Deje que la muestra aleatoria sea generada por la variable aleatoria observada ξ, la expectativa matemática y la varianza los cuales son desconocidos. Se propuso utilizar el promedio muestral como estimaciones para estas características.

y varianza muestral

. (3.14)

Consideremos algunas propiedades de las estimaciones de expectativa y dispersión matemática.

1. Calcule la expectativa matemática del promedio muestral:

Por lo tanto, la media muestral es un estimador insesgado para .

2. Recuerda que los resultados Las observaciones son variables aleatorias independientes, cada una de las cuales tiene la misma ley de distribución que el valor, lo que significa , , . Supondremos que la varianza es finita. Entonces, según el teorema de Chebyshev sobre la ley de los grandes números, para cualquier ε > 0 se cumple la igualdad ,

que se puede escribir así: . (3.16) Comparando (3.16) con la definición de la propiedad de consistencia (3.11), vemos que la estimación es una estimación consistente de la expectativa matemática.

3. Encuentre la varianza de la media muestral:

. (3.17)

Por tanto, la varianza de la estimación de la expectativa matemática disminuye en proporción inversa al tamaño de la muestra.

Se puede demostrar que si la variable aleatoria ξ tiene una distribución normal, entonces la media muestral es una estimación efectiva de la expectativa matemática, es decir, la varianza toma el valor más pequeño en comparación con cualquier otra estimación de la expectativa matemática. Para otras leyes de distribución ξ este puede no ser el caso.

La varianza muestral es una estimación sesgada de la varianza porque . (3.18)

De hecho, utilizando las propiedades de la expectativa matemática y la fórmula (3.17), encontramos

.

Para obtener una estimación insesgada de la varianza, se debe corregir la estimación (3.14), es decir, multiplicar por . Luego obtenemos la varianza muestral insesgada.

. (3.19)

Tenga en cuenta que las fórmulas (3.14) y (3.19) difieren solo en el denominador y, para valores grandes, las varianzas muestrales e insesgadas difieren poco. Sin embargo, con un tamaño de muestra pequeño, se debe utilizar la relación (3.19).

Para estimar la desviación estándar de una variable aleatoria se utiliza la denominada desviación estándar “corregida”, que es igual a la raíz cuadrada de la varianza insesgada: .

Estimaciones de intervalo

En estadística, existen dos enfoques para estimar parámetros desconocidos de distribuciones: puntual e intervalo. De acuerdo con la estimación puntual, que se analizó en la sección anterior, solo se indica el punto alrededor del cual se ubica el parámetro estimado. Sin embargo, es deseable saber qué tan lejos puede estar realmente este parámetro de las posibles realizaciones de las estimaciones en diferentes series de observaciones.

La respuesta a esta pregunta, también aproximada, viene dada por otro método de estimación de parámetros: el intervalo. De acuerdo con este método de estimación se encuentra un intervalo que, con una probabilidad cercana a uno, cubre el valor numérico desconocido del parámetro.

El concepto de estimación de intervalo.

Estimación puntual es una variable aleatoria y para posibles implementaciones de muestra toma valores solo aproximadamente iguales al valor verdadero del parámetro. Cuanto menor sea la diferencia, más precisa será la estimación. Por lo tanto, un número positivo para el cual , caracteriza la precisión de la estimación y se llama error de estimación (o error marginal).

probabilidad de confianza(o confiabilidad) llamada probabilidad β , con el que se realiza la desigualdad , es decir.

. (3.20)

Reemplazo de la desigualdad doble desigualdad equivalente , o , obtenemos

Intervalo , cubriendo con probabilidad β , , parámetro desconocido, se llama intervalo de confianza (o estimación de intervalo), probabilidad de confianza correspondiente β .

Una variable aleatoria no es sólo una estimación, sino también un error: su valor depende de la probabilidad. β y, por regla general, de la muestra. Por lo tanto, el intervalo de confianza es aleatorio y la expresión (3.21) debe leerse de la siguiente manera: “El intervalo cubrirá el parámetro con probabilidad β ”, y no así: “El parámetro caerá en el intervalo con probabilidad β ”.

El significado del intervalo de confianza es que al repetir un volumen de muestra muchas veces en una proporción relativa de casos igual a β , intervalo de confianza correspondiente a la probabilidad de confianza β , cubre el valor real del parámetro estimado. Por tanto, la probabilidad de confianza β caracteriza fiabilidad Evaluación de confianza: cuanto más β , más probable es que la implementación del intervalo de confianza contenga un parámetro desconocido.

OBJETIVO DE LA CONFERENCIA: presentar el concepto de estimación de un parámetro de distribución desconocido y clasificar dichas estimaciones; obtener estimaciones puntuales y de intervalo de expectativa y dispersión matemática.

En la práctica, en la mayoría de los casos, se desconoce la ley de distribución de una variable aleatoria y, según los resultados de las observaciones.
es necesario estimar características numéricas (por ejemplo, expectativa matemática, dispersión u otros momentos) o un parámetro desconocido , que determina la ley de distribución (densidad de distribución)
variable aleatoria que se estudia. Por tanto, para una distribución exponencial o distribución de Poisson, basta con estimar un parámetro, pero para una distribución normal, se deben estimar dos parámetros: la expectativa matemática y la varianza.

Tipos de evaluaciones

variable aleatoria
tiene una densidad de probabilidad
, Dónde – parámetro de distribución desconocido. Como resultado del experimento se obtuvieron los valores de esta variable aleatoria:
. Hacer una evaluación significa esencialmente que los valores muestrales de una variable aleatoria deben estar asociados con un determinado valor de parámetro. , es decir, crear alguna función de los resultados de la observación.
, cuyo valor se toma como estimación parámetro . Índice indica el número de experimentos realizados.

Cualquier función que dependa de los resultados de las observaciones se llama estadística. Dado que los resultados de las observaciones son variables aleatorias, las estadísticas también serán una variable aleatoria. Por lo tanto, la evaluación
parámetro desconocido debe considerarse como una variable aleatoria, y su valor, calculado a partir de datos experimentales en volumen , – como uno de los posibles valores de esta variable aleatoria.

Las estimaciones de los parámetros de distribución (características numéricas de una variable aleatoria) se dividen en punto e intervalo. Estimación puntual parámetro determinado por un número , y su precisión se caracteriza por la varianza de la estimación. Estimación de intervalo llamada puntuación que está determinada por dos números, Y – extremos del intervalo que cubre el parámetro estimado con una probabilidad de confianza dada.

Clasificación de estimaciones puntuales.

Para una estimación puntual de un parámetro desconocido
Lo mejor en términos de precisión debe ser consistente, imparcial y eficiente.

Adinerado llamado evaluación
parámetro , si converge en probabilidad al parámetro estimado, es decir

. (8.8)

Con base en la desigualdad de Chebyshev, se puede demostrar que una condición suficiente para el cumplimiento de la relación (8.8) es la igualdad

.

La consistencia es una característica asintótica de la estimación en
.

Imparcial llamado evaluación
(estimación sin error sistemático), cuya expectativa matemática es igual al parámetro estimado, es decir

. (8.9)

Si no se cumple la igualdad (8.9), entonces la estimación se denomina sesgada. Diferencia
llamado sesgo o error sistemático en la estimación. Si la igualdad (8.9) se cumple sólo para
, entonces la estimación correspondiente se denomina asintóticamente insesgada.

Cabe señalar que si la coherencia es una condición casi obligatoria para todas las estimaciones utilizadas en la práctica (las estimaciones inconsistentes se utilizan muy raramente), entonces la propiedad de insesgación es sólo deseable. Muchas estimaciones utilizadas con frecuencia no tienen la propiedad insesgada.

En general, la precisión de estimar algún parámetro , obtenido sobre la base de datos experimentales
, caracterizado por el error cuadrático medio

,

que se puede reducir a la forma

,

¿Dónde está la varianza?
– sesgo de estimación al cuadrado.

Si la estimación es insesgada, entonces

En finito las estimaciones pueden diferir por el error cuadrático medio . Naturalmente, cuanto menor sea este error, más estrechamente se agruparán los valores de evaluación en torno al parámetro estimado. Por lo tanto, siempre es deseable que el error de estimación sea lo más pequeño posible, es decir, que se cumpla la condición.

. (8.10)

Evaluación , que satisface la condición (8.10), se denomina estimación con un error cuadrático mínimo.

Eficaz llamado evaluación
, para el cual el error cuadrático medio no es mayor que el error cuadrático medio de cualquier otra estimación, es decir

Dónde – cualquier otra estimación de parámetros .

Se sabe que la varianza de cualquier estimación insesgada de un parámetro satisface la desigualdad de Cramer-Rao

,

Dónde
– distribución de densidad de probabilidad condicional de los valores obtenidos de la variable aleatoria en el valor verdadero del parámetro .

Por tanto, la estimación insesgada
, para el cual la desigualdad de Cramer-Rao se convierte en igualdad, será efectiva, es decir, dicha estimación tiene una varianza mínima.

Estimaciones puntuales de expectativa y varianza.

Si se considera una variable aleatoria
, que tiene una expectativa matemática y varianza , entonces ambos parámetros se consideran desconocidos. Por lo tanto, sobre una variable aleatoria
producido experimentos independientes que dan resultados:
. Es necesario encontrar estimaciones consistentes e imparciales de parámetros desconocidos. Y .

Como estimaciones Y Por lo general, la media estadística (muestra) y la varianza estadística (muestra) se eligen respectivamente:

; (8.11)

. (8.12)

La estimación de la expectativa matemática (8.11) es consistente según la ley de los grandes números (teorema de Chebyshev):

.

Expectativa matemática de una variable aleatoria.

.

Por lo tanto, la estimación es imparcial.

Dispersión de la estimación de la expectativa matemática:

Si la variable aleatoria
se distribuye según la ley normal, entonces la estimación también es eficaz.

Expectativa de estimación de la varianza

Al mismo tiempo

.

Porque
, A
, entonces obtenemos

. (8.13)

De este modo,
– una evaluación sesgada, aunque consistente y eficaz.

De la fórmula (8.13) se deduce que para obtener una estimación insesgada
la varianza muestral (8.12) debe modificarse de la siguiente manera:

que se considera "mejor" en comparación con la estimación (8.12), aunque en general estas estimaciones son casi iguales entre sí.

Métodos para obtener estimaciones de parámetros de distribución.

A menudo, en la práctica, se basa en un análisis del mecanismo físico que genera la variable aleatoria.
, podemos sacar una conclusión sobre la ley de distribución de esta variable aleatoria. Sin embargo, los parámetros de esta distribución se desconocen y deben estimarse a partir de los resultados experimentales, generalmente presentados en forma de muestra finita.
. Para resolver este problema, se utilizan con mayor frecuencia dos métodos: el método de los momentos y el método de máxima verosimilitud.

Método de momentos. El método consiste en equiparar momentos teóricos con momentos empíricos correspondientes del mismo orden.

Puntos de partida empíricos -ésimo orden están determinados por las fórmulas:

,

y los correspondientes momentos iniciales teóricos -ésimo orden - fórmulas:

para variables aleatorias discretas,

para variables aleatorias continuas,

Dónde – parámetro de distribución estimado.

Obtener estimaciones de los parámetros de una distribución que contiene dos parámetros desconocidos. Y , se compila un sistema de dos ecuaciones

Dónde Y – momentos centrales teóricos y empíricos de segundo orden.

La solución al sistema de ecuaciones son las estimaciones. Y parámetros de distribución desconocidos Y .

Igualando los momentos iniciales teóricos y empíricos de primer orden, obtenemos que al estimar la esperanza matemática de una variable aleatoria
, que tiene una distribución arbitraria, será la media muestral, es decir
. Luego, igualando los momentos centrales teóricos y empíricos de segundo orden, obtenemos que la estimación de la varianza de la variable aleatoria
, que tiene una distribución arbitraria, está determinada por la fórmula

.

De manera similar, se pueden encontrar estimaciones de momentos teóricos de cualquier orden.

El método de los momentos es simple y no requiere cálculos complejos, pero las estimaciones obtenidas mediante este método suelen ser ineficaces.

Método de máxima verosimilitud. El método de máxima verosimilitud para la estimación puntual de parámetros de distribución desconocidos se reduce a encontrar el máximo de la función de uno o más parámetros estimados.

Dejar
es una variable aleatoria continua, que como resultado las pruebas tomaron valores
. Para obtener una estimación de un parámetro desconocido es necesario encontrar tal valor , en el que la probabilidad de implementar la muestra resultante sería máxima. Porque
representar cantidades mutuamente independientes con la misma densidad de probabilidad
, Eso función de probabilidad llamar a la función de argumento :

Por estimación de máxima verosimilitud del parámetro este valor se llama , en el que la función de verosimilitud alcanza un máximo, es decir, es una solución de la ecuación

,

que claramente depende de los resultados de la prueba
.

Dado que las funciones
Y
alcanzar un máximo en los mismos valores
, luego, para simplificar los cálculos, suelen utilizar la función de probabilidad logarítmica y buscar la raíz de la ecuación correspondiente.

,

que se llama ecuación de probabilidad.

Si necesita evaluar varios parámetros
distribución
, entonces la función de verosimilitud dependerá de estos parámetros. Para encontrar estimaciones
parámetros de distribución es necesario resolver el sistema ecuaciones de probabilidad

.

El método de máxima verosimilitud proporciona estimaciones consistentes y asintóticamente eficientes. Sin embargo, las estimaciones obtenidas mediante el método de máxima verosimilitud están sesgadas y, además, para encontrar estimaciones, a menudo es necesario resolver sistemas de ecuaciones bastante complejos.

Estimaciones de parámetros de intervalo

La precisión de las estimaciones puntuales se caracteriza por su varianza. Sin embargo, no hay información sobre qué tan cerca están las estimaciones obtenidas de los valores reales de los parámetros. En una serie de tareas, no sólo es necesario buscar el parámetro valor numérico adecuado, sino también para evaluar su precisión y fiabilidad. Necesita descubrir qué errores puede provocar la sustitución de un parámetro su estimación puntual y con qué grado de confianza debemos esperar que estos errores no excedan los límites conocidos.

Estas tareas son especialmente relevantes cuando el número de experimentos es pequeño. , cuando la estimación puntual reemplazo en gran medida aleatorio y aproximado en puede dar lugar a errores importantes.

Una forma más completa y confiable de estimar los parámetros de distribución es determinar no un valor puntual único, sino un intervalo que, con una probabilidad dada, cubra el valor real del parámetro estimado.

Dejar según los resultados. experimentos, se obtuvo una estimación insesgada
parámetro . Es necesario evaluar el posible error. Se selecciona alguna probabilidad suficientemente grande
(por ejemplo), de modo que un evento con esta probabilidad pueda considerarse un evento prácticamente cierto, y se encuentre dicho valor , para lo cual

. (8.15)

En este caso, el rango de valores prácticamente posibles del error que se produce durante el reemplazo. en , voluntad
, y los errores que son grandes en valor absoluto aparecerán sólo con una baja probabilidad .

La expresión (8.15) significa que con probabilidad
valor de parámetro desconocido cae en el intervalo

. (8.16)

Probabilidad
llamado probabilidad de confianza, y el intervalo , cubriendo con probabilidad el verdadero valor del parámetro se llama intervalo de confianza. Tenga en cuenta que es incorrecto decir que el valor del parámetro se encuentra dentro del intervalo de confianza con probabilidad . La formulación utilizada (cubre) significa que aunque se desconoce el parámetro que se estima, este tiene un valor constante y por lo tanto no tiene dispersión ya que no es una variable aleatoria.

La expectativa es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.

Expectativa matemática, definición, expectativa matemática de variables aleatorias discretas y continuas, muestra, expectativa condicional, cálculo, propiedades, problemas, estimación de expectativa, dispersión, función de distribución, fórmulas, ejemplos de cálculo

Ampliar contenidos

Contraer contenido

La expectativa matemática es la definición.

Uno de los conceptos más importantes de la estadística matemática y la teoría de la probabilidad, que caracteriza la distribución de valores o probabilidades de una variable aleatoria. Normalmente se expresa como un promedio ponderado de todos los parámetros posibles de una variable aleatoria. Ampliamente utilizado en análisis técnico, estudio de series numéricas y estudio de procesos continuos y que requieren mucho tiempo. Es importante para evaluar riesgos, predecir indicadores de precios cuando se negocia en los mercados financieros y se utiliza para desarrollar estrategias y métodos de tácticas de juego en la teoría del juego.

La expectativa matemática es el valor promedio de una variable aleatoria, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria se considera en la teoría de la probabilidad.

La expectativa matemática es una medida del valor promedio de una variable aleatoria en la teoría de la probabilidad. Expectativa matemática de una variable aleatoria. incógnita denotado por M(x).

La expectativa matemática es

La expectativa matemática es en teoría de la probabilidad, promedio ponderado de todos los valores posibles que puede tomar una variable aleatoria.

La expectativa matemática es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria y las probabilidades de estos valores.

La expectativa matemática es el beneficio promedio de una decisión particular, siempre que dicha decisión pueda considerarse en el marco de la teoría de los grandes números y la larga distancia.

La expectativa matemática es En teoría del juego, la cantidad de ganancias que un jugador puede ganar o perder, en promedio, por cada apuesta. En el lenguaje del juego, esto a veces se denomina "ventaja del jugador" (si es positiva para el jugador) o "ventaja de la casa" (si es negativa para el jugador).

La expectativa matemática es el porcentaje de ganancia por ganancia multiplicado por la ganancia promedio, menos la probabilidad de pérdida multiplicada por la pérdida promedio.

Expectativa matemática de una variable aleatoria en teoría matemática.

Una de las características numéricas importantes de una variable aleatoria es su expectativa matemática. Introduzcamos el concepto de sistema de variables aleatorias. Consideremos un conjunto de variables aleatorias que son resultados del mismo experimento aleatorio. Si es uno de los valores posibles del sistema, entonces el evento corresponde a una cierta probabilidad que satisface los axiomas de Kolmogorov. Una función definida para cualquier valor posible de variables aleatorias se denomina ley de distribución conjunta. Esta función le permite calcular las probabilidades de cualquier evento. En particular, la ley de distribución conjunta de variables aleatorias y, que toman valores del conjunto y, está dada por probabilidades.

El término “expectativa matemática” fue introducido por Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) y proviene del concepto de “valor esperado de las ganancias”, que apareció por primera vez en el siglo XVII en la teoría del juego en las obras de Blaise Pascal y Christiaan. Huygens. Sin embargo, la primera comprensión y evaluación teórica completa de este concepto la dio Pafnuty Lvovich Chebyshev (mediados del siglo XIX).

La ley de distribución de variables numéricas aleatorias (función de distribución y series de distribución o densidad de probabilidad) describe completamente el comportamiento de una variable aleatoria. Pero en una serie de problemas basta con conocer algunas características numéricas de la cantidad en estudio (por ejemplo, su valor medio y posible desviación del mismo) para responder a la pregunta planteada. Las principales características numéricas de las variables aleatorias son la expectativa matemática, la varianza, la moda y la mediana.

La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de sus posibles valores y sus correspondientes probabilidades. A veces, la expectativa matemática se denomina promedio ponderado, ya que es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria durante una gran cantidad de experimentos. De la definición de expectativa matemática se deduce que su valor no es menor que el valor más pequeño posible de una variable aleatoria y no mayor que el mayor. La expectativa matemática de una variable aleatoria es una variable no aleatoria (constante).

La expectativa matemática tiene un significado físico simple: si colocas una unidad de masa en una línea recta, colocando una cierta masa en algunos puntos (para una distribución discreta), o “untándola” con una cierta densidad (para una distribución absolutamente continua) , entonces el punto correspondiente a la expectativa matemática será la coordenada "centro de gravedad" es recta.

El valor promedio de una variable aleatoria es un número determinado que es, por así decirlo, su "representante" y lo reemplaza en cálculos aproximados. Cuando decimos: "el tiempo medio de funcionamiento de la lámpara es de 100 horas" o "el punto de impacto medio se desplaza 2 m hacia la derecha con respecto al objetivo", estamos indicando una determinada característica numérica de una variable aleatoria que describe su ubicación en el eje numérico, es decir "características de la posición".

De las características de una posición en la teoría de la probabilidad, el papel más importante lo desempeña la expectativa matemática de una variable aleatoria, que a veces se denomina simplemente el valor promedio de una variable aleatoria.

Considere la variable aleatoria incógnita, teniendo valores posibles x1, x2,…, xn con probabilidades p1, p2,…, pn. Necesitamos caracterizar con algún número la posición de los valores de una variable aleatoria en el eje x, teniendo en cuenta que estos valores tienen diferentes probabilidades. Para ello, es natural utilizar el llamado “promedio ponderado” de los valores xi, y cada valor xi durante el promediado debe tenerse en cuenta con un "peso" proporcional a la probabilidad de este valor. Así, calcularemos el promedio de la variable aleatoria. incógnita, que denotamos M |X|:

Este promedio ponderado se llama expectativa matemática de la variable aleatoria. Por lo tanto, presentamos uno de los conceptos más importantes de la teoría de la probabilidad: el concepto de expectativa matemática. La expectativa matemática de una variable aleatoria es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria y las probabilidades de estos valores.

Que se produzca norte experimentos independientes, en cada uno de los cuales el valor incógnita adquiere un valor determinado. Supongamos que el valor x1 apareció m1 tiempos, valor x2 apareció m2 tiempos, significado general xi apareció mi veces. Calculemos la media aritmética de los valores observados del valor X, que, a diferencia de la expectativa matemática M|X| denotamos M*|X|:

Con un número cada vez mayor de experimentos norte frecuencias pi se acercará (convergirá en probabilidad) a las probabilidades correspondientes. En consecuencia, la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria. M|X| con un aumento en el número de experimentos se acercará (convergirá en probabilidad) a su expectativa matemática. La conexión entre la media aritmética y la expectativa matemática formulada anteriormente constituye el contenido de una de las formas de la ley de los grandes números.

Ya sabemos que todas las formas de la ley de los grandes números establecen el hecho de que algunos promedios son estables durante una gran cantidad de experimentos. Aquí estamos hablando de la estabilidad de la media aritmética a partir de una serie de observaciones de la misma cantidad. Con un número reducido de experimentos, la media aritmética de sus resultados es aleatoria; con un aumento suficiente en el número de experimentos, se vuelve "casi no aleatorio" y, al estabilizarse, se acerca a un valor constante: la expectativa matemática.

La estabilidad de los promedios en un gran número de experimentos puede verificarse fácilmente experimentalmente. Por ejemplo, al pesar un cuerpo en un laboratorio en balanzas precisas, como resultado del pesaje obtenemos cada vez un nuevo valor; Para reducir el error de observación, pesamos el cuerpo varias veces y utilizamos la media aritmética de los valores obtenidos. Es fácil ver que con un mayor aumento en el número de experimentos (pesajes), la media aritmética reacciona cada vez menos a este aumento y, con un número suficientemente grande de experimentos, prácticamente deja de cambiar.

Cabe señalar que la característica más importante de la posición de una variable aleatoria (la expectativa matemática) no existe para todas las variables aleatorias. Es posible componer ejemplos de tales variables aleatorias para las cuales no existe la expectativa matemática, ya que la suma o integral correspondiente diverge. Sin embargo, estos casos no son de gran interés para la práctica. Normalmente, las variables aleatorias con las que trabajamos tienen un rango limitado de valores posibles y, por supuesto, tienen una expectativa matemática.

Además de las características más importantes de la posición de una variable aleatoria (la expectativa matemática), en la práctica a veces se utilizan otras características de la posición, en particular, la moda y la mediana de la variable aleatoria.

La moda de una variable aleatoria es su valor más probable. El término "valor más probable" estrictamente hablando sólo se aplica a cantidades discontinuas; para una cantidad continua, la moda es el valor en el que la densidad de probabilidad es máxima. Las figuras muestran la moda para variables aleatorias discontinuas y continuas, respectivamente.

Si el polígono de distribución (curva de distribución) tiene más de un máximo, la distribución se denomina "multimodal".

A veces hay distribuciones que tienen un mínimo en el medio en lugar de un máximo. Estas distribuciones se denominan “antimodales”.

En el caso general, la moda y la expectativa matemática de una variable aleatoria no coinciden. En el caso particular, cuando la distribución es simétrica y modal (es decir, tiene una moda) y existe una expectativa matemática, entonces coincide con la moda y el centro de simetría de la distribución.

A menudo se utiliza otra característica de posición: la llamada mediana de una variable aleatoria. Esta característica suele usarse sólo para variables aleatorias continuas, aunque puede definirse formalmente para una variable discontinua. Geométricamente, la mediana es la abscisa del punto en el que el área encerrada por la curva de distribución se divide por la mitad.

En el caso de una distribución modal simétrica, la mediana coincide con la expectativa matemática y la moda.

La expectativa matemática es el valor promedio de una variable aleatoria, una característica numérica de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. De la forma más general, la expectativa matemática de una variable aleatoria. X(w) se define como la integral de Lebesgue con respecto a la medida de probabilidad R en el espacio de probabilidad original:

La expectativa matemática también se puede calcular como la integral de Lebesgue de incógnita por distribución de probabilidad píxeles cantidades incógnita:

El concepto de variable aleatoria con expectativa matemática infinita se puede definir de forma natural. Un ejemplo típico son los tiempos de retorno de algunos paseos aleatorios.

Utilizando la expectativa matemática se determinan muchas características numéricas y funcionales de una distribución (como la expectativa matemática de las funciones correspondientes de una variable aleatoria), por ejemplo, la función generadora, la función característica, los momentos de cualquier orden, en particular la dispersión, la covarianza. .

La expectativa matemática es una característica de la ubicación de los valores de una variable aleatoria (el valor promedio de su distribución). En esta capacidad, la expectativa matemática sirve como un parámetro de distribución "típico" y su papel es similar al papel del momento estático - la coordenada del centro de gravedad de la distribución de masa - en mecánica. De otras características de la ubicación con la ayuda de las cuales se describe la distribución en términos generales (medianas, modas, expectativa matemática) se diferencia en el mayor valor que ella y la característica de dispersión correspondiente (dispersión) tienen en los teoremas límite de la teoría de la probabilidad. El significado de la expectativa matemática se revela más plenamente en la ley de los grandes números (la desigualdad de Chebyshev) y la ley reforzada de los grandes números.

Expectativa de una variable aleatoria discreta

Sea alguna variable aleatoria que pueda tomar uno de varios valores numéricos (por ejemplo, el número de puntos al lanzar un dado puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6). A menudo, en la práctica, para tal valor surge la pregunta: ¿qué valor se toma "en promedio" con una gran cantidad de pruebas? ¿Cuál será nuestro ingreso (o pérdida) promedio de cada una de las transacciones riesgosas?

Digamos que hay algún tipo de lotería. Queremos entender si es rentable o no participar en él (o incluso participar de forma repetida, regular). Digamos que uno de cada cuatro boletos es ganador, el premio será de 300 rublos y el precio de cualquier boleto será de 100 rublos. Con un número infinitamente grande de participaciones, esto es lo que sucede. En tres cuartas partes de los casos perderemos, cada tres pérdidas nos costará 300 rublos. En uno de cada cuatro casos ganaremos 200 rublos. (premio menos costo), es decir, por cuatro participaciones perdemos en promedio 100 rublos, por una, en promedio 25 rublos. En total, el precio medio de nuestra ruina será de 25 rublos por billete.

Tiramos los dados. Si no es hacer trampa (sin cambiar el centro de gravedad, etc.), ¿cuántos puntos tendremos en promedio a la vez? Como cada opción es igualmente probable, simplemente tomamos la media aritmética y obtenemos 3,5. Dado que esto es PROMEDIO, no hay necesidad de indignarse porque ninguna tirada específica dará 3,5 puntos; bueno, ¡este cubo no tiene una cara con ese número!

Ahora resumamos nuestros ejemplos:

Miremos la imagen que acabamos de dar. A la izquierda hay una tabla de distribución de una variable aleatoria. El valor X puede tomar uno de n valores posibles (indicados en la línea superior). No puede haber otros significados. Debajo de cada valor posible está su probabilidad. A la derecha está la fórmula, donde M(X) se llama expectativa matemática. El significado de este valor es que con un gran número de pruebas (con una muestra grande), el valor promedio tenderá a esta misma expectativa matemática.

Volvamos de nuevo al mismo cubo de juego. La expectativa matemática del número de puntos al lanzar es 3,5 (calcula tú mismo usando la fórmula si no me crees). Digamos que lo arrojaste un par de veces. Los resultados fueron 4 y 6. La media fue 5, lo que dista mucho del 3,5. Lo lanzaron una vez más, obtuvieron 3, es decir, en promedio (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... De alguna manera lejos de la expectativa matemática. Ahora haz un experimento loco: ¡haz rodar el cubo 1000 veces! E incluso si el promedio no es exactamente 3,5, estará cerca de eso.

Calculemos la expectativa matemática para la lotería descrita anteriormente. La placa quedará así:

Entonces la expectativa matemática será, como establecimos anteriormente:

Otra cosa es que sería difícil hacerlo “con los dedos” sin fórmula si hubiera más opciones. Bueno, digamos que habría un 75% de billetes perdedores, un 20% de billetes ganadores y un 5% de billetes especialmente ganadores.

Ahora algunas propiedades de la expectativa matemática.

Es fácil de demostrar:

El factor constante se puede sacar como signo de la expectativa matemática, es decir:

Este es un caso especial de la propiedad de linealidad de la expectativa matemática.

Otra consecuencia de la linealidad de la expectativa matemática:

es decir, la expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de variables aleatorias.

Sean X, Y variables aleatorias independientes., Entonces:

Esto también es fácil de probar) Trabajo XY en sí es una variable aleatoria, y si los valores iniciales pudieran tomar norte Y metro valores en consecuencia, entonces XY puede tomar valores nm. La probabilidad de cada valor se calcula basándose en el hecho de que se multiplican las probabilidades de eventos independientes. Como resultado, obtenemos esto:

Expectativa de una variable aleatoria continua

Las variables aleatorias continuas tienen una característica como la densidad de distribución (densidad de probabilidad). Básicamente, caracteriza la situación en la que una variable aleatoria toma algunos valores del conjunto de números reales con más frecuencia y otros con menos frecuencia. Por ejemplo, considere este gráfico:

Aquí incógnita- variable aleatoria real, f(x)- densidad de distribución. A juzgar por este gráfico, durante los experimentos el valor incógnita A menudo será un número cercano a cero. Las posibilidades se superan 3 o ser más pequeño -3 más bien puramente teórico.

Sea, por ejemplo, una distribución uniforme:

Esto es bastante consistente con la comprensión intuitiva. Digamos que si obtenemos muchos números reales aleatorios con una distribución uniforme, cada uno de los segmentos |0; 1| , entonces la media aritmética debería ser aproximadamente 0,5.

Las propiedades de la expectativa matemática (linealidad, etc.) aplicables a variables aleatorias discretas también se aplican aquí.

Relación entre expectativa matemática y otros indicadores estadísticos

En el análisis estadístico, junto con la expectativa matemática, existe un sistema de indicadores interdependientes que reflejan la homogeneidad de los fenómenos y la estabilidad de los procesos. Los indicadores de variación a menudo no tienen un significado independiente y se utilizan para análisis de datos adicionales. La excepción es el coeficiente de variación, que caracteriza la homogeneidad de los datos, que es una característica estadística valiosa.

El grado de variabilidad o estabilidad de los procesos en la ciencia estadística se puede medir utilizando varios indicadores.

El indicador más importante que caracteriza la variabilidad de una variable aleatoria es Dispersión, que está más estrecha y directamente relacionado con la expectativa matemática. Este parámetro se utiliza activamente en otros tipos de análisis estadístico (prueba de hipótesis, análisis de relaciones causa-efecto, etc.). Al igual que la desviación lineal promedio, la varianza también refleja el grado de dispersión de los datos alrededor del valor medio.

Es útil traducir el lenguaje de signos al lenguaje de palabras. Resulta que la dispersión es el cuadrado promedio de las desviaciones. Es decir, primero se calcula el valor promedio, luego se toma la diferencia entre cada valor original y promedio, se eleva al cuadrado, se suma y luego se divide por el número de valores de la población. La diferencia entre un valor individual y el promedio refleja la medida de la desviación. Se eleva al cuadrado para que todas las desviaciones se conviertan en números exclusivamente positivos y para evitar la destrucción mutua de las desviaciones positivas y negativas al sumarlas. Luego, dadas las desviaciones al cuadrado, simplemente calculamos la media aritmética. Promedio - cuadrado - desviaciones. Las desviaciones se elevan al cuadrado y se calcula el promedio. La respuesta a la palabra mágica “dispersión” se encuentra en sólo tres palabras.

Sin embargo, en su forma pura, como la media aritmética o índice, no se utiliza la dispersión. Es más bien un indicador auxiliar e intermedio que se utiliza para otros tipos de análisis estadístico. Ni siquiera tiene una unidad de medida normal. A juzgar por la fórmula, este es el cuadrado de la unidad de medida de los datos originales.

Medimos una variable aleatoria norte veces, por ejemplo, medimos la velocidad del viento diez veces y queremos encontrar el valor medio. ¿Cómo se relaciona el valor promedio con la función de distribución?

O tiraremos los dados un gran número de veces. El número de puntos que aparecerán en los dados con cada lanzamiento es una variable aleatoria y puede tomar cualquier valor natural de 1 a 6. La media aritmética de los puntos perdidos calculada para todos los lanzamientos de dados también es una variable aleatoria, pero para grandes norte tiende a un número muy específico - expectativa matemática mx. En este caso Mx = 3,5.

¿Cómo obtuviste este valor? Dejar entrar norte pruebas n1 una vez que obtengas 1 punto, n2 una vez - 2 puntos y así sucesivamente. Luego, el número de resultados en los que cayó un punto:

Lo mismo ocurre con los resultados cuando se obtienen 2, 3, 4, 5 y 6 puntos.

Supongamos ahora que conocemos la ley de distribución de la variable aleatoria x, es decir, sabemos que la variable aleatoria x puede tomar valores x1, x2, ..., xk con probabilidades p1, p2, ..., paquete.

La expectativa matemática Mx de una variable aleatoria x es igual a:

La expectativa matemática no siempre es una estimación razonable de alguna variable aleatoria. Así, para estimar el salario medio, es más razonable utilizar el concepto de mediana, es decir, un valor tal que coincida el número de personas que reciben un salario inferior a la mediana y uno superior.

La probabilidad p1 de que la variable aleatoria x sea menor que x1/2 y la probabilidad p2 de que la variable aleatoria x sea mayor que x1/2 son iguales e iguales a 1/2. La mediana no se determina de forma única para todas las distribuciones.

Desviación estándar o estándar en estadística, se llama el grado de desviación de los datos o conjuntos de observación del valor PROMEDIO. Denotado por las letras s o s. Una desviación estándar pequeña indica que los datos se agrupan alrededor de la media, mientras que una desviación estándar grande indica que los datos iniciales se encuentran lejos de ella. La desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de una cantidad llamada varianza. Es el promedio de la suma de las diferencias al cuadrado de los datos iniciales que se desvían del valor promedio. La desviación estándar de una variable aleatoria es la raíz cuadrada de la varianza:

Ejemplo. En condiciones de prueba, al disparar a un objetivo, calcule la dispersión y la desviación estándar de la variable aleatoria:

Variación- fluctuación, variabilidad del valor de una característica entre unidades de la población. Los valores numéricos individuales de una característica encontrada en la población en estudio se denominan variantes de valores. La insuficiencia del valor medio para caracterizar completamente a la población nos obliga a complementar los valores medios con indicadores que permitan evaluar la tipicidad de estos promedios midiendo la variabilidad (variación) de la característica en estudio. El coeficiente de variación se calcula mediante la fórmula:

Rango de variación(R) representa la diferencia entre los valores máximo y mínimo del atributo en la población en estudio. Este indicador da la idea más general de la variabilidad de la característica en estudio, ya que muestra la diferencia solo entre los valores máximos de las opciones. La dependencia de los valores extremos de una característica le da al alcance de la variación un carácter inestable y aleatorio.

Desviación lineal promedio representa la media aritmética de las desviaciones absolutas (módulo) de todos los valores de la población analizada de su valor promedio:

Expectativa matemática en la teoría del juego.

La expectativa matemática es La cantidad promedio de dinero que un jugador puede ganar o perder en una apuesta determinada. Este es un concepto muy importante para el jugador porque es fundamental para la evaluación de la mayoría de situaciones de juego. La expectativa matemática es también la herramienta óptima para analizar diseños básicos de cartas y situaciones de juego.

Digamos que estás jugando un juego de monedas con un amigo, haciendo una apuesta igual de $1 cada vez, independientemente de lo que surja. Cruz significa que ganas, cara significa que pierdes. Las probabilidades de que salga cara son de uno a uno, por lo que usted apuesta entre $1 y $1. Por lo tanto, su expectativa matemática es cero, porque Desde un punto de vista matemático, no puedes saber si ganarás o perderás después de dos lanzamientos o después de 200.

Su ganancia por hora es cero. Las ganancias por hora son la cantidad de dinero que esperas ganar en una hora. Puedes lanzar una moneda 500 veces en una hora, pero no ganarás ni perderás porque... tus posibilidades no son ni positivas ni negativas. Si nos fijamos, desde el punto de vista de un jugador serio, este sistema de apuestas no está nada mal. Pero esto es simplemente una pérdida de tiempo.

Pero digamos que alguien quiere apostar $2 contra tu $1 en el mismo juego. Entonces inmediatamente tendrá una expectativa positiva de 50 céntimos por cada apuesta. ¿Por qué 50 centavos? En promedio, se gana una apuesta y se pierde la segunda. Apuesta el primer dólar y perderás 1 dólar, apuesta el segundo y ganarás 2 dólares. Apuestas 1$ dos veces y llevas 1$ de ventaja. Entonces cada una de tus apuestas de un dólar te dio 50 centavos.

Si una moneda aparece 500 veces en una hora, tus ganancias por hora ya serán de $250, porque... En promedio, perdiste un dólar 250 veces y ganaste dos dólares 250 veces. $500 menos $250 equivalen a $250, que son las ganancias totales. Tenga en cuenta que el valor esperado, que es la cantidad promedio que gana por apuesta, es de 50 centavos. Ganaste $250 apostando un dólar 500 veces, lo que equivale a 50 centavos por apuesta.

La expectativa matemática no tiene nada que ver con resultados a corto plazo. Su oponente, que decidió apostar $2 contra usted, podría ganarle en los primeros diez lanzamientos seguidos, pero usted, teniendo una ventaja de apuesta de 2 a 1, en igualdad de condiciones, ganará 50 centavos por cada $1 apostado en cualquier circunstancias. No importa si ganas o pierdes una o varias apuestas, siempre y cuando tengas suficiente dinero en efectivo para cubrir cómodamente los costes. Si continúa apostando de la misma manera, después de un largo período de tiempo sus ganancias se acercarán a la suma de las expectativas en los tiros individuales.

Cada vez que haces una mejor apuesta (una apuesta que puede resultar rentable a largo plazo), cuando las probabilidades están a tu favor, estás obligado a ganar algo con ella, sin importar si lo pierdes o no en el futuro. mano dada. Por el contrario, si haces una apuesta no favorita (una apuesta que no es rentable a largo plazo) cuando las probabilidades están en tu contra, perderás algo independientemente de si ganas o pierdes la mano.

Realiza una apuesta con el mejor resultado si sus expectativas son positivas y será positiva si las probabilidades están de su lado. Cuando haces una apuesta con el peor resultado, tienes una expectativa negativa, lo que ocurre cuando las probabilidades están en tu contra. Los jugadores serios sólo apuestan por el mejor resultado; si sucede lo peor, se retiran. ¿Qué significan las probabilidades a tu favor? Es posible que acabe ganando más de lo que aportan las probabilidades reales. Las probabilidades reales de conseguir cara son de 1 a 1, pero obtienes 2 a 1 debido a la relación de probabilidades. En este caso, las probabilidades están a tu favor. Definitivamente obtendrás el mejor resultado con una expectativa positiva de 50 centavos por apuesta.

Aquí hay un ejemplo más complejo de expectativa matemática. Un amigo escribe los números del uno al cinco y apuesta $5 contra tu $1 a que no adivinarás el número. ¿Deberías aceptar tal apuesta? ¿Cuál es la expectativa aquí?

En promedio te equivocarás cuatro veces. En base a esto, las probabilidades en contra de que adivine el número son de 4 a 1. Las probabilidades en contra de que pierda un dólar en un solo intento. Sin embargo, ganas 5 a 1, con posibilidad de perder 4 a 1. Entonces las probabilidades están a tu favor, puedes aceptar la apuesta y esperar el mejor resultado. Si haces esta apuesta cinco veces, en promedio perderás $1 cuatro veces y ganarás $5 una vez. En base a esto, por los cinco intentos ganarás $1 con una expectativa matemática positiva de 20 centavos por apuesta.

Un jugador que espera ganar más de lo que apuesta, como en el ejemplo anterior, se arriesga. Por el contrario, arruina sus posibilidades cuando espera ganar menos de lo que apuesta. Un apostador puede tener una expectativa positiva o negativa, lo que depende de si gana o arruina las cuotas.

Si apuestas $50 para ganar $10 con una probabilidad de ganar de 4 a 1, obtendrás una expectativa negativa de $2 porque... En promedio, ganará $10 cuatro veces y perderá $50 una vez, lo que demuestra que la pérdida por apuesta será de $10. Pero si apuestas $30 para ganar $10, con las mismas probabilidades de ganar 4 a 1, entonces en este caso tienes una expectativa positiva de $2, porque nuevamente gana $10 cuatro veces y pierde $30 una vez, obteniendo una ganancia de $10. Estos ejemplos muestran que la primera apuesta es mala y la segunda es buena.

La expectativa matemática es el centro de cualquier situación de juego. Cuando una casa de apuestas anima a los aficionados al fútbol a apostar 11 dólares para ganar 10 dólares, tiene una expectativa positiva de 50 centavos por cada 10 dólares. Si el casino paga dinero parejo de la línea de pase en los dados, entonces la expectativa positiva del casino será de aproximadamente $1,40 por cada $100, porque Este juego está estructurado para que quien apueste en esta línea pierda un 50,7% de media y gane un 49,3% del tiempo total. Sin duda, es esta expectativa positiva aparentemente mínima la que genera enormes beneficios a los propietarios de casinos de todo el mundo. Como señaló Bob Stupak, propietario del casino Vegas World, “una probabilidad negativa de una milésima de uno por ciento en una distancia suficientemente larga arruinará al hombre más rico del mundo”.

Expectativa al jugar al Poker

El juego de póquer es el ejemplo más ilustrativo e ilustrativo desde el punto de vista del uso de la teoría y las propiedades de la expectativa matemática.

El valor esperado en el póquer es el beneficio promedio de una decisión particular, siempre que dicha decisión pueda considerarse dentro del marco de la teoría de los grandes números y la larga distancia. Un juego de póquer exitoso consiste en aceptar siempre movimientos con un valor esperado positivo.

El significado matemático de la expectativa matemática al jugar al póquer es que a menudo nos encontramos con variables aleatorias al tomar decisiones (no sabemos qué cartas tiene el oponente en sus manos, qué cartas aparecerán en las siguientes rondas de apuestas). Debemos considerar cada una de las soluciones desde el punto de vista de la teoría de grandes números, que establece que con una muestra suficientemente grande, el valor promedio de una variable aleatoria tenderá a su expectativa matemática.

Entre las fórmulas particulares para calcular la expectativa matemática, la siguiente es la más aplicable en el póquer:

Al jugar al póquer, el valor esperado se puede calcular tanto para las apuestas como para las apuestas. En el primer caso, se debe tener en cuenta el fold Equity, en el segundo, las propias probabilidades del banco. Al evaluar la expectativa matemática de un movimiento en particular, debes recordar que un pliegue siempre tiene una expectativa cero. Así, descartar cartas siempre será una decisión más rentable que cualquier movimiento negativo.

La expectativa le dice lo que puede esperar (ganancias o pérdidas) por cada dólar que arriesga. Los casinos ganan dinero porque la expectativa matemática de todos los juegos que se juegan en ellos favorece al casino. Con una serie de juegos lo suficientemente larga, se puede esperar que el cliente pierda su dinero, ya que las "probabilidades" están a favor del casino. Sin embargo, los jugadores de casino profesionales limitan sus juegos a períodos cortos de tiempo, aumentando así las probabilidades a su favor. Lo mismo ocurre con la inversión. Si sus expectativas son positivas, puede ganar más dinero realizando muchas operaciones en un corto período de tiempo. La expectativa es su porcentaje de ganancia por ganancia multiplicado por su ganancia promedio, menos su probabilidad de pérdida multiplicada por su pérdida promedio.

El póquer también puede considerarse desde el punto de vista de la expectativa matemática. Puedes suponer que un determinado movimiento es rentable, pero en algunos casos puede que no sea el mejor porque otro movimiento es más rentable. Digamos que obtienes un full en un póquer de cinco cartas. Tu oponente hace una apuesta. Sabes que si subes la apuesta, él responderá. Por tanto, subir parece ser la mejor táctica. Pero si aumentas la apuesta, los dos jugadores restantes definitivamente se retirarán. Pero si igualas, tienes plena confianza en que los otros dos jugadores detrás de ti harán lo mismo. Cuando aumentas tu apuesta, obtienes una unidad y cuando simplemente igualas, obtienes dos. Por lo tanto, igualar le brinda un valor esperado positivo más alto y será la mejor táctica.

La expectativa matemática también puede dar una idea de qué tácticas de póquer son menos rentables y cuáles son más rentables. Por ejemplo, si juegas una determinada mano y crees que tu pérdida promediará 75 centavos incluyendo el ante, entonces deberías jugar esa mano porque esto es mejor que retirarse cuando la apuesta inicial es de 1 dólar.

Otra razón importante para entender el concepto de valor esperado es que te da una sensación de tranquilidad tanto si ganas la apuesta como si no: si hiciste una buena apuesta o te retiraste en el momento adecuado, sabrás que has ganado o no. ahorró una cierta cantidad de dinero que el jugador más débil no pudo ahorrar. Es mucho más difícil retirarse si estás molesto porque tu oponente sacó una mano más fuerte. Con todo esto, el dinero que ahorras al no jugar en lugar de apostar se suma a tus ganancias de la noche o del mes.

Sólo recuerda que si cambiaras de mano, tu oponente te habría igualado y, como verás en el artículo del Teorema fundamental del póquer, esta es solo una de tus ventajas. Deberías estar feliz cuando esto suceda. Incluso puedes aprender a disfrutar perdiendo una mano porque sabes que otros jugadores en tu posición habrían perdido mucho más.

Como se mencionó al principio en el ejemplo del juego de monedas, la tasa de ganancia por hora está interrelacionada con la expectativa matemática, y este concepto es especialmente importante para los jugadores profesionales. Cuando vayas a jugar al poker, debes estimar mentalmente cuánto puedes ganar en una hora de juego. En la mayoría de los casos necesitarás confiar en tu intuición y experiencia, pero también puedes usar algunas matemáticas. Por ejemplo, estás jugando al draw lowball y ves a tres jugadores apostar $10 y luego intercambiar dos cartas, lo cual es una muy mala táctica, puedes darte cuenta de que cada vez que apuestan $10, pierden alrededor de $2. Cada uno de ellos hace esto ocho veces por hora, lo que significa que los tres pierden aproximadamente $48 por hora. Usted es uno de los cuatro jugadores restantes que son aproximadamente iguales, por lo que estos cuatro jugadores (y usted entre ellos) deben dividir $48, cada uno obteniendo una ganancia de $12 por hora. Tus probabilidades por hora en este caso son simplemente iguales a tu parte de la cantidad de dinero perdida por tres malos jugadores en una hora.

Durante un largo período de tiempo, las ganancias totales del jugador son la suma de sus expectativas matemáticas en manos individuales. Cuantas más manos juegues con expectativas positivas, más ganarás y, a la inversa, cuantas más manos juegues con expectativas negativas, más perderás. Como resultado, debes elegir un juego que pueda maximizar tu anticipación positiva o anular tu anticipación negativa para que puedas maximizar tus ganancias por hora.

Expectativa matemática positiva en la estrategia de juego.

Si sabes contar cartas, puedes tener ventaja sobre el casino si no se dan cuenta y te echan. A los casinos les encantan los jugadores borrachos y no toleran a los jugadores que cuentan cartas. Una ventaja te permitirá ganar más veces de las que pierdes con el tiempo. Una buena gestión del dinero utilizando cálculos del valor esperado puede ayudarle a obtener más beneficios y reducir sus pérdidas. Sin una ventaja, es mejor donar el dinero a una organización benéfica. En el juego en bolsa, la ventaja la da el sistema de juego, que genera mayores ganancias que pérdidas, diferencias de precios y comisiones. Ninguna cantidad de administración de dinero puede salvar un mal sistema de juego.

Una expectativa positiva se define como un valor mayor que cero. Cuanto mayor sea este número, más fuerte será la expectativa estadística. Si el valor es menor que cero, entonces la expectativa matemática también será negativa. Cuanto mayor sea el módulo del valor negativo, peor será la situación. Si el resultado es cero, entonces la espera es un punto de equilibrio. Sólo puedes ganar cuando tienes una expectativa matemática positiva y un sistema de juego razonable. Jugar por intuición conduce al desastre.

Expectativa matemática y negociación de acciones.

La expectativa matemática es un indicador estadístico bastante utilizado y popular cuando se realizan operaciones cambiarias en los mercados financieros. En primer lugar, este parámetro se utiliza para analizar el éxito del comercio. No es difícil adivinar que cuanto mayor sea este valor, más razones habrá para considerar exitosa la operación en estudio. Por supuesto, el análisis del trabajo de un comerciante no se puede realizar utilizando únicamente este parámetro. Sin embargo, el valor calculado, en combinación con otros métodos para evaluar la calidad del trabajo, puede aumentar significativamente la precisión del análisis.

La expectativa matemática a menudo se calcula en los servicios de monitoreo de cuentas comerciales, lo que le permite evaluar rápidamente el trabajo realizado en el depósito. Las excepciones incluyen estrategias que utilizan operaciones no rentables "dejadas de lado". Un comerciante puede tener suerte durante algún tiempo y, por lo tanto, es posible que no haya ninguna pérdida en su trabajo. En este caso, no será posible guiarse únicamente por la expectativa matemática, porque no se tendrán en cuenta los riesgos utilizados en el trabajo.

En las operaciones de mercado, la expectativa matemática se utiliza con mayor frecuencia al predecir la rentabilidad de cualquier estrategia comercial o al predecir los ingresos de un operador basándose en datos estadísticos de sus operaciones anteriores.

Con respecto a la administración del dinero, es muy importante comprender que cuando se realizan operaciones con expectativas negativas, no existe ningún plan de administración del dinero que definitivamente pueda generar grandes ganancias. Si continúa jugando en el mercado de valores en estas condiciones, independientemente de cómo administre su dinero, perderá toda su cuenta, sin importar cuán grande fuera al principio.

Este axioma es válido no sólo para juegos o intercambios con expectativas negativas, sino que también lo es para juegos con iguales oportunidades. Por lo tanto, la única vez que tiene la oportunidad de obtener ganancias a largo plazo es si realiza operaciones con un valor esperado positivo.

La diferencia entre expectativas negativas y expectativas positivas es la diferencia entre la vida y la muerte. No importa cuán positiva o negativa sea la expectativa; Lo único que importa es si es positivo o negativo. Por lo tanto, antes de considerar la administración del dinero, debes encontrar un juego con expectativas positivas.

Si no tienes ese juego, entonces toda la administración de dinero del mundo no te salvará. Por otro lado, si tienes una expectativa positiva, puedes, mediante una adecuada gestión del dinero, convertirla en una función de crecimiento exponencial. ¡No importa cuán pequeña sea la expectativa positiva! En otras palabras, no importa cuán rentable sea un sistema comercial basado en un único contrato. Si tiene un sistema que gana $10 por contrato por operación (después de las comisiones y el deslizamiento), puede utilizar técnicas de administración de dinero para hacerlo más rentable que un sistema que promedia $1,000 por operación (después de la deducción de las comisiones y el deslizamiento).

Lo que importa no es cuán rentable fue el sistema, sino qué tan seguro se puede decir que mostrará al menos ganancias mínimas en el futuro. Por lo tanto, la preparación más importante que puede hacer un comerciante es asegurarse de que el sistema muestre un valor esperado positivo en el futuro.

Para tener un valor esperado positivo en el futuro, es muy importante no limitar los grados de libertad de su sistema. Esto se logra no sólo eliminando o reduciendo el número de parámetros a optimizar, sino también reduciendo tantas reglas del sistema como sea posible. Cada parámetro que agrega, cada regla que establece, cada pequeño cambio que realiza en el sistema reduce la cantidad de grados de libertad. Idealmente, necesita construir un sistema bastante primitivo y simple que genere constantemente pequeñas ganancias en casi cualquier mercado. Nuevamente, es importante que comprenda que no importa qué tan rentable sea el sistema, siempre que sea rentable. El dinero que gane en el comercio se obtendrá mediante una gestión eficaz del dinero.

Un sistema de comercio es simplemente una herramienta que le brinda un valor esperado positivo para que pueda utilizar la administración del dinero. Los sistemas que funcionan (muestran al menos ganancias mínimas) en sólo uno o unos pocos mercados, o que tienen diferentes reglas o parámetros para diferentes mercados, probablemente no funcionarán en tiempo real durante el tiempo suficiente. El problema con la mayoría de los comerciantes con orientación técnica es que dedican demasiado tiempo y esfuerzo a optimizar las diversas reglas y valores de parámetros del sistema comercial. Esto da resultados completamente opuestos. En lugar de perder energía y tiempo de computadora en aumentar las ganancias del sistema comercial, dirija su energía a aumentar el nivel de confiabilidad para obtener una ganancia mínima.

Sabiendo que la gestión del dinero es sólo un juego de números que requiere el uso de expectativas positivas, un operador puede dejar de buscar el "santo grial" del comercio de acciones. En su lugar, puede empezar a probar su método de negociación, descubrir qué tan lógico es este método y si genera expectativas positivas. Los métodos adecuados de gestión del dinero, aplicados a cualquier método comercial, incluso a los más mediocres, harán el resto del trabajo por sí solos.

Para que cualquier comerciante tenga éxito en su trabajo, necesita resolver tres tareas más importantes: . Garantizar que el número de transacciones exitosas supere los inevitables errores y errores de cálculo; Configure su sistema de comercio para que tenga la oportunidad de ganar dinero con la mayor frecuencia posible; Logre resultados positivos estables en sus operaciones.

Y aquí, para nosotros, los traders que trabajamos, las expectativas matemáticas pueden ser de gran ayuda. Este término es uno de los claves en la teoría de la probabilidad. Con su ayuda, puedes dar una estimación promedio de algún valor aleatorio. La expectativa matemática de una variable aleatoria es similar al centro de gravedad, si imagina todas las probabilidades posibles como puntos con diferentes masas.

En relación con una estrategia comercial, la expectativa matemática de ganancia (o pérdida) se utiliza con mayor frecuencia para evaluar su efectividad. Este parámetro se define como la suma de los productos de niveles dados de pérdidas y ganancias y la probabilidad de que ocurran. Por ejemplo, la estrategia comercial desarrollada supone que el 37% de todas las transacciones generarán ganancias y la parte restante (63%) no será rentable. Al mismo tiempo, el ingreso promedio de una transacción exitosa será de $7 y la pérdida promedio será de $1,4. Calculemos la expectativa matemática de operar usando este sistema:

¿Qué significa este número? Dice que, siguiendo las reglas de este sistema, en promedio recibiremos $1,708 por cada transacción cerrada. Dado que el índice de eficiencia resultante es mayor que cero, dicho sistema se puede utilizar para el trabajo real. Si como resultado del cálculo la expectativa matemática resulta negativa, esto ya indica una pérdida promedio y dicha negociación conducirá a la ruina.

La cantidad de beneficio por transacción también se puede expresar como un valor relativo en forma de%. Por ejemplo:

– porcentaje de ingresos por 1 transacción - 5%;

– porcentaje de operaciones comerciales exitosas: 62%;

– porcentaje de pérdida por 1 transacción - 3%;

– porcentaje de transacciones fallidas: 38%;

Es decir, el comercio medio arrojará un 1,96%.

Es posible desarrollar un sistema que, a pesar del predominio de operaciones no rentables, produzca un resultado positivo, ya que su MO>0.

Sin embargo, esperar por sí solo no es suficiente. Es difícil ganar dinero si el sistema da muy pocas señales comerciales. En este caso, su rentabilidad será comparable a los intereses bancarios. Supongamos que cada operación produzca en promedio sólo 0,5 dólares, pero ¿qué pasa si el sistema implica 1000 operaciones por año? Esta será una cantidad muy importante en un tiempo relativamente corto. De esto se deduce lógicamente que otra característica distintiva de un buen sistema comercial puede considerarse un corto período de mantenimiento de posiciones.

Fuentes y enlaces

dic.academic.ru – diccionario académico en línea

math.ru – sitio web educativo en matemáticas

nsu.ru – sitio web educativo de la Universidad Estatal de Novosibirsk

webmath.ru es un portal educativo para estudiantes, solicitantes y escolares.

exponenta.ru sitio web educativo matemático

ru.tradimo.com – escuela de comercio online gratuita

crypto.hut2.ru – recurso de información multidisciplinar

poker-wiki.ru – enciclopedia gratuita del póquer

sernam.ru – Biblioteca científica de publicaciones seleccionadas de ciencias naturales

reshim.su – sitio web SOLUCIONAREMOS los problemas de los cursos de prueba

unfx.ru – Forex en UNFX: formación, señales comerciales, gestión de confianza

slovopedia.com – Diccionario enciclopédico grande Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Tu guía en el mundo del poker

statanaliz.info – blog informativo “Análisis de datos estadísticos”

forex-trader.rf – Portal Forex-Trader

megafx.ru – análisis actuales de Forex

fx-by.com – todo para un comerciante

Parámetros de distribución y estadísticas.

Cualquier parámetro de la distribución de una variable aleatoria, por ejemplo, como la expectativa matemática o la varianza, son cantidades teóricas que no se pueden medir directamente, aunque se pueden estimar. Representan una característica cuantitativa. población y ellos mismos sólo pueden determinarse durante el modelado teórico como valores hipotéticos, ya que describen las características de la distribución de una variable aleatoria en la propia población general. Para determinarlos en la práctica, el investigador que realiza el experimento realiza una evaluación selectiva de los mismos. Esta evaluación implica cálculo estadístico.

Estadística es una característica cuantitativa de los parámetros estudiados que caracteriza la distribución de una variable aleatoria obtenida sobre la base de un estudio de valores muestrales. Las estadísticas se utilizan para describir la muestra en sí o, lo que es de suma importancia en la investigación experimental fundamental, para estimar los parámetros de distribución de una variable aleatoria en la población en estudio.

Separación de conceptos "parámetro" Y "estadística" es muy importante, ya que permite evitar una serie de errores asociados con la interpretación incorrecta de los datos obtenidos en el experimento. El hecho es que cuando estimamos los parámetros de distribución utilizando datos estadísticos, obtenemos valores que solo hasta cierto punto se acercan a los parámetros estimados. Casi siempre existe alguna diferencia entre los parámetros y las estadísticas y, por lo general, no podemos decir qué tan grande es esta diferencia. En teoría, cuanto más grande es la muestra, más se acercan los parámetros estimados a sus características muestrales. Sin embargo, esto no significa que al aumentar el tamaño de la muestra inevitablemente nos acercaremos al parámetro estimado y reduciremos la diferencia entre este y las estadísticas calculadas. En la práctica, todo puede resultar mucho más complicado.

Si, en teoría, el valor esperado de la estadística coincide con el parámetro estimado, entonces dicha estimación se llama no desplazado. Una estimación en la que el valor esperado del parámetro estimado difiere del parámetro en sí en una cierta cantidad se llama desplazado.

También se debe distinguir entre estimaciones puntuales y de intervalo de los parámetros de distribución. Lugar Se llama evaluación usando un número. Por ejemplo, si decimos que el valor del umbral espacial de sensibilidad táctil para un sujeto determinado en determinadas condiciones y en un área determinada de la piel es 21,8 mm, entonces dicha estimación será puntual. De la misma manera, se produce una estimación puntual cuando el informe meteorológico nos dice que hace 25°C fuera de la ventana. Estimación de intervalo Implica el uso de un conjunto o rango de números en una evaluación. Al evaluar el umbral espacial de la sensibilidad táctil, podemos decir que estaba en el rango de 20 a 25 mm. De manera similar, los meteorólogos pueden informar que, según sus pronósticos, la temperatura del aire en las próximas 24 horas alcanzará los 22-24°C. La estimación por intervalos de una variable aleatoria nos permite no solo determinar el valor deseado de esta cantidad, sino también establecer la posible precisión de dicha estimación.

Expectativa matemática y su evaluación.

Volvamos a nuestro experimento de lanzamiento de moneda.

Intentemos responder a la pregunta: ¿cuántas veces deberían caer “caras” si lanzamos una moneda diez veces? La respuesta parece obvia. Si las probabilidades de cada uno de los dos resultados son iguales, entonces los resultados mismos deben distribuirse equitativamente. En otras palabras, al lanzar una moneda común y corriente diez veces, podemos esperar que una de sus caras, por ejemplo, “cara”, salga exactamente cinco veces. De manera similar, al lanzar una moneda 100 veces, las “caras” deberían aparecer exactamente 50 veces, y si la moneda se lanza 4236 veces, entonces el lado que nos interesa debería aparecer 2118 veces, ni más ni menos.

Entonces, el significado teórico de un evento aleatorio generalmente se llama expectativa matemática. El valor esperado se puede encontrar multiplicando la probabilidad teórica de la variable aleatoria por el número de ensayos. Más formalmente, sin embargo, se define como un momento central de primer orden. Por tanto, la expectativa matemática es el valor de una variable aleatoria al que tiende teóricamente durante pruebas repetidas, alrededor del cual varía.

Está claro que el valor teórico de la expectativa matemática como parámetro de distribución no siempre es igual al valor empírico de la variable aleatoria que nos interesa, expresada en estadística. Si hacemos un experimento lanzando una moneda, entonces es muy probable que de diez resultados, "cara" salga sólo cuatro o tres veces, o tal vez, por el contrario, salga ocho veces, o tal vez nunca aparecerá en absoluto. Está claro que algunos de estos resultados resultan ser más probables y otros menos probables. Si utilizamos la ley de la distribución normal, podemos llegar a la conclusión de que cuanto más se desvíe el resultado del esperado teóricamente, especificado por el valor de la expectativa matemática, menos probable será en la práctica.

Supongamos además que hemos realizado un procedimiento similar varias veces y nunca hemos observado el valor teóricamente esperado. Entonces podemos tener dudas sobre la autenticidad de la moneda. Podemos suponer que para nuestra moneda la probabilidad de obtener cara no es en realidad del 50%. En este caso, puede ser necesario estimar la probabilidad de este evento y, en consecuencia, el valor de la expectativa matemática. Esta necesidad surge siempre que en un experimento estudiamos la distribución de una variable aleatoria continua, como el tiempo de reacción, sin tener ningún modelo teórico previo. Por regla general, este es el primer paso obligatorio en el procesamiento cuantitativo de los resultados experimentales.

La expectativa matemática se puede estimar de tres maneras, que en la práctica pueden dar resultados ligeramente diferentes, pero en teoría ciertamente deberían llevarnos al valor de la expectativa matemática.

La lógica de tal evaluación se ilustra en la Fig. 1.2. El valor esperado puede considerarse como la tendencia central en la distribución de una variable aleatoria. INCÓGNITA, como su valor más probable y por tanto más frecuente y como punto que divide la distribución en dos partes iguales.

Arroz. 1.2.

Continuaremos nuestros experimentos imaginarios con una moneda y realizaremos tres experimentos lanzándola diez veces. Supongamos que en el primer experimento las “caras” salieron cuatro veces, en el segundo experimento sucedió lo mismo, en el tercer experimento las “caras” salieron más de una vez y media más, siete veces. Es lógico suponer que la expectativa matemática del evento que nos interesa en realidad se encuentra en algún punto entre estos valores.

Primero, lo más simple método de evaluación La expectativa matemática será encontrar media aritmética. Entonces la estimación del valor esperado basada en las tres mediciones anteriores sería (4 + 4 + 7)/3 = 5. De manera similar, en experimentos de tiempo de reacción, el valor esperado se puede estimar tomando la media aritmética de todos los valores obtenidos. INCÓGNITA. Entonces, si gastamos norte mediciones del tiempo de reacción INCÓGNITA, entonces podemos usar la siguiente fórmula, que nos muestra que para calcular la media aritmética incógnita es necesario sumar todos los valores obtenidos empíricamente y dividirlos por el número de observaciones:

En la fórmula (1.2), la medida de la expectativa matemática generalmente se denota como ̅ incógnita (leído como "X con barra"), aunque a veces se puede escribir como METRO (del ingles significar - promedio).

La media aritmética es la estimación más comúnmente utilizada de la expectativa matemática. En tales casos, se supone que la variable aleatoria se mide en métrico escala. Está claro que el resultado obtenido puede coincidir o no con el verdadero valor de la expectativa matemática, que nunca sabemos. Es importante, sin embargo, que este método sea imparcial estimación de la expectativa matemática. Esto significa que el valor esperado del valor estimado es igual a su expectativa matemática: .

Segundo método de evaluación La expectativa matemática es tomar como valor el valor que ocurre con más frecuencia de la variable que nos interesa. Este valor se llama Modo de distribución. Por ejemplo, en el caso del lanzamiento de una moneda que acabamos de considerar, se puede tomar “cuatro” como valor de la expectativa matemática, ya que en las tres pruebas realizadas este valor apareció dos veces; Es por eso que el modo de distribución en este caso resultó ser igual a cuatro. La estimación modal se utiliza principalmente cuando el experimentador trabaja con variables que toman valores discretos especificados en no métrico escala.

Por ejemplo, al describir la distribución de las calificaciones de los estudiantes en un examen, se puede construir una distribución de frecuencia de las calificaciones recibidas por los estudiantes. Esta distribución de frecuencia se llama histograma. En este caso, la estimación más común puede tomarse como el valor de la tendencia central (expectativa matemática). Al estudiar variables caracterizadas por valores continuos, esta medida prácticamente no se utiliza o rara vez se utiliza. Sin embargo, si se construye la distribución de frecuencia de los resultados obtenidos, entonces, por regla general, no se trata de los valores obtenidos experimentalmente de la característica en estudio, sino de algunos intervalos de su manifestación. Por ejemplo, al estudiar la altura de las personas, se puede ver cuántas personas se encuentran dentro del rango de hasta 150 cm de altura, cuántas se encuentran dentro del rango de 150 a 155 cm, etc. En este caso la moda estará relacionada con los valores del intervalo de la característica que se está estudiando, en este caso la altura.

Está claro que la moda, al igual que la media aritmética, puede coincidir o no con el valor real de la expectativa matemática. Pero al igual que la media aritmética, la moda es una estimación insesgada de la expectativa matemática.

Agreguemos que si dos valores en la muestra ocurren con la misma frecuencia, entonces dicha distribución se llama bimodal. Si tres o más valores en una muestra ocurren con la misma frecuencia, entonces se dice que dicha muestra no tiene moda. Tales casos, con un número suficientemente grande de observaciones, por regla general, indican que los datos se extraen de una población general, cuya naturaleza de distribución difiere de la normal.

Finalmente, tercer método de evaluación La expectativa matemática es dividir la muestra de sujetos según el parámetro que nos interesa exactamente por la mitad. La cantidad que caracteriza este límite se llama mediana distribuciones.

Supongamos que estamos presentes en una competición de esquí y una vez finalizada queremos evaluar cuáles de los atletas mostraron resultados por encima del promedio y cuáles por debajo. Si la composición de los participantes es más o menos uniforme, al evaluar el resultado promedio es lógico calcular la media aritmética. Supongamos, sin embargo, que entre los participantes profesionales hay varios aficionados. Son pocos, pero muestran resultados significativamente inferiores a otros. En este caso, puede suceder que de 100 participantes en el concurso, por ejemplo, 87 hayan obtenido resultados superiores a la media. Está claro que tal valoración de la tendencia media no siempre puede satisfacernos. En este caso, es lógico suponer que el resultado medio lo mostraron los participantes que ocuparon el puesto 50 o 51. Esta será la mediana de la distribución. Antes del 50.º finalista terminaron 49 participantes, después del 51.º también 49. Sin embargo, no está claro cuál de ellos debe tomarse como resultado promedio. Por supuesto, puede resultar que terminaron al mismo tiempo. Entonces no hay problema. El problema no surge cuando el número de observaciones es impar. En otros casos, sin embargo, se puede utilizar el promedio de los resultados de dos participantes.

La mediana es un caso especial del cuantil de una distribución. Cuantil es parte de la distribución. Formalmente, se puede definir como el valor integral de la distribución entre dos valores de una variable. INCÓGNITA. Así, el valor incógnita será la mediana de la distribución si el valor integral de la distribución (densidad de probabilidad) es de -∞ a incógnita igual al valor integral de la distribución de incógnita a +∞. Del mismo modo, la distribución se puede dividir en cuatro, diez o 100 partes. Estos cuantiles se denominan en consecuencia cuartiles, deciles Y percentiles. Hay otros tipos de cuantiles.

Al igual que los dos métodos anteriores para estimar la expectativa matemática, la mediana es una estimación insesgada de la expectativa matemática.

Teóricamente, se supone que si realmente estamos tratando con una distribución normal de una variable aleatoria, entonces las tres estimaciones de la expectativa matemática deberían dar el mismo resultado, ya que todas representan una variante. imparcial estimaciones del mismo parámetro de distribución de la variable aleatoria estimada (ver Fig. 1.2). Sin embargo, en la práctica esto rara vez ocurre. Esto puede deberse, en particular, a que la distribución analizada difiere de la normal. Pero la razón principal de tales discrepancias, por regla general, es que al estimar el valor de la expectativa matemática, se puede obtener un valor que difiere muy significativamente de su valor real. Sin embargo, como se señaló anteriormente, se ha demostrado en estadística matemática que cuantas más pruebas independientes se realicen de la variable considerada, más cerca debe estar el valor estimado del verdadero.

Por lo tanto, en la práctica, la elección del método para estimar la expectativa matemática no está determinada por el deseo de obtener una estimación más precisa y confiable de este parámetro, sino solo por consideraciones de conveniencia. Además, la escala de medición juega un cierto papel en la elección de un método para estimar la expectativa matemática, que refleja las observaciones de la variable aleatoria que se está evaluando.

Sea una variable aleatoria incógnita con expectativa matemática metro y varianza D, aunque se desconocen ambos parámetros. Por encima del valor incógnita producido norte experimentos independientes, como resultado de los cuales un conjunto de norte resultados numéricos x 1 , x 2 , …, x norte. Como estimación de la expectativa matemática, es natural proponer la media aritmética de los valores observados.

aquí como xyo Se consideran valores específicos (números) obtenidos como resultado. norte experimentos. Si tomamos otros (independientes de los anteriores) norte experimentos, entonces obviamente obtendremos un valor diferente. Si tomas más norte experimentos, entonces obtendremos otro valor nuevo. Denotemos por X yo variable aleatoria resultante de iº experimento, luego las implementaciones X yo Habrá números obtenidos de estos experimentos. Obviamente, la variable aleatoria X yo tendrá la misma función de densidad de probabilidad que la variable aleatoria original incógnita. También creemos que las variables aleatorias X yo Y xj son independientes cuando i, no igual j(varios experimentos independientes entre sí). Por lo tanto, reescribimos la fórmula (1) en una forma (estadística) diferente:

Demostremos que la estimación es insesgada:

Por tanto, la expectativa matemática de la media muestral es igual a la expectativa matemática verdadera de la variable aleatoria. metro. Este es un hecho bastante predecible y comprensible. En consecuencia, la media muestral (2) puede tomarse como una estimación de la expectativa matemática de una variable aleatoria. Ahora surge la pregunta: ¿qué sucede con la varianza de la estimación de la expectativa matemática a medida que aumenta el número de experimentos? Los cálculos analíticos muestran que

donde es la varianza de la estimación de la expectativa matemática (2), y D- varianza verdadera de la variable aleatoria incógnita.

De lo anterior se deduce que al aumentar norte(número de experimentos) la varianza de la estimación disminuye, es decir Cuanto más sumamos realizaciones independientes, más cercana a la expectativa matemática obtenemos una estimación.

Estimaciones de varianza matemática.

A primera vista, la evaluación más natural parece ser

donde se calcula usando la fórmula (2). Comprobemos si la estimación es imparcial. La fórmula (3) se puede escribir de la siguiente manera:

Sustituyamos la expresión (2) en esta fórmula:

Encontremos la expectativa matemática de la estimación de la varianza:

Dado que la varianza de una variable aleatoria no depende de cuál sea la expectativa matemática de la variable aleatoria, tomemos la expectativa matemática igual a 0, es decir metro = 0.