Conceptos de límites de sucesiones y funciones. Cuando es necesario encontrar el límite de una secuencia, se escribe de la siguiente manera: lim xn=a. En tal secuencia de secuencias, xn tiende a ayn tiende a infinito. La secuencia suele representarse como una serie, por ejemplo:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Las secuencias se dividen en crecientes y decrecientes. Por ejemplo:
xn=n^2 - secuencia creciente
yn=1/n - secuencia
Entonces, por ejemplo, el límite de la secuencia xn=1/n^ :
límite 1/n^2=0
x→∞
Este límite es igual a cero, ya que n→∞, y la secuencia 1/n^2 tiende a cero.
Normalmente, una cantidad variable x tiende a un límite finito a, y x se acerca constantemente a a, y la cantidad a es constante. Esto se escribe de la siguiente manera: limx =a, mientras que n también puede tender a cero o al infinito. Hay infinitas funciones cuyo límite tiende al infinito. En otros casos, cuando, por ejemplo, la función está desacelerando un tren, el límite tiende a cero.
Los límites tienen varias propiedades. Normalmente, cualquier función tiene un solo límite. Ésta es la propiedad principal del límite. Otros se enumeran a continuación:
* El límite de monto es igual a la suma de los límites:
lím(x+y)=lím x+lím y
* El límite del producto es igual al producto de los límites:
lim(xy)=lim x*lim y
* El límite del cociente es igual al cociente de los límites:
lím(x/y)=lím x/lím y
* El factor constante se toma fuera del signo límite:
lím(Cx)=C lím x
Dada una función 1 /x en la que x →∞, su límite es cero. Si x→0, el límite de dicha función es ∞.
Para funciones trigonométricas existen algunas de estas reglas. Dado que la función sen x siempre tiende a la unidad cuando se aproxima a cero, la identidad se cumple para ella:
límite sen x/x=1
En varias funciones hay funciones, al calcular cuyos límites surge la incertidumbre, una situación en la que el límite no se puede calcular. La única salida a esta situación es L'Hopital. Hay dos tipos de incertidumbres:
* incertidumbre de la forma 0/0
* incertidumbre de la forma ∞/∞
Por ejemplo, se da un límite de la siguiente forma: lim f(x)/l(x), y f(x0)=l(x0)=0. En este caso surge una incertidumbre de la forma 0/0. Para resolver tal problema, se diferencian ambas funciones, después de lo cual se encuentra el límite del resultado. Para incertidumbres de tipo 0/0, el límite es:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (en x→0)
La misma regla también es válida para incertidumbres del tipo ∞/∞. Pero en este caso se cumple la siguiente igualdad: f(x)=l(x)=∞
Utilizando la regla de L'Hopital, se pueden encontrar los valores de cualquier límite en el que aparezcan incertidumbres. Un requisito previo para
volumen: sin errores al encontrar derivados. Entonces, por ejemplo, la derivada de la función (x^2)" es igual a 2x. De aquí podemos concluir que:
f"(x)=nx^(n-1)
Veamos algunos ejemplos ilustrativos.
Sea x una variable numérica, X el área de su cambio. Si cada número x perteneciente a X está asociado a un determinado número y, entonces se dice que se define una función en el conjunto X y se escribe y = f(x).
El conjunto X en este caso es un plano que consta de dos ejes de coordenadas: 0X y 0Y. Por ejemplo, representemos la función y = x 2. Los ejes 0X y 0Y forman X, el área de su cambio. La figura muestra claramente cómo se comporta la función. En este caso, dicen que la función y = x 2 está definida en el conjunto X.
El conjunto Y de todos los valores parciales de una función se llama conjunto de valores f(x). En otras palabras, el conjunto de valores es el intervalo a lo largo del eje 0Y donde se define la función. La parábola representada muestra claramente que f(x) > 0, porque x2 > 0. Por tanto, el rango de valores será . Observamos muchos valores por 0Y.
El conjunto de todos los x se llama dominio de f(x). Miramos muchas definiciones por 0X y en nuestro caso el rango de valores aceptables es [-; +].
Un punto a (a pertenece a o X) se llama punto límite del conjunto X si en cualquier vecindad del punto a hay puntos del conjunto X diferentes de a.
Ha llegado el momento de entender ¿cuál es el límite de una función?
La b pura a la que tiende la función cuando x tiende al número a se llama límite de la función. Esto está escrito de la siguiente manera:
Por ejemplo, f(x) = x2. Necesitamos averiguar a qué tiende la función (a qué no es igual) en x 2. Primero, escribimos el límite:
Miremos el gráfico.
Dibujemos una línea paralela al eje 0Y que pase por el punto 2 del eje 0X. Intersectará nuestra gráfica en el punto (2;4). Dejemos caer una perpendicular desde este punto al eje 0Y y lleguemos al punto 4. Esto es lo que busca nuestra función en x 2. Si ahora sustituimos el valor 2 en la función f(x), la respuesta será la misma .
Ahora antes de pasar a calculo de limites, introduzcamos definiciones básicas.
Introducido por el matemático francés Augustin Louis Cauchy en el siglo XIX.
Supongamos que la función f(x) está definida en un intervalo determinado que contiene el punto x = A, pero no es en absoluto necesario que se defina el valor de f(A).
Entonces, según la definición de Cauchy, límite de la función f(x) será un cierto número B con x tendiendo a A si para cada C > 0 existe un número D > 0 para el cual
Aquellos. si la función f(x) en x A está limitada por el límite B, esto se escribe como
Límite de secuencia se llama un cierto número A si para cualquier número positivo arbitrariamente pequeño B > 0 hay un número N para el cual todos los valores en el caso n > N satisfacen la desigualdad
Este límite parece .
Una sucesión que tiene límite la llamaremos convergente; si no, la llamaremos divergente.
Como ya habrás notado, los límites se indican mediante el ícono lim, bajo el cual se escribe alguna condición para la variable y luego se escribe la función en sí. Dicho conjunto se leerá como “el límite de una función sujeta a...”. Por ejemplo:
- el límite de la función cuando x tiende a 1.
La expresión “acercarse a 1” significa que x toma sucesivamente valores que se aproximan a 1 infinitamente cercanos.
Ahora queda claro que para calcular este límite basta con sustituir x por el valor 1:
Además de un valor numérico específico, x también puede tender al infinito. Por ejemplo:
La expresión x significa que x aumenta constantemente y se acerca al infinito sin límite. Por lo tanto, sustituyendo x por infinito, resulta obvio que la función 1-x tenderá a , pero con el signo opuesto:
De este modo, calculo de limites Se reduce a encontrar su valor específico o un área determinada en la que cae la función limitada por el límite.
De lo anterior se deduce que al calcular los límites es importante utilizar varias reglas:
Comprensión esencia del límite y reglas básicas cálculos de límites, obtendrá información clave sobre cómo resolverlos. Si algún límite le causa dificultades, escriba los comentarios y definitivamente lo ayudaremos.
Nota: La jurisprudencia es la ciencia de las leyes que ayuda en conflictos y otras dificultades de la vida.
Al calcular los límites, se debe tener en cuenta. las siguientes reglas básicas:
1. El límite de la suma (diferencia) de funciones es igual a la suma (diferencia) de los límites de los términos:
2. El límite de un producto de funciones es igual al producto de los límites de los factores:
3. El límite de la relación de dos funciones es igual a la relación de los límites de estas funciones:
.
4. El factor constante se puede llevar más allá del signo límite:
.
5. El límite de una constante es igual a la propia constante:
6. Para funciones continuas, los símbolos de límite y función se pueden intercambiar:
.
Para encontrar el límite de una función se debe comenzar sustituyendo el valor en la expresión de la función. Además, si se obtiene el valor numérico 0 o ¥, entonces se ha encontrado el límite deseado.
Ejemplo 2.1. Calcula el límite.
Solución.
.
Las expresiones de la forma , , , , , se llaman incertidumbres.
Si obtienes una incertidumbre de la forma , entonces para encontrar el límite necesitas transformar la función para revelar esta incertidumbre.
La incertidumbre de forma generalmente se obtiene cuando se da el límite de la razón de dos polinomios. En este caso, para calcular el límite se recomienda factorizar los polinomios y reducir por un factor común. Este multiplicador es cero en el valor límite. incógnita .
Ejemplo 2.2. Calcula el límite.
Solución.
Sustituyendo , obtenemos incertidumbre:
.
Factoricemos el numerador y el denominador:
;
Reduzcamos por un factor común y obtengamos
.
Una incertidumbre de la forma se obtiene cuando el límite de la razón de dos polinomios se da en . En este caso, para calcularlo se recomienda dividir ambos polinomios entre incógnita en el grado superior.
Ejemplo 2.3. Calcula el límite.
Solución. Al sustituir ∞, obtenemos una incertidumbre de la forma , por lo que dividimos todos los términos de la expresión entre x3.
.
Aquí se tiene en cuenta que .
Al calcular los límites de una función que contiene raíces, se recomienda multiplicar y dividir la función por su conjugado.
Ejemplo 2.4. Calcular límite
Solución.
Al calcular límites para revelar incertidumbre de la forma o (1) ∞, a menudo se utilizan el primer y segundo límites notables:
Muchos problemas asociados con el crecimiento continuo de alguna cantidad conducen al segundo límite notable.
Consideremos el ejemplo de Ya. I. Perelman, dando una interpretación del número. mi en el problema de interés compuesto. En las cajas de ahorros, el dinero de los intereses se añade anualmente al capital fijo. Si la adhesión se realiza con más frecuencia, el capital crece más rápido, ya que en la formación de intereses interviene una cantidad mayor. Tomemos un ejemplo puramente teórico y muy simplificado.
Depositemos 100 denarios en el banco. unidades basado en el 100% anual. Si el dinero de los intereses se añade al capital fijo sólo después de un año, entonces en este período 100 den. unidades se convertirá en 200 unidades monetarias.
Ahora veamos en qué se convertirán 100 denize. unidades, si el dinero de los intereses se añade al capital fijo cada seis meses. Después de seis meses, 100 den. unidades crecerá en 100 × 1,5 = 150, y después de otros seis meses, en 150 × 1,5 = 225 (unidades den.). Si la adhesión se realiza cada 1/3 del año, luego de un año 100 den. unidades se convertirá en 100 × (1 +1/3) 3 "237 (unidades den.).
Aumentaremos los plazos para agregar dinero de intereses a 0,1 año, hasta 0,01 año, hasta 0,001 año, etc. Luego de 100 den. unidades después de un año será:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unidades pobladas),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (unidades pobladas),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unidades poblacionales).
Con una reducción ilimitada en los plazos para agregar intereses, el capital acumulado no crece indefinidamente, sino que se acerca a un cierto límite igual a aproximadamente 271. El capital depositado al 100% anual no puede aumentar más de 2,71 veces, incluso si los intereses acumulados fueron agregados a la capital cada segundo porque
Ejemplo 2.5. Calcular el límite de una función.
Solución.
Ejemplo 2.6. Calcular el límite de una función. .
Solución. Sustituyendo obtenemos la incertidumbre:
.
Usando la fórmula trigonométrica, transformamos el numerador en producto:
Como resultado obtenemos
Aquí se tiene en cuenta el segundo límite destacable.
Ejemplo 2.7. Calcular el límite de una función.
Solución.
.
Para revelar la incertidumbre de la forma o, puede utilizar la regla de L'Hopital, que se basa en el siguiente teorema.
Teorema. El límite de la razón de dos funciones infinitesimales o infinitamente grandes es igual al límite de la razón de sus derivadas.
Tenga en cuenta que esta regla se puede aplicar varias veces seguidas.
Ejemplo 2.8. Encontrar
Solución. Al sustituir tenemos una incertidumbre de la forma. Aplicando la regla de L'Hopital se tiene
Continuidad de la función
Una propiedad importante de una función es la continuidad.
Definición. La función se considera continuo, si un pequeño cambio en el valor del argumento implica un pequeño cambio en el valor de la función.
Matemáticamente esto se escribe de la siguiente manera: cuando
Por y se entiende el incremento de variables, es decir, la diferencia entre los valores anteriores y posteriores: , (Figura 2.3)
Figura 2.3 – Incremento de variables |
De la definición de función continua en el punto se deduce que . Esta igualdad significa que se cumplen tres condiciones:
Solución. Para función el punto es sospechoso de una discontinuidad, comprobemos esto y encontremos límites unilaterales
Por eso, , Medio - punto de quiebre
Derivada de una función
Límite de función- número a será el límite de alguna cantidad variable si, en el proceso de su cambio, esta cantidad variable se acerca indefinidamente a.
O en otras palabras, el número A es el límite de la función y = f(x) en el punto x0, si para cualquier secuencia de puntos del dominio de definición de la función, no es igual x0, y que converge al punto x 0 (lím x n = x0), la secuencia de valores de función correspondientes converge al número A.
La gráfica de una función cuyo límite, dado un argumento que tiende al infinito, es igual a l:
Significado A es límite (valor límite) de la función f(x) en el punto x0 en caso de cualquier secuencia de puntos , que converge a x0, pero que no contiene x0 como uno de sus elementos (es decir, en la zona perforada x0), secuencia de valores de función converge a A.
Límite de una función de Cauchy.
Significado A será límite de la función f(x) en el punto x0 si para cualquier número no negativo tomado por adelantado ε se encontrará el número no negativo correspondiente δ = δ(ε) tal que para cada argumento incógnita, satisfaciendo la condición 0 < | x - x0 | < δ , la desigualdad quedará satisfecha | f(x)A |< ε .
Será muy sencillo si comprendes la esencia del límite y las reglas básicas para encontrarlo. ¿Cuál es el límite de la función? f (incógnita) en incógnita luchando por a es igual A, está escrito así:
Además, el valor al que tiende la variable incógnita, puede ser no solo un número, sino también infinito (∞), a veces +∞ o -∞, o puede que no haya ningún límite.
para entender como encontrar los límites de una función, lo mejor es mirar ejemplos de soluciones.
Es necesario encontrar los límites de la función. f (x) = 1/incógnita en:
incógnita→ 2, incógnita→ 0, incógnita→ ∞.
Busquemos una solución al primer límite. Para hacer esto, simplemente puede sustituir incógnita el número al que tiende, es decir 2, obtenemos:
Encontremos el segundo límite de la función.. Aquí sustituya 0 puro en su lugar. incógnita es imposible, porque No puedes dividir por 0. Pero podemos tomar valores cercanos a cero, por ejemplo, 0,01; 0,001; 0,0001; 0.00001 y así sucesivamente, y el valor de la función. f (incógnita) aumentará: 100; 1000; 10000; 100.000 y así sucesivamente. Así, se puede entender que cuando incógnita→ 0 el valor de la función que está bajo el signo de límite aumentará sin límite, es decir esforzarse hacia el infinito. Lo que significa:
Respecto al tercer límite. Misma situación que en el caso anterior, no es posible sustituir ∞ en su forma más pura. Necesitamos considerar el caso de aumento ilimitado. incógnita. Sustituimos 1000 uno por uno; 10000; 100000 y así sucesivamente, tenemos que el valor de la función f (x) = 1/incógnita disminuirá: 0,001; 0,0001; 0,00001; y así sucesivamente, tendiendo a cero. Es por eso:
Es necesario calcular el límite de la función.
Al comenzar a resolver el segundo ejemplo, vemos incertidumbre. Desde aquí encontramos el grado más alto del numerador y denominador: esto es x3, lo sacamos de los corchetes en el numerador y denominador y luego lo reducimos por:
Respuesta
El primer paso en encontrar este límite, sustituye el valor 1 en su lugar incógnita, lo que genera incertidumbre. Para resolverlo, factoricemos el numerador y hagamos esto usando el método de encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. x2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3;x2= 1.
Entonces el numerador será:
Respuesta
Esta es la definición de su valor específico o un área determinada donde cae la función, que está limitada por el límite.
Para resolver límites, siga las reglas:
Habiendo entendido la esencia y principal. reglas para resolver el límite, obtendrá una comprensión básica de cómo resolverlos.