Límite donde x tiende a infinito. Límite de función

Conceptos de límites de sucesiones y funciones. Cuando es necesario encontrar el límite de una secuencia, se escribe de la siguiente manera: lim xn=a. En tal secuencia de secuencias, xn tiende a ayn tiende a infinito. La secuencia suele representarse como una serie, por ejemplo:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Las secuencias se dividen en crecientes y decrecientes. Por ejemplo:
xn=n^2 - secuencia creciente
yn=1/n - secuencia
Entonces, por ejemplo, el límite de la secuencia xn=1/n^ :
límite 1/n^2=0

x→∞
Este límite es igual a cero, ya que n→∞, y la secuencia 1/n^2 tiende a cero.

Normalmente, una cantidad variable x tiende a un límite finito a, y x se acerca constantemente a a, y la cantidad a es constante. Esto se escribe de la siguiente manera: limx =a, mientras que n también puede tender a cero o al infinito. Hay infinitas funciones cuyo límite tiende al infinito. En otros casos, cuando, por ejemplo, la función está desacelerando un tren, el límite tiende a cero.
Los límites tienen varias propiedades. Normalmente, cualquier función tiene un solo límite. Ésta es la propiedad principal del límite. Otros se enumeran a continuación:
* El límite de monto es igual a la suma de los límites:
lím(x+y)=lím x+lím y
* El límite del producto es igual al producto de los límites:
lim(xy)=lim x*lim y
* El límite del cociente es igual al cociente de los límites:
lím(x/y)=lím x/lím y
* El factor constante se toma fuera del signo límite:
lím(Cx)=C lím x
Dada una función 1 /x en la que x →∞, su límite es cero. Si x→0, el límite de dicha función es ∞.
Para funciones trigonométricas existen algunas de estas reglas. Dado que la función sen x siempre tiende a la unidad cuando se aproxima a cero, la identidad se cumple para ella:
límite sen x/x=1

En varias funciones hay funciones, al calcular cuyos límites surge la incertidumbre, una situación en la que el límite no se puede calcular. La única salida a esta situación es L'Hopital. Hay dos tipos de incertidumbres:
* incertidumbre de la forma 0/0
* incertidumbre de la forma ∞/∞
Por ejemplo, se da un límite de la siguiente forma: lim f(x)/l(x), y f(x0)=l(x0)=0. En este caso surge una incertidumbre de la forma 0/0. Para resolver tal problema, se diferencian ambas funciones, después de lo cual se encuentra el límite del resultado. Para incertidumbres de tipo 0/0, el límite es:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (en x→0)
La misma regla también es válida para incertidumbres del tipo ∞/∞. Pero en este caso se cumple la siguiente igualdad: f(x)=l(x)=∞
Utilizando la regla de L'Hopital, se pueden encontrar los valores de cualquier límite en el que aparezcan incertidumbres. Un requisito previo para

volumen: sin errores al encontrar derivados. Entonces, por ejemplo, la derivada de la función (x^2)" es igual a 2x. De aquí podemos concluir que:
f"(x)=nx^(n-1)

Veamos algunos ejemplos ilustrativos.

Sea x una variable numérica, X el área de su cambio. Si cada número x perteneciente a X está asociado a un determinado número y, entonces se dice que se define una función en el conjunto X y se escribe y = f(x).
El conjunto X en este caso es un plano que consta de dos ejes de coordenadas: 0X y 0Y. Por ejemplo, representemos la función y = x 2. Los ejes 0X y 0Y forman X, el área de su cambio. La figura muestra claramente cómo se comporta la función. En este caso, dicen que la función y = x 2 está definida en el conjunto X.

El conjunto Y de todos los valores parciales de una función se llama conjunto de valores f(x). En otras palabras, el conjunto de valores es el intervalo a lo largo del eje 0Y donde se define la función. La parábola representada muestra claramente que f(x) > 0, porque x2 > 0. Por tanto, el rango de valores será . Observamos muchos valores por 0Y.

El conjunto de todos los x se llama dominio de f(x). Miramos muchas definiciones por 0X y en nuestro caso el rango de valores aceptables es [-; +].

Un punto a (a pertenece a o X) se llama punto límite del conjunto X si en cualquier vecindad del punto a hay puntos del conjunto X diferentes de a.

Ha llegado el momento de entender ¿cuál es el límite de una función?

La b pura a la que tiende la función cuando x tiende al número a se llama límite de la función. Esto está escrito de la siguiente manera:

Por ejemplo, f(x) = x2. Necesitamos averiguar a qué tiende la función (a qué no es igual) en x 2. Primero, escribimos el límite:

Miremos el gráfico.

Dibujemos una línea paralela al eje 0Y que pase por el punto 2 del eje 0X. Intersectará nuestra gráfica en el punto (2;4). Dejemos caer una perpendicular desde este punto al eje 0Y y lleguemos al punto 4. Esto es lo que busca nuestra función en x 2. Si ahora sustituimos el valor 2 en la función f(x), la respuesta será la misma .

Ahora antes de pasar a calculo de limites, introduzcamos definiciones básicas.

Introducido por el matemático francés Augustin Louis Cauchy en el siglo XIX.

Supongamos que la función f(x) está definida en un intervalo determinado que contiene el punto x = A, pero no es en absoluto necesario que se defina el valor de f(A).

Entonces, según la definición de Cauchy, límite de la función f(x) será un cierto número B con x tendiendo a A si para cada C > 0 existe un número D > 0 para el cual

Aquellos. si la función f(x) en x A está limitada por el límite B, esto se escribe como

Límite de secuencia se llama un cierto número A si para cualquier número positivo arbitrariamente pequeño B > 0 hay un número N para el cual todos los valores en el caso n > N satisfacen la desigualdad

Este límite parece .

Una sucesión que tiene límite la llamaremos convergente; si no, la llamaremos divergente.

Como ya habrás notado, los límites se indican mediante el ícono lim, bajo el cual se escribe alguna condición para la variable y luego se escribe la función en sí. Dicho conjunto se leerá como “el límite de una función sujeta a...”. Por ejemplo:

- el límite de la función cuando x tiende a 1.

La expresión “acercarse a 1” significa que x toma sucesivamente valores que se aproximan a 1 infinitamente cercanos.

Ahora queda claro que para calcular este límite basta con sustituir x por el valor 1:

Además de un valor numérico específico, x también puede tender al infinito. Por ejemplo:

La expresión x significa que x aumenta constantemente y se acerca al infinito sin límite. Por lo tanto, sustituyendo x por infinito, resulta obvio que la función 1-x tenderá a , pero con el signo opuesto:

De este modo, calculo de limites Se reduce a encontrar su valor específico o un área determinada en la que cae la función limitada por el límite.

De lo anterior se deduce que al calcular los límites es importante utilizar varias reglas:

Comprensión esencia del límite y reglas básicas cálculos de límites, obtendrá información clave sobre cómo resolverlos. Si algún límite le causa dificultades, escriba los comentarios y definitivamente lo ayudaremos.

Nota: La jurisprudencia es la ciencia de las leyes que ayuda en conflictos y otras dificultades de la vida.

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Para resolver límites se utilizan todas las técnicas posibles, especialmente el método de L'Hopital, ya que es universal y conduce a una respuesta más rápido que otros métodos para calcular el límite de una función. Es interesante ver ejemplos en los que el módulo está presente. Por cierto, según las reglas de nuestro recurso, un módulo se indica con la clásica barra vertical en matemáticas “|” o Abs(f(x)) del latín absoluto. A menudo es necesario resolver un límite para calcular la suma de una secuencia numérica. Como todo el mundo sabe, sólo hace falta expresar correctamente la suma parcial de la secuencia en estudio, y entonces todo será mucho más sencillo, gracias a nuestro servicio gratuito en la web, ya que calcular el límite de la suma parcial es la suma final de la secuencia numérica. En términos generales, la teoría del paso al límite es el concepto básico de todo análisis matemático. Todo se basa precisamente en pasajes a límites, es decir, resolver límites es la base de la ciencia del análisis matemático. En la integración también se utiliza el paso al límite, cuando la integral, según la teoría, se representa como la suma de un número ilimitado de áreas. Donde hay un número ilimitado de algo, es decir, la tendencia del número de objetos al infinito, entonces siempre entra en vigor la teoría de las transiciones límite, y en su forma generalmente aceptada es una solución a los límites familiares para todos. Resolver límites en línea en el sitio es un servicio único para recibir una respuesta precisa e instantánea en tiempo real. El límite de una función (el valor límite de una función) en un punto dado, el punto límite para el dominio de definición de la función, es el valor al que tiende el valor de la función en cuestión a medida que su argumento tiende a un valor dado. punto. No es raro, e incluso diríamos muy frecuente, que a los estudiantes se les plantee la cuestión de resolver límites online cuando estudian análisis matemático. Cuando nos preguntamos acerca de cómo resolver un límite en línea con una solución detallada solo en casos especiales, queda claro que no se puede resolver un problema complejo sin utilizar una calculadora de límites. Resolver límites con nuestro servicio es garantía de precisión y sencillez. El límite de una función es una generalización del concepto de límite de una secuencia: inicialmente, el límite de una función en un punto se entendía como el límite de una secuencia de. elementos del dominio de valores de una función, compuestos por imágenes de puntos de una secuencia de elementos del dominio de definición de una función que convergen a un punto dado (límite en el que se está considerando); si existe tal límite, entonces se dice que la función converge al valor especificado; si tal límite no existe, entonces se dice que la función diverge. Resolver límites en línea se convierte en una respuesta fácil para los usuarios siempre que sepan cómo resolver límites en línea utilizando el sitio web. Mantengámonos concentrados y no permitamos que los errores nos causen problemas en forma de calificaciones insatisfactorias. Como cualquier solución a los límites en línea, su problema se presentará de una forma conveniente y comprensible, con una solución detallada, cumpliendo con todas las reglas y regulaciones para obtener una solución. Muy a menudo, la definición del límite de una función se formula en el lenguaje de las vecindades. Aquí, los límites de una función se consideran solo en puntos que son limitantes para el dominio de definición de la función, lo que significa que en cada vecindad de un punto dado hay puntos del dominio de definición de esta misma función. Esto nos permite hablar de la tendencia del argumento de la función hasta un punto determinado. Pero el punto límite del dominio de definición no tiene por qué pertenecer al dominio de definición mismo, y esto se prueba resolviendo el límite: por ejemplo, se puede considerar el límite de una función en los extremos del intervalo abierto en el que la función está definida. En este caso, los propios límites del intervalo no están incluidos en el dominio de definición. En este sentido, un sistema de vecindades perforadas de un punto dado es un caso especial de dicha base de conjuntos. La resolución de límites online con una solución detallada se realiza en tiempo real y utilizando fórmulas en una forma explícitamente especificada. Puede ahorrar tiempo y, lo más importante, dinero, ya que no solicitamos compensación por ello. Si en algún punto del dominio de definición de una función hay un límite y la solución a este límite es igual al valor de la función en ese punto, entonces la función resulta ser continua en ese punto. En nuestro sitio web, la solución a los límites está disponible en línea las veinticuatro horas del día, todos los días y cada minuto. Usar la calculadora de límites es muy importante y lo principal es usarla cada vez que necesites poner a prueba tus conocimientos. Los estudiantes claramente se benefician de toda esta funcionalidad. Calcular el límite utilizando y aplicando únicamente la teoría no siempre será tan sencillo, como afirman estudiantes experimentados de los departamentos de matemáticas de las universidades del país. El hecho sigue siendo un hecho si hay un objetivo. Normalmente, la solución encontrada a los límites no es aplicable localmente para la formulación del problema. Un estudiante se alegrará tan pronto como descubra una calculadora de límites en línea en Internet y disponible de forma gratuita, y no solo para él, sino para todos. El propósito debe considerarse como matemática, en su sentido general. Si pregunta en Internet cómo encontrar el límite en línea en detalle, entonces la gran cantidad de sitios que aparecen como resultado de la solicitud no le ayudarán tanto como a nosotros. La diferencia entre las partes se multiplica por la equivalencia del incidente. El límite legítimo original de una función debe ser determinado por la formulación del propio problema matemático. Hamilton tenía razón, pero vale la pena considerar las declaraciones de sus contemporáneos. Calcular límites en línea no es una tarea tan difícil como podría parecerle a alguien a primera vista... Para no romper la verdad de teorías inquebrantables. Volviendo a la situación inicial, es necesario calcular el límite de forma rápida, eficiente y en un formato ordenado. ¿Sería posible hacer lo contrario? Este enfoque es obvio y justificado. La calculadora de límites fue creada para aumentar el conocimiento, mejorar la calidad de la redacción de las tareas y elevar el estado de ánimo general entre los estudiantes, para que sea adecuada para ellos. Sólo necesitas pensar lo más rápido posible y la mente triunfará. Hablar explícitamente de los límites de los términos de interpolación en línea es una actividad muy sofisticada para los profesionales en su oficio. Predecimos la proporción del sistema de diferencias no planificadas en puntos del espacio. Y nuevamente, el problema se reduce a la incertidumbre, basada en el hecho de que el límite de la función existe en el infinito y en una cierta vecindad de un punto local en un eje x dado después de una transformación afín de la expresión inicial. Será más fácil analizar el ascenso de puntos en el plano y en la cima del espacio. En general, no se habla de derivar una fórmula matemática, ni en la realidad ni en la teoría, por lo que la calculadora de límites en línea se utiliza para el fin previsto en este sentido. Sin definir el límite en línea, me resulta difícil realizar más cálculos en el campo del estudio del espacio curvilíneo. No sería más fácil encontrar la verdadera respuesta correcta. ¿Es imposible calcular un límite si un punto dado en el espacio es incierto de antemano? Rechacemos la existencia de respuestas más allá del área de estudio. La resolución de límites se puede discutir desde el punto de vista del análisis matemático como inicio del estudio de la secuencia de puntos en un eje. El mero hecho del cálculo puede resultar inapropiado. Los números se pueden representar como una secuencia infinita y se identifican mediante la notación inicial después de que hayamos resuelto el límite en línea en detalle según la teoría. Justificado a favor del mejor valor. El resultado de la función límite, como error evidente en un problema formulado incorrectamente, puede distorsionar la idea del proceso mecánico real de un sistema inestable. La capacidad de expresar significado directamente en el área de visualización. Al asociar un límite en línea con una notación similar de un valor límite unilateral, es mejor evitar expresarlo explícitamente mediante fórmulas de reducción. Además de iniciar la ejecución proporcional de la tarea. Ampliaremos el polinomio después de que podamos calcular el límite unilateral y escribirlo en el infinito. Los pensamientos simples conducen a un resultado verdadero en el análisis matemático. Una solución simple de límites a menudo se reduce a diferentes grados de igualdad de ilustraciones matemáticas opuestas ejecutadas. Las líneas y los números de Fibonacci descifraron la calculadora de límites en línea, dependiendo de esto, puede solicitar un cálculo ilimitado y tal vez la complejidad pase a un segundo plano. El proceso de desplegar el gráfico en un plano en una porción de espacio tridimensional está en marcha. Esto inculcó la necesidad de tener diferentes puntos de vista sobre un problema matemático complejo. Sin embargo, el resultado no tardará en llegar. Sin embargo, el proceso continuo de realización del producto ascendente distorsiona el espacio de las líneas y anota el límite en línea para familiarizarse con la formulación del problema. La naturalidad del proceso de acumulación de problemas determina la necesidad de conocimiento de todas las áreas de las disciplinas matemáticas. Una excelente calculadora de límites se convertirá en una herramienta indispensable en manos de estudiantes expertos y apreciarán todas sus ventajas sobre los análogos del progreso digital. En las escuelas, por alguna razón, los límites en línea se denominan de manera diferente que en los institutos. El valor de la función aumentará cuando cambie el argumento. L'Hopital también dijo que encontrar el límite de una función es sólo la mitad de la batalla; es necesario llevar el problema a su conclusión lógica y presentar la respuesta en forma ampliada. La realidad es adecuada a la presencia de hechos en el caso. El límite en línea está asociado con aspectos históricamente importantes de las disciplinas matemáticas y constituye la base para el estudio de la teoría de números. La codificación de páginas en fórmulas matemáticas está disponible en el idioma del cliente en el navegador. Cómo calcular el límite usando un método legal aceptable, sin forzar que la función cambie en la dirección del eje x. En general, la realidad del espacio depende no sólo de la convexidad de una función o de su concavidad. Elimine todas las incógnitas del problema y resolver los límites resultará en el menor gasto de sus recursos matemáticos disponibles. Resolver el problema planteado corregirá la funcionalidad al cien por cien. La expectativa matemática resultante revelará en detalle el límite en línea con respecto a la desviación del ratio especial significativo más pequeño. Pasaron tres días desde que se tomó la decisión matemática a favor de la ciencia. Esta es una actividad realmente útil. Sin ninguna razón, la ausencia de un límite en línea significará una divergencia en el enfoque general para resolver problemas situacionales. En el futuro se demandará un nombre mejor para el límite unilateral con incertidumbre 0/0. Un recurso no sólo puede ser hermoso y bueno, sino también útil cuando puede calcular el límite por usted. El gran científico, cuando era estudiante, investigó funciones para escribir un artículo científico. Han pasado diez años. Antes de varios matices, vale la pena comentar sin ambigüedades la expectativa matemática a favor del hecho de que el límite de la función toma prestada la divergencia de los principales. Respondieron al trabajo de prueba ordenado. En matemáticas, una posición excepcional en la enseñanza la ocupa, curiosamente, el estudio de los límites en línea con relaciones con terceros mutuamente excluyentes. Como ocurre en los casos ordinarios. No tienes que reproducir nada. Habiendo analizado los enfoques de los estudiantes sobre las teorías matemáticas, dejaremos la solución de límites para la etapa final. Este es el significado de lo siguiente, examine el texto. La refracción determina inequívocamente la expresión matemática como esencia de la información recibida. el límite en línea es la esencia de determinar la verdadera posición del sistema matemático de relatividad de vectores multidireccionales. En este sentido quiero expresar mi propia opinión. Como en la tarea anterior. El distintivo límite en línea extiende su influencia en detalle a la visión matemática del estudio secuencial del análisis de programas en el campo de estudio. En el contexto de la teoría, las matemáticas son algo más elevado que la simple ciencia. La lealtad se demuestra con acciones. Sigue siendo imposible interrumpir deliberadamente la cadena de números consecutivos que comienzan su movimiento ascendente si el límite se calcula incorrectamente. La superficie de doble cara se expresa en su forma natural en tamaño completo. La capacidad de explorar el análisis matemático limita el límite de una función a una secuencia de series funcionales como una vecindad épsilon en un punto determinado. A diferencia de la teoría de funciones, los errores en los cálculos no están excluidos, pero así lo prevé la situación. El problema en línea de división por límite se puede escribir con una función de divergencia variable para el producto rápido de un sistema no lineal en un espacio tridimensional. Un caso trivial es la base de operación. No es necesario ser estudiante para analizar este caso. La totalidad de los momentos del cálculo en curso, inicialmente la solución de los límites, se determina como el funcionamiento de todo el sistema integral de progreso a lo largo del eje de ordenadas en múltiples valores de números. Tomamos como valor base el valor matemático más pequeño posible. La conclusión es obvia. La distancia entre los planos ayudará a ampliar la teoría de los límites en línea, ya que el uso del método de cálculo divergente del aspecto subpolar de importancia no tiene ningún significado inherente. Una excelente opción, si la calculadora de límites está ubicada en el servidor, se puede tomar como está sin distorsionar la importancia del cambio de superficie en las áreas; de lo contrario, el problema de linealidad aumentará. Un análisis matemático completo reveló la inestabilidad del sistema junto con su descripción en la región de la vecindad más pequeña del punto. Como cualquier límite de una función a lo largo del eje de intersección de ordenadas y abscisas, es posible encerrar los valores numéricos de los objetos en alguna vecindad mínima según la distribución de la funcionalidad del proceso de investigación. Anotemos la tarea punto por punto. Hay una división en etapas de la escritura. Las afirmaciones académicas de que calcular el límite es realmente difícil o nada fácil están respaldadas por un análisis de las opiniones matemáticas de todos los estudiantes de pregrado y posgrado sin excepción. Los posibles resultados intermedios no tardarán en llegar. El límite anterior se estudia en línea en detalle en el mínimo absoluto de la diferencia de objetos del sistema más allá del cual se distorsiona la linealidad del espacio de las matemáticas. Los estudiantes no utilizan la segmentación de áreas más grandes del área para calcular desacuerdos múltiples después de registrar la calculadora de límites en línea para restas. Después del comienzo, prohibiremos a los estudiantes revisar problemas para estudiar el entorno espacial en matemáticas. Como ya hemos encontrado el límite de la función, construyamos una gráfica de su estudio en el plano. Resaltemos los ejes de ordenadas con un color especial y mostremos la dirección de las líneas. Hay estabilidad. La incertidumbre está presente durante mucho tiempo durante la redacción de la respuesta. Calcula el límite de una función en un punto simplemente analizando la diferencia entre los límites en el infinito en las condiciones iniciales. Este método no es conocido por todos los usuarios. Necesitamos análisis matemático. Resolver los límites acumula experiencia en la mente de generaciones durante muchos años. Es imposible no complicar el proceso. Los estudiantes de todas las generaciones son responsables de su conclusión. Todo lo anterior puede comenzar a cambiar en ausencia de un argumento que fije la posición de las funciones alrededor de un cierto punto que va por detrás de los calculadores de límites en términos de la diferencia en el poder de cálculo. Examinemos la función para obtener la respuesta resultante. La conclusión no es obvia. Habiendo excluido las funciones implícitas del número total después de transformar las expresiones matemáticas, el último paso sigue siendo encontrar los límites en línea correctamente y con alta precisión. La aceptabilidad de la decisión emitida está sujeta a verificación. El proceso continúa. Ubicando la secuencia aislada de las funciones y, valiéndose de su enorme experiencia, los matemáticos deben calcular el límite para justificar la dirección correcta en la investigación. Un resultado así no necesita un impulso teórico. Cambie la proporción de números dentro de una determinada vecindad de un punto distinto de cero en el eje x hacia el ángulo de inclinación espacial variable de la calculadora de límites en línea en el problema escrito de matemáticas. Conectemos dos regiones en el espacio. El desacuerdo entre los solucionadores sobre cómo el límite de una función adquiere las propiedades de los valores unilaterales en el espacio no puede pasar desapercibido ante las actuaciones intensificadas y supervisadas de los estudiantes. La dirección de matemáticas en línea de límites ha adoptado una de las posiciones menos controvertidas en cuanto a la incertidumbre en los cálculos de estos mismos límites. Una calculadora de límite en línea para la altura de triángulos y cubos isósceles con un lado de tres radios de un círculo ayudará al estudiante a aprender de memoria en una etapa temprana de la ciencia. Dejemos a la conciencia de los estudiantes resolver los límites en el estudio de un sistema matemático funcional debilitado desde el lado del plano de investigación. La opinión del estudiante sobre la teoría de números es ambigua. Cada uno tiene su propia opinión. Una dirección correcta en el estudio de las matemáticas ayudará a calcular el límite en el verdadero sentido, como ocurre en las universidades de los países avanzados. La cotangente en matemáticas se calcula como una calculadora de límites y es la relación de otras dos funciones trigonométricas elementales, a saber, el coseno y el seno del argumento. Esta es la solución para reducir a la mitad los segmentos. Es poco probable que un enfoque diferente resuelva la situación a favor del momento pasado. Podemos hablar durante mucho tiempo de que es muy difícil e inútil resolver el límite en línea en detalle sin comprensión, pero este enfoque tiende a mejorar la disciplina interna de los estudiantes.

Al calcular los límites, se debe tener en cuenta. las siguientes reglas básicas:

1. El límite de la suma (diferencia) de funciones es igual a la suma (diferencia) de los límites de los términos:

2. El límite de un producto de funciones es igual al producto de los límites de los factores:

3. El límite de la relación de dos funciones es igual a la relación de los límites de estas funciones:

.

4. El factor constante se puede llevar más allá del signo límite:

.

5. El límite de una constante es igual a la propia constante:

6. Para funciones continuas, los símbolos de límite y función se pueden intercambiar:

.

Para encontrar el límite de una función se debe comenzar sustituyendo el valor en la expresión de la función. Además, si se obtiene el valor numérico 0 o ¥, entonces se ha encontrado el límite deseado.

Ejemplo 2.1. Calcula el límite.

Solución.

.

Las expresiones de la forma , , , , , se llaman incertidumbres.

Si obtienes una incertidumbre de la forma , entonces para encontrar el límite necesitas transformar la función para revelar esta incertidumbre.

La incertidumbre de forma generalmente se obtiene cuando se da el límite de la razón de dos polinomios. En este caso, para calcular el límite se recomienda factorizar los polinomios y reducir por un factor común. Este multiplicador es cero en el valor límite. incógnita .

Ejemplo 2.2. Calcula el límite.

Solución.

Sustituyendo , obtenemos incertidumbre:

.

Factoricemos el numerador y el denominador:

;

Reduzcamos por un factor común y obtengamos

.

Una incertidumbre de la forma se obtiene cuando el límite de la razón de dos polinomios se da en . En este caso, para calcularlo se recomienda dividir ambos polinomios entre incógnita en el grado superior.

Ejemplo 2.3. Calcula el límite.

Solución. Al sustituir ∞, obtenemos una incertidumbre de la forma , por lo que dividimos todos los términos de la expresión entre x3.

.

Aquí se tiene en cuenta que .

Al calcular los límites de una función que contiene raíces, se recomienda multiplicar y dividir la función por su conjugado.

Ejemplo 2.4. Calcular límite

Solución.

Al calcular límites para revelar incertidumbre de la forma o (1) ∞, a menudo se utilizan el primer y segundo límites notables:



Muchos problemas asociados con el crecimiento continuo de alguna cantidad conducen al segundo límite notable.

Consideremos el ejemplo de Ya. I. Perelman, dando una interpretación del número. mi en el problema de interés compuesto. En las cajas de ahorros, el dinero de los intereses se añade anualmente al capital fijo. Si la adhesión se realiza con más frecuencia, el capital crece más rápido, ya que en la formación de intereses interviene una cantidad mayor. Tomemos un ejemplo puramente teórico y muy simplificado.

Depositemos 100 denarios en el banco. unidades basado en el 100% anual. Si el dinero de los intereses se añade al capital fijo sólo después de un año, entonces en este período 100 den. unidades se convertirá en 200 unidades monetarias.

Ahora veamos en qué se convertirán 100 denize. unidades, si el dinero de los intereses se añade al capital fijo cada seis meses. Después de seis meses, 100 den. unidades crecerá en 100 × 1,5 = 150, y después de otros seis meses, en 150 × 1,5 = 225 (unidades den.). Si la adhesión se realiza cada 1/3 del año, luego de un año 100 den. unidades se convertirá en 100 × (1 +1/3) 3 "237 (unidades den.).

Aumentaremos los plazos para agregar dinero de intereses a 0,1 año, hasta 0,01 año, hasta 0,001 año, etc. Luego de 100 den. unidades después de un año será:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unidades pobladas),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unidades pobladas),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unidades poblacionales).

Con una reducción ilimitada en los plazos para agregar intereses, el capital acumulado no crece indefinidamente, sino que se acerca a un cierto límite igual a aproximadamente 271. El capital depositado al 100% anual no puede aumentar más de 2,71 veces, incluso si los intereses acumulados fueron agregados a la capital cada segundo porque

Ejemplo 2.5. Calcular el límite de una función.

Solución.

Ejemplo 2.6. Calcular el límite de una función. .

Solución. Sustituyendo obtenemos la incertidumbre:

.

Usando la fórmula trigonométrica, transformamos el numerador en producto:

Como resultado obtenemos

Aquí se tiene en cuenta el segundo límite destacable.

Ejemplo 2.7. Calcular el límite de una función.

Solución.

.

Para revelar la incertidumbre de la forma o, puede utilizar la regla de L'Hopital, que se basa en el siguiente teorema.

Teorema. El límite de la razón de dos funciones infinitesimales o infinitamente grandes es igual al límite de la razón de sus derivadas.

Tenga en cuenta que esta regla se puede aplicar varias veces seguidas.

Ejemplo 2.8. Encontrar

Solución. Al sustituir tenemos una incertidumbre de la forma. Aplicando la regla de L'Hopital se tiene

Continuidad de la función

Una propiedad importante de una función es la continuidad.

Definición. La función se considera continuo, si un pequeño cambio en el valor del argumento implica un pequeño cambio en el valor de la función.

Matemáticamente esto se escribe de la siguiente manera: cuando

Por y se entiende el incremento de variables, es decir, la diferencia entre los valores anteriores y posteriores: , (Figura 2.3)

Figura 2.3 – Incremento de variables

De la definición de función continua en el punto se deduce que . Esta igualdad significa que se cumplen tres condiciones:

Solución. Para función el punto es sospechoso de una discontinuidad, comprobemos esto y encontremos límites unilaterales

Por eso, , Medio - punto de quiebre


Derivada de una función

Límite de función- número a será el límite de alguna cantidad variable si, en el proceso de su cambio, esta cantidad variable se acerca indefinidamente a.

O en otras palabras, el número A es el límite de la función y = f(x) en el punto x0, si para cualquier secuencia de puntos del dominio de definición de la función, no es igual x0, y que converge al punto x 0 (lím x n = x0), la secuencia de valores de función correspondientes converge al número A.

La gráfica de una función cuyo límite, dado un argumento que tiende al infinito, es igual a l:

Significado A es límite (valor límite) de la función f(x) en el punto x0 en caso de cualquier secuencia de puntos , que converge a x0, pero que no contiene x0 como uno de sus elementos (es decir, en la zona perforada x0), secuencia de valores de función converge a A.

Límite de una función de Cauchy.

Significado A será límite de la función f(x) en el punto x0 si para cualquier número no negativo tomado por adelantado ε se encontrará el número no negativo correspondiente δ = δ(ε) tal que para cada argumento incógnita, satisfaciendo la condición 0 < | x - x0 | < δ , la desigualdad quedará satisfecha | f(x)A |< ε .

Será muy sencillo si comprendes la esencia del límite y las reglas básicas para encontrarlo. ¿Cuál es el límite de la función? f (incógnita) en incógnita luchando por a es igual A, está escrito así:

Además, el valor al que tiende la variable incógnita, puede ser no solo un número, sino también infinito (∞), a veces +∞ o -∞, o puede que no haya ningún límite.

para entender como encontrar los límites de una función, lo mejor es mirar ejemplos de soluciones.

Es necesario encontrar los límites de la función. f (x) = 1/incógnita en:

incógnita→ 2, incógnita→ 0, incógnita∞.

Busquemos una solución al primer límite. Para hacer esto, simplemente puede sustituir incógnita el número al que tiende, es decir 2, obtenemos:

Encontremos el segundo límite de la función.. Aquí sustituya 0 puro en su lugar. incógnita es imposible, porque No puedes dividir por 0. Pero podemos tomar valores cercanos a cero, por ejemplo, 0,01; 0,001; 0,0001; 0.00001 y así sucesivamente, y el valor de la función. f (incógnita) aumentará: 100; 1000; 10000; 100.000 y así sucesivamente. Así, se puede entender que cuando incógnita→ 0 el valor de la función que está bajo el signo de límite aumentará sin límite, es decir esforzarse hacia el infinito. Lo que significa:

Respecto al tercer límite. Misma situación que en el caso anterior, no es posible sustituir en su forma más pura. Necesitamos considerar el caso de aumento ilimitado. incógnita. Sustituimos 1000 uno por uno; 10000; 100000 y así sucesivamente, tenemos que el valor de la función f (x) = 1/incógnita disminuirá: 0,001; 0,0001; 0,00001; y así sucesivamente, tendiendo a cero. Es por eso:

Es necesario calcular el límite de la función.

Al comenzar a resolver el segundo ejemplo, vemos incertidumbre. Desde aquí encontramos el grado más alto del numerador y denominador: esto es x3, lo sacamos de los corchetes en el numerador y denominador y luego lo reducimos por:

Respuesta

El primer paso en encontrar este límite, sustituye el valor 1 en su lugar incógnita, lo que genera incertidumbre. Para resolverlo, factoricemos el numerador y hagamos esto usando el método de encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. x2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2x1 = -3;x2= 1.

Entonces el numerador será:

Respuesta

Esta es la definición de su valor específico o un área determinada donde cae la función, que está limitada por el límite.

Para resolver límites, siga las reglas:

Habiendo entendido la esencia y principal. reglas para resolver el límite, obtendrá una comprensión básica de cómo resolverlos.



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