symmetri och asymmetri i skulptur. Till exempel skulpturen av den peloponnesiske mästaren från Pythagoras skola "The Delphic Charioteer", som visar vinnaren i hästdragna stridsvagnar. Figuren av en ung man i en lång chiton är i allmänhet symmetrisk, men en lätt vridning av bålen och huvudet bryter spegelsymmetrin, vilket skapar en illusion av rörelse, och statyn verkar levande.

Louis Pasteur trodde att det var asymmetri som skiljer levande från icke-levande, och trodde att symmetri är fredens väktare och asymmetri är livets motor. Ett exempel på hur symmetrins paradox inte bara tjänar till att förmedla rörelse utan också för att förstärka intrycket är bilden av en grekisk vas från Kamaresgrottan på ön Kreta.

Slutsats

Symmetri är något gemensamt, karaktäristiskt för olika fenomen, som ligger bakom alla ting, och asymmetri uttrycker vissa individuella egenskaper hos saker och fenomen. I naturen, i vetenskapen och i konsten avslöjas enheten och motsättningen av symmetri och asymmetri i allt. Världen existerar tack vare enheten mellan dessa två motsatser.

Efter att ha analyserat arbetet kom vi fram till att symmetri ofta finns i konst, arkitektur, teknik och vardagsliv. Således har fasaderna på många byggnader axiell symmetri. I de flesta fall är mönster på mattor, tyger och inomhustapeter symmetriska kring axeln eller mitten. Många delar av mekanismer, såsom kugghjul, är symmetriska.

Som ett resultat av projektet:

u utökade kunskaper om symmetri;

u lärde dig vilka fenomen från livet och

vissa vetenskaper beskrivs med symmetri;

u nya praktiska tekniker: arbeta med utbildnings-, vetenskaplig och utbildningslitteratur;

u generaliserat de begrepp, idéer, kunskap som projektresultatet syftar till att erhålla: vi tittade på var symmetri förekommer i livet.

Bibliografi

1. N, Mythology of Ancient Rus'. – M.: Eksmo, 2006.

2. Symmetri. – Ed. 2:a, raderad – M.: Unified URSS, 2003.

3. Gnedengo om matematikens historia i Ryssland. – 2:a uppl., rev. och ytterligare – M.: KomKniga, 2005.

4. Fina motiv i ryskt folkbroderi. Museet för folkkonst. – M.: Sovjetryssland, 1990.

5. Klimova prydnad i sammansättningen av konstnärliga produkter. – M.: Fine Arts, 1993.

Kommunal läroanstalt

"Grundskola i byn Storozhevka"

Tatishchevsky-distriktet, Saratov-regionen

Design och forskningsarbete

om detta ämne:

Slutfört av: 11:e klass elever

"MOU gymnasieskola i byn Storozhevka"

Davydova Katerina Olegovna,

Oreshenkova Daria Olegovna.

Chef: matematiklärare

Zhogal Marina Alexandrovna

2011

Innehåll

I. Kort sammanfattning………………………………………………………………..3

II. Inledning………………………………………………………………4

III. Denna otroligt symmetriska värld………………………………5

1.Vad är symmetri? Symmetrins plats i omvärlden...5

2. Typer av symmetri…………………………………………………………..8

3. Symmetri i fysik och teknik………………………………………….10

4.Symmetri i naturen………………………………………………….14

I växtvärlden -

I djurvärlden

5.Symmetri i kreativitet………………………………………………………………………….18

I arkitektur

I litteraturen

I skön konst

I musik och dans

6.Symmetri i närheten…………………………………………………………22

Symmetri i kläder

Symmetri i vardagen (hemma, i skolan)

Symmetri av byn Storozhevka och staden Saratov

IV. Slutsats……………………………………………………………….24

V. Litteratur……………………………………………………………………….25

VI.Bilaga………………………………………………………………..26

Kort sammanfattning av projektet

Detta projekt är designat för elever i årskurs 9-11. Den täcker studiet av pedagogiska ämnen: "Symmetri" i geometri, "Städer och länder", "Transport", "Arkitektur" i geografi, "Strukturella egenskaper hos växt- och djurorganismer" i biologi, litteratur, "lagar om bevarande" i fysik. Detta projekt skapar medvetenhet om behovet av att leva i fred och harmoni med naturen, utvecklar observation och kreativa förmågor.

När läraren genomför ett projekt hjälper läraren eleverna att utveckla sina färdigheter i kritiskt tänkande, förmågan att hitta och bearbeta en stor mängd information, utveckla kommunikationsförmåga och organisera oberoende forskning om det pedagogiska ämnet.

Introduktion

Matematik är outtömlig och mångvärdig.

Inte en enda matematiker, inte ens den allra bästa, kan studera all matematik, utan väljer bara någon gren. Så idag väljer vi en liten symmetrigren.

Matematiker och biologer, kristallografer och konsthistoriker, ingenjörer och filosofer, astronomer och växtförädlare, fysiker och läkare försöker samarbeta för att lösa symmetrins mysterier.

I skolans matematikkurs ägnas ämnet "Symmetri" till endast några timmar. I årskurs 8 introduceras eleverna i axiell och central symmetri i årskurs 10 introduceras begreppet spegelsymmetri. Killarna har en fråga: varför behövs det här ämnet och var används det?

Projektet "This Amazingly Symmetrical World" är utformat för att utöka elevernas kunskaper om ämnet "Symmetri" inom olika områden av vetenskap, teknik, levande och livlös natur och i världen omkring oss.

Grundfråga:

Hur visar sig symmetri i världen omkring oss?

Mål: studera begreppet symmetri, bedriva forskningsarbete för att studera symmetrifenomenen i naturen, arkitekturen, tekniken, i den vardagliga verkligheten omkring oss, skaffa färdigheter för självständigt arbete med en stor mängd information.

Uppgifter:

Fördjupa och utöka kunskapen om ämnet "Symmetri";

Lär dig om typerna av symmetri och kunna skilja en typ från en annan;

Få en visuell representation av manifestationen av symmetri i naturen, olika vetenskapsområden och mänsklig aktivitet;

Utveckla lagarbete och beslutsfattande färdigheter

III. Denna otroligt symmetriska värld

§1. Vad är symmetri? Symmetrins plats i omvärlden.

"Symmetri är idén genom vilken människan genom tiderna har försökt förstå och skapa ordning, skönhet och perfektion."

G. Weil.

Vi möter symmetri överallt - i naturen, tekniken, konsten, vetenskapen, till exempel, symmetrin av formerna på en bil och ett flygplan, symmetri i den rytmiska strukturen hos en dikt och en musikalisk fras, symmetrin av ornament och gränser, symmetri av atomstrukturen hos molekyler och kristaller. Begreppet symmetri går igenom hela den mänskliga kreativitetens månghundraåriga historia. Den finns redan vid ursprunget till mänsklig kunskap; det används i stor utsträckning av alla områden inom modern vetenskap utan undantag. Symmetriprinciperna spelar en viktig roll inom fysik och matematik, kemi och biologi, teknik och arkitektur, måleri och skulptur, poesi och musik.

Naturlagarna som styr den outtömliga bilden av fenomen i deras mångfald är i sin tur underkastade symmetriprinciperna.

Vad är symmetri? Varför genomsyrar symmetri bokstavligen hela världen omkring oss? Vilken typ av symmetri finns det? Vilka typer av symmetri känner du redan till (axiell och central, spegel). Symmetri delas in i två grupper.

Den första gruppen inkluderar symmetri av positioner, former, strukturer. Detta är symmetrin som direkt kan ses. Hon kan kallas geometrisk symmetri.

Den andra gruppen kännetecknar symmetri av fysiska fenomen och naturlagar. Denna symmetri ligger till själva grunden för den naturvetenskapliga bilden av världen: den kan kallas fysisk symmetri. Under tusentals år, under loppet av social praktik och kunskap om den objektiva verklighetens lagar, har mänskligheten samlat på sig talrika data som indikerar närvaron av två tendenser i världen omkring oss: å ena sidan mot strikt ordning och harmoni, och på den andra, mot deras kränkning.

För att göra detta, låt oss vända oss till definitionen av symmetri. Termen "symmetri" på grekiska betyder proportionalitet, proportionalitet, enhetlighet i arrangemanget av delar.

Enligt Weil kallas ett objekt med vilket någon operation kan utföras, vilket resulterar i det ursprungliga tillståndet, symmetriskt. Människor har länge uppmärksammat den korrekta formen av kristaller, blommor, honungskakor och andra naturliga föremål och återskapat denna proportionalitet i konstverk, i föremålen de skapat, genom konceptet symmetri. "Symmetri", skriver den berömda vetenskapsmannen J. Newman, "etablerar ett roligt och överraskande förhållande mellan objekt, fenomen och teorier som till det yttre verkar inte vara relaterade till någonting: jordmagnetism, den kvinnliga slöjan, polariserat ljus, naturligt urval, gruppteori, invarianter och transformationer, binas arbetsvanor i en kupa, rymdens struktur, vasdesign, kvantfysik, blomblad, interferensmönstret för röntgenstrålar, sjöborrars celldelning, jämviktskonfigurationer av kristaller, romanska katedraler, snöflingor, musik, relativitetsteorin..."

Ordet "symmetri" har två betydelser.

I en mening betyder symmetrisk något mycket proportionellt, balanserat; symmetri visar hur många delar är koordinerade, med vars hjälp de kombineras till en helhet. Den andra betydelsen av detta ord är balans. Aristoteles talade också om symmetri som ett tillstånd som kännetecknas av förhållandet mellan extremer. Av detta uttalande följer att Aristoteles kanske var närmast upptäckten av en av de mest grundläggande naturlagarna - dualitetslagen. Pythagoras och hans elever ägnade stor uppmärksamhet åt symmetri. Baserat på läran om siffror gav pytagoreerna den första matematiska tolkningen av harmoni, symmetri, som inte har förlorat sin mening till denna dag.

Vetenskapen kom till de mest intressanta resultaten just när fakta om symmetriöverträdelser fastställdes. Konsekvenserna av symmetriprincipen utvecklades intensivt av fysiker under förra seklet och ledde till ett antal viktiga resultat. Sådana konsekvenser av symmetrilagarna är för det första den klassiska fysikens bevarandelagar.

Djur är symmetriska, växter är ganska symmetriska, kristaller är helt symmetriska, vår sfäriska planet är nästan perfekt symmetrisk, dess bana är nära symmetri. Efter det som har sagts kanske påståendet att alla naturlagar bestäms av världens symmetri inte verkar så fantastiskt. (Bilaga Fig. 1)

Så vi lever i en ganska symmetrisk värld. Det är inte förvånande att vi själva är symmetriska och tenderar att anse allt som symmetriskt vackert.

§2.Typer av symmetri

Typer av symmetri:

ROTERANDE SYMMETRI. Ett föremål sägs ha rotationssymmetri om det är i linje med sig självt när det roteras genom en vinkel på 2π/n, där n=2,3,4, etc. Symmetriaxeln kallas symmetriaxeln av n:e ordningen (Figur 2).

TRANSPORTBAR (ÖVERSÄTTNINGS-) SYMMETRI. Sådan symmetri talas om när, när man flyttar en figur längs en rät linje till ett avstånd a, eller ett avstånd som är en multipel av detta värde, den sammanfaller med sig själv. Den räta linjen längs vilken överföringen sker kallas överföringsaxeln, avståndet a kallas elementär överföring eller period.

Förknippat med denna typ av symmetri är begreppet periodiska strukturer eller gitter, som kan vara både platta och rumsliga (Figur 3).

SPEGEL SYMMETRI. Ett föremål som består av två halvor som är tvillingar i förhållande till varandra anses spegelsymmetriskt. Ett tredimensionellt föremål förvandlas till sig självt när det reflekteras i ett spegelplan, som kallas symmetriplanet. (Figur 4)

Formen på alla föremål som rör sig på eller nära jordens yta - går, simmar, flyger, rullar - har ett symmetriplan.

Allt som utvecklas eller rör sig endast i vertikal riktning kännetecknas av konsymmetri, det vill säga det har många symmetriplan som skär längs den vertikala axeln. Båda förklaras av gravitationens verkan.

SYMMETRI AV LIKHET är märkliga analoger av tidigare symmetrier med den enda skillnaden att de är förknippade med en samtidig minskning eller ökning i liknande delar av figuren och avstånden mellan dem.

Det enklaste exemplet på sådan symmetri är dockor som bäddar (Figur 5).

SWITCHING SYMMETRY, som består i att om identiska partiklar byts ut så sker inga förändringar.

HERDITY är också en viss symmetri (Figur 7).

GAUGE SYMETRIES involverar förändringar i skala.

Layouten är en förminskad kopia av originalet (bild 8)

KONFORMAL symmetri (cirkulär) symmetri är en transformation i förhållande till en sfär med ett centrum i punkt O med radie R, som omvandlar vilken punkt P som helst till en punkt som ligger på förlängningen av radien som går genom punkt P på ett avstånd från mitten = R2 /ELLER. Konform symmetri har stor generalitet. Spegelreflektioner, rotationer och parallella förskjutningar är bara specialfall av konform symmetri.

(Figur 9a,b)

§3.Symmetri i fysik och teknik.

I fysik.

Det finns en gammal liknelse om Buridans åsna. En filosof, som hette Buridan, hade en åsna. En gång, medan han lämnade en lång tid, placerade filosofen två helt identiska armar med hö framför åsnan - en till vänster och den andra till höger. Åsnan kunde inte bestämma sig för vilken armfull hon skulle börja med, och dog av hunger... Vänster och höger är så mycket lika att det är omöjligt att ge företräde åt varken det ena eller det andra. Med andra ord, i båda fallen har vi att göra med symmetri, manifesterad i fullständig jämlikhet, balans mellan vänster och höger.

Faktum är att om bollen är orörlig på bordet, så är bordet plant och lutningen till vänster är densamma som till höger. Om strömmen inte flyter genom tråden finns det ingen potentialskillnad. Om ett moln har frusit på himlen betyder det att trycket runt är detsamma och vinden har lagt sig. Det vore konstigt om allt hände tvärtom. Naturen ger aldrig företräde i jämlikhet.

Symmetri är jämlikhet i ordets vida bemärkelse. Spegelsymmetri innebär till exempel att den högra sidan är exakt lika med den vänstra. Detta betyder att om det finns symmetri, kommer något inte att hända och därför kommer något definitivt att förbli oförändrat, bevarat.

I naturen, liksom i människor, finns det två typer av lagar. En typ säger vad som ska hända under vissa omständigheter. Till exempel, Ohms lag säger att vid sådan och sådan spänning och sådan och sådan resistans hos en ledare kommer styrkan på den elektriska ström som passerar genom den att vara lika med kvoten av den första dividerad med den andra. Det finns bara ett svar. Den andra typen av lagar är de så kallade bevarandelagarna. De beskriver vad som inte får hända. Till exempel säger lagen om bevarande av materia och energi att dessa kvantiteter måste bevaras under alla processer.

1915 bevisade den tyska matematikern Amy Noether rent matematiskt att alla bevarandelagar är relaterade till naturens symmetri. Lagen om bevarande av momentum vilar på rummets jämlikhet (rummets homogenitet). Om riktningarnas likhet (rymdens isotropi) - lagarna för bevarande av rörelsemängd. Om tidens jämlikhet - lagen om bevarande av materia och energi. Detta var en enastående upptäckt.

Det finns ett stort antal lagar inom fysiken och de är alla genomsyrade av flera allmänna principer som finns i varje lag. Exempel på sådana principer är några symmetriegenskaper. En av de viktigaste egenskaperna hos fysikaliska lagars symmetri är beständighet i tid lagen om universell gravitation formulerad av Newton beskriver det faktum att kroppars ömsesidiga attraktion inte förändras med tiden. Denna attraktion fanns före Newton, och den kommer att existera under efterföljande århundraden. Den ideala gaslagen används i stor utsträckning inom modern vetenskap och teknik. Om fysiska lagar förändrades över tiden, skulle varje fysisk studie ha en "momentär" betydelse. En viktig bevarandelag inom fysiken är lagen om bevarande av momentum i ett slutet system.

Allt som är symmetriskt till sin natur anses vara en återspegling av världens grundläggande egenskaper, och allt som är asymmetriskt anses vara ett hasardspel.

På tal om symmetri i den livlösa naturen uppstår en synpunkt att symmetri i den livlösa naturen inte på något sätt är en frekvent besökare. Till exempel en hög med stenar, en oregelbunden linje av kullar vid horisonten. Naturligtvis är en hög med stenar en enda röra, men varje sten är gjord av kristaller. Och kristaller för med sig charmen av symmetri till den livlösa naturens värld. Kristaller av vilket ämne som helst kan ha väldigt olika former, men vinklarna mellan ytorna är alltid konstanta. För varje given substans finns det sin egen unika idealform av dess kristall. Symmetrin hos en kristalls yttre form är en konsekvens av dess inre symmetri - det ordnade relativa arrangemanget i rymden av atomer (molekyler)

Kom ihåg snöflingor. Dessa är små kristaller av fruset vatten. De har rotations- och spegelsymmetri (axiell, central). Varför är snöflingor sexkantiga? Varför det inte finns några femkantiga snöflingor; (bikaka, granatäpplekärnor).

Varje snöflinga är en liten kristall av fruset vatten. Formen på snöflingor kan vara väldigt olika, men de har alla symmetri (Figur 2)

Alla fasta ämnen är gjorda av kristaller.

Inom tekniken

Symmetri kan observeras i tekniken, i vardagen och i vårt omgivande liv. Varför används symmetri i teknik?

Tekniska föremål - flygplan, bilar, raketer, hammare, muttrar - nästan alla, från små till stora, har någon form av symmetri. Är detta en slump? Inom teknik är mekanismernas skönhet och proportionalitet ofta förknippad med deras tillförlitlighet och stabilitet i drift (Fig. 10 a, b, c).

Symmetrisk form av ett luftskepp, flygplan, ubåt, bil, etc. ger bra effektivisering med luft eller vatten, och därför minimalt motstånd mot rörelse.

Vid gryningen av flygets utveckling studerade våra berömda forskare N. E. Zhukovsky och S. A. Chaplygin fåglarnas flygning för att dra slutsatser om den mest fördelaktiga vingformen och dess flygförhållanden (Bilaga Fig. 11a, b).

Naturligtvis spelade symmetri en stor roll i detta.

När man tittar på fordon uppstår frågan: Vad förklarar den frekventa förekomsten av symmetri i tekniken? Efter att ha studerat den nödvändiga litteraturen förstår du att symmetri först och främst bestäms av ändamålsenlighet. Ingen behöver en krokig bil eller ett plan med vingar av olika längd. Dessutom är symmetriska föremål vackra.

Typer av symmetri inom teknik:

-Axial

-Central

-Vridbar

-Spegel

§4. Symmetri i naturen

Symmetri genomsyrar hela världen omkring oss.

För närvarande råder inom naturvetenskap definitioner av kategorierna symmetri och asymmetri baserat på uppräkningen av vissa egenskaper. Till exempel definieras symmetri som en uppsättning egenskaper: ordning, enhetlighet, proportionalitet, harmoni. Alla tecken på symmetri i många av dess definitioner anses vara lika, lika signifikanta, och i vissa specifika fall, när man fastställer ett fenomens symmetri, kan vilken som helst av dem användas. Så i vissa fall är symmetri homogenitet, i andra är det proportionalitet, etc.

Frågan om uppkomsten av liv på jorden är nära besläktad med frågorna om spegelsymmetri - asymmetri - trots allt uppstod levande materia vid ett tillfälle från icke-levande materia. Detta beror på kränkningen av den tidigare existerande spegelsymmetrin, bildandet av rena molekyler, d.v.s. spegel symmetrisk. Modern vetenskap har kommit till slutsatsen att övergången från spegelvärlden av symmetriska kopplingar till den rena världen inte skedde under en lång evolutions process, utan i ett språng i form av en sorts stor biologisk explosion.

Så vi är skyldiga vårt liv på jorden till kränkningen av spegelsymmetri och bildandet av asymmetriska molekyler.

Symmetri finns överallt i levande natur (Figur 12)

Symmetri förekommer också i naturfenomen:

Årstider;

I blommande växter;

När snön ser ut är det en relativ tidsförskjutning på 12 månader,

Symmetri är närvarande i regelbundenhet av dag och natt;

Thunderclaps upprepas med ett visst tidsintervall.

I växtvärlden .

"På jorden uppstod liv i sfäriskt symmetriska former och började sedan utvecklas längs två huvudlinjer: växtvärlden med konsymmetri bildades och djurens värld med bilateral symmetri."

M. Gardner

Termen "spegel" används inom geometri och fysik, och "bilateral" används inom biologi.

Blommor kännetecknas av rotationssymmetri.

Följande växter har rotationssymmetri: hagtornskvist, johannesörtblomma, akaciakvist och cinquefoil. (Fig. 13 a, b, c)

En akaciagren har spegel- och rotationssymmetri (Fig. 14) En hagtornsgren har en glidande symmetriaxel. Foten har rotations- och spegelsymmetri.

Om du tittar närmare på växterna kan du hitta många manifestationer av spiralformad symmetri i arrangemanget av löv på stammen, grenar på stammen och i kottarnas struktur. Klätterväxter är uttalade skruvar (fig. 15a, b, c).

I blommornas värld finns det roterande symmetriaxlar av olika ordning. Den vanligaste rotationssymmetrin är 5:e ordningen.

"Den femfaldiga axeln är ett slags instrument i kampen för tillvaron, försäkring mot förstening, mot kristallisering..."

(N.V. Belov)

Rotationssymmetri av 5:e ordningen finns i: klocka, ängspelargon, förgätmigej, johannesört, körsbär, päron, rönn, hagtorn, nypon (fig. 16 a, b, c).

Symmetrin hos en kon är synlig i praktiskt taget alla träd. Ett träd, med hjälp av sitt rotsystem, absorberar fukt och näringsämnen från jorden, det vill säga underifrån, och de återstående vitala funktionerna utförs av kronan, det vill säga ovanifrån. (Fig. 17a, b)

Radiell symmetri. Titta noga och du kommer att se att kronbladen på många blommor strålar åt alla håll, som strålar från en ljuskälla. I matematik handlar det om symmetri om en punkt, i biologi är det radiell symmetri. (Fig. 18a,b)

En person överför sina ärftliga egenskaper från generation till generation. Också, växter som går från en generation till en annan, observeras bevarandet av vissa egenskaper. Så här växer en ny solros (solros) från ett frö med samma enorma blomställningskorg och vänder sig också regelbundet mot solen. Detta är också symmetri, det brukar kallas ärftlighet.

I växtvärlden finns bilateral (spegel), radiell, rotations-, konsymmetri, axiell, central, ärftlig symmetri, spiralsymmetri.

Symmetri i djurvärlden .

"Vad kan vara mer lik min hand eller mitt öra än deras egna reflektioner i spegeln? Och handen som jag ser i spegeln kan inte sättas i stället för en riktig hand...”

I. Kant

Om du mentalt ritar en vertikal linje som delar en mänsklig figur på mitten, kommer även vänster och höger sida att förvandlas till delar av en symmetrisk "komposition".

Formen på alla föremål som rör sig på eller nära jordens yta - går, simmar, flyger, rullar - har vanligtvis ett mer eller mindre väldefinierat symmetriplan.

En annan intressant manifestation av livsprocessernas symmetri är biologiska rytmer, cykliska fluktuationer i biologiska processer och deras egenskaper (hjärtkontraktioner, andning, fluktuationer i celldelningens intensitet, metabolism, motorisk aktivitet, antal växter och djur), ofta förknippade med anpassning av organismer till geofysiska cykler.

Frågan om skönhet förknippad med symmetri är uppenbar. När vi tittar på proportionerliga, ömsesidigt balanserade, naturligt återkommande delar av ett symmetriskt objekt, känner vi frid, ordning och stabilitet. Och som ett resultat uppfattar vi föremålet som vackert. Omvänt uppfattas en oavsiktlig avvikelse från symmetri (ett kollapsande hörn av en byggnad, en riven bit av ett brev, snö som faller ovanligt tidigt) negativt, som en oväntad effekt som hotar vårt självförtroende.

Låt oss försöka föreställa oss en värld som är helt symmetrisk. En sådan värld skulle behöva kombineras med sig själv vid vilken vändning som helst, vid vilken reflektion som helst i spegeln. Det skulle vara något homogent, oföränderligt. En sådan värld är omöjlig. Världen existerar tack vare enheten av symmetri och asymmetri.

§5.Symmetri i kreativitet.

Ett underbart exempel på användningen av symmetri är mänsklig aktivitet, nämligen kreativ aktivitet.

I arkitektur.

Arkitekturverk visar utmärkta exempel på symmetri.

Vi kan säga att som konst börjar arkitekturen just när det är möjligt att hitta ett elegant, harmoniskt och originellt förhållande mellan symmetri och asymmetri.

Exemplet med arkitektur visar tydligt den dialektiska enheten av symmetri och asymmetri.

Många arkitektoniska föremål i omvärlden har en symmetriaxel eller ett symmetricentrum.

Vilken symmetri har den egyptiska pyramiden? (roterande, om den roteras 90 grader runt en vertikal axel som går genom toppen av pyramiden), spegel (kombinerar med sig själv när den reflekteras (mentalt) i något av de 4 vertikala plan som passerar genom toppen vinkelrätt mot basen). (fig 20)

De flesta byggnader har spegelsymmetri. Översiktsplaner för byggnader, fasader, ornament, taklister, kolumner avslöjar proportionalitet och harmoni. Gammal rysk arkitektur ger många exempel på användningen av symmetri: klocktorn, inre stödpelare. Alla kyrkor är byggda på symmetri, som har yxor och symmetricentrum.

Exempel på symmetri kan ses i Saratovs arkitektur:

Templet "släck mina sorger", cirkus, centralvaruhuset, bokhuset, vinterträdgården, gamla byggnader i stadens centrum, etc. (Fig. 21a, b, c, d, Fig. 25a, b)

Proportionen som finns i symmetri ger skönhet till arkitektur. Detta betyder att symmetri är harmonins själ.

Ryska språket och litterär kreativitet

Låt oss diskutera symmetrin mellan bokstäverna A, B, D, E, F, Z, K, L, M, N, P, S, T, F, X, W, E, Y, -

detta är ett exempel på spegelsymmetri. Bokstäverna O, ZH, N, F, X har central (rotations) och spegelsymmetri.

I litterära verk kontrasteras skönhet, förknippad med symmetri, med fulhet på grund av asymmetri. Så i Pushkins "Sagan om Tsar Saltan" är detta den vackra svanprinsessan och vävarens och kockens förvrängda skurkar. I litterära verk finns det en rad roliga verbala konstruktioner baserade på egenskaperna hos spegelsymmetri. Till exempel, orden "topot", "kosack", "hydda" i litteraturen, denna typ av ord kallas palindromer.

All poesi är symmetri. Symmetri i verk av A. A. Fet är representerad ganska brett, som i verk av alla ryska poeter. Detta är en ringkomposition och en enhetlig växling av betonade och obetonade stavelser: storlek

Stilla stjärnklar natt...

Månen lyser darrande

Söta är skönhetens läppar

En stilla stjärnklar natt.

Daktyl: betonade och obetonade stavelser upprepas helt exakt, vilket skapar en melodisk kvalitet.

Refrängerna är symmetriska: repetition av linjer med ett visst intervall.

Kvällen brinner tyst,

Berg av guld;

Den kvava luften blir kallare

Sov barn

Näktergalarna har sjungit länge,

Förkunnar mörker;

Strängarna ringde blygt -

Sov, barn.

Slutsatser:

Symmetri spelar en avgörande roll inte bara i processen för vetenskaplig kunskap om världen, utan också i processen för dess sensoriska känslomässiga uppfattning.

Symmetri är en källa till estetisk tillfredsställelse och konstnärlig uppfattning.

Symmetri i bildkonsten

Många konstnärer ägnade stor uppmärksamhet åt människokroppens symmetri och proportioner. Leonardo da Vinci upptäckte att kroppen passar in i en cirkel och en fyrkant. Vi är alla symmetriska! Vissa konstnärer betonar särskilt denna symmetri i sina verk.

RAPHAEL. Sixtinska Madonna (bild 22a)

Konstnärer från olika epoker använde en symmetrisk konstruktion av bilden. Många forntida mosaiker var symmetriska. I en symmetrisk komposition är personer eller föremål placerade nästan spegellikt i förhållande till bildens centrala axel. Denna konstruktion låter dig uppnå intrycket av fred, majestät, speciell högtidlighet och händelsernas betydelse.

F. HODLER. Lake Tan (Figur 22b)

Symmetri i konsten bygger på verkligheten. Till exempel är en människofigur, en fjäril, en snöflinga och mycket mer ordnade symmetriskt. Symmetriska kompositioner är statiska (stabila), vänster och höger halvor är balanserade.

V. VASNETSOV. Bogatyrer (bild 22c)

Trottoarkanter.

"Matematikern, som konstnären eller poeten, skapar mönster." G. Hardy.

Ett periodiskt upprepande mönster på en lång remsa kallas en kant. Detta kan vara en väggmålning som dekorerar väggarna i byggnader, gallerier, trappor. Detta kan vara gjutjärn som används i parkstängsel, brogaller och vallar. Dessa kan vara basreliefer i gips eller keramik. Kanter har spegel och figurativ symmetri. (Bild 23-25)

Ornament.

Fantastiska mönster som ofta finns i dekorativ konst kallas ornament. I dem kan du hitta en intrikat kombination av bärbar, spegel och rotationssymmetri. Beroende på vilka element prydnaden består av, klassas den som en eller annan typ.) 1 geometrisk prydnad (en tydlig växling av geometriska element). 2) blommig prydnad.

3) kalligrafisk (kan bestå av antingen enskilda bokstäver eller hela meningar, talesätt, ordspråk, slagord).

Geometrisk prydnad: tydlig växling av geometriska element. Blomprydnad: blommotiv. Kalligrafisk prydnad: växling av enskilda bokstäver, meningar, ordspråk. Fantastisk prydnad: bilder av mytiska varelser. Djurprydnad: bilder av fåglar och djur. Heraldisk prydnad: vapensköldar, krigsattribut, musikalisk och teatralisk konst. (Figur 26)

Dekorationer (bild 27)

Symmetri finns i musik och koreografi (i dans). Det beror på växlingen av beats. Det visar sig att många folkvisor och danser är symmetriskt uppbyggda (fig. 28a, b).

§6. Symmetri är i närheten.

I kläder

I kläder försöker en person också behålla intrycket av symmetri: höger ärm motsvarar vänster, höger byxben motsvarar vänster. Knapparna på jackan och på skjortan sitter exakt i mitten, och om de rör sig bort från den, då på symmetriska avstånd.

Men mot bakgrund av denna allmänna symmetri tillåter vi i små detaljer medvetet asymmetri. Till exempel att placera en asymmetrisk ficka på bröstet på en kostym.

Komplett felfri symmetri skulle se outhärdligt tråkigt ut. Det är en liten avvikelse från den som ger karakteristiska, individuella egenskaper. Och samtidigt försöker en person ibland betona och stärka skillnaden mellan vänster och höger. Under medeltiden hade män en gång byxor med ben i olika färger. I inte så avlägsna dagar var jeans med ljusa fläckar eller färgade fläckar populära. Men sådant mode är alltid kortlivat. Endast taktfulla, blygsamma avvikelser från symmetri finns kvar under lång tid.

Affärskläder är alltid strikt symmetriska (Fig. 29-30) En festlig outfit kan göras asymmetrisk för att lägga till individualitet till bilden. Men samtidigt blir höger ärm (eller byxben) inte kortare än vänster. De högra och vänstra delarna av kläderna skärs oftast enligt samma mönster, och placerar mönstret av halva produkten på materialet vikt på mitten (bild 31).

Skor är alltid strikt symmetriska.

Hemma.

"Studien av arkeologiska monument visar att mänskligheten redan i början av sin kultur hade en idé om symmetri och implementerade den i ritningar och i vardagliga föremål.

…Användningen av symmetri i primitiv produktion bestämdes inte bara av estetiska motiv, utan till viss del av mänsklig tilltro till dess större lämplighet för utövandet av korrekta former."

A.V.Shubnikov

Biljardspelare är bekanta med reflektion. Deras speglar är sidorna av spelplanen, och strålens roll spelas av bollarnas banor.

Hushållsapparater och möbler, porslin och bestick, filtar och mattor, gardiner, servetter, vaser etc. är symmetriska (bild 40-45)

Symmetri av byarna Storozhevka och Saratov

Du kan se många exempel på symmetri i arkitekturen i staden Saratov och din by. (Fig. 21,25, Fig. 32-39)

IV. Slutsats.

Med tanke på några aspekter av användningen av symmetri i fysik, konst, teknik, biologi, litteratur, kan man märka en viktig aspekt - detta är den filosofiska aspekten av symmetri, eller mer exakt, dialektiken för symmetri och asymmetri. Den utgör grunden för varje vetenskaplig klassificering. Det är detta som bestämmer graden av skönhet som finns i ett visst konstverk eller arkitektur. Om symmetri förknippas med bevarande, det gemensamma, det nödvändiga. Att asymmetri är förknippat med förändring, speciell, annorlunda, slumpmässig. Världen kunde inte vara absolut symmetrisk (ingenting skulle förändras, det skulle inte finnas några skillnader, i en sådan värld skulle ingenting observeras - inga fenomen, inga objekt). En helt asymmetrisk värld kunde inte existera. Det skulle vara en värld utan några lagar, där ingenting är bevarat, där det inte finns några orsakssamband.

V. Använt litteratur:

Pogorelov Geometry 7-11, Moskva: Utbildning, 1992.

L. Tarasov, This amazingly symmetrical world, Moscow: Enlightenment, 1982

M. Gardner, Denna höger, vänstervärld.

Weil G. Symmetri. M.: Redaktionell URSS, 2003.

Zenkevich I.G., Estetik av en matematiklektion: En handbok för lärare. – M.: Utbildning, 1981.

Tidningen "Around the World"

INTERNETresurser:

Symmetri är idén genom vilken människan i århundraden har försökt att förstå och skapa ordning, skönhet och perfektion. (G. Weigel) Författare: Lebedkov Vitaly Valerievich, Lutsenko Maxim Evgenievich, Yasyukevich Ilya Vladimirovich Tomsk-regionen, Tomsk, Municipal Educational Institution Secondary School “Eureka Development, 5β Chef: Sharaburova Elena Vasilievna, Tomsk-regionen, Tomsk Municipal Educational Institution Secondary School “ Eureka Development utveckling 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. Mål och mål Symmetri Typer av symmetri Central symmetri Axialsymmetri Spegelsymmetri Spegelsymmetri Symmetri i naturen Symmetri i arkitektur Mänsklig symmetri Symmetri i konst (blotografi) Design Symmetri i litteratur Symmetri i alfabetet Symmetri i teknik Symmetri i kemi och fysik Slutsatser Genomgång av arbete Referenser 3 4 6 7 8 9 10 11 12 16 12 16 21 23 24 25 2 Ta reda på om det finns symmetri i världen omkring oss. Mål: bekanta dig med begreppet "symmetri"; studera typer av symmetri; lära sig se symmetri inom olika ämnesområden; ta reda på vilka föremål i världen omkring oss som är symmetriska. 3 I gamla tider användes ordet "symmetri" som "skönhet", "harmoni". Termen "harmoni" översatt från grekiska betyder "proportionalitet, enhetlighet i arrangemanget av delar." Den tyske matematikern Hermann Weyl definierade symmetri: "Symmetri är idén med vilken människan i århundraden har försökt förklara och skapa ordning, skönhet och perfektion." Symmetri är proportionalitet, likheten i arrangemanget av delar av något på motsatta sidor av en punkt, rät linje eller plan. 4 Det finns en liknelse om Buridans åsna. En filosof, som hette Buridan, hade en åsna. En gång, medan han lämnade en lång tid, placerade filosofen exakt samma armfulla hö till vänster och höger. Åsnan kunde inte bestämma sig vilken armfull hon skulle börja med och dog av hunger. Det finns en viss sanning i varje skämt: om vänster och höger är så identiska att det är omöjligt att ge företräde åt vare sig det ena eller det andra, så har vi att göra med symmetri, manifesterad i fullständig jämlikhet, i den fullständiga balansen mellan vänster och höger. 5 6 En figur sägs vara symmetrisk med avseende på punkt O om, för varje punkt i figuren, en punkt som är symmetrisk till den med avseende på punkt O också hör till denna figur. Punkt O kallas symmetricentrum för figuren. De säger också att en figur har central symmetri 7 En figur sägs vara symmetrisk med avseende på linje a om för varje punkt i figuren en punkt som är symmetrisk med avseende på linje a också hör till denna figur. Den raka linjen a kallas figurens symmetriaxel. Figuren sägs också ha axiell symmetri. 8 Spegelsymmetri är en kartläggning av rymden på sig själv, där vilken punkt som helst förvandlas till en punkt som är symmetrisk till den, i förhållande till planet a. Vad kan vara mer lik min hand eller mitt öra än deras egen reflektion i spegeln? Och ändå kan handen som jag ser i spegeln inte ersättas i stället för den riktiga handen. Immanuel Kant. 9 Fenomenet symmetri i levande natur uppmärksammades av pytagoreerna i samband med deras utveckling av harmoniläran. Det har fastställts att de två vanligaste typerna av symmetri i naturen är "spegel" och "radiell" (eller "radiell") symmetri. En fjäril, ett blad eller en skalbagge har "spegelsymmetri", och denna typ av symmetri kallas ofta för "bladsymmetri" eller "bilateral symmetri". Former med radiell symmetri inkluderar svamp, kamomill, tall, och ofta kallas denna typ av symmetri "kamomill-svamp"-symmetri. 10 Att bibehålla symmetri är den första regeln för en arkitekt när man designar en struktur. De antika arkitekterna använde sig särskilt briljant av symmetri i arkitektoniska strukturer. Dessutom var de antika grekiska arkitekterna övertygade om att de i sina verk vägleddes av de lagar som styr naturen. Genom att välja symmetriska former uttryckte konstnären därigenom sin förståelse för naturlig harmoni som stabilitet, lugn och balans. 11 Många konstnärer ägnade stor uppmärksamhet åt människokroppens symmetri och proportioner, åtminstone så länge de vägleddes av viljan att följa naturen så nära som möjligt i sina verk. De proportioner som Albrecht Durer och Leonardo da Vinci sammanställt är kända. Enligt dessa kanoner är människokroppen inte bara symmetrisk utan också proportionell. Leonardo upptäckte att kroppen passar in i en cirkel och en fyrkant. Dürer letade efter ett enda mått som skulle stå i ett visst förhållande till längden på bålen eller benet (han ansåg att längden på armen till armbågen var ett sådant mått). Leonardo da Vinci Vitruvian Man 12 Ritning med blottar. Utvecklar kreativitet, fantasi, fantasi. Blotter appliceras på ett pappersark och ett tomt pappersark placeras ovanpå. Fläckar flyttas från ett ark till ett annat. Sedan undersöks de resulterande blottarna, detaljer ritas in, eller vad de såg på bilden heter helt enkelt. 13 Symmetrins egenskaper används ofta i kläddesign. 15 I litterära verk finns en symmetri av bilder, positioner och tänkande. Här är några exempel. I "Eugene Onegin" av A.S. Pushkin observerar vi en symmetri av positioner: Onegin, som en gång förkastade Tatyanas kärlek, tvingas själv uppleva bitterheten av avvisad kärlek några år senare. I A.S. Pushkins tragedi "Boris Godunov" skildras bildernas symmetri vackert. Mördaren av den kungliga arvtagaren som tog tronen ersätts på tronen av den unge prinsens lika intelligenta, lika arrogante som skoningslösa mördare. Och i ”The Tale of Tsar Saltan” ritar A.S Pushkin den majestätiska svanprinsessan med en stjärna i pannan (skönhet – symmetri) och vävarens och kockens sneda skurkar (fulhet – asymmetri 16 1. Symmetri i förhållande till mitten). f 2. Symmetri om den horisontella axeln V E Z K S EYU 17 1. Symmetri om den vertikala axeln 2. Bokstäver med tre typer av symmetri 3. Ej symmetrisk 1. A D L M P T W 2. ZH N O X F. 3. B G R U C H Y Y . i världen finns det ord och till och med fraser som läses på samma sätt både i en riktning och i den andra. De kallas palindromer denna fras kan läsas genom att först läsa de första bokstäverna i alla ord, sedan den andra, etc. Här är den: SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS "Sator Arepo Tenet Opera Rotas", vilket betyder "Såmannen i Arepo har svårt att hålla i hjulen 19 Tekniska föremål - flygplan, bilar, raketer, hammare, muttrar - nästan alla, små som stora, har någon form av symmetri. Är detta en slump? Inom teknik är mekanismernas skönhet och proportionalitet ofta förknippad med deras tillförlitlighet och stabilitet i drift. Användningen av symmetri i tekniken bestäms först och främst av ändamålsenligheten. Ingen behöver en krokig bil eller ett plan med vingar av olika längd. Dessutom är symmetriska föremål vackra. 20 Symmetri i kemi: ammoniakmolekylen NH3 har symmetrin av en vanlig triangulär pyramid, och metanmolekylen CH4 har symmetrin av en tetraeder Inom kemin yttrar sig symmetri främst i den geometriska konfigurationen av molekyler, vilket påverkar de specifika kemiska egenskaperna. av molekyler i ett isolerat tillstånd och när de interagerar med andra atomer och molekyler. När det gäller typerna är de samma som i matematik. Till exempel har ammoniakmolekylen NH3 symmetri av en vanlig triangulär pyramid, och metanmolekylen CH4 har symmetri av en tetraeder. Emellertid saknar komplexa molekyler i allmänhet symmetri. Symmetri i atomernas struktur gäller både fysik och kemi. 21 Fysik är den enda vetenskap där fysisk symmetri tillämpas (därav delvis namnet). Egentligen är det ett system av "objekt-anti-objekt" "aktion-anti-aktion", i allmänhet, "något - "anti-något"", där "anti-något" är något motsatsen till "något". Till exempel: handling - reaktion, materia - antimateria, etc., etc. Det enklaste exemplet på manifestationen av fysisk symmetri - handling är lika med reaktion 22 Tidigare märkte vi inte att det finns så många symmetriska föremål runt omkring oss: i naturen , inom arkitektur, inom kläder, fysik, kemi, matematik, litteratur, etc. Tack vare det utförda arbetet började vi märka att det finns liknande saker i livet, d.v.s. symmetriska, och det finns helt icke-symmetriska, detta är hela det unika i vår värld. 23 Under arbetets gång blev barnen bekanta med de transformationer av figurer som kom in i matematiken som ett resultat av mänsklig observation av omvärlden. Vi lärde oss vilka typer av symmetri som finns och vad innebörden av symmetri är i världen omkring oss. Samtidigt insåg killarna att det är mycket trevligare för det mänskliga ögat att titta på symmetriska saker, för i översättning betyder "symmetri" "proportionalitet", "ordning". Det finns en åsikt att världen vilar på symmetri, eftersom vi ofrivilligt upplever en känsla av tillfredsställelse med den universella ordning som råder i naturen och omkring oss. Arbetet med ämnet gav eleverna inte bara ny kunskap, utan lärde dem också att arbeta i en grupp, samt att använda förmågan hos modern programvara och olika informationskällor i sitt arbete. 24 Glazer G.D. Geometri. – 12:e upplagan - M., "Enlightenment", 1992. Tarasov L.V. Denna fantastiska symmetriska värld. – M.: Utbildning, 1982. Urmantsev Yu.A. Symmetri i naturen och symmetrins natur. M., Mysl, 1974. sid. 230. I.F. Sharygin, L.N. Erganzhieva “Visual Geometry”, M.: Bustard, 2008 - 189 s. Internetresurser. 25

Klass: 8

Presentation för lektionen

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisningar av bilder är endast i informationssyfte och representerar kanske inte alla funktioner i presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.

Syftet med lektionen: lära ut hur man konstruerar axiell symmetri av geometriska figurer.

Uppgifter:

1. Pedagogisk:

• överväga symmetriska punkter och figurer i förhållande till en rak linje;
• lära ut hur man konstruerar symmetriska punkter och känner igen figurer med axiell symmetri;
• betrakta axiell symmetri som en egenskap hos vissa geometriska figurer.
• få en uppfattning om symmetri i matematik och omvärlden.

• utveckla logiskt tänkande;
• aktivera mental aktivitet genom användning av informationsteknologi

Former för att organisera utbildningsaktiviteter: hel klass, individuell, par.

Lektionstyp: Studera och primär konsolidering av ny kunskap.

Lektionsplanering:

• symmetri av en punkt i förhållande till en rät linje;
• konstruktion av axiell symmetri av en punkt på ett plan;
• symmetri av figuren i förhållande till en rak linje;
• konstruktion av axiell symmetri av geometriska figurer;
• tillämpning av förvärvad kunskap vid problemlösning.

Utrustning: projektor; skärm; dubbelsidig bräda (krita, markör); fyrkant; Handout; lärarens pekare; färgpennor; linjaler.

Under lektionerna

jag. Organisation av början av lektionen

Glida.

Hej killar, sitt ner.

Idag i klassen kommer vi att göra många kreativa och underhållande uppgifter. Så var uppmärksam på skärmen!

II. Rapportera ämnet, syftet och målen för lektionen

Ämnet för vår lektion är "Symmetri i matematik och världen omkring oss."

Idag på lektionen kommer vi att bekanta oss med begreppet symmetri, lära oss hur man konstruerar punkter som är symmetriska relativt en rät linje; Vi kommer att lösa problem med att konstruera geometriska figurers symmetri.

Vid slutförande av uppdrag kommer vi att utvärdera arbetet. Enligt mina instruktioner kommer du för varje korrekt utförd uppgift att fylla i en av cirklarna längst upp Blad 1 (bilaga).

III. Att lära sig ny kunskap

Glida.

Låt oss börja med att se till att vi definierar termen "symmetri".

Vad tror du att ordet "symmetri" betyder?

Var kan vi hitta symmetri i livet?

Jag ska sammanfatta dina svar. Symmetri (från grekiskan Symmetria - proportionalitet), i vid mening, är oföränderligheten av strukturen hos ett materiellt föremål i förhållande till dess transformationer.

Symmetri spelar en stor roll inom konst och arkitektur. Men det syns både i musik och poesi.

Symmetri finns i stor utsträckning i naturen, särskilt i kristaller, växter och djur. Symmetri kan hittas inte bara i geometri, utan även i andra grenar av matematiken, till exempel i algebra - när man konstruerar grafer över funktioner.

Det finns två typer av symmetri: axiell och central. Låt oss fylla i diagrammet i handouten Blad 1.

Idag kommer vi bara att överväga axiell symmetri.

Hitta en mening som säger vilka två punkter som kallas symmetriska.

OPR: Två punkter A och A1 kallas symmetriska med avseende på linje a om denna linje går genom mitten av segmentet AA1 och vinkelrätt mot det.

Låt oss analysera definitionen. Vilka villkor måste vara uppfyllda för att entydigt kunna säga att punkt A är symmetrisk med punkt A1 relativt rät linje a? ( AA 1⊥ a och AO=OA 1)

Låt oss skriva på ett mer geometriskt språk inom parentes villkoret för symmetri av punkterna A och A 1 .

Låt oss lära oss hur man konstruerar tillsammans en punkt som är symmetrisk till en given linje i förhållande till en rät linje. För detta hittar vi i handouten Övning 1. Låt oss ta en fyrkant och en penna i våra händer. (läraren bygger på tavlan)

Stadier för att lösa problemet: (på skärmen)

• Konstruera en vinkelrät från punkt A till linje a;
• O – skärningspunkten för den vinkelräta och räta linjen a;
• Förläng vinkelrät bortom linjen a;
• Placera ett segment lika med segment OA på fortsättningen av vinkelrät;
• AO=OA 1
• Punkterna A och A 1 är symmetriska i förhållande till rät linje a.

Vi gör det muntlig uppgift: Vilka punkter i bilderna är symmetriska?

Svar: Endast bild 2.

Vem är redo att förklara?

Vem håller med om svaret, räck upp handen? Fyll i en cirkel längst upp Blad 1.

Många figurer har också axiell symmetri.

ODA: Figuren sägs vara symmetrisk kring en rät linjea, om det för varje punkt i figuren finns en punkt som är symmetrisk till den i förhållande till den räta linjen A tillhör också denna figur.

VII. Konsolidering av kunskap

Låt oss titta på geometriska former och avgöra om de har eller inte har axiell symmetri.

vi arbetar med uppgift 2 Blad2.

- Uppgift 2: Rita alla symmetriaxlarna på de geometriska figurerna som visas och skriv ner hur många det finns i kolumnen "Antal axlar".

Du kan rådfråga din skrivbordsgranne.

Så låt oss kontrollera lösningen på problemet på skärmen och korrigera eventuella felaktigheter i att lösa problemet.

Räck upp händerna, vem ritade alla yxor på torget? En cirkel har målats.

Räck upp händerna, vem identifierade cirkelns axel korrekt? En cirkel har målats.

Tror du att alla geometriska figurer har symmetriaxlar? Sant, inte alla. Låt oss titta på skärmen.

Lägg dina pennor åt sidan, låt oss bestämma muntligt uppgift : Hur många axlar gör: segment; hetero; Stråle?

Låt oss resonera. Vi analyserar varje fall sekventiellt.

Vem är redo att svara?

De som håller med räckte upp handen. Fyll i en av cirklarna.

Gymnastik för ögonen 1 min.

– Våra ögon är trötta av hårt arbete. Låt oss ge dem möjlighet att slappna av lite genom att göra några ögonövningar.

VIII. Generalisering och systematisering

Låt oss nu lösa två praktiska problem med hjälp av bladet "lektionsmaterial".

Uppgift 3: Konstruera ett segment som är symmetriskt till det givna.

Låt oss analysera problemets tillstånd: Hur konstruerar man ett segment som är symmetriskt till ett givet i förhållande till en rät linje?

Vad är ett segment? ( En del av en rak linje, begränsad på båda sidor.)

Vad är tillräckligt att bygga för att lösa problemet? ( Symmetrin för de punkter som är segmentets ändar.)

Slutsats: Eftersom segmentet är begränsat av två punkter räcker det att konstruera punkter som är symmetriska med punkterna A och B relativt den räta linjen c och förbinda dem.

Vi arbetar självständigt, en person i styrelsen.

X. Lektionssammanfattning

Vilket koncept lärde vi oss i klassen idag? ( Symmetri.)

Vilken typ av symmetri har vi tänkt på? ( Axial.)

Vad lärde du dig på lektionen? ( Konstruera en punkt som är symmetrisk relativt en given linje; bygga en symmetriaxel av geometriska figurer; konstruera en figur som är symmetrisk till en given i förhållande till en given linje.)

Nu räknar alla de fyllda cirklarna.

Räck upp händerna, vem har exakt 4 eller 5 fyllda cirklar? Placera en "5" bredvid cirklarna.

Räck upp händerna, vem har exakt 3 fyllda cirklar? Placera ett "4"-märke bredvid cirklarna.

För de som fick färre cirklar, var inte upprörd - du kunde bara inte omedelbart hitta svaret på frågan.

Sammanfattningsvis kan symmetri hittas nästan var som helst om du vet hur man letar efter det. Sedan urminnes tider har många folk haft en idé om symmetri i vid mening - som balans och harmoni. Mänsklig kreativitet i alla dess yttringar tenderar mot symmetri. Genom symmetri har människan alltid försökt, med den tyske matematikern Hermann Weyls ord, "att förstå och skapa ordning, skönhet och perfektion."

Tack för ditt aktiva arbete.