Bir dairenin alanı nasıl bulunur? İlk önce yarıçapı bulun. Basit ve karmaşık problemleri çözmeyi öğrenin.

Bir daire kapalı bir eğridir. Daire çizgisi üzerindeki herhangi bir nokta merkez noktadan aynı uzaklıkta olacaktır. Daire düz bir şekil olduğundan alan bulmayla ilgili problemleri çözmek kolaydır. Bu yazımızda üçgen, yamuk, kare içine yazılmış ve bu şekillerin çevresine alınmış bir dairenin alanının nasıl bulunacağına bakacağız.

Belirli bir şeklin alanını bulmak için yarıçapın, çapın ve π sayısının ne olduğunu bilmeniz gerekir.

Yarıçap R dairenin merkezi tarafından sınırlanan mesafedir. Bir dairenin tüm R-yarıçaplarının uzunlukları eşit olacaktır.

Çap D merkez noktasından geçen bir daire üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki çizgidir. Bu parçanın uzunluğu, R yarıçapının uzunluğunun 2 ile çarpımına eşittir.

Sayı π 3,1415926'ya eşit olan sabit bir değerdir. Matematikte bu sayı genellikle 3,14'e yuvarlanır.

Yarıçapı kullanarak bir dairenin alanını bulma formülü:

R yarıçapını kullanarak bir dairenin S alanını bulmayla ilgili problem çözme örnekleri:

Görev: Yarıçapı 7 cm ise dairenin alanını bulun.

Çözüm: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².

Cevap: Dairenin alanı 153,86 cm²'dir.

D çapı boyunca bir dairenin S alanını bulma formülü:

D biliniyorsa S'yi bulmak için problem çözme örnekleri:

————————————————————————————————————————-

Görev: D'si 10 cm olan bir dairenin S'sini bulun.

Çözüm: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².

Cevap: Düz dairesel bir şeklin alanı 78,5 cm²'dir.

Çevresi biliniyorsa bir dairenin S'sini bulma:

İlk önce yarıçapın neye eşit olduğunu buluyoruz. Dairenin çevresi şu formülle hesaplanır: sırasıyla L=2πR, yarıçap R, L/2π'ye eşit olacaktır. Şimdi R'ye kadar olan formülü kullanarak dairenin alanını buluyoruz.

Örnek bir problem kullanarak çözümü ele alalım:

———————————————————————————————————————-

Görev: L çevresi biliniyorsa dairenin alanını bulun - 12 cm.

Çözüm:İlk önce yarıçapı buluyoruz: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

Şimdi yarıçaptan geçen alanı buluyoruz: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².

Cevap: Dairenin alanı 11,46 cm²'dir.

Bir karenin içine yazılan dairenin alanını bulmak kolaydır. Karenin bir kenarı dairenin çapıdır. Yarıçapı bulmak için kenarı 2'ye bölmeniz gerekir.

Bir kareye yazılan dairenin alanını bulma formülü:

Bir kareye yazılan bir dairenin alanını bulma problemlerini çözme örnekleri:

———————————————————————————————————————

Görev #1: 6 santimetre olan kare bir şeklin kenarı bilinmektedir. Yazılı dairenin S alanını bulun.

Çözüm: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².

Cevap: Düz dairesel bir şeklin alanı 28,26 cm²'dir.

————————————————————————————————————————

Görev No.2: Bir kare şeklin içine yazılan bir çemberin S'sini ve bir kenarı a=4 cm ise yarıçapını bulun.

Bu şekilde karar ver: İlk önce R=a/2=4/2=2 cm'yi buluyoruz.

Şimdi S=3.14*2²=3.14*4=12.56 cm² dairenin alanını bulalım.

Cevap: Düz dairesel bir şeklin alanı 12,56 cm²'dir.

Bir kare etrafında tarif edilen daire şeklinin alanını bulmak biraz daha zordur. Ancak formülü bilerek bu değeri hızlı bir şekilde hesaplayabilirsiniz.

S'yi kare bir şekil etrafında çevrelenmiş bir daire bulma formülü:

Kare bir şekil etrafında çevrelenmiş bir dairenin alanını bulma konusunda problem çözme örnekleri:

Görev

Üçgen şeklinde yazılı bir daire, üçgenin üç kenarına da dokunan bir dairedir. Herhangi bir üçgen şekline bir daire sığdırabilirsiniz, ancak yalnızca bir tane. Çemberin merkezi, üçgenin açılarının açıortaylarının kesişme noktası olacaktır.

İkizkenar üçgende yazılı bir dairenin alanını bulma formülü:

Yarıçap bilindikten sonra alan şu formül kullanılarak hesaplanabilir: S=πR².

Dik üçgende yazılı bir dairenin alanını bulmak için formül:

Problem çözme örnekleri:

Görev No.1

Bu problemde yarıçapı 4 cm olan bir dairenin alanını da bulmanız gerekiyorsa, bu şu formül kullanılarak yapılabilir: S=πR²

Görev No.2

Çözüm:

Artık yarıçap bilindiğine göre, yarıçapı kullanarak dairenin alanını bulabiliriz. Metindeki yukarıdaki formüle bakın.

Görev No.3

Sağ ve ikizkenar üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin alanı: formül, problem çözme örnekleri

Bir dairenin alanını bulmak için kullanılan tüm formüller, önce onun yarıçapını bulmanız gerektiği gerçeğine dayanır. Yarıçap bilindiğinde alanı bulmak yukarıda açıklandığı gibi basittir.

Bir dik ve ikizkenar üçgen etrafında çevrelenen bir dairenin alanı aşağıdaki formülle bulunur:

Problem çözme örnekleri:

İşte Heron formülünü kullanarak bir problemi çözmenin başka bir örneği.

Bu tür problemleri çözmek zordur, ancak tüm formülleri biliyorsanız bu konularda uzmanlaşabilirsiniz. Öğrenciler bu tür problemleri 9. sınıfta çözüyorlar.

Dikdörtgen ve ikizkenar yamuk içine yazılmış bir dairenin alanı: formül, problem çözme örnekleri

İkizkenar yamuk iki eşit kenara sahiptir. Dikdörtgen bir yamuğun bir açısı 90°'ye eşittir. Problem çözme örneğini kullanarak dikdörtgen ve ikizkenar yamuk içine yazılmış bir dairenin alanını nasıl bulacağımıza bakalım.

Örneğin, temas noktasında bir tarafı m ve n bölümlerine ayıran ikizkenar yamuk içine bir daire yazılmıştır.

Bu sorunu çözmek için aşağıdaki formülleri kullanmanız gerekir:

Dikdörtgen bir yamukta yazılı bir dairenin alanını bulmak aşağıdaki formül kullanılarak yapılır:

Yan taraf biliniyorsa bu değer kullanılarak yarıçap bulunabilir. Bir yamuk kenarının yüksekliği dairenin çapına eşittir ve yarıçap, çapın yarısı kadardır. Buna göre yarıçap R=d/2'dir.

Problem çözme örnekleri:

Karşıt açılarının toplamı 180° olduğunda bir yamuk bir daireye yazılabilir. Bu nedenle, yalnızca ikizkenar yamuk yazabilirsiniz. Dikdörtgen veya ikizkenar yamuk etrafında çevrelenen bir dairenin alanını hesaplamak için yarıçap, aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

Problem çözme örnekleri:

Çözüm: Bu durumda büyük taban merkezden geçer, çünkü daireye ikizkenar yamuk yazılmıştır. Merkez bu tabanı tam olarak ikiye böler. AB tabanı 12 ise R yarıçapı şu şekilde bulunabilir: R=12/2=6.

Cevap: Yarıçapı 6'dır.

Geometride formülleri bilmek önemlidir. Ancak hepsini hatırlamak mümkün olmadığından birçok sınavda bile özel bir form kullanılmasına izin verilmektedir. Ancak belirli bir sorunu çözmek için doğru formülü bulabilmek önemlidir. Formülleri doğru bir şekilde değiştirebilmeniz ve doğru yanıtlar alabilmeniz için bir dairenin yarıçapını ve alanını bulmak için çeşitli problemleri çözme alıştırması yapın.

Video: Matematik | Bir dairenin alanlarının ve parçalarının hesaplanması

Okul müfredatından bildiğimiz gibi, daireye genellikle şeklin merkezinden eşit uzaklıkta birçok noktadan oluşan düz geometrik şekil adı verilir. Hepsi aynı mesafede olduğundan bir daire oluştururlar.

Makalede rahat gezinme:

Daire alanı hesaplayıcısı

Bir dairenin merkezi ile çevresi üzerindeki noktaları birleştiren doğru parçasına yarıçap denir. Ayrıca her dairenin tüm yarıçapları birbirine eşittir. Bir dairenin çapı, daire üzerindeki iki noktayı birleştiren ve merkezinden geçen düz çizgidir. Bir dairenin alanını doğru bir şekilde hesaplamak için tüm bunlara ihtiyacımız olacak. Ayrıca bu değer Pi sayısı kullanılarak hesaplanır.

Bir dairenin alanı nasıl hesaplanır

Örneğin yarıçapı dört santimetre olan bir dairemiz var. Alanını hesaplayalım: S=(3.14)*4^2=(3.14)*16=50.24. Böylece dairenin alanı 50,24 santimetrekare olur.

Ayrıca bir dairenin alanını çapına göre hesaplamak için özel bir formül vardır: S=(pi/4) d^2.

Şeklin yarıçapını bilerek, çapı boyunca böyle bir daire hesaplamasının bir örneğine bakalım. Örneğin yarıçapı dört santimetre olan bir dairemiz var. Öncelikle yarıçapın iki katı olan bir çap bulmanız gerekir: d=2R, d=2*4=8.

Şimdi elde edilen verileri yukarıda açıklanan formülü kullanarak dairenin alanını hesaplamak için kullanmalısınız: S=((3.14)/4 )*8^2=0.785*64=50.24.

Gördüğünüz gibi, sonunda ilk durumdakiyle aynı cevabı alıyoruz.

Bir dairenin alanını doğru bir şekilde hesaplamak için yukarıda açıklanan standart formüllerin bilgisi, eksik değerleri kolayca bulmanıza ve sektörlerin alanını belirlemenize yardımcı olacaktır.

Dolayısıyla, bir dairenin alanını hesaplama formülünün Pi'nin sabit değerinin dairenin yarıçapının karesiyle çarpılmasıyla hesaplandığını biliyoruz. Formülde çevre cinsinden ifade değiştirilerek yarıçapın kendisi gerçek çevre cinsinden ifade edilebilir. Yani: R=l/2pi.

Şimdi bu eşitliği bir dairenin alanını hesaplama formülüne koymamız gerekiyor ve sonuç olarak bu geometrik şeklin çevre boyunca alanını bulmak için bir formül elde ediyoruz: S=pi((l/2pi) )^2=l^2/(4pi).

Örneğin bize çevresi sekiz santimetre olan bir daire veriliyor. Değeri dikkate alınan formülde yerine koyarız: S=(8^2)/(4*3.14)=64/(12.56)=5. Ve dairenin alanını beş santimetre kareye eşitliyoruz.

Daire hesaplayıcı, şekillerin geometrik boyutlarını çevrimiçi olarak hesaplamak için özel olarak tasarlanmış bir hizmettir. Bu hizmet sayesinde daireye dayalı bir şeklin herhangi bir parametresini kolayca belirleyebilirsiniz. Örneğin: Bir topun hacmini biliyorsunuz ama alanını bulmanız gerekiyor. Hiçbir şey daha kolay olamaz! Uygun seçeneği seçin, sayısal bir değer girin ve Hesapla düğmesini tıklayın. Hizmet yalnızca hesaplamaların sonuçlarını görüntülemekle kalmıyor, aynı zamanda bunların yapıldığı formülleri de sağlıyor. Hizmetimizi kullanarak yarıçapı, çapı, çevreyi (dairenin çevresi), dairenin ve topun alanını ve topun hacmini kolayca hesaplayabilirsiniz.

Yarıçapı hesapla

Yarıçap değerini hesaplama görevi en yaygın görevlerden biridir. Bunun nedeni oldukça basittir, çünkü bu parametreyi bilerek bir dairenin veya topun diğer herhangi bir parametresinin değerini kolayca belirleyebilirsiniz. Sitemiz tam olarak bu şema üzerine inşa edilmiştir. Hangi başlangıç parametresini seçmiş olursanız olun, öncelikle yarıçap değeri hesaplanır ve sonraki tüm hesaplamalar buna göre yapılır. Hesaplamaların daha doğru olması için site, 10. ondalık basamağa yuvarlanan Pi'yi kullanır.

Çapı hesapla

Çapın hesaplanması, hesap makinemizin gerçekleştirebileceği en basit hesaplama türüdür. Çap değerini manuel olarak almak hiç de zor değil, bunun için internete başvurmanıza hiç gerek yok. Çap, yarıçap değerinin 2 ile çarpımına eşittir. Çap, günlük yaşamda çok sık kullanılan bir dairenin en önemli parametresidir. Kesinlikle herkesin doğru hesaplayabilmesi ve kullanabilmesi gerekir. Web sitemizin yeteneklerini kullanarak, çapı saniyeden çok daha kısa bir sürede büyük bir doğrulukla hesaplayacaksınız.

Çevreyi öğrenin

Çevremizde ne kadar çok yuvarlak nesne olduğunu ve bunların hayatımızda ne kadar önemli bir rol oynadığını hayal bile edemezsiniz. Çevreyi hesaplama yeteneği, sıradan bir sürücüden önde gelen bir tasarım mühendisine kadar herkes için gereklidir. Çevreyi hesaplama formülü çok basittir: D=2Pr. Hesaplama bir kağıt parçası üzerinde veya bu çevrimiçi asistanı kullanarak kolayca yapılabilir. İkincisinin avantajı tüm hesaplamaları resimlerle göstermesidir. Ve her şeyin ötesinde, ikinci yöntem çok daha hızlıdır.

Bir dairenin alanını hesaplayın

Bu makalede listelenen tüm parametreler gibi dairenin alanı da modern uygarlığın temelidir. Bir dairenin alanını hesaplayabilmek ve bilmek, istisnasız nüfusun tüm kesimleri için faydalıdır. Bir dairenin alanını bilmenin gerekli olmadığı bir bilim ve teknoloji alanını hayal etmek zordur. Hesaplama formülü yine zor değil: S=PR 2. Bu formül ve çevrimiçi hesap makinemiz, herhangi bir dairenin alanını fazladan çaba harcamadan bulmanıza yardımcı olacaktır. Sitemiz hesaplamaların yüksek doğruluğunu ve ışık hızında yürütülmesini garanti eder.

Bir kürenin alanını hesaplayın

Bir topun alanını hesaplama formülü, önceki paragraflarda açıklanan formüllerden daha karmaşık değildir. S=4Pr2. Bu basit harf ve rakamlar dizisi, insanların uzun yıllardır bir topun alanını oldukça doğru bir şekilde hesaplamasına olanak tanıyor. Bu nerede uygulanabilir? Evet her yerde! Mesela biliyorsunuz dünyanın alanı 510.100.000 kilometrekare. Bu formülün bilgisinin nerede uygulanabileceğini listelemek faydasız. Kürenin alanını hesaplamak için formülün kapsamı çok geniştir.

Topun hacmini hesaplayın

Topun hacmini hesaplamak için V = 4/3 (Pr 3) formülünü kullanın. Çevrimiçi hizmetimizi oluşturmak için kullanıldı. Web sitesi, aşağıdaki parametrelerden herhangi birini biliyorsanız, bir topun hacmini saniyeler içinde hesaplamayı mümkün kılar: yarıçap, çap, çevre, bir dairenin alanı veya bir topun alanı. Ayrıca bunu ters hesaplamalar için de kullanabilirsiniz; örneğin bir topun hacmini bilmek, yarıçapının veya çapının değerini elde etmek için. Daire hesaplayıcımızın özelliklerine hızlıca göz attığınız için teşekkür ederiz. Umarız sitemizi beğenmişsinizdir ve siteyi favorilerinize eklemişsinizdir.

Talimatlar

Bir dairenin bilinen bir alanının yarıçapını bulmak için Pi'yi kullanın. Bu sabit, bir dairenin çapı ile sınırının (daire) uzunluğu arasındaki oranı belirtir. Bir dairenin uzunluğu, onun yardımıyla kaplanabilen düzlemin maksimum alanıdır ve çap iki yarıçapa eşittir, dolayısıyla alan ve yarıçap da birbiriyle ifade edilebilecek bir oranla ilişkilidir. Pi numarası. Bu sabit (π), dairenin alanı (S) ve kare yarıçapı (r) olarak tanımlanır. Bundan, yarıçapın, alanın Pi'ye bölümünün karekökü olarak ifade edilebileceği sonucu çıkar: r=√(S/π).

Erastothenes, antik dünyanın en ünlü kütüphanesi olan İskenderiye Kütüphanesi'nin uzun süre başkanlığını yaptı. Gezegenimizin büyüklüğünü hesaplamanın yanı sıra çok sayıda önemli icat ve keşif yaptı. Asal sayıları belirlemek için artık "Erasstophenes Eleği" adı verilen basit bir yöntem icat etti.

O dönemde eski Yunanlıların bildiği dünyanın her yerini gösteren bir “dünya haritası” çizdi. Harita, zamanının en iyilerinden biri olarak kabul edildi. Bir boylam ve enlem sistemi ve artık yılları içeren bir takvim geliştirdi. İlk gökbilimciler tarafından gökyüzündeki yıldızların görünen hareketini göstermek ve tahmin etmek için kullanılan mekanik bir cihaz olan halkalı küreyi icat etti. Ayrıca 675 yıldızdan oluşan bir yıldız kataloğu da derledi.

Kaynaklar:

Yunan bilim adamı Cyrene'li Eratosthenes, Dünya'nın yarıçapını hesaplayan dünyada ilk kişiydi.
Eratosthenes "Dünyanın Çevresinin Hesaplanması"
Eratostenes

Daireler daha dikkatli bir yaklaşım gerektirir ve B5 görevlerinde çok daha az yaygındır. Aynı zamanda, genel çözüm şeması çokgenlere göre daha da basittir (“Koordinat ızgarasındaki çokgenlerin alanları” dersine bakın).

Bu tür görevlerde gerekli olan tek şey R çemberinin yarıçapını bulmaktır. Daha sonra S = πR 2 formülünü kullanarak dairenin alanını hesaplayabilirsiniz. Ayrıca bu formülden, bunu çözmek için R2'yi bulmanın yeterli olduğu sonucu çıkar.

Belirtilen değerleri bulmak için daire üzerinde ızgara çizgilerinin kesişiminde bulunan bir noktayı belirtmeniz yeterlidir. Ve sonra Pisagor teoremini kullanın. Yarıçapı hesaplamanın belirli örneklerine bakalım:

Görev. Şekilde gösterilen üç dairenin yarıçaplarını bulun:

Her dairede ek yapılar yapalım:

Her durumda, daire üzerinde ızgara çizgilerinin kesişiminde yer alacak şekilde B noktası seçilir. 1 ve 3 numaralı dairelerin içindeki C noktası, şekli bir dik üçgene tamamlar. Yarıçapı bulmak için kalır:

İlk çemberdeki ABC üçgenini düşünün. Pisagor teoremine göre: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

İkinci daire için her şey açıktır: R = AB = 2.

Üçüncü durum da birinciye benzer. Pisagor teoremini kullanan ABC üçgeninden: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Artık bir dairenin yarıçapını (veya en azından karesini) nasıl bulacağımızı biliyoruz. Bu nedenle alanı bulabiliriz. Çemberin tamamını değil, bir sektörün alanını bulmanız gereken sorunlar var. Böyle durumlarda bu sektörün dairenin hangi parçası olduğunu bulmak ve dolayısıyla alanı bulmak kolaydır.

Görev. Taralı sektörün S alanını bulun. Lütfen cevabınızda S/π'yi belirtin.

Açıkçası, sektör bir dairenin dörtte biri. Bu nedenle S = 0,25 S çemberi.

Çemberin S'sini - çemberin alanını bulmak için kalır. Bunu yapmak için ek bir inşaat gerçekleştiriyoruz:

ABC üçgeni bir dik üçgendir. Pisagor teoremine göre elimizde: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Şimdi dairenin alanını ve sektörü buluyoruz: S daire = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S dairesi = 2π.

Son olarak istenilen değer S /π = 2’dir.

Bilinmeyen yarıçaplı sektör alanı

Bu tamamen yeni bir görev; 2010-2011'de buna benzer bir şey yoktu. Koşula göre bize belirli bir alana sahip bir daire verilir (yani alan, yarıçap değil!). Daha sonra bu dairenin içinde alanının bulunması gereken bir sektör seçilir.

İyi haber şu ki, bu tür problemler matematikte Birleşik Devlet Sınavında ortaya çıkan tüm alan problemleri arasında en kolay olanlardır. Ayrıca daire ve sektör her zaman bir koordinat ızgarasına yerleştirilir. Bu nedenle, bu tür sorunların nasıl çözüleceğini öğrenmek için resme bakmanız yeterli:

Orijinal dairenin alanı S daire = 80 olsun. Daha sonra her biri alanı S = 40 olan iki sektöre bölünebilir (bkz. adım 2). Benzer şekilde, bu "yarım" sektörlerin her biri tekrar ikiye bölünebilir - her birinin alanı S = 20 olan dört sektör elde ederiz (bkz. adım 3). Son olarak, bu sektörlerin her birini iki parçaya daha bölebiliriz - 8 "hurda" sektör elde ederiz. Bu “hurdaların” her birinin alanı S = 10 olacaktır.

Lütfen unutmayın: Herhangi bir USE matematik probleminde daha ince bir bölüm yoktur! Dolayısıyla Problem B-3'ü çözme algoritması aşağıdaki gibidir:

Orijinal daireyi 8 "artık" sektöre ayırın. Her birinin alanı tüm dairenin alanının tam olarak 1/8'idir. Örneğin, koşula göre dairenin alanı S = 240 ise, o zaman “artıklar”ın alanı S = 240: 8 = 30;
Alanının bulunması gereken orijinal sektöre kaç tane "hurda" sığdığını öğrenin. Örneğin sektörümüz alanı 30 olan 3 “hurda” içeriyorsa o zaman istenilen sektörün alanı S = 3 · 30 = 90 olur. Cevap bu olacaktır.

İşte bu! Sorun pratik olarak sözlü olarak çözülür. Hala bir şey net değilse, bir pizza alın ve onu 8 parçaya bölün. Bu tür parçaların her biri, daha büyük parçalar halinde birleştirilebilecek aynı sektör "hurdaları" olacaktır.

Şimdi Birleşik Devlet Sınavı denemesinden örneklere bakalım:

Görev. Kareli kağıda alanı 40 olan bir daire çizilir. Gölgeli şeklin alanını bulun.

Yani dairenin alanı 40'tır. Her birinin alanı S = 40: 5 = 8 olan 8 sektöre bölün. Şunu elde ederiz:

Açıkçası, gölgeli sektör tam olarak iki "hurda" sektörden oluşuyor. Dolayısıyla alanı 2 · 5 = 10'dur. Bütün çözüm bu!

Görev. Kareli kağıda alanı 64 olan bir daire çizilir. Gölgeli şeklin alanını bulun.

Yine tüm daireyi 8 eşit sektöre bölün. Açıkçası bunlardan birinin alanı tam olarak bulunması gereken şey. Dolayısıyla alanı S = 64: 8 = 8'dir.

Görev. Kareli kağıda alanı 48 olan bir daire çizilir. Gölgeli şeklin alanını bulun.

Yine daireyi 8 eşit sektöre bölün. Her birinin alanı S = 48: 8 = 6'ya eşittir. Gerekli sektör tam olarak üç sektör içerir - “hurdalar” (şekle bakın). Dolayısıyla gerekli sektörün alanı 3 6 = 18'dir.