Begrepp om gränser för sekvenser och funktioner. När det är nödvändigt att hitta gränsen för en sekvens skrivs den så här: lim xn=a. I en sådan sekvens av sekvenser tenderar xn till a och n tenderar till oändlighet. Sekvensen representeras vanligtvis som en serie, till exempel:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Sekvenser är uppdelade i ökande och minskande. Till exempel:
xn=n^2 - ökande sekvens
yn=1/n - sekvens
Så, till exempel, gränsen för sekvensen xn=1/n^:
gräns 1/n^2=0
x→∞
Denna gräns är lika med noll, eftersom n→∞, och sekvensen 1/n^2 tenderar mot noll.
Vanligtvis tenderar en variabel kvantitet x till en ändlig gräns a, och x närmar sig konstant a, och kvantiteten a är konstant. Detta skrivs så här: limx =a, medan n också kan tendera till antingen noll eller oändligt. Det finns oändliga funktioner, för vilka gränsen tenderar att vara oändlig. I andra fall, när till exempel funktionen bromsar ett tåg, är det möjligt att gränsen tenderar mot noll.
Limits har ett antal egenskaper. Vanligtvis har alla funktioner bara en gräns. Detta är gränsens huvudsakliga egenskap. Andra listas nedan:
* Beloppsgränsen är lika med summan av gränserna:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Produktgränsen är lika med produkten av gränserna:
lim(xy)=lim x*lim y
* Gränsen för kvoten är lika med kvoten för gränserna:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Konstantfaktorn tas utanför gränstecknet:
lim(Cx)=C lim x
Givet en funktion 1 /x där x →∞ är dess gräns noll. Om x→0 är gränsen för en sådan funktion ∞.
För trigonometriska funktioner finns några av dessa regler. Eftersom funktionen sin x alltid tenderar till enhet när den närmar sig noll, gäller identiteten för den:
lim sin x/x=1
I ett antal funktioner finns funktioner, vid beräkning av gränserna för vilka osäkerhet uppstår - en situation där gränsen inte kan beräknas. Den enda vägen ut ur denna situation är L'Hopital. Det finns två typer av osäkerheter:
* formens osäkerhet 0/0
* osäkerhet i formen ∞/∞
Till exempel ges en gräns av följande form: lim f(x)/l(x) och f(x0)=l(x0)=0. I detta fall uppstår en osäkerhet av formen 0/0. För att lösa ett sådant problem är båda funktionerna differentierade, varefter gränsen för resultatet hittas. För osäkerheter av typen 0/0 är gränsen:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (vid x→0)
Samma regel gäller även för osäkerheter av typen ∞/∞. Men i detta fall gäller följande likhet: f(x)=l(x)=∞
Med hjälp av L'Hopitals regel kan du hitta värdena för alla gränser där osäkerheter uppstår. En förutsättning för
volym - inga fel när man hittar derivator. Så till exempel är derivatan av funktionen (x^2)" lika med 2x. Härifrån kan vi dra slutsatsen att:
f"(x)=nx^(n-1)
Låt oss titta på några illustrativa exempel.
Låt x vara en numerisk variabel, X området för dess förändring. Om varje nummer x som hör till X är associerat med ett visst tal y, så säger de att en funktion är definierad på mängden X, och skriver y = f(x).
X-uppsättningen i detta fall är ett plan som består av två koordinataxlar - 0X och 0Y. Låt oss till exempel skildra funktionen y = x 2. 0X- och 0Y-axlarna bildar X - området för dess förändring. Figuren visar tydligt hur funktionen beter sig. I det här fallet säger de att funktionen y = x 2 är definierad på mängden X.
Mängden Y av alla delvärden för en funktion kallas för värdeuppsättningen f(x). Med andra ord är uppsättningen värden intervallet längs 0Y-axeln där funktionen definieras. Den avbildade parabeln visar tydligt att f(x) > 0, eftersom x2 > 0. Därför kommer värdeintervallet att vara . Vi tittar på många värden av 0Y.
Mängden av alla x kallas domänen av f(x). Vi tittar på många definitioner av 0X och i vårt fall är intervallet för acceptabla värden [-; +].
En punkt a (a tillhör eller X) kallas en gränspunkt för mängden X om det i någon grannskap av punkten a finns punkter i mängden X som skiljer sig från a.
Det är dags att förstå vad som är gränsen för en funktion?
Det rena b som funktionen tenderar till som x tenderar till talet a kallas gränsen för funktionen. Detta skrivs så här:
Till exempel, f(x) = x 2. Vi måste ta reda på vad funktionen tenderar att (inte är lika med) vid x 2. Först skriver vi ner gränsen:
Låt oss titta på grafen.
Låt oss rita en linje parallell med 0Y-axeln genom punkt 2 på 0X-axeln. Den kommer att skära vår graf vid punkt (2;4). Låt oss släppa en vinkelrät från denna punkt till 0Y-axeln och komma till punkt 4. Detta är vad vår funktion strävar efter vid x 2. Om vi nu substituerar värdet 2 i funktionen f(x) blir svaret detsamma .
Nu innan vi går vidare till beräkning av gränser, låt oss introducera grundläggande definitioner.
Introducerad av den franske matematikern Augustin Louis Cauchy på 1800-talet.
Låt oss säga att funktionen f(x) är definierad på ett visst intervall som innehåller punkten x = A, men det är inte alls nödvändigt att värdet på f(A) definieras.
Sedan, enligt Cauchys definition, gränsen för funktionen f(x) kommer att vara ett visst tal B där x tenderar mot A om det för varje C > 0 finns ett tal D > 0 för vilket
Dessa. om funktionen f(x) vid x A begränsas av gräns B skrivs detta som
Sekvensgräns ett visst tal A anropas om det för något godtyckligt litet positivt tal B > 0 finns ett tal N för vilket alla värden i fallet n > N uppfyller olikheten
Den här gränsen ser ut som .
En sekvens som har en gräns kommer att kallas konvergent om inte, kommer vi att kalla den divergent.
Som du redan har märkt indikeras gränser av lim-ikonen, under vilken ett villkor för variabeln skrivs, och sedan skrivs själva funktionen. En sådan uppsättning kommer att läsas som "gränsen för en funktion som är föremål för...". Till exempel:
- gränsen för funktionen som x tenderar till 1.
Uttrycket "närmar sig 1" betyder att x successivt antar värden som närmar sig 1 oändligt nära.
Nu blir det klart att för att beräkna denna gräns räcker det att ersätta x med värdet 1:
Förutom ett specifikt numeriskt värde kan x också tendera mot oändligheten. Till exempel:
Uttrycket x betyder att x ständigt ökar och närmar sig oändligheten utan gräns. Därför, genom att ersätta x med oändlighet, blir det uppenbart att funktionen 1-x tenderar att , men med motsatt tecken:
Således, beräkning av gränser handlar om att hitta dess specifika värde eller ett visst område där den funktion som begränsas av gränsen faller.
Baserat på ovanstående följer det att vid beräkning av gränser är det viktigt att använda flera regler:
Förståelse gränsens kärna och grundläggande regler gränsberäkningar, får du nyckelinsikter i hur du löser dem. Om någon gräns orsakar dig svårigheter, skriv då i kommentarerna så hjälper vi dig definitivt.
Notera: Juridik är vetenskapen om lagar, som hjälper till vid konflikter och andra livssvårigheter.
Vid beräkning av gränser bör man ta hänsyn till följande grundläggande regler:
1. Gränsen för summan (skillnaden) av funktioner är lika med summan (skillnaden) av termernas gränser:
2. Gränsen för en produkt av funktioner är lika med produkten av gränserna för faktorerna:
3. Gränsen för förhållandet mellan två funktioner är lika med förhållandet mellan gränserna för dessa funktioner:
.
4. Den konstanta faktorn kan tas bortom gränstecknet:
.
5. Gränsen för en konstant är lika med själva konstanten:
6. För kontinuerliga funktioner kan gräns- och funktionssymbolerna bytas:
.
Att hitta gränsen för en funktion bör börja med att ersätta värdet i uttrycket för funktionen. Dessutom, om det numeriska värdet 0 eller ¥ erhålls, har den önskade gränsen hittats.
Exempel 2.1. Beräkna gränsen.
Lösning.
.
Uttryck av formen , , , , , kallas osäkerheter.
Om du får en osäkerhet i formen måste du för att hitta gränsen transformera funktionen för att avslöja denna osäkerhet.
Formosäkerhet erhålls vanligtvis när gränsen för förhållandet mellan två polynom anges. I det här fallet, för att beräkna gränsen, rekommenderas att faktorisera polynomen och reducera dem med en gemensam faktor. Denna multiplikator är noll vid gränsvärdet X .
Exempel 2.2. Beräkna gränsen.
Lösning.
Om vi ersätter , får vi osäkerhet:
.
Låt oss faktorisera täljaren och nämnaren:
;
Låt oss minska med en gemensam faktor och få
.
En osäkerhet i formen erhålls när gränsen för förhållandet mellan två polynom ges vid . I det här fallet, för att beräkna det, rekommenderas att dividera båda polynomen med X i seniorexamen.
Exempel 2.3. Beräkna gränsen.
Lösning. När vi ersätter ∞ får vi en osäkerhet i formen , så vi delar alla termer i uttrycket med x 3.
.
Här beaktas att .
När man beräknar gränserna för en funktion som innehåller rötter, rekommenderas att multiplicera och dividera funktionen med dess konjugat.
Exempel 2.4. Beräkna gräns
Lösning.
När man beräknar gränser för att avslöja osäkerheten i formen eller (1) ∞, används ofta de första och andra anmärkningsvärda gränserna:
Många problem förknippade med den kontinuerliga tillväxten av en viss kvantitet leder till den andra anmärkningsvärda gränsen.
Låt oss betrakta exemplet med Ya I. Perelman, som ger en tolkning av numret e i föreningsränteproblemet. I sparbanker läggs räntepengar till det fasta kapitalet årligen. Om anslutningen görs oftare, växer kapitalet snabbare, eftersom ett större belopp är inblandat i bildandet av intresse. Låt oss ta ett rent teoretiskt, mycket förenklat exempel.
Låt 100 deniers sättas in på banken. enheter baserat på 100 % per år. Om räntepengar läggs till det fasta kapitalet först efter ett år, då vid denna period 100 den. enheter kommer att förvandlas till 200 monetära enheter.
Låt oss nu se vad 100 denize kommer att förvandlas till. enheter, om räntepengar läggs till fast kapital var sjätte månad. Efter sex månader, 100 den. enheter kommer att växa med 100 × 1,5 = 150, och efter ytterligare sex månader - med 150 × 1,5 = 225 (den. enheter). Om anslutningen görs var 1/3 av året, så efter ett år 100 den. enheter kommer att förvandlas till 100 × (1 +1/3) 3 "237 (den. enheter).
Vi kommer att öka villkoren för att lägga till räntepengar till 0,1 år, till 0,01 år, till 0,001 år osv. Sedan av 100 den. enheter efter ett år blir det:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. enheter),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den.enheter),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. enheter).
Med en obegränsad minskning av villkoren för att lägga till ränta växer det ackumulerade kapitalet inte i det oändliga, utan närmar sig en viss gräns lika med cirka 271. Kapitalet som sätts in med 100 % per år kan inte öka med mer än 2,71 gånger, även om den upplupna räntan lades till huvudstaden varje bara en sekund eftersom
Exempel 2.5. Beräkna gränsen för en funktion
Lösning.
Exempel 2.6. Beräkna gränsen för en funktion .
Lösning. Ersätter vi får vi osäkerheten:
.
Med hjälp av den trigonometriska formeln omvandlar vi täljaren till en produkt:
Som ett resultat får vi
Här beaktas den andra anmärkningsvärda gränsen.
Exempel 2.7. Beräkna gränsen för en funktion
Lösning.
.
För att avslöja osäkerheten i formen eller, kan du använda L'Hopitals regel, som är baserad på följande teorem.
Sats. Gränsen för förhållandet mellan två infinitesimala eller oändligt stora funktioner är lika med gränsen för förhållandet mellan deras derivator
Observera att denna regel kan tillämpas flera gånger i rad.
Exempel 2.8. Hitta
Lösning. Vid byte har vi en osäkerhet i formen. Att tillämpa L'Hopitals regel, vi får
Kontinuitet i funktion
En viktig egenskap hos en funktion är kontinuitet.
Definition. Funktionen övervägs kontinuerlig, om en liten förändring i värdet på argumentet innebär en liten förändring i värdet på funktionen.
Matematiskt skrivs detta så här: när
Med och menas ökningen av variabler, det vill säga skillnaden mellan de efterföljande och föregående värdena: , (Figur 2.3)
Figur 2.3 – Ökning av variabler |
Av definitionen av en funktion kontinuerlig vid punkten följer att . Denna jämlikhet innebär att tre villkor är uppfyllda:
Lösning. För funktion punkten är misstänkt för en diskontinuitet, låt oss kolla detta och hitta ensidiga gränser
Därför, , betyder - brytpunkt
Derivata av en funktion
Funktionsgräns- nummer a kommer att vara gränsen för någon variabel kvantitet om denna variabla kvantitet närmar sig under dess förändring på obestämd tid a.
Eller med andra ord, antalet Aär gränsen för funktionen y = f(x) vid punkten x 0, om för någon sekvens av punkter från definitionsdomänen för funktionen , inte lika x 0, och som konvergerar till punkten x 0 (lim x n = x0), sekvensen av motsvarande funktionsvärden konvergerar till talet A.
Grafen för en funktion vars gräns, givet ett argument som tenderar mot oändligheten, är lika med L:
Menande Aär gräns (gränsvärde) för funktionen f(x) vid punkten x 0 i fallet för någon sekvens av punkter , som konvergerar till x 0, men som inte innehåller x 0 som ett av dess element (d.v.s. i den punkterade närheten x 0), sekvens av funktionsvärden konvergerar till A.
Gräns för en Cauchy-funktion.
Menande A kommer att vara gränsen för funktionen f(x) vid punkten x 0 om för något icke-negativt nummer tas i förväg ε motsvarande icke-negativa nummer kommer att hittas δ = δ(ε) så att för varje argument x, som uppfyller villkoret 0 < | x - x0 | < δ , kommer ojämlikheten att tillfredsställas | f(x)A |< ε .
Det kommer att vara väldigt enkelt om du förstår kärnan i gränsen och de grundläggande reglerna för att hitta den. Vad är gränsen för funktionen f (x) på x strävar efter a lika A, skrivs så här:
Dessutom värdet som variabeln tenderar mot x, kan inte bara vara ett tal, utan också oändlighet (∞), ibland +∞ eller -∞, eller så kanske det inte finns någon gräns alls.
För att förstå hur hitta gränserna för en funktion, är det bäst att titta på exempel på lösningar.
Det är nödvändigt att hitta gränserna för funktionen f (x) = 1/x på:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Låt oss hitta en lösning på den första gränsen. För att göra detta kan du helt enkelt ersätta x siffran den tenderar till, dvs. 2, vi får:
Låt oss hitta den andra gränsen för funktionen. Här ersätter du ren 0 istället x det är omöjligt, eftersom Du kan inte dividera med 0. Men vi kan ta värden nära noll, till exempel 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 och så vidare, och värdet på funktionen f (x) kommer att öka: 100; 1000; 10 000; 100 000 och så vidare. Således kan det förstås att när x→ 0 värdet på funktionen som står under gränstecknet kommer att öka utan gräns, d.v.s. sträva mot oändligheten. Vilket betyder:
Angående den tredje gränsen. Samma situation som i föregående fall, det är omöjligt att ersätta ∞ i sin renaste form. Vi måste överväga fallet med obegränsad ökning x. Vi ersätter 1000 en efter en; 10 000; 100 000 och så vidare, vi har det värdet på funktionen f (x) = 1/x kommer att minska: 0,001; 0,0001; 0,00001; och så vidare, tenderar till noll. Det är därför:
Det är nödvändigt att beräkna gränsen för funktionen
När vi börjar lösa det andra exemplet ser vi osäkerhet. Härifrån hittar vi den högsta graden av täljare och nämnare - detta är x 3, tar vi det från parentes i täljaren och nämnaren och minskar det sedan med:
Svar
Första steget in hitta denna gräns, ersätt värdet 1 istället x, vilket leder till osäkerhet. För att lösa det, låt oss faktorisera täljaren och göra detta med metoden för att hitta rötterna till en andragradsekvation x 2 + 2x - 3:
D = 22 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ xl = -3;x 2= 1.
Så täljaren blir:
Svar
Detta är definitionen av dess specifika värde eller ett visst område där funktionen faller, vilket begränsas av gränsen.
För att lösa gränser, följ reglerna:
Efter att ha förstått essensen och huvudet regler för att lösa gränsen, får du en grundläggande förståelse för hur du löser dem.