Örnek No. 9

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) serisinin yakınsaklığını inceleyin $.

Alt toplam limiti 1 olduğuna göre, ortak üye seri toplam işaretinin altına yazılır: $u_n=\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Öncelikle bu serinin pozitif olup olmadığını belirleyelim yani. $u_n≥ 0$ eşitsizliği doğru mu? $\frac(1)(\sqrt(n))> 0$ faktörü, bu açık, peki ya arktanjant? Arktanjda karmaşık hiçbir şey yoktur: $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) >0$ olduğundan, $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))>0 $ . Sonuç: Serimiz olumludur. Bu serinin yakınsaklık konusunu incelemek için karşılaştırma kriterini uygulayalım.

Öncelikle karşılaştırma yapacağımız bir seri seçelim. Eğer $n\to\infty$ ise, o zaman $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\to 0$. Bu nedenle, $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Nedenmiş? Bu belgenin sonundaki tabloya bakarsak, $x\to 0$ için $\arctg x\sim x$ formülünü göreceğiz. Bu formülü yalnızca bizim durumumuzda kullandık $x=\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$.

$\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$ ifadesinde arktanjantı $\frac(\pi)(\ kesiriyle değiştiririz. sqrt(2n- 1))$. Şunu elde ederiz: $\frac(1)(\sqrt(n))\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Bu tür kesirlerle daha önce de çalışmıştık. “Ekstra” unsurları bir kenara bırakarak $\frac(1)(\sqrt(n)\cdot\sqrt(n))=\frac(1)(n^(\frac(1)(2) kesrine ulaşırız. +\frac (1)(3)))=\frac(1)(n^(\frac(5)(6)))$. Bunu $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ serisiyle karşılaştıracağız Verilen seri, kullanarak. $\frac(5)(6)≤ 1$ olduğundan, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ serisi ayrışır.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))))(\frac(1) (n^\frac(5)(6)))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left|\begin(aligned)&\frac(\pi)(\sqrt(2n-) 1))\to 0;\\&\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)).\end(aligned) \sağ| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\cdot\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))))(\frac(1)( n^\frac(5)(6)) =\\=\pi\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(n))(\sqrt(2n-1)) =\pi \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(1)(\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\pi\cdot\frac(1)(\sqrt(2-0) )=\frac(\pi)(\sqrt(2)). $$

0$'dan beri<\frac{\pi}{\sqrt{2}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.

Bu durumda serinin genel teriminin ifadesinde arktanjant yerine sinüs, arksinüs veya tanjant olabileceğini not ediyorum. Çözüm aynı kalacaktı.

Cevap: seri ıraksaktır.

Örnek No. 10

Yakınsaklık için $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(1-\cos\frac(7)(n)\right)$ serisini inceleyin.

Toplamanın alt sınırı 1 olduğundan serinin ortak terimi toplam işaretinin altına yazılır: $u_n=1-\cos\frac(7)(n)$. Herhangi bir $x$ değeri için $-1≤\cos x≤ 1$ olduğundan, o zaman $\cos\frac(7)(n)≤ 1$ olur. Bu nedenle, $1-\cos\frac(7)(n)≥ 0$, yani. $u_n≥ 0$. Pozitif bir seriyle karşı karşıyayız.

Eğer $n\to\infty$ ise, o zaman $\frac(7)(n)\to 0$. Bu nedenle, $1-\cos\frac(7)(n)\sim \frac(\left(\frac(7)(n)\right)^2)(2)=\frac(49)(2n^2) $. Nedenmiş? Bu belgenin sonundaki tabloya bakarsak, $x\to 0$ için $1-\cos x \sim \frac(x^2)(2)$ formülünü göreceğiz. Bu formülü yalnızca bizim durumumuzda kullandık $x=\frac(7)(n)$.

$1-\cos\frac(7)(n)$ ifadesini $\frac(49)(2n^2)$ ile değiştirelim. “Ekstra” unsurları bir kenara bırakarak $\frac(1)(n^2)$ kesrine ulaşırız. kullanarak verilen seriyi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ serisiyle karşılaştıracağız. $2 > 1$ olduğundan, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ serisi yakınsar.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(1-\cos\frac(7)(n))(\frac(1)(n^2))=\left|\frac(0)(0 )\right|= \left|\begin(aligned)&\frac(7)(n)\to 0;\\&1-\cos\frac(7)(n)\sim\frac(49)(2n^ 2).\end(hizalanmış)\sağ| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(49)(2n^2))(\frac(1)(n^2))=\frac(49)(2). $$

0$'dan beri<\frac{49}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$.

Cevap: seri yakınsaktır.

Örnek No. 11

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$ serisinin yakınsaklığını inceleyin.

Toplamanın alt sınırı 1 olduğundan serinin genel terimi toplam işaretinin altına yazılır: $u_n=n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$. Her iki faktör de pozitif olduğundan, $u_n >0$, yani. Pozitif bir seriyle karşı karşıyayız.

Eğer $n\to\infty$ ise, o zaman $\frac(3)(n)\to 0$. Bu nedenle, $e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3)(n)$. Kullandığımız formül bu belgenin sonundaki tabloda yer almaktadır: $e^x-1 \sim x$ at $x\to 0$. Bizim durumumuzda $x=\frac(3)(n)$.

$e^\frac(3)(n)-1$ ifadesini $\frac(3)(n)$ ile değiştirelim, böylece $n\cdot\left(\frac(3)(n)\right) elde edelim )^ 2=\frac(9)(n)$. Sayıyı kaldırarak $\frac(1)(n)$ kesirine ulaşırız. Verilen seriyi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ harmonik serisiyle karşılaştıracağız. Harmonik serinin ıraksak olduğunu hatırlatmama izin verin.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n))=\lim_( n\to\infty)\frac(\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n^2)) =\left|\frac(0 )(0)\right|=\left|\begin(aligned)&\frac(3)(n)\to 0;\\&e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3) (n).\end(hizalanmış)\sağ| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9)(n^2))(\frac(1)(n^2))=9. $$

0$'dan beri<9<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$.

Cevap: seri ıraksaktır.

Örnek No. 12

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ serisinin yakınsaklığını inceleyin.

Toplamanın alt sınırı 1 olduğundan serinin genel terimi toplam işaretinin altına yazılır: $u_n=\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$. Herhangi bir $n$ değeri için $n^3+7 > n^3+5$ olduğundan, $\frac(n^3+7)(n^3+5) > 1$ olur. Bu nedenle, $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5) > 0$, yani. $u_n > 0$. Pozitif bir seriyle karşı karşıyayız.

Bu durumda ihtiyaç duyulan denkliği fark etmek biraz zordur. Logaritmanın altındaki ifadeyi biraz farklı bir biçimde yazalım:

$$ \ln\frac(n^3+7)(n^3+5)=\ln\frac(n^3+5+2)(n^3+5)=\ln\left(\frac( n^3+5)(n^3+5)+\frac(2)(n^3+5)\right)=\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\ Sağ). $$

Artık formül görünür: $x\to 0$ için $\ln(1+x)\sim x$. $n\to\infty$ için $\frac(2)(n^3+5)\to 0$ elimizde olduğundan, $\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5) \right)\sim\frac(2)(n^3+5)$.

$\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ ifadesini $\frac(2)(n^3+5)$ ile değiştirelim. "Ekstra" unsurları bir kenara bırakarak $\frac(1)(n^3)$ kesrine ulaşırız. kullanarak verilen seriyi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ serisiyle karşılaştıracağız. $3 > 1$ olduğundan, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ serisi yakınsar.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\ln\frac(n^3+7)(n^3+5))(\frac(1)(n^3))=\lim_(n \to\infty)\frac(\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\right))(\frac(1)(n^3))=\left|\frac( 0)(0)\right|= \left|\begin(aligned)&\frac(2)(n^3+5)\to 0;\\&\ln\left(1+\frac(2)( n^3+5)\right)\sim\frac(2)(n^3+5).\end(aligned)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac (2)(n^3+5))(\frac(1)(n^3)) =\lim_(n\to\infty)\frac(2n^3)(n^3+5)=\lim_ (n\to\infty)\frac(2)(1+\frac(5)(n^3))=\frac(2)(1+0)=2. $$

0$'dan beri<2<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$.

Cevap: seri yakınsaktır.

Örnek No. 13

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n^n)(7^n\cdot n) serisini keşfedin$ на сходимость.!}

Toplamanın alt sınırı 1 olduğundan serinin ortak terimi toplam işaretinin altına yazılır: $u_n=\frac(n^n)(7^n\cdot n)$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.!}

Başvuru

Çevrimiçi hizmet sitesi, hem sayısal bir dizi hem de işlevsel bir seri olmak üzere bir serinin toplamını çevrimiçi olarak bulmanıza yardımcı olacaktır. Matematikçiler için bir serinin toplamı, sayısal niceliklerin analizini ve limite geçişi anlamada özel bir şeydir. Geçtiğimiz birkaç yüzyıl boyunca serilerin genel çözümü hakkında pek çok yararlı eser söylendi ve yazıldı. Kişisel olarak her öğretmenin matematik alanında biriktirdiği bilgileri son dinleyiciye yani öğrenciye aktarması önemli bir görevdir. 1/n serisinin böyle bir toplamını bulmak armut toplamak kadar kolaydır. 1/n^2 serisinin toplamı kısa bir gösterimle sunulacaktır. Site, serinin toplamını sayısal bir dizi halinde çevrimiçi olarak belirlemenin yanı sıra, serinin sözde kısmi toplamını da çevrimiçi olarak bulabilir. Bu, çevrimiçi bir serinin toplamının ifade edilmesi ve bir serinin kısmi toplamlarının sayısal dizisinin limitine bir çözüm olarak bulunması gerektiğinde analitik gösterimler için kesinlikle yardımcı olacaktır. Özünde, bir serinin toplamı, bir fonksiyonu bir seriye genişletmenin ters işleminden başka bir şey değildir. İşlemler doğası gereği neredeyse karşılıklıdır. Bir serinin yakınsaklığı, limitlerden sonra matematiksel analiz dersini tamamladıktan sonra çalışılır. Serinin bulunan çözümü, serinin yakınsaklık veya ıraksaklık açısından incelenmesinin sonucu anlamına gelir. Bu sonuç açıkça belirlenir. Analoglarla karşılaştırıldığında, sitenin yadsınamaz avantajları vardır, çünkü hem sayısal hem de fonksiyonel seriler olmak üzere bir serinin toplamını çevrimiçi olarak bulabilir; bu, ilk başlangıç serisinin yakınsama alanını açık bir şekilde belirlemenize olanak tanır. bilim tarafından bilinen neredeyse tüm metodolojiler. Seri teorisine dayanarak, bir sayısal dizinin yakınsaması için her zaman gerekli bir koşul, sayısal serinin ortak teriminin sonsuzdaki limitinin sıfıra eşit olmasıdır. Ancak bu koşul bir sayı serisinin çevrimiçi yakınsaklığını sağlamak için yeterli değildir. Acil problemden biraz uzaklaşalım ve matematikteki seriler hakkında farklı bir felsefi konumdan düşünelim. Sizin için bu çevrimiçi seri çözümü, her gün için en iyi hesap makinesi ve asistan olmanızı sağlayacaktır. Serinin özeti anında gözlerinizin önündeyken, güzel kış günlerinde oturup ders çalışma arzusu yok. Birisinin bir serinin tam tirajını belirlemesi gerekiyorsa, doğru verileri ilk kez girdikten sonra bu birkaç saniye alacaktır. Benzer siteler hizmetlerinin karşılığını talep ederken, basit hizmetimizi kullanarak örnekleri kendi başlarına nasıl çözeceklerini öğrenmek isteyen herkese faydalı olmaya çalışıyoruz. İsteğinize göre serinin çözümünü herhangi bir modern cihazda, yani herhangi bir tarayıcıda çevrimiçi olarak sunabiliriz. Dolayısıyla, 1/n serisinin toplamının sonsuzda ıraksadığını bulmak ve kanıtlamak basit bir iş olacaktır. 1/n^2 serisinin toplamının nasıl yakınsak olduğunu ve matematikte çok büyük bir anlamsal anlama sahip olduğunu her zaman hatırlayın. Ancak sonlu bir serinin toplamı genellikle, örneğin sıradan üniversitelerde çok az kişinin bildiği integral testi veya Raabe testi kullanılarak belirlenir. Bilim insanları, çevrimiçi serilerin yakınsamasını belirleyerek bir serinin yakınsaması veya ıraksaması için çeşitli yeterli kriterler türetmişlerdir. Bu yöntemlerden en bilinenleri ve en sık kullanılanları D'Alembert testleri, Cauchy yakınsama testi, Raabe yakınsama testi, sayı serileri için karşılaştırma testi ve bir sayı serisinin yakınsaklığı için integral testidir. Terimlerin işaretlerinin mutlaka kesinlikle dönüşümlü olduğu sayı serileri eksiden artıya ve geriye doğru birbiri ardına özel ilgiyi hak eder ve bu sayı serilerinin mutlak değerleri monoton yani tekdüze olarak azalır. bu tür sayı serileri için, alternatif bir serinin çevrimiçi yakınsaklığının gerekli işaretinin yeterli olduğu, yani genel terimin sayı serisinin limitinin sonsuzda sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı. Kullanılan diğer yöntemlere eşdeğer olduğu ortaya çıktı. Sürecin kendisi fonksiyonun tam bir çalışmasını içerdiğinden, bir serinin yakınsaması muazzam bir zaman kaybı gerektirir. Bir serinin toplamını çevrimiçi olarak hesaplamak için hizmet sağlayan birçok farklı site vardır. , ayrıca incelenen fonksiyonun tanım alanından herhangi bir noktada çevrimiçi olarak fonksiyonların ayrıştırılması. Türev hesaplama işlevi kullanıldığından, bu hizmetlerde bir işlevi kolayca çevrimiçi bir seriye genişletebilirsiniz, ancak ters işlem - üyeleri sayı değil işlevler olan çevrimiçi işlevsel serinin toplamını bulmak genellikle imkansızdır. gerekli bilgi işlem kaynaklarının eksikliği nedeniyle ortaya çıkan zorluklar nedeniyle pratikte.. Serilerin toplamını çevrimiçi hesaplamak için kaynağımızı kullanın, bilginizi kontrol edin ve pekiştirin. Serilerin toplamı farklılaşırsa, bazı genel görevlerde daha sonraki eylemler için beklenen sonucu alamayacağız. Bir uzman olarak bilginizi uygulayarak bu durumun önceden önüne geçebilirsiniz. Son olarak, 1/n serisinin toplamının ifade açısından en basit olduğunu ve sıklıkla örnek olarak verildiğini belirtmeden geçemeyiz. Bir durumda yakınsaklık belirtisi göstermek istediklerinde bile bunu 1/n^2 serisinin toplamı için kanıtlarlar çünkü böyle bir temsil öğrenciler için şeffaftır ve öğrencilerin kafası karışmaz. Serinin karmaşık genel terimi için bir ifademiz olduğundan, sonlu serinin toplamı, majörleştirici seri için (orijinal seriye göre) yakınsaması kanıtlanırsa faydalı olacaktır. Öte yandan serilerin yakınsaması problemin başlangıç koşullarından bağımsız olarak gerçekleşecektir. Serilere yönelik en iyi çözüm yalnızca servis web sitemiz tarafından sunulabilir, çünkü hesaplama maliyetini sonucun kullanışlılığı ve doğruluğu ile ilişkilendirerek zamandan tasarruf etmenizi yalnızca biz garanti ederiz. Bir serinin gerekli toplamı çoğu durumda büyükleştirici bir seriyle temsil edilebildiğinden, onu incelemek daha uygundur. Dolayısıyla serilerin büyükleyen ortak terimden yakınsaması, ana ifadenin yakınsamasını açıkça gösterecek ve sorun kendiliğinden çözülecektir. Yükseköğretim kurumlarının öğretmenleri de seri çözümümüzü çevrimiçi olarak kullanabilir ve çalışmasını kontrol edebilir. onların öğrencileri. Bazı durumlarda, bir fizik, kimya veya uygulamalı disipline ait bir problemde, bazı doğal süreçleri incelerken ana yönden sapmamak için rutin hesaplamalara takılıp kalmadan bir serinin toplamı hesaplanabilir. Başlangıç olarak genellikle 1/n serisinin toplamı şeklinde en basitleştirilmiş ifadeyi yazarlar ve bu yaklaşım haklıdır. Pi sayısı birçok hesaplama işleminde mevcuttur, ancak 1/n^2 serisinin toplamının, harmonik serilerin sonsuzda yakınsaklığının klasik bir örneği olduğu söylenebilir. "Sonlu bir serinin toplamı" ifadesi ne anlama geliyor? Bu da tam olarak yakınsak olduğu ve kısmi toplamlarının limitinin belirli bir sayısal değere sahip olduğu anlamına gelir. Eğer serinin yakınsaması doğrulanırsa ve bu durum sistemin son kararlılığını etkilerse, o zaman problemin giriş parametrelerini değiştirip tekrar denemek mümkündür. Son olarak, size ilk bakışta üstü kapalı görünen ancak pratikte çok faydalı olan bir tavsiye vermek istiyoruz. Seri çözme konusunda yeterli deneyiminiz olsa ve çevrimiçi seri çözümü için bu tür hizmetlere ihtiyacınız olmasa bile, bir serinin toplamını bulmaya serinin yakınsaklığını belirleyerek başlamanızı öneririz. Siteyi kullanarak bu eyleme sadece bir dakikanızı ayırın, böylece serinin toplamı hesaplanırken bu gerçeği aklınızda bulundurun. Çok fazla olmayacak! Matematikle ilgili web sitelerinde bir serinin toplamı hakkında çok şey yazıldı; geçen yüzyılda bilim adamlarının bir serinin toplamına ilişkin ifadeleri belirtmek için sembolleri nasıl kullandıklarına dair birçok örnek eklenmiştir. Genel olarak çok az şey değişti ama ilginç noktalar var. Bir serinin çevrimiçi olarak yakınlaştırılması imkansız görünüyorsa, girilen verileri kontrol edin ve isteği sakin bir şekilde tekrarlayın. Öncelikle serinin ortak terimini tekrar kontrol etmek daha iyidir. Ve çevrimiçi dizilere yönelik her çözüm sitede anında görünecektir; sorunun cevabını almak için ek bağlantılara tıklamanıza gerek yoktur. Uzmanlara göre en iyisi, öğrencileri seri çözmek için bir hesap makinesi seçerken daha talepkar hale getiriyor. Çevrimiçi bir hizmet olarak bir serinin toplamı, seri yakınsaması kavramını, yani sonlu bir toplamın varlığını içerir. İntegraller ve türevler gibi temel konular birbiriyle yakından ilişkili olduğundan bu bölümle birlikte tanıtılmaktadır. Değişken sonsuza doğru giderken 1/n serisinin toplamının nasıl ıraksadığından bahsedelim. Ancak 1/n^2 gibi bir serinin başka bir toplamı ise tam tersine yakınsayacak ve sonlu bir sayısal ifade alacaktır. Sonlu bir serinin toplamının, değişkende bir veya birkaç birim aynı anda adım adım artışla serinin ara kısmi toplamları şeklinde kademeli olarak sunulduğu durumları incelemek ilginçtir. Sorunları kendiniz çözdükten sonra serinin yakınsamasını çevrimiçi olarak kontrol etmenizi öneririz. Bu, konuyu detaylı bir şekilde anlamanızı ve bilgi seviyenizi arttırmanızı sağlayacaktır. Bunu asla unutmayın, biz sadece sizin için çalışıyoruz. Bir ders sırasında öğretmen bilgisayar teknolojisini kullanarak serilerin çevrimiçi olarak nasıl çözüleceğini gösterdi. Herkesin oldukça beğendiğini söylemeliyim. Bu olaydan sonra hesap makinesi tüm matematik dersi boyunca rağbet gördü. Sonucu gösterme talebinde bulunduktan birkaç saniye sonra serinin toplamının çevrimiçi bir hesap makinesi tarafından nasıl hesaplandığını kontrol etmek gereksiz olmayacaktır. Sorunun çözümünde ilerlemenin hangi yönde sürdürülmesi gerektiği hemen anlaşılacaktır. Bazı pahalı ders kitaplarında serilerin yakınsaması hakkında pek bir şey yazılmadığından, internetten seçkin bilim adamlarının birkaç iyi raporunu indirmek ve onların yöntemlerini kullanarak bir eğitim kursu almak daha iyidir. Sonuç iyi olacak. Serileri çözerken, yakınsaklığın ilk işareti, yani ortak teriminin limitinin sıfıra eğilimi göz ardı edilemez. Bu durum yeterli olmasa da her zaman gereklidir. Çözülen örneğin bütünlüğü, ipucuna başvurmadan seri toplamının hesaplandığını anlayan öğrencide hoş bir duygu oluşturur. Ders kitapları becerilerinizi pratikte kullanmanız için bir rehber olarak tasarlanmıştır. İşlediğiniz konuyu unuttuğunuzda, her perşembe en az beş dakikanızı derslere göz atmaya ayırmanız gerekir, aksi takdirde oturumun başında her şeyi unutmuş olursunuz ve hatta daha da önemlisi, derslerin nasıl hesaplanacağını da unutmuş olursunuz. bir serinin yakınsaklığı. Bir kereyle başlayın ve sonra tembelliğinizin üstesinden gelin. Öğretmenlerin sizi 1/n serisinin toplamının nasıl farklılaşacağını kanıtlamaya zorlaması boşuna değil. Ancak sonuçta 1/n^2 serisinin toplamı alternatif bir seri olarak sunulursa, o zaman korkunç bir şey olmayacak - sonuçta mutlak seri yakınsar! Ve elbette, bu disiplini kendi başınıza çalıştığınızda sonlu bir serinin toplamı sizin için özellikle ilgi çekici olabilir. Örneklerin aslan payı d'Alembert yöntemi kullanılarak çözülür ve serilerin çözümü, limitlerin komşu terimlerinin, yani sonraki terimin öncekine oranı olarak hesaplanmasına indirgenir. Bu nedenle size matematik çözmede iyi şanslar diliyoruz ve asla hata yapmamanızı diliyoruz! Temel ilkelerin ve bilimsel disiplinlerarası yönlerin dahil edilmesine ilişkin araştırma anlaşmazlığı yönünde çevrimiçi dizilerin sözde çözümünü temel olarak alalım. Cevabı sizin için bulalım ve bir serinin toplamının temelde farklı birkaç yöntemle çözüldüğünü ancak sonuçta sonucun aynı olduğunu olumlu olarak söyleyelim. Bir serinin yakınsamasına ilişkin ipucu, onlara cevap önceden söylense bile öğrenciler için her zaman açık değildir, ancak elbette bu onları kesinlikle doğru çözüme doğru iter. Matematikte soyutlama her ne kadar ilk sırada gelse de teoriyle desteklenmekte ve bazı tartışılmaz gerçekleri kısa sürede kanıtlamaktadır. Bir sayı serisinin yakınsaklığına ilişkin temel teorik ilkelerin uygulanabilirliği veya uygulanamazlığı ve daha hoş bir görünüm için bir serinin karmaşık toplamının basitleştirilmiş bir versiyonda sunulması gibi çevrimiçi serileri çözerken böyle bir husus gözden kaçırılamaz. Ancak 1/n serisinin toplamının yakınsadığı durumlar vardır ve bu olayla sizi rahatsız etmeyeceğiz, çünkü tek yapmanız gereken sonsuzluk sembolü yerine bir tamsayı koymaktır ve sonra toplamın tamamı şuna indirgenecektir: sıradan bir aritmetik dizi. Uyumlu bir seri, 1/n^2 serisinin toplamı, ardından ağın herhangi bir yükseltilmiş güce oranıdır.

Çaydanlıklar için sıralar. Çözüm örnekleri

Tüm hayatta kalanları ikinci yıla davet ediyorum! Bu derste, daha doğrusu bir dizi derste satırları nasıl yöneteceğimizi öğreneceğiz. Konu çok karmaşık değil, ancak bu konuda uzmanlaşmak ilk yıldan itibaren bilgi gerektirecek, özellikle anlamanız gerekiyor sınır nedir ve en basit limitleri bulabiliriz. Ancak sorun değil, açıkladığım gibi gerekli derslere ilgili bağlantıları vereceğim. Bazı okuyuculara matematiksel seriler, çözüm yöntemleri, işaretler, teoremler konusu tuhaf, hatta iddialı, saçma görünebilir. Bu durumda, çok fazla "yüklenmenize" gerek yok; gerçekleri olduğu gibi kabul ediyoruz ve sadece tipik, ortak görevleri çözmeyi öğreniyoruz.

1) Aptallar için satırlar ve semaverler için hemen içerik :)

Konuyla ilgili süper hızlı hazırlık için Uygulamanızı tam anlamıyla bir günde gerçekten "yükseltebileceğiniz" pdf formatında hızlı bir kurs var.

Sayı serisi kavramı

Genel olarak sayı serisişu şekilde yazılabilir: .
Burada:
– matematiksel toplam simgesi;
– serinin ortak terimi(bu basit terimi hatırlayın);
– “sayaç” değişkeni. Gösterim, toplamanın 1'den "artı sonsuza" kadar gerçekleştirildiği anlamına gelir, yani önce elimizde, sonra, sonra vb. - sonsuza kadar. Bazen değişken yerine değişken veya kullanılır. Toplamanın mutlaka birden başlaması gerekmez; bazı durumlarda sıfırdan, ikiden veya herhangi birinden başlayabilir. doğal sayı.

"Sayaç" değişkenine uygun olarak herhangi bir seri genişletilebilir:
- ve benzeri, sonsuza kadar.

Bileşenler - Bu NUMARALAR bunlara denir üyeler sıra. Eğer hepsi negatif değilse (sıfırdan büyük veya sıfıra eşit), o zaman böyle bir dizi denir pozitif sayı serisi.

örnek 1

Bu arada, bu zaten bir "savaş" görevidir - pratikte çoğu zaman bir serinin birkaç terimini yazmak gerekir.

Önce, sonra:
Sonra:
Sonra:

İşlem süresiz olarak devam ettirilebilir ancak duruma göre serinin ilk üç teriminin yazılması gerekiyordu, bu yüzden cevabı yazıyoruz:

Lütfen aşağıdaki temel farka dikkat edin: sayı dizisi,
burada terimler özetlenmiyor, ancak bu şekilde değerlendiriliyor.

Örnek 2

Serinin ilk üç terimini yazınız

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, cevabı dersin sonundadır.

İlk bakışta karmaşık görünen bir seriyi bile genişletilmiş haliyle anlatmak hiç de zor değil:

Örnek 3

Serinin ilk üç terimini yazınız

Aslında görev sözlü olarak gerçekleştirilir: serinin ortak terimini zihinsel olarak yerine koyunönce, sonra ve. Sonunda:

Cevabı şu şekilde bırakıyoruz: Ortaya çıkan seri terimlerini basitleştirmemek daha iyidir, yani yerine getirme hareketler: , , . Neden? Cevap formdadır öğretmenin kontrol etmesi çok daha kolay ve kullanışlıdır.

Bazen tam tersi bir görev ortaya çıkar

Örnek 4

Burada net bir çözüm algoritması yok, sadece deseni görmen gerekiyor.
Bu durumda:

Kontrol etmek için, ortaya çıkan seri genişletilmiş biçimde "geri yazılabilir".

İşte kendi başınıza çözmeniz biraz daha karmaşık olan bir örnek:

Örnek 5

Toplamı serinin ortak terimiyle birlikte daraltılmış biçimde yazın

Seriyi genişletilmiş biçimde tekrar yazarak bir kontrol yapın

Sayı serilerinin yakınsaklığı

Konunun temel amaçlarından biri yakınsaklık için serilerin incelenmesi. Bu durumda iki durum mümkündür:

1) Sırauzaklaşıyor. Bu, sonsuz bir toplamın sonsuza eşit olduğu anlamına gelir: veya genel olarak toplamlar bulunmuyorörneğin dizide olduğu gibi
(bu arada burada negatif terimler içeren bir dizi örneği var). Dersin başında ıraksak sayı serilerine güzel bir örnek bulundu: . Burada serinin her bir sonraki üyesinin bir öncekinden daha büyük olduğu oldukça açık, bu nedenle ve dolayısıyla seri ıraksaktır. Daha da önemsiz bir örnek: .

2) Sırayakınsar. Bu, sonsuz bir toplamın bazılarına eşit olduğu anlamına gelir sonlu sayı: . Lütfen: – bu seri yakınsaktır ve toplamı sıfırdır. Daha anlamlı bir örnek olarak şunu verebiliriz: sonsuz azalan Okuldan beri bildiğimiz geometrik ilerleme: . Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı şu formül kullanılarak hesaplanır: ilerlemenin ilk terimi nerede ve onun temelidir ve genellikle şu şekilde yazılır: doğru kesirler Bu durumda: , . Böylece: Sonlu bir sayı elde ediliyor, bu da serinin yakınsak olduğu anlamına geliyor ki bunun da kanıtlanması gerekiyor.

Ancak vakaların büyük çoğunluğunda serinin toplamını bulun o kadar basit değildir ve bu nedenle pratikte bir serinin yakınsaklığını incelemek için teorik olarak kanıtlanmış özel işaretler kullanılır.

Seri yakınsamasının birkaç işareti vardır: Bir serinin yakınsaması için gerekli testler, karşılaştırma testleri, D'Alembert testi, Cauchy testleri, Leibniz'in işareti ve diğer bazı işaretler. Hangi işaret ne zaman kullanılır? Mecazi anlamda, serinin "doldurulmasına", serinin ortak üyesine bağlıdır. Ve çok yakında her şeyi çözeceğiz.

! Dersi daha fazla öğrenmek için şunları yapmalısınız: iyi anla Limit nedir ve bir türün belirsizliğini ortaya koyabilmek iyidir. Materyali incelemek veya incelemek için lütfen makaleye bakın. Sınırlar. Çözüm örnekleri.

Bir serinin yakınsamasının gerekli bir işareti

Bir seri yakınsaksa ortak terimi sıfıra yaklaşır: .

Genel durumda bunun tersi doğru değildir, yani eğer öyleyse, o zaman seri ya yakınsak ya da ıraksak olabilir. Ve bu nedenle bu işaret haklı çıkarmak için kullanılır farklılıklar sıra:

Serinin ortak terimi ise sıfıra yönelmiyor o zaman seri ıraksar

Veya kısacası: eğer öyleyse seri ıraksar. Özellikle limitin hiç mevcut olmadığı bir durum mümkündür, örneğin: sınır. Böylece bir serinin farklılığını hemen haklı çıkardılar :)

Ancak çok daha sık olarak, ıraksak bir serinin limiti sonsuza eşittir ve "x" yerine "dinamik" bir değişken görevi görür. Bilgimizi tazeleyelim: “x” içeren limitlere fonksiyonların limitleri, “en” değişkenli limitlere ise sayısal dizilerin limitleri denir. Açık fark, "en" değişkeninin ayrık (süreksiz) doğal değerleri almasıdır: 1, 2, 3, vb. Ancak bu gerçeğin, limitleri çözme yöntemleri ve belirsizlikleri açıklama yöntemleri üzerinde çok az etkisi vardır.

İlk örnekteki serinin ıraksak olduğunu kanıtlayalım.
Serinin ortak üyesi:

Çözüm: sıra uzaklaşıyor

Gerekli özellik genellikle gerçek pratik görevlerde kullanılır:

Örnek 6

Pay ve paydada polinomlarımız var. Makaledeki belirsizliği açıklama yöntemini dikkatlice okuyup anlayan kişi Sınırlar. Çözüm örnekleri, muhtemelen bunu yakaladım pay ve paydanın en büyük kuvvetleri olduğunda eşit, o zaman limit sonlu sayı .

Pay ve paydayı şuna bölün:

İncelenmekte olan seriler uzaklaşıyorÇünkü serinin yakınsaması için gerekli kriter sağlanmamıştır.

Örnek 7

Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap

Yani bize HERHANGİ bir sayı dizisi verildiğinde, İlk önce(zihinsel olarak veya taslak üzerinde) kontrol ediyoruz: ortak terimi sıfıra yaklaşıyor mu? Aksi takdirde 6, 7 numaralı örneklere dayanarak bir çözüm formüle edip serinin ıraksak olduğu cevabını veririz.

Ne tür görünüşte farklı serileri ele aldık? Serilerin benzer veya farklı olduğu hemen anlaşılıyor. 6, 7 numaralı örneklerden elde edilen seriler de birbirinden farklıdır: pay ve payda polinomlar içerdiğinde ve payın baştaki kuvveti paydanın baştaki kuvvetinden büyük veya ona eşit olduğunda. Tüm bu durumlarda, örnekleri çözerken ve hazırlarken serinin gerekli yakınsaklık işaretini kullanırız.

İşaret neden çağrıldı? gerekli? En doğal şekilde anlayın: Bir serinin yakınlaşması için, gerekli böylece ortak terimi sıfıra yaklaşır. Ve her şey harika olurdu ama dahası da var yeterli değil. Başka bir deyişle, Bir serinin ortak terimi sıfıra yaklaşıyorsa BU, serinin yakınsak olduğu anlamına gelmez– hem yakınlaşabilir hem de uzaklaşabilir!

Tanışmak:

Bu seriye denir harmonik serisi. Lütfen hatırla! Sayı dizileri arasında baş balerindir. Daha doğrusu bir balerin =)

Bunu görmek kolaydır , ANCAK. Matematiksel analiz teorisinde kanıtlanmıştır ki harmonik seri ıraksar.

Genelleştirilmiş harmonik seri kavramını da hatırlamanız gerekir:

1) Bu satır uzaklaşıyor. Örneğin , , serisi ıraksaktır.
2) Bu satır yakınsar. Örneğin , , , serisi yakınsaktır. Hemen hemen tüm pratik görevlerde, örneğin serinin toplamının neye eşit olduğunun bizim için hiç önemli olmadığını bir kez daha vurguluyorum, yakınsaması gerçeği önemlidir.

Bunlar seri teorisinin zaten kanıtlanmış temel gerçekleridir ve herhangi bir pratik örneği çözerken, örneğin bir serinin ıraksamasına veya bir serinin yakınsamasına güvenle başvurabilirsiniz.

Genel olarak söz konusu materyal aşağıdakilere çok benzer: uygunsuz integrallerin incelenmesi ve bu konuyu inceleyenlerin işi daha kolay olacaktır. Eh, henüz çalışmayanlar için iki kat daha kolay :)

Peki serinin ortak terimi sıfıra eğilim gösterirse ne yapmalıyız? Bu gibi durumlarda örnekleri çözmek için başkalarını kullanmanız gerekir, yeterli yakınsama/ayrılma belirtileri:

Pozitif sayı serileri için karşılaştırma kriterleri

dikkatinizi çekiyorum burada sadece pozitif sayı serilerinden bahsediyoruz (negatif olmayan terimlerle).

İki karşılaştırma işareti var, bunlardan birini basitçe arayacağım bir karşılaştırma işareti, bir diğer - karşılaştırma sınırı.

İlk önce düşünelim karşılaştırma işareti daha doğrusu ilk kısmı:

İki pozitif sayı serisini ve . Eğer biliniyorsa, bu dizi – yakınsar ve bir sayıdan başlayarak eşitsizlik sağlanırsa seri aynı zamanda yakınsar.

Başka bir deyişle: Daha büyük terimli serilerin yakınsaması, daha küçük terimli serilerin yakınsamasını takip eder. Uygulamada eşitsizlik genellikle tüm değerler için geçerlidir:

Örnek 8

Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

İlk önce kontrol edelim(zihinsel veya taslak halinde) yürütme:
Bu da "az kanla kurtulmanın" mümkün olmadığı anlamına geliyor.

Genelleştirilmiş harmonik serilerin "paketine" bakarız ve en yüksek dereceye odaklanarak benzer bir seri buluruz: Teorik olarak yakınsak olduğu bilinmektedir.

Tüm doğal sayılar için bariz eşitsizlik geçerlidir:

ve daha büyük paydalar daha küçük kesirlere karşılık gelir:
, yani karşılaştırma kriterine göre incelenen seriler yakınsar yanında ile birlikte.

Herhangi bir şüpheniz varsa eşitsizliği her zaman ayrıntılı olarak tanımlayabilirsiniz! Birkaç “en” sayısı için oluşturulmuş eşitsizliği yazalım:
Eğer öyleyse
Eğer öyleyse
Eğer öyleyse
Eğer öyleyse
….
ve şimdi eşitsizliğin kesinlikle açık olduğu tüm doğal sayılar “en” için yerine getirilmiştir.

Karşılaştırma kriterini ve çözülmüş örneği resmi olmayan bir bakış açısıyla analiz edelim. Yine de seri neden yakınsıyor? İşte nedeni. Eğer bir seri yakınsaksa, o zaman bazı son miktar: . Ve serinin tüm üyelerinden beri az Serinin terimleri birbirine karşılık geliyorsa, serinin toplamının sayıdan büyük olamayacağı ve hatta sonsuza eşit olamayacağı açıktır!

Benzer şekilde “benzer” serilerin yakınsaklığını da kanıtlayabiliriz: , , vesaire.

! Not, her durumda paydalarda “artılar” var. En az bir eksi varlığı, söz konusu ürünün kullanımını ciddi şekilde zorlaştırabilir. karşılaştırma işareti. Örneğin, bir seri yakınsak bir seriyle aynı şekilde karşılaştırılırsa (ilk terimler için birkaç eşitsizliği yazın), bu durumda koşul hiç sağlanmayacaktır! Burada, örneğin karşılaştırma için başka bir yakınsak seriyi atlatabilir ve seçebilirsiniz, ancak bu, gereksiz rezervasyonlara ve diğer gereksiz zorluklara yol açacaktır. Bu nedenle bir serinin yakınsaklığını kanıtlamak için kullanımı çok daha kolaydır. karşılaştırma sınırı(sonraki paragrafa bakın).

Örnek 9

Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

Bu örnekte, kendi başınıza düşünmenizi öneririm karşılaştırma özelliğinin ikinci kısmı:

Eğer biliniyorsa, bu dizi – uzaklaşıyor ve bir sayıdan başlayarak (genellikle ilk andan itibaren), eşitsizlik sağlanırsa seri ayrıca ayrılıyor.

Başka bir deyişle: Daha küçük terimlere sahip bir serinin ıraksamasından, daha büyük terimlere sahip bir serinin ıraksaması meydana gelir.

Ne yapılmalı?
İncelenen serilerin ıraksak harmonik serilerle karşılaştırılması gerekmektedir. Daha iyi bir anlayış için birkaç özel eşitsizlik oluşturun ve eşitsizliğin adil olduğundan emin olun.

Çözüm ve örnek tasarım dersin sonundadır.

Daha önce de belirtildiği gibi, pratikte az önce tartışılan karşılaştırma kriteri nadiren kullanılmaktadır. Sayı serilerinin gerçek gücü karşılaştırma sınırı ve kullanım sıklığı açısından yalnızca rekabet edebilir d'Alembert'in işareti.

Sayısal pozitif serileri karşılaştırmak için limit testi

İki pozitif sayı serisini ve . Bu serilerin ortak terimlerinin oranının limiti şuna eşitse: sıfır olmayan sonlu sayı: , o zaman her iki seri de aynı anda yakınsar veya ıraksar.

Sınırlayıcı kriter ne zaman kullanılır? Karşılaştırma için sınırlayıcı kriter, serinin "doldurulması" polinomlar olduğunda kullanılır. Ya paydada bir polinom ya da hem pay hem de paydada polinomlar. İsteğe bağlı olarak polinomlar köklerin altına yerleştirilebilir.

Önceki karşılaştırma işaretinin durduğu satırla ilgilenelim.

Örnek 10

Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

Bu seriyi yakınsak bir seriyle karşılaştıralım. Karşılaştırma için sınırlayıcı kriteri kullanıyoruz. Serinin yakınsak olduğu bilinmektedir. Eğer bunun eşit olduğunu gösterebilirsek sonlu, sıfır olmayan sayısına göre serinin de yakınsak olduğu kanıtlanacaktır.

Sıfırdan farklı sonlu bir sayı elde edilir; bu, incelenen serinin şu anlama geldiği anlamına gelir: yakınsar yanında ile birlikte.

Dizi neden karşılaştırma için seçildi? Genelleştirilmiş harmonik serilerin “kafesinden” başka bir seri seçseydik limitte başarılı olamazdık. sonlu, sıfır olmayan sayılar (deneme yapabilirsiniz).

Not: sınırlayıcı karşılaştırma kriterini kullandığımızda, önemli değil Ele alınan örnekte, ortak üyeler arasındaki ilişkinin hangi sırayla oluşturulacağı, ilişki tam tersi şekilde derlenebilir: - bu, konunun özünü değiştirmez.