Descripción de la solución. Ecuación en diferenciales totales Definición de ecuación en diferenciales totales

algunas funciones. Si restablecemos una función a partir de su diferencial total, encontraremos la integral general de la ecuación diferencial. A continuación hablaremos de método para restaurar una función a partir de su diferencial total.

El lado izquierdo de una ecuación diferencial es el diferencial total de alguna función. U(x, y) = 0, si se cumple la condición.

Porque función diferencial completa U(x, y) = 0 Este , lo que significa que cuando se cumple la condición, se afirma que .

Entonces, .

De la primera ecuación del sistema obtenemos . Encontramos la función usando la segunda ecuación del sistema:

De esta manera encontraremos la función requerida. U(x, y) = 0.

Ejemplo.

Encontremos una solución general al DE. .

Solución.

En nuestro ejemplo. La condición se cumple porque:

Entonces, el lado izquierdo de la ecuación diferencial inicial es el diferencial total de alguna función U(x, y) = 0. Necesitamos encontrar esta función.

Porque es el diferencial total de la función U(x, y) = 0, Medio:

.

Nos integramos por X 1ª ecuación del sistema y derivar con respecto a y resultado:

.

De la segunda ecuación del sistema obtenemos . Medio:

Dónde CON- Constante arbitraria.

Por tanto, la integral general de la ecuación dada será .

Hay un segundo método para calcular una función a partir de su diferencial total. Consiste en tomar la integral de recta de un punto fijo (x0, y0) a un punto con coordenadas variables (x,y): . En este caso, el valor de la integral es independiente del camino de integración. Es conveniente tomar como camino de integración una línea discontinua cuyos enlaces sean paralelos a los ejes de coordenadas.

Ejemplo.

Encontremos una solución general al DE. .

Solución.

Comprobamos el cumplimiento de la condición:

Por tanto, el lado izquierdo de la ecuación diferencial es el diferencial completo de alguna función. U(x, y) = 0. Encontremos esta función calculando la integral curvilínea del punto. (1; 1) antes (x,y). Como camino de integración tomamos una línea discontinua: el primer tramo de la línea discontinua se pasa por una línea recta y = 1 desde el punto (1, 1) antes (x, 1), como segundo tramo del camino tomamos un segmento de línea recta desde el punto (x, 1) antes (x,y):

Entonces, la solución general del control remoto se ve así: .

Ejemplo.

Determinemos la solución general del DE.

Solución.

Porque , lo que significa que no se cumple la condición, entonces el lado izquierdo de la ecuación diferencial no será un diferencial completo de la función y necesitarás usar el segundo método de solución (esta ecuación es una ecuación diferencial con variables separables).

Diferencial llamada ecuación de la forma

PAG(x, y)dx + q(x, y)dy = 0 ,

donde el lado izquierdo es el diferencial total de cualquier función de dos variables.

Denotemos la función desconocida de dos variables (esto es lo que hay que encontrar al resolver ecuaciones en diferenciales totales) por F y volveremos a ello pronto.

Lo primero a lo que debes prestar atención es que debe haber un cero en el lado derecho de la ecuación y el signo que conecta los dos términos en el lado izquierdo debe ser un signo más.

En segundo lugar, se debe observar cierta igualdad, lo que confirma que esta ecuación diferencial es una ecuación en diferenciales totales. Esta verificación es una parte obligatoria del algoritmo para resolver ecuaciones en diferenciales totales (está en el segundo párrafo de esta lección), por lo que el proceso de encontrar una función F bastante laborioso y es importante asegurarse en la etapa inicial de no perder tiempo.

Entonces, la función desconocida que es necesario encontrar se denota por F. La suma de los diferenciales parciales de todas las variables independientes da el diferencial total. Por lo tanto, si la ecuación es una ecuación diferencial total, el lado izquierdo de la ecuación es la suma de las diferenciales parciales. Entonces por definición

dF = PAG(x, y)dx + q(x, y)dy .

Recordemos la fórmula para calcular el diferencial total de una función de dos variables:

Resolviendo las dos últimas igualdades, podemos escribir

.

Diferenciamos la primera igualdad con respecto a la variable "y", la segunda - con respecto a la variable "x":

.

que es una condición para que una ecuación diferencial dada sea realmente una ecuación diferencial total.

Algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales en diferenciales totales.

Paso 1. Asegúrate de que la ecuación sea una ecuación diferencial total. Para que la expresión era el diferencial total de alguna función F(x,y) es necesario y suficiente para que . En otras palabras, es necesario tomar la derivada parcial con respecto a X y la derivada parcial con respecto a y otro término y, si estas derivadas son iguales, entonces la ecuación es una ecuación diferencial total.

Paso 2. Escribe un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que formen la función. F:

Paso 3. Integre la primera ecuación del sistema - por X (y F:

,
y.

Una opción alternativa (si es más fácil encontrar la integral de esta manera) es integrar la segunda ecuación del sistema - por y (X permanece constante y se elimina del signo integral). De esta manera también se restablece la función. F:

,
¿Dónde se encuentra una función aún desconocida de X.

Etapa 4. El resultado del paso 3 (la integral general encontrada) se diferencia por y(alternativamente - según X) e igualar a la segunda ecuación del sistema:

,

y en una versión alternativa - a la primera ecuación del sistema:

.

De la ecuación resultante determinamos (alternativamente)

Paso 5. El resultado del paso 4 es integrar y encontrar (alternativamente, encontrar).

Paso 6. Sustituya el resultado del paso 5 en el resultado del paso 3 - en la función restaurada por integración parcial F. Constante arbitraria C a menudo se escribe después del signo igual, en el lado derecho de la ecuación. Así obtenemos una solución general de la ecuación diferencial en diferenciales totales. Como ya se mencionó, tiene la forma. F(x,y) = C.

Ejemplos de soluciones a ecuaciones diferenciales en diferenciales totales.

Ejemplo 1.

Paso 1. ecuación en diferenciales totales X un término en el lado izquierdo de la expresión

y la derivada parcial con respecto a y otro termino
ecuación en diferenciales totales .

Paso 2. F:

Paso 3. Por X (y permanece constante y se elimina del signo integral). Así restauramos la función. F:

¿Dónde se encuentra una función aún desconocida de y.

Etapa 4. y

.

.

Paso 5.

Paso 6. F. Constante arbitraria C :
.

¿Qué error es más probable que ocurra aquí? Los errores más comunes son tomar una integral parcial sobre una de las variables para la integral habitual de un producto de funciones e intentar integrar por partes o una variable de reemplazo, y también tomar la derivada parcial de dos factores como la derivada de una producto de funciones y buscar la derivada usando la fórmula correspondiente.

Hay que recordar esto: al calcular una integral parcial con respecto a una de las variables, la otra es una constante y se quita del signo de la integral, y al calcular la derivada parcial con respecto a una de las variables, la otra también es una constante y la derivada de la expresión se encuentra como la derivada de la variable "actuante" multiplicada por la constante.

Entre ecuaciones en diferenciales totales No es raro encontrar ejemplos con una función exponencial. Este es el siguiente ejemplo. También destaca el hecho de que su solución utiliza una opción alternativa.

Ejemplo 2. Resolver ecuación diferencial

.

Paso 1. Asegurémonos de que la ecuación sea ecuación en diferenciales totales . Para hacer esto, encontramos la derivada parcial con respecto a X un término en el lado izquierdo de la expresión

y la derivada parcial con respecto a y otro termino
. Estas derivadas son iguales, lo que significa que la ecuación es ecuación en diferenciales totales .

Paso 2. Escribamos un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que formen la función F:

Paso 3. Integramos la segunda ecuación del sistema - por y (X permanece constante y se elimina del signo integral). Así restauramos la función. F:

¿Dónde se encuentra una función aún desconocida de X.

Etapa 4. Diferenciamos el resultado del paso 3 (la integral general encontrada) con respecto a X

e igualar a la primera ecuación del sistema:

De la ecuación resultante determinamos:
.

Paso 5. Integramos el resultado del paso 4 y encontramos:
.

Paso 6. Sustituimos el resultado del paso 5 en el resultado del paso 3, en la función restaurada por integración parcial. F. Constante arbitraria C escribe después del signo igual. Así obtenemos el total resolver una ecuación diferencial en diferenciales totales :
.

En el siguiente ejemplo volvemos de una opción alternativa a la principal.

Ejemplo 3. Resolver ecuación diferencial

Paso 1. Asegurémonos de que la ecuación sea ecuación en diferenciales totales . Para hacer esto, encontramos la derivada parcial con respecto a y un término en el lado izquierdo de la expresión

y la derivada parcial con respecto a X otro termino
. Estas derivadas son iguales, lo que significa que la ecuación es ecuación en diferenciales totales .

Paso 2. Escribamos un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que formen la función F:

Paso 3. Integramos la primera ecuación del sistema - Por X (y permanece constante y se elimina del signo integral). Así restauramos la función. F:

¿Dónde se encuentra una función aún desconocida de y.

Etapa 4. Diferenciamos el resultado del paso 3 (la integral general encontrada) con respecto a y

e igualar a la segunda ecuación del sistema:

De la ecuación resultante determinamos:
.

Paso 5. Integramos el resultado del paso 4 y encontramos:

Paso 6. Sustituimos el resultado del paso 5 en el resultado del paso 3, en la función restaurada por integración parcial. F. Constante arbitraria C escribe después del signo igual. Así obtenemos el total resolver una ecuación diferencial en diferenciales totales :
.

Ejemplo 4. Resolver ecuación diferencial

Paso 1. Asegurémonos de que la ecuación sea ecuación en diferenciales totales . Para hacer esto, encontramos la derivada parcial con respecto a y un término en el lado izquierdo de la expresión

y la derivada parcial con respecto a X otro termino
. Estas derivadas son iguales, lo que significa que la ecuación es una ecuación diferencial total.

Paso 2. Escribamos un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que formen la función F:

Paso 3. Integramos la primera ecuación del sistema - Por X (y permanece constante y se elimina del signo integral). Así restauramos la función. F:

¿Dónde se encuentra una función aún desconocida de y.

Etapa 4. Diferenciamos el resultado del paso 3 (la integral general encontrada) con respecto a y

e igualar a la segunda ecuación del sistema:

De la ecuación resultante determinamos:
.

Paso 5. Integramos el resultado del paso 4 y encontramos:

Paso 6. Sustituimos el resultado del paso 5 en el resultado del paso 3, en la función restaurada por integración parcial. F. Constante arbitraria C escribe después del signo igual. Así obtenemos el total resolver una ecuación diferencial en diferenciales totales :
.

Ejemplo 5. Resolver ecuación diferencial

.

Paso 1. Asegurémonos de que la ecuación sea ecuación en diferenciales totales . Para hacer esto, encontramos la derivada parcial con respecto a y un término en el lado izquierdo de la expresión

y la derivada parcial con respecto a X otro termino
. Estas derivadas son iguales, lo que significa que la ecuación es ecuación en diferenciales totales .

Muestra cómo reconocer una ecuación diferencial en diferenciales totales. Se dan métodos para resolverlo. Se da un ejemplo de cómo resolver una ecuación en diferenciales totales de dos maneras.

Introducción

Si se encuentra tal función U (x,y), entonces la ecuación toma la forma:
du (x, y) = 0.
Su integral general es:
Ud. (x, y) = C,
donde C es una constante.

Si una ecuación diferencial de primer orden se escribe en términos de su derivada:
,
entonces es fácil darle forma (1) . Para hacer esto, multiplica la ecuación por dx. Entonces . Como resultado, obtenemos una ecuación expresada en términos de diferenciales:
(1) .

Propiedad de una ecuación diferencial en diferenciales totales

Para que la ecuación (1) era una ecuación en diferenciales totales, es necesario y suficiente que la relación se mantenga:
(2) .

Prueba

Suponemos además que todas las funciones utilizadas en la prueba están definidas y tienen derivadas correspondientes en algún rango de valores de las variables xey. Punto x 0 , y 0 también pertenece a esta zona.

Demostremos la necesidad de la condición (2).
Deja que el lado izquierdo de la ecuación (1) es el diferencial de alguna función U (x,y):
.
Entonces
;
.
Dado que la segunda derivada no depende del orden de derivación, entonces
;
.
Resulta que . (2) Condición de necesidad

probado..
Demostremos la suficiencia de la condición (2) (2) :
(2) .
Que se cumpla la condición (x,y) Demostremos que es posible encontrar dicha función U
.
que su diferencial es: (x,y) Esto significa que existe tal función U
(3) ;
(4) .
, que satisface las ecuaciones: (3) Encontremos tal función. integremos la ecuación 0 por x de x
;
;
(5) .
a x, suponiendo que y es una constante: (2) :

.
Derivamos con respecto a y, suponiendo que x es una constante y aplicamos (4) La ecuacion
.
será ejecutado si 0 Integrar sobre y desde y
;
;
.
juguete: (5) :
(6) .
Sustituir en
.
Entonces, hemos encontrado una función cuyo diferencial

Se ha demostrado la suficiencia. (6) en la formula ,U(x0, y0) (x,y) es una constante: el valor de la función U 0 , y 0 en el punto x

. Se le puede asignar cualquier valor.

Cómo reconocer una ecuación diferencial en diferenciales totales
(1) .
Considere la ecuación diferencial: (2) :
(2) .
Para determinar si esta ecuación está en diferenciales totales, debe verificar la condición

Si se cumple, entonces esta ecuación está en diferenciales totales. Si no, entonces esta no es una ecuación diferencial total.

Comprueba si la ecuación está en diferenciales totales:
.

Aquí
, .
Derivamos con respecto a y, considerando x constante:


.
vamos a diferenciar


.
Porque el:
,
entonces la ecuación dada está en diferenciales totales.

Métodos para resolver ecuaciones diferenciales en diferenciales totales.

Método de extracción diferencial secuencial.

El método más simple para resolver una ecuación en diferenciales totales es el método de aislar secuencialmente el diferencial. Para ello utilizamos fórmulas de diferenciación escritas en forma diferencial:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
En estas fórmulas, u y v son expresiones arbitrarias formadas por cualquier combinación de variables.

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación:
.

Anteriormente encontramos que esta ecuación está en diferenciales totales. Transformémoslo:
(P1) .
Resolvemos la ecuación aislando secuencialmente el diferencial.
;
;
;
;

.
juguete: (P1):
;
.

Método de integración sucesiva

En este método buscamos la función U. (x,y), satisfaciendo las ecuaciones:
(3) ;
(4) .

integremos la ecuación (3) en x, considerando y constante:
.
Aquí φ (y)- una función arbitraria de y que debe determinarse. Es la constante de la integración. Sustituir en la ecuación (4) :
.
De aquí:
.
Integrando, encontramos φ (y) y, por tanto, U (x,y).

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación en diferenciales totales:
.

Anteriormente encontramos que esta ecuación está en diferenciales totales. Introduzcamos la siguiente notación:
, .
Buscando la función U (x,y), cuyo diferencial es el lado izquierdo de la ecuación:
.
Entonces:
(3) ;
(4) .
integremos la ecuación (3) en x, considerando y constante:
(P2)
.
Diferenciar con respecto a y:

.
sustituyamos en (4) :
;
.
Integramos:
.
sustituyamos en (P2):

.
Integral general de la ecuación:
Ud. (x, y) = constante.
Combinamos dos constantes en una.

Método de integración a lo largo de una curva.

Función U, definida por la relación:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
se puede encontrar integrando esta ecuación a lo largo de la curva que conecta los puntos ,U Y (x,y):
(7) .
Porque el
(8) ,
entonces la integral depende solo de las coordenadas de la inicial ,U y final (x,y) puntos y no depende de la forma de la curva. De (7) Y (8) encontramos:
(9) .
aquí x 0 y y 0 - permanente. Por lo tanto U ,U- también constante.

En la prueba se obtuvo un ejemplo de tal definición de U:
(6) .
Aquí la integración se realiza primero a lo largo de un segmento paralelo al eje y desde el punto (x 0 , y 0 ) al punto (x 0 , y). Luego la integración se realiza a lo largo de un segmento paralelo al eje x desde el punto (x 0 , y) al punto (x,y) .

De manera más general, es necesario representar la ecuación de una curva que conecta puntos (x 0 , y 0 ) Y (x,y) en forma paramétrica:
X 1 = s(t 1); y 1 = r(t1);
X 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
e integrar sobre t 1 de t 0 a t.

La forma más sencilla de realizar la integración es mediante un segmento que conecta puntos. (x 0 , y 0 ) Y (x,y). En este caso:
X 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t= 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Después de la sustitución, obtenemos la integral sobre t de 0 antes 1 .
Sin embargo, este método conduce a cálculos bastante engorrosos.

Referencias:
V.V. Stepanov, Curso de ecuaciones diferenciales, "LKI", 2015.

Definición 8.4. Ecuación diferencial de la forma

Dónde
se llama ecuación diferencial total.

Tenga en cuenta que el lado izquierdo de dicha ecuación es el diferencial total de alguna función
.

En general, la ecuación (8.4) se puede representar como

En lugar de la ecuación (8.5), podemos considerar la ecuación

,

cuya solución es la integral general de la ecuación (8.4). Por tanto, para resolver la ecuación (8.4) es necesario encontrar la función
. De acuerdo con la definición de la ecuación (8.4), tenemos

(8.6)

Función
buscaremos una función que satisfaga una de estas condiciones (8.6):

Dónde - una función arbitraria independiente de .

Función
se define de manera que se cumple la segunda condición de la expresión (8.6)

(8.7)

A partir de la expresión (8.7) se determina la función.
. Sustituyéndolo en la expresión de
y obtener la integral general de la ecuación original.

Problema 8.3. Integrar ecuación

Aquí
.

Por tanto, esta ecuación pertenece al tipo de ecuaciones diferenciales en diferenciales totales. Función
lo buscaremos en el formulario

.

Por otro lado,

.

En algunos casos la condición
puede no cumplirse.

Luego, tales ecuaciones se reducen al tipo considerado multiplicando por el llamado factor integrante, que, en el caso general, es solo una función. o .

Si alguna ecuación tiene un factor integrante que depende sólo de , entonces está determinado por la fórmula

donde esta la relacion sólo debería ser una función .

De manera similar, el factor integrador depende sólo de , está determinado por la fórmula

donde esta la relacion
sólo debería ser una función .

Ausencia en las relaciones dadas, en el primer caso, de la variable , y en el segundo - la variable , son un signo de la existencia de un factor integrante para una ecuación dada.

Problema 8.4. Reduzca esta ecuación a una ecuación en diferenciales totales.

.

Considere la relación:

.

Tema 8.2. Ecuaciones diferenciales lineales

Definición 8.5. Ecuación diferencial
se llama lineal si es lineal con respecto a la función deseada , su derivada y no contiene el producto de la función deseada y su derivada.

La forma general de una ecuación diferencial lineal está representada por la siguiente relación:

(8.8)

Si en relación (8.8) el lado derecho
, entonces dicha ecuación se llama lineal homogénea. En el caso de que el lado derecho
, entonces dicha ecuación se llama lineal no homogénea.

Demostremos que la ecuación (8.8) se puede integrar en cuadraturas.

En la primera etapa, consideramos una ecuación lineal homogénea.

Tal ecuación es una ecuación con variables separables. En realidad,

;

/

La última relación determina la solución general de una ecuación lineal homogénea.

Para encontrar una solución general a una ecuación lineal no homogénea, se utiliza el método de variar la derivada de una constante. La idea del método es que la solución general de una ecuación lineal no homogénea tiene la misma forma que la solución de la ecuación homogénea correspondiente, pero una constante arbitraria. reemplazado por alguna función
estar determinado. Entonces tenemos:

(8.9)

Sustituyendo en la relación (8.8) las expresiones correspondientes
Y
, obtenemos

Sustituyendo la última expresión en la relación (8.9), obtenemos la integral general de la ecuación lineal no homogénea.

Por tanto, la solución general de una ecuación lineal no homogénea está determinada por dos cuadraturas: la solución general de una ecuación lineal homogénea y una solución particular de una ecuación lineal no homogénea.

Problema 8.5. Integrar ecuación

Por tanto, la ecuación original pertenece al tipo de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

En la primera etapa, encontraremos una solución general a una ecuación lineal homogénea.

;

En la segunda etapa, determinamos la solución general de la ecuación lineal no homogénea, que se encuentra en la forma

,

Dónde
- función por determinar.

Entonces tenemos:

Sustituyendo las relaciones por Y en la ecuación lineal no homogénea original obtenemos:

;

;

.

La solución general de una ecuación lineal no homogénea tendrá la forma:

.

Teniendo la forma estándar $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, en la que el lado izquierdo es el diferencial total de alguna función $F \left( x,y\right)$ se llama ecuación diferencial total.

La ecuación en diferenciales totales siempre se puede reescribir como $dF\left(x,y\right)=0$, donde $F\left(x,y\right)$ es una función tal que $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Integramos ambos lados de la ecuación $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; la integral del lado derecho cero es igual a una constante arbitraria $C$. Por lo tanto, la solución general de esta ecuación en forma implícita es $F\left(x,y\right)=C$.

Para que una ecuación diferencial dada sea una ecuación en diferenciales totales, es necesario y suficiente que la condición $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ estar satisfecho. Si se cumple la condición especificada, entonces existe una función $F\left(x,y\right)$, para la cual podemos escribir: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, de donde obtenemos dos relaciones : $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ y $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$.

Integramos la primera relación $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ sobre $x$ y obtenemos $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, donde $U\left(y\right)$ es una función arbitraria de $y$.

Seleccionémoslo de manera que se cumpla la segunda relación $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$. Para hacer esto, diferenciamos la relación resultante para $F\left(x,y\right)$ con respecto a $y$ e igualamos el resultado a $Q\left(x,y\right)$. Obtenemos: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\derecha)$.

La solución adicional es:

• de la última igualdad encontramos $U"\left(y\right)$;
• integra $U"\left(y\right)$ y encuentra $U\left(y\right)$;
• sustituye $U\left(y\right)$ en la igualdad $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ y finalmente obtenemos la función $F\left(x,y\right)$.

Encontramos la diferencia:

Integramos $U"\left(y\right)$ sobre $y$ y encontramos $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Encuentra el resultado: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Escribimos la solución general en la forma $F\left(x,y\right)=C$, a saber:

Encuentre una solución particular $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, donde $y_(0) =3$, $x_(0) = 2$:

La solución parcial tiene la forma: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.