Los poliedros regulares se llaman poliedros convexos, cuyas caras son todas polígonos regulares idénticos y el mismo número de caras se encuentran en cada vértice. Estos poliedros también se denominan sólidos platónicos.
Sólo hay cinco poliedros regulares:
|
Imagen |
Tipo de poliedro regular |
Número de lados de una cara |
Número de aristas adyacentes a un vértice |
Número total de vértices |
Número total de aristas |
Número total de caras |
|
tetraedro |
||||||
|
Hexaedro o cubo |
||||||
|
Dodecaedro |
||||||
|
icosaedro |
El nombre de cada poliedro proviene del nombre griego del número de sus caras y de la palabra "cara".
tetraedro
Un tetraedro (del griego fefsbedspn - tetraedro) es un poliedro con cuatro caras triangulares, en cada uno de cuyos vértices se encuentran 3 caras. Un tetraedro tiene 4 caras, 4 vértices y 6 aristas.
Propiedades del tetraedro
Los planos paralelos que pasan a través de pares de aristas que se cruzan del tetraedro definen el paralelepípedo descrito alrededor del tetraedro.
El segmento que conecta el vértice de un tetraedro con el punto de intersección de las medianas de la cara opuesta se llama mediana y se omite en este vértice.
El segmento que conecta los puntos medios de las aristas que se cruzan en un tetraedro se llama bimediana que conecta estas aristas.
Un segmento que conecta un vértice con un punto de la cara opuesta y perpendicular a esta cara se llama altura, omitida en el vértice dado.
Teorema. Todas las medianas y bimedianas de un tetraedro se cortan en un punto. Este punto divide las medianas en una proporción de 3:1, contando desde el vértice. Este punto divide las bimedianas por la mitad.
Destacar:
- · un tetraedro isoédrico, en el que todas las caras son triángulos iguales;
- · un tetraedro ortocéntrico en el que todas las alturas que descienden desde los vértices hasta las caras opuestas se cruzan en un punto;
- · un tetraedro rectangular en el que todas las aristas adyacentes a uno de los vértices son perpendiculares entre sí;
- · tetraedro regular, todas cuyas caras son triángulos equiláteros;
- · tetraedro de estructura: un tetraedro que cumple cualquiera de las condiciones:
- · Hay una esfera tocando todos los bordes.
- · Las sumas de las longitudes de los bordes que se cruzan son iguales.
- ·Las sumas de los ángulos diédricos en aristas opuestas son iguales.
- · Los círculos inscritos en caras se tocan de dos en dos.
- · Se describen todos los cuadriláteros resultantes del desarrollo de un tetraedro.
- · Las perpendiculares, restituidas a las caras desde los centros de los círculos inscritos en ellas, se cruzan en un punto.
- · tetraedro proporcional, cuyas bialturas son iguales;
- · un tetraedro incéntrico, en el que los segmentos que conectan los vértices del tetraedro con los centros de círculos inscritos en caras opuestas se cruzan en un punto.
Un cubo o hexaedro regular es un poliedro regular, cada cara del cual es un cuadrado. Un caso especial de paralelepípedo y prisma.
Propiedades del cubo
- · Las cuatro secciones del cubo son hexágonos regulares: estas secciones pasan por el centro del cubo perpendicularmente a sus cuatro diagonales principales.
- · Puedes encajar un tetraedro en un cubo de dos maneras. En ambos casos, los cuatro vértices del tetraedro estarán alineados con los cuatro vértices del cubo y las seis aristas del tetraedro pertenecerán a las caras del cubo. En el primer caso, todos los vértices del tetraedro pertenecen a las caras de un ángulo triédrico, cuyo vértice coincide con uno de los vértices del cubo. En el segundo caso, las aristas que se cruzan por pares del tetraedro pertenecen a caras opuestas por pares del cubo. Este tetraedro es regular.
- · Puedes colocar un octaedro en un cubo y los seis vértices del octaedro estarán alineados con los centros de las seis caras del cubo.
- · Un cubo puede estar inscrito en un octaedro, y los ocho vértices del cubo estarán ubicados en los centros de las ocho caras del octaedro.
- · Un icosaedro puede estar inscrito en un cubo, mientras que seis aristas del icosaedro paralelas entre sí se ubicarán respectivamente en seis caras del cubo, las 24 aristas restantes se ubicarán dentro del cubo. Los doce vértices del icosaedro estarán en las seis caras del cubo.
La diagonal de un cubo es un segmento que conecta dos vértices que son simétricos con respecto al centro del cubo. La diagonal de un cubo se encuentra mediante la fórmula.
poliedro icosaedro octaedro dodecaedro
donde d es la diagonal y es la arista del cubo.
Octaedro
El octaedro (del griego pkfedspn, del griego pkfyu, "ocho" y del griego Edsb - "base") es uno de los cinco poliedros regulares convexos, los llamados sólidos platónicos.
El octaedro tiene 8 caras triangulares, 12 aristas, 6 vértices y 4 aristas convergen en cada vértice.
Si la longitud de la arista de un octaedro es igual a a, entonces el área de su superficie total (S) y el volumen del octaedro (V) se calculan mediante las fórmulas:
El radio de una esfera circunscrita alrededor de un octaedro es igual a:
El radio de una esfera inscrita en un octaedro se puede calcular mediante la fórmula:
Un octaedro regular tiene simetría Oh, que coincide con la simetría de un cubo.
El octaedro tiene forma de estrella única. El octaedro fue descubierto por Leonardo da Vinci y redescubierto casi 100 años después por Johannes Kepler, y lo llamó Stella octangula, una estrella octogonal. De ahí que esta forma tenga el segundo nombre "Stella octangula de Kepler".
En esencia, es una combinación de dos tetraedros.
Dodecaedro
Dodecaedro (del griego dudekb - doce y edspn - cara), dodecaedro - un poliedro regular formado por doce pentágonos regulares. Cada vértice del dodecaedro es el vértice de tres pentágonos regulares.
Así, el dodecaedro tiene 12 caras (pentagonales), 30 aristas y 20 vértices (3 aristas convergen en cada una). La suma de los ángulos planos en cada uno de los 20 vértices es 324°.
El dodecaedro tiene 3 formas estrelladas: dodecaedro estrellado pequeño, dodecaedro grande, dodecaedro estrellado grande (dodecaedro estrellado, la forma final). Los dos primeros fueron descubiertos por Kepler (1619), el tercero por Poinsot (1809). A diferencia del octaedro, cualquiera de las formas estrelladas del dodecaedro no es una combinación de sólidos platónicos, sino que forma un nuevo poliedro.
Las 3 formas estrelladas del dodecaedro, junto con el gran icosaedro, forman la familia de sólidos de Kepler-Poinsot, es decir, poliedros regulares no convexos (estrellados).
Las caras del gran dodecaedro son pentágonos, que se juntan cinco en cada vértice. Los dodecaedros estrellados pequeños y grandes tienen caras de estrellas de cinco puntas (pentagramas), que en el primer caso convergen en 5, y en el segundo en 3. Los vértices del dodecaedro estrellado grande coinciden con los vértices del dodecaedro descrito. Cada vértice tiene tres caras conectadas.
Fórmulas básicas:
Si tomamos a como la longitud del borde, entonces el área de la superficie del dodecaedro es:
Volumen del dodecaedro:
Radio de la esfera descrita:
Radio de la esfera inscrita:
Elementos de simetría del dodecaedro:
·El dodecaedro tiene un centro de simetría y 15 ejes de simetría.
Cada uno de los ejes pasa por los puntos medios de aristas paralelas opuestas.
· El dodecaedro tiene 15 planos de simetría. Cualquiera de los planos de simetría pasa en cada cara por la parte superior y media del borde opuesto.
icosaedro
El icosaedro (del griego ekpubt - veinte; -edspn - cara, cara, base) es un poliedro convexo regular, veinteedro, uno de los sólidos platónicos. Cada una de las 20 caras es un triángulo equilátero. El número de aristas es 30 y el número de vértices es 12.
El área S, el volumen V de un icosaedro con longitud de arista a, así como los radios de las esferas inscrita y circunscrita se calculan mediante las fórmulas:
Radio de la esfera inscrita:
radio de la esfera circunscrita:
Propiedades
- · El icosaedro se puede inscribir en un cubo, en este caso, seis aristas del icosaedro mutuamente perpendiculares se ubicarán respectivamente en seis caras del cubo, las 24 aristas restantes dentro del cubo, los doce vértices del icosaedro se ubicarán en seis caras del cubo.
- · Un tetraedro puede estar inscrito en un icosaedro, además, los cuatro vértices del tetraedro estarán combinados con los cuatro vértices del icosaedro.
- · Un icosaedro puede inscribirse en un dodecaedro, con los vértices del icosaedro alineados con los centros de las caras del dodecaedro.
- · Un dodecaedro puede inscribirse en un icosaedro combinando los vértices del dodecaedro y los centros de las caras del icosaedro.
- · Se puede obtener un icosaedro truncado cortando 12 vértices para formar caras en forma de pentágonos regulares. En este caso, el número de vértices del nuevo poliedro aumenta 5 veces (12?5=60), 20 caras triangulares se convierten en hexágonos regulares (el número total de caras pasa a ser 20+12=32) y el número de aristas aumenta. a 30+12?5=90.
El icosaedro tiene 59 formas estrelladas, de las cuales 32 tienen simetría icosaédrica completa y 27 incompleta. Una de estas estelaciones (20, Wenninger mod. 41), llamada gran icosaedro, es una de las cuatro estelaciones regulares de Kepler-Poinsot. Sus caras son triángulos regulares, que se juntan en cada vértice de cinco en cinco; Esta propiedad es común al gran icosaedro con el icosaedro.
Entre las formas estrelladas también se encuentran: una conexión de cinco octaedros, una conexión de cinco tetraedros, una conexión de diez tetraedros.
Para utilizar vistas previas de presentaciones, cree una cuenta de Google e inicie sesión en ella: https://accounts.google.com
Títulos de diapositivas:
Poliedros. Vértices, aristas, caras de un poliedro. TEOREMA DE EULER. Décimo grado Completado por: Kaygorodova S.V.
Un poliedro se llama regular si todas sus caras son polígonos regulares y todos los ángulos del poliedro en sus vértices son iguales.
El hombre conoce cinco poliedros asombrosos desde la antigüedad.
Según el número de caras se les llama tetraedro regular.
hexaedro (hexágono) o cubo
octaedro (octaedro)
dodecaedro (dodecaedro)
icosaedro (veinte edros)
Desarrollos de poliedros regulares.
Antecedentes históricos La humanidad conocía cuatro esencias de la naturaleza: fuego, agua, tierra y aire. Según Platón, sus átomos tenían la forma de poliedros regulares. El gran filósofo griego Platón, que vivió entre los siglos IV y V. BC, creía que estos cuerpos personifican la esencia de la naturaleza.
el átomo de fuego tenía la forma de un tetraedro, la tierra - un hexaedro (cubo) de aire - un octaedro de agua - un icosaedro
Pero quedaba un dodecaedro, que no tenía correspondencia. Platón sugirió que había otra (quinta) entidad. Lo llamó el éter mundial. Los átomos de esta quinta esencia tenían forma de dodecaedro. Platón y sus alumnos prestaron gran atención a los poliedros enumerados en sus obras. Por ello, a estos poliedros también se les llama sólidos platónicos.
Para cualquier poliedro convexo se cumple la siguiente relación: Г+В-Р=2, donde Г es el número de caras, В es el número de vértices, Р es el número de aristas del poliedro dado. Caras + Vértices - Aristas = 2. Teorema de Euler
Características de los poliedros regulares Poliedro Número de lados de una cara Número de caras que se encuentran en cada vértice Número de caras (G) Número de aristas (P) Número de vértices (V) Tetraedro 3 3 4 6 4 Hexaedro 4 3 6 12 8 Octaedro 3 4 8 12 6 Icosaedro 3 5 20 30 12 Dodecaedro 5 3 12 30 20
Dualidad de poliedros regulares El hexaedro (cubo) y el octaedro forman un par dual de poliedros. El número de caras de un poliedro es igual al número de vértices de otro y viceversa.
Tomemos cualquier cubo y consideremos un poliedro con vértices en los centros de sus caras. Como puedes ver fácilmente, obtenemos un octaedro.
Los centros de las caras del octaedro sirven como vértices del cubo.
El sulfato de antimonio y sodio es un tetraedro. Poliedros en la naturaleza, química y biología Los cristales de algunas sustancias que nos son familiares tienen la forma de poliedros regulares. El cristal de pirita es un modelo de dodecaedro natural. Los cristales de sal de mesa dan la forma de un cubo. El monocristal de alumbre de aluminio y potasio tiene forma de octaedro. Cristal (prisma) El icosaedro se ha convertido en el centro de atención de los biólogos en sus disputas sobre la forma de los virus. El virus no puede ser perfectamente redondo, como se pensaba hasta ahora. Para establecer su forma, tomaron varios poliedros y les dirigieron luz en los mismos ángulos que el flujo de átomos hacia el virus. Resultó que sólo un poliedro da exactamente la misma sombra: el icosaedro. Durante el proceso de división del óvulo, primero se forma un tetraedro de cuatro células, luego un octaedro, un cubo y, finalmente, una estructura de gástrula dodecaédrica-icosaédrica. Y finalmente, quizás lo más importante, ¡la estructura del ADN del código genético de la vida es un desarrollo de cuatro dimensiones (a lo largo del eje del tiempo) de un dodecaedro giratorio! La molécula de metano tiene la forma de un tetraedro regular.
Poliedros en el arte “Retrato de Monna Lisa” La composición de la imagen se basa en triángulos dorados, que son partes de un pentágono regular en forma de estrella. grabado “Melancolía” En primer plano del cuadro hay un dodecaedro. “La Última Cena” Cristo y sus discípulos están representados sobre el fondo de un enorme dodecaedro transparente.
Poliedros en la arquitectura El Museo de la Fruta Yamanashi se creó mediante modelado 3D. La Torre Spasskaya de cuatro niveles con la Iglesia del Salvador no hecha por manos es la entrada principal al Kremlin de Kazán. Fue construido en el siglo XVI por los arquitectos de Pskov Ivan Shiryai y Postnik Yakovlev, apodados "Barma". Los cuatro niveles de la torre son un cubo, poliedros y una pirámide. Torre Spasskaya del Kremlin. Faro de Alejandría Pirámides Museos de frutas
Desafortunadamente, la geometría esférica y la geometría de Lobachevsky no se estudian en el plan de estudios escolar. Mientras tanto, su estudio junto con la geometría euclidiana nos permite comprender mejor lo que sucede con los objetos. Por ejemplo, comprenda la conexión de los poliedros regulares con las particiones de la esfera, las particiones del plano euclidiano y las particiones del plano de Lobachevsky.
El conocimiento de la geometría de espacios de curvatura constante ayuda a elevarse por encima de las tres dimensiones e identificar poliedros en espacios de dimensión 4 y superiores. Las cuestiones de encontrar poliedros, encontrar particiones de espacios de curvatura constante y derivar la fórmula para el ángulo diédrico de un poliedro regular en un espacio de n dimensiones están tan estrechamente entrelazadas que resultó problemático incluir todo esto en el título del artículo. Centrémonos en los poliedros regulares, comprensibles para todos, aunque no sólo son el resultado de todas las conclusiones, sino también, al mismo tiempo, una herramienta para comprender espacios de dimensiones superiores y espacios uniformemente curvos.
Para los que no lo saben (lo olvidaron), les informo (recuerdo) que en el espacio euclidiano tridimensional al que estamos acostumbrados, sólo hay cinco poliedros regulares:
| 1. Tetraedro: | 2. Cubo: | 3. Octaedro: | 4. Dodecaedro: | 5. Icosaedro: |
 |
 |
 |
 |
En el espacio tridimensional, un poliedro regular es un poliedro convexo en el que todos los vértices son iguales entre sí, todas las aristas son iguales entre sí, todas las caras son iguales entre sí y las caras son polígonos regulares.
Un polígono regular es un polígono convexo en el que todos los lados son iguales y todos los ángulos son iguales.
Los vértices son iguales entre sí significa que el número de aristas y el número de caras que se acercan a cada vértice son los mismos y se acercan en los mismos ángulos en cada vértice.
En esta notación, nuestros poliedros recibirán las siguientes designaciones:
1. Tetraedro (3, 3),
2. Cubo (4, 3),
3. Octaedro (3, 4),
4. Dodecaedro (5, 3),
5. Icosaedro (3, 5)
Por ejemplo, (4, 3): un cubo tiene 4 caras en las esquinas y 3 de esas caras se encuentran en cada vértice.
El octaedro (3, 4), por el contrario, tiene 3 caras de carbono, 4 de las cuales convergen en el vértice.
Así, el símbolo de Schläfli determina completamente la estructura combinatoria del poliedro.
¿Por qué sólo hay 5 poliedros regulares? ¿Quizás haya más de ellos?
Para responder completamente a esta pregunta, primero debe obtener una comprensión intuitiva de la geometría en la esfera y en el plano de Lobachevsky. Para aquellos que aún no tienen esa idea, intentaré dar las explicaciones necesarias.
Esfera
1. ¿Qué es un punto en una esfera? Creo que es intuitivamente claro para todos. No es difícil imaginar mentalmente un punto en una esfera.
2. ¿Qué es un segmento de una esfera? Tomamos dos puntos y los conectamos por la distancia más corta en la esfera, obtenemos un arco si miramos la esfera desde un lado.
3. Si continúas este segmento en ambas direcciones, se cerrará y obtendrás un círculo. En este caso, el plano del círculo contiene el centro de la esfera; esto se desprende del hecho de que conectamos los dos puntos iniciales por la distancia más corta, y no arbitraria. De lado parece un círculo, pero en términos de geometría esférica es una línea recta, ya que se obtuvo a partir de un segmento extendido hasta el infinito en ambas direcciones.
4. Y por último, ¿qué es un triángulo sobre una esfera? Tomamos tres puntos de la esfera y los conectamos con segmentos.
Por analogía con un triángulo, puedes dibujar un polígono arbitrario en una esfera. Para nosotros, la propiedad de un triángulo esférico es de fundamental importancia, es decir, que la suma de los ángulos de dicho triángulo sea mayor que 180 grados, a lo que estamos acostumbrados en el triángulo euclidiano. Además, la suma de los ángulos de dos triángulos esféricos diferentes es diferente. Cuanto más grande es el triángulo, MAYOR es la suma de sus ángulos.
En consecuencia, aparece el cuarto signo de igualdad de los triángulos en una esfera, en tres ángulos: dos triángulos esféricos son iguales entre sí si sus ángulos correspondientes son iguales.
Para simplificar, es más fácil no dibujar la esfera en sí, entonces el triángulo se verá un poco hinchado:
Una esfera también se llama espacio de curvatura positiva constante. La curvatura del espacio conduce precisamente a que la distancia más corta sea un arco, y no el segmento de recta al que estamos acostumbrados. El segmento parece estar doblado.
lobachevski
Ahora que nos hemos familiarizado con la geometría de la esfera, no será difícil comprender la geometría del plano hiperbólico, descubierta por el gran científico ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky, ya que aquí todo sucede de la misma manera que en la esfera, solo que “de adentro hacia afuera”, “al revés”. Si dibujamos arcos en una esfera en círculos con centro dentro de la esfera, ahora los arcos deben dibujarse en círculos con centro fuera de la esfera.Empecemos. Representaremos el plano de Lobachevsky en la interpretación de Poincaré II (Jules Henri Poincaré, el gran científico francés), esta interpretación de la geometría de Lobachevsky también se llama disco de Poincaré.
1. Punto en el plano de Lobachevsky. Punto: también es un punto en África.
2. Un segmento del plano de Lobachevsky. Conectamos dos puntos con una línea a lo largo de la distancia más corta en el sentido del plano de Lobachevsky.
La distancia más corta se construye de la siguiente manera:
Es necesario dibujar un círculo ortogonal al disco de Poincaré que pase por los dos puntos dados (Z y V en la figura). El centro de este círculo siempre estará fuera del disco. El arco que conecta los dos puntos originales será la distancia más corta en el sentido del plano de Lobachevsky.
3. Quitando los arcos auxiliares, obtenemos la recta E1 - H1 en el plano de Lobachevsky.
Los puntos E1, H1 "se encuentran" en el infinito del plano de Lobachevsky; en general, el borde del disco de Poincaré son todos puntos infinitamente distantes del plano de Lobachevsky.
4. Y por último, ¿qué es un triángulo en el plano de Lobachevsky? Tomamos tres puntos y los conectamos con segmentos.
Por analogía con un triángulo, puedes dibujar un polígono arbitrario en el plano de Lobachevsky. Para nosotros, la propiedad de un triángulo hiperbólico es de fundamental importancia, es decir, que la suma de los ángulos de dicho triángulo es siempre inferior a 180 grados, a lo que estamos acostumbrados en el triángulo euclidiano. Además, la suma de los ángulos de dos triángulos hiperbólicos diferentes es diferente. Cuanto mayor sea el área del triángulo, MENOR será la suma de sus ángulos.
En consecuencia, aquí también se produce el cuarto signo de igualdad de los triángulos hiperbólicos: por tres ángulos: dos triángulos hiperbólicos son iguales entre sí si sus ángulos correspondientes son iguales.
Para simplificar, el disco de Poincaré a veces no se puede dibujar, entonces el triángulo se verá un poco "encogido", "desinflado":
El plano de Lobachevsky (y en general el espacio de Lobachevsky de cualquier dimensión) también se llama espacio de curvatura NEGATIVA constante. La curvatura del espacio precisamente lleva a que la distancia más corta sea un arco, y no el segmento de recta al que estamos acostumbrados. El segmento parece estar doblado.
Particiones regulares de una Esfera bidimensional y poliedros regulares tridimensionales
Todo lo dicho sobre la esfera y el plano de Lobachevsky se refiere a la bidimensionalidad, es decir. La superficie de una esfera es bidimensional. ¿Qué tiene esto que ver con la tridimensionalidad indicada en el título del artículo? Resulta que cada poliedro euclidiano regular tridimensional tiene una correspondencia uno a uno con su propia partición de la esfera bidimensional. Esto se ve mejor en la figura:
Para obtener una partición de una esfera a partir de un poliedro regular, es necesario describir una esfera alrededor del poliedro. Los vértices del poliedro aparecerán en la superficie de la esfera, conectando estos puntos con segmentos en la esfera (arcos), obtenemos una partición de la esfera bidimensional en polígonos esféricos regulares. A modo de ejemplo, se realizó una demostración en video de cómo el icosaedro corresponde a la división de una esfera en triángulos esféricos y viceversa, y cómo la división de una esfera en triángulos esféricos que convergen de cinco en cinco en el vértice corresponde al icosaedro.
Para construir un poliedro a partir de una partición de una esfera, los vértices de la partición correspondientes a los arcos deben estar conectados por segmentos euclidianos rectilíneos ordinarios.
En consecuencia, el símbolo de Schläfli del icosaedro (3, 5) (triángulos que convergen cinco en un vértice) especifica no sólo la estructura de este poliedro, sino también la estructura de la partición de una esfera bidimensional. Al igual que con otros politopos, sus símbolos de Schläfli también determinan la estructura de las particiones correspondientes. Además, las particiones del plano euclidiano y del plano de Lobachevsky en polígonos regulares también pueden especificarse mediante el símbolo de Schläfli. Por ejemplo, (4, 4) - cuadriláteros que convergen en cuatro - este es el cuaderno cuadrado que todos conocemos, es decir Ésta es una división del plano euclidiano en cuadrados. ¿Existen otras divisiones del plano euclidiano? Ya veremos más.
Construcción de particiones de una esfera bidimensional, el plano euclidiano y el plano de Lobachevsky.
Para construir particiones de espacios bidimensionales de curvatura constante (este es el nombre general de estos tres espacios), necesitamos geometría de escuela primaria y conocimiento de que la suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor que 180 grados (mayor que Pi). , que la suma de los ángulos de un triángulo hiperbólico es menor que 180 grados (menor que Pi) y ¿Qué es el símbolo de Schläfli? Todo esto ya se ha dicho anteriormente.Entonces, tomemos un símbolo de Schläfli arbitrario (p1, p2), especifica una partición de uno de tres espacios de curvatura constante (para un plano esto es cierto, para espacios de dimensiones superiores la situación es más complicada, pero nada nos impide explorando todas las combinaciones del símbolo).
Consideremos un cuadrado p1 regular y dibujemos segmentos que conecten su centro y sus vértices. Obtenemos p1 piezas de triángulos isósceles (en la figura solo se muestra uno de esos triángulos). Denotamos la suma de los ángulos de cada uno de estos triángulos como t y expresamos t en términos de pi y el coeficiente lambda.
Entonces si lambda = 1, entonces el triángulo euclidiano, es decir está en el plano euclidiano, si lambda está en el intervalo (1, 3), entonces esto significa que la suma de los ángulos es mayor que pi y esto significa que este triángulo es esférico (no es difícil imaginar que al aumentar un triángulo esférico en el límite, se obtiene un círculo con tres puntos, en cada punto el ángulo del triángulo es igual a pi, y el total es 3*pi. Esto explica el límite superior del intervalo = 3). Si lambda está en el intervalo (0, 1), entonces el triángulo es hiperbólico, ya que la suma de sus ángulos es menor que pi (es decir, menos de 180 grados). Brevemente se puede escribir así:
Por otro lado, para la convergencia en el vértice de p2 piezas (es decir, un número entero) de los mismos polígonos, es necesario que
Igualando las expresiones para 2*betta encontradas a partir de la condición de convergencia y del polígono:
Hemos obtenido una ecuación que muestra cuál de los tres espacios se divide por la cifra dada por su símbolo de Schläfli (p1, p2). Para resolver esta ecuación, también debemos recordar que p1, p2 son números enteros mayores o iguales a 3. Esto, por así decirlo, se desprende de su significado físico, ya que estos son ángulos p1 (al menos 3 ángulos) que convergen a lo largo de p2 piezas en el vértice (también no menos de 3, de lo contrario no será un vértice).
La solución a esta ecuación es enumerar todos los valores posibles para p1, p2 mayor o igual a 3 y calcular el valor lambda. Si resulta ser igual a 1, entonces (p1, p2) divide el plano euclidiano, si es mayor que 1 pero menor que 3, entonces esta es una partición de la Esfera, si es de 0 a 1, entonces esto es una partición del plano de Lobachevsky. Es conveniente resumir todos estos cálculos en una tabla.
De donde se puede observar que:
1. La esfera corresponde sólo a 5 soluciones; cuando lamda es mayor que 1 y menor que 3, se resaltan en verde en la tabla. Estos son: (3, 3) - tetraedro, (3, 4) - octaedro, (3, 5) - icosaedro, (4, 3) - cubo, (5, 3) - dodecaedro. Sus fotografías fueron presentadas al principio del artículo.
2. Las particiones del plano euclidiano corresponden solo a tres soluciones, cuando lambda = 1, se resaltan en azul en la tabla. Así es como se ven estas divisiones.
3. Y finalmente, todas las demás combinaciones (p1, p2) corresponden a particiones del plano de Lobachevsky; en consecuencia, existe un número infinito (contable) de tales particiones; Sólo queda ilustrar algunos de ellos, por ejemplo.
Resultados
Por lo tanto, solo hay 5 poliedros regulares, corresponden a cinco particiones de la esfera bidimensional, solo hay 3 particiones del plano euclidiano y hay un número contable de particiones del plano de Lobachevsky.¿Cuál es la aplicación de este conocimiento?
Hay personas que están directamente interesadas en las particiones de una esfera.
Poliedro regular Se llama poliedro a aquel que tiene todas sus caras iguales y son polígonos regulares iguales, todas sus aristas y todos sus vértices también son iguales entre sí. Si bien existe cualquier cantidad de polígonos regulares, existe una cantidad limitada de poliedros regulares.
Así como los polígonos regulares comienzan con un triángulo, los poliedros regulares comienzan con su análogo: tetraedro (es decir, en griego, tetraedro). Tiene el mínimo número posible de vértices y caras: cuatro de cada uno y seis aristas (tres vértices siempre se encuentran en el mismo plano; por lo tanto, para un cuerpo volumétrico se necesitan al menos cuatro vértices; un volumen finito en el espacio no puede limitarse por tres caras planas). En cada vértice convergen tres caras triangulares y, en consecuencia, tres aristas. Un tetraedro es una pirámide, y la más simple es triédrica (cualquier pirámide consta de una base y caras laterales; una pirámide se llama n-facetada si tiene n caras laterales; es fácil ver que para una pirámide de n lados la la base debe tener inevitablemente la forma de un n-gon). Todo lo que hemos dicho hasta ahora sobre el tetraedro se aplica a cualquier tetraedro, no necesariamente al regular; las caras de un tetraedro regular son triángulos regulares.
Está muy familiarizado con el siguiente poliedro regular: este es cubo. Si un tetraedro es en cierto sentido similar a un triángulo, entonces un cubo es similar a un cuadrado. Un cubo es un paralelepípedo rectangular cuyas caras son cuadradas. Intente, sin mirar la imagen, calcular cuántas caras tiene un cubo (y, de hecho, cualquier paralelepípedo rectangular), cuántos vértices, cuántas aristas y cuántas caras y aristas convergen en cada vértice.
Otro poliedro regular tiene octaedro (es decir, octaedro): no hay análogos en el mundo plano, porque se parece un poco a un triángulo y un poco a un cuadrado. Se puede hacer un octaedro a partir de dos pirámides tetraédricas pegando sus bases. Las caras de un octaedro regular son triángulos regulares. En cada uno de sus vértices se encuentran no tres, como un tetraedro y un cubo, sino cuatro caras. Por ejemplo, los cristales de diamantes naturales tienen forma de octaedro.
El octaedro está estrechamente relacionado con el llamado cubo. propiedad de reciprocidad : los centros de las caras de un cubo son los vértices de un octaedro regular, y los centros de las caras de un octaedro regular son los vértices de un cubo. Si conectas los centros de las caras adyacentes de un cubo con segmentos, estos segmentos se convertirán en las aristas del octaedro; si haces la misma operación con un octaedro, obtienes un cubo. Por cierto, en base a esto, está claro que el número de vértices del octaedro es igual al número de caras del cubo, y viceversa; Además, su número de aristas coincide.
El tetraedro está relacionado consigo mismo por la propiedad de reciprocidad.
¿Es posible formular algún análogo de la propiedad de reciprocidad para polígonos regulares?
Por cierto, el tetraedro también está relacionado con el cubo. Es decir, si eliges cuatro vértices de un cubo, de los cuales no hay dos adyacentes, y los conectas con segmentos, ¡entonces estos segmentos forman un tetraedro!
 |
|
Arroz. 3. Cubo y tetraedro |
La propiedad más importante de los poliedros regulares que llama inmediatamente la atención es su alto grado de simetría. Un cierto número de reflexiones alrededor de diferentes planos, así como un número de rotaciones alrededor de diferentes ejes, transforman cada uno de los poliedros en sí mismo. Cada uno de ellos tiene un centro por donde pasan todos estos planos de simetría y ejes; los vértices están equidistantes de este centro, lo mismo ocurre con las caras y las aristas. Por tanto, en cada poliedro regular se puede inscribir una esfera y alrededor de cada uno de ellos se puede describir una esfera. (En este sentido, sin embargo, son bastante similares a los polígonos regulares, en cada uno de los cuales se puede inscribir un círculo y alrededor de cada uno de los cuales también se puede describir un círculo).
¿Cuántos planos de simetría tiene un cubo, tetraedro u octaedro? ¿Cuántos ejes de rotación tiene cada uno de ellos que transforman el poliedro en sí mismo?
