¿Qué es una secuencia de números naturales? Algunos tipos de secuencias

Considere una serie de números naturales: 1, 2, 3, , norte – 1, norte,  .

Si reemplazamos cada número natural norte en esta serie por un cierto número a norte, siguiendo alguna ley, obtenemos una nueva serie de números:

a 1 , a 2 , a 3 , , a norte –1 , a norte , ,

brevemente designado y llamado secuencia numérica. Magnitud a norte se llama miembro común de una secuencia numérica. Por lo general, la secuencia numérica viene dada por alguna fórmula. a norte = F(norte) permitiéndole encontrar cualquier miembro de la secuencia por su número norte; esta fórmula se llama fórmula de término general. Tenga en cuenta que no siempre es posible definir una secuencia numérica utilizando una fórmula de término general; a veces una secuencia se especifica describiendo sus miembros.

Por definición, una secuencia siempre contiene un número infinito de elementos: dos elementos cualesquiera diferentes difieren al menos en su número, de los cuales hay infinitos.

Una secuencia numérica es un caso especial de una función. Una secuencia es una función definida sobre el conjunto de los números naturales y que toma valores en el conjunto de los números reales, es decir, una función de la forma F : norte  R.

Subsecuencia
llamado creciente(decreciente), si por alguna norte  norte
Estas secuencias se llaman estrictamente monótono.

A veces es conveniente utilizar no todos los números naturales como números, sino solo algunos de ellos (por ejemplo, números naturales a partir de algún número natural). norte 0). Para la numeración también es posible utilizar no sólo números naturales, sino también otros números, por ejemplo, norte= 0, 1, 2,  (aquí se suma el cero como un número más al conjunto de los números naturales). En tales casos, al especificar la secuencia, indique qué valores toman los números. norte.

Si en alguna secuencia para cualquier norte  norte
entonces la secuencia se llama no decreciente(no creciente). Estas secuencias se llaman monótono.

Ejemplo 1 . La secuencia numérica 1, 2, 3, 4, 5,... es una serie de números naturales y tiene un término común a norte = norte.

Ejemplo 2 . La secuencia numérica 2, 4, 6, 8, 10,... es una serie de números pares y tiene un término común a norte = 2norte.

Ejemplo 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,… – una secuencia numérica de valores aproximados con precisión creciente.

En el último ejemplo es imposible dar una fórmula para el término general de la secuencia.

Ejemplo 4 . Escribe los primeros 5 términos de una secuencia numérica usando su término común.
. para calcular a Se necesita 1 en la fórmula del término general. a norte en lugar de norte sustituye 1 para calcular a 2 − 2, etc. Entonces tenemos:

Prueba 6 . El miembro común de la secuencia 1, 2, 6, 24, 120,  es:

1)

2)

3)

4)

Prueba 7 .
es:

1)

2)

3)

4)

Prueba 8 . Miembro común de la secuencia.
es:

1)

2)

3)

4)

Límite de secuencia numérica

Considere una secuencia numérica cuyo término común se acerca a algún número. A cuando el número de serie aumenta norte. En este caso, se dice que la secuencia numérica tiene un límite. Este concepto tiene una definición más estricta.

Número A llamado límite de una secuencia numérica
:

(1)

si para cualquier  > 0 existe tal número norte 0 = norte 0 (), dependiendo de , que
en norte > norte 0 .

Esta definición significa que A Hay un límite para una secuencia numérica si su término común se aproxima sin límite. A con creciente norte. Geométricamente, esto significa que para cualquier  > 0 se puede encontrar tal número norte 0 , que, a partir de norte > norte 0 , todos los miembros de la secuencia están ubicados dentro del intervalo ( A – , A+). Una secuencia que tiene un límite se llama convergente; de lo contrario - divergente.

Una secuencia numérica sólo puede tener un límite (finito o infinito) de cierto signo.

Ejemplo 5 . secuencia armónica tiene el número límite 0. De hecho, para cualquier intervalo (–; +) como un número norte 0 puede ser cualquier número entero mayor que . Entonces para todos norte > norte 0 >tenemos

Ejemplo 6 . La secuencia 2, 5, 2, 5,  es divergente. De hecho, ningún intervalo de longitud inferior a, por ejemplo, uno, puede contener todos los miembros de la secuencia, empezando por un número determinado.

La secuencia se llama limitado, si tal número existe METRO, Qué
para todos norte. Toda secuencia convergente está acotada. Toda secuencia monótona y acotada tiene un límite. Cada secuencia convergente tiene un límite único.

Ejemplo 7 . Subsecuencia
es creciente y limitada. ella tiene un limite
=mi.

Número mi llamado número de Euler y aproximadamente igual a 2.718 28.

prueba 9 . La secuencia 1, 4, 9, 16,  es:

1) convergente;

2) divergente;

3) limitado;

Prueba 10 . Subsecuencia
es:

1) convergente;

2) divergente;

3) limitado;

4) progresión aritmética;

5) progresión geométrica.

Prueba 11 . Subsecuencia no es:

1) convergente;

2) divergente;

3) limitado;

4) armónico.

Prueba 12 . Límite de una secuencia dada por un término común
igual.

Un número natural es una característica cuantitativa de un conjunto inmutable; sin embargo, en la práctica, la cantidad de objetos cambia constantemente, por ejemplo, la cantidad de ganado en una determinada granja. Además, la secuencia más simple, pero también la más importante, aparece inmediatamente en el proceso de contar: esta es la secuencia de números naturales: 1, 2, 3, ....

Si un cambio en el número de objetos en una determinada población se fija en la forma de una determinada secuencia de números naturales (miembros de la secuencia), inmediatamente surge de forma natural otra secuencia: una secuencia de números, por ejemplo.

En este sentido surge el problema de nombrar a los miembros de una secuencia. Designar a cada miembro con una letra especial es extremadamente inconveniente por las siguientes razones. En primer lugar, la secuencia puede contener un número muy grande o incluso infinito de términos. En segundo lugar, letras diferentes ocultan el hecho de que los miembros de la secuencia pertenecen a la misma población, aunque cambiando el número de elementos. Finalmente, en este caso no se reflejarán los números de miembros de la secuencia.

Estas razones hacen necesario designar a los miembros de la secuencia con una letra y distinguirlos por índice. Por ejemplo, una secuencia que consta de diez términos se puede indicar con la letra A: A 1 , A 2 , A 3 , …, A 10. El hecho de que la secuencia sea infinita se expresa mediante puntos suspensivos, como si se extendiera esta secuencia indefinidamente: A 1 , A 2 , A 3, ... A veces la secuencia comienza a numerarse desde cero: : A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , …

Algunas secuencias pueden percibirse como conjuntos aleatorios de números, ya que la ley de formación de los miembros de la secuencia es desconocida o incluso ausente. Sin embargo, se presta especial atención a las secuencias para las que se conoce dicha ley.

Para indicar la ley de formación de miembros de una secuencia, se utilizan con mayor frecuencia dos métodos. El primero de ellos es el siguiente. Se especifica el primer término y luego se especifica el método según el cual se obtiene el siguiente utilizando el último término ya conocido. Para escribir una ley, se utiliza un miembro de secuencia con un número no especificado, por ejemplo, y k y el siguiente miembro y k +1, después de lo cual se escribe la fórmula que los conecta.

Los ejemplos más famosos e importantes son las progresiones aritméticas y geométricas. La progresión aritmética está definida por la fórmula y k +1 = y k + r(o y k +1 = y k – r). Los términos de una progresión aritmética aumentan uniformemente (como una escalera) o disminuyen uniformemente (también como una escalera). Magnitud r se llama diferencia de progresión porque y k +1 – y k = r. Ejemplos de progresiones aritméticas con términos naturales son

a) números naturales ( un 1 = 1 ;y k +1 = y k + 1);

b) una secuencia infinita 1, 3, 5, 7,… ( un 1 = 1 ;y k +1 = y k + 2);

c) la secuencia final 15, 12, 9, 6, 3 ( un 1 = 15 ;y k +1 = y k–3 ).

La progresión geométrica viene dada por la fórmula b k +1 = bk ∙q. Magnitud q se llama denominador de una progresión geométrica porque segundo k +1: segundo k = q. Las progresiones geométricas con términos naturales y un denominador superior a uno crecen y crecen rápidamente, incluso como una avalancha. Ejemplos de progresiones geométricas con términos naturales son

a) una secuencia infinita 1, 2, 4, 8,… ( segundo 1 = 1 ;b k +1 = bk ∙2);

b) secuencia infinita 3, 12, 48, 192, 768,… ( segundo 1 = 3 ;b k +1 = bk ∙4).

La segunda forma de indicar la ley para determinar los términos de una secuencia es indicar una fórmula que le permita calcular un miembro de la secuencia con un número no especificado (término común), por ejemplo, y k, usando el número k.

De esta forma también se pueden calcular los términos de progresiones aritméticas y geométricas. Dado que la progresión aritmética está definida por la fórmula y k +1 = y k + r, es fácil entender cómo se expresa el término y k usando el numero k:

un 1– determinado arbitrariamente;

un 2 = un 1 + r= un 1 + 1∙r;

un 3 = un 2 + r = un 1 + r + r = un 1 + 2∙r;

un 4 = un 3 + r = un 1 + 2∙r + r = un 1 + 3∙r;

…………………………………

y k = un 1 + (k–1)∙r– fórmula final.

Para una progresión geométrica, la fórmula del término general se deriva de manera similar: bk = segundo 1 ∙ q k –1 .

Además de las progresiones aritméticas y geométricas, del mismo modo se pueden determinar otras sucesiones que tienen un carácter especial de cambio. Como ejemplo, damos una secuencia de cuadrados de números naturales: s k = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…

Hay formas más complejas de formar secuencias, por ejemplo, una se construye con ayuda de otra. De particular importancia para la aritmética es la progresión geométrica determinada por los parámetros. segundo 1 = 1, q= 10, es decir, la secuencia de potencias de diez: 1 = 10 0, 10 = 10 1, 10 2, 10 3, ..., 10 k, ... Se utiliza para representar números naturales en el número posicional. sistema. Además, para cada número natural norte Aparece una secuencia que consta de números con los que se escribe el número dado: una n una n – 1 ... una 2 una 1 una 0. Número y k indica cuantos términos del tipo 10 k contiene un número norte.

El concepto de secuencia conduce a los conceptos de cantidad y función más importantes para las matemáticas. Una cantidad es una característica numérica cambiante de un objeto o fenómeno. Su cambio se percibe como una secuencia de números. La existencia de una relación entre los propios términos y sus números, así como su expresión mediante fórmulas, conduce estrechamente al concepto de función.

El descubrimiento matemático más importante, que utilizan casi todos los miembros de una sociedad bastante desarrollada, es el sistema numérico posicional. Permitió resolver el principal problema del conteo, que es la capacidad de nombrar cada vez más números nuevos, utilizando notaciones (dígitos) solo para los primeros números.

El sistema numérico posicional se asocia tradicionalmente con el número diez, pero se pueden construir otros sistemas, por ejemplo el binario, sobre los mismos principios. Al construir un sistema numérico posicional decimal, se introducen diez números arábigos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Con su ayuda, se puede escribir un número que exprese el número de objetos de cualquier conjunto finito. Para ello, se utiliza un algoritmo especial, es decir, una secuencia claramente definida de acciones elementales.

Los elementos que se cuentan se combinan en grupos de diez, lo que corresponde a una división entre diez con resto. Como resultado, se forman dos conjuntos: unidades y decenas. Las decenas se agrupan nuevamente por decenas en centenas. Está claro que el número de decenas (lo denotamos por un 1) es necesariamente menor que diez y, por lo tanto, un 1 puede indicarse con un número. Luego, las centenas se agrupan en miles, los miles en decenas de miles, etc. hasta que se agrupan todos los elementos. La construcción del número se completa escribiendo los números resultantes de izquierda a derecha desde índices grandes hacia índices más pequeños. Digital y k corresponden al número de grupos de objetos de 10 k. El registro final de un número consta de una secuencia finita de dígitos. una n una n – 1 ... una 2 una 1 una 0. El número correspondiente es igual a la expresión.

а n ·10 n + а n – 1 ·10 n – 1 + … + а 2 ·10 2 + а 1 ·10 1 + а 0 ·10 0.

La palabra "posicional" en el nombre del sistema numérico se debe al hecho de que un número cambia de significado dependiendo de su posición en la notación del número. El último dígito especifica el número de unidades, el penúltimo dígito especifica el número de decenas, etc.

Tenga en cuenta que el algoritmo para obtener un registro de números en un sistema numérico con cualquier base norte: consiste en agrupar secuencialmente objetos según norte cosas. Al escribir números debes usar norte números

Subsecuencia

Subsecuencia- Este equipo elementos de algún conjunto:

• para cada número natural puedes especificar un elemento de un conjunto determinado;
• este número es el número del elemento e indica la posición de este elemento en la secuencia;
• Para cualquier elemento (miembro) de una secuencia, puede especificar el siguiente elemento de la secuencia.

Entonces la secuencia resulta ser el resultado. coherente selección de elementos de un conjunto dado. Y, si cualquier conjunto de elementos es finito, y hablamos de una muestra de volumen finito, entonces la secuencia resulta ser una muestra de volumen infinito.

Una secuencia es por naturaleza un mapeo, por lo que no debe confundirse con un conjunto que “recorre” la secuencia.

En matemáticas, se consideran muchas secuencias diferentes:

• series temporales de naturaleza tanto numérica como no numérica;
• secuencias de elementos del espacio métrico
• secuencias de elementos funcionales del espacio
• Secuencias de estados de sistemas de control y máquinas.

El propósito de estudiar todas las secuencias posibles es buscar patrones, predecir estados futuros y generar secuencias.

Definición

Sea dado un cierto conjunto de elementos de naturaleza arbitraria. | Cualquier aplicación de un conjunto de números naturales a un conjunto dado se llama secuencia(elementos del conjunto).

La imagen de un número natural, es decir, un elemento, se llama: th miembro o elemento de secuencia, y el número ordinal de un miembro de la secuencia es su índice.

Definiciones relacionadas

• Si tomamos una secuencia creciente de números naturales, entonces puede considerarse como una secuencia de índices de alguna secuencia: si tomamos los elementos de la secuencia original con los índices correspondientes (tomados de la secuencia creciente de números naturales), entonces puede volver a obtener una secuencia llamada subsecuencia secuencia dada.

Comentarios

• En el análisis matemático, un concepto importante es el límite de una secuencia numérica.

Designaciones

Secuencias de la forma

Se acostumbra escribir de forma compacta entre paréntesis:

A veces se utilizan llaves:

Permitiendo cierta libertad de expresión, también podemos considerar secuencias finitas de la forma

que representan la imagen del segmento inicial de una secuencia de números naturales.

Ver también

Fundación Wikimedia.

Sinónimos

SUBSECUENCIA. En el artículo de I.V. Kireevsky "El siglo XIX" (1830) leemos: "Desde la caída misma del Imperio Romano hasta nuestros días, la ilustración de Europa se nos presenta en un desarrollo gradual y en una secuencia ininterrumpida" (vol. 1, p. ... ... Historia de las palabras.

SECUENCIA, secuencias, plural. no, mujer (libro). distraído sustantivo a secuencial. Una secuencia de eventos. Consistencia en las mareas cambiantes. Coherencia en el razonamiento. Diccionario explicativo de Ushakov.... ... Diccionario explicativo de Ushakov

Constancia, continuidad, lógica; fila, progresión, conclusión, serie, hilo, giro, cadena, cadena, cascada, carrera de relevos; persistencia, vigencia, conjunto, metodologia, ordenamiento, armonía, tenacidad, subsecuencia, conexión, cola,... ... Diccionario de sinónimos

SECUENCIA, números o elementos dispuestos de manera organizada. Las sucesiones pueden ser finitas (que tienen un número limitado de elementos) o infinitas, como la secuencia completa de los números naturales 1, 2, 3, 4.......... Diccionario enciclopédico científico y técnico.

SECUENCIA, conjunto de números (expresiones matemáticas, etc.; dicen: elementos de cualquier naturaleza), numerados por números naturales. La secuencia se escribe como x1, x2,..., xn,... o brevemente (xi)... enciclopedia moderna

Uno de los conceptos básicos de las matemáticas. La secuencia está formada por elementos de cualquier naturaleza, numerados con números naturales 1, 2,..., n,..., y escritos como x1, x2,..., xn,... o brevemente (xn). .. Gran diccionario enciclopédico

Subsecuencia- SECUENCIA, conjunto de números (expresiones matemáticas, etc.; dicen: elementos de cualquier naturaleza), numerados por números naturales. La secuencia se escribe como x1, x2, ..., xn, ... o brevemente (xi). ... Diccionario enciclopédico ilustrado

SECUENCIA, y, femenino. 1. Ver secuencial. 2. En matemáticas: un conjunto infinito y ordenado de números. Diccionario explicativo de Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Shvédova. 1949 1992… Diccionario explicativo de Ozhegov

Inglés sucesión/secuencia; Alemán Konsequenz. 1. El orden de uno tras otro. 2. Uno de los conceptos básicos de las matemáticas. 3. La cualidad del pensamiento lógico correcto, en el que el razonamiento está libre de contradicciones internas en uno y en otro... ... Enciclopedia de Sociología

Subsecuencia- “una función definida sobre el conjunto de los números naturales, cuyo conjunto de valores puede estar formado por elementos de cualquier naturaleza: números, puntos, funciones, vectores, conjuntos, variables aleatorias, etc., numerados por números naturales. . Diccionario económico-matemático

Libros

• Construimos una secuencia. Gatitos. 2-3 años. Juego "Gatitos". Construimos una secuencia. Nivel 1. Serie "Educación preescolar". ¡Gatitos alegres decidieron tomar el sol en la playa! Pero no pueden dividir los lugares. Ayúdalos...

La función a n =f (n) del argumento natural n (n=1; 2; 3; 4;...) se llama secuencia numérica.

Números un 1; un 2 ; un 3 ; a 4 ;…, que forman una secuencia, se llaman miembros de una secuencia numérica. Entonces a 1 =f (1); a 2 = f (2); a 3 = f (3); a 4 = f (4);…

Entonces, los miembros de la secuencia se designan con letras que indican los índices: los números de serie de sus miembros: a 1 ; un 2 ; un 3 ; a 4 ;…, por lo tanto, a 1 es el primer miembro de la secuencia;

un 2 es el segundo término de la secuencia;

un 3 es el tercer miembro de la secuencia;

un 4 es el cuarto término de la secuencia, etc.

Brevemente la secuencia numérica se escribe de la siguiente manera: a n =f (n) o (a n).

Existen las siguientes formas de especificar una secuencia numérica:

1) Método verbal. Representa un patrón o regla para la disposición de los miembros de una secuencia, descrito en palabras.

Ejemplo 1. Escribe una secuencia de todos los números no negativos que sean múltiplos de 5.

Solución. Como todos los números que terminan en 0 o 5 son divisibles por 5, la secuencia se escribirá así:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Ejemplo 2. Dada la secuencia: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Pregúntalo verbalmente.

Solución. Observamos que 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... Concluimos: dada una secuencia formada por cuadrados de números naturales.

2) Método analítico. La secuencia viene dada por la fórmula del enésimo término: a n =f (n). Usando esta fórmula, puedes encontrar cualquier miembro de la secuencia.

Ejemplo 3. Se conoce la expresión para el k-ésimo término de una secuencia numérica: a k = 3+2·(k+1). Calcula los primeros cuatro términos de esta secuencia.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Ejemplo 4. Determine la regla para componer una secuencia numérica usando sus primeros miembros y exprese el término general de la secuencia usando una fórmula más simple: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

Solución. Notamos que nos dan una secuencia de números impares. Cualquier número impar se puede escribir en la forma: 2k-1, donde k es un número natural, es decir k=1; 2; 3; 4; ... . Respuesta: a k = 2k-1.

3) Método recurrente. La secuencia también está dada por una fórmula, pero no por una fórmula de término general, que depende sólo del número del término. Se especifica una fórmula mediante la cual cada término siguiente se encuentra a través de los términos anteriores. En el caso del método recurrente de especificar una función, siempre se especifican adicionalmente uno o varios primeros miembros de la secuencia.

Ejemplo 5. Escribe los primeros cuatro términos de la secuencia (a n ),

si un 1 =7; un norte+1 = 5+un norte .

un 2 =5+un 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. Respuesta: 7; 12; 17; 22; ... .

Ejemplo 6. Escribe los primeros cinco términos de la secuencia (b n),

si b 1 = -2, b 2 = 3; segundo norte+2 = 2b norte + segundo norte+1 .

segundo 3 = 2∙b 1 + segundo 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

segundo 4 = 2∙b 2 + segundo 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

segundo 5 = 2∙b 3 + segundo 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Respuesta: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Método gráfico. La secuencia numérica está dada por un gráfico, que representa puntos aislados. Las abscisas de estos puntos son números naturales: n=1; 2; 3; 4; ... . Las ordenadas son los valores de los miembros de la secuencia: a 1 ; un 2 ; un 3 ; un 4 ;… .

Ejemplo 7. Escriba gráficamente los cinco términos de la secuencia numérica dada.

Cada punto en este plano de coordenadas tiene coordenadas (n; a n). Anotamos las coordenadas de los puntos marcados en orden ascendente de abscisa n.

Obtenemos: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).

Por tanto, a 1 = -3; un 2 =1; un 3 =4; un 4 =6; un 5 = 7.

Respuesta: -3; 1; 4; 6; 7.

La secuencia numérica considerada como función (en el ejemplo 7) está dada por el conjunto de los primeros cinco números naturales (n=1; 2; 3; 4; 5), por lo tanto, es secuencia de números finitos(consta de cinco miembros).

Si se da una secuencia numérica como función para todo el conjunto de números naturales, entonces dicha secuencia será una secuencia numérica infinita.

La secuencia numérica se llama creciente, si sus miembros son crecientes (an+1 >a n) y decrecientes, si sus miembros están disminuyendo(un n+1

Una secuencia numérica creciente o decreciente se llama monótono.