Seguimos estudiando el tema” resolviendo ecuaciones" Ya nos hemos familiarizado con las ecuaciones lineales y estamos pasando a familiarizarnos con ecuaciones cuadráticas.
Primero, veremos qué es una ecuación cuadrática, cómo se escribe en forma general y daremos definiciones relacionadas. Después de esto, usaremos ejemplos para examinar en detalle cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas incompletas. A continuación, pasaremos a resolver ecuaciones completas, obtendremos la fórmula de la raíz, nos familiarizaremos con el discriminante de una ecuación cuadrática y consideraremos soluciones a ejemplos típicos. Finalmente, tracemos las conexiones entre las raíces y los coeficientes.
Navegación de páginas.
¿Qué es una ecuación cuadrática? sus tipos
Primero debes entender claramente qué es una ecuación cuadrática. Por lo tanto, es lógico iniciar una conversación sobre ecuaciones cuadráticas con la definición de ecuación cuadrática, así como las definiciones relacionadas. Después de esto, puedes considerar los principales tipos de ecuaciones cuadráticas: reducidas y no reducidas, así como ecuaciones completas e incompletas.
Definición y ejemplos de ecuaciones cuadráticas.
Definición.
ecuación cuadrática es una ecuación de la forma a x 2 +b x+c=0, donde x es una variable, a, b y c son algunos números y a es distinto de cero.
Digamos de inmediato que las ecuaciones cuadráticas a menudo se denominan ecuaciones de segundo grado. Esto se debe a que la ecuación cuadrática es ecuación algebraica segundo grado.
La definición dada nos permite dar ejemplos de ecuaciones cuadráticas. Entonces 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, etc. Estas son ecuaciones cuadráticas.
Definición.
Números a, b y c se llaman coeficientes de la ecuación cuadrática a·x 2 +b·x+c=0, y el coeficiente a se llama el primero, o el más alto, o el coeficiente de x 2, b es el segundo coeficiente, o el coeficiente de x, y c es el término libre .
Por ejemplo, tomemos una ecuación cuadrática de la forma 5 x 2 −2 x −3=0, aquí el coeficiente principal es 5, el segundo coeficiente es igual a −2 y el término libre es igual a −3. Tenga en cuenta que cuando los coeficientes b y/o c son negativos, como en el ejemplo que acabamos de dar, la forma corta de la ecuación cuadrática es 5 x 2 −2 x−3=0, en lugar de 5 x 2 +(−2). ·x+(−3)=0 .
Vale la pena señalar que cuando los coeficientes a y/o b son iguales a 1 o −1, normalmente no están presentes explícitamente en la ecuación cuadrática, lo que se debe a las peculiaridades de su escritura. Por ejemplo, en la ecuación cuadrática y 2 −y+3=0 el coeficiente principal es uno y el coeficiente de y es igual a −1.
Ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas.
Dependiendo del valor del coeficiente principal, se distinguen ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas. Demos las definiciones correspondientes.
Definición.
Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente principal es 1 se llama dada la ecuación cuadrática. De lo contrario, la ecuación cuadrática es intacto.
Según esta definición, las ecuaciones cuadráticas x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, etc. – dado, en cada uno de ellos el primer coeficiente es igual a uno. A 5 x 2 −x−1=0,etc. - ecuaciones cuadráticas no reducidas, sus coeficientes principales son diferentes de 1.
De cualquier ecuación cuadrática no reducida, dividiendo ambos lados por el coeficiente principal, se puede pasar al reducido. Esta acción es una transformación equivalente, es decir, la ecuación cuadrática reducida obtenida de esta manera tiene las mismas raíces que la ecuación cuadrática no reducida original o, como ésta, no tiene raíces.
Veamos un ejemplo de cómo se realiza la transición de una ecuación cuadrática no reducida a una reducida.
Ejemplo.
De la ecuación 3 x 2 +12 x−7=0, pase a la ecuación cuadrática reducida correspondiente.
Solución.
Solo necesitamos dividir ambos lados de la ecuación original por el coeficiente principal 3, que no es cero, para que podamos realizar esta acción. Tenemos (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, que es lo mismo, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, y luego (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, de donde . Así obtuvimos la ecuación cuadrática reducida, que es equivalente a la original.
Respuesta:
Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas.
La definición de ecuación cuadrática contiene la condición a≠0. Esta condición es necesaria para que la ecuación a x 2 + b x + c = 0 sea cuadrática, ya que cuando a = 0 en realidad se convierte en una ecuación lineal de la forma b x + c = 0.
En cuanto a los coeficientes b y c, pueden ser iguales a cero, tanto individualmente como juntos. En estos casos, la ecuación cuadrática se llama incompleta.
Definición.
La ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0 se llama incompleto, si al menos uno de los coeficientes b, c es igual a cero.
Sucesivamente
Definición.
Ecuación cuadrática completa es una ecuación en la que todos los coeficientes son diferentes de cero.
Estos nombres no fueron dados por casualidad. Esto quedará claro en las siguientes discusiones.
Si el coeficiente b es cero, entonces la ecuación cuadrática toma la forma a·x 2 +0·x+c=0, y es equivalente a la ecuación a·x 2 +c=0. Si c=0, es decir, la ecuación cuadrática tiene la forma a·x 2 +b·x+0=0, entonces se puede reescribir como a·x 2 +b·x=0. Y con b=0 y c=0 obtenemos la ecuación cuadrática a·x 2 =0. Las ecuaciones resultantes difieren de la ecuación cuadrática completa en que sus lados izquierdos no contienen ni un término con la variable x, ni un término libre, ni ambos. De ahí su nombre: ecuaciones cuadráticas incompletas.
Entonces las ecuaciones x 2 +x+1=0 y −2 x 2 −5 x+0.2=0 son ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas, y x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 son ecuaciones cuadráticas incompletas.
Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas
De la información del párrafo anterior se desprende que existe tres tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:
- a·x 2 =0, le corresponden los coeficientes b=0 yc=0;
- a x 2 +c=0 cuando b=0 ;
- y a·x 2 +b·x=0 cuando c=0.
Examinemos en orden cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas de cada uno de estos tipos.
a x 2 = 0
Comencemos resolviendo ecuaciones cuadráticas incompletas en las que los coeficientes b y c son iguales a cero, es decir, con ecuaciones de la forma a x 2 =0. La ecuación a·x 2 =0 es equivalente a la ecuación x 2 =0, que se obtiene de la original dividiendo ambas partes por un número a distinto de cero. Obviamente, la raíz de la ecuación x 2 =0 es cero, ya que 0 2 =0. Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que se explica por el hecho de que para cualquier número p distinto de cero se cumple la desigualdad p 2 >0, lo que significa que para p≠0 la igualdad p 2 =0 nunca se logra.
Entonces, la ecuación cuadrática incompleta a·x 2 =0 tiene una raíz única x=0.
Como ejemplo, damos la solución a la ecuación cuadrática incompleta −4 x 2 =0. Es equivalente a la ecuación x 2 =0, su única raíz es x=0, por lo tanto, la ecuación original tiene una sola raíz cero.
Una solución breve en este caso se puede escribir de la siguiente manera:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0.
a x 2 +c=0
Ahora veamos cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas incompletas en las que el coeficiente b es cero y c≠0, es decir, ecuaciones de la forma a x 2 +c=0. Sabemos que mover un término de un lado de la ecuación al otro con el signo opuesto, así como dividir ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero, da una ecuación equivalente. Por tanto, podemos realizar las siguientes transformaciones equivalentes de la ecuación cuadrática incompleta a x 2 +c=0:
- mueva c al lado derecho, lo que da la ecuación a x 2 = −c,
- y dividimos ambos lados por a, obtenemos .
La ecuación resultante nos permite sacar conclusiones sobre sus raíces. Dependiendo de los valores de a y c, el valor de la expresión puede ser negativo (por ejemplo, si a=1 y c=2, entonces ) o positivo (por ejemplo, si a=−2 y c=6, entonces ), no es cero , ya que por condición c≠0. Veamos los casos por separado.
Si , entonces la ecuación no tiene raíces. Esta afirmación se deriva del hecho de que el cuadrado de cualquier número es un número no negativo. De esto se deduce que cuando , entonces para cualquier número p la igualdad no puede ser verdadera.
Si , entonces la situación con las raíces de la ecuación es diferente. En este caso, si recordamos acerca de , entonces la raíz de la ecuación inmediatamente resulta obvia: es el número, ya que . Es fácil adivinar que el número también es la raíz de la ecuación. Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que puede demostrarse, por ejemplo, por contradicción. Hagamos esto.
Denotemos las raíces de la ecuación que acabamos de anunciar como x 1 y −x 1. Supongamos que la ecuación tiene una raíz más x 2, diferente de las raíces indicadas x 1 y −x 1. Se sabe que sustituir sus raíces en una ecuación en lugar de x convierte la ecuación en una igualdad numérica correcta. Para x 1 y −x 1 tenemos , y para x 2 tenemos . Las propiedades de las igualdades numéricas nos permiten realizar restas término por término de igualdades numéricas correctas, por lo que restar las partes correspondientes de las igualdades da x 1 2 −x 2 2 =0. Las propiedades de las operaciones con números nos permiten reescribir la igualdad resultante como (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Sabemos que el producto de dos números es igual a cero si y sólo si al menos uno de ellos es igual a cero. Por lo tanto, de la igualdad resultante se deduce que x 1 −x 2 =0 y/o x 1 +x 2 =0, que es lo mismo, x 2 =x 1 y/o x 2 =−x 1. Entonces llegamos a una contradicción, ya que al principio dijimos que la raíz de la ecuación x 2 es diferente de x 1 y −x 1. Esto prueba que la ecuación no tiene más raíces que y .
Resumamos la información de este párrafo. La ecuación cuadrática incompleta a x 2 +c=0 es equivalente a la ecuación que
- no tiene raíces si,
- tiene dos raíces y , si .
Consideremos ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a·x 2 +c=0.
Comencemos con la ecuación cuadrática 9 x 2 +7=0. Después de mover el término libre al lado derecho de la ecuación, tomará la forma 9 x 2 = −7. Dividiendo ambos lados de la ecuación resultante por 9, llegamos a . Dado que el lado derecho tiene un número negativo, esta ecuación no tiene raíces, por lo tanto, la ecuación cuadrática incompleta original 9 x 2 +7 = 0 no tiene raíces.
Resolvamos otra ecuación cuadrática incompleta −x 2 +9=0. Movemos el nueve hacia el lado derecho: −x 2 =−9. Ahora dividimos ambos lados por −1, obtenemos x 2 =9. En el lado derecho hay un número positivo, del cual concluimos que o . Luego escribimos la respuesta final: la ecuación cuadrática incompleta −x 2 +9=0 tiene dos raíces x=3 o x=−3.
ax2+bx=0
Queda por abordar la solución del último tipo de ecuaciones cuadráticas incompletas para c=0. Las ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a x 2 + b x = 0 te permiten resolver método de factorización. Evidentemente podemos, ubicado en el lado izquierdo de la ecuación, para lo cual basta con sacar de paréntesis el factor común x. Esto nos permite pasar de la ecuación cuadrática incompleta original a una ecuación equivalente de la forma x·(a·x+b)=0. Y esta ecuación es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones x=0 y a·x+b=0, la última de las cuales es lineal y tiene una raíz x=−b/a.
Entonces, la ecuación cuadrática incompleta a·x 2 +b·x=0 tiene dos raíces x=0 y x=−b/a.
Para consolidar el material, analizaremos la solución a un ejemplo específico.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación.
Solución.
Quitando x de los paréntesis se obtiene la ecuación. Es equivalente a dos ecuaciones x=0 y . Resolvemos la ecuación lineal resultante: , y dividiendo el número mixto por una fracción ordinaria, encontramos . Por tanto, las raíces de la ecuación original son x=0 y .
Después de adquirir la práctica necesaria, las soluciones a tales ecuaciones se pueden escribir brevemente:
Respuesta:
x=0 , .
Discriminante, fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.
Para resolver ecuaciones cuadráticas, existe una fórmula raíz. vamos a escribirlo fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática: , Dónde D=b 2 −4 a c- llamado discriminante de una ecuación cuadrática. La entrada esencialmente significa eso.
Es útil saber cómo se obtuvo la fórmula de la raíz y cómo se utiliza para encontrar las raíces de ecuaciones cuadráticas. Resolvamos esto.
Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.
Necesitamos resolver la ecuación cuadrática a·x 2 +b·x+c=0. Realicemos algunas transformaciones equivalentes:
- Podemos dividir ambos lados de esta ecuación por un número a distinto de cero, lo que da como resultado la siguiente ecuación cuadrática.
- Ahora seleccione un cuadrado completo en su lado izquierdo: . Después de esto, la ecuación tomará la forma.
- En esta etapa, es posible transferir los dos últimos términos al lado derecho con el signo opuesto, tenemos .
- Y transformemos también la expresión del lado derecho: .
Como resultado, llegamos a una ecuación que es equivalente a la ecuación cuadrática original a·x 2 +b·x+c=0.
Ya hemos resuelto ecuaciones de forma similar en los párrafos anteriores, cuando las examinamos. Esto nos permite sacar las siguientes conclusiones con respecto a las raíces de la ecuación:
- si , entonces la ecuación no tiene soluciones reales;
- si , entonces la ecuación tiene la forma , por lo tanto , desde la cual su única raíz es visible;
- si , entonces o , que es lo mismo que o , es decir, la ecuación tiene dos raíces.
Por tanto, la presencia o ausencia de raíces de la ecuación, y por tanto de la ecuación cuadrática original, depende del signo de la expresión del lado derecho. A su vez, el signo de esta expresión viene determinado por el signo del numerador, ya que el denominador 4·a 2 siempre es positivo, es decir, por el signo de la expresión b 2 −4·a·c. Esta expresión b 2 −4 a c se llamó discriminante de una ecuación cuadrática y designado por la letra D. A partir de aquí, la esencia del discriminante es clara: en función de su valor y signo, concluyen si la ecuación cuadrática tiene raíces reales y, de ser así, cuál es su número: uno o dos.
Volvamos a la ecuación y reescribamosla usando la notación discriminante: . Y sacamos conclusiones:
- si D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- si D=0, entonces esta ecuación tiene una raíz única;
- finalmente, si D>0, entonces la ecuación tiene dos raíces o, que se pueden reescribir en la forma o, y luego de expandir y llevar las fracciones a un denominador común obtenemos.
Entonces derivamos las fórmulas para las raíces de la ecuación cuadrática, tienen la forma , donde el discriminante D se calcula mediante la fórmula D=b 2 −4·a·c.
Con su ayuda, con un discriminante positivo, puedes calcular ambas raíces reales de una ecuación cuadrática. Cuando el discriminante es cero, ambas fórmulas dan el mismo valor de la raíz, correspondiente a una solución única de la ecuación cuadrática. Y con un discriminante negativo, al intentar utilizar la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, nos enfrentamos a extraer la raíz cuadrada de un número negativo, lo que nos lleva más allá del alcance del currículo escolar. Con un discriminante negativo, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales, pero tiene un par conjugado complejo raíces, que se pueden encontrar usando las mismas fórmulas de raíces que obtuvimos.
Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas usando fórmulas de raíz.
En la práctica, al resolver ecuaciones cuadráticas, puedes usar inmediatamente la fórmula raíz para calcular sus valores. Pero esto está más relacionado con encontrar raíces complejas.
Sin embargo, en un curso de álgebra escolar normalmente no hablamos de raíces complejas, sino reales de una ecuación cuadrática. En este caso, es recomendable, antes de utilizar las fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática, encontrar primero el discriminante, asegurarse de que no sea negativo (de lo contrario, podemos concluir que la ecuación no tiene raíces reales), y solo entonces calcular los valores de las raíces.
El razonamiento anterior nos permite escribir algoritmo para resolver una ecuación cuadrática. Para resolver la ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0, necesitas:
- utilizando la fórmula discriminante D=b 2 −4·a·c, calcule su valor;
- concluir que una ecuación cuadrática no tiene raíces reales si el discriminante es negativo;
- calcular la única raíz de la ecuación usando la fórmula si D=0;
- encontrar dos raíces reales de una ecuación cuadrática usando la fórmula de la raíz si el discriminante es positivo.
Aquí solo observamos que si el discriminante es igual a cero, también puedes usar la fórmula que dará el mismo valor que .
Puede pasar a ejemplos de uso del algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas.
Ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas.
Consideremos soluciones a tres ecuaciones cuadráticas con un discriminante positivo, negativo y cero. Habiendo entendido su solución, por analogía será posible resolver cualquier otra ecuación cuadrática. Empecemos.
Ejemplo.
Encuentra las raíces de la ecuación x 2 +2·x−6=0.
Solución.
En este caso, tenemos los siguientes coeficientes de la ecuación cuadrática: a=1, b=2 y c=−6. Según el algoritmo, primero es necesario calcular el discriminante, para ello sustituimos los a, b y c indicados en la fórmula del discriminante, tenemos; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Como 28>0, es decir, el discriminante es mayor que cero, la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales. Encontrémoslos usando la fórmula raíz, obtenemos , aquí puedes simplificar las expresiones resultantes haciendo moviendo el multiplicador más allá del signo raíz seguido de la reducción de la fracción:
Respuesta:
Pasemos al siguiente ejemplo típico.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación cuadrática −4 x 2 +28 x−49=0 .
Solución.
Empezamos encontrando el discriminante: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Por lo tanto, esta ecuación cuadrática tiene una única raíz, que encontramos como , es decir,
Respuesta:
x=3,5.
Queda por considerar la resolución de ecuaciones cuadráticas con un discriminante negativo.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación 5·y 2 +6·y+2=0.
Solución.
Aquí están los coeficientes de la ecuación cuadrática: a=5, b=6 y c=2. Sustituimos estos valores en la fórmula discriminante, tenemos D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. El discriminante es negativo, por lo tanto, esta ecuación cuadrática no tiene raíces reales.
Si necesita indicar raíces complejas, aplicamos la conocida fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática y realizamos operaciones con números complejos:
Respuesta:
no existen raíces reales, las raíces complejas son: .
Notemos una vez más que si el discriminante de una ecuación cuadrática es negativo, entonces en la escuela generalmente escriben inmediatamente una respuesta en la que indican que no hay raíces reales y que no se encuentran raíces complejas.
Fórmula raíz para segundos coeficientes pares
La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, donde D=b 2 −4·a·c te permite obtener una fórmula de una forma más compacta, permitiéndote resolver ecuaciones cuadráticas con un coeficiente par para x (o simplemente con un coeficiente que tiene la forma 2·n, por ejemplo, o 14· ln5=2·7·ln5 ). Saquémosla.
Digamos que necesitamos resolver una ecuación cuadrática de la forma a x 2 +2 n x+c=0. Encontremos sus raíces usando la fórmula que conocemos. Para ello calculamos el discriminante. D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), y luego usamos la fórmula raíz:
Denotemos la expresión n 2 −a c como D 1 (a veces se denota D "). Entonces la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática considerada con el segundo coeficiente 2 n tomará la forma 
, donde D 1 =n 2 −a·c.
Es fácil ver que D=4·D 1, o D 1 =D/4. En otras palabras, D 1 es la cuarta parte del discriminante. Está claro que el signo de D 1 es el mismo que el signo de D . Es decir, el signo D 1 también es un indicador de la presencia o ausencia de raíces de una ecuación cuadrática.
Entonces, para resolver una ecuación cuadrática con un segundo coeficiente 2·n, necesitas
- Calcular D 1 =n 2 −a·c ;
- Si D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- Si D 1 =0, entonces calcule la única raíz de la ecuación usando la fórmula;
- Si D 1 >0, entonces encuentre dos raíces reales usando la fórmula.
Consideremos resolver el ejemplo usando la fórmula raíz obtenida en este párrafo.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación cuadrática 5 x 2 −6 x −32=0 .
Solución.
El segundo coeficiente de esta ecuación se puede representar como 2·(−3). Es decir, puedes reescribir la ecuación cuadrática original en la forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, aquí a=5, n=−3 y c=−32, y calcular la cuarta parte de la discriminante: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Como su valor es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales. Encontrémoslos usando la fórmula raíz adecuada:
Tenga en cuenta que era posible utilizar la fórmula habitual para las raíces de una ecuación cuadrática, pero en este caso sería necesario realizar más trabajo computacional.
Respuesta:
Simplificando la forma de ecuaciones cuadráticas
A veces, antes de empezar a calcular las raíces de una ecuación cuadrática mediante fórmulas, no está de más hacerse la pregunta: “¿Es posible simplificar la forma de esta ecuación?” Acepte que en términos de cálculos será más fácil resolver la ecuación cuadrática 11 x 2 −4 x−6=0 que 1100 x 2 −400 x−600=0.
Normalmente, la simplificación de la forma de una ecuación cuadrática se logra multiplicando o dividiendo ambos lados por un número determinado. Por ejemplo, en el párrafo anterior se pudo simplificar la ecuación 1100 x 2 −400 x −600=0 dividiendo ambos lados entre 100.
Una transformación similar se lleva a cabo con ecuaciones cuadráticas cuyos coeficientes no lo son. En este caso, ambos lados de la ecuación suelen dividirse por los valores absolutos de sus coeficientes. Por ejemplo, tomemos la ecuación cuadrática 12 x 2 −42 x+48=0. valores absolutos de sus coeficientes: MCD(12, 42, 48)= MCD(MCD(12, 42), 48)= MCD(6, 48)=6. Dividiendo ambos lados de la ecuación cuadrática original por 6, llegamos a la ecuación cuadrática equivalente 2 x 2 −7 x+8=0.
Y normalmente se multiplican ambos lados de una ecuación cuadrática para eliminar los coeficientes fraccionarios. En este caso, la multiplicación se realiza por los denominadores de sus coeficientes. Por ejemplo, si ambos lados de la ecuación cuadrática se multiplican por MCM(6, 3, 1)=6, entonces tomará la forma más simple x 2 +4·x−18=0.
Como conclusión de este punto, observamos que casi siempre eliminan el menos en el coeficiente más alto de una ecuación cuadrática cambiando los signos de todos los términos, lo que corresponde a multiplicar (o dividir) ambos lados por −1. Por ejemplo, normalmente uno pasa de la ecuación cuadrática −2 x 2 −3 x+7=0 a la solución 2 x 2 +3 x−7=0 .
Relación entre raíces y coeficientes de una ecuación cuadrática
La fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática expresa las raíces de la ecuación a través de sus coeficientes. Con base en la fórmula de la raíz, puedes obtener otras relaciones entre raíces y coeficientes.
Las fórmulas más conocidas y aplicables del teorema de Vieta son de la forma y. En particular, para la ecuación cuadrática dada, la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con el signo opuesto y el producto de las raíces es igual al término libre. Por ejemplo, al observar la forma de la ecuación cuadrática 3 x 2 −7 x + 22 = 0, podemos decir inmediatamente que la suma de sus raíces es igual a 7/3 y el producto de las raíces es igual a 22. /3.
Usando las fórmulas ya escritas, puede obtener otras conexiones entre las raíces y los coeficientes de la ecuación cuadrática. Por ejemplo, puedes expresar la suma de los cuadrados de las raíces de una ecuación cuadrática a través de sus coeficientes: .
Referencias.
- Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G.Álgebra. 8vo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01155-2.
A primera vista, puede parecer que el procedimiento para factorizar una raíz cuadrada es complejo e inaccesible. Pero eso no es cierto. En este artículo, le mostraremos cómo aproximar raíces cuadradas y factores, y cómo resolver raíces cuadradas con facilidad utilizando dos métodos probados.
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Factorizar una raíz
Primero, definamos el propósito del procedimiento de factorización de raíz cuadrada. Objetivo- simplificar la raíz cuadrada y escribirla en una forma conveniente para los cálculos.
Definición 1
Factorizar una raíz cuadrada es encontrar dos o más números que, al multiplicarlos entre sí, den un número igual al original. Por ejemplo: 4x4 = 16.
Si puedes encontrar los factores, puedes simplificar fácilmente la expresión de la raíz cuadrada o eliminarla por completo:
Ejemplo 1
Divide el número radical por 2 si es par.
El número radical siempre debe dividirse entre números primos, ya que cualquier valor de número primo se puede factorizar en factores primos. Si tienes un número impar, intenta dividirlo entre 3. ¿No es divisible entre 3? Continúe dividiendo entre 5, 7, 9, etc.
Escribe la expresión como la raíz del producto de dos números.
Por ejemplo, puedes simplificar 98 de esta manera: = 98 ÷ 2 = 49. Se deduce que 2 × 49 = 98, por lo que podemos reescribir el problema de la siguiente manera: 98 = (2 × 49).
Continúe descomponiendo los números hasta que el producto de dos números idénticos y otros números quede debajo de la raíz.
Tomemos nuestro ejemplo (2 × 49):
Como 2 ya está simplificado al máximo, es necesario simplificar 49. Buscamos un número primo que se pueda dividir por 49. Evidentemente, ni 3 ni 5 son adecuados. Eso deja 7: 49 ÷ 7 = 7, entonces 7 × 7 = 49.
Escribimos el ejemplo de la siguiente forma: (2 × 49) = (2 × 7 × 7).
Simplifica la expresión de raíz cuadrada.
Como entre paréntesis tenemos el producto de 2 y dos números idénticos (7), podemos quitar el número 7 del signo raíz.
Ejemplo 2
(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .
En el momento en que haya dos números idénticos debajo de la raíz, deja de factorizar los números. Eso sí, si has aprovechado al máximo todas las posibilidades.
Recuerda: hay raíces que se pueden simplificar muchas veces.
En este caso, se multiplican los números que sacamos de debajo de la raíz y los números que están delante de ella.
Ejemplo 3
180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45
pero se puede factorizar 45 y simplificar nuevamente la raíz.
180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5
Cuando es imposible obtener dos números idénticos bajo el signo de la raíz, esto significa que dicha raíz no se puede simplificar.
Si, después de descomponer la expresión radical en el producto de números primos, no pudo obtener dos números idénticos, entonces dicha raíz no se puede simplificar.
Ejemplo 4
70 = 35 × 2, entonces 70 = (35 × 2)
35 = 7 × 5, entonces (35 × 2) = (7 × 5 × 2)
Como puedes ver, los tres factores son números primos que no se pueden factorizar. No hay números idénticos entre ellos, por lo que no es posible eliminar un número entero de debajo de la raíz. Simplificar 70 está prohibido.
Plaza llena
Memoriza algunos cuadrados de números primos.
El cuadrado de un número se obtiene multiplicándolo por sí mismo, es decir al elevar al cuadrado. Si recuerdas diez cuadrados de números primos, te simplificará enormemente la vida al simplificar aún más las raíces.
Ejemplo 5
1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100
Si hay un cuadrado completo debajo del signo de la raíz cuadrada, entonces debes quitar el signo de la raíz y escribir la raíz cuadrada de este cuadrado completo.
¿Difícil? No:
Ejemplo 6
1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10
Intenta descomponer el número bajo el signo de la raíz en el producto de un cuadrado perfecto y otro número.
Si ve que la expresión radical se descompone en el producto de un cuadrado perfecto y algún número, al recordar algunos ejemplos, ahorrará mucho tiempo y nervios:
Ejemplo 7
50 = (25 × 2) = 5 2. Si el número radical termina en 25, 50 o 75, siempre puedes factorizarlo en el producto de 25 por algún número.
1700 = (100 × 17) = 10 17. Si el número radical termina en 00, siempre puedes factorizarlo en el producto de 100 por algún número.
72 = (9 × 8) = 3 8. Si la suma de los dígitos de un número radical es 9, siempre puedes factorizarlo en el producto de 9 por algún número.
Intente descomponer el número radical en el producto de varios cuadrados completos: sáquelos de debajo del signo de la raíz y multiplíquelos.
Ejemplo 8
72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2
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En octavo grado, a los escolares en las lecciones de matemáticas se les presenta el concepto de "radical" o, simplemente, "raíz". Fue entonces cuando se encontraron por primera vez con el problema de simplificar radicales complejos. Los radicales complejos son expresiones en las que una raíz está debajo de otra. Por lo tanto, a veces se les llama radicales anidados. En este artículo, el tutor de matemáticas y física habla en detalle sobre cómo simplificar un radical complejo.
Métodos para simplificar radicales complejos.
Simplificar un radical complejo significa deshacerse de la raíz externa. Lo mejor es empezar a estudiar este tema simplificando los radicales dobles. Después de todo, si aprendemos a simplificar radicales dobles, también podremos simplificar los más complejos.
¿Cómo nos deshacemos de la raíz exterior? Está claro que para ello es necesario transformar la expresión radical, presentándola en forma de un cuadrado completo. Para ello utilizaremos la conocida fórmula “Cuadrado de la diferencia”:
Aquí, como puedes ver, el término negativo tiene un factor a la derecha. Por lo tanto, vamos a buscar este factor en la raíz. Para ello, lo presentamos como producto de:
Entonces y. Sólo queda prestar atención al hecho de que 
. Ahora podemos ver que debajo de la raíz tenemos una diferencia al cuadrado:
Ahora recordemos eso. Exactamente el módulo. Esto es muy importante aquí porque la raíz cuadrada es un número positivo. Entonces obtenemos:
Bueno, desde title="Renderizado por QuickLaTeX.com" height="21" width="61" style="vertical-align: -3px;">, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:!}
Así logramos simplificar este radical. Pero también hay casos más complejos en los que no es posible adivinar de inmediato cómo representar una expresión radical en forma de un cuadrado completo. Por ejemplo, en el siguiente ejemplo.
Para no devanarse los sesos durante mucho tiempo, puede utilizar el siguiente método.
Permítanme recordarles que nuestro objetivo es representar la expresión bajo la raíz como un cuadrado perfecto. Concretamente en este ejemplo, en forma de cuadrado de la suma:
Bueno, el cuadrado de la suma se revela según la conocida fórmula, que ya escribimos hoy:
Entonces, la idea, de hecho, es tomar la parte irracional de la expresión radical for y la parte racional for. Entonces obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
Está claro que. De lo contrario, la segunda ecuación del sistema no se satisface. Luego expresamos el coeficiente de la segunda ecuación:
El denominador de esta fracción no es igual a cero, lo que significa que su numerador es igual a cero. Obtenemos una ecuación bicuadrática, que se puede resolver de forma estándar (para más detalles, ver el vídeo adjunto). Resolviendolo, obtenemos hasta 4 raíces. Puedes tomar cualquiera. Me gusta más. Entonces . Entonces, finalmente obtenemos:
A continuación se muestra una manera de simplificar un radical complejo. Hay uno más. Para aquellos a los que les gusta memorizar fórmulas complejas, cosa que a mí no me gusta. Pero para completar, también les hablaré de él.
Fórmula de radicales complejos.
Así es como se ve la fórmula:
Bastante aterrador, ¿no? Pero no tenga miedo, en algunos casos puede utilizarse con éxito. Veamos un ejemplo:
Sustituimos los valores correspondientes en la fórmula:
Ésta es la respuesta.
Entonces, hoy en clase hablé sobre cómo simplificar un radical complejo. Si no conocía los métodos que se analizan hoy, lo más probable es que todavía tenga mucho que aprender para sentirse seguro en el Examen Estatal Unificado o en el examen de ingreso a matemáticas. Pero no te preocupes, puedo enseñarte todo esto. Toda la información necesaria sobre mis clases está encendida. ¡Buena suerte para ti!
Material preparado por Sergey Valerievich
