En este artículo veremos cómo convertir fracciones a decimales, y también considere el proceso inverso: convertir fracciones decimales en fracciones ordinarias. Aquí describiremos las reglas para convertir fracciones y brindaremos soluciones detalladas a ejemplos típicos.
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Convertir fracciones a decimales
Denotemos la secuencia en la que nos ocuparemos convertir fracciones a decimales.
Primero, veremos cómo representar fracciones con denominadores 10, 100, 1000,... como decimales. Esto se explica por el hecho de que las fracciones decimales son esencialmente una forma compacta de escribir fracciones ordinarias con denominadores 10, 100, ....
Después de eso, iremos más allá y mostraremos cómo escribir cualquier fracción ordinaria (no sólo aquellas con denominadores 10, 100,...) como una fracción decimal. Cuando las fracciones ordinarias se tratan de esta manera, se obtienen tanto fracciones decimales finitas como fracciones decimales periódicas infinitas.
Ahora hablemos de todo en orden.
Convertir fracciones con denominadores 10, 100, ... a decimales
Algunas fracciones propias requieren una "preparación preliminar" antes de convertirse a decimales. Esto se aplica a las fracciones ordinarias cuyo número de dígitos en el numerador es menor que el número de ceros en el denominador. Por ejemplo, primero se debe preparar la fracción común 2/100 para convertirla a fracción decimal, pero la fracción 9/10 no necesita ninguna preparación.
La “preparación preliminar” de fracciones ordinarias propias para su conversión a fracciones decimales consiste en sumar tantos ceros a la izquierda del numerador que el número total de dígitos allí sea igual al número de ceros en el denominador. Por ejemplo, una fracción después de sumar ceros se verá así.
Una vez que tengas preparada una fracción adecuada, puedes comenzar a convertirla a decimal.
vamos a dar regla para convertir una fracción común propia con un denominador de 10, o 100, o 1000,... en una fracción decimal. Consta de tres pasos:
- escribe 0;
- después ponemos un punto decimal;
- Anotamos el número del numerador (junto con los ceros añadidos, si los sumamos).
Consideremos la aplicación de esta regla al resolver ejemplos.
Ejemplo.
Convierte la fracción adecuada 37/100 a decimal.
Solución.
El denominador contiene el número 100, que tiene dos ceros. El numerador contiene el número 37, su notación tiene dos dígitos, por lo tanto, no es necesario preparar esta fracción para convertirla a decimal.
Ahora escribimos 0, ponemos un punto decimal, escribimos el número 37 del numerador y obtenemos la fracción decimal 0,37.
Respuesta:
0,37 .
Para fortalecer las habilidades de convertir fracciones ordinarias propias con numeradores 10, 100, ... a fracciones decimales, analizaremos la solución con otro ejemplo.
Ejemplo.
Escribe la fracción adecuada 107/10.000.000 como decimal.
Solución.
La cantidad de dígitos en el numerador es 3 y la cantidad de ceros en el denominador es 7, por lo que esta fracción común debe prepararse para su conversión a decimal. Necesitamos sumar 7-3=4 ceros a la izquierda del numerador para que el número total de dígitos sea igual al número de ceros en el denominador. Lo entendemos.
Todo lo que queda es crear la fracción decimal requerida. Para hacer esto, en primer lugar escribimos 0, en segundo lugar ponemos una coma, en tercer lugar escribimos el número del numerador junto con los ceros 0000107, como resultado tenemos una fracción decimal 0,0000107.
Respuesta:
0,0000107 .
Las fracciones impropias no requieren ninguna preparación al convertirlas a decimales. Se debe cumplir lo siguiente reglas para convertir fracciones impropias con denominadores 10, 100, ... a decimales:
- escriba el número del numerador;
- Usamos un punto decimal para separar tantos dígitos a la derecha como ceros hay en el denominador de la fracción original.
Veamos la aplicación de esta regla al resolver un ejemplo.
Ejemplo.
Convierte la fracción impropia 56.888.038.009/100.000 a decimal.
Solución.
En primer lugar, anotamos el número del numerador 56888038009, y en segundo lugar, separamos los 5 dígitos de la derecha con una coma decimal, ya que el denominador de la fracción original tiene 5 ceros. Como resultado, tenemos la fracción decimal 568880,38009.
Respuesta:
568 880,38009 .
Para convertir un número mixto en una fracción decimal, cuyo denominador de la parte fraccionaria es el número 10, o 100, o 1000, ..., puede convertir el número mixto en una fracción ordinaria impropia y luego convertir el resultado fracción en una fracción decimal. Pero también puedes usar lo siguiente la regla para convertir números mixtos con un denominador fraccionario de 10, o 100, o 1000,... en fracciones decimales:
- si es necesario, realizamos una "preparación preliminar" de la parte fraccionaria del número mixto original sumando el número requerido de ceros a la izquierda del numerador;
- escriba la parte entera del número mixto original;
- poner un punto decimal;
- Anotamos el número del numerador junto con los ceros añadidos.
Veamos un ejemplo en el que completamos todos los pasos necesarios para representar un número mixto como fracción decimal.
Ejemplo.
Convierte el número mixto a decimal.
Solución.
El denominador de la parte fraccionaria tiene 4 ceros, pero el numerador contiene el número 17, que consta de 2 dígitos, por lo tanto, debemos agregar dos ceros a la izquierda en el numerador para que el número de dígitos allí sea igual al número de ceros en el denominador. Hecho esto, el numerador será 0017.
Ahora escribimos la parte completa del número original, es decir, el número 23, ponemos un punto decimal, luego escribimos el número del numerador junto con los ceros sumados, es decir, 0017, y obtenemos el decimal deseado. fracción 23.0017.
Anotemos brevemente toda la solución: 
.
Por supuesto, era posible representar primero el número mixto como una fracción impropia y luego convertirlo a una fracción decimal. Con este enfoque, la solución se ve así: .
Respuesta:
23,0017 .
Convertir fracciones a decimales periódicos finitos e infinitos
Puede convertir no solo fracciones ordinarias con denominadores 10, 100, ... a una fracción decimal, sino también fracciones ordinarias con otros denominadores. Ahora descubriremos cómo se hace esto.
En algunos casos, la fracción ordinaria original se reduce fácilmente a uno de los denominadores 10, 100, o 1000, ... (ver llevar una fracción ordinaria a un nuevo denominador), después de lo cual no es difícil representar la fracción resultante. como fracción decimal. Por ejemplo, es obvio que la fracción 2/5 se puede reducir a una fracción con denominador 10, para ello es necesario multiplicar el numerador y el denominador por 2, lo que dará como resultado la fracción 4/10, que, según la reglas discutidas en el párrafo anterior, se convierte fácilmente a la fracción decimal 0, 4.
En otros casos, hay que utilizar otro método para convertir una fracción ordinaria a decimal, que ahora procederemos a considerar.
Para convertir una fracción ordinaria a una fracción decimal, el numerador de la fracción se divide por el denominador, primero se reemplaza el numerador por una fracción decimal igual con cualquier número de ceros después del punto decimal (hablamos de esto en la sección igual y fracciones decimales desiguales). En este caso, la división se realiza de la misma forma que la división por una columna de números naturales, y en el cociente se coloca un punto decimal cuando finaliza la división de la parte entera del dividendo. Todo esto quedará claro a partir de las soluciones a los ejemplos que se dan a continuación.
Ejemplo.
Convierte la fracción 621/4 a decimal.
Solución.
Representemos el número en el numerador 621 como una fracción decimal, sumando un punto decimal y varios ceros después. Primero agreguemos 2 dígitos 0, luego, si es necesario, siempre podemos agregar más ceros. Entonces tenemos 621,00.
Ahora dividamos el número 621.000 entre 4 con una columna. Los primeros tres pasos no son diferentes de dividir números naturales por una columna, después de lo cual llegamos a la siguiente imagen: 
Así llegamos al punto decimal del dividendo y el resto es distinto de cero. En este caso, ponemos un punto decimal en el cociente y seguimos dividiendo en una columna, sin prestar atención a las comas: 
Esto completa la división y como resultado obtenemos la fracción decimal 155,25, que corresponde a la fracción ordinaria original.
Respuesta:
155,25 .
Para consolidar el material, consideremos la solución con otro ejemplo.
Ejemplo.
Convierte la fracción 21/800 a decimal.
Solución.
Para convertir esta fracción común a decimal, dividimos con una columna de la fracción decimal 21.000... entre 800. Después del primer paso, tendremos que poner un punto decimal en el cociente, para luego continuar con la división: 
Finalmente obtuvimos el resto 0, esto completa la conversión de la fracción común 21/400 a una fracción decimal y llegamos a la fracción decimal 0.02625.
Respuesta:
0,02625 .
Puede suceder que al dividir el numerador por el denominador de una fracción ordinaria, todavía no obtengamos un resto 0. En estos casos, la división puede continuar indefinidamente. Sin embargo, a partir de un determinado paso, los restos comienzan a repetirse periódicamente y los números del cociente también se repiten. Esto significa que la fracción original se convierte en una fracción decimal periódica infinita. Demostremos esto con un ejemplo.
Ejemplo.
Escribe la fracción 19/44 como decimal.
Solución.
Para convertir una fracción común a decimal, realice la división por columna: 
Ya está claro que durante la división se empezaron a repetir los residuos 8 y 36, mientras que en el cociente se repiten los números 1 y 8. Así, la fracción común original 19/44 se convierte en una fracción decimal periódica 0,43181818...=0,43(18).
Respuesta:
0,43(18) .
Para concluir este punto, descubriremos qué fracciones ordinarias se pueden convertir en fracciones decimales finitas y cuáles solo se pueden convertir en periódicas.
Tengamos frente a nosotros una fracción ordinaria irreducible (si la fracción es reducible, primero la reducimos), y necesitamos averiguar en qué fracción decimal se puede convertir: finita o periódica.
Está claro que si una fracción ordinaria se puede reducir a uno de los denominadores 10, 100, 1000, ..., entonces la fracción resultante se puede convertir fácilmente en una fracción decimal final de acuerdo con las reglas analizadas en el párrafo anterior. Pero a los denominadores 10, 100, 1000, etc. No se dan todas las fracciones ordinarias. Sólo las fracciones cuyos denominadores sean al menos uno de los números 10, 100,... pueden reducirse a tales denominadores. ¿Y qué números pueden ser divisores de 10, 100,...? Los números 10, 100,... nos permitirán responder a esta pregunta, y son los siguientes: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1.000 = 2 2 2 5 5 5, .... Se deduce que los divisores son 10, 100, 1000, etc. Sólo pueden existir números cuyas descomposiciones en factores primos contengan únicamente los números 2 y (o) 5.
Ahora podemos sacar una conclusión general sobre la conversión de fracciones ordinarias a decimales:
- si en la descomposición del denominador en factores primos solo hay números 2 y (o) 5, entonces esta fracción se puede convertir en una fracción decimal final;
- Si, además de dos y cinco, hay otros números primos en la expansión del denominador, entonces esta fracción se convierte en una fracción periódica decimal infinita.
Ejemplo.
Sin convertir fracciones ordinarias a decimales, dígame cuáles de las fracciones 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 se pueden convertir en una fracción decimal final y cuáles solo se pueden convertir en una fracción periódica.
Solución.
El denominador de la fracción 47/20 se descompone en factores primos como 20=2·2·5. Esta expansión contiene sólo dos y cinco, por lo que esta fracción se puede reducir a uno de los denominadores 10, 100, 1000,... (en este ejemplo, al denominador 100), por lo tanto, se puede convertir a una fracción decimal final.
La descomposición del denominador de la fracción 7/12 en factores primos tiene la forma 12=2·2·3. Dado que contiene un factor primo de 3, diferente de 2 y 5, esta fracción no se puede representar como un decimal finito, pero se puede convertir a un decimal periódico.
Fracción 21/56 – contráctil, después de la contracción toma la forma 3/8. Factorizar el denominador en factores primos contiene tres factores iguales a 2, por lo tanto, la fracción común 3/8, y por tanto la fracción igual 21/56, se puede convertir en una fracción decimal final.
Finalmente, el desarrollo del denominador de la fracción 31/17 es 17 en sí, por lo tanto esta fracción no se puede convertir en una fracción decimal finita, pero sí en una fracción periódica infinita.
Respuesta:
47/20 y 21/56 se pueden convertir a una fracción decimal finita, pero 7/12 y 31/17 solo se pueden convertir a una fracción periódica.
Las fracciones ordinarias no se convierten en infinitos decimales no periódicos
La información del párrafo anterior da pie a la pregunta: “¿Dividir el numerador de una fracción por el denominador puede dar como resultado una fracción infinita no periódica?”
Respuesta: no. Al convertir una fracción común, el resultado puede ser una fracción decimal finita o una fracción decimal periódica infinita. Expliquemos por qué esto es así.
Del teorema de divisibilidad con resto se desprende claramente que el resto siempre es menor que el divisor, es decir, si dividimos un número entero por un número entero q, entonces el resto solo puede ser uno de los números 0, 1, 2. , ..., q-1. De ello se deduce que después de que la columna haya terminado de dividir la parte entera del numerador de una fracción común por el denominador q, en no más de q pasos surgirá una de las dos situaciones siguientes:
- o obtendremos un resto de 0, esto terminará la división y obtendremos la fracción decimal final;
- o obtendremos un resto que ya apareció antes, después del cual los restos comenzarán a repetirse como en el ejemplo anterior (ya que al dividir números iguales por q se obtienen restos iguales, lo que se desprende del teorema de divisibilidad ya mencionado), esto dará como resultado una fracción decimal periódica infinita.
No puede haber otras opciones, por lo tanto, al convertir una fracción ordinaria a una fracción decimal, no se puede obtener una fracción decimal infinita no periódica.
Del razonamiento dado en este párrafo se deduce también que la duración del período de una fracción decimal es siempre menor que el valor del denominador de la fracción ordinaria correspondiente.
Convertir decimales a fracciones
Ahora descubramos cómo convertir una fracción decimal en una fracción ordinaria. Comencemos convirtiendo fracciones decimales finales en fracciones ordinarias. Después de esto, consideraremos un método para invertir infinitas fracciones decimales periódicas. En conclusión, digamos sobre la imposibilidad de convertir infinitas fracciones decimales no periódicas en fracciones ordinarias.
Convertir decimales finales a fracciones
Obtener una fracción escrita como decimal final es bastante sencillo. La regla para convertir una fracción decimal final en una fracción común consta de tres pasos:
- primero, escriba la fracción decimal dada en el numerador, habiendo descartado previamente el punto decimal y todos los ceros de la izquierda, si los hay;
- en segundo lugar, escriba uno en el denominador y agréguele tantos ceros como dígitos después del punto decimal en la fracción decimal original;
- en tercer lugar, si es necesario, reducir la fracción resultante.
Veamos las soluciones a los ejemplos.
Ejemplo.
Convierte el decimal 3,025 a una fracción.
Solución.
Si quitamos el punto decimal de la fracción decimal original, obtenemos el número 3.025. No hay ceros a la izquierda que descartemos. Entonces, escribimos 3.025 en el numerador de la fracción deseada.
Escribimos el número 1 en el denominador y sumamos 3 ceros a su derecha, ya que en la fracción decimal original hay 3 dígitos después del punto decimal.
Entonces obtuvimos la fracción común 3.025/1.000. Esta fracción se puede reducir en 25, obtenemos 
.
Respuesta:
.
Ejemplo.
Convierte la fracción decimal 0,0017 a una fracción.
Solución.
Sin punto decimal, la fracción decimal original parece 00017, descartando los ceros de la izquierda obtenemos el número 17, que es el numerador de la fracción ordinaria deseada.
Escribimos uno con cuatro ceros en el denominador, ya que la fracción decimal original tiene 4 dígitos después del punto decimal.
Como resultado, tenemos una fracción ordinaria 17/10.000. Esta fracción es irreducible y la conversión de una fracción decimal a una fracción ordinaria está completa.
Respuesta:
.
Cuando la parte entera de la fracción decimal final original es distinta de cero, se puede convertir inmediatamente en un número mixto, sin pasar por la fracción común. vamos a dar regla para convertir una fracción decimal final a un número mixto:
- el número antes del punto decimal debe escribirse como una parte entera del número mixto deseado;
- en el numerador de la parte fraccionaria debes escribir el número obtenido de la parte fraccionaria de la fracción decimal original después de descartar todos los ceros de la izquierda;
- en el denominador de la parte fraccionaria es necesario escribir el número 1, al que se le suman tantos ceros a la derecha como dígitos hay después del punto decimal en la fracción decimal original;
- si es necesario, reduzca la parte fraccionaria del número mixto resultante.
Veamos un ejemplo de conversión de una fracción decimal a un número mixto.
Ejemplo.
Expresar la fracción decimal 152.06005 como un número mixto
Una fracción se puede convertir a un número entero o a un decimal. Una fracción impropia cuyo numerador es mayor que el denominador y es divisible por él sin resto se convierte en un número entero, por ejemplo: 20/5. Divide 20 entre 5 y obtén el número 4. Si la fracción es propia, es decir, el numerador es menor que el denominador, entonces conviértelo a un número (fracción decimal). Puedes obtener más información sobre fracciones en nuestra sección -.
Formas de convertir una fracción a un número
- La primera forma de convertir una fracción en un número es adecuada para una fracción que se puede convertir en un número que es una fracción decimal. Primero, averigüemos si es posible convertir la fracción dada a una fracción decimal. Para ello, prestemos atención al denominador (el número que está debajo de la línea o a la derecha de la línea inclinada). Si el denominador se puede factorizar (en nuestro ejemplo, 2 y 5), que se puede repetir, entonces esta fracción se puede convertir en una fracción decimal final. Por ejemplo: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Esta fracción común se convertirá en un número (decimal) con un número finito de decimales. Pero la fracción 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) se convertirá en un número con un número infinito de decimales. Es decir, al calcular con precisión un valor numérico, es bastante difícil determinar el decimal final, ya que existe un número infinito de tales signos. Por lo tanto, resolver problemas generalmente requiere redondear el valor a centésimas o milésimas. A continuación, necesitas multiplicar tanto el numerador como el denominador por un número tal que el denominador produzca los números 10, 100, 1000, etc. Por ejemplo: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0,275
- La segunda forma de convertir una fracción en un número es más sencilla: debes dividir el numerador por el denominador. Para aplicar este método simplemente realizamos una división y el número resultante será la fracción decimal deseada. Por ejemplo, necesitas convertir la fracción 2/15 en un número. Divide 2 entre 15. Obtenemos 0,1333... - una fracción infinita. Lo escribimos así: 0,13(3). Si la fracción es impropia, es decir, el numerador es mayor que el denominador (por ejemplo, 345/100), convertirla a un número dará como resultado un valor de número entero o una fracción decimal con una parte fraccionaria entera. En nuestro ejemplo será 3,45. Para convertir una fracción mixta como 3 2 / 7 en un número, primero debes convertirla a una fracción impropia: (3∙7+2)/7 = 23/7. A continuación, dividimos 23 entre 7 y obtenemos el número 3,2857143, que reducimos a 3,29.
La forma más sencilla de convertir una fracción en un número es utilizar una calculadora u otro dispositivo informático. Primero indicamos el numerador de la fracción, luego presionamos el botón con el ícono “dividir” e ingresamos el denominador. Después de presionar la tecla "=", obtenemos el número deseado.
Materiales sobre fracciones y estudio de forma secuencial. A continuación encontrará información detallada con ejemplos y explicaciones.
1. Número mixto en fracción común.Escribamos el número en forma general:
Recordamos una regla simple: multiplicamos la parte entera por el denominador y sumamos el numerador, es decir:
Ejemplos:
2. Por el contrario, una fracción ordinaria en un número mixto. *Por supuesto, esto sólo se puede hacer con una fracción impropia (cuando el numerador es mayor que el denominador).
Con números "pequeños", en general, no es necesario realizar ninguna acción; el resultado es "visible" inmediatamente, por ejemplo, fracciones:
*Más detalles:
15:13 = 1 resto 2
4:3 = 1 resto 1
9:5 = 1 resto 4
Pero si hay más números, entonces no puede prescindir de los cálculos. Aquí todo es simple: divide el numerador por el denominador con una esquina hasta que el resto sea menor que el divisor. Esquema de división:
Por ejemplo:
*Nuestro numerador es el dividendo, el denominador es el divisor.
Obtenemos la parte entera (cociente incompleto) y el resto. Escribimos un número entero, luego una fracción (el numerador contiene el resto, pero el denominador sigue siendo el mismo):
3. Convierta decimal a ordinario.
Parcialmente en el primer párrafo, donde hablamos de fracciones decimales, ya tocamos esto. Lo escribimos a medida que lo escuchamos. Por ejemplo - 0,3; 0,45; 0,008; 4,38; 10.00015
Tenemos las tres primeras fracciones sin parte entera. Y el cuarto y el quinto lo tienen, convirtámoslos en ordinarios, esto ya sabemos hacer:
*Vemos que también se pueden reducir fracciones, por ejemplo 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 y otras, pero no haremos esto aquí. En cuanto a la reducción, encontrarás un párrafo aparte a continuación, donde analizaremos todo en detalle.
4. Convierta ordinario a decimal.
No es tan simple. Con algunas fracciones es inmediatamente obvio y claro qué hacer con ellas para que se convierta en decimal, por ejemplo:
Usamos nuestra maravillosa propiedad básica de una fracción: multiplicamos el numerador y el denominador por 5, 25, 2, 5, 4, 2, respectivamente, y obtenemos:
Si hay una parte entera, tampoco es complicado:
Multiplicamos la parte fraccionaria por 2, 25, 2 y 5, respectivamente, y obtenemos:
Y hay aquellos para los cuales sin experiencia es imposible determinar que se pueden convertir a decimales, por ejemplo:
¿Por qué números debemos multiplicar el numerador y el denominador?
Aquí nuevamente viene al rescate un método probado: la división por una esquina, un método universal, siempre puedes usarlo para convertir una fracción común a un decimal:
De esta manera siempre podrás determinar si una fracción se convierte a decimal. El hecho es que no todas las fracciones ordinarias se pueden convertir a decimales, por ejemplo, 1/9, 3/7, 7/26 no se convierten. ¿Cuál es entonces la fracción que se obtiene al dividir 1 entre 9, 3 entre 7, 5 entre 11? Mi respuesta es decimal infinito (hablamos de ellos en el párrafo 1). Dividamos:
¡Eso es todo! ¡Buena suerte para ti!
Atentamente, Alexander Krutitskikh.
Si necesitamos dividir 497 entre 4, al dividir veremos que 497 no es divisible por 4, es decir el resto de la división permanece. En tales casos se dice que está completo. división con resto, y la solución se escribe de la siguiente manera:
497: 4 = 124 (1 resto).
Los componentes de la división en el lado izquierdo de la igualdad se llaman igual que en la división sin resto: 497 - dividendo, 4 - divisor. El resultado de la división cuando se divide con un resto se llama privado incompleto. En nuestro caso, este es el número 124. Y finalmente, el último componente, que no está en la división ordinaria, es resto. En los casos en los que no queda resto, se dice que un número está dividido por otro sin dejar rastro, o completamente. Se cree que con tal división el resto es cero. En nuestro caso el resto es 1.
El resto siempre es menor que el divisor.
La división se puede comprobar mediante la multiplicación. Si, por ejemplo, existe una igualdad 64: 32 = 2, entonces la verificación se puede realizar así: 64 = 32 * 2.
A menudo, en los casos en que se realiza la división con resto, es conveniente utilizar la igualdad.
a = b * n + r,
donde a es el dividendo, b es el divisor, n es el cociente parcial y r es el resto.
El cociente de números naturales se puede escribir como fracción.
El numerador de una fracción es el dividendo y el denominador es el divisor.
Como el numerador de una fracción es el dividendo y el denominador es el divisor, creen que la línea de una fracción significa la acción de división. A veces es conveniente escribir la división como una fracción sin utilizar el signo ":".
El cociente de la división de números naturales myn se puede escribir como una fracción \(\frac(m)(n) \), donde el numerador m es el dividendo y el denominador n es el divisor:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Las siguientes reglas son verdaderas:
Para obtener la fracción \(\frac(m)(n)\), necesitas dividir la unidad en n partes iguales (acciones) y tomar m de esas partes.
Para obtener la fracción \(\frac(m)(n)\), debes dividir el número m por el número n.
Para encontrar una parte de un todo, es necesario dividir el número correspondiente al todo por el denominador y multiplicar el resultado por el numerador de la fracción que expresa esta parte.
Para encontrar un entero a partir de su parte, es necesario dividir el número correspondiente a esta parte por el numerador y multiplicar el resultado por el denominador de la fracción que expresa esta parte.
Si tanto el numerador como el denominador de una fracción se multiplican por el mismo número (excepto cero), el valor de la fracción no cambiará:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Si tanto el numerador como el denominador de una fracción se dividen por el mismo número (excepto cero), el valor de la fracción no cambiará:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Esta propiedad se llama propiedad principal de una fracción.
Las dos últimas transformaciones se llaman reduciendo una fracción.
Si es necesario representar fracciones como fracciones con el mismo denominador, entonces esta acción se llama reducir fracciones a un denominador común.
Fracciones propias e impropias. Números mixtos
Ya sabes que se puede obtener una fracción dividiendo un todo en partes iguales y tomando varias de esas partes. Por ejemplo, la fracción \(\frac(3)(4)\) significa tres cuartos de uno. En muchos de los problemas del párrafo anterior, se usaron fracciones para representar partes de un todo. El sentido común dicta que la parte siempre debe ser menor que el todo, pero ¿qué pasa con fracciones como \(\frac(5)(5)\) o \(\frac(8)(5)\)? Está claro que esto ya no forma parte de la unidad. Probablemente por eso las fracciones cuyo numerador es mayor o igual que el denominador se llaman fracciones impropias. El resto de fracciones, es decir, aquellas cuyo numerador es menor que el denominador, se denominan fracciones correctas.
Como sabes, cualquier fracción común, tanto propia como impropia, puede considerarse como el resultado de dividir el numerador por el denominador. Por lo tanto, en matemáticas, a diferencia del lenguaje ordinario, el término "fracción impropia" no significa que hayamos hecho algo mal, sino solo que el numerador de esta fracción es mayor o igual que el denominador.
Si un número consta de una parte entera y una fracción, entonces tal las fracciones se llaman mixtas.
Por ejemplo:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 es la parte entera y \(\frac(2)(3) \) es la parte fraccionaria.
Si el numerador de la fracción \(\frac(a)(b) \) es divisible por un número natural n, entonces para dividir esta fracción entre n, su numerador debe dividirse por este número:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Si el numerador de la fracción \(\frac(a)(b) \) no es divisible por un número natural n, entonces para dividir esta fracción por n, debes multiplicar su denominador por este número:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Tenga en cuenta que la segunda regla también es cierta cuando el numerador es divisible por n. Por tanto, podemos utilizarlo cuando sea difícil determinar a primera vista si el numerador de una fracción es divisible por n o no.
Acciones con fracciones. Sumar fracciones.
Puedes realizar operaciones aritméticas con números fraccionarios, al igual que con números naturales. Primero veamos cómo sumar fracciones. Es fácil sumar fracciones con denominadores similares. Encontremos, por ejemplo, la suma de \(\frac(2)(7)\) y \(\frac(3)(7)\). Es fácil entender que \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador igual.
Usando letras, la regla para sumar fracciones con denominadores iguales se puede escribir de la siguiente manera:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Si necesitas sumar fracciones con diferentes denominadores, primero debes reducirlas a un denominador común. Por ejemplo:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Para fracciones, como para números naturales, son válidas las propiedades conmutativas y asociativas de la suma.
Sumar fracciones mixtas
Notaciones como \(2\frac(2)(3)\) se llaman fracciones mixtas. En este caso, el número 2 se llama parte entera fracción mixta, y el número \(\frac(2)(3)\) es su parte fraccionaria. La entrada \(2\frac(2)(3)\) se lee como sigue: “dos y dos tercios”.
Al dividir el número 8 por el número 3, puedes obtener dos respuestas: \(\frac(8)(3)\) y \(2\frac(2)(3)\). Expresan el mismo número fraccionario, es decir, \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Así, la fracción impropia \(\frac(8)(3)\) se representa como una fracción mixta \(2\frac(2)(3)\). En tales casos dicen que de una fracción impropia destacó toda la parte.
Restar fracciones (números fraccionarios)
La resta de números fraccionarios, como los números naturales, se determina sobre la base de la acción de la suma: restar otro de un número significa encontrar un número que, sumado al segundo, da el primero. Por ejemplo:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) ya que \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
La regla para restar fracciones con denominadores iguales es similar a la regla para sumar tales fracciones:
Para encontrar la diferencia entre fracciones con los mismos denominadores, debes restar el numerador de la segunda del numerador de la primera fracción y dejar el mismo denominador.
Usando letras, esta regla se escribe así:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Multiplicar fracciones
Para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar sus numeradores y denominadores y escribir el primer producto como numerador y el segundo como denominador.
Usando letras, la regla para multiplicar fracciones se puede escribir de la siguiente manera:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Usando la regla formulada, puedes multiplicar una fracción por un número natural, por una fracción mixta y también multiplicar fracciones mixtas. Para hacer esto, debes escribir un número natural como una fracción con un denominador de 1 y una fracción mixta como una fracción impropia.
El resultado de la multiplicación debe simplificarse (si es posible) reduciendo la fracción y aislando toda la parte de la fracción impropia.
Para fracciones, como para números naturales, son válidas las propiedades conmutativas y combinativas de la multiplicación, así como la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
División de fracciones
Tomemos la fracción \(\frac(2)(3)\) y la “volteemos”, intercambiando el numerador y el denominador. Obtenemos la fracción \(\frac(3)(2)\). Esta fracción se llama contrarrestar fracciones \(\frac(2)(3)\).
Si ahora “invertimos” la fracción \(\frac(3)(2)\), obtendremos la fracción original \(\frac(2)(3)\). Por lo tanto, fracciones como \(\frac(2)(3)\) y \(\frac(3)(2)\) se llaman mutuamente inversas.
Por ejemplo, las fracciones \(\frac(6)(5) \) y \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) y \(\frac (18) )(7)\).
Usando letras, las fracciones recíprocas se pueden escribir de la siguiente manera: \(\frac(a)(b) \) y \(\frac(b)(a) \)
Esta claro que el producto de fracciones recíprocas es igual a 1. Por ejemplo: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Usando fracciones recíprocas, puedes reducir la división de fracciones a multiplicación.
La regla para dividir una fracción entre una fracción es:
Para dividir una fracción por otra, debes multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.
Usando letras, la regla para dividir fracciones se puede escribir de la siguiente manera:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Si el dividendo o divisor es un número natural o una fracción mixta, para poder utilizar la regla para dividir fracciones, primero se debe representar como una fracción impropia.
