Simulación de Montecarlo. Método Montecarlo

Introducción

El método Monte Carlo es un método numérico para resolver problemas matemáticos mediante el modelado de variables aleatorias.

Se considera que la fecha de nacimiento del método Montecarlo es 1949, cuando apareció un artículo titulado “El método Montecarlo” (N. Metropolis, S. Ulam). Se considera que los creadores de este método son los matemáticos estadounidenses J. Neumann y S. Ulam. En nuestro país los primeros artículos se publicaron en 1955-56. (V.V. Chavchanidze, Yu.A. Schrader, V.S. Vladimirov)

Sin embargo, la base teórica del método se conoce desde hace mucho tiempo. Además, algunos problemas estadísticos a veces se calculaban utilizando muestras aleatorias, es decir, de hecho, utilizando el método de Monte Carlo. Sin embargo, antes de la llegada de las computadoras, este método no pudo encontrar un uso generalizado, ya que modelar manualmente variables aleatorias es un trabajo que requiere mucha mano de obra. Así, el surgimiento del método de Montecarlo como método numérico muy universal sólo fue posible gracias a la llegada de las computadoras.

El nombre "Monte Carlo" proviene de la ciudad de Monte Carlo en el Principado de Mónaco, famosa por su casa de juego, y uno de los dispositivos mecánicos más simples para obtener variables aleatorias es la ruleta.

Inicialmente, el método de Montecarlo se utilizó principalmente para resolver problemas de física de neutrones, donde los métodos numéricos tradicionales resultaron ser de poca utilidad. Además, su influencia se extendió a una amplia gama de problemas de física estadística, de contenido muy diferente. Las ramas de la ciencia donde se utiliza cada vez más el método Monte Carlo incluyen problemas de teoría de colas, problemas de teoría de juegos y economía matemática, problemas de teoría de la transmisión de mensajes en presencia de interferencias y muchos otros.

El método Monte Carlo ha tenido y sigue teniendo una influencia significativa en el desarrollo de métodos de matemáticas computacionales y, al resolver muchos problemas, se combina con éxito con otros métodos computacionales y los complementa. Su uso se justifica principalmente en aquellos problemas que permiten una descripción teórica de la probabilidad. Esto se explica tanto por la naturalidad de obtener una respuesta con una determinada probabilidad dada en problemas con contenido probabilístico, como por la importante simplificación del procedimiento de solución.

En la gran mayoría de los problemas resueltos mediante métodos de Monte Carlo, se calculan las expectativas matemáticas de determinadas variables aleatorias. Dado que la mayoría de las veces las expectativas matemáticas son integrales ordinarias, incluidas las múltiples, los métodos para calcular integrales ocupan una posición central en la teoría de los métodos de Monte Carlo.

1. parte teorica

1.1 La esencia del método de Monte Carlo y el modelado de variables aleatorias.

Supongamos que necesitamos calcular el área de una figura plana.

Supongamos que esta figura se encuentra dentro de un cuadrado unitario.

Elijamos dentro del cuadrado.

Para seleccionar puntos aleatoriamente es necesario pasar al concepto de variable aleatoria. variable aleatoria

Variable aleatoria continua

Múltiples significados

1) densidad

2) integral de densidad

La expectativa matemática de una variable aleatoria continua es el número

La varianza de una variable aleatoria continua es el número:

Una variable aleatoria normal es una variable aleatoria.

Cualquier probabilidad de la forma

Según (1.1)

En la integral hacemos un cambio de variable.

Las variables aleatorias normales se encuentran muy a menudo en el estudio de cuestiones de naturaleza muy variada.

El modelado estadístico es un método de modelado básico que implica probar un modelo con un conjunto de señales aleatorias con una densidad de probabilidad determinada. El objetivo es determinar estadísticamente los resultados de salida. El modelado estadístico se basa en método Montecarlo. Recordemos que la imitación se utiliza cuando no se pueden utilizar otros métodos.

Método Montecarlo

Consideremos el método de Monte Carlo usando el ejemplo del cálculo de una integral, cuyo valor no se puede encontrar analíticamente.

Tarea 1. Encuentra el valor de la integral:

En la figura. 1.1 muestra la gráfica de la función. F (incógnita). Calcular el valor de la integral de esta función significa encontrar el área debajo de esta gráfica.

Arroz. 1.1

Limitamos la curva desde arriba, hacia la derecha y hacia la izquierda. Distribuimos puntos aleatoriamente en el rectángulo de búsqueda. Denotemos por norte 1 el número de puntos aceptados para la prueba (es decir, cayendo en un rectángulo, estos puntos se muestran en la Fig. 1.1 en rojo y azul), y a través de norte 2: el número de puntos debajo de la curva, es decir, que caen en el área sombreada debajo de la función (estos puntos se muestran en rojo en la Fig. 1.1). Entonces es natural suponer que el número de puntos que caen bajo la curva en relación con el número total de puntos es proporcional al área bajo la curva (el valor de la integral) en relación con el área del rectángulo de prueba. Matemáticamente esto se puede expresar de la siguiente manera:

Estos razonamientos, por supuesto, son estadísticos y tanto más correctos cuanto mayor es el número de puntos de prueba que tomamos.

Un fragmento del algoritmo del método Monte Carlo en forma de diagrama de bloques se ve como se muestra en la Fig. 1.2

Arroz. 1.2

Valores r 1 y r 2 en la figura. 1.2 son números aleatorios distribuidos uniformemente de los intervalos ( incógnita 1 ; incógnita 2) y ( do 1 ; do 2) en consecuencia.

El método Monte Carlo es extremadamente eficiente y simple, pero requiere un "buen" generador de números aleatorios. El segundo problema al aplicar el método es determinar el tamaño de la muestra, es decir, el número de puntos necesarios para proporcionar una solución con una precisión determinada. Los experimentos muestran que para aumentar la precisión 10 veces, el tamaño de la muestra debe aumentarse 100 veces; es decir, la precisión es aproximadamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra:

Esquema para utilizar el método Monte Carlo en el estudio de sistemas con parámetros aleatorios.

Habiendo construido un modelo de un sistema con parámetros aleatorios, se suministran a su entrada señales de entrada de un generador de números aleatorios (RNG), como se muestra en la Fig. 1.3 El RNG está diseñado de tal manera que produce igualmente repartido números aleatorios r pp del intervalo . Dado que algunos eventos pueden ser más probables, otros menos probables, los números aleatorios distribuidos uniformemente del generador se envían a un convertidor de leyes de números aleatorios (RLC), que los convierte en dado usuario de la ley de distribución de probabilidad, por ejemplo, la ley normal o exponencial. Estos números aleatorios convertidos incógnita alimentado a la entrada del modelo. El modelo procesa la señal de entrada. incógnita según alguna ley y = ts (incógnita) y recibe la señal de salida y, que también es aleatorio.

variable aleatoria de modelado estadístico

Arroz. 1.3

Los filtros y contadores están instalados en el bloque de acumulación de estadísticas (BNStat). Un filtro (alguna condición lógica) determina por valor y, si un determinado evento se realizó en un experimento específico (la condición se cumplió, F= 1) o no (la condición no se cumplió, F= 0). Si ocurre el evento, el contador de eventos se incrementa en uno. Si el evento no se realiza, entonces el valor del contador no cambia. Si necesita monitorear varios tipos diferentes de eventos, necesitará varios filtros y contadores para el modelado estadístico. norte i. Siempre se mantiene un contador del número de experimentos. norte.

Relación adicional norte i A norte, calculado en el bloque para calcular las características estadísticas (BVSH) utilizando el método de Monte Carlo, proporciona una estimación de la probabilidad pag i ocurrencia de un evento i, es decir, indica la frecuencia de su aparición en una serie de norte experimentos. Esto nos permite sacar conclusiones sobre las propiedades estadísticas del objeto modelado.

Por ejemplo, el evento A ocurrió como resultado de 200 experimentos realizados 50 veces. Esto significa, según el método de Monte Carlo, que la probabilidad de que ocurra un evento es: pag A = 50/200 = 0,25. La probabilidad de que el evento no ocurra es, respectivamente, 1 - 0,25 = 0,75.

por favor paga atención: cuando hablan de probabilidad obtenida experimentalmente, se le llama frecuencia; La palabra probabilidad se utiliza cuando se quiere enfatizar que estamos hablando de un concepto teórico.

Con una gran cantidad de experimentos. norte la frecuencia de ocurrencia de un evento, obtenida experimentalmente, tiende al valor de la probabilidad teórica de ocurrencia del evento.

En el bloque de evaluación de confiabilidad (RAB), se analiza el grado de confiabilidad de los datos estadísticos experimentales tomados del modelo (teniendo en cuenta la precisión del resultado). mi, especificado por el usuario) y determinar el número de pruebas estadísticas necesarias para ello. Si las fluctuaciones en los valores de la frecuencia de ocurrencia de eventos en relación con la probabilidad teórica son menores que la precisión especificada, entonces se toma como respuesta la frecuencia experimental; de lo contrario, la generación de influencias de entrada aleatorias continúa y el proceso de modelado se completa. repetido. Con una pequeña cantidad de pruebas, el resultado puede no ser confiable. Pero cuantas más pruebas, más precisa será la respuesta, según el teorema del límite central.

Tenga en cuenta que la evaluación se realiza utilizando la peor frecuencia. Esto proporciona resultados fiables para todas las características medidas del modelo a la vez.

Ejemplo 1. Resolvamos un problema simple. ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga cara cuando se deja caer al azar desde una altura?

Comencemos a lanzar una moneda y a registrar los resultados de cada lanzamiento (ver Tabla 1.1).

Tabla 1.1.

Resultados de la prueba de lanzamiento de moneda

Calcularemos la frecuencia de aciertos como la relación entre el número de casos de aciertos y el número total de observaciones. Mira en la mesa. 1.1 casos para norte = 1, norte = 2, norte= 3 - al principio los valores de frecuencia no se pueden considerar fiables. Intentemos construir un gráfico de dependencia. PAG o de norte- y veamos cómo cambia la frecuencia de las cabezas según la cantidad de experimentos realizados. Por supuesto, diferentes experimentos producirán diferentes tablas y, por tanto, diferentes gráficos. En la figura. 1.4 muestra una de las opciones.

Arroz. 1.4

Saquemos algunas conclusiones.

• 1. Se puede ver que a valores pequeños norte, Por ejemplo, norte = 1, norte = 2, norte= 3 No se puede confiar en la respuesta en absoluto. Por ejemplo, PAG o = 0 en norte= 1, es decir, ¡la probabilidad de sacar cara en un tiro es cero! Aunque todo el mundo sabe bien que esto no es así. Es decir, hasta ahora hemos recibido una respuesta muy grosera. Sin embargo, mira el gráfico: en progreso ahorros información, la respuesta se acerca lenta pero seguramente a la correcta (está resaltada con una línea de puntos). Afortunadamente, en este caso particular sabemos la respuesta correcta: idealmente, la probabilidad de obtener cara es 0,5 (en otros problemas más complejos, la respuesta, por supuesto, nos será desconocida). Supongamos que necesitamos saber la respuesta con precisión. mi= 0,1. Dibujemos dos líneas paralelas, separadas de la respuesta correcta 0,5 por una distancia de 0,1 (ver Fig. 1.4). El ancho del corredor resultante será 0,2. Tan pronto como la curva PAG Oh ( norte) entrará en este corredor de tal manera que nunca saldrá de él, puedes detenerte y ver por qué valor norte sucedió. esto es todo experimentalmente calculado crítico significado número requerido de experimentos norte kr e para determinar la respuesta con precisión mi = 0.1; mi- la vecindad en nuestro razonamiento desempeña el papel de una especie de tubo de precisión. Tenga en cuenta que las respuestas PAG o (91), PAG o (92) y así sucesivamente ya no cambian mucho sus valores (ver Fig. 1.4); al menos el primer dígito después del punto decimal, en el que estamos obligados a confiar según las condiciones del problema, no cambia.
• 2. La razón de este comportamiento de la curva es la acción central último teoremas. Por ahora, aquí lo formularemos en la versión más simple: “La suma de variables aleatorias es una cantidad no aleatoria”. Usamos el promedio PAG o, que transporta información sobre la suma de los experimentos y, por lo tanto, gradualmente este valor se vuelve cada vez más confiable.
• 3. Si vuelves a hacer este experimento desde el principio, entonces, por supuesto, el resultado será un tipo diferente de curva aleatoria. Y la respuesta será diferente, aunque aproximadamente igual. Realicemos una serie completa de experimentos de este tipo (ver Fig. 1.5). A esta serie se le llama conjunto de realizaciones. ¿Qué respuesta deberías creer en última instancia? Después de todo, aunque están cerca, todavía difieren. En la práctica, actúan de manera diferente. La primera opción es calcular el promedio de las respuestas en varias implementaciones (ver Tabla 1.2).

Arroz. 1.5

Configuramos varios experimentos y determinamos cada vez cuántos experimentos debían realizarse, es decir norte cre. Se llevaron a cabo 10 experimentos, cuyos resultados se resumen en la tabla. 1.2 Con base en los resultados de 10 experimentos, se calculó el valor promedio. norte cre.

Tabla 1.2.

Datos experimentales sobre el número necesario de lanzamientos de moneda para lograr precisión mi

Así, después de realizar 10 implementaciones de diferentes longitudes, determinamos que es suficiente V promedio fue posible realizar 1 realización con una duración de 94 lanzamientos de moneda.

Otro hecho importante. Examine cuidadosamente el gráfico de la figura 21.5. Muestra 100 realizaciones: 100 líneas rojas. Marque la abscisa en él. norte= 94 barras verticales. Hay un cierto porcentaje de líneas rojas que no tuvieron tiempo de cruzar mi-barrio, es decir ( PAG exp- mi ? PAG¿teoría? PAG exp + mi), y entrar en el pasillo exactamente hasta el momento norte= 94. Tenga en cuenta que hay 5 líneas de este tipo. Esto significa que 95 de 100, es decir, el 95%, entraron de manera confiable en el intervalo designado.

Así, después de realizar 100 implementaciones, logramos aproximadamente un 95% de confianza en la probabilidad de cara obtenida experimentalmente, determinándola con una precisión de 0,1.

Para comparar el resultado obtenido, calculemos el valor teórico. norte kr t teóricamente. Sin embargo, para ello tendremos que introducir el concepto de probabilidad de confianza. q F, lo que muestra cuán dispuestos estamos a creer la respuesta.

Por ejemplo, cuando q F= 0,95 estamos dispuestos a creer la respuesta en el 95% de los casos de 100. Se ve así: norte cr t = k (q F) · pag· (1 - pag) /mi 2 donde k (q F) - coeficiente de Laplace, pag- probabilidad de obtener cara, mi- precisión (intervalo de confianza). en la mesa 1.3 muestra los valores del valor teórico del número de experimentos necesarios para diferentes q F(para mayor precisión mi= 0,1 y probabilidad pag = 0.5).

Tabla 1.3.

Cálculo teórico del número necesario de lanzamientos de moneda para lograr precisión mi= 0,1 al calcular la probabilidad de sacar cara

Como puede ver, la estimación que obtuvimos para la duración de la implementación, igual a 94 experimentos, está muy cerca de la teórica, igual a 96. Alguna discrepancia se explica por el hecho de que, aparentemente, 10 implementaciones no son suficientes para un cálculo preciso norte cre. Si decide que desea un resultado en el que debería confiar más, cambie el valor de confianza. Por ejemplo, la teoría nos dice que si hay 167 experimentos, entonces solo 1 o 2 líneas del conjunto no se incluirán en el tubo de precisión propuesto. Pero tenga en cuenta que la cantidad de experimentos aumenta muy rápidamente a medida que aumenta la precisión y la confiabilidad.

La segunda opción utilizada en la práctica es realizar uno implementación y aumentar recibió Para su norte cr oh V 2 veces. Esto se considera una buena garantía de la exactitud de la respuesta (ver Figura 1.6).

Arroz. 1.6. Ilustración de la determinación experimental de N cr e utilizando la regla de “multiplicar por dos”

Si miras de cerca conjunto aleatorio implementaciones, entonces podemos encontrar que la convergencia de la frecuencia al valor de la probabilidad teórica ocurre a lo largo de una curva correspondiente a la dependencia cuadrática inversa del número de experimentos (ver Fig. 1.7).

Arroz. 1.7

En realidad, esto funciona así en teoría. Si cambia la precisión especificada mi y examina el número de experimentos necesarios para proporcionar cada uno de ellos, obtienes la tabla. 1.4

Tabla 1.4.

Dependencia teórica del número de experimentos necesarios para garantizar una precisión determinada en q F = 0.95

Construyamos según la tabla. 1.4 gráfico de dependencia norte crt ( mi) (ver Fig. 1.8).

Arroz. 1.8 Dependencia del número de experimentos necesarios para lograr una precisión dada e con un Q F fijo = 0,95

Así, los gráficos considerados confirman la valoración anterior:

Tenga en cuenta que puede haber varias estimaciones de precisión.

Ejemplo 2. Encontrar el área de una figura mediante el método de Monte Carlo. Usando el método de Monte Carlo, determina el área de un pentágono con coordenadas de ángulos (0, 0), (0,10), (5, 20), (10,10), (7, 0).

Dibujemos el pentágono dado en coordenadas bidimensionales, inscribiéndolo en un rectángulo, cuyo área, como puedes adivinar, es (10 - 0) · (20 - 0) = 200 (ver Fig. 1.9).

Arroz. 1.9

Usar una tabla de números aleatorios para generar pares de números R, GRAMO, distribuido uniformemente en el rango de 0 a 1. Número R incógnita (0 ? incógnita? 10), por lo tanto, incógnita= 10 · R. Número GRAMO simulará la coordenada Y (0 ? Y? 20), por lo tanto, Y= 20 · GRAMO. Generemos 10 números R Y GRAMO y mostrar 10 puntos ( incógnita; Y) en la figura. 1.9 y en la tabla. 1.5

Tabla 1.5.

Resolviendo el problema usando el método de Monte Carlo.

La hipótesis estadística es que el número de puntos incluidos en el contorno de la figura es proporcional al área de la figura: 6: 10 = S: 200. Es decir, según la fórmula del método de Monte Carlo, encontramos que el área S pentágono es igual a: 200 · 6/10 = 120.

Veamos cómo cambió el valor. S de experiencia en experiencia (ver Tabla 1.6).

Tabla 1.6.

Evaluación de la precisión de la respuesta

Dado que el valor del segundo dígito de la respuesta todavía está cambiando, la posible inexactitud sigue siendo superior al 10%. La precisión del cálculo se puede aumentar al aumentar el número de pruebas (ver Fig. 1.10).

Arroz. 1.10 Ilustración del proceso de convergencia de una respuesta determinada experimentalmente a un resultado teórico.

Conferencia 2. Generadores de números aleatorios

El método de Monte Carlo (ver Clase 1. Modelado estadístico) se basa en la generación de números aleatorios, que deben distribuirse uniformemente en el intervalo (0;1).

Si el generador produce números que se desplazan a alguna parte del intervalo (algunos números aparecen con más frecuencia que otros), entonces el resultado de resolver un problema resuelto mediante el método estadístico puede resultar incorrecto. Por lo tanto, el problema de utilizar un buen generador de números verdaderamente aleatorios y verdaderamente distribuidos uniformemente es muy grave.

Expectativa metro r y varianza D r tal secuencia que consiste en norte números aleatorios r i, debería ser el siguiente (si se trata de números aleatorios realmente distribuidos uniformemente en el rango de 0 a 1):

Si el usuario necesita un número aleatorio incógnita estaba en el intervalo ( a; b), diferente de (0;

• 1), necesitas usar la fórmula incógnita = a + (b - a) · r, Dónde r- número aleatorio del intervalo (0;
• 1). La legalidad de esta transformación se demuestra en la Fig. 2.1

Arroz. 2.1

1) en el intervalo (a; b)

Ahora incógnita- un número aleatorio distribuido uniformemente en el rango de a a b.

Para estándar del generador de números aleatorios(RNG) se adopta un generador que genera subsecuencia números aleatorios con uniforme ley de distribución en el intervalo (0;

• 1). Para una llamada, este generador devuelve un número aleatorio. Si observa dicho RNG durante un tiempo suficientemente largo, resulta que, por ejemplo, en cada uno de los diez intervalos (0; 0,1), (0,1; 0,2), (0,2; 0,3), ..., (0,9 ;
• 1) habrá casi la misma cantidad de números aleatorios, es decir, se distribuirán uniformemente en todo el intervalo (0;
• 1). Si se muestra en un gráfico k= 10 intervalos y frecuencias norte i los golpea, obtendrá una curva de densidad de distribución experimental de números aleatorios (ver Fig. 2.2).

Arroz. 2.2

Tenga en cuenta que, idealmente, la curva de densidad de distribución de números aleatorios se vería como se muestra en la Fig. 2.3. Es decir, lo ideal es que cada intervalo contenga el mismo número de puntos: norte i = norte/k, Dónde norte- número total de puntos, k- número de intervalos, i = 1, …, k.

Arroz. 2.3

Cabe recordar que generar un número aleatorio arbitrario consta de dos etapas:

• · generación de un número aleatorio normalizado (es decir, distribuido uniformemente de 0 a 1);
• · transformación de números aleatorios normalizados r i a números aleatorios incógnita i, que se distribuyen según la ley de distribución (arbitraria) requerida por el usuario o en el intervalo requerido.

Los generadores de números aleatorios según el método de obtención de números se dividen en:

• · físico;
• · tabular;
• · algorítmico.

El método de Monte Carlo, o método de prueba estadística, es un método numérico basado en modelar variables aleatorias y construir estimaciones estadísticas para los valores deseados.

La esencia del método es la siguiente. Para calcular el área de una figura determinada, realicemos un experimento: coloque esta figura en un cuadrado y arroje puntos al azar en este cuadrado. Es natural suponer que cuanto mayor sea el área de la figura, más a menudo caerán puntos en ella. Por lo tanto, podemos hacer la suposición: con una gran cantidad de puntos seleccionados al azar dentro de un cuadrado, la proporción de puntos contenidos en una figura dada es aproximadamente igual a la relación entre el área de esta figura y el área de la cuadrado.

Este método de encontrar aproximadamente las áreas de figuras se llama método de Monte Carlo.

Ejemplo. Calculando un numero π utilizando el método de Montecarlo.

Declaración del problema: Para calcular el número π usando el método de Monte Carlo, considere un círculo de radio 1 con centro en el punto (1, 1). Un círculo está inscrito en un cuadrado cuyo lado es a=2. Entonces el área del cuadrado S cuadrado = a 2 = 2 2 = 4.

Solución.

Seleccionamos N puntos aleatorios dentro del cuadrado. Seleccionar un punto significa especificar sus coordenadas: números xey.

Denotemos N el círculo: el número de puntos que caen dentro del círculo.

Un punto pertenece a un cuadrado si 0≤x≤2 y 0≤y≤2.

Si (x-1) 2 + (y-1) 2 ≤ 1, entonces el punto cae dentro del círculo; en caso contrario, está fuera del círculo. Es geométricamente obvio que

Desde aquí

Es decir, para un círculo de radio unitario:

Pero para un círculo de radio unitario
, por lo tanto obtenemos:
.

Esta fórmula da una estimación del número π. Cuanto mayor sea N, mayor será la precisión de esta estimación. Cabe señalar que este método de calcular el área será válido solo cuando los puntos aleatorios no sean simplemente aleatorios, sino que también estén dispersos uniformemente por todo el cuadrado.

Para modelar números aleatorios distribuidos uniformemente en el rango de 0 a 1, el lenguaje de programación Turbo Pascal utiliza un generador de números aleatorios: la función RANDOM, que produce una secuencia de valores aleatorios distribuidos uniformemente de 0 a 1.

Por lo tanto, la esencia del experimento informático es acceder a la función ALEATORIA para obtener N veces las coordenadas incógnita Y en agujas. En este caso, se determina si el punto con coordenadas ( incógnita,en) en un círculo de radio unitario. En caso de acierto, el valor N del círculo aumenta en 1.

Programa:

Programa monte_karlo;

var i, n, n1: LongInt;

x, y, pi: reales; comenzarAleatorizar;

WriteLn("Ingrese el número de puntos n=");<=1 then n1:=n1+1; end; pi:=4*n1/n; WriteLn("pi=", pi:15:11); end.

Readln(n); para i:=1 an n comience x:=2*Random;

y:=2*Aleatorio;
si cuadrado(x-1)+cuadrado(y-1)

En cada momento del proceso de elección de un curso de acción futura, la simulación de Monte Carlo permite al tomador de decisiones considerar una amplia gama de posibles consecuencias y evaluar la probabilidad de que ocurran. Este método demuestra las posibilidades que se encuentran en los extremos opuestos del espectro (los resultados de ir con todo y tomar las medidas más conservadoras), así como las probables consecuencias de decisiones moderadas.

Este método fue utilizado por primera vez por los científicos involucrados en el desarrollo de la bomba atómica; lleva el nombre de Montecarlo, un centro turístico de Mónaco famoso por sus casinos. El método de Montecarlo, que se generalizó durante la Segunda Guerra Mundial, comenzó a utilizarse para simular todo tipo de sistemas físicos y teóricos.

Ver reseñas
Douglas Hubbard
Investigación de decisiones de Hubbard
Hora: 00:35 seg

"La simulación de Monte Carlo es la única forma de analizar decisiones críticas en condiciones de incertidumbre".

"La simulación Monte Carlo para la estimación de costos de capital se ha convertido [en Suncor] en un requisito para cualquier proyecto importante".

Cómo se realiza la simulación Monte Carlo
Dentro del método Monte Carlo, el análisis de riesgos se realiza utilizando modelos de posibles resultados. Al crear tales modelos, cualquier factor que se caracterice por la incertidumbre se reemplaza por un rango de valores: una distribución de probabilidad. Luego, los resultados se calculan varias veces, cada vez utilizando un conjunto diferente de valores de función de probabilidad aleatoria. En ocasiones, para completar una simulación, puede ser necesario realizar miles o incluso decenas de miles de recálculos, dependiendo del número de incertidumbres y de los rangos establecidos para ellas. La simulación Monte Carlo nos permite obtener distribuciones de posibles consecuencias.

Cuando se utilizan distribuciones de probabilidad, las variables pueden tener diferentes probabilidades de que se produzcan diferentes consecuencias. Las distribuciones de probabilidad son una forma mucho más realista de describir la incertidumbre de las variables en el proceso de análisis de riesgos. Las distribuciones de probabilidad más comunes se enumeran a continuación.

Distribución normal(o "curva baussiana"). Para describir la desviación de la media, el usuario define la media o valor esperado y la desviación estándar. Los valores situados en el medio, junto al promedio, se caracterizan por tener la mayor probabilidad. La distribución normal es simétrica y describe muchos fenómenos comunes, por ejemplo, la altura de las personas. Ejemplos de variables que se describen mediante distribuciones normales incluyen las tasas de inflación y los precios de la energía.

Distribución lognormal. Los valores están sesgados positivamente y, a diferencia de una distribución normal, son asimétricos. Esta distribución se utiliza para reflejar cantidades que no caen por debajo de cero, pero que pueden adquirir valores positivos ilimitados. Ejemplos de variables descritas por distribuciones lognormales incluyen valores inmobiliarios, precios de acciones y reservas de petróleo.

Distribución uniforme. Todas las cantidades pueden tomar un valor u otro con igual probabilidad; el usuario simplemente determina el mínimo y el máximo. Ejemplos de variables que pueden distribuirse uniformemente incluyen los costos de producción o los ingresos por ventas futuras de un nuevo producto.

Distribución triangular. El usuario define los valores mínimo, más probable y máximo. Los valores ubicados cerca del punto de máxima probabilidad tienen la mayor probabilidad. Las variables que pueden describirse mediante una distribución triangular incluyen las ventas históricas por unidad de tiempo y los niveles de inventario.

Distribución PERT. El usuario define los valores mínimo, más probable y máximo, igual que con una distribución triangular. Los valores ubicados cerca del punto de máxima probabilidad tienen la mayor probabilidad. Sin embargo, es más probable que aparezcan valores en el rango entre los valores más probables y los extremos que con una distribución triangular, es decir, no se hace hincapié en los valores extremos. Un ejemplo del uso de la distribución PERT es describir la duración de una tarea dentro de un modelo de gestión de proyectos.

Distribución discreta. El usuario determina valores concretos de entre los posibles, así como la probabilidad de obtener cada uno de ellos. Un ejemplo sería el resultado de un pleito: 20% de posibilidades de una decisión positiva, 30% de posibilidades de una decisión negativa, 40% de posibilidades de un acuerdo entre las partes y 10% de posibilidades de anulación del juicio.

En una simulación de Monte Carlo, los valores se seleccionan aleatoriamente de las distribuciones de probabilidad originales. Cada muestra de valores se llama iteración; se registra el resultado obtenido de la muestra. Durante el proceso de modelado, este procedimiento se realiza cientos o miles de veces y el resultado es una distribución de probabilidad de posibles consecuencias. Por tanto, la simulación de Monte Carlo ofrece una imagen mucho más completa de posibles acontecimientos. Le permite juzgar no solo lo que puede suceder, sino también cuál es la probabilidad de tal resultado.

La simulación Monte Carlo tiene una serie de ventajas sobre el análisis determinista o de estimación puntual:

• Resultados probabilísticos.Los resultados muestran no sólo posibles eventos, sino también la probabilidad de que ocurran.
• Representación gráfica de resultados. La naturaleza de los datos obtenidos mediante el método de Monte Carlo permite la creación de gráficas de diversas consecuencias, así como las probabilidades de que ocurran. Esto es importante a la hora de comunicar los resultados a otras partes interesadas.
• Análisis de sensibilidad. Con pocas excepciones, el análisis determinista dificulta determinar qué variable influye más en los resultados. Al ejecutar una simulación Monte Carlo, es fácil ver qué entradas tienen el mayor impacto en los resultados finales.
• Análisis de escenarios. En los modelos deterministas, es muy difícil simular diferentes combinaciones de cantidades para diferentes valores de entrada y, por tanto, evaluar el impacto de escenarios verdaderamente diferentes. Utilizando el método de Monte Carlo, los analistas pueden determinar exactamente qué entradas conducen a ciertos valores y rastrear la aparición de ciertas consecuencias. Esto es muy importante para un análisis posterior.
• Correlación de datos fuente. El método de Monte Carlo le permite modelar relaciones de interdependencia entre variables de entrada. Para obtener información confiable, es necesario imaginar en qué casos, cuando algunos factores aumentan, otros aumentan o disminuyen en consecuencia.

También puede mejorar los resultados de su simulación Monte Carlo mediante el muestreo utilizando el método Latin Hypercube, que selecciona con mayor precisión entre toda la gama de funciones de distribución.

Productos de modelado Palisade
utilizando el método de Montecarlo
La aparición de aplicaciones diseñadas para trabajar con hojas de cálculo en computadoras personales ha abierto amplias oportunidades para que los especialistas utilicen el método Monte Carlo al realizar análisis en las actividades cotidianas. Microsoft Excel es una de las herramientas analíticas de hojas de cálculo más comunes y el programa es el complemento principal de Palisade para Excel, que le permite realizar simulaciones de Monte Carlo. @RISK se introdujo por primera vez para Lotus 1-2-3 en el sistema operativo DOS en 1987 e inmediatamente obtuvo una excelente reputación por su precisión, flexibilidad de modelado y facilidad de uso. La llegada de Microsoft Project llevó a la creación de otra aplicación lógica para aplicar el método Monte Carlo. Su tarea principal era analizar las incertidumbres y los riesgos asociados con la gestión de grandes proyectos.

Método Montecarlo

1. Objeto del método Montecarlo

Se considera que la fecha de nacimiento del método Monte Carlo es 1949, cuando los científicos N. Metropolis y S. Ulam publicaron un artículo titulado "El método Monte Carlo", en el que describieron la esencia de su método. El nombre del método está asociado al nombre de la ciudad de Montecarlo, donde en las casas de juego (casinos) se juega a la ruleta, que es uno de los dispositivos más sencillos para obtener el llamado “ números aleatorios ", en el que se basa este método.

Las computadoras facilitan la obtención de los llamados “ números pseudoaleatorios "(al resolver problemas, a menudo se utilizan en lugar de números aleatorios). Esto condujo a una introducción generalizada del método en muchas áreas de la ciencia y la tecnología (física estadística, teoría de colas, teoría de juegos, etc.). El método de Monte Carlo se utiliza para calcular integrales, especialmente multidimensionales, para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas de alto orden, para estudiar diversos tipos de sistemas complejos (control automático, económicos, biológicos, etc.).

La esencia del método Montecarlo. es el siguiente: necesito encontrar el valornúmeros alguna cantidad estudiada. Para hacer esto, elija la siguiente variable aleatoria
, cuya expectativa matemática es igual a :
, es decir. resolverá la ecuación funcional especificada. Esta tarea es generalmente muy compleja y difícil.

En la práctica, hacen esto: producen pruebas, como resultado de las cuales obtienen valores posibles
; calcular su media aritmética

y aceptar como estimación (valor aproximado) el número requerido :

Debido a que el método Monte Carlo requiere una gran cantidad de pruebas, a menudo se le llama método de prueba estadística. La teoría de este método indica cómo seleccionar de forma más adecuada una variable aleatoria.
, cómo encontrar sus posibles valores. En particular, se están desarrollando métodos para reducir la dispersión de las variables aleatorias utilizadas, como resultado de lo cual se reduce el error permitido al reemplazar la expectativa matemática deseada de un número. su evaluación .

Encontrar posibles valores de una variable aleatoria
(simulaciones) se llaman " jugando una variable aleatoria" Aquí describiremos sólo algunas formas de jugar a r.v.
y le indicaremos cómo evaluar el error permitido.

2. Números aleatorios, estimación del error del método de Montecarlo.

Como ya se señaló, el método de Montecarlo se basa en el uso de números aleatorios; Demos la definición de estos números. Denotemos por n.s.v., distribuido uniformemente en el intervalo
.

Números aleatorios nombrar los posibles valores de una variable aleatoria continua , distribuido uniformemente en el intervalo
.

En realidad, utilizan un r.v. distribuido de manera desigual. , cuyos posibles valores, en general, tienen un número infinito de decimales, y variable aleatoria cuasi uniforme
, cuyo posible significado tiene un número finito de caracteres. Como resultado del reemplazo en
el valor que se juega no tiene exactamente, sino aproximadamente, una distribución determinada.

Al final del libro hay una tabla de números aleatorios, tomada del libro (Bolshev L.N.... “Tablas de estadística matemática. Ciencia, 1965).

Vamos a obtener un presupuesto expectativa matemática del número variable aleatoria
fue producido pruebas independientes (dibujadas valores posibles) y a partir de ellos se encontró la media muestral , que se acepta como la estimación requerida
.

Está claro que si se repite el experimento se obtendrán otros valores posibles
. Por lo tanto, un promedio diferente y una estimación diferente del número
. De esto se deduce que en el caso general es imposible obtener una estimación exacta del MO.

Naturalmente, surge la pregunta sobre la magnitud del error permitido. Aquí nos limitamos a encontrar sólo el límite superior. error permisible con una probabilidad dada (confiabilidad)

El límite de error superior que nos interesa es no es más que " precisión de la estimación» La expectativa matemática para el promedio muestral usando intervalos de confianza ya se discutió en la sección Suplemento 1, tema 21. En este sentido, usaremos la expectativa obtenida anteriormente.