vector requerido 
Si , entonces el sistema (1) se considera mal condicionado. En este caso, los errores en los coeficientes de la matriz y los lados derechos o los errores de redondeo en los cálculos pueden distorsionar en gran medida la solución.
Al resolver muchos problemas, el lado derecho del sistema (1) y los coeficientes de la matriz A se conocen aproximadamente. En este caso, en lugar del sistema exacto (1) tenemos algún otro sistema
tal que
Suponemos que se conocen los valores de yd.
Como en lugar del sistema (1) tenemos el sistema (2), sólo podemos encontrar una solución aproximada al sistema (1). El método para construir una solución aproximada del sistema (1) debe ser estable ante pequeños cambios en los datos iniciales.
Una pseudosolución del sistema (1) es un vector que minimiza la discrepancia en todo el espacio.
Sea x 1 algún vector fijo de , generalmente determinado por el enunciado del problema.
Una solución del sistema (1) normal con respecto al vector x 1 es una pseudosolución x 0 con una norma mínima, es decir
donde F es el conjunto de todas las pseudosoluciones del sistema (1).
Además 
donde ¾ son los componentes del vector x.
Para cualquier sistema de tipo (1), existe una solución normal y es única. El problema de encontrar una solución normal a un sistema mal condicionado (1) está mal planteado.
Para encontrar una solución normal aproximada al sistema (1), utilizamos el método de regularización.
De acuerdo con este método, construimos un funcional de suavizado de la forma
y encuentre el vector que minimiza este funcional. Además, el parámetro de regularización a se determina únicamente a partir de la condición
Dónde 
.
Los sistemas degenerados y mal acondicionados pueden ser indistinguibles con una precisión determinada. Pero si hay información sobre la solubilidad del sistema (1), entonces en lugar de la condición (5) se debe utilizar la siguiente condición:
Componentes 
los vectores son soluciones de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, que se obtienen a partir de la condición para el mínimo del funcional (4)
y parece
donde E es la matriz identidad,
¾Matriz conjugada hermitiana.
En la práctica, elegir un vector requiere consideraciones adicionales. Si no están presentes, entonces suponga =0.
Para =0, escribimos el sistema (7) en la forma
Dónde 
El vector encontrado será una solución normal aproximada del sistema (1).
Centrémonos en elegir el parámetro a. Si a=0, entonces el sistema (7) se convierte en un sistema mal condicionado. Si a es grande, entonces el sistema (7) estará bien condicionado, pero la solución regularizada no estará cerca de la solución deseada para el sistema (1). Por lo tanto, un tamaño demasiado grande o demasiado pequeño no es adecuado.
Por lo general, en la práctica, los cálculos se realizan con varios valores del parámetro a. Por ejemplo,
Para cada valor de a, encuentre el elemento que minimiza el funcional (4). El valor deseado del parámetro de regularización se toma como el número a para el cual se satisface la igualdad (5) o (6) con la precisión requerida.
III. EJERCICIO
1. Construir un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, formado por tres ecuaciones con tres incógnitas, con un determinante cuyo valor es del orden de 10 -6.
2. Construya un segundo sistema, similar al primero, pero que tenga otros términos libres que difieran de los términos libres del primer sistema en 0,00006.
3. Resolver los sistemas construidos usando el método de regularización (suponiendo =0 y d=10 -4) y algún otro método (por ejemplo, el método gaussiano).
4. Comparar los resultados obtenidos y sacar conclusiones sobre la aplicabilidad de los métodos utilizados.
IV. FORMULACIÓN DEL INFORME
El informe deberá presentar:
1. Título de la obra.
2. Planteamiento del problema.
3. Descripción del algoritmo de solución (método).
4. Texto del programa con descripción.
5. Resultados del programa.
LISTA BIBLIOGRAFICA
1. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Métodos para resolver problemas mal planteados. - M.: Nauka, 1979. 286 p.
2. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Métodos numéricos. - M.: BINOM. Laboratorio del Conocimiento, 2007 636 p.
Trabajo de laboratorio No. 23.
Transcripción
1 6. SLAE degeneradas y mal condicionadas 1 6. SLAE degeneradas y mal condicionadas Consideremos ahora dos tipos de SLAE (27) con una matriz cuadrada A de tamaño MxM: sistema degenerado (con determinante cero A =0); sistema mal condicionado (el determinante A no es igual a cero, pero el número de condición es muy grande). A pesar de que estos tipos de sistemas de ecuaciones difieren significativamente entre sí (para el primero no hay solución, pero para el segundo solo hay una), desde el punto de vista práctico de la computadora, hay mucho en común entre a ellos. Un sistema degenerado es un sistema descrito por una matriz con determinante cero A =0 (matriz singular). Dado que algunas ecuaciones incluidas en dicho sistema están representadas por una combinación lineal de otras ecuaciones, entonces, de hecho, el sistema en sí está indeterminado. Es fácil darse cuenta de que, dependiendo del tipo específico del vector b del lado derecho, existe un número infinito de soluciones o ninguna. Consideremos el primer caso, cuando el SLAE A x=b con una matriz cuadrada singular A no tiene una única solución. Esta opción se reduce a construir una pseudosolución normal (es decir, elegir de un conjunto infinito de soluciones la que esté más cerca de un determinado vector, por ejemplo, cero). Demos un ejemplo de tal problema (para un sistema de dos ecuaciones) A= , b= (37) SLAE (37) se ilustra en la Fig. 19, que muestra que las dos ecuaciones que definen el sistema definen dos rectas paralelas en el plano (x 1, x 2). Las rectas no se cruzan en ningún punto.
2 2 6. SLAE degenerados y mal condicionados en un punto del plano de coordenadas y, en consecuencia, no existe solución para el sistema. Tenga en cuenta que SLAE, definida por una matriz cuadrada no singular de tamaño 2x2, define un par de líneas que se cruzan en el plano (consulte la figura siguiente). También vale la pena decir que si el sistema fuera consistente, entonces la representación geométrica de las ecuaciones serían dos rectas coincidentes que describirían un número infinito de soluciones. Arroz. 19. Representación gráfica de un SLAE incompatible Fig. 20. Gráfica de secciones del residual f(x)= A x b dependiendo de x 1 Es fácil adivinar que en el caso singular considerado habrá infinitas pseudosoluciones del sistema (37) que minimizan el residual A x b, y estarán en la tercera línea paralela a dos que se muestran en la Fig. 19 y ubicado en el medio entre ellos. Esto se ilustra en la fig. 20, que muestra varias secciones de la función residual f(x) = A x b, que indican la presencia de una familia de mínimos de la misma profundidad. Para determinar una solución única, se debe seleccionar del conjunto completo de pseudosoluciones aquella que tiene
3 6. SLAE degeneradas y mal condicionadas 3 por la norma más pequeña. Así, en el caso singular, para obtener una solución distinguida, es necesario resolver numéricamente un problema de minimización multidimensional. Sin embargo, como veremos más adelante, una forma más eficiente es utilizar regularización o descomposiciones matriciales ortogonales (ver 7 y 10, respectivamente). Pasemos ahora a los sistemas mal condicionados, es decir. SLAE con matriz A, cuyo determinante no es igual a cero, pero el número de condición A -1 A es grande. A pesar de que los sistemas mal acondicionados tienen una solución única, en la práctica a menudo no tiene sentido buscar esta solución. Consideremos las propiedades de SLAE mal condicionadas usando dos ejemplos específicos de SLAE mal condicionadas muy cercanas con el mismo lado derecho b y matrices A y B ligeramente diferentes: A= B=, b=, 3 5. (38 ) A pesar de la proximidad de estos sistemas, sus soluciones exactas resultan estar muy alejadas entre sí, a saber: y A = , y B = (39) Si recordamos la presencia de ruido, es decir En cuanto al error siempre presente en los datos de entrada, queda claro que resolver sistemas mal acondicionados utilizando métodos estándar no tiene ningún sentido. Recuerde que los problemas en los que pequeños errores del modelo (matriz A y vector b) conducen a grandes errores de solución se denominan incorrectos. Por tanto, los SLAE mal acondicionados son un ejemplo típico de problemas mal planteados. Además, cabe señalar que para un sistema de dos ecuaciones es fácil obtener una solución exacta, pero al resolver un SLAE de alta dimensión (incluso con el algoritmo "exacto"
4 4 6. SLAE gaussianos degenerados y mal condicionados) incluso los errores de redondeo menores que inevitablemente se acumulan durante los cálculos conducen a errores enormes en los resultados. Surge la pregunta: ¿tiene sentido buscar una solución numérica si se sabe de antemano que, debido a la inestabilidad del propio problema, puede resultar completamente errónea? Para comprender mejor el motivo de la incorrección, es útil comparar la interpretación gráfica del sistema de dos ecuaciones bien condicionado (Fig. 21) y mal condicionado (Fig. 22). La solución del sistema se visualiza mediante el punto de intersección de dos rectas que representan cada una de las ecuaciones. Arroz. 21. Gráfica de un SLAE bien acondicionado Fig. 22. Gráfico de SLAE mal acondicionado De la Fig. 22 se puede observar que las líneas rectas correspondientes a los SLAE mal acondicionados se encuentran muy próximas entre sí (casi paralelas). En este sentido, pequeños errores en la ubicación de cada una de las líneas pueden dar lugar a errores importantes en la localización del punto de su intersección (soluciones del SLAE), a diferencia del caso de un sistema bien acondicionado, donde pequeños errores en la La pendiente de las líneas tiene poco efecto en la ubicación de su punto de intersección (Fig. 21).
5 6. SLAE degenerados y mal condicionados 5 Tenga en cuenta que la matriz mal condicionada también es típica cuando se reconstruyen datos experimentales proporcionados por SLAE sobredeterminados (incompatibles) (por ejemplo, en problemas de tomografía). Para resolver problemas mal planteados, en particular SLAE degenerados y mal condicionados, se ha desarrollado un método muy eficaz llamado regularización. Se basa en tener en cuenta información adicional a priori sobre la estructura de la solución, que muy a menudo está disponible en casos prácticos.
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Trabajo de laboratorio No. 3.
Resolver sistemas mal condicionados de ecuaciones algebraicas lineales.
Método de regularización
Parámetros de entrada: entero n-positivo igual al orden n del sistema; a es una matriz de n x n números reales que contiene la matriz de coeficientes del sistema; b - una matriz de n números reales que contiene una columna de términos libres del sistema (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .
Parámetros de salida: x – solución del sistema; p-número de iteraciones.
El diagrama del algoritmo se muestra en la Figura 18.
Texto del programa:
procedimiento regul(N:Integer;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:integer);
var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:tvector; alfa,s1,s:real; máximo,eps:real; i,j,k,l:entero;
Out_Slau_T(n,a,b);
Para I:=1 To n Do (recibiendo A T A)
Para K:=1 a N Hacer
Para J:=1 A N Haga S:=S+A*A;
Para I:=1 A N Do (recibiendo A T B)
Para J:=1 a N Hacer
Comience S:=S+A*B[j];
alfa:=0; (valor alfa inicial)
k:=0; (número de iteraciones)
alfa:=alfa+0,01; inc(k); a2:=a1;
para i:=1 a N haga a2:=a1+alfa; (recibiendo A T A+alfa)
para i:=1 a N haga b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (recibiendo A T B+alfa)
SIMQ(n,a2,b2,l);
a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;
vozm(N,eps,a2,b2);
simq(n,a2,b2,l);
para i:=2 an hacer
si abs(b2[i]-X[i])>max entonces max:=abs(b2[i]-X[i]);
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Figura 18 - Esquema del algoritmo del método de regularización
En la Tabla 3 se dan variantes de tareas para resolver sistemas mal condicionados utilizando el método de regularización.
Método de rotación (dados)
El diagrama del algoritmo se muestra en la Figura 19.
Ejemplo. Resolver sistema de ecuaciones.
Texto del programa:
PROCEDIMIENTO Vrash;
Var I,J,K: Entero; M,L,R: Reales; F1:TEXTO; Etiqueta M1,M2;
Out_Slau_T(nn,aa,b);
para i:=1 a Nn hacer
Para I: = 1 a Nn-1, comience
Para K:=I+1 a Nn comenzar
Si (Aa0.0) Entonces vaya a M1; Si (Aa0.0) Entonces vaya a M1;
1:M:=Sqrt(Aa*Aa+Aa*Aa);
L:=-1,0*Aa/M;
M2:Para J:=1 A Nn Empezar
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
Para I:=Nn Abajo hasta 1 Empezar
Para K:=0 a Nn-I-1, comience M:=M+Aa*Aa; Fin;
Aa:=(Aa-M)/Aa; Fin;
para i:=1 a Nn hacer x[i]:=Aa;End;
Los cálculos según el programa llevaron a los siguientes resultados:
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Figura 19 - Esquema del algoritmo del método Givens (rotación)
Opciones de tarea
Tabla 3
|
Matriz A |
Matriz A |
||||||
El tema del trabajo de laboratorio nº 3 para el control del conocimiento se ilustra con un programa de control y formación.
Trabajo de laboratorio No. 4.
Resolver ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones no lineales.
Método de iteración simple
Procedimiento para realizar trabajos de laboratorio:
Encuentre la aproximación cero de la solución;
Transforme el sistema f(x) = 0 a la forma x = Ф(x);
Verifique la condición de convergencia del método.
El diagrama del algoritmo se muestra en la Figura 20.
Ejemplo. Resuelva el sistema usando el método de iteración simple.
Como aproximación cero, elegimos el punto x = 1, y = 2,2, z = 2. Transformemos el sistema a la forma
Texto del programa:
PROCEDIMIENTO Iteraz;
Var I,J,K,J1: Entero;
X2,X3,Eps: Real;
Eps:=0,01; X2:=0,0; K:=1;
Para J:=1 a Nn comenzar
Para I:=1 a Nn, comience S:=S+Aa*Xx[i]; Fin;
Para J1:=1 a Nn, comience Xx:=R; Fin; X3:=Xx;
Para I:=1 a Nn, comience si (Xx[i]>=X3) Entonces X3:=Xx[i]; Fin;
Para I:=1 a Nn, comience Xx[i]:=Xx[i]/X3; Fin;
X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);
Si (U1>=Eps) Entonces X2:=X1;
Hasta ((K>=50)o(U1
Los cálculos según el programa llevaron a los siguientes resultados:
X(1)= 1,1132 X(2)= 2,3718 X(3)= 2,1365
Número de iteraciones: 5
Figura 20 - Diagrama algorítmico del método de iteración simple
El método de Newton
El programa se puede utilizar para resolver sistemas no superiores al décimo orden.
Parámetros de entrada: n - número de ecuaciones del sistema (coincide con el número de incógnitas), n £ 10; matriz x de n números reales que contiene la estimación inicial de la solución; f es el nombre del procedimiento externo f(n, x, y), que calcula los valores actuales de la función f a partir de los valores dados x ubicados en los elementos de la matriz x, y los coloca en los elementos de la matriz y; g - el nombre del procedimiento externo g(n, x, d), que calcula los elementos de la matriz a partir de los valores x dados de la matriz x 
, que se ubica en una matriz d de dimensión n x n; eps: el valor de la condición para finalizar el proceso iterativo.
Parámetros de salida: x: una matriz de n números reales (también conocida como entrada) contiene el valor aproximado de la solución al salir de la subrutina; k es el número de iteraciones.
UDC 519.61:621.3
vicepresidente VOLOBOEV*, V.P. KLIMENKO*
ACERCA DE UN ENFOQUE PARA RESOLVER UN SISTEMA MAL CONDICIONADO DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES QUE DESCRIBEN UN OBJETO FÍSICO
Instituto de Problemas de Máquinas y Sistemas Matemáticos de la Academia Nacional de Ciencias de Ucrania, Kiev, Ucrania
Abstracto. Se ha demostrado que la probabilidad de los resultados del modelado de objetos físicos, cuyo modelo discreto se describe mediante un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (SLAR), no se debe a un diseño deficiente de la matriz, sino a selección incorrecta de SLAR cambiables en la etapa de niveles plegados utilizando el método de potenciales de nodo o sus análogos, y el método en sí. Esta es una desviación importante del método de configuración correcta de la tarea. Un método para verificar la exactitud de SLAR, formado por el. Se ha propuesto el método de los potenciales de nodo, que tiene una matriz simétrica intacta y es necesario transformarlo a la forma correcta.
Palabras clave: sistema, modelado, configuración incorrecta, mal razonamiento, sistema de ecuaciones algebraicas lineales, método de potenciales de nodo, método de configuración correcta de la tarea, verificación de corrección.
Anotación. Se muestra que la confiabilidad de los resultados del modelado de objetos físicos, cuyo modelo discreto se describe mediante un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE), depende no de la mala condicionalidad de la matriz, sino de la elección incorrecta de las variables SLAE. en la etapa de composición de ecuaciones utilizando el método de potenciales nodales o sus análogos, y el método en sí es un caso particular del método de formulación correcta del problema. Se propone una técnica para verificar la exactitud de un SLAE compilado por el método de potenciales nodales, que tiene una matriz simétrica y no degenerada y, si es necesario, convertirla a una forma correcta.
Palabras clave: sistema, modelado, problema mal planteado, mal condicionamiento, sistema de ecuaciones algebraicas lineales, método de potenciales nodales, método de formulación correcta del problema, verificación de corrección.
Abstracto. El artículo muestra que la confiabilidad de los resultados de la simulación de objetos físicos, cuyo modelo discreto se describe mediante un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE), no depende de una matriz mal condicionada sino de una elección incorrecta de la variable SLAE en la etapa de generación de ecuaciones. por un método de potencial de nodo o sus análogos, y el método es un caso especial de método de planteamiento correcto de un problema. Se sugirió el método de verificación de la corrección de SLAE, realizado mediante un método de potencial de nodo, teniendo una matriz no singular y simétrica y, si es necesario, su transformación a una forma correcta.
Palabras clave: sistema, simulación, problema incorrecto, mal condicionado, sistema de ecuaciones algebraicas lineales, método del potencial de nodo, método de planteamiento correcto de un problema, verificación de una corrección.
1. Introducción
Muchos problemas de modelado de objetos físicos (técnicos) se reducen a resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE). Dado que todos los cálculos al resolver dichos sistemas se realizan con un número finito de cifras significativas, la precisión puede perderse significativamente debido a errores de redondeo. Un sistema mal acondicionado (inestable) o, en una formulación más general, un problema planteado incorrectamente se considera un problema que, dado un nivel fijo de errores en los datos de entrada y precisión de los cálculos, no garantiza ninguna precisión en la solución. El número de condición se utiliza como una peor estimación a priori de posibles errores al resolver el SLAE. Como se desprende de la literatura, el desarrollo de métodos para resolver problemas mal planteados se considera un problema puramente matemático, en el que no se tienen en cuenta las características de los objetos físicos (técnicos), a pesar de que la solución numérica de muchos problemas de física matemática y modelado matemático de procesos físicos complejos
© Voloboev V.P., Klimenko V.P., 2014
Los búhos y los sistemas técnicos son una fuente inagotable de problemas de álgebra lineal. Para la clase de problemas enumerada, al desarrollar métodos de solución, no se considera la etapa de elaboración de un SLAE, en la que de una forma u otra es posible tener en cuenta las características de un problema específico. El hecho de que esta etapa debe tenerse en cuenta lo confirman los resultados de los siguientes trabajos.
En primer lugar, cabe destacar el trabajo, que proporciona ejemplos de matrices para las cuales la pérdida de precisión al resolver SLAE es pequeña y el valor del número de condición es enorme, es decir, se muestra que el criterio generalmente aceptado para La evaluación a priori de la precisión de la resolución de SLAE en función del número de condición es necesaria, pero no suficiente. En el proceso se propuso un enfoque completamente nuevo para resolver un problema mal planteado. Consiste en el hecho de que para aumentar la precisión en la resolución de SLAE, incluso con un valor grande del número de condición, en la etapa de descripción de un modelo discreto de un objeto físico, se propone componer correctamente los SLAE. Esto significa no sólo que tales matrices existen, como se informa en el trabajo, sino también que se ha propuesto un método para compilar correctamente una matriz SLAE que describe un modelo discreto de un objeto. El método para compilar una matriz de SLAE se considera en relación con problemas de modelado del comportamiento de circuitos eléctricos, sistemas de potencia, sistemas de varillas de mecánica y ecuaciones elípticas de física matemática.
La esencia de este método es que, a diferencia de los métodos existentes, al formar un SLAE, los parámetros de un modelo discreto de un objeto físico se tienen en cuenta mediante una selección específica de variables. Cabe señalar que el método es aplicable sólo a aquellos objetos cuya topología de modelo discreto está representada por un gráfico.
Este requisito lo satisface el modelo de diseño del circuito eléctrico y del sistema de potencia. Para muchos problemas de modelado matemático de procesos físicos complejos, sistemas técnicos y física matemática, no se utiliza la representación de la topología de un modelo discreto en forma de gráfico. Los trabajos muestran que la limitación anterior se elimina al representar la topología de los elementos de los esquemas de cálculo de un modelo discreto de un objeto físico en forma de gráfico. También existe un método para representar la topología de elementos en forma de gráficos.
En este artículo, propondremos un método para corregir un problema planteado incorrectamente en el caso en que la topología de un modelo discreto no esté representada en forma de gráfico. Al desarrollar el método, tenemos en cuenta el hecho de que el método generalmente aceptado para describir modelos discretos de problemas en física matemática y procesos físicos y sistemas técnicos complejos (método del potencial nodal) es un caso especial del método para compilar correctamente una matriz SLAE. .
2. Relación entre la precisión de la solución del SLAE que describe un modelo discreto del objeto y el método de componer ecuaciones.
Académico Voevodin V.V. demostró en su trabajo que la mayor precisión de los resultados de la resolución de SLAE utilizando el método gaussiano se logra cuando se utiliza el método con la elección del elemento principal. Se han publicado una gran cantidad de trabajos basados en esta idea. Sin embargo, la resolución de problemas prácticos ha demostrado que la precisión de la resolución de SLAE, especialmente en el caso de matrices mal condicionadas, se pierde significativamente debido a errores de redondeo, es decir, mejorar la precisión de los resultados en la etapa de solución no es suficiente. simplemente utilizar el método gaussiano con la elección de los elementos principales.
Un mayor desarrollo de esta idea es el método propuesto en el trabajo, donde se propone, en la etapa de elaboración de una descripción de un modelo discreto de un objeto, formar los elementos diagonales de la matriz como los principales. Para hacer esto, al compilar una descripción, se utiliza información adicional, a saber, los parámetros del modelo discreto. La efectividad de este enfoque, es decir, la dependencia de la precisión de la solución del SLAE que describe el discreto.
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Se demostrará un nuevo modelo del objeto, a partir del método de composición de ecuaciones, utilizando un ejemplo de modelo. A continuación consideraremos compilar una descripción de un ejemplo de modelo utilizando el método descrito en, con y sin elegir el elemento principal y su solución.
Se eligió como ejemplo modelo el circuito eléctrico que se muestra en la Fig. 1. 1.
Arroz. 1. Circuito eléctrico
Se sabe que la condicionalidad del SLAE que describe un circuito eléctrico depende del rango de dispersión de los valores de conductividad (resistencia) de los componentes del circuito. El rango seleccionado de cambios en la conductividad de los componentes del circuito eléctrico, igual a 15 órdenes, garantiza una mala condicionalidad del SLAE y, por tanto, como se cree comúnmente, la incorrección del problema. Usando el ejemplo de cálculo del potencial del nodo 2 (voltaje en el componente G2), se analizará la dependencia de la confiabilidad de los resultados del cálculo del método de formación del elemento diagonal al compilar una descripción del circuito eléctrico.
A continuación se detallan las principales disposiciones necesarias para resolver un ejemplo modelo utilizando el método de formulación correcta del problema. La construcción de un modelo matemático de un circuito eléctrico utilizando este método se basa en el sistema básico de ecuaciones del circuito eléctrico, que incluye ecuaciones componentes y ecuaciones compiladas sobre la base de las leyes de Kirchhoff. Para el ejemplo del modelo, la ecuación componente tiene la forma
donde U i es el voltaje caído a través del componente, I es la corriente que fluye a través del componente, Gt es la conductividad del componente.
Para describir la gráfica de un circuito eléctrico y, en consecuencia, ecuaciones basadas en las leyes de Kirchhoff, se utilizan matrices topológicas de contornos y secciones. El gráfico del circuito coincide con el circuito eléctrico. La compilación de matrices topológicas de contornos y secciones implica seleccionar un árbol de gráfico de circuito y dibujar contornos para el árbol seleccionado. El árbol del gráfico del circuito eléctrico se selecciona de tal manera que todas las fuentes de voltaje estén incluidas en el árbol y todas las fuentes de corriente estén incluidas en las cuerdas. Los elementos de los vectores de tensión U y corrientes I de los componentes del circuito se agrupan en los incluidos en el árbol (índice D), es decir, ramas y cuerdas (índice X), así:
Los contornos se forman uniendo cuerdas al árbol del gráfico del circuito. En este caso
la matriz topológica de contornos tiene la forma
donde 1 es la submatriz unitaria de cuerdas, t
Denota la transposición de la matriz, y la matriz topológica de secciones tiene la forma |1 -F, donde 1 es la submatriz unitaria de ramas. Como se desprende de , los términos diagonales de la matriz
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serán los principales en el caso de que las conductividades de los tres componentes de los circuitos tengan la máxima conductividad. Teniendo en cuenta el tipo de matrices topológicas, las ecuaciones de circuito compiladas según las leyes de Kirchhoff se pueden escribir en forma matricial de la siguiente manera:
su =-ґid, (3)
Las variables del sistema de ecuaciones compilado se seleccionan a partir de las tensiones y/o corrientes de los componentes como resultado del análisis del sistema de ecuaciones principal. Si los componentes incluidos en las ramas del árbol se seleccionan como voltajes variables, las ecuaciones de los componentes (1) y las ecuaciones (3), (4) se pueden transformar a la siguiente forma:
Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.
A continuación presentaremos la recopilación de ecuaciones para un ejemplo de modelo. En primer lugar se elabora una descripción del circuito eléctrico de manera que los términos diagonales de la matriz sean los principales. Este requisito lo satisface el conjunto de componentes E1, G6, G3, G2 incluidos en el árbol (en la Fig. 1, las ramas del árbol están resaltadas con una línea gruesa). Los siguientes vectores de tensiones y corrientes de componentes corresponden al árbol seleccionado:
y matrices topológicas
La ecuación (5), teniendo en cuenta (6), (7) y las ecuaciones componentes después de las transformaciones, tiene la siguiente forma:
- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5
SLAE (8) está mal condicionada, ya que los valores propios de la matriz \= 1.5857864376253, R2 = 5.0E +14+j5.0E +14, A, = 5.0E +14 - j5.0E +14. Para determinar cómo depende la precisión de los resultados de la resolución del sistema de la elección de la opción para componer las ecuaciones, el cálculo del potencial Uq del nodo 2 se realizará en la forma general:
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(g1+g2 +g4 +g5)-
Del análisis del proceso computacional (9-11) se deduce que, a pesar del gran rango de cambios en los valores de conductividad (15 órdenes de magnitud), no existen requisitos estrictos para la precisión final de la representación de números tanto cuando componer ecuaciones y al resolverlas. Para obtener un resultado confiable, basta con realizar el proceso computacional de compilar y resolver SLAE con una precisión de representación de números con dos cifras significativas.
Cabe señalar que en SLAE (8) el elemento diagonal de la segunda fila (columna) de la matriz G+G4+G5I es significativamente mayor (en 15 órdenes de magnitud) que la suma de los términos restantes
filas (columnas) | G4 + 2G51. Esto significa que tomando UG = 0, podemos simplificar el SLAE
(8), manteniendo la confiabilidad de los resultados. En la era del conteo manual, esta técnica correspondía a combinar el nodo 2 con el 3 (Fig. 1).
En el segundo caso (sin seleccionar el elemento diagonal como principal), basta con seleccionar los componentes Ex, G6, G4, G2 en el árbol (en la Fig. 1, las ramas del árbol están marcadas con líneas discontinuas
línea). Las caídas de voltaje en estos componentes corresponden a los potenciales de nodo 1, 4, 3, 2, contados desde el nodo cero. Esto significa que con tal elección de componentes en el árbol, el método para componer correctamente la matriz SLAE coincide con el método de los potenciales nodales. Los siguientes vectores de tensiones y corrientes de componentes corresponden al árbol y cuerdas seleccionados:
U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG
UG G2 G5 ig G2 G5
y matrices topológicas
La ecuación (5), teniendo en cuenta (12), (13) y las ecuaciones componentes, tomará lo siguiente
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G5 + G6 -G5 0 UG G6 0
G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0
0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1
El sistema de ecuaciones (14) está mal condicionado, ya que tiene los siguientes valores propios de la matriz: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. Como en la primera versión del ejemplo, la UG potencial del nodo 2 se calculará en forma general:
(G+G+G)-----------
V 3 4 У (G + G)
+ (G1 + G2 + G3)
3 4 5" (G5 + G6)
Del análisis del proceso computacional de resolución del sistema de ecuaciones (15-17) se deduce que la confiabilidad de los resultados depende tanto al componer como al resolver ecuaciones de la precisión final de la representación de números. Entonces, si el proceso computacional para resolver el sistema (15-17) se realiza con una precisión de menos de 15 dígitos significativos, entonces el resultado será
1015 +1015 ~ o,
y en el caso de que la precisión sea superior a 15 cifras significativas, se
1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)
De una comparación de las matrices (8) y (14), así como de los procesos computacionales para resolver sistemas de ecuaciones, se desprenden las siguientes conclusiones.
El método de potenciales nodales es un caso especial del método propuesto en , es decir, en el método de potenciales nodales, los bordes del gráfico que conectan el nodo base con el resto siempre se seleccionan en el árbol.
Los elementos diagonales de una matriz son mayores en módulo que otros elementos, tanto en filas como en columnas, independientemente de si la matriz está compuesta con o sin selección de diagonales máximas. La única diferencia es cuánto más grandes son los elementos diagonales que los no diagonales. Esto significa que resolver este tipo de SLAE utilizando el método gaussiano con la elección del elemento principal no aumenta la precisión de los resultados para esta clase de problemas.
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El número final de cifras significativas utilizadas en la solución gaussiana depende significativamente de si la matriz se construye seleccionando o sin elementos diagonales máximos. La diferencia entre una versión del problema y otra es únicamente que en la etapa de componer las ecuaciones, en un caso se selecciona en el árbol el componente con mayor conductividad y así el voltaje de este componente actúa como una variable en el SLAE. La conductividad de este componente interviene únicamente en la formación del elemento diagonal de la matriz. En otro caso, este componente cae dentro de los acordes. Como se desprende de la ecuación (3), la tensión del componente se determina a través de la tensión de los componentes del árbol. De la ecuación (4) se deduce que la conductividad del componente está involucrada en la formación de los elementos de filas y columnas y, por tanto, la conductividad de la cuerda determina el tamaño de estos elementos de la matriz.
3. Transformación de la matriz SLAE compilada por el método de potenciales nodales a una forma correspondiente a la formulación correcta
Al resolver numéricamente problemas de física matemática y modelado matemático de procesos físicos complejos y sistemas técnicos para compilar SLAE que describen modelos discretos de estos problemas, se utiliza principalmente el método de potenciales nodales o sus análogos. Una característica distintiva de este método es que como variables SLAE se utilizan los potenciales del esquema de diseño del modelo discreto, contados desde el nodo base hasta los nodos restantes, un algoritmo simple para componer ecuaciones y una matriz SLAE débilmente llena. El precio de tal eficiencia puede ser la incorrección de la tarea. Considerando que el método de los potenciales nodales es sólo una de las variantes del método para plantear correctamente el problema, un problema mal planteado se puede corregir aplicando una transformación matricial. A continuación consideraremos un algoritmo para transformar un problema compuesto incorrectamente mediante el método de potenciales nodales.
De toda la variedad de objetos físicos, sólo se considerarán aquellos cuyo modelo discreto lineal esté descrito por un SLAE con una matriz simétrica y no degenerada.
3.1. Algoritmo de transformación matricial
Al desarrollar un algoritmo de transformación matricial, se utiliza el hecho de que el j-ésimo elemento no diagonal de la i-ésima fila de la matriz está incluido en la matriz con un signo menos y contiene un parámetro de modelo discreto que describe la conexión. entre los nodos i-ésimo y j-ésimo del modelo discreto. El elemento diagonal se incluye en la matriz con un signo positivo, contiene la suma de elementos no diagonales y un parámetro de modelo discreto que describe la conexión entre el i-ésimo nodo y el base. Normalmente, al numerar nodos de un modelo discreto, se considera que el nodo básico es cero.
Como se desprende del estudio realizado anteriormente, la incorrección del problema a nivel del SLAE compilado ocurre solo si al menos uno de los elementos no diagonales de la línea es significativamente mayor que el parámetro del modelo discreto, que se incluye solo en el elemento diagonal. A continuación se muestra una metodología para verificar la exactitud del SLAE compilado.
Que el SLAE tenga la forma
donde x es el vector de potenciales nodales (influencias nodales), y es el vector de flujos externos, A es una matriz de la forma
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а11 а1і a1j a1n
1 а, і ain , (21)
aJ1 an1 y aJJ ann
donde n es el tamaño de la matriz. Los elementos de la matriz cumplen los siguientes requisitos:
ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)
A continuación consideraremos verificar la exactitud de la i-ésima fila de la matriz y, si es necesario, su corrección.
En primer lugar, se determina el parámetro del modelo discreto ait, que se incluye solo en el elemento diagonal de la i-ésima fila de la matriz,
La i-ésima fila de la matriz se considera compuesta correctamente si el parámetro ait satisface la condición
1 < j < n, при j Ф і.
Si no se cumple la condición (24), se ajusta la iésima fila. Primero, se selecciona el mayor de los elementos no diagonales. Sea este el j -ésimo elemento de la i -ésima fila. Es fácil verificar que, debido a las características específicas de la composición de la matriz (condición (22)), el parámetro del modelo discreto, que participa en la formación de los elementos o. y a.^ de las líneas i-ésima y j-ésima, se incluye como parte integrante de los elementos aii y a. . La esencia de ajustar la i-ésima fila es transformar las i-ésima y j-ésima fila de la matriz para que el valor del elemento sea a. se incluyó únicamente en el elemento aii. Es fácil ver que, representando la variable xi en la forma
X = xj + xj (25)
y realizando la siguiente transformación de los elementos de la j-ésima columna de la matriz SLAE
o = ai. + ai, 1< 1 < n , (26)
obtenemos una nueva j-ésima columna de la matriz, en la que los elementos transformados son a. y a. no contienen el parámetro del modelo discreto que formó los elementos a. y a. .
El siguiente paso es transformar la j-ésima fila usando la fórmula
aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)
Los elementos a i de la cadena j transformada ya no contienen el parámetro de modelo discreto correspondiente al elemento a i.
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La verificación de la corrección de la matriz SLAE y la corrección de las filas incorrectas se realizan para toda la matriz. En este trabajo, solo se considera el enfoque para construir un algoritmo para convertir una matriz a la forma correcta. En este trabajo no se consideran cuestiones relacionadas con el desarrollo de un algoritmo eficiente para convertir una matriz a una forma correcta. A continuación daremos un ejemplo de transformación de la matriz SLAE (14), compilada por el método de potenciales nodales.
3.2. Ejemplo de demostración
En primer lugar cabe señalar que la matriz (14) es simétrica y no degenerada. Los coeficientes de la matriz satisfacen la condición (22). Los potenciales nodales corresponden a la caída de voltaje entre los componentes.
U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG
Teniendo en cuenta (28), SLAE (14) se puede representar de la siguiente manera:
G5 + G6 - G5 0 U 4 0
G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0
0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA
Verificar la exactitud de una matriz incluye las siguientes operaciones.
Determinación mediante la fórmula (23) del parámetro del modelo discreto ait, incluido únicamente
en un elemento diagonal. Para la primera fila de la matriz será G6, para la segunda fila G4 y para la tercera - (Gl + G2).
La verificación de la corrección de las filas de la matriz se realiza de acuerdo con la fórmula (24). Como resultado de esta verificación, resulta que la segunda línea no satisface el requisito de corrección, ya que (G4 = 1) ^ (G3 = 1015). El parámetro G3 también se incluye en la tercera fila de la matriz, por lo tanto, de acuerdo con la fórmula (25), la representación de la variable U3 se elige en la forma
U3 = U2 + U23, (30)
Como resultado de transformar los elementos de la 3ª columna, de acuerdo con la fórmula (26), obtenemos la matriz (29) de la siguiente forma:
G5 + G6 - G5 - G5
G5 g3 + g4 + g5 g4+g5
y después de transformar la tercera fila, de acuerdo con la fórmula (27), la matriz (31) tendrá la forma
(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0
G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)
G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E
SLAE (32) satisface el requisito de corrección, por lo que el ajuste se considera completo. Las variables SLAE (32) corresponden a las variables SLAE (8), es decir, en
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Como resultado de la transformación en árbol, se seleccionaron los mismos componentes que en el método de formulación correcta del problema. De una comparación de los SLAE (8) y (32) se deduce que los elementos no diagonales de la matriz (32) de la segunda columna y la segunda fila difieren en signo de la matriz (8). Esto es resultado de que al transformar la matriz (14) se eligió el sentido de la corriente de la componente G3, opuesto al sentido elegido al compilar el SLAE (8). Reemplazando la variable U23 por U23 = -U23 y cambiando los signos de los elementos de la segunda ecuación al contrario, obtenemos la matriz (8).
4. Conclusión
El modelado se ha convertido en una parte integral de la actividad intelectual de la humanidad, y la confiabilidad de los resultados del modelado es el criterio principal para evaluar los resultados del modelado. Para garantizar la confiabilidad de los resultados, se requieren nuevos enfoques para el desarrollo de métodos y algoritmos para describir objetos complejos y sus soluciones.
En contraste con el enfoque existente para desarrollar métodos para resolver problemas mal planteados, este artículo propone llevar un problema mal planteado (mal condicionado) a una forma correcta. Se muestra que no es la mala condicionalidad de la matriz lo que dificulta la obtención de resultados confiables al resolver SLAE que describen modelos discretos de objetos físicos, sino la elección incorrecta de las variables SLAE en la etapa de composición de ecuaciones y el método de nodo. Los potenciales y sus análogos, que se utilizan para compilar SLAE que describen un modelo discreto, es un caso especial del método de formulación correcta del problema. Se propone una técnica para comprobar la exactitud del SLAE compilado mediante el método de potenciales nodales para el caso en que la matriz SLAE sea no degenerada y simétrica. Se considera un algoritmo para convertir una matriz a una forma correcta.
BIBLIOGRAFÍA
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Volvamos de nuevo a SLAU Aх=b con matriz cuadrada tamaño A MхN, que, a diferencia del caso “bueno” considerado anteriormente (ver Sección 8.D), requiere un enfoque especial. Prestemos atención a dos tipos similares de SLAE:
- sistema degenerado (con determinante cero |A|=0);
- sistema mal condicionado (el determinante A no es igual a cero, pero el número de condición es muy grande).
A pesar de que estos tipos de sistemas de ecuaciones difieren significativamente entre sí (para el primero no hay solución, pero para el segundo solo hay una), desde el punto de vista práctico de la computadora, hay mucho en común entre a ellos.
SLAE degenerados
Un sistema degenerado es un sistema descrito por una matriz con determinante cero |A|=0(matriz singular). Dado que algunas ecuaciones incluidas en dicho sistema están representadas por una combinación lineal de otras ecuaciones, entonces, de hecho, el sistema en sí está indeterminado. Es fácil darse cuenta de que, dependiendo del tipo específico del vector b del lado derecho, hay un número infinito de soluciones o ninguna. La primera opción se reduce a construir una pseudosolución normal (es decir, elegir de un conjunto infinito de soluciones la que esté más cerca de un determinado vector, por ejemplo, cero). Este caso fue discutido en detalle en la sección. 8.2.2 (ver listados 8.11-8.13).
Arroz. 8.7. Representación gráfica de un sistema inconsistente de dos ecuaciones con una matriz singular
Consideremos el segundo caso, cuando el SLAE Aх=b con una matriz cuadrada singular A no tiene solución. Un ejemplo de tal problema (para un sistema de dos ecuaciones) se ilustra en la figura. 8.7, en cuya parte superior se ingresa la matriz A y vector b, y también se intenta (infructuosamente, ya que la matriz A es singular) resolver el sistema utilizando la función Yo resuelvo. La gráfica que ocupa la parte principal de la figura muestra que las dos ecuaciones que definen el sistema definen dos rectas paralelas en el plano (x0,x1). Las líneas no se cruzan en ningún punto del plano de coordenadas y, en consecuencia, no hay solución para el sistema.
Nota
Primero, observe que una SLAE definida por una matriz cuadrada no singular de tamaño 2x2 define un par de líneas que se cruzan en el plano (consulte la Figura 8.9 a continuación). En segundo lugar, vale la pena decir que si el sistema fuera consistente, entonces la representación geométrica de las ecuaciones serían dos rectas coincidentes que describen un número infinito de soluciones..
Arroz. 8.8. Gráfica de secciones de la función residual f (x) = |Ax-b|
Es fácil adivinar que en el caso singular considerado de pseudo-soluciones del sistema que minimizan la discrepancia |Ax-b|, habrá infinitos y estarán en la tercera línea recta, paralela a las dos que se muestran en la Fig. 8.7 y ubicado en el medio entre ellos. Esto se ilustra en la fig. 8.8, que muestra varias secciones de la función. f(x)= | Hacha-b |, que indican la presencia de una familia de mínimos de la misma profundidad. Si intenta utilizar la función incorporada para encontrarlos Minimizar, su método numérico siempre encontrará cualquier punto de la línea mencionada (dependiendo de las condiciones iniciales). Por lo tanto, para determinar una solución única, se debe elegir del conjunto completo de pseudosoluciones la que tenga la norma más pequeña. Puede intentar formular este problema de minimización multidimensional en Mathcad utilizando combinaciones de funciones integradas. Minimizar, sin embargo, una forma más eficiente sería utilizar regularización (ver más abajo) o descomposiciones matriciales ortogonales (ver Sección 8.3).
