X = X promedio X

Absoluto

error

Relativo

error

a+ b

un+ b

un+ b

El problema se formula de la siguiente manera: sea la cantidad deseada z determinado a través de otras cantidades a, b, c, ... obtenido a partir de mediciones directas

z = f (a, b, c,...) (1.11)

Es necesario encontrar el valor promedio de la función y el error de sus mediciones, es decir encontrar el intervalo de confianza

con confiabilidad a y error relativo.

En cuanto a, se encuentra sustituyendo en el lado derecho de (11) en lugar de a, b, c,...sus valores medios

3. Estimar la mitad del ancho del intervalo de confianza para el resultado de mediciones indirectas.

,

donde las derivadas... se calculan en

4. Determinar el error relativo del resultado.

5. Si la dependencia de z de a, b, c,... tiene la forma , Dónde k,l,m‒ cualquier número real, entonces primero debes encontrar relativo error

y luego absoluto .

6. Escribe el resultado final en el formulario.

z = ± Dz , ε = …% en a = … .

Nota:

Al procesar los resultados de mediciones directas, se debe seguir la siguiente regla: los valores numéricos de todas las cantidades calculadas deben contener un dígito más que las cantidades originales (determinadas experimentalmente).

Para mediciones indirectas, los cálculos se realizan de acuerdo con reglas de cálculos aproximados:

Regla 1. Al sumar y restar números aproximados, debes:

a) seleccionar el término en el que el dígito dudoso tiene el dígito más alto;

b) redondear todos los demás términos al siguiente dígito (se conserva un dígito de repuesto);

c) realizar sumas (restas);

d) como resultado, descartar el último dígito redondeando (el dígito del dígito dudoso del resultado coincide con el mayor de los dígitos de los dígitos dudosos de los términos).

Ejemplo: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064.

En estos números los últimos dígitos significativos son dudosos (los incorrectos ya han sido descartados). Escribámoslos en la forma 543820 – 2918 + 35,8 + 0,064.

Se puede observar que en el primer término el número dudoso 2 tiene el dígito más alto (decenas). Redondeando todos los demás números al siguiente dígito y sumando, obtenemos

543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094 10 5.

Regla 2. Al multiplicar (dividir) números aproximados debes:

a) seleccione el número(s) con el menor número de cifras significativas ( SIGNIFICATIVO – números distintos de cero y ceros entre ellos);

b) redondear los números restantes para que tengan un dígito más significativo (se conserva un dígito de repuesto) que los asignados en el paso a;

c) multiplicar (dividir) los números resultantes;

d) como resultado, dejar tantas cifras significativas como había en el o los números con menor número de cifras significativas.

Ejemplo: .

Regla 3. Cuando se eleva a una potencia, al extraer una raíz, el resultado conserva tantos dígitos significativos como hay en el número original.

Ejemplo: .

Regla 4. Al encontrar el logaritmo de un número, la mantisa del logaritmo debe tener tantos dígitos significativos como los que hay en el número original:

Ejemplo: .

En la grabación final absoluto los errores solo deben dejarse una cifra significativa. (Si este dígito resulta ser 1, se almacena otro dígito después).

El valor promedio se redondea al mismo dígito que el error absoluto.

Por ejemplo: V= (375,21 0,03) cm3 = (3,7521 0,0003) cm3.

I= (5,530 0,013)A, A = J.

orden de trabajo

Determinación del diámetro del cilindro..

1. Con un calibre, mida el diámetro del cilindro 7 veces (en diferentes lugares y direcciones). Registre los resultados en una tabla.

Los errores en las cantidades medidas y tabuladas determinan los errores de DH av del valor determinado indirectamente, y la mayor contribución a DH av la realizan los valores menos precisos, que tienen el máximo error relativo. d. Por lo tanto, para aumentar la precisión de las mediciones indirectas, es necesario lograr la misma precisión de las mediciones directas.

(d A, d B, d C, ...).

Reglas para encontrar errores en mediciones indirectas:

1. Encuentra el logaritmo natural de la función dada.

ln(X = f(A,B,C,…));

2. Encuentre el diferencial total (sobre todas las variables) del logaritmo natural encontrado de la función dada;

3. Reemplace el signo del diferencial d con el signo del error absoluto D;

4. Reemplace todos los "menos" frente a errores absolutos. DA, DB, DC, ... a los "profesionales".

El resultado es la fórmula para el mayor error relativo. d x valor medido indirectamente X:

d x = = j (promedio A, promedio B, promedio C, ..., promedio DA, promedio DB, promedio DC, ...).(18)

Según el error relativo encontrado. d x determinar el error absoluto de medición indirecta:

DX av = dx. X promedio . (19)

El resultado de las mediciones indirectas se escribe en forma estándar y se representa en el eje numérico:

X = (X promedio ± DХ promedio), unidad (20)

Ejemplo:

Encuentra los valores de los errores relativos y promedio de una cantidad física. l, determinado indirectamente por la fórmula:

, (21)

Dónde π, gramo, t, k, α, β– cantidades cuyos valores se miden o se toman de tablas de referencia y se ingresan en una tabla de resultados de medición y datos tabulados (similar a la Tabla 1).

1. Calcular el valor medio. L promedio, sustituyendo los valores promedio de la tabla en (21) – π promedio, g promedio, t promedio, k promedio, α promedio, β promedio.

2. Determine el error relativo más grande. δL:

a). Fórmula logarítmica (21):

b). La expresión resultante (22) se diferencia:

c). Reemplace el signo del diferencial d con Δ, y los “menos” delante de los errores absolutos con “más”, y obtenga una expresión para el error relativo más grande. δL:

d). Sustituyendo los valores promedio de las cantidades de entrada y sus errores de la tabla de resultados de medición en la expresión resultante, calcule δL.

3. Luego calcula el error absoluto. ΔL promedio:

El resultado se registra en forma estándar y se representa gráficamente en el eje. l:

, unidades cambiar

ESTIMACIONES ELEMENTALES DE ERROR DE MEDICIÓN

Medir es encontrar experimentalmente el valor de una cantidad física con la ayuda de medios técnicos especiales: medidas, instrumentos de medición.

Una medida es un medio de medición que reproduce una cantidad física de un tamaño determinado: una unidad de medida, su valor múltiplo o fraccionario. Por ejemplo, pesa 1 kg, 5 kg, 10 kg.

Un dispositivo de medición es un instrumento de medición diseñado para generar una señal de información de medición en una forma accesible a la percepción directa por parte de un observador. Un dispositivo de medición le permite comparar directa o indirectamente el valor medido con medidas. Las mediciones también se dividen en directas e indirectas.

En mediciones directas, el valor deseado de la cantidad se encuentra directamente a partir de los datos básicos (experimentales).

En las mediciones indirectas, el valor deseado de una cantidad se encuentra sobre la base de una relación conocida entre esta cantidad y las cantidades sometidas a mediciones directas. El principio de medición es un conjunto de fenómenos físicos en los que se basan las mediciones.

Un método de medición es un conjunto de técnicas para utilizar principios e instrumentos de medición. El valor de una cantidad física, que idealmente reflejaría en términos cualitativos y cuantitativos la propiedad correspondiente de un objeto determinado, es el verdadero valor de la cantidad física. El valor de una cantidad física que se encuentra midiéndola es el resultado de la medición.

La desviación del resultado de la medición del valor real del valor medido es el error de medición.

El error de medición absoluto es el error de medición, expresado en unidades del valor medido e igual a la diferencia entre el resultado y el valor real del valor medido. La relación entre el error absoluto y el valor real de la cantidad medida es el error de medición relativo.

Las contribuciones al error de medición incluyen errores en los instrumentos de medición (error instrumental o del instrumento), imperfección del método de medición, error en la lectura en la escala del instrumento, influencias externas en los medios y objetos de medición y reacciones humanas retardadas a las señales de luz y sonido. .

Según la naturaleza de su manifestación, los errores se dividen en sistemáticos y aleatorios. Un evento aleatorio es un evento que, dado un conjunto dado de factores, puede ocurrir o no.

El error aleatorio es un componente del error de medición que cambia aleatoriamente con mediciones repetidas de la misma cantidad. Un rasgo característico de los errores aleatorios es un cambio en la magnitud y el signo del error en condiciones de medición constantes.

El error sistemático es un componente del error de medición que permanece constante o cambia naturalmente con mediciones repetidas de la misma cantidad. Los errores sistemáticos, en principio, pueden eliminarse mediante correcciones y el uso de instrumentos y métodos más precisos (aunque en la práctica no siempre es fácil detectar errores sistemáticos). Es imposible excluir errores aleatorios en mediciones individuales; la teoría matemática de los fenómenos aleatorios (teoría de la probabilidad) sólo permite establecer una estimación razonable de su magnitud.

Errores de mediciones directas.

Supongamos que se excluyen los errores sistemáticos y que los errores en los resultados de las mediciones son sólo aleatorios. Denotemos con letras los resultados de las mediciones de una cantidad física, cuyo valor verdadero es igual a . Se indican los errores absolutos de los resultados de las mediciones individuales:

Sumando los lados izquierdo y derecho de la igualdad (1), obtenemos:

(2)

La teoría de los errores aleatorios se basa en suposiciones confirmadas por la experiencia:

los errores pueden adoptar una serie continua de valores;

con una gran cantidad de mediciones, los errores aleatorios de la misma magnitud, pero de diferentes signos, ocurren con la misma frecuencia;

la probabilidad de un error disminuye a medida que aumenta su magnitud. También es necesario que los errores sean pequeños en comparación con el valor medido e independientes.

Según el supuesto (1), con el número de mediciones n   obtenemos

,

Sin embargo, el número de dimensiones es siempre finito y sigue siendo desconocido. Pero a efectos prácticos basta con encontrar experimentalmente el valor de una cantidad física tan próxima a la verdadera que se puede utilizar en lugar de verdadero. La pregunta es ¿cómo evaluar el grado de esta aproximación?

Según la teoría de la probabilidad, la media aritmética de una serie de medidas más confiable que los resultados de mediciones individuales, porque las desviaciones aleatorias del valor real en diferentes direcciones son igualmente probables. La probabilidad de aparición de un valor a i en un intervalo de ancho 2a i se entiende como la frecuencia relativa de aparición de valores de a i que se encuentran dentro del intervalo 2a i con respecto al número de todos los valores que aparecen de a i con el número de experimentos (mediciones) tendiendo al infinito. Obviamente, la probabilidad de un evento confiable es igual a uno, la probabilidad de un evento imposible es igual a cero, es decir 0    100%.

La probabilidad de que el valor deseado (su valor verdadero) esté contenido en el intervalo (a - a, a + a) se llamará probabilidad de confianza (confiabilidad) , y el intervalo  correspondiente (a - a, a + a) - intervalo de confianza; Cuanto menor sea el error a, menor será la probabilidad de que el valor medido esté contenido en el intervalo definido por este error. La afirmación contraria también es cierta: cuanto menos confiable sea el resultado, más estrecho será el intervalo de confianza del valor deseado.

Para n grande (prácticamente para n  100), la mitad del ancho del intervalo de confianza para una confiabilidad dada  es igual a

, (3)

donde K() = 1 en  = 0,68; K() = 2 en  = 0,95; K() = 3 en  = 0,997.

Con un número pequeño de mediciones, que se encuentra con mayor frecuencia en la práctica de laboratorio de los estudiantes, el coeficiente K() en (3) depende no solo de , sino también del número de mediciones n. Por lo tanto, en presencia de solo un error aleatorio, siempre encontraremos la mitad del ancho del intervalo de confianza usando la fórmula

(4)

En (4), el coeficiente t  n se llama coeficiente de Student. Para  = 0,95 adoptado en el trabajo práctico del estudiante, los valores de t  n son los siguientes:

El valor se llama error cuadrático medio de la media aritmética de una serie de mediciones.

El error de un instrumento o medida suele indicarse en su pasaporte o mediante un símbolo en la escala del instrumento. Habitualmente, se entiende por error del instrumento  la mitad del intervalo dentro del cual puede estar contenido el valor medido con una probabilidad de medición de 0,997, si el error de medición se debe únicamente al error del instrumento. Como error general (total) del resultado de la medición, aceptaremos con probabilidad  = 0,95

El error absoluto permite determinar en qué signo del resultado obtenido se encuentra la inexactitud. El error relativo brinda información sobre qué proporción (porcentaje) del valor medido es el error (la mitad del ancho del intervalo de confianza).

Escribimos el resultado final de una serie de mediciones directas del valor a 0 en la forma

.

Por ejemplo

(6)

Así, cualquier cantidad física encontrada experimentalmente debe representarse:

Errores sistemáticos. Los errores sistemáticos cambian naturalmente los valores de la cantidad medida. Los errores introducidos en las mediciones de los instrumentos se evalúan más fácilmente si están asociados con las características de diseño de los propios instrumentos. Estos errores están indicados en los pasaportes de los dispositivos. Los errores de algunos dispositivos se pueden evaluar sin consultar la hoja de datos. En muchos instrumentos de medición eléctricos, la clase de precisión se indica directamente en la escala.

Clase de precisión del instrumento- esta es la relación entre el error absoluto del dispositivo y el valor máximo del valor medido que se puede determinar con este dispositivo (este es el error relativo sistemático de este dispositivo, expresado como un porcentaje de la calificación de la escala).

Entonces el error absoluto de dicho dispositivo está determinado por la relación:

.

Para los instrumentos de medida eléctricos, se han introducido 8 clases de precisión: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Cuanto más cerca esté el valor medido del valor nominal, más preciso será el resultado de la medición. La precisión máxima (es decir, el error relativo más pequeño) que puede proporcionar un dispositivo determinado es igual a la clase de precisión. Esta circunstancia debe tenerse en cuenta a la hora de utilizar instrumentos multiescala. La escala debe seleccionarse de tal manera que el valor medido, aunque permanezca dentro de la escala, sea lo más cercano posible al valor nominal.

Si no se especifica la clase de precisión del dispositivo, se deben seguir las siguientes reglas:

· El error absoluto de los instrumentos con vernier es igual a la precisión del vernier.

· El error absoluto de los instrumentos con paso de flecha fijo es igual al valor de división.

· El error absoluto de los dispositivos digitales es igual a un dígito mínimo.

· Para todos los demás instrumentos, se supone que el error absoluto es igual a la mitad del valor de la división.

Errores aleatorios. Estos errores son de naturaleza estadística y se describen mediante la teoría de la probabilidad. Se ha establecido que con un número muy grande de mediciones, la probabilidad de obtener uno u otro resultado en cada medición individual se puede determinar utilizando la distribución normal de Gauss. Con un pequeño número de mediciones, la descripción matemática de la probabilidad de obtener uno u otro resultado de medición se llama distribución de Student (puede leer más sobre esto en el manual de I.L. Skvortsova "Errores de medición en cantidades físicas").

¿Cómo evaluar el valor real de la cantidad medida?

Supongamos que al medir un determinado valor recibimos N resultados: . La media aritmética de una serie de mediciones está más cerca del valor real de la cantidad medida que la mayoría de las mediciones individuales. Para obtener el resultado de medir un determinado valor, se utiliza el siguiente algoritmo.

1). Calculado media aritmética serie de N mediciones directas:

2). Calculado error aleatorio absoluto de cada medición es la diferencia entre la media aritmética de una serie de N mediciones directas y esta medición:

.

3). Calculado error cuadrático medio absoluto:

.

4). Calculado error aleatorio absoluto. Con un número pequeño de mediciones, el error aleatorio absoluto se puede calcular mediante el error cuadrático medio y un determinado coeficiente llamado coeficiente de Student:

,

El coeficiente de Student depende del número de mediciones N y del coeficiente de confiabilidad (la Tabla 1 muestra la dependencia del coeficiente de Student del número de mediciones para un valor fijo del coeficiente de confiabilidad).

Factor de confiabilidad es la probabilidad con la que el valor real del valor medido cae dentro del intervalo de confianza.

Intervalo de confianza es un intervalo numérico en el que cae el valor real de la cantidad medida con una cierta probabilidad.

Por lo tanto, el coeficiente de Student es el número por el cual se debe multiplicar el error cuadrático medio para garantizar la confiabilidad especificada del resultado para un número determinado de mediciones.

Cuanto mayor sea la confiabilidad requerida para un número determinado de mediciones, mayor será el coeficiente de Student. Por otro lado, cuanto mayor es el número de mediciones, menor es el coeficiente de Student para una determinada confiabilidad. En el trabajo de laboratorio de nuestro taller, asumiremos que la confiabilidad es igual a 0,9. Los valores numéricos de los coeficientes de Student para esta confiabilidad para diferentes números de mediciones se dan en la Tabla 1.

Tabla 1

5).Calculado error absoluto total. En cualquier medición existen errores tanto aleatorios como sistemáticos. Calcular el error de medición absoluto total (total) no es una tarea fácil, ya que estos errores son de diferente naturaleza.

Para mediciones de ingeniería, tiene sentido sumar los errores absolutos sistemáticos y aleatorios.

.

Para simplificar los cálculos, se acostumbra estimar el error absoluto total como la suma de los errores aleatorios absolutos y sistemáticos (instrumentales) absolutos, si los errores son del mismo orden de magnitud, y descuidar uno de los errores si es más de un orden de magnitud (10 veces) menos que el otro.

6). El error y el resultado se redondean.. Dado que el resultado de la medición se presenta como un intervalo de valores, cuyo valor está determinado por el error absoluto total, es importante redondear correctamente el resultado y el error.

¡¡¡El redondeo comienza con error absoluto!!! El número de cifras significativas que quedan en el valor del error, en general, depende del coeficiente de confiabilidad y del número de mediciones. Sin embargo, incluso para mediciones muy precisas (por ejemplo, astronómicas), en las que el valor exacto del error es importante, no deje más de dos cifras significativas. Un número mayor de números no tiene sentido, ya que la definición de error en sí misma tiene su propio error. Nuestra práctica tiene un coeficiente de confiabilidad relativamente pequeño y una pequeña cantidad de mediciones. Por lo tanto, al redondear (con exceso), el error absoluto total se deja a una cifra significativa.

El dígito del dígito significativo del error absoluto determina el dígito del primer dígito dudoso en el valor del resultado. En consecuencia, el valor del resultado en sí debe redondearse (con corrección) a aquel dígito significativo cuyo dígito coincida con el dígito del dígito significativo del error. La regla formulada también debe aplicarse en los casos en que algunos de los números sean ceros.

Si el resultado obtenido al medir el peso corporal es , entonces es necesario escribir ceros al final del número 0,900. La grabación significaría que no se sabía nada sobre las siguientes cifras significativas, mientras que las mediciones mostraban que eran cero.

7). Calculado error relativo .

Al redondear el error relativo basta con dejar dos cifras significativas.

el resultado de una serie de mediciones de una determinada cantidad física se presenta como un intervalo de valores, lo que indica la probabilidad de que el valor verdadero caiga en este intervalo, es decir, el resultado debe escribirse en la forma:

Aquí está el error absoluto total, redondeado al primer dígito significativo, y es el valor promedio del valor medido, redondeado teniendo en cuenta el error ya redondeado. Al registrar el resultado de una medición, debe indicar la unidad de medida del valor.

Veamos algunos ejemplos:

1. Supongamos que al medir la longitud de un segmento, obtuvimos el siguiente resultado: cm y cm. ¿Cómo anotar correctamente el resultado de medir la longitud de un segmento? Primero, redondeamos el error absoluto por exceso, dejando un dígito significativo, ver Dígito significativo del error en el lugar de las centésimas. Luego redondeamos el valor medio corregido a la centésima más cercana, es decir al dígito significativo cuyo dígito coincide con el dígito del dígito significativo del error ver Calcular el error relativo

MEDICIÓN DE CANTIDADES FÍSICAS.

INTRODUCCIÓN

El complejo K-402.1 representa la lista necesaria de trabajos de laboratorio previstos en el estándar educativo y el programa de trabajo de la sección "Dinámica de cuerpos sólidos" de la disciplina "Física". Incluye una descripción de las instalaciones del laboratorio, el procedimiento de medición y un algoritmo para calcular determinadas cantidades físicas.

Si un estudiante comienza a familiarizarse con un trabajo específico en el aula durante una lección, entonces las dos horas asignadas para completar un trabajo de laboratorio no serán suficientes para él y comenzará a retrasarse con respecto al cronograma semestral para completar el trabajo. Para eliminar esto, el estándar educativo de segunda generación exige que el 50% de las horas asignadas al estudio de la disciplina se dediquen al trabajo independiente, que es un componente necesario del proceso de aprendizaje. El propósito del trabajo independiente es consolidar y profundizar conocimientos y habilidades, prepararlos para conferencias, clases prácticas y de laboratorio, así como desarrollar la independencia de los estudiantes en la adquisición de nuevos conocimientos y habilidades.

Los planes de estudios de diversas especialidades prevén el estudio independiente de la disciplina "Física" durante el semestre de 60 a 120 horas. De ellas, las clases de laboratorio representan entre 20 y 40 horas, o entre 2 y 4 horas por trabajo. Durante este tiempo, el estudiante debe: leer los párrafos relevantes de los libros de texto; aprender fórmulas y leyes básicas; Familiarícese con el procedimiento de instalación y medición. Para poder realizar trabajos en la instalación, un estudiante debe conocer el dispositivo de la instalación, poder determinar el valor de división del instrumento de medición, conocer la secuencia de mediciones, poder procesar los resultados de las mediciones y evaluar el error.

Después de todos los cálculos y elaboración del informe, el alumno deberá sacar una conclusión, indicando específicamente aquellas leyes físicas que fueron probadas durante el trabajo.

Hay dos tipos de mediciones: directas e indirectas.

Las mediciones directas son aquellas en las que se realiza una comparación de una medida y un objeto. Por ejemplo, mida la altura y el diámetro de un cilindro con un calibre.

En las mediciones indirectas, una cantidad física se determina sobre la base de una fórmula que establece su relación con las cantidades encontradas mediante mediciones directas.

La medición no se puede realizar con absoluta precisión. Su resultado siempre contiene algún error.

Los errores de medición se suelen dividir en sistemáticos y aleatorios.

Errores sistemáticos son causados ​​por factores que actúan de la misma manera cuando las mismas mediciones se repiten muchas veces.

La contribución a los errores sistemáticos proviene de instrumental o error del instrumento, que está determinado por la sensibilidad del dispositivo. En ausencia de dichos datos sobre el instrumento, el error del instrumento se considera el precio o la mitad del precio de la división de escala más pequeña del instrumento.

Errores aleatorios causado por la acción simultánea de muchos factores que no se pueden tener en cuenta. La mayoría de las mediciones van acompañadas de errores aleatorios, caracterizados porque con cada medición repetida toman un valor diferente e impredecible.

error absoluto incluirá errores sistemáticos y aleatorios:

. (1.1)

El valor real del valor medido estará en el rango:

que se llama intervalo de confianza.

Para determinar el error aleatorio, primero calcule el promedio de todos los valores obtenidos durante la medición:

, (1.2)

donde esta el resultado i-ésima dimensión, – número de dimensiones.

Luego, se encuentran los errores de las mediciones individuales.

, , …, .

. (1.3)

Al procesar los resultados de las mediciones, se utiliza la distribución de Estudiante. Teniendo en cuenta el coeficiente de Student, error aleatorio

.

Tabla 1.1

Tabla de coeficientes de Student

El coeficiente de Student muestra la desviación de la media aritmética del valor real, expresada como una fracción del error cuadrático medio. El coeficiente de Student depende del número de mediciones. norte y en confiabilidad y se indica en la tabla. 1.1.

El error absoluto se calcula mediante la fórmula

.

En la mayoría de los casos, no es el error absoluto, sino el relativo el que juega un papel más importante.

O . (1.4)

Todos los resultados del cálculo se ingresan en la tabla. 1.2.

Tabla 1.2

El resultado de calcular el error de medición.

No.
	milímetros	milímetros	milímetros	milímetros 2	milímetros 2	milímetros	milímetros	milímetros	milímetros	milímetros	%

Cálculo de errores de medidas indirectas.

Leer también

“La muerte de un poeta”, análisis del poema de Lermontov Análisis breve de la muerte del poeta

V Concurso en línea de toda Rusia Kontur

Francia durante la Primera Guerra Mundial Un fuego encendido de una brasa

La influencia de las condiciones meteorológicas en el cuerpo La influencia de las condiciones meteorológicas en el cuerpo

Ecuación en diferenciales totales Definición de ecuación en diferenciales totales

Cómo gira la Tierra ¿Por qué la Tierra gira sobre sí misma?

Sobre la solución de sistemas degenerados y mal condicionados de ecuaciones algebraicas lineales. Solución de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones no lineales.

¿Cómo puede explicarle fácilmente a su hijo la suma y resta de números de dos dígitos?