¿Qué son los números racionales? Propiedades básicas de los números racionales.

números racionales

Cuarteles

Orden. a Y b existe una regla que permite identificar de forma única una y sólo una de tres relaciones entre ellos: “< », « >" o " = ". Esta regla se llama regla de pedido y se formula de la siguiente manera: dos números no negativos y están relacionados por la misma relación que dos números enteros y ; dos números no positivos a Y b están relacionados por la misma relación que dos números no negativos y ; si de repente a no negativo, pero b- negativo, entonces a > b.
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Sumar fracciones Operación de suma. a Y b Para cualquier número racional hay un llamado regla de suma do regla de suma. Además, el número mismo llamado cantidad a Y b números y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número se llama suma .
. La regla de suma tiene la siguiente forma: Operación de suma. a Y b Para cualquier número racional Operación de multiplicación. regla de multiplicación regla de suma do regla de suma. Además, el número mismo , que les asigna algún número racional cantidad a Y b trabajar y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número también se llama multiplicación .
. La regla de multiplicación se ve así: Transitividad de la relación de orden. a , b Y regla de suma Para cualquier triple de números racionales a Si b Y b Si regla de suma menos a Si regla de suma, Eso a, y si b Y b, y si regla de suma menos a, y si regla de suma es igual
. 6435">Conmutatividad de la suma. Cambiar los lugares de los términos racionales no cambia la suma.
Asociatividad de la suma. El orden en que se suman tres números racionales no afecta el resultado.
Presencia de cero. Hay un número racional 0 que conserva todos los demás números racionales cuando se suma.
La presencia de números opuestos. Todo número racional tiene un número racional opuesto, que al sumarlo da 0.
Conmutatividad de la multiplicación. Cambiar el lugar de los factores racionales no cambia el producto.
Asociatividad de la multiplicación. El orden en que se multiplican tres números racionales no afecta el resultado.
Disponibilidad de unidad. Hay un número racional 1 que conserva todos los demás números racionales cuando se multiplica.
Presencia de números recíprocos. Todo número racional tiene un número racional inverso, que multiplicado por da 1.
Conexión de la relación de orden con la operación de suma. Se puede sumar el mismo número racional a los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional.
/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Axioma de Arquímedes. a Cualquiera que sea el número racional a, puedes tomar tantas unidades que su suma exceda

.

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Propiedades adicionales

Todas las demás propiedades inherentes a los números racionales no se distinguen como básicas porque, en general, ya no se basan directamente en las propiedades de los números enteros, sino que pueden demostrarse basándose en las propiedades básicas dadas o directamente mediante la definición de algún objeto matemático. . Hay muchas propiedades adicionales de este tipo. Tiene sentido enumerar aquí sólo algunos de ellos.

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Contabilidad de un conjunto

Numeración de números racionales Para estimar el número de números racionales, es necesario encontrar la cardinalidad de su conjunto. Es fácil demostrar que el conjunto de los números racionales es contable. Para ello, basta con dar un algoritmo que enumere los números racionales, es decir, establezca una biyección entre los conjuntos de números racionales y naturales. El más simple de estos algoritmos se ve así. Se compila una tabla interminable de fracciones ordinarias, en cada una i-ésima línea en cada Para estimar el número de números racionales, es necesario encontrar la cardinalidad de su conjunto. Es fácil demostrar que el conjunto de los números racionales es contable. Para ello, basta con dar un algoritmo que enumere los números racionales, es decir, establezca una biyección entre los conjuntos de números racionales y naturales. j i la columna en la que se encuentra la fracción. Para mayor precisión, se supone que las filas y columnas de esta tabla están numeradas comenzando desde uno. Las celdas de la tabla se indican con , donde

- el número de la fila de la tabla en la que se encuentra la celda, y

- número de columna.

La tabla resultante se recorre utilizando una “serpiente” según el siguiente algoritmo formal.

Siguiendo este algoritmo, podemos enumerar todos los números racionales positivos. Esto significa que el conjunto de los números racionales positivos es contable. Es fácil establecer una biyección entre los conjuntos de números racionales positivos y negativos simplemente asignando a cada número racional su opuesto. Eso. el conjunto de los números racionales negativos también es contable. Su unión también es contable mediante la propiedad de conjuntos contables. El conjunto de los números racionales también es contable como la unión de un conjunto contable con uno finito.

La afirmación sobre la contabilización del conjunto de los números racionales puede causar cierta confusión, ya que a primera vista parece que es mucho más extenso que el conjunto de los números naturales. De hecho, esto no es así y hay suficientes números naturales para enumerar todos los racionales.

Falta de números racionales

La hipotenusa de tal triángulo no se puede expresar mediante ningún número racional.

Números racionales de la forma 1 / norte en libertad norte Se pueden medir cantidades arbitrariamente pequeñas. Este hecho crea la impresión engañosa de que los números racionales se pueden utilizar para medir cualquier distancia geométrica. Es fácil demostrar que esto no es cierto.

Notas

Literatura

I. Kushnir. Manual de matemáticas para escolares. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Alexandrov. Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. - M.: capítulo. ed. fisica y matematicas iluminado. ed. "Ciencia", 1977
I. L. Khmelnitsky. Introducción a la teoría de los sistemas algebraicos.

Campo de golf

Fundación Wikimedia.

2010.

Conjunto de números racionales

El conjunto de los números racionales se denota y se puede escribir de la siguiente manera: Resulta que diferentes notaciones pueden representar la misma fracción, por ejemplo, y , (todas las fracciones que se pueden obtener entre sí multiplicando o dividiendo por el mismo número natural representan el mismo número racional). Dado que dividiendo el numerador y el denominador de una fracción por su máximo común divisor podemos obtener una única representación irreducible de un número racional, podemos hablar de su conjunto como el conjunto irreducible

fracciones con numerador entero primo y denominador natural:

El conjunto de los números racionales es una generalización natural del conjunto de los números enteros. Es fácil ver que si un número racional tiene denominador, entonces es un número entero. El conjunto de números racionales se encuentra densamente ubicado en todas partes del eje numérico: entre dos números racionales diferentes hay al menos un número racional (y por lo tanto un conjunto infinito de números racionales). Sin embargo, resulta que el conjunto de números racionales tiene cardinalidad contable (es decir, todos sus elementos pueden renumerarse). Notemos, por cierto, que los antiguos griegos estaban convencidos de la existencia de números que no pueden representarse como una fracción (por ejemplo, demostraron que no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 2).

Terminología

Definición formal

Formalmente, los números racionales se definen como el conjunto de clases de equivalencia de pares con respecto a la relación de equivalencia si. En este caso, las operaciones de suma y multiplicación se definen de la siguiente manera:

Definiciones relacionadas

Fracciones propias, impropias y mixtas.

Correcto Una fracción cuyo numerador es menor que su denominador se llama fracción. Las fracciones propias representan números racionales módulo menor que uno. Una fracción que no es propia se llama equivocado y representa un número racional mayor o igual a uno en módulo.

Una fracción impropia se puede representar como la suma de un número entero y una fracción propia, llamada fracción mixta . Por ejemplo, . Una notación similar (sin el signo de la suma), aunque se usa en aritmética elemental, se evita en la literatura matemática estricta debido a la similitud de la notación de una fracción mixta con la notación del producto de un número entero y una fracción.

Altura del tiro

Altura de una fracción común. es la suma del módulo del numerador y denominador de esta fracción. Altura de un número racional es la suma del módulo del numerador y el denominador de la fracción ordinaria irreducible correspondiente a este número.

Por ejemplo, la altura de una fracción es . La altura del número racional correspondiente es igual a , ya que la fracción se puede reducir en .

Comentario

Término fracción (fracción) A veces [ especificar] se utiliza como sinónimo del término número racional y, a veces, sinónimo de cualquier número no entero. En el último caso, los números fraccionarios y racionales son cosas diferentes, ya que entonces los números racionales no enteros son solo un caso especial de fracciones.

Propiedades

Propiedades básicas

El conjunto de los números racionales satisface dieciséis propiedades básicas, que pueden derivarse fácilmente de las propiedades de los números enteros.

Orden. Para cualquier número racional, existe una regla que le permite identificar de forma única una y sólo una de tres relaciones entre ellos: “”, “” o “”. Esta regla se llama regla de pedido y se formula de la siguiente manera: dos números positivos y están relacionados por la misma relación que dos números enteros y ; dos números no positivos y están relacionados por la misma relación que dos números no negativos y ; si de repente no es negativo, sino negativo, entonces .
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Sumar fracciones hay un llamado llamado números y y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número se llama y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número se llama. La regla de suma tiene la siguiente forma: .
. La regla de suma tiene la siguiente forma: Para cualquier número racional existe el llamado Operación de multiplicación., lo que los pone en correspondencia con algún número racional. En este caso, el número en sí se llama , que les asigna algún número racional números y y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número también se llama y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número también se llama. La regla de multiplicación tiene la siguiente forma: .
. La regla de multiplicación se ve así: Para cualquier triple de números racionales, y si es cada vez menor, entonces menor, y si es igual e igual, entonces igual.
Conmutatividad de la suma. Cambiar los lugares de los términos racionales no cambia la suma.
. 6435">Conmutatividad de la suma. Cambiar los lugares de los términos racionales no cambia la suma.
Asociatividad de la suma. El orden en que se suman tres números racionales no afecta el resultado.
Presencia de cero. Hay un número racional 0 que conserva todos los demás números racionales cuando se suma.
La presencia de números opuestos. Todo número racional tiene un número racional opuesto, que al sumarlo da 0.
Conmutatividad de la multiplicación. Cambiar el lugar de los factores racionales no cambia el producto.
Asociatividad de la multiplicación. El orden en que se multiplican tres números racionales no afecta el resultado.
Disponibilidad de unidad. Cualquier número racional distinto de cero tiene un número racional inverso, que multiplicado por da 1.
Presencia de números recíprocos. Todo número racional tiene un número racional inverso, que multiplicado por da 1.
Conexión de la relación de orden con la operación de suma. Se puede sumar el mismo número racional a los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional.
La conexión entre la relación de orden y la operación de multiplicación. Los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional se pueden multiplicar por el mismo número racional positivo.
/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Cualquiera que sea el número racional, se pueden tomar tantas unidades que su suma supere.

.

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Todas las demás propiedades inherentes a los números racionales no se distinguen como básicas porque, en general, ya no se basan directamente en las propiedades de los números enteros, sino que pueden demostrarse basándose en las propiedades básicas dadas o directamente mediante la definición de algún objeto matemático. . Hay muchas propiedades adicionales de este tipo. Tiene sentido enumerar aquí sólo algunos de ellos.

Para estimar el número de números racionales, es necesario encontrar la cardinalidad de su conjunto. Es fácil demostrar que el conjunto de los números racionales es contable. Para ello, basta con dar un algoritmo que enumere los números racionales, es decir, establezca una biyección entre los conjuntos de números racionales y naturales. Un ejemplo de tal construcción es el siguiente algoritmo simple. Se compila una tabla infinita de fracciones ordinarias, en cada fila de cada columna hay una fracción. Para mayor precisión, se supone que las filas y columnas de esta tabla están numeradas comenzando desde uno. Las celdas de la tabla se designan , donde es el número de la fila de la tabla en la que se encuentra la celda y es el número de columna.

- el número de la fila de la tabla en la que se encuentra la celda, y

- número de columna.

En el proceso de tal recorrido, cada nuevo número racional se asocia con otro número natural. Es decir, a las fracciones se les asigna el número 1, a las fracciones se les asigna el número 2, etc. Cabe señalar que solo se numeran las fracciones irreducibles. Un signo formal de irreductibilidad es que el máximo común divisor del numerador y denominador de la fracción es igual a uno.

Por supuesto, existen otras formas de enumerar números racionales. Por ejemplo, para ello puedes utilizar estructuras como el árbol de Kalkin-Wilf, el árbol de Stern-Broko o la serie Farey.

Falta de números racionales

Ver también


	Enteros

números racionales

numeros reales Números complejos Cuaterniones

Notas

Literatura

I. Kushnir. Manual de matemáticas para escolares. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Alexandrov. Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. - M.: capítulo. ed. fisica y matematicas iluminado. ed. "Ciencia", 1977
I. L. Khmelnitsky. Introducción a la teoría de los sistemas algebraicos.

números racionales

Cuarteles

Orden. a Y b existe una regla que permite identificar de forma única una y sólo una de tres relaciones entre ellos: “< », « >" o " = ". Esta regla se llama regla de pedido y se formula de la siguiente manera: dos números no negativos y están relacionados por la misma relación que dos números enteros y ; dos números no positivos a Y b están relacionados por la misma relación que dos números no negativos y ; si de repente a no negativo, pero b- negativo, entonces a > b.
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Sumar fracciones Operación de suma. a Y b Para cualquier número racional hay un llamado regla de suma do regla de suma. Además, el número mismo llamado cantidad a Y b números y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número se llama suma .
. La regla de suma tiene la siguiente forma: Operación de suma. a Y b Para cualquier número racional Operación de multiplicación. regla de multiplicación regla de suma do regla de suma. Además, el número mismo , que les asigna algún número racional cantidad a Y b trabajar y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número también se llama multiplicación .
. La regla de multiplicación se ve así: Transitividad de la relación de orden. a , b Y regla de suma Para cualquier triple de números racionales a Si b Y b Si regla de suma menos a Si regla de suma, Eso a, y si b Y b, y si regla de suma menos a, y si regla de suma es igual
. 6435">Conmutatividad de la suma. Cambiar los lugares de los términos racionales no cambia la suma.
Asociatividad de la suma. El orden en que se suman tres números racionales no afecta el resultado.
Presencia de cero. Hay un número racional 0 que conserva todos los demás números racionales cuando se suma.
La presencia de números opuestos. Todo número racional tiene un número racional opuesto, que al sumarlo da 0.
Conmutatividad de la multiplicación. Cambiar el lugar de los factores racionales no cambia el producto.
Asociatividad de la multiplicación. El orden en que se multiplican tres números racionales no afecta el resultado.
Disponibilidad de unidad. Hay un número racional 1 que conserva todos los demás números racionales cuando se multiplica.
Presencia de números recíprocos. Todo número racional tiene un número racional inverso, que multiplicado por da 1.
Conexión de la relación de orden con la operación de suma. Se puede sumar el mismo número racional a los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional.
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Propiedades adicionales

Todas las demás propiedades inherentes a los números racionales no se distinguen como básicas porque, en general, ya no se basan directamente en las propiedades de los números enteros, sino que pueden demostrarse basándose en las propiedades básicas dadas o directamente mediante la definición de algún objeto matemático. . Hay muchas propiedades adicionales de este tipo. Tiene sentido enumerar aquí sólo algunos de ellos.

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Contabilidad de un conjunto

- el número de la fila de la tabla en la que se encuentra la celda, y

- número de columna.

La tabla resultante se recorre utilizando una “serpiente” según el siguiente algoritmo formal.

Falta de números racionales

La hipotenusa de tal triángulo no se puede expresar mediante ningún número racional.

Notas

Literatura

I. Kushnir. Manual de matemáticas para escolares. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Alexandrov. Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. - M.: capítulo. ed. fisica y matematicas iluminado. ed. "Ciencia", 1977
I. L. Khmelnitsky. Introducción a la teoría de los sistemas algebraicos.

Campo de golf

Fundación Wikimedia.

) son números con signo positivo o negativo (enteros y fraccionarios) y cero. Un concepto más preciso de números racionales suena así:

Número racional- un número que se representa como una fracción común Minnesota, donde el numerador metro son números enteros y el denominador norte- números naturales, por ejemplo 2/3.

Las fracciones infinitas no periódicas NO están incluidas en el conjunto de los números racionales.

a/b, Dónde a∈ z (a pertenece a números enteros), b∈ norte (b pertenece a los números naturales).

Usar números racionales en la vida real.

En la vida real, el conjunto de los números racionales se utiliza para contar las partes de algunos objetos enteros divisibles, Por ejemplo, pasteles u otros alimentos que se cortan en pedazos antes del consumo, o para estimar aproximadamente las relaciones espaciales de objetos extendidos.

Propiedades de los números racionales.

Propiedades básicas de los números racionales.

1. Orden a Y b existe una regla que permite identificar sin ambigüedades 1 y sólo una de 3 relaciones entre ellas: “<», «>" o "=". Esta es la regla - regla de pedido y formularlo así:

2 números positivos a=m a /n a Y b=m b /n b están relacionados por la misma relación que 2 números enteros m un⋅ nb Y m b⋅ n / A;
2 números negativos a Y b están relacionados por la misma razón que 2 números positivos |b| Y |a|;
Cuando a positivo y b- negativo, entonces a>b.

∀ a, b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operación de suma. Para todos los números racionales a Y b Hay hay un llamado, que les asigna un determinado número racional regla de suma. Además, el número mismo regla de suma- Este suma cantidad a Y b y se denota como (a+b) suma.

Regla de suma se ve así:

m un/n a + m b/norte segundo =(m un⋅ norte segundo + metro segundo⋅ n / A)/(n / A⋅ nb).

∀ a, b∈ q∃ !(a+b)∈ q

3. Operación de multiplicación. Para todos los números racionales a Y b Hay Operación de multiplicación., los asocia a un determinado número racional regla de suma. El numero c se llama , que les asigna algún número racional cantidad a Y b y denotar (a⋅b), y el proceso de encontrar este número se llama multiplicación.

regla de multiplicacion se ve así: hombre⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. . La regla de multiplicación se ve así: Para tres números racionales cualesquiera a, b Y regla de suma Si a menos b Y b menos regla de suma, Eso a menos do, y si a es igual b Y b es igual regla de suma, Eso a es igual do.

∀ abecedario∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ segundo = c⇒ a=c)

5. Conmutatividad de la suma. Cambiar los lugares de los términos racionales no cambia la suma.

∀ a, b∈ Q a+b=b+a

6. Adición de asociatividad. El orden en que se suman 3 números racionales no afecta el resultado.

∀ abecedario∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Presencia de cero. Hay un número racional 0, conserva todos los demás números racionales cuando se suma.

∃ 0 ∈ q∀ a∈ Qa+0=a

8. Presencia de números opuestos. Todo número racional tiene un número racional opuesto y al sumarlos el resultado es 0.

∀ a∈ q∃ (-un)∈ Q a+(−a)=0

9. Conmutatividad de la multiplicación. Cambiar el lugar de los factores racionales no cambia el producto.

∀ a, b∈ P a⋅ b=b⋅ a

10. Asociatividad de la multiplicación. El orden en que se multiplican 3 números racionales no influye en el resultado.

∀ abecedario∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ do)

11. Disponibilidad de unidades. Existe un número racional 1, que preserva todos los demás números racionales en el proceso de multiplicación.

∃ 1 ∈ q∀ a∈ P a⋅ 1=un

12. Presencia de números recíprocos. Todo número racional distinto de cero tiene un número racional inverso, al multiplicarlo obtenemos 1 .

∀ a∈ q∃ a-1∈ P a⋅ a−1=1

13. Distributividad de la multiplicación relativa a la suma.. La operación de multiplicación está relacionada con la suma usando la ley distributiva:

∀ abecedario∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ regla de suma

14. Relación entre la relación de orden y la operación de suma. El mismo número racional se suma a los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional.

∀ abecedario∈ P a ⇒ a+c

15. Relación entre la relación de orden y la operación de multiplicación. Los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional se pueden multiplicar por el mismo número racional no negativo.

∀ abecedario∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ do ⋅ regla de suma

16. Axioma de Arquímedes. Cualquiera que sea el número racional a, es fácil tomar tantas unidades que su suma será mayor a.

Este artículo está dedicado al estudio del tema "Números racionales". A continuación se encuentran definiciones de números racionales, se dan ejemplos y cómo determinar si un número es racional o no.

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Números racionales. Definiciones

Antes de dar la definición de números racionales, recordemos qué otros conjuntos de números existen y cómo se relacionan entre sí.

Los números naturales, junto con sus opuestos y el número cero, forman el conjunto de los números enteros. A su vez, el conjunto de los números enteros fraccionarios forma el conjunto de los números racionales.

Definición 1. Números racionales

Los números racionales son números que se pueden representar como una fracción común positiva a b, una fracción común negativa a b o el número cero.

Por tanto, podemos conservar una serie de propiedades de los números racionales:

Cualquier número natural es un número racional. Obviamente, todo número natural n se puede representar como una fracción 1 n.
Cualquier número entero, incluido el número 0, es un número racional. De hecho, cualquier número entero positivo y negativo se pueden representar fácilmente como una fracción ordinaria positiva o negativa, respectivamente. Por ejemplo, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
Cualquier fracción común positiva o negativa a b es un número racional. Esto se deriva directamente de la definición dada anteriormente.
Cualquier número mixto es racional. De hecho, un número mixto se puede representar como una fracción impropia ordinaria.
Cualquier fracción decimal finita o periódica se puede representar como una fracción. Por tanto, toda fracción decimal periódica o finita es un número racional.
Los decimales infinitos y no periódicos no son números racionales. No pueden representarse en forma de fracciones ordinarias.

Pongamos ejemplos de números racionales. Los números 5, 105, 358, 1100055 son naturales, positivos y enteros. Obviamente, estos son números racionales. Los números - 2, - 358, - 936 son números enteros negativos y también son racionales según la definición. Las fracciones comunes 3 5, 8 7, - 35 8 también son ejemplos de números racionales.

La definición anterior de números racionales se puede formular más brevemente. Una vez más responderemos a la pregunta ¿qué es un número racional?

Definición 2. Números racionales

Los números racionales son números que se pueden representar como una fracción ± z n, donde z es un número entero y n es un número natural.

Se puede demostrar que esta definición es equivalente a la definición anterior de números racionales. Para ello, recuerda que la recta de fracción equivale al signo de división. Teniendo en cuenta las reglas y propiedades de la división de números enteros, podemos escribir las siguientes desigualdades justas:

0 norte = 0 ÷ norte = 0 ; - metro norte = (- metro) ÷ norte = - metro norte .

Así, podemos escribir:

z n = z n , p r y z > 0 0 , p r y z = 0 - z n , p r y z< 0

En realidad, esta grabación es una prueba. Demos ejemplos de números racionales basados en la segunda definición. Considere los números - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 y - 1 3 5. Todos estos números son racionales, ya que se pueden escribir como una fracción con numerador entero y denominador natural: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

Damos otra forma equivalente para la definición de números racionales.

Definición 3. Números racionales

Un número racional es un número que se puede escribir como una fracción decimal periódica finita o infinita.

Esta definición se deriva directamente de la primera definición de este párrafo.

Resumamos y formulemos un resumen de este punto:

Las fracciones positivas y negativas y los números enteros forman el conjunto de los números racionales.
Todo número racional se puede representar como una fracción ordinaria, cuyo numerador es un número entero y cuyo denominador es un número natural.
Cada número racional también se puede representar como una fracción decimal: finita o infinitamente periódica.

¿Qué número es racional?

Como ya hemos descubierto, cualquier número natural, entero, fracción ordinaria propia e impropia, fracción decimal periódica y finita son números racionales. Armado con este conocimiento, puedes determinar fácilmente si un determinado número es racional.

Sin embargo, en la práctica, a menudo no se trata de números, sino de expresiones numéricas que contienen raíces, potencias y logaritmos. En algunos casos, la respuesta a la pregunta "¿es el número racional?" está lejos de ser obvio. Veamos métodos para responder a esta pregunta.

Si un número se da como una expresión que contiene sólo números racionales y operaciones aritméticas entre ellos, entonces el resultado de la expresión es un número racional.

Por ejemplo, el valor de la expresión 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) es un número racional y es igual a 18.

Por lo tanto, simplificar una expresión numérica compleja le permite determinar si el número dado por ella es racional.

Ahora veamos el signo de la raíz.

Resulta que el número m n dado como raíz de la potencia n del número m es racional sólo cuando m es la enésima potencia de algún número natural.

Veamos un ejemplo. El número 2 no es racional. Mientras que 9, 81 son números racionales. 9 y 81 son cuadrados perfectos de los números 3 y 9, respectivamente. Los números 199, 28, 15 1 no son números racionales, ya que los números bajo el signo de la raíz no son cuadrados perfectos de ningún número natural.

Ahora tomemos un caso más complejo. ¿Es 243 5 un número racional? Si elevas 3 a la quinta potencia, obtienes 243, por lo que la expresión original se puede reescribir de la siguiente manera: 243 5 = 3 5 5 = 3. Por tanto, este número es racional. Ahora tomemos el número 121 5. Este número es irracional, ya que no existe ningún número natural cuyo elevado a la quinta potencia dé 121.

Para saber si el logaritmo de un determinado número a en base b es un número racional, es necesario aplicar el método de la contradicción. Por ejemplo, averigüemos si el número log 2 5 es racional. Supongamos que este número es racional. Si esto es así, entonces se puede escribir como una fracción ordinaria log 2 5 = m n. Según las propiedades del logaritmo y las propiedades del grado, son válidas las siguientes igualdades:

5 = 2 registro 2 5 = 2 metro norte 5 norte = 2 metro

Obviamente, la última igualdad es imposible ya que los lados izquierdo y derecho contienen números pares e impares, respectivamente. Por lo tanto, la suposición hecha es incorrecta y log 2 5 no es un número racional.

Vale la pena señalar que al determinar la racionalidad e irracionalidad de los números, no se deben tomar decisiones repentinas. Por ejemplo, el resultado del producto de números irracionales no siempre es un número irracional. Un ejemplo ilustrativo: 2 · 2 = 2.

También hay números irracionales, cuya elevación a una potencia irracional da un número racional. En una potencia de la forma 2 log 2 3, la base y el exponente son números irracionales. Sin embargo, el número en sí es racional: 2 log 2 3 = 3.

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