Структура системного анализа.

При этом в процессе функционирования реальной системы выявляется проблема практики как несоответствие существующего положения дел требуемому. Для решения проблемы проводится системное исследование (декомпозиция, анализ и синтез) системы, снимающее проблему. В ходе синтеза осуществляется оценка анализируемой и синтезируемой систем. Реализация синтезированной системы в виде предлагаемой физической системы позволяет провести оценку степени снятия проблемы практики и принять решение на функционирование модернизированной (новой) реальной системы.

При таком представлении становится очевидным еще один аспект определения системы: система есть средство решения проблем.

3. Задачи системного анализа.

Декомпозиция должна прекращаться, если необходимо изменить уровень абстракции - представить элемент как подсистему. Если при декомпозиции выясняется, что модель начинает описывать внутренний алгоритм функционирования элемента вместо закона его функционирования в виде «черного ящика», то в этом случае произошло изменение уровня абстракции. Это означает выход за пределы цели исследования системы и, следовательно, вызывает прекращение декомпозиции.

4. Классификация систем.
Классификацией называется разбиение на классы по наиболее существенным признакам. Под классом понимается совокупность объектов, обладающие некоторыми признаками общности. Признак (или совокупность признаков) является основанием (критерием) классификации.

Система может быть охарактеризована одним или несколькими признаками и соответственно ей может быть найдено место в различных классификациях, каждая из которых может быть полезной при выборе методологии исследования. Обычно цель классификации ограничить выбор подходов к отображению систем, выработать язык описания, подходящий для соответствующего класса.

Основные типы шкал измерения.

Выделяют четыре этапа оценивания сложных систем.

Этап 1. Определение цели оценивания. В системном анализе выделяют два типа целей. Качественной называют цель, достижение которой выражается в номинальной шкале или в шкале порядка. Количественной называют цель, достижение которой выражается в количественных шкалах. Определение цели должно осуществляться относительно системы, в которой рассматриваемая система является элементом (подсистемой).

Этап 2. Измерение свойств систем, признанных существенными для целей оценивания. Для этого выбираются соответствующие шкалы измерений свойств и всем исследуемым свойствам систем присваивается определенное значение на этих шкалах.

Этап 3. Обоснование предпочтений критериев качества и критериев эффективности функционирования систем на основе измеренных на выбранных шкалах свойств.

Этап 4. Собственно оценивание. Все исследуемые системы, рассматриваемые как альтернативы, сравниваются по сформулированным критериям и в зависимости от целей оценивания ранжируются, выбираются, оптимизируются и т.д.

Шкалы номинального типа

В номинативной шкале отсутствуют все главные атрибуты измерительных шкал, а именно упорядоченность, интервальность, нулевая точка. Для обозначения такой шкалы также используются термины «шкала наименований» и «номинальная шкала» .

Номинативная шкала используется для классификации или идентификации объектов (группировки по классам, каждому из которых приписывается число). Объекты группируются по классам таким образом, чтобы внутри класса они были идентичны по измеряемому свойству. Это самая простая шкала из тех, что могут рассматриваться как измерительные, хотя фактически эта шкала не ассоциируется с измерением и не связана с понятием «величина». Она используется только с целью отличить один объект от другого

Шкалы порядка

В порядковой шкале присутствует упорядоченность, но отсутствуют атрибуты интервальности и нулевой точки. Для обозначения такой шкалы также используются термины «ранговая шкала » и «шкала рангов ».

Результатом измерений в такой шкале является упорядочение объектов. Шкала ранжирует объекты, приписывает им числа в зависимости от выраженности измеряемого свойства по некоторому признаку (в порядке убывания или возрастания). В отличие от номинативной шкалы, можно не просто определить, что один объект отличен от другого, но и что по определенному признаку один объект больше или меньше другого. То есть, шкала показывает, больше или меньше выражено свойство (измеряемая величина), но не насколько больше, или насколько меньше оно выражено, а тем более – во сколько раз больше или меньше. Порядковая шкала является наиболее распространенной в социальных и гуманитарных исследованиях

Шкалы интервалов

В интервальной шкале присутствуют упорядоченность и интервальность, но нет нулевой точки. Для обозначения такой шкалы также используется термин «шкала интервалов ». В этой шкале исследуемому объекту присваивается число единиц измерения, пропорциональное выраженности измеряемого свойства. Соответствующие интервалы разных участков шкалы имеют одно и то же значение. Поэтому измерения в интервальной шкале допускают не только классификацию и ранжирование, но и точное определение различий между категориями.

Шкалы отношений

В относительной шкал присутствуют все атрибуты измерительных шкал: упорядоченность, интервальность, нулевая точка. Для обозначения такой шкалы также используются термины «шкала отношений » и «абсолютная шкала ». Последний термин подчеркивает абсолютный характер нулевой точки.

Относительная шкала позволяет оценивать, во сколько раз свойство одного объекта больше (меньше) аналогичного свойства другого объекта, принимаемого за эталон, единицу. Эта шкала характеризуется всеми атрибутами интервальной шкалы и имеет фиксированную нулевую точку (0), которая не является условной, она соответствует полному отсутствию измеряемого свойства.

Шкалы разностей

Шкалы разностей применяются в тех случаях, когда необходимо измерить, насколько один объект превосходит по определенному свойству другой объект. В шкалах разностей неизменными остаются разности численных оценок свойств.

6. Основные виды показателей усреднения свойств систем.

??????
7. Виды критериев качества.

8. Критерии эффективности систем.

Эффективностью комплексное свойство процесса функционирования системы, как степень приспособленности к достижению цели. В общем случае оценка функциональных свойств систем проводится в двух аспектах: - результат функционирования (операции); - алгоритм, обеспечивающий получение результата. Результат функционирования и алгоритм, обеспечивающий его получение, оцениваются по показателям результативности, ресурсоемкости и оперативности. Результативность обуславливает еѐ получаемым целевым эффектом, ради которого функционирует система.

Математическое выражение критерия эффективности называют целевой функцией, поскольку еѐ экстримизация является отражением цели функциониро- вания системы. Отсюда следует, что формирование критерия эффективности решений тре- бует: - определить цель решения проблемы; - найти множество управляемых и неуправляемых характеристик (парамет- ров) системы; - определить показатели исхода операции.

В зависимости от типа систем и внешних воздействий операции могут быть: - детерминированными; - вероятностными; - неопределенными.

В связи с этим выделяют 3 группы критериев эффективности:

1. В условиях определенности, если критерии отражают один строго определенный исход детерминированной операции;

2. В условиях риска, если критерии являются дискретными или непре- рывными случайными величинами с известными законами распределения в веро- ятностной операции;

3. В условиях неопределенности, если критерии являются случайными величинами, законы распределения которых неизвестны.

Критерии пригодности для оценки детерминированных операций

K:("i) (y Î / ® y , iÎ< Z,R,O >) доп i j i приг d d определяет правило, по которому операция считается эффективной, если все частные показатели исхода операции принадлежат области адекватности.

Критерий оптимальности для оценки детерминированной операции K: ($i) (y Î / ® , iÎ< Z, R, O >) опт i j i опт d d d определяет правило, по которому операция считается эффективной, если все частные показатели принадлежат области адекватности, а радиус области адек- ватности оптимален. Критерий пригодности для оценки эффективности вероятностной опера- ции: () () эф треб дц эф дц приг K P Y ³ P Y определяет правило, по которому операция считается эффективной, если вероятность достижения цели по показателям эффективности не меньше требуе- мой.

Критерий оптимальности для оценки вероятностной операции: определяет правило, по которому операция считается эффективной, если вероятность достижения цели по показателям эффективности равна вероятности достижения цели с оптимальными значениями этих показателей.

Методика оценки эффективности систем в неопределенных операциях со- ставляет один из разделов теории принятия решений. Общие требования к показателям эффективности: - соответствие цели; - полнота; - измеряемость; - явность физического смысла; - неизбыточность; - чувствительность.
9. Этапы процедуры экспертного оценивания.

Этапы процесса экспертного оценивания.

К ним относят:

формирование цели и задач экспертного оценивания;

формирование группы управления и оформление решения на проведение экспертного оценивания;

выбор метода получения экспертной информации и способов ее обработки;

подбор экспертной группы и формирование, при необходимости, анкет опроса;

опрос экспертов (экспертиза);

обработка и анализ результатов экспертизы;

интерпретация полученных результатов;

составление отчета.

Задачу на проведение экспертного оценивания ставит заказчик). Этап формирования цели и задач экспертного оценивания является основным. От него зависит надежность получаемого результата и его прагматическая ценность. Здесь должны быть учтены следующие факторы: надежность и полнота имеющейся исходной информации, требуемая форма представления результата (качественная или количественная), возможные области использования полученной информации, сроки ее представления, имеющиеся в распоряжении руководства ресур­сы, возможность привлечения специалистов других областей знаний и многое другое. Задача оформляется в виде руководящего документа (например, решения на проведение экспертного оценивания).

Для подготовки решения и руководства всей дальнейшей ра­ботой назначается руководитель экспертизы. Он определяет сос­тав группы управления.

Подбор экспертной группы обычно производится в несколько этапов. Вначале устанавливают отрасли знаний так или иначе связанные с рассматриваемой проблемой. Затем намечается список "потенциальных" экспертов, которые по своим профессиональным качествам являются специалистами в этих областях знаний. Такой предварительный отбор может быть легко произведен на основе доступной информации о профессиональной подготовке кандидата: должность, ученое звание и степень, стаж практической деятельности, количество публикаций, участие в других экспертизах.

При этом желательно, чтобы кандидат в экспертную группу имел широкий кругозор и эрудицию. Сама же группа не должна, по возможности, состоять из представителей одной отрасли или специальности, чтобы исключить влияние ведомственных интересов и не сделать получаемые результаты тенденциозными.

10. Принципы групповой экспертизы
Методы проведения групповых экспертиз делятся на:
очные и заочные;
индивидуальные и коллективные;
с обратной связью и без обратной связи.

При очном методе проведения экспертизы эксперт работает в присутствии организатора исследования. Эта необходимость может возникнуть, если задача поставлена недостаточно четко и нуждается в уточнении, а также если задача очень сложна. Эксперт может обратиться к организатору за разъяснениями.

При коллективном методе проведения экспертизы поставленная проблема решается сообща, "за круглым столом".
При индивидуальном - каждый эксперт оценивает проблему, исходя из личного опыта и убеждений. Экспертиза с обратной связью (метод Дельфы) предусматривает проведение нескольких туров опроса и анонимное анкетирование. После каждого тура экспертные оценки обрабатываются, и результаты обработки сообщаются экспертам. Метод без обратной связи предусматривает один тур опроса при получении удовлетворительных результатов.

Методы отбора экспертов.

Методы отбора экспертов: самооценка, групповая оценка.

Самооценка происходит на основе оценки самим экспертом своих способностей в области теории вопроса, в области практической деятельности и возможности давать прогнозные оценки по данному вопросу. Затем по каждому эксперту рассчитывается коэффициент самооценки как среднеарифметическое значение оценки знаний, опыта и способностей к прогнозу. В число экспертов включают тех, у кого этот коэффициент выше 0,5. В качестве критериев задается вопрос: «Как Вы оцениваете уровень Вашей информированности в теории и практике по проблемам …?»

При отборе экспертов методом самооценки возникает проблема ее завышения. Однако, как показывает опыт, эксперты с высокой самооценкой ошибаются в своих суждениях реже других.

Коллективная (групповая) оценка применяется при формировании группы экспертов в том случае, когда они знают друг друга как специалисты. Все проводят оценку друг друга по списку. Оценка проводится аналогично самооценке – по теоретическим знаниям, в области практики и по прогнозированию процессов. Из списка отбираются специалисты, получившие наиболее высокие места или баллы. Например, из 10 оставляют в качестве экспертов пять, получивших наибольшее число первых мест по всем вопросам.

При отборе экспертов может быть использован подход «по известности». В этом случае в качестве экспертов приглашаются наиболее известные и признанные национальным или международным сообществом.

Метод мозгового штурма.

Мозговой штурм (метод мозгового штурма) – форма творческой, коллективной работы для поиска решений поставленных проблем. Этот метод широко применяется в различных сферах деятельности. Под названием «мозговой штурм» объединяют варианты коллективной работы в ходе которой создаются новые идеи или просто сопоставляются известные факты.

Мозговой штурм включает в себя следующие действия:

1. Определяется проблема, требующая решения. Проблема должна быть сформулирована ясно, точно и не допускать двусмысленного толкования.

2. Назначается (определяется) куратор сессии мозгового штурма. Для этой роли выбирается человек обладающий навыками организации коллективной работы, имеющий четкое понимание поставленной проблемы и способный быть лидером группы, выполняющей мозговой штурм. При необходимости, может назначаться отдельное лицо для ведения записей по ходу сессии (либо эти записи может делать куратор).

3. Формируется группа численностью от 5 до 8 человек, заинтересованных в решении проблемы. Для группы необходимо подбирать специалистов различного профиля. Нежелательно включать в состав команды людей, имеющих взаимное негативное отношение друг к другу, т.к. в ходе работы они будут мешать команде создавать новые идеи.

4. Участники группы располагаются так, чтобы все они смотрели в одном направлении – на флипчарт или доску. На доске пишется проблема, требующая решения. Таким образом, участники команды будут смотреть на проблему, а не друг на друга. Это позволит создать более комфортную психологическую атмосферу для работы и эффективнее провести мозговой штурм.

5. Во время сессии куратор группы должен следить, чтобы участники группы придерживались основных четырех правил мозгового штурма.

Метод Дельфы.

МЕТОД ДЕЛЬФИ - метод быстрого поиска решений, основанный на их генерации в процессе "мозговой атаки", проводимой группой специалистов, и отбора лучшего решения, исходя из экспертных оценок. Дельфийский метод используется для экспертного прогнозирования путем организации системы сбора и математической обработки экспертных оценок. Метод Дельфи. Достоинство данного метода состоит в том, что он позволяет обобщать индивидуальные мнения отдельных экспертов в согласованное групповое мнение. Метод Дельфи характеризуют три специфические особенности: 1)анонимность экспертов;2)регулируемая обратная связь;3)статистическая обработка результатов опроса и формирование группового ответа.

Анонимность экспертов заключается в том, что в ходе проведения экспертизы участники экспертной группы неизвестны друг другу и их взаимодействие в процессе опроса полностью исключено. Это достигается использованием специальных анкет, а также другими способами индивидуального опроса, например, в режиме диалога с компьютером.

Метод анализа иерархий.

Метод Анализа Иерархий - математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к её решению В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения

Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение. Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки . Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне.

Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

Коэффициент Спирмена принимает значения . Значение соответствует полному совпадению оценок в рангах двух экспертов (полная согласованность мнений двух экспертов), а значение ‑ двум взаимно противоположным ранжировкам важности свойств (мнение одного эксперта противоположно мнению другого).

Данный вид шкалы отражает прямые свойства объекта, имеющие объективный характер: пол, возраст, национальность, образование, род занятий, должность, место проживания, принадлежность к политическим партиям и т.п.

Такая шкала ничего не измеряет, а только указываются свойства объекта.

Пример: – специалист низкой квалификации; – специалист средней квалификации; – специалист высокой квалификации.

2. Порядковая (ранговая) - это полностью упорядоченная шкала, в которой значения переменных даны в определенной последовательности, в определенном порядке (ранге), чаще от более важного значения до менее значимого, в которых выражается отношение респондента к чему-либо, кому-либо.

Она упорядочивает объекты по степени выраженности их свойств, признаков в рамках отношений "больше–меньше", представляя тем самым определенную иерархию этих признаков, свойств и сравнений.

Данная шкала с помощью чисел может показывать порядок расположения субъективных оценок респондента, предлагаемых в анкете или оценок его самоощущения. Такая шкала чаще всего измеряет степень согласия с утверждением или уровень удовлетворенности чем-либо, кем-либо. Варианты ответов идут от максимально положительного к отрицательному или наоборот.

Например, на вопрос "удовлетворены ли Вы своей учебой?" ответы могут быть расположены в такой последовательности: 1) вполне удовлетворен; 2) удовлетворен; 3) скорее удовлетворен, чем неудовлетворен; 4) затрудняюсь ответить; 5) скорее неудовлетворен, чем удовлетворен; 6) неудовлетворен; 7) совершенно неудовлетворен.

3.Интервальная - это шкала, в которой значения даны в определенных пределах (интервалах) и выражены в числах. Например, при определении уровня доходов, возраста, стажа работы, периодичности каких-либо действий. В данном типе шкалы используется числовая система измерения в определенных интервалах, т.е. здесь присутствует единица измерения.

Например:

Возраст, годы: 15-19, 20-24, 25-29, 30-34.

4.Шкалы для измерения установок и отношений.

3 шкалы установок: 1) Шкала Терстоуна, известная как метод равных (или субъективно равных) интервалов 2) Шкала Лейкерта или метод суммарных оценок 3) Шкала Гуттмана

Установка отражает ценностное отношение респондента к объекту, психологически выраженное в его готовности положительной или отрицательной реакции на него. Установка показывает сочетание позитивных и негативных чувств респондента по отношению к объекту. Выбор респондентом того или иного суждения будет говорить о степени выраженности его эмоционального отношения к предмету установки.

Использование установочных шкал отличается тем, что цифра приписывается самим респондентам, а не оцениваемым объектам.

5.Оценочные шкалы - это такие шкалы, в которых респонденты с помощью чисел измеряют объекты (суждения, ценности, явления, проблемы). Здесь цифры приписываются объектам, их свойствам.

Например, оценивается уровень доверия к власти, качество работы и т.д. Затем по этим числам вычисляется усредненная величина, отражающая мнение всех респондентов.

6.Метрическая шкала - это шкала, представляющая исчисление эмпирического показателя в абсолютных числах. Она показывает линейное расположение данных, т.е. линейку, на которой можно изобразить данные, непосредственно характеризующие свойства объекта (сколько лет, величина времени, средств, объема и т.п.). Таким образом представляют некоторые количественные данные о деятельности респондентов.

Математическое моделирование

1. Что такое математическое моделирование?

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

2. Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели . На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель . На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

3. Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие - как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф - это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

4. Примеры математических моделей

1) Задачи о движении снаряда.

Рассмотрим следующую задачу механики.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v 0 = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

где t - время, g = 10 м/с 2 - ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x 1 = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

ответ: y = x – 90x 2 , S = 90 м.

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.

Требуется найти высоту h 0 и радиус r 0 жестяного бака объема V = 30 м 3 , имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).

Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

Таким образом, с математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r 0 , при которых производная

обращается в ноль:Можно проверить, что вторая производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r 0 . Следовательно, в точке r0 функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h 0 = 2r 0 . Подставляя в выражение для r 0 и h 0 заданное значение V, получим искомый радиус и высоту

3) Транспортная задача.

В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго - 70 т на заводы, причем на первый - 40 т, а на второй - 80 т.

Обозначим через a ij стоимость перевозки 1 т муки с i-го склада на j-й завод (i, j = 1,2). Пусть

a 11 = 1,2 р., a 12 = 1,6 р., a 21 = 0,8 р., a 22 = 1 р.

Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?

Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через x 1 и x 2 количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через x 3 и x 4 - со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Общая стоимость всех перевозок определяется формулой

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4 .

С математической точки зрения, задача заключается в том, чтобы найти четыре числа x 1 , x 2 , x 3 и x 4 , удовлетворяющие всем заданным условиям и дающим минимум функции f. Решим систему уравнений (1) относительно xi (i = 1, 2, 3, 4) методом исключения неизвестных. Получим, что

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4 , x 3 = 70 – x 4 , (2)

а x 4 не может быть определено однозначно. Так как x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), то из уравнений (2) следует, что 30Ј x 4 Ј 70. Подставляя выражение для x 1 , x 2 , x 3 в формулу для f, получим

f = 148 – 0,2x 4 .

Легко видеть, что минимум этой функции достигается при максимально возможном значении x 4 , то есть при x 4 = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяются по формулам (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Задача о радиоактивном распаде.

Пусть N(0) - исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) - количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменения количества этих атомов N"(t) пропорциональна N(t), то есть N"(t)=–l N(t), l >0 - константа радиоактивности данного вещества. В школьном курсе математического анализа показано, что решение этого дифференциального уравнения имеет вид N(t) = N(0)e –l t . Время T, за которое число исходных атомов уменьшилось вдвое, называется периодом полураспада, и является важной характеристикой радиоактивности вещества. Для определения T надо положить в формуле Тогда Например, для радона l = 2,084 · 10 –6 , и следовательно, T = 3,15 сут.

5) Задача о коммивояжере.

Коммивояжеру, живущему в городе A 1 , надо посетить города A 2 , A 3 и A 4 , причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A 1 . Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог b ij между городами A i и A j (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.

Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах (рис. 2). Получился граф - математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки - числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 такая, что вершины V 1 , ..., V k - различны, а любая пара вершин V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) и пара V 1 , V k соединены ребром. Таким образом, рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в A 1:

1) A 1 , A 4 , A 3 , A 2 , A 1 ;
2) A 1 , A 3 , A 2 , A 4 , A 1 ;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Найдем теперь длины этих циклов (в км): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Итак, маршрут наименьшей длины - это первый.

Заметим, что если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.

6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.

Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из n атомов углерода и n + 2 атомов водорода (n = 1, 2 ...), связанных между собой так, как показано на рисунке 3 для n = 3. Пусть известны экспериментальные значения температур кипения этих соединений:

y э (3) = – 42°, y э (4) = 0°, y э (5) = 28°, y э (6) = 69°.

Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений. Предположим, что эта зависимость имеет вид

y » a n + b,

где a , b - константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:

– 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b.

Для определения наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:

b » – 42 – 3a , b » – 4a , b » 28 – 5a , b » 69 – 6a .

Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b » 16 – 4,5a . Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a , получим для a следующие значения: a » 37, a » 28, a » 28, a » 36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть положим a » 34. Итак, искомое уравнение имеет вид

y » 34n – 139.

Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: y р (7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения y э (7) = 98°.

7) Задача об определении надежности электрической цепи.

Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели. Сначала приведем некоторые сведения из теории вероятностей - математической дисциплины, изучающей закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. Назовем случайным событием A возможный исход некоторого опыта. События A 1 , ..., A k образуют полную группу, если в результате опыта обязательно происходит одно из них. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном опыте. Пусть при n-кратном повторении опыта событие A произошло m раз. Частотой события A называется число W = . Очевидно, что значение W нельзя предсказать точно до проведения серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике иногда наблюдается следующий эффект: при увеличении числа опытов значение практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа P(A), называемого вероятностью события A. Для невозможного события (которое никогда не происходит в опыте) P(A)=0, а для достоверного события (которое всегда происходит в опыте) P(A)=1. Если события A 1 , ..., A k образуют полную группу несовместимых событий, то P(A 1)+...+P(A k)=1.

Пусть, например, опыт состоит в подбрасывании игральной кости и наблюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие случайные события A i ={X = i}, i = 1, ..., 6. Они образуют полную группу несовместных равновероятных событий, поэтому P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Суммой событий A и B называется событие A + B, состоящее в том, что в опыте происходит хотя бы одно из них. Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном появлении этих событий. Для независимых событий A и B верны формулы

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Рассмотрим теперь следующую задачу . Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.

Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть A i - событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A 1 A 2 A 3 - событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Тогда P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, поэтому P(A) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

В заключение отметим, что приведенные примеры математических моделей (среди которых есть функциональные и структурные, детерминистические и вероятностные) носят иллюстративный характер и, очевидно, не исчерпывают всего разнообразия математических моделей, возникающих в естественных и гуманитарных науках.

Существует несколько подходов к выделению основных этапов математического моделирования. Приведем некоторые из них.

В. И. Крутова и В. В. Попова выделяют два основных этапа . Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования, задание критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов.

Вторым этапом моделирования является выбор типа математической модели, что является важнейшим моментом, определяющим направление всего исследования. Обычно последовательно строится несколько моделей. Сравнение результатов их исследования с реальностью позволяет установить наилучшую из них. На этапе выбора типа математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса.

Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее предварительным контролем, который также является первым шагом на пути к исследованию модели. При этом осуществляются следующие виды контроля (проверки): размерностей, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, математической замкнутости, физического (экономического, биологического и др.) смысла, устойчивости модели .

Поясним, что это подразумевает:

· контроль размерностей сводится к проверке выполнения правила, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности;

· контроль порядков величин направлен на упрощение модели. При этом определяются порядки складываемых величин и явно малозначительные слагаемые отбрасываются;

· анализ характера зависимостей сводится к проверке направления и скорости изменения одних величин при изменении других. Направления и скорость, вытекающие из математической модели, должны соответствовать физическому смыслу задачи;

· анализ экстремальных ситуаций сводится к проверке наглядного смысла решения при приближении параметров модели к нулю или бесконечности;

· контроль граничных условий состоит в том, что проверяется соответствие математической модели граничным условиям, вытекающим из смысла задачи. При этом проверяется, действительно ли граничные условия поставлены и учтены при построении искомой функции и что эта функция на самом деле удовлетворяет таким условиям;

· анализ математической замкнутости сводится к проверке того, что математическая модель дает однозначное решение;

· анализ физического смысла сводится к проверке физического содержания промежуточных соотношений, используемых при построении математической модели;

· проверка устойчивости модели состоит в проверке того, что варьирование исходных данных в рамках имеющихся данных о реальном объекте не приведет к существенному изменению решения.

С.А. Айвазян, И.С. Енюков и Л.Д. Мешалкин выделяют шесть основных этапов моделирования .

1. Исходный этап. На этом этапе осуществляется определение конечных целей моделирования, отбор показателей, включаемых в модель, разделение их на входные и выходные.

2. Формирование априорной информации, т.е. постулирование, математическая формализация и, по возможности, экспериментальная проверка исходных допущений, относящихся к качественному характеру изучаемого явления.

3. Собственно моделирование. На этом этапе устанавливают общий вид модели (структуру, аналитическую и символьную запись).

4. Статистический анализ модели – оценивание неизвестных параметров, входящих в аналитическую запись модели, исследование свойств полученных статистических оценок.

5. Анализ адекватности модели. Заключается в применении различных процедур сопоставления выводов, оценок, следствий, полученных по результатам анализа модели и реально наблюдаемой действительностью.

6. Этап уточнения модели. Проводится лишь в том случае, если необходимы уточняющие исследования, развитие и углубление информации.

Еще один подход к выделению этапов математического моделирования, представленный В.П. Трусовым, изображен на схеме (Рис. 7).

Поясним выделенные на схеме основные этапы.

1. Обследование объекта моделирования означает, что математические модели, особенно использующие численные методы, требуют для своего построения значительных интеллектуальных, финансовых и временных затрат. Поэтому решение о разработке новой модели принимается лишь в случае отсутствия иных, более простых путей решения возникших проблем (например, модификации одной из существующих моде­лей). Основной целью обследования объекта моделирования является подго­товка содержательной постановки задачи моделирования, т.е. списка основных вопросов об объекте моделирования, интересующих за­казчика.

Приведем пример содержательной по­становки задачи о баскетболисте: необходимо разработать математическую модель, позволяющую описать по­лет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную кор­зину.

Модель должна обеспечить решение следующих задач: вычислять положение мяча в любой момент времени, определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.

Исходные данные: масса и радиус мяча; начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча; координаты центра и радиус корзины.

1. Концептуальная постановка задачи – это сфор­мулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, био­логии и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования. Концептуальная постановка позволяет сформули­ровать математическую постановку задачи моделирования, т.е. со­вокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

Для контроля правильности полученной системы математичес­ких соотношений требуется проведение ряда обязательных прове­рок (о них упоминают также В. И. Крутова и В. В. Попова):

· Контроль размерностей, включающий правило, согласно ко­торому приравниваться и складываться могут только вели­чины одинаковой размерности.

· Контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнитель­ных порядков складываемых величин и исключением мало­значимых параметров.

· Контроль характера зависимостей заключается в проверке того, что направление и скорость изменения выходных па­раметров модели, вытекающие из математичес­ких соотношений, такие, как это следует непосредственно из «физического» смысла изучаемой модели.

· Контроль экстремальных ситуаций – проверка того, какой вид принимают математические соотношения, а также результа­ты моделирования, если параметры модели или их комби­нации приближаются к предельно допустимым зна­чениям, чаще всего к нулю или бесконечности. В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, матема­тические соотношения приобретают более наглядный смысл, упрощается их проверка.

· Контроль граничных условий, включающий проверку того, что граничные условия действительно наложены, что они ис­пользованы в процессе построения искомого решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удов­летворяют данным условиям.

· Контроль физического смысла - проверка физического или иного смысла исходных и промежуточных соотношений.

· Контроль математической замкнутости, состоящий в про­верке того, что выписанная система математических соотно­шений дает возможность, притом однозначно, решить по­ставленную математическую задачу. Например, если задача свелась к отысканию n неизвестных из некоторой системы алгебраических уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того, что число неза­висимых уравнений должно быть n . Если их меньше n , то надо установить недостающие уравнения, а если их больше n , то либо уравнения зависимы, либо при их составлении допущена ошибка. Однако если уравнения получаются из эксперимента или в результате наблюдений, то возможна постановка задачи, при которой число уравнений превыша­ет n , но сами уравнения удовлетворяются лишь приближен­но, а решение ищется, например, по методу наименьших квадратов

3. Понятие корректности задачи имеет большое значение в при­кладной математике. Например, численные методы решения оправ­дано применять лишь к корректно поставленным задачам. Дока­зательство корректности конкретной математической задачи - до­статочно сложная проблема. Математическая модель является корректной, если для нее осу­ществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок размерности, порядков, характера зависимостей, экстре­мальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и ма­тематической замкнутости.

4. Выбор и обоснование методов решения задачи.

При использовании разработанных математических моделей, как правило, требуется найти зависимость некоторых неизвестных заранее параметров объекта моделирования (например, координат и скорости центра масс тела), удовлетворяющих определенной системе уравнений. Таким образом, поиск решения задачи сводится к отысканию некоторых зависимостей искомых величин от исходных параметров модели. Все методы решения задач, составляющих «ядро» математи­ческих моделей, можно подразделить на аналитические и алгорит­мические.

Аналитические методы более удобны для пос­ледующего анализа результатов, но применимы лишь для относи­тельно простых моделей. В случае, если математическая задача допускает аналитическое решение, оно, без сомнения, предпочтительнее численного.

Алгорит­мические методы сводятся к некоторому алгоритму, ре­ализующему вычислительный эксперимент с использованием ЭВМ. Точность моделирования в подобном эксперименте существенно за­висит от выбранного метода и его параметров (например, шага ин­тегрирования). Алгоритмические методы, как правило, более тру­доемки в реализации, требуют обширной библиотеки специального программного обеспечения и мощной вычислитель­ной техники.

Общим для всех численных методов является сведение мате­матической задачи к конечномерной. Это чаще всего достига­ется дискретизацией исходной задачи, т.е. переходом от функции непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. На­пример, траектория центра тяжести баскетбольного мяча опреде­ляется не как непрерывная функция времени, а как дискретная функция координат от времени. Полученное решение дискретной задачи принимается за прибли­женное решение исходной математической задачи.

6. Проверка адекватности модели.

Под адекватностью математической модели понимается степень соответствия результатов моделирования – экспериментальным данным или тестовой задаче.

Проверка адекватности модели преследует две цели: убедиться в справедливости гипотез, принятых на этапах концептуальной и математической постано­вок и установить, что точность полученных результатов соответ­ствует точности, оговоренной в техническом задании.

Проверка разработанной математической модели выполняется путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными о реальном объекте или с результатами других, созданных ранее и хорошо себя зарекомендовавших моделей. В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом, во втором – о сравне­нии с результатами решения тестовой задачи.

Решение вопроса о точности моделирования зависит от требо­ваний, предъявляемых к модели, и ее назначения. В моделях, пред­назначенных для выполнения оценочных расчетов, удовлетворительной считается точность 10 - 15 %. В моделях, исполь­зуемых в управляющих системах, требуемая точность может быть 1 - 2% и даже более.

Как правило, различают качественное и количественное совпа­дение результатов сравнения. При качественном сравнении требуется лишь совпадение некоторых характерных особенностей исследуемых параметров (например, наличие экстре­мальных точек, возрастание или убывание параметра). При количествен­ном сравнении большое значение следует придавать точности ис­ходных данных для моделирования и соответствующих им значе­ний сравниваемых параметров.

7. Практическое использование построенной модели.

Независимо от того, в какой области применима построенная модель, необходим количественный и качественный анализ результатов моделирования.

Всесторонний анализ результатов мо­делирования позволяет:

· выполнить модификацию рассматриваемого объекта, найти его оптимальные характеристики или, по крайней мере, луч­шим образом учесть его поведение и свойства;

· обозначить область применения модели, что особенно важ­но в случае использования моделей для систем автоматичес­кого управления;

· проверить обоснованность гипотез, принятых на этапе мате­матической постановки, оценить возможность упрощения модели с целью повышения ее эффективности при сохране­нии требуемой точности;

· показать, в каком направлении следует развивать модель в дальнейшем.

Вышеописанную В.П. Трусовым периодизацию основных этапов математического моделирования, мы считаем наиболее содержательной и полной.

Исследуя научную литературу, мы выделили основные этапы математического моделирования, которые выделены у ряда ученых:

1) Построение модели. Задается некоторый «нематематический» объект – явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи, в том числе на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах установленной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Процесс моделирования в общем случае состоит из нескольких этапов.

1). Постановка задачи моделирования. Главное на этом этапе – четко сформулировать сущность проблемы, цель моделирования и все вопросы, на которые необходимо получить ответы в процессе моделирования. Этот этап также включает выделение важнейших свойств объекта моделирования и абстрагирование от второстепенных свойств, изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы. Здесь определяются также входные, выходные и промежуточные переменные, задаются ограничения, накладываемые на условия функционирования объекта исследования.
2). Разработка математической модели. Это этап формализации проблемы, выражения её в виде конкретных уравнений, неравенств и т.д. На этом этапе необходимо иметь ввиду, что чрезмерное усложнение модели затрудняет процесс исследования, увеличивает сроки разработки и приводит к росту затрат на разработку. Поэтому необходимо учитывать реальные возможности и сопоставлять затраты на разработку математической модели с ожидаемым эффектом. При неоправданном усложнении модели затраты на моделирование могут превысить эффект от использования модели.
3). Математический анализ модели и выбор метода решения. На этом этапе выясняются общие свойства модели, выполняется доказательство существования решения поставленной задачи. Если будет доказано, что математическая задача не имеет решения, то следует скорректировать либо модель, либо постановку задачи, либо и то и другое. Если же решение задачи существует, то выбирается метод ее решения.
4). Разработка алгоритма решения задачи. Для реализации модели разрабатывается компьютерная программа, либо используются существующие пакеты прикладных программ. Использование таких пакетов упрощает реализацию моделей, а разработка собственной программы даёт возможность большему пониманию методов решения задачи, а также возможность усовершенствования используемых методов и их адаптации для решения конкретной задачи. Если выбран второй вариант, то перед разработкой программы разрабатывается алгоритм решения задачи, блок-схема алгоритма, составляется словесное описание этого алгоритма.
5). Подготовка исходной информации. На этой стадии уточняются перечни входной, промежуточной и выходной информации, перечень постоянных коэффициентов, пределы изменения входных и выходных переменных. Здесь необходимо также уточнить размерность всех величин, входящих в математическую модель.
6). Разработка и отладка программы. На этом этапе ведется разработка и отладка программы на одном из современных языков программирования, например, Visual Basic, Visual Basic for Applications, Delphi, C++ и т.д.
7). Проверка математической модели на адекватность. После разработки и отладки программы решается вопрос об адекватности модели объекту-оригиналу, о степени ее практической применимости. Модель считается адекватной реальному объекту, если полученные путём моделирования значения выходных параметров совпадают с реальными с заданной степенью точности. Анализ полученных результатов позволяет обнаруживать недостатки математической модели. Выявленные недостатки модели устраняются в последующих циклах моделирования. Начав разработку и исследование с простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем можно перейти к созданию более совершенной модели.
8). Исследование модели на ЭВМ. На этом этапе выполняется непосредственное выполнение расчетов на ЭВМ, то есть выполняется решение задачи с использованием численных методов. Благодаря высокому быстродействию современных компьютеров удается провести многочисленные эксперименты с моделью в очень короткие сроки.
9). Анализ результатов исследования и их применение. На этом этапе выполняется сравнительный анализ вариантов моделирования. Анализ результатов исследования дает возможность сделать вывод относительно характеристик исследуемого объекта, его линейности, инерционности, наличия запаздывания по определённым каналам и т.п.
10). Разработка рекомендаций. На основании результатов анализа производится разработка заключений и рекомендаций по использованию модели и результатов моделирования.

Моделирование – это итеративный (повторяющийся) процесс, поэтому возможен возврат с любого этапа к любому предыдущему этапу.