Begränsa där x tenderar till oändlighet. Funktionsgräns

Begrepp om gränser för sekvenser och funktioner. När det är nödvändigt att hitta gränsen för en sekvens skrivs den så här: lim xn=a. I en sådan sekvens av sekvenser tenderar xn till a och n tenderar till oändlighet. Sekvensen representeras vanligtvis som en serie, till exempel:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Sekvenser är uppdelade i ökande och minskande. Till exempel:
xn=n^2 - ökande sekvens
yn=1/n - sekvens
Så, till exempel, gränsen för sekvensen xn=1/n^:
gräns 1/n^2=0

x→∞
Denna gräns är lika med noll, eftersom n→∞, och sekvensen 1/n^2 tenderar mot noll.

Vanligtvis tenderar en variabel kvantitet x till en ändlig gräns a, och x närmar sig konstant a, och kvantiteten a är konstant. Detta skrivs så här: limx =a, medan n också kan tendera till antingen noll eller oändligt. Det finns oändliga funktioner, för vilka gränsen tenderar att vara oändlig. I andra fall, när till exempel funktionen bromsar ett tåg, är det möjligt att gränsen tenderar mot noll.
Limits har ett antal egenskaper. Vanligtvis har alla funktioner bara en gräns. Detta är gränsens huvudsakliga egenskap. Andra listas nedan:
* Beloppsgränsen är lika med summan av gränserna:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Produktgränsen är lika med produkten av gränserna:
lim(xy)=lim x*lim y
* Gränsen för kvoten är lika med kvoten för gränserna:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Konstantfaktorn tas utanför gränstecknet:
lim(Cx)=C lim x
Givet en funktion 1 /x där x →∞ är dess gräns noll. Om x→0 är gränsen för en sådan funktion ∞.
För trigonometriska funktioner finns några av dessa regler. Eftersom funktionen sin x alltid tenderar till enhet när den närmar sig noll, gäller identiteten för den:
lim sin x/x=1

I ett antal funktioner finns funktioner, vid beräkning av gränserna för vilka osäkerhet uppstår - en situation där gränsen inte kan beräknas. Den enda vägen ut ur denna situation är L'Hopital. Det finns två typer av osäkerheter:
* formens osäkerhet 0/0
* osäkerhet i formen ∞/∞
Till exempel ges en gräns av följande form: lim f(x)/l(x) och f(x0)=l(x0)=0. I detta fall uppstår en osäkerhet av formen 0/0. För att lösa ett sådant problem är båda funktionerna differentierade, varefter gränsen för resultatet hittas. För osäkerheter av typen 0/0 är gränsen:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (vid x→0)
Samma regel gäller även för osäkerheter av typen ∞/∞. Men i detta fall gäller följande likhet: f(x)=l(x)=∞
Med hjälp av L'Hopitals regel kan du hitta värdena för alla gränser där osäkerheter uppstår. En förutsättning för

volym - inga fel när man hittar derivator. Så till exempel är derivatan av funktionen (x^2)" lika med 2x. Härifrån kan vi dra slutsatsen att:
f"(x)=nx^(n-1)

Låt oss titta på några illustrativa exempel.

Låt x vara en numerisk variabel, X området för dess förändring. Om varje nummer x som hör till X är associerat med ett visst tal y, så säger de att en funktion är definierad på mängden X, och skriver y = f(x).
X-uppsättningen i detta fall är ett plan som består av två koordinataxlar - 0X och 0Y. Låt oss till exempel skildra funktionen y = x 2. 0X- och 0Y-axlarna bildar X - området för dess förändring. Figuren visar tydligt hur funktionen beter sig. I det här fallet säger de att funktionen y = x 2 är definierad på mängden X.

Mängden Y av alla delvärden för en funktion kallas för värdeuppsättningen f(x). Med andra ord är uppsättningen värden intervallet längs 0Y-axeln där funktionen definieras. Den avbildade parabeln visar tydligt att f(x) > 0, eftersom x2 > 0. Därför kommer värdeintervallet att vara . Vi tittar på många värden av 0Y.

Mängden av alla x kallas domänen av f(x). Vi tittar på många definitioner av 0X och i vårt fall är intervallet för acceptabla värden [-; +].

En punkt a (a tillhör eller X) kallas en gränspunkt för mängden X om det i någon grannskap av punkten a finns punkter i mängden X som skiljer sig från a.

Det är dags att förstå vad som är gränsen för en funktion?

Det rena b som funktionen tenderar till som x tenderar till talet a kallas gränsen för funktionen. Detta skrivs så här:

Till exempel, f(x) = x 2. Vi måste ta reda på vad funktionen tenderar att (inte är lika med) vid x 2. Först skriver vi ner gränsen:

Låt oss titta på grafen.

Låt oss rita en linje parallell med 0Y-axeln genom punkt 2 på 0X-axeln. Den kommer att skära vår graf vid punkt (2;4). Låt oss släppa en vinkelrät från denna punkt till 0Y-axeln och komma till punkt 4. Detta är vad vår funktion strävar efter vid x 2. Om vi ​​nu substituerar värdet 2 i funktionen f(x) blir svaret detsamma .

Nu innan vi går vidare till beräkning av gränser, låt oss introducera grundläggande definitioner.

Introducerad av den franske matematikern Augustin Louis Cauchy på 1800-talet.

Låt oss säga att funktionen f(x) är definierad på ett visst intervall som innehåller punkten x = A, men det är inte alls nödvändigt att värdet på f(A) definieras.

Sedan, enligt Cauchys definition, gränsen för funktionen f(x) kommer att vara ett visst tal B där x tenderar mot A om det för varje C > 0 finns ett tal D > 0 för vilket

Dessa. om funktionen f(x) vid x A begränsas av gräns B skrivs detta som

Sekvensgräns ett visst tal A anropas om det för något godtyckligt litet positivt tal B > 0 finns ett tal N för vilket alla värden i fallet n > N uppfyller olikheten

Den här gränsen ser ut som .

En sekvens som har en gräns kommer att kallas konvergent om inte, kommer vi att kalla den divergent.

Som du redan har märkt indikeras gränser av lim-ikonen, under vilken ett villkor för variabeln skrivs, och sedan skrivs själva funktionen. En sådan uppsättning kommer att läsas som "gränsen för en funktion som är föremål för...". Till exempel:

- gränsen för funktionen som x tenderar till 1.

Uttrycket "närmar sig 1" betyder att x successivt antar värden som närmar sig 1 oändligt nära.

Nu blir det klart att för att beräkna denna gräns räcker det att ersätta x med värdet 1:

Förutom ett specifikt numeriskt värde kan x också tendera mot oändligheten. Till exempel:

Uttrycket x betyder att x ständigt ökar och närmar sig oändligheten utan gräns. Därför, genom att ersätta x med oändlighet, blir det uppenbart att funktionen 1-x tenderar att , men med motsatt tecken:

Således, beräkning av gränser handlar om att hitta dess specifika värde eller ett visst område där den funktion som begränsas av gränsen faller.

Baserat på ovanstående följer det att vid beräkning av gränser är det viktigt att använda flera regler:

Förståelse gränsens kärna och grundläggande regler gränsberäkningar, får du nyckelinsikter i hur du löser dem. Om någon gräns orsakar dig svårigheter, skriv då i kommentarerna så hjälper vi dig definitivt.

Notera: Juridik är vetenskapen om lagar, som hjälper till vid konflikter och andra livssvårigheter.

Ansökan

Begränsningar online på webbplatsen för studenter och skolbarn för att fullständigt konsolidera materialet de har täckt. Hur hittar man gränsen online med hjälp av vår resurs? Detta är mycket enkelt att göra; du behöver bara skriva den ursprungliga funktionen korrekt med variabeln x, välj önskad oändlighet från väljaren och klicka på "Lös"-knappen. I det fall där gränsen för en funktion måste beräknas vid någon punkt x, måste du ange det numeriska värdet för just denna punkt. Du kommer att få svar på lösningen av gränsen inom några sekunder, med andra ord - omedelbart. Men om du lämnar felaktiga uppgifter kommer tjänsten automatiskt att meddela dig om felet. Korrigera den tidigare införda funktionen och få rätt lösning till gränsen. För att lösa gränserna används alla möjliga tekniker, L'Hopitals metod används särskilt ofta, eftersom den är universell och leder till ett svar snabbare än andra metoder för att beräkna gränsen för en funktion. Det är intressant att titta på exempel där modulen finns. Förresten, enligt reglerna för vår resurs, betecknas en modul av den klassiska vertikala stapeln i matematik "|" eller Abs(f(x)) från latinets absoluta. Ofta krävs det att lösa en gräns för att beräkna summan av en talföljd. Som alla vet behöver du bara korrekt uttrycka delsumman av sekvensen som studeras, och sedan är allt mycket enklare, tack vare vår kostnadsfria webbtjänst, eftersom beräkning av gränsen för delsumman är den slutliga summan av den numeriska sekvensen. Generellt sett är teorin om övergång till gränsen grundkonceptet för all matematisk analys. Allt bygger just på passager till gränser, det vill säga att lösa gränser är grunden för vetenskapen om matematisk analys. Vid integration används även passage till gränsen, då integralen enligt teorin representeras som summan av ett obegränsat antal områden. Där det finns ett obegränsat antal av något, det vill säga antalet objekts tendens till oändlighet, träder alltid teorin om gränsövergångar i kraft, och i sin allmänt accepterade form är detta en lösning på de gränser som är bekanta för alla. Att lösa gränser online på sajten är en unik tjänst för att få ett korrekt och omedelbart svar i realtid. Gränsen för en funktion (det gränsvärde värdet för en funktion) vid en given punkt, begränsningspunkten för funktionens definitionsdomän, är det värde som värdet på funktionen i fråga tenderar mot eftersom dess argument tenderar till en given punkt. Det är inte ovanligt, och vi skulle till och med säga väldigt ofta, att elever har frågan om att lösa gränser på nätet när de studerar matematisk analys. När du undrar över att lösa en gräns online med en detaljerad lösning endast i speciella fall, blir det tydligt att du inte kan hantera ett komplext problem utan att använda en gränsräknare. Att lösa gränser med vår tjänst är en garanti för noggrannhet och enkelhet Gränsen för en funktion är en generalisering av begreppet en gräns för en sekvens: initialt förstods gränsen för en funktion vid en punkt som gränsen för en sekvens av. element i domänen av värden för en funktion, sammansatt av bilder av punkter i en sekvens av element i definitionsdomänen för en funktion som konvergerar till en given punkt (gräns vid vilken övervägs); om en sådan gräns finns, sägs funktionen konvergera till det specificerade värdet; om en sådan gräns inte finns, sägs funktionen divergera. Att lösa gränser online blir ett enkelt svar för användare förutsatt att de vet hur man löser gränser online med hjälp av webbplatsen. Låt oss hålla fokus och inte låta misstag orsaka oss problem i form av otillfredsställande betyg. Som alla lösningar på begränsningar online kommer ditt problem att presenteras i en bekväm och begriplig form, med en detaljerad lösning, i enlighet med alla regler och förordningar för att få en lösning. Oftast är definitionen av gränsen för en funktion formulerad på kvartersspråk. Här betraktas gränserna för en funktion endast vid punkter som är begränsande för funktionens definitionsdomän, vilket innebär att det i varje grannskap av en given punkt finns punkter från definitionsdomänen för just denna funktion. Detta gör att vi kan prata om funktionsargumentets tendens till en given punkt. Men gränspunkten för definitionsdomänen behöver inte tillhöra själva definitionsdomänen, och detta bevisas genom att lösa gränsen: man kan till exempel betrakta gränsen för en funktion i ändarna av det öppna intervallet där funktionen är definierad. I det här fallet ingår inte själva gränserna för intervallet i definitionsdomänen. I denna mening är ett system av punkterade områden av en given punkt ett specialfall av en sådan bas av uppsättningar. Att lösa gränser online med en detaljerad lösning görs i realtid och med hjälp av formler i en explicit specificerad form. Du kan spara tid, och viktigast av allt pengar, eftersom vi inte ber om ersättning för detta. Om det någon gång i definitionsdomänen för en funktion finns en gräns och lösningen på denna gräns är lika med värdet på funktionen vid denna punkt, så visar sig funktionen vara kontinuerlig vid en sådan punkt. På vår hemsida är lösningen på gränserna tillgänglig online dygnet runt, varje dag och varje minut. Att använda gränsräknaren är mycket viktigt och det viktigaste är att använda den varje gång du behöver testa dina kunskaper. Studenter drar helt klart nytta av all denna funktionalitet. Att beräkna gränsen med och endast tillämpa teori kommer inte alltid att vara så enkelt, som erfarna studenter vid matematikavdelningar vid universitet i landet säger. Faktum förblir ett faktum om det finns ett mål. Vanligtvis är den hittade lösningen på gränserna inte tillämplig lokalt för problemformulering. En student kommer att glädja sig så snart han upptäcker en gränsräknare online på Internet och fritt tillgänglig, och inte bara för sig själv, utan för alla. Syftet bör betraktas som matematik, i dess allmänna förståelse. Om du frågar på Internet hur man hittar gränsen online i detalj, kommer massan av webbplatser som visas som ett resultat av begäran inte att hjälpa lika mycket som vi kommer att göra. Skillnaden mellan parterna multipliceras med händelsens likvärdighet. Den ursprungliga legitima gränsen för en funktion måste bestämmas av själva formuleringen av det matematiska problemet. Hamilton hade rätt, men det är värt att överväga uttalanden från hans samtida. Att beräkna gränser på nätet är inte på något sätt en så svår uppgift som det kan tyckas för någon vid första anblicken... För att inte bryta sanningen om orubbliga teorier. För att återgå till den ursprungliga situationen är det nödvändigt att beräkna gränsen snabbt, effektivt och i en snyggt formaterad form. Skulle det vara möjligt att göra något annat? Detta tillvägagångssätt är uppenbart och motiverat. Gränskalkylatorn skapades för att öka kunskapen, förbättra kvaliteten på läxskrivandet och höja den allmänna stämningen bland eleverna, så det blir rätt för dem. Du behöver bara tänka så snabbt som möjligt och sinnet kommer att triumfera. Att uttryckligen tala om gränserna för onlineinterpolationstermer är en mycket sofistikerad aktivitet för yrkesverksamma inom sitt hantverk. Vi förutsäger förhållandet mellan systemet av oplanerade skillnader vid punkter i rymden. Och återigen, problemet reduceras till osäkerhet, baserat på det faktum att gränsen för funktionen existerar i oändligheten och i en viss grannskap av en lokal punkt på en given x-axel efter en affin transformation av det initiala uttrycket. Det blir lättare att analysera stigningen av punkter på planet och högst upp i rymden. I det allmänna tillståndet sägs det inte om härledning av en matematisk formel, både i verkligheten och i teorin, så att online-gränsräknaren används för sitt avsedda syfte i denna mening. Utan att definiera gränsen på nätet har jag svårt att genomföra ytterligare beräkningar inom området för att studera krökt utrymme. Det skulle inte vara lättare när det gäller att hitta det rätta svaret. Är det omöjligt att beräkna en gräns om en given punkt i rymden är osäker på förhand? Låt oss motbevisa förekomsten av svar utanför studieområdet. Att lösa gränserna kan diskuteras utifrån matematisk analys som början på studiet av sekvensen av punkter på axeln. Enbart beräkningsfaktumet kan vara olämpligt. Siffrorna är representerade som en oändlig sekvens och identifieras av den initiala notationen efter att vi har löst gränsen online i detalj enligt teorin. Motiverad till förmån för det bästa värdet. Resultatet av funktionsgränsen, som ett uppenbart fel i ett felaktigt formulerat problem, kan förvränga idén om den verkliga mekaniska processen i ett instabilt system. Förmågan att uttrycka mening direkt i visningsområdet. Genom att associera en onlinegräns med en liknande notation av ett ensidigt gränsvärde är det bättre att undvika att uttryckligen uttrycka det med hjälp av reduktionsformler. Förutom att starta det proportionella utförandet av uppgiften. Vi kommer att expandera polynomet efter att vi kan beräkna den ensidiga gränsen och skriva den i oändlighet. Enkla tankar leder till ett sant resultat i matematisk analys. En enkel lösning av gränser kommer ofta ner på en annan grad av jämlikhet för utförda motstående matematiska illustrationer. Linjer och Fibonacci-tal dechiffrerade gränsräknaren online, beroende på detta kan du beställa en obegränsad beräkning och kanske kommer komplexiteten att sjunka i bakgrunden. Processen att vika ut grafen på ett plan i en del av tredimensionell rymd pågår. Detta ingjutit behovet av olika syn på ett komplext matematiskt problem. Resultatet lär dock inte vänta på sig. Men den pågående processen att förverkliga den stigande produkten förvränger radrymden och skriver ner gränsen online för att bekanta dig med formuleringen av problemet. Naturligheten i processen att ackumulera problem bestämmer behovet av kunskap om alla områden av matematiska discipliner. En utmärkt gränsräknare kommer att bli ett oumbärligt verktyg i händerna på skickliga studenter, och de kommer att uppskatta alla dess fördelar jämfört med analoger av digitala framsteg. I skolor, av någon anledning, kallas onlinegränser annorlunda än på institut. Funktionens värde kommer att öka när argumentet ändras. L'Hopital sa också att det bara är halva striden att hitta gränsen för en funktion. Du behöver föra problemet till dess logiska slutsats och presentera svaret i utökad form. Verkligheten är tillräcklig för förekomsten av fakta i fallet. Nätgränsen är förknippad med historiskt viktiga aspekter av matematiska discipliner och utgör grunden för studiet av talteori. Sidkodningen i matematiska formler är tillgänglig på klientspråket i webbläsaren. Hur man beräknar gränsen med en acceptabel laglig metod, utan att tvinga funktionen att ändras i x-axelns riktning. I allmänhet beror rymdens verklighet inte bara på konvexiteten hos en funktion eller dess konkavitet. Eliminera alla okända från problemet och att lösa gränserna kommer att resultera i minsta utgift av dina tillgängliga matematiska resurser. Att lösa det angivna problemet kommer att korrigera funktionaliteten till hundra procent. Den resulterande matematiska förväntningen kommer att avslöja gränsen online i detalj angående avvikelsen från det minsta signifikanta specialförhållandet. Tre dagar gick efter att det matematiska beslutet togs till förmån för naturvetenskap. Detta är en riktigt användbar aktivitet. Utan anledning kommer frånvaron av en onlinegräns att innebära en divergens i den övergripande strategin för att lösa situationsproblem. Ett bättre namn för den ensidiga gränsen med 0/0 osäkerhet kommer att efterfrågas i framtiden. En resurs kan inte bara vara vacker och bra, utan också användbar när den kan räkna ut gränsen åt dig. Den store vetenskapsmannen undersökte som student funktioner för att skriva en vetenskaplig artikel. Tio år har gått. Inför olika nyanser är det värt att entydigt kommentera den matematiska förväntan till förmån för det faktum att gränsen för funktionen lånar principernas divergens. De svarade på det beställda testarbetet. Inom matematik upptas, konstigt nog, en exceptionell position i undervisningen av studiet av onlinegränser med ömsesidigt uteslutande tredjepartsrelationer. Som händer i vanliga fall. Du behöver inte reproducera någonting. Efter att ha analyserat elevernas förhållningssätt till matematiska teorier kommer vi att grundligt lämna lösningen av gränser till slutskedet. Detta är innebörden av följande, studera texten. Refraktion bestämmer unikt det matematiska uttrycket som essensen av den mottagna informationen. online-gränsen är kärnan i att bestämma den sanna positionen för det matematiska relativitetssystemet för flerriktade vektorer. I den meningen menar jag att uttrycka min egen åsikt. Som i föregående uppgift. Den distinkta onlinegränsen utökar dess inflytande i detalj till den matematiska synen på den sekventiella studien av programanalys inom studieområdet. I teorisammanhang är matematik något högre än bara vetenskap. Lojalitet visas genom handlingar. Det är fortfarande omöjligt att medvetet avbryta kedjan av på varandra följande nummer som börjar sin uppåtgående rörelse om gränsen beräknas felaktigt. Den dubbelsidiga ytan uttrycks i sin naturliga form i full storlek. Förmågan att utforska matematisk analys begränsar gränsen för en funktion till en sekvens av funktionella serier som ett epsilonområde vid en given punkt. I motsats till funktionsteorin utesluts inte fel i beräkningar, men detta förutsätts av situationen. Onlineproblemet division för gräns kan skrivas med en variabel divergensfunktion för den snabba produkten av ett olinjärt system i tredimensionellt rymd. Ett trivialt fall är grunden för verksamheten. Du behöver inte vara student för att analysera det här fallet. Helheten av momenten för den pågående beräkningen, initialt lösningen av gränserna definieras som funktionen av hela det integrerade systemet för framsteg längs ordinataaxeln på flera värden av siffror. Vi tar som basvärde det minsta möjliga matematiska värdet. Slutsatsen är uppenbar. Avståndet mellan planen kommer att hjälpa till att utöka teorin om onlinegränser, eftersom användningen av metoden för divergerande beräkning av den subpolära aspekten av signifikans inte har någon inneboende betydelse. Ett utmärkt val, om gränsräknaren är placerad på servern kan denna tas som den är utan att förvränga betydelsen av ytförändringen i områden, annars blir problemet med linjäritet högre. En fullständig matematisk analys avslöjade systemets instabilitet tillsammans med dess beskrivning i området för punktens minsta grannskap. Som alla gränser för en funktion längs skärningsaxeln mellan ordinater och abskissar, är det möjligt att innesluta de numeriska värdena för objekt i ett minimalt område enligt fördelningen av funktionaliteten i forskningsprocessen. Låt oss skriva ner uppgiften punkt för punkt. Det finns en uppdelning i skrivningsstadier. Akademiska påståenden om att det verkligen är svårt eller inte alls lätt att beräkna gränsen stöds av en analys av de matematiska åsikterna hos alla grund- och doktorander utan undantag. Eventuella mellanresultat kommer inte att vänta på sig. Ovanstående gräns studeras online i detalj vid det absoluta minimum av systemskillnaden för objekt bortom vilken linjäriteten i matematikens rum är förvrängd. Större områdessegmentering av området används inte av eleverna för att beräkna multipel oenighet efter att ha registrerat online-gränsräknaren för subtraktioner. Efter början kommer vi att förbjuda elever att revidera problem för att studera den rumsliga miljön i matematik. Eftersom vi redan har hittat gränsen för funktionen, låt oss bygga en graf över dess studie på planet. Låt oss markera ordinataaxlarna med en speciell färg och visa linjernas riktning. Det finns stabilitet. Osäkerhet råder under lång tid under skrivningen av svaret. Beräkna gränsen för en funktion vid en punkt helt enkelt genom att analysera skillnaden mellan gränserna vid oändligheten under de initiala förhållandena. Denna metod är inte känd för alla användare. Vi behöver matematisk analys. Att lösa gränserna ackumulerar erfarenhet i generationers medvetande under många år framöver. Det är omöjligt att inte komplicera processen. Elever i alla generationer är ansvariga för dess slutsats. Allt ovanstående kan börja förändras i avsaknad av ett fixerande argument för funktionernas position kring en viss punkt som släpar efter gränsberäknarna när det gäller skillnaden i beräkningskraft. Låt oss undersöka funktionen för att få det resulterande svaret. Slutsatsen är inte självklar. Efter att ha exkluderat de implicita funktionerna från det totala antalet efter att ha transformerat de matematiska uttrycken, återstår det sista steget att hitta gränserna online korrekt och med hög noggrannhet. Godkännandet av det utfärdade beslutet är föremål för kontroll. Processen fortsätter. Att lokalisera sekvensen isolerat från funktioner och, med hjälp av sin enorma erfarenhet, måste matematiker beräkna gränsen för att motivera den korrekta riktningen i studien. Ett sådant resultat behöver inte ett teoretiskt lyft. Ändra andelen tal inom ett visst område av en punkt som inte är noll på x-axeln mot gränsräknaren online variabel rumslig lutningsvinkel under det skrivna problemet i matematik. Låt oss koppla samman två områden i rymden. Oenighet mellan lösare om hur gränsen för en funktion får egenskaperna hos ensidiga värden i rymden kan inte gå obemärkt förbi av elevernas intensifierade övervakade prestationer. Riktningen inom matematik online-gräns har tagit en av de minst omtvistade positionerna när det gäller osäkerheten i beräkningarna av just dessa gränser. En online-gränsräknare för höjden av likbenta trianglar och kuber med en sida av tre radier i en cirkel hjälper en elev att lära sig utantill på ett tidigt stadium av vetenskapen. Låt oss överlåta till elevernas samvete att lösa gränserna i studiet av ett fungerande matematiskt försvagat system från sidan av forskningsplanet. Elevens syn på talteori är tvetydig. Alla har sin egen åsikt. Rätt riktning i matematikstudier kommer att hjälpa till att beräkna gränsen i egentlig mening, vilket är fallet vid universitet i avancerade länder. Cotangens i matematik beräknas som en gränsräknare och är förhållandet mellan två andra elementära trigonometriska funktioner, nämligen cosinus och sinus för argumentet. Detta är lösningen för att halvera segmenten. Ett annat tillvägagångssätt kommer sannolikt inte att lösa situationen till förmån för det senaste ögonblicket. Vi kan prata länge om hur det är väldigt svårt och värdelöst att lösa onlinegränsen i detalj utan förståelse, men detta tillvägagångssätt tenderar att öka den interna disciplinen hos studenter till det bättre.

Vid beräkning av gränser bör man ta hänsyn till följande grundläggande regler:

1. Gränsen för summan (skillnaden) av funktioner är lika med summan (skillnaden) av termernas gränser:

2. Gränsen för en produkt av funktioner är lika med produkten av gränserna för faktorerna:

3. Gränsen för förhållandet mellan två funktioner är lika med förhållandet mellan gränserna för dessa funktioner:

.

4. Den konstanta faktorn kan tas bortom gränstecknet:

.

5. Gränsen för en konstant är lika med själva konstanten:

6. För kontinuerliga funktioner kan gräns- och funktionssymbolerna bytas:

.

Att hitta gränsen för en funktion bör börja med att ersätta värdet i uttrycket för funktionen. Dessutom, om det numeriska värdet 0 eller ¥ erhålls, har den önskade gränsen hittats.

Exempel 2.1. Beräkna gränsen.

Lösning.

.

Uttryck av formen , , , , , kallas osäkerheter.

Om du får en osäkerhet i formen måste du för att hitta gränsen transformera funktionen för att avslöja denna osäkerhet.

Formosäkerhet erhålls vanligtvis när gränsen för förhållandet mellan två polynom anges. I det här fallet, för att beräkna gränsen, rekommenderas att faktorisera polynomen och reducera dem med en gemensam faktor. Denna multiplikator är noll vid gränsvärdet X .

Exempel 2.2. Beräkna gränsen.

Lösning.

Om vi ​​ersätter , får vi osäkerhet:

.

Låt oss faktorisera täljaren och nämnaren:

;

Låt oss minska med en gemensam faktor och få

.

En osäkerhet i formen erhålls när gränsen för förhållandet mellan två polynom ges vid . I det här fallet, för att beräkna det, rekommenderas att dividera båda polynomen med X i seniorexamen.

Exempel 2.3. Beräkna gränsen.

Lösning. När vi ersätter ∞ får vi en osäkerhet i formen , så vi delar alla termer i uttrycket med x 3.

.

Här beaktas att .

När man beräknar gränserna för en funktion som innehåller rötter, rekommenderas att multiplicera och dividera funktionen med dess konjugat.

Exempel 2.4. Beräkna gräns

Lösning.

När man beräknar gränser för att avslöja osäkerheten i formen eller (1) ∞, används ofta de första och andra anmärkningsvärda gränserna:



Många problem förknippade med den kontinuerliga tillväxten av en viss kvantitet leder till den andra anmärkningsvärda gränsen.

Låt oss betrakta exemplet med Ya I. Perelman, som ger en tolkning av numret e i föreningsränteproblemet. I sparbanker läggs räntepengar till det fasta kapitalet årligen. Om anslutningen görs oftare, växer kapitalet snabbare, eftersom ett större belopp är inblandat i bildandet av intresse. Låt oss ta ett rent teoretiskt, mycket förenklat exempel.

Låt 100 deniers sättas in på banken. enheter baserat på 100 % per år. Om räntepengar läggs till det fasta kapitalet först efter ett år, då vid denna period 100 den. enheter kommer att förvandlas till 200 monetära enheter.

Låt oss nu se vad 100 denize kommer att förvandlas till. enheter, om räntepengar läggs till fast kapital var sjätte månad. Efter sex månader, 100 den. enheter kommer att växa med 100 × 1,5 = 150, och efter ytterligare sex månader - med 150 × 1,5 = 225 (den. enheter). Om anslutningen görs var 1/3 av året, så efter ett år 100 den. enheter kommer att förvandlas till 100 × (1 +1/3) 3 "237 (den. enheter).

Vi kommer att öka villkoren för att lägga till räntepengar till 0,1 år, till 0,01 år, till 0,001 år osv. Sedan av 100 den. enheter efter ett år blir det:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. enheter),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den.enheter),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. enheter).

Med en obegränsad minskning av villkoren för att lägga till ränta växer det ackumulerade kapitalet inte i det oändliga, utan närmar sig en viss gräns lika med cirka 271. Kapitalet som sätts in med 100 % per år kan inte öka med mer än 2,71 gånger, även om den upplupna räntan lades till huvudstaden varje bara en sekund eftersom

Exempel 2.5. Beräkna gränsen för en funktion

Lösning.

Exempel 2.6. Beräkna gränsen för en funktion .

Lösning. Ersätter vi får vi osäkerheten:

.

Med hjälp av den trigonometriska formeln omvandlar vi täljaren till en produkt:

Som ett resultat får vi

Här beaktas den andra anmärkningsvärda gränsen.

Exempel 2.7. Beräkna gränsen för en funktion

Lösning.

.

För att avslöja osäkerheten i formen eller, kan du använda L'Hopitals regel, som är baserad på följande teorem.

Sats. Gränsen för förhållandet mellan två infinitesimala eller oändligt stora funktioner är lika med gränsen för förhållandet mellan deras derivator

Observera att denna regel kan tillämpas flera gånger i rad.

Exempel 2.8. Hitta

Lösning. Vid byte har vi en osäkerhet i formen. Att tillämpa L'Hopitals regel, vi får

Kontinuitet i funktion

En viktig egenskap hos en funktion är kontinuitet.

Definition. Funktionen övervägs kontinuerlig, om en liten förändring i värdet på argumentet innebär en liten förändring i värdet på funktionen.

Matematiskt skrivs detta så här: när

Med och menas ökningen av variabler, det vill säga skillnaden mellan de efterföljande och föregående värdena: , (Figur 2.3)

Figur 2.3 – Ökning av variabler

Av definitionen av en funktion kontinuerlig vid punkten följer att . Denna jämlikhet innebär att tre villkor är uppfyllda:

Lösning. För funktion punkten är misstänkt för en diskontinuitet, låt oss kolla detta och hitta ensidiga gränser

Därför, , betyder - brytpunkt


Derivata av en funktion

Funktionsgräns- nummer a kommer att vara gränsen för någon variabel kvantitet om denna variabla kvantitet närmar sig under dess förändring på obestämd tid a.

Eller med andra ord, antalet Aär gränsen för funktionen y = f(x) vid punkten x 0, om för någon sekvens av punkter från definitionsdomänen för funktionen , inte lika x 0, och som konvergerar till punkten x 0 (lim x n = x0), sekvensen av motsvarande funktionsvärden konvergerar till talet A.

Grafen för en funktion vars gräns, givet ett argument som tenderar mot oändligheten, är lika med L:

Menande Aär gräns (gränsvärde) för funktionen f(x) vid punkten x 0 i fallet för någon sekvens av punkter , som konvergerar till x 0, men som inte innehåller x 0 som ett av dess element (d.v.s. i den punkterade närheten x 0), sekvens av funktionsvärden konvergerar till A.

Gräns ​​för en Cauchy-funktion.

Menande A kommer att vara gränsen för funktionen f(x) vid punkten x 0 om för något icke-negativt nummer tas i förväg ε motsvarande icke-negativa nummer kommer att hittas δ = δ(ε) så att för varje argument x, som uppfyller villkoret 0 < | x - x0 | < δ , kommer ojämlikheten att tillfredsställas | f(x)A |< ε .

Det kommer att vara väldigt enkelt om du förstår kärnan i gränsen och de grundläggande reglerna för att hitta den. Vad är gränsen för funktionen f (x)x strävar efter a lika A, skrivs så här:

Dessutom värdet som variabeln tenderar mot x, kan inte bara vara ett tal, utan också oändlighet (∞), ibland +∞ eller -∞, eller så kanske det inte finns någon gräns alls.

För att förstå hur hitta gränserna för en funktion, är det bäst att titta på exempel på lösningar.

Det är nödvändigt att hitta gränserna för funktionen f (x) = 1/x på:

x→ 2, x→ 0, x∞.

Låt oss hitta en lösning på den första gränsen. För att göra detta kan du helt enkelt ersätta x siffran den tenderar till, dvs. 2, vi får:

Låt oss hitta den andra gränsen för funktionen. Här ersätter du ren 0 istället x det är omöjligt, eftersom Du kan inte dividera med 0. Men vi kan ta värden nära noll, till exempel 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 och så vidare, och värdet på funktionen f (x) kommer att öka: 100; 1000; 10 000; 100 000 och så vidare. Således kan det förstås att när x→ 0 värdet på funktionen som står under gränstecknet kommer att öka utan gräns, d.v.s. sträva mot oändligheten. Vilket betyder:

Angående den tredje gränsen. Samma situation som i föregående fall, det är omöjligt att ersätta i sin renaste form. Vi måste överväga fallet med obegränsad ökning x. Vi ersätter 1000 en efter en; 10 000; 100 000 och så vidare, vi har det värdet på funktionen f (x) = 1/x kommer att minska: 0,001; 0,0001; 0,00001; och så vidare, tenderar till noll. Det är därför:

Det är nödvändigt att beräkna gränsen för funktionen

När vi börjar lösa det andra exemplet ser vi osäkerhet. Härifrån hittar vi den högsta graden av täljare och nämnare - detta är x 3, tar vi det från parentes i täljaren och nämnaren och minskar det sedan med:

Svar

Första steget in hitta denna gräns, ersätt värdet 1 istället x, vilket leder till osäkerhet. För att lösa det, låt oss faktorisera täljaren och göra detta med metoden för att hitta rötterna till en andragradsekvation x 2 + 2x - 3:

D = 22 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2xl = -3;x 2= 1.

Så täljaren blir:

Svar

Detta är definitionen av dess specifika värde eller ett visst område där funktionen faller, vilket begränsas av gränsen.

För att lösa gränser, följ reglerna:

Efter att ha förstått essensen och huvudet regler för att lösa gränsen, får du en grundläggande förståelse för hur du löser dem.



Gillade du artikeln? Dela med dina vänner!