Kökün altında bir fonksiyon içeren herhangi bir eşitsizliğe denir mantıksız. Bu tür eşitsizliklerin iki türü vardır:
İlk durumda kök daha az işlev g (x), ikincisinde - daha fazlası. Eğer g(x) - devamlı eşitsizlik büyük ölçüde basitleştirilmiştir. Lütfen unutmayın: görünüşte bu eşitsizlikler çok benzer, ancak çözüm şemaları temelde farklıdır.
Bugün birinci türden irrasyonel eşitsizlikleri nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz - bunlar en basit ve en anlaşılır olanlardır. Eşitsizlik işareti katı olabilir veya katı olmayabilir. Onlar için şu ifade doğrudur:
Teorem. Formun herhangi bir irrasyonel eşitsizliği
Eşitsizlik sistemine eşdeğer:
Zayıf değil mi? Bu sistemin nereden geldiğine bakalım:
- f (x) ≤ g 2 (x) - burada her şey açık. Bu orijinal eşitsizliğin karesidir;
- f(x) ≥ 0 kökün ODZ'sidir. Size şunu hatırlatmama izin verin: aritmetik karekök yalnızca itibaren var negatif olmayan sayılar;
- g(x) ≥ 0 kökün aralığıdır. Eşitsizliğin karesini alarak negatifleri yakıyoruz. Sonuç olarak ekstra kökler görünebilir. g(x) ≥ 0 eşitsizliği bunları keser.
Pek çok öğrenci sistemin ilk eşitsizliğine "takılıyor": f (x) ≤ g 2 (x) - ve diğer ikisini tamamen unutuyor. Sonuç tahmin edilebilir: yanlış karar, kayıp puanlar.
İrrasyonel eşitsizlikler yeterli olduğundan karmaşık konu, aynı anda 4 örneğe bakalım. Temelden gerçekten karmaşığa. Tüm sorunlar alınmıştır giriş sınavları Moskova Devlet Üniversitesi adını aldı M. V. Lomonosov.
Problem çözme örnekleri
Görev. Eşitsizliği çözün:
Önümüzde bir klasik irrasyonel eşitsizlik: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 bir sabittir. Sahibiz:
Çözümün sonunda üç eşitsizlikten yalnızca ikisi kaldı. Çünkü 2 ≥ 0 eşitsizliği her zaman geçerlidir. Kalan eşitsizlikleri geçelim:
Yani x ∈ [−1,5; 0,5]. Tüm noktalar gölgelidir çünkü eşitsizlikler katı değil.
Görev. Eşitsizliği çözün:
Teoremi uyguluyoruz:
İlk eşitsizliği çözelim. Bunu yapmak için farkın karesini ortaya çıkaracağız. Sahibiz:
2x 2 − 18x + 16< (x
− 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x
2 − 8x
+ 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0; 10).
Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim. Orada da ikinci dereceden üç terimli:
2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)
