1. Circunferencia. Un círculo es una línea curva plana cerrada, cuyos puntos están a distancias iguales de un punto (O), llamado centro del círculo (Fig. 27).
El círculo se dibuja con un compás. Para ello, se coloca la pata afilada del compás en el centro y se gira la otra (con un lápiz) alrededor de la primera hasta que el extremo del lápiz dibuja un círculo completo. La distancia desde el centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio. De la definición se deduce que todos los radios de un círculo son iguales entre sí.
Un segmento de recta (AB) que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia y pasa por su centro se llama diámetro. Todos los diámetros de un círculo son iguales entre sí; el diámetro es igual a dos radios.
¿Cómo encontrar la circunferencia de un círculo? En casi algunos casos, la circunferencia se puede encontrar mediante medición directa. Esto se puede hacer, por ejemplo, al medir la circunferencia de objetos relativamente pequeños (cubo, vaso, etc.). Para ello, puedes utilizar una cinta métrica, una trenza o un cordón.
En matemáticas se utiliza la técnica de determinar indirectamente la circunferencia. Consiste en calcular utilizando una fórmula ya preparada, que ahora derivaremos.
Si tomamos varios objetos redondos grandes y pequeños (moneda, vaso, cubo, barril, etc.) y medimos la circunferencia y el diámetro de cada uno de ellos, obtendremos dos números para cada objeto (uno mide la circunferencia y otro es la longitud del diámetro). Naturalmente, para objetos pequeños estos números serán pequeños y para objetos grandes, grandes.
Sin embargo, si en cada uno de estos casos tomamos la relación de los dos números obtenidos (circunferencia y diámetro), luego, con una medición cuidadosa, encontraremos casi el mismo número. Denotemos la circunferencia del círculo con la letra. CON, diámetro longitud letra D, entonces su proporción se verá así CD. Las mediciones reales siempre van acompañadas de imprecisiones inevitables. Pero, habiendo completado el experimento indicado y realizado los cálculos necesarios, obtenemos la relación CD aproximadamente los siguientes números: 3,13; 3.14; 3.15. Estos números difieren muy poco entre sí.
En matemáticas, a través de consideraciones teóricas, se ha establecido que la proporción deseada CD nunca cambia y es igual a una fracción infinita no periódica, cuyo valor aproximado, con una precisión de diezmilésimas, es igual a 3,1416 . Esto significa que cada círculo es el mismo número de veces más largo que su diámetro. Este número suele denotarse con la letra griega. π (pi). Entonces la relación entre la circunferencia y el diámetro se escribirá de la siguiente manera: CD = π . Limitaremos este número a sólo centésimas, es decir, tomaremos π = 3,14.
Escribamos una fórmula para determinar la circunferencia.
Porque CD= π , Eso
do = πD
es decir, la circunferencia es igual al producto del número π por diámetro.
Tarea 1. Encuentra la circunferencia ( CON) de una habitación redonda si su diámetro es D= 5,5 metros.
Teniendo en cuenta lo anterior, debemos aumentar el diámetro en 3,14 veces para solucionar este problema:
5,5 3,14 = 17,27 (m).
Tarea 2. Encuentra el radio de una rueda cuya circunferencia es de 125,6 cm.
Esta tarea es la inversa de la anterior. Encontremos el diámetro de la rueda:
125,6: 3,14 = 40 (cm).
Encontremos ahora el radio de la rueda:
40:2 = 20 (cm).
2. Área de un círculo. Para determinar el área de un círculo, se podría dibujar un círculo de un radio determinado en papel, cubrirlo con papel cuadriculado transparente y luego contar las celdas dentro del círculo (Fig. 28).
Pero este método es inconveniente por muchas razones. En primer lugar, cerca del contorno del círculo se obtienen varias celdas incompletas, cuyo tamaño es difícil de juzgar. En segundo lugar, no se puede cubrir un objeto grande (un macizo de flores redondo, una piscina, una fuente, etc.) con una hoja de papel. En tercer lugar, después de contar las células, todavía no recibimos ninguna regla que nos permita resolver otro problema similar. Por eso actuaremos de manera diferente. Comparemos el círculo con alguna figura que nos resulte familiar y hagámoslo de la siguiente manera: corte un círculo de papel, primero córtelo por la mitad a lo largo del diámetro, luego corte cada mitad nuevamente por la mitad, cada cuarto nuevamente por la mitad, etc., hasta que Cortamos el círculo, por ejemplo, en 32 partes con forma de dientes (Fig. 29).
Luego los doblamos como se muestra en la Figura 30, es decir, primero disponemos 16 dientes en forma de sierra, luego metemos 15 dientes en los agujeros resultantes y, finalmente, cortamos el último diente restante por la mitad a lo largo del radio y coloque una parte a la izquierda y la otra a la derecha. Entonces obtendrás una figura parecida a un rectángulo.
La longitud de esta figura (base) es aproximadamente igual a la longitud del semicírculo y la altura es aproximadamente igual al radio. Luego, el área de dicha figura se puede encontrar multiplicando los números que expresan la longitud del semicírculo y la longitud del radio. Si denotamos el área de un círculo con la letra S, la circunferencia de una letra CON, letra de radio r, entonces podemos escribir la fórmula para determinar el área de un círculo:
que dice así: El área de un círculo es igual a la longitud del semicírculo multiplicada por el radio.
Tarea. Calcula el área de un círculo cuyo radio mide 4 cm. Primero calcula la longitud del círculo, luego la longitud del semicírculo y luego multiplícalo por el radio.
1) circunferencia CON = π D= 3,14·8 = 25,12 (cm).
2) Longitud del semicírculo do / 2 = 25,12:2= 12,56 (cm).
3) Área del círculo S = do / 2 r= 12,56 4 = 50,24 (cm cuadrados).
§ 118. Superficie y volumen de un cilindro.
Tarea 1. Encuentre el área de superficie total de un cilindro cuyo diámetro de base es de 20,6 cm y altura de 30,5 cm.
Tienen forma de cilindro (Fig. 31): un cubo, un vaso (no facetado), una cacerola y muchos otros objetos.
La superficie completa de un cilindro (como la superficie completa de un paralelepípedo rectangular) consta de una superficie lateral y las áreas de dos bases (Fig. 32).
Para imaginar claramente de qué estamos hablando, es necesario hacer con cuidado un modelo de cilindro con papel. Si restamos dos bases de este modelo, es decir, dos círculos, cortamos la superficie lateral a lo largo y la desdoblamos, quedará completamente claro cómo calcular la superficie total del cilindro. La superficie lateral se desplegará formando un rectángulo, cuya base es igual a la longitud del círculo. Por tanto, la solución al problema será la siguiente:
1) Circunferencia: 20,6 3,14 = 64,684 (cm).
2) Superficie lateral: 64,684 30,5 = 1972,862 (cm2).
3) Área de una base: 32,342 10,3 = 333,1226 (cm cuadrados).
4) Superficie del cilindro completo:
1972,862 + 333,1226 + 333,1226 = 2639,1072 (cm cuadrados) ≈ 2639 (cm cuadrados).
Tarea 2. Encuentre el volumen de un barril de hierro con forma de cilindro con dimensiones: diámetro de base 60 cm y altura 110 cm.
Para calcular el volumen de un cilindro, es necesario recordar cómo calculamos el volumen de un paralelepípedo rectangular (es útil leer el § 61).
Nuestra unidad de medida de volumen será el centímetro cúbico. Primero debes averiguar cuántos centímetros cúbicos se pueden colocar en el área de la base y luego multiplicar el número encontrado por la altura.
Para saber cuántos centímetros cúbicos se pueden colocar en el área de la base, debe calcular el área de la base del cilindro. Como la base es un círculo, debes encontrar el área del círculo. Luego, para determinar el volumen, multiplícalo por la altura. La solución al problema tiene la forma:
1) Circunferencia: 60 3,14 = 188,4 (cm).
2) Área del círculo: 94,2 30 = 2826 (cm cuadrados).
3) Volumen del cilindro: 2826.110 = 310.860 (cc. cm).
Respuesta. Volumen de la barrica 310,86 metros cúbicos. dm.
Si denotamos el volumen de un cilindro con la letra V, área base S, altura del cilindro h, entonces puedes escribir una fórmula para determinar el volumen de un cilindro:
V = S H
que dice así: El volumen de un cilindro es igual al área de la base multiplicada por la altura.
§ 119. Tablas para calcular la circunferencia de un círculo por diámetro.
Al resolver diversos problemas de producción, a menudo es necesario calcular la circunferencia. Imaginemos a un trabajador que produce piezas redondas según los diámetros que le especifican. Cada vez que conoce el diámetro, debe calcular la circunferencia. Para ahorrar tiempo y asegurarse contra errores, recurre a tablas ya preparadas que indican los diámetros y las longitudes de circunferencia correspondientes.
Presentaremos una pequeña parte de dichas tablas y le diremos cómo utilizarlas.
Sepa que el diámetro del círculo es de 5 m. Buscamos en la tabla en la columna vertical debajo de la letra. D número 5. Esta es la longitud del diámetro. Junto a este número (a la derecha, en la columna llamada “Circunferencia”) veremos el número 15,708 (m). Exactamente de la misma manera encontramos que si D= 10 cm, entonces la circunferencia es 31,416 cm.
Utilizando las mismas tablas, también puedes realizar cálculos inversos. Si conoces la circunferencia de un círculo, puedes encontrar el diámetro correspondiente en la tabla. Sea la circunferencia aproximadamente 34,56 cm. Busquemos en la tabla el número más cercano a este. Esto será 34,558 (diferencia 0,002). El diámetro correspondiente a esta circunferencia es de aproximadamente 11 cm.
Las tablas mencionadas aquí están disponibles en varios libros de referencia. En particular, se pueden encontrar en el libro “Tablas matemáticas de cuatro dígitos” de V. M. Bradis. y en el libro de problemas de aritmética de S. A. Ponomarev y N. I. Sirneva.
No importa en qué esfera de la economía trabaje una persona, consciente o inconscientemente utiliza el conocimiento matemático acumulado durante muchos siglos. Todos los días nos topamos con dispositivos y mecanismos que contienen círculos. Una rueda tiene forma redonda, la pizza, muchas verduras y frutas forman un círculo al cortarse, así como platos, tazas y mucho más. Sin embargo, no todo el mundo sabe calcular correctamente la circunferencia.
Para calcular la circunferencia de un círculo, primero debes recordar qué es un círculo. Este es el conjunto de todos los puntos del plano equidistantes de éste. Un círculo es un lugar geométrico de puntos en un plano ubicado dentro de un círculo. De lo anterior se deduce que el perímetro de un círculo y la circunferencia son lo mismo.
Métodos para encontrar la circunferencia de un círculo.
Además del método matemático para encontrar el perímetro de un círculo, también existen métodos prácticos.
- Tome una cuerda o cordón y envuélvalo una vez.
- Luego mide la cuerda, el número resultante será la circunferencia.
- Haga rodar el objeto redondo una vez y cuente la longitud del camino. Si la cosa es muy pequeña, puedes envolverla con cordel varias veces, luego desenrollar el hilo, medir y dividir por el número de vueltas.
- Encuentre el valor requerido usando la fórmula:
L = 2πr = πD ,
donde L es la longitud requerida;
π – constante, aproximadamente igual a 3,14 r – radio del círculo, la distancia desde su centro a cualquier punto;
D es el diámetro, es igual a dos radios.
Aplicando la fórmula para encontrar la circunferencia de un círculo.
- Ejemplo 1: una cinta de correr recorre un círculo con un radio de 47,8 metros. Calcula la longitud de esta cinta de correr, tomando π = 3,14.
L = 2πr =2*3,14*47,8 ≈ 300(m)
Respuesta: 300 metros
- Ejemplo 2. Una rueda de bicicleta, después de girar 10 veces, ha recorrido 18,85 metros. Encuentra el radio de la rueda.
18,85:10 =1,885 (m) es el perímetro de la rueda.
1,885: π = 1,885: 3,1416 ≈ 0,6(m) – diámetro requerido
Respuesta: diámetro de la rueda 0,6 metros.
El sorprendente número pi
A pesar de la aparente simplicidad de la fórmula, por alguna razón a muchos les resulta difícil recordarla. Aparentemente, esto se debe al hecho de que la fórmula contiene un número irracional π, que no está presente en las fórmulas para el área de otras figuras, por ejemplo, un cuadrado, un triángulo o un rombo. Sólo hay que recordar que se trata de una constante, es decir, una constante que significa la relación entre la circunferencia y el diámetro. Hace unos 4 mil años, la gente notó que la relación entre el perímetro de un círculo y su radio (o diámetro) es la misma para todos los círculos.
Los antiguos griegos aproximaron el número π con la fracción 22/7. Durante mucho tiempo, π se calculó como el promedio entre las longitudes de los polígonos inscritos y circunscritos en un círculo. En el siglo III d.C., un matemático chino realizó un cálculo para un 3072 gon y obtuvo un valor aproximado de π = 3,1416. Hay que recordar que π es siempre constante para cualquier círculo. Su designación con la letra griega π apareció en el siglo XVIII. Esta es la primera letra de las palabras griegas περιφέρεια - círculo y περίμετρος - perímetro. En el siglo XVIII se demostró que esta cantidad es irracional, es decir, no puede representarse en la forma m/n, donde m es un número entero y n es un número natural.
Un círculo consta de muchos puntos que están a distancias iguales del centro. Se trata de una figura geométrica plana y encontrar su longitud no es difícil. Una persona se encuentra con un círculo y un círculo todos los días, independientemente del campo en el que trabaje. Muchas verduras y frutas., dispositivos y mecanismos, platos y muebles tienen forma redonda. Un círculo es el conjunto de puntos que se encuentran dentro de los límites del círculo. Por tanto, la longitud de la figura es igual al perímetro del círculo.
Características de la figura.
Además de que la descripción del concepto de círculo es bastante sencilla, sus características también son fáciles de entender. Con su ayuda podrás calcular su longitud. La parte interior del círculo consta de muchos puntos, entre los cuales dos, A y B, se pueden ver en ángulo recto. Este segmento se llama diámetro y consta de dos radios.
Dentro del círculo hay puntos X tales, que no cambia y no es igual a la unidad, la relación AX/BX. En un círculo se debe cumplir esta condición; de lo contrario, esta figura no tiene forma de círculo. La regla se aplica a cada punto que compone la figura: la suma de los cuadrados de las distancias de estos puntos a los otros dos siempre excede la mitad de la longitud del segmento entre ellos.
Términos básicos del círculo
Para poder encontrar la longitud de una figura, es necesario conocer los términos básicos relacionados con ella. Los principales parámetros de la figura son diámetro, radio y cuerda. El radio es el segmento que conecta el centro del círculo con cualquier punto de su curva. La magnitud de una cuerda es igual a la distancia entre dos puntos de la curva de la figura. Diámetro - distancia entre puntos, pasando por el centro de la figura.
Fórmulas básicas para cálculos.
Los parámetros se utilizan en las fórmulas para calcular las dimensiones de un círculo:
Diámetro en fórmulas de cálculo.
En economía y matemáticas, a menudo existe la necesidad de encontrar la circunferencia de un círculo. Pero en la vida cotidiana podemos encontrarnos con esta necesidad, por ejemplo, al construir una valla alrededor de una piscina redonda. ¿Cómo calcular la circunferencia de un círculo por diámetro? En este caso, utilice la fórmula C = π*D, donde C es el valor deseado, D es el diámetro.
Por ejemplo, el ancho de la piscina es de 30 metros y los postes de la cerca están previstos para colocarse a una distancia de diez metros de ella. En este caso, la fórmula para calcular el diámetro es: 30+10*2 = 50 metros. El valor requerido (en este ejemplo, la longitud de la valla): 3,14*50 = 157 metros. Si los postes de la cerca están a una distancia de tres metros entre sí, se necesitarán un total de 52.
Cálculos de radio
¿Cómo calcular la circunferencia de un círculo a partir de un radio conocido? Para hacer esto, use la fórmula C = 2*π*r, donde C es la longitud, r es el radio. El radio de un círculo es la mitad del diámetro y esta regla puede resultar útil en la vida cotidiana. Por ejemplo, en el caso de preparar una tarta en forma deslizante.
Para evitar que el producto culinario se ensucie, es necesario utilizar un envoltorio decorativo. ¿Cómo cortar un círculo de papel del tamaño adecuado?
Aquellos que están un poco familiarizados con las matemáticas entienden que en este caso es necesario multiplicar el número π por el doble del radio de la forma utilizada. Por ejemplo, el diámetro de la forma es de 20 centímetros, respectivamente, su radio es de 10 centímetros. Usando estos parámetros, se encuentra el tamaño requerido del círculo: 2*10*3, 14 = 62,8 centímetros.
Métodos de cálculo prácticos
Si no es posible encontrar la circunferencia usando la fórmula, entonces debes usar los métodos disponibles para calcular este valor:
- Si un objeto redondo es pequeño, su longitud se puede encontrar enrollando una cuerda alrededor de él.
- El tamaño de un objeto grande se mide de la siguiente manera: se coloca una cuerda sobre una superficie plana y se hace rodar un círculo a lo largo de ella una vez.
- Los estudiantes y escolares modernos utilizan calculadoras para realizar cálculos. En línea, puede descubrir cantidades desconocidas utilizando parámetros conocidos.
Objetos redondos en la historia de la vida humana.
El primer producto de forma redonda que inventó el hombre fue la rueda. Las primeras estructuras eran pequeños troncos montados sobre un eje. Luego vinieron las ruedas hechas de radios y llantas de madera. Poco a poco, se fueron añadiendo piezas metálicas al producto para reducir el desgaste. Para conocer la longitud de las tiras metálicas de la tapicería de las ruedas, los científicos de siglos pasados buscaban una fórmula para calcular este valor.
Un torno de alfarero tiene la forma de una rueda., la mayoría de las piezas en mecanismos complejos, diseños de molinos de agua y ruecas. En la construcción se encuentran a menudo objetos redondos: marcos de ventanas redondas en estilo arquitectónico románico, ojos de buey en barcos. Arquitectos, ingenieros, científicos, mecánicos y diseñadores se enfrentan cada día en sus actividades profesionales a la necesidad de calcular las dimensiones de un círculo.
La calculadora de círculos es un servicio especialmente diseñado para calcular las dimensiones geométricas de formas en línea. Gracias a este servicio podrás determinar fácilmente cualquier parámetro de una figura a partir de un círculo. Por ejemplo: sabes el volumen de una pelota, pero necesitas obtener su área. ¡Nada podría ser más fácil! Seleccione la opción apropiada, ingrese un valor numérico y haga clic en el botón Calcular. El servicio no sólo muestra los resultados de los cálculos, sino que también proporciona las fórmulas mediante las cuales se realizaron. Con nuestro servicio, puede calcular fácilmente el radio, el diámetro, la circunferencia (perímetro de un círculo), el área de un círculo y una bola y el volumen de una bola.
Calcular radio
El problema de calcular el valor del radio es uno de los más comunes. La razón de esto es bastante simple, porque conociendo este parámetro, puedes determinar fácilmente el valor de cualquier otro parámetro de un círculo o bola. Nuestro sitio está construido exactamente sobre este esquema. Independientemente del parámetro inicial que haya elegido, primero se calcula el valor del radio y todos los cálculos posteriores se basan en él. Para una mayor precisión de los cálculos, el sitio utiliza Pi, redondeado al décimo decimal.
Calcular diámetro
Calcular el diámetro es el tipo de cálculo más sencillo que puede realizar nuestra calculadora. No es nada difícil obtener el valor del diámetro manualmente; para ello no es necesario recurrir a Internet. El diámetro es igual al valor del radio multiplicado por 2. El diámetro es el parámetro más importante de un círculo, que se utiliza con mucha frecuencia en la vida cotidiana. Absolutamente todo el mundo debería poder calcularlo y utilizarlo correctamente. Utilizando las capacidades de nuestro sitio web, calculará el diámetro con gran precisión en una fracción de segundo.
Descubre la circunferencia
Ni siquiera puedes imaginar cuántos objetos redondos hay a nuestro alrededor y el importante papel que desempeñan en nuestras vidas. La capacidad de calcular la circunferencia es necesaria para todos, desde un conductor común hasta un ingeniero de diseño líder. La fórmula para calcular la circunferencia es muy sencilla: D=2Pr. El cálculo se puede realizar fácilmente en una hoja de papel o utilizando este asistente en línea. La ventaja de este último es que ilustra todos los cálculos con imágenes. Y además, el segundo método es mucho más rápido.
Calcular el área de un círculo.
El área de un círculo, como todos los parámetros enumerados en este artículo, es la base de la civilización moderna. Poder calcular y conocer el área de un círculo es útil para todos los segmentos de la población sin excepción. Es difícil imaginar un campo de la ciencia y la tecnología en el que no fuera necesario conocer el área de un círculo. La fórmula de cálculo tampoco es difícil: S=PR 2. Esta fórmula y nuestra calculadora online te ayudarán a encontrar el área de cualquier círculo sin ningún esfuerzo adicional. Nuestro sitio garantiza una alta precisión de los cálculos y su ejecución ultrarrápida.
Calcular el área de una esfera.
La fórmula para calcular el área de una pelota no es más complicada que las fórmulas descritas en los párrafos anteriores. S=4Pr2. Este simple conjunto de letras y números ha brindado a las personas la capacidad de calcular con bastante precisión el área de una pelota durante muchos años. ¿Dónde se puede aplicar esto? ¡Sí en todas partes! Por ejemplo, sabes que el área del globo es de 510.100.000 kilómetros cuadrados. Es inútil enumerar dónde se puede aplicar el conocimiento de esta fórmula. El alcance de la fórmula para calcular el área de una esfera es demasiado amplio.
Calcular el volumen de la pelota.
Para calcular el volumen de la pelota, use la fórmula V = 4/3 (Pr 3). Se utilizó para crear nuestro servicio en línea. La web permite calcular el volumen de una bola en cuestión de segundos si se conoce alguno de los siguientes parámetros: radio, diámetro, circunferencia, área de un círculo o área de una bola. También puedes utilizarlo para cálculos inversos, por ejemplo, para conocer el volumen de una bola y obtener el valor de su radio o diámetro. Gracias por echar un vistazo rápido a las capacidades de nuestra calculadora circular. Esperamos que le haya gustado nuestro sitio y que ya lo haya marcado como favorito.
La circunferencia de un círculo está indicada por la letra. do y se calcula mediante la fórmula:
C = 2πR,
Dónde R - radio del círculo.
Derivación de la fórmula que expresa la circunferencia.
Los caminos C y C' son las longitudes de círculos de radios R y R'. Inscribamos un n-gón regular en cada uno de ellos y denotamos sus perímetros por P n y P" n, y sus lados por a n y a" n. Usando la fórmula para calcular el lado de un n-gón regular a n = 2R sen (180°/n) obtenemos:
P n = n a n = n 2R sen (180°/n),
P" n = n · a" n = n · 2R" sen (180°/n).
Por eso,
P n / P" n = 2R / 2R". (1)
Esta igualdad es válida para cualquier valor de n. Ahora aumentaremos el número n sin límite. Dado que P n → C, P" n → C", n → ∞, entonces el límite de la relación P n / P" n es igual a C / C". Por otro lado, en virtud de la igualdad (1), este límite es igual a 2R/2R". Así, C/C" = 2R/2R". De esta igualdad se deduce que C/2R = C"/2R" , es decir. . La razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es el mismo número para todos los círculos. Este número suele denotarse con la letra griega π (“pi”).
De la igualdad C/2R = π obtenemos la fórmula para calcular la circunferencia de un círculo de radio R:
C = 2πR.
Longitud del arco circular
Dado que la longitud del círculo completo es 2πR, entonces la longitud l de un arco de 1° es igual a 2πR / 360 = πR / 180.
Es por eso longitud l de un arco de círculo con medida en grados α expresado por la fórmula
l = (πR / 180) α.
