Considere una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden:
(1)
.
Hay tres formas de resolver esta ecuación:
- método de variación de constante (Lagrange).
Consideremos resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden usando el método de Lagrange.
Método de variación de constante (Lagrange)
En el método de variación de constantes, resolvemos la ecuación en dos pasos. En el primer paso, simplificamos la ecuación original y resolvemos una ecuación homogénea. En la segunda etapa, reemplazamos la constante de integración obtenida en la primera etapa de la solución con una función. Luego buscamos una solución general a la ecuación original.
Considere la ecuación:
(1)
Paso 1 Resolver una ecuación homogénea
Buscamos una solución a la ecuación homogénea:
Esta es una ecuación separable.
Separamos las variables: multiplicamos por dx, dividimos por y:
Integramos:
Integral sobre y - tabular:
Entonces
Potencialicemos:
Reemplacemos la constante e C con C y eliminemos el signo del módulo, que se reduce a multiplicar por una constante ±1, que incluiremos en C:
Paso 2 Reemplaza la constante C con la función
Ahora reemplacemos la constante C con una función de x:
C → tu (incógnita)
Es decir, buscaremos una solución a la ecuación original. (1)
en la forma:
(2)
Encontrar la derivada.
Según la regla de derivación de una función compleja:
.
Según la regla de diferenciación de productos:
.
Sustituir en la ecuación original (1)
:
(1)
;
.
Se reducen dos miembros:
;
.
Integramos:
.
Sustituir en (2)
:
.
Como resultado, obtenemos una solución general a una ecuación diferencial lineal de primer orden:
.
Un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el método de Lagrange
Resuelve la ecuación
Solución
Resolvemos la ecuación homogénea:
Separamos las variables:
Multiplicar por:
Integramos:
Integrales tabulares:
Potencialicemos:
Reemplacemos la constante e C con C y eliminemos los signos del módulo:
Desde aquí:
Reemplacemos la constante C con una función de x:
C → tu (incógnita)
Encontrar la derivada:
.
Sustituye en la ecuación original:
;
;
O:
;
.
Integramos:
;
Solución de la ecuación:
.
Pasemos a la consideración de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de la forma
Dónde 
- la función requerida del argumento 
y las funciones 
son dados y continuos en un cierto intervalo 
.
Introduzcamos en consideración una ecuación lineal homogénea, cuyo lado izquierdo coincide con el lado izquierdo de la ecuación no homogénea (2.31),
Una ecuación de la forma (2.32) se llama ecuación homogénea correspondiente a la ecuación no homogénea (2.31).
El siguiente teorema se cumple sobre la estructura de la solución general de la ecuación lineal no homogénea (2.31).
Teorema 2.6. La solución general de la ecuación lineal no homogénea (2.31) en la región
es la suma de cualquier solución particular de la misma y la solución general de la correspondiente ecuación homogénea (2.32) en el dominio (2.33), es decir
Dónde 
- solución particular de la ecuación (2.31), 
es el sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea (2.32), y 
- constantes arbitrarias.
Encontrarás la demostración de este teorema en.
Utilizando el ejemplo de una ecuación diferencial de segundo orden, describiremos un método mediante el cual se puede encontrar una solución particular a una ecuación lineal no homogénea. Este método se llama Método de Lagrange de variación de constantes arbitrarias..
Entonces, tengamos una ecuación lineal no homogénea.
(2.35)
donde estan los coeficientes 
y lado derecho 
continuo en algún intervalo 
.
Denotemos por 
Y 
sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea
(2.36)
Entonces su solución general tiene la forma
(2.37)
Dónde 
Y 
- constantes arbitrarias.
Buscaremos una solución a la ecuación (2.35) de la misma forma. ,
así como la solución general de la ecuación homogénea correspondiente, reemplazando constantes arbitrarias con algunas funciones diferenciables de 
(variamos constantes arbitrarias), aquellos.
Dónde 
Y 
- algunas funciones diferenciables de 
, que aún se desconocen y que intentaremos determinar para que la función (2.38) sea solución a la ecuación no homogénea (2.35). Derivando ambos lados de la igualdad (2.38), obtenemos
Para que al calcular 
derivadas de segundo orden de 
Y 
, exigimos que en todas partes 
la condición se cumplió
entonces por 
tendremos
Calculemos la segunda derivada.
Sustituyendo expresiones por 
,
,
de (2.38), (2.40), (2.41) a la ecuación (2.35), obtenemos
Las expresiones entre corchetes son iguales a cero en todas partes 
, porque 
Y 
- soluciones parciales de la ecuación (2.36). En este caso, (2.42) tomará la forma. Combinando esta condición con la condición (2.39), obtenemos un sistema de ecuaciones para determinar 
Y 
(2.43)
El último sistema es un sistema de dos ecuaciones algebraicas lineales no homogéneas con respecto a 
Y 
. El determinante de este sistema es el determinante de Wronski para el sistema fundamental de soluciones. 
,
y, por lo tanto, es distinto de cero en todas partes 
. Esto significa que el sistema (2.43) tiene una solución única. Habiéndolo solucionado de alguna manera relativamente 
,
encontraremos
Dónde 
Y 
- funciones conocidas.
Realizando la integración y teniendo en cuenta que como 
,
deberíamos tomar un par de funciones y establecer las constantes de integración iguales a cero. obtenemos
Sustituyendo las expresiones (2.44) en las relaciones (2.38), podemos escribir la solución deseada a la ecuación no homogénea (2.35) en la forma
Este método se puede generalizar para encontrar una solución particular a la ecuación lineal no homogénea. 
-ésimo orden.
Ejemplo 2.6. Resuelve la ecuación 
en 
si funciones 
formar un sistema fundamental de soluciones a la ecuación homogénea correspondiente.
Encontremos una solución particular a esta ecuación. Para ello, de acuerdo con el método de Lagrange, primero debemos resolver el sistema (2.43), que en nuestro caso tiene la forma 
Reducir ambos lados de cada ecuación por 
obtenemos 
Restando la primera ecuación término por término de la segunda ecuación, encontramos 
y luego de la primera ecuación se sigue 
Realizando la integración y estableciendo las constantes de integración a cero, tendremos 
Una solución particular a esta ecuación se puede representar como
La solución general de esta ecuación tiene la forma
Dónde 
Y 
- constantes arbitrarias.
Finalmente, observemos una propiedad notable, que a menudo se denomina principio de superposición de soluciones y se describe mediante el siguiente teorema.
Teorema 2.7. si en el medio 
función 
- solución particular de la función de ecuación 
una solución particular de la ecuación en el mismo intervalo es la función 
hay una solución particular a la ecuación
Para encontrar la solución general y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x) es necesario encontrar una solución particular.
Se puede encontrar a partir de la solución general de la ecuación y’’ + (x) y’ + (x) y = 0 de algunas variaciones de constantes arbitrarias
Sustituyamos en (5.1)
+ + + + (x) + +
(x) + = f (x)
+ + + + (x) +
(x) + = f (x)
Por integración encontramos y
Luego, usando la fórmula (5.6), elaboramos una solución general.
Teorema (5.2): o imposición de solución
Si el lado derecho de la ecuación y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x) es la suma de 2 funciones:
f(x) = (x) + (x) ,
y u es una solución particular de la ecuación
+ (x) y’ + (x) y = (x)
+ (x) y’ + (x) y = (x)
esa es la funcion
¿Es la solución de esta ecuación?
() '' + ) ' + ) '= '' + + + () '' + ) ' + = (x) + (x) = f(x)
10. Ecuación de Bernoulli. 
11. Ecuación de Riccati:
ecuación de riccati es uno de los más interesantes ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. Está escrito en la forma:
Dónde a(incógnita), b(incógnita), do(incógnita) - funciones continuas dependiendo de la variable incógnita.
La ecuación de Riccati se encuentra en diversas áreas de las matemáticas (por ejemplo, la geometría algebraica y la teoría de asignaciones conformes) y la física. También suele surgir en problemas de matemáticas aplicadas.
La ecuación anterior se llama ecuación general de Riccati. Su solución se basa en el siguiente teorema:
Teorema: Si se conoce una solución particular y 1 de la ecuación de Riccati, entonces su solución general está determinada por la fórmula
De hecho, sustituyendo la solución y = y 1 + tu en la ecuación de Riccati, tenemos:
Los términos subrayados en los lados izquierdo y derecho se pueden abreviar porque y 1 es una solución particular que satisface la ecuación. Como resultado, obtenemos una ecuación diferencial para la función. tu(incógnita):
Segunda versión de Riccati (escribe sólo una de ellas)
En general, no integrado en cuadraturas.
Sin embargo, si se conoce una solución particular, entonces la ecuación de Riccati se puede reducir a la ecuación de Bernoulli.
Para hacer esto, hagamos un reemplazo:
P(x) + p (x) z + q (x) * + q (x) * 2 z + q (x) = f (x)
P(x) z + 2q (x) z +q(x) = 0
Z (p (x) + 2q (x) ) + q (x) =0
norte=2 bernouli
12. Ecuación de Lagrange.:
13. Ecuación de Clairaut:
14. Ecuaciones diferenciales de orden superior a la primera. Casos de degradación. 
15. Ecuaciones diferenciales lineales de enésimo orden. Vronskiano. Sistema fundamental de soluciones:
16. Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes. Ecuación característica:
Un caso especial de los lineales homogéneos considerados anteriormente.
las ecuaciones diferenciales son LODE con constantes
coeficientes.
17. Ecuaciones lineales no homogéneas. Encontrar una solución particular en el caso de una ecuación con un cuasipolinomio:
Cuasipolinomio de Euler: Consideremos un LDDE de segundo orden con coeficientes constantes: y'' + p y' + q y = f(x) (5.7) Puede buscar una solución particular utilizando el método de Lagrange, pero en algunos casos se puede encontrar de manera más sencilla. Considere estos casos: 1. f(x) = , es un polinomio de grado n. 2.f(x) = (cos β x + (x) sen β x). En estos casos, f(x) se denomina cuasipolinomio de EULER. En estos casos, escriba la forma esperada de la solución con coeficientes indeterminados y sustitúyala en la ecuación (5.1). De la identidad resultante se encuentra el valor de los coeficientes. Caso 1 : el lado derecho de (5.7) tiene la forma: f(x) = α R es un polinomio de grado n. La ecuación (5.7) se escribirá en la forma: y’’ + p y’ + q y = (5.8) En este caso buscamos una solución particular de la forma: = Qn (x) (5.9) donde r es el número = multiplicidad α como raíz del nivel característico + p k + q = 0, es decir r – un número que muestra cuántas veces α es la raíz de ur + p k + q = 0. Además, Qn (x) = + +…. + A n es un polinomio de grado n, escrito con coeficientes indeterminados Ai (i = 0, 1, 2,...n) A) Sea α la raíz del nivel característico: + p k + q = 0, es decir α , r = 0 y buscamos una solución en la forma = Q n (x) B) Sea α una raíz única (simple) de la ecuación característica + p k + q = 0, α = r = 1, = x Q n (x) B) Sea α = la raíz doble del nivel característico + p k + q = 0, r = 2 = Q n (x) Caso 2: El lado derecho de (5.7) tiene la forma: f(x) = () cosβx + Q m (x) sen β (x), Donde ) y Qm (x) son polinomios de grado n y m, respectivamente, α y β son números reales, entonces la ecuación (5.7) se escribirá en la forma y'' + py' + qy = () cosβx + Qm (x) sinxβ) (5.10) En este caso, una solución particular: = * (Ml (x) cosβx + N l (x ) sen βx) (5.11) r-número igual a la multiplicidad (α + βi) como raíz de la ecuación: + pk + q = 0, Me (x) y Ne (x ) son polinomios de grado l con coeficientes indeterminados. l es el grado más alto de los polinomios ) y Qm (x), l =max(n,m). Nota 1: Después de sustituir la función (5.11) en (5.10), se equiparan los polinomios delante del trígono del mismo nombre. funciones en los lados izquierdo y derecho de ur-i. Nota 2 : La fórmula (5.11) sigue siendo la misma para ) 0 y Qm (x) 0. Nota 3 : Si el lado derecho de la ecuación (5.7) es la suma de funciones de la forma 1 y 2, entonces para encontrarla se debe utilizar el teorema (5.2) sobre la imposición de soluciones. Teorema (5.2): sobre la imposición de soluciones: Si los lados derechos de la ecuación (5.1) representan la suma de 2 funciones: f(x) = (x) + (x), y u son soluciones parciales de la ecuación + (x) y ' + (x) y = (x) + (x) y ' + (x) y = (x)Esta es la solución a esta ecuación. Integración del LNDDE de enésimo orden (n un coeficiente constante y un lado derecho especial. Consideremos el LDDE de enésimo orden + (x) + (x) +… + (x)y = f(x) donde (x),…, (x), f(x) están especificados por una función continua en el intervalo (a,b). Resp. ecuación homogénea + (x) + … + (x)y = 0 . La solución general y de n-ésimo orden NLDE = la suma de la solución particular del NU y la solución general del OUy = . se puede encontrar si se conoce la solución general del SO = + + … + donde yi(x) es la solución particular que forma el sistema fundamental de soluciones del SO. Para encontrar Ci(x), el sistema ur + + … +. = 0 + + … + = se compila 0 + + … + = 0 + + … + = f (x) Sin embargo, para un LDDE de enésimo orden con coeficientes constantes, cuyo lado derecho f(x) tiene un forma especial, se puede encontrar usando el método de coeficientes indeterminados Método para seleccionar una solución particular para la ecuación y'' + + … + y = f (x) R, donde f (x) es el cuasipolinomio de Euler. en cuanto a n=2.
El método de variación de constantes arbitrarias se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. Esta lección está destinada a aquellos estudiantes que ya están más o menos versados en el tema. Si recién está comenzando a familiarizarse con el control remoto, es decir. Si eres una tetera, te recomiendo comenzar con la primera lección: Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ejemplos de soluciones. Y si ya estás terminando, por favor descarta la posible idea preconcebida de que el método es difícil. Porque es sencillo.
¿En qué casos se utiliza el método de variación de constantes arbitrarias?
1) El método de variación de una constante arbitraria se puede utilizar para resolver DE lineal no homogéneo de primer orden. Como la ecuación es de primer orden, entonces la constante también es uno.
2) El método de variación de constantes arbitrarias se utiliza para resolver algunos ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Aquí varían dos constantes.
Es lógico suponer que la lección constará de dos párrafos... Entonces escribí esta oración y durante unos 10 minutos estuve pensando dolorosamente en qué otras tonterías inteligentes podría agregar para una transición fluida a ejemplos prácticos. Pero por alguna razón no tengo ningún pensamiento después de las vacaciones, aunque no parece haber abusado de nada. Por tanto, vayamos directamente al primer párrafo.
Método de variación de una constante arbitraria.
para una ecuación lineal no homogénea de primer orden
Antes de considerar el método de variación de una constante arbitraria, es recomendable estar familiarizado con el artículo. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.. En esa lección practicamos primera solución DE de primer orden no homogéneo. Esta primera solución, les recuerdo, se llama método de reemplazo o método de Bernoulli(no confundir con La ecuación de Bernoulli.!!!)
ahora miraremos segunda solución– método de variación de una constante arbitraria. Daré sólo tres ejemplos y los tomaré de la lección mencionada anteriormente. ¿Por qué tan poco? Porque, de hecho, la solución de la segunda forma será muy similar a la solución de la primera. Además, según mis observaciones, el método de variación de constantes arbitrarias se utiliza con menos frecuencia que el método de sustitución.
Ejemplo 1
(Difiere del Ejemplo No. 2 de la lección Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer orden.)
Solución: Esta ecuación es lineal no homogénea y tiene una forma familiar: 
En la primera etapa es necesario resolver una ecuación más simple: 
Es decir, restablecemos estúpidamente el lado derecho y escribimos cero en su lugar.
Ecuación llamaré ecuación auxiliar.
En este ejemplo, necesitas resolver la siguiente ecuación auxiliar:
ante nosotros ecuación separable, cuya solución (espero) ya no te resultará difícil: 
De este modo: 
– solución general de la ecuación auxiliar.
En el segundo paso reemplazaremos alguna constante por ahora función desconocida que depende de "x":
De ahí el nombre del método: variamos la constante. Alternativamente, la constante podría ser alguna función que ahora tengamos que encontrar.
EN original ecuación no homogénea hagamos un reemplazo:
sustituyamos y 
en la ecuación :
Punto de control – los dos términos del lado izquierdo se cancelan. Si esto no sucede, debes buscar el error anterior.
Como resultado del reemplazo se obtuvo una ecuación con variables separables. Separamos las variables e integramos.
Que bendición, los exponentes también cancelan:
Agregamos una constante "normal" a la función encontrada:
En la etapa final, recordamos nuestro reemplazo:
¡La función acaba de ser encontrada!
Entonces la solución general es: 
Respuesta: solución general: 
Si imprime las dos soluciones, notará fácilmente que en ambos casos encontramos las mismas integrales. La única diferencia está en el algoritmo de solución.
Ahora para algo más complicado, también comentaré el segundo ejemplo:
Ejemplo 2
Encuentra la solución general a la ecuación diferencial. 
(Difiere del Ejemplo No. 8 de la lección Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer orden.)
Solución: Reduzcamos la ecuación a la forma :
Restablezcamos el lado derecho y resolvamos la ecuación auxiliar:
Solución general a la ecuación auxiliar:
En la ecuación no homogénea hacemos el reemplazo:
Según la regla de diferenciación de productos: 
sustituyamos y en la ecuación no homogénea original:
Los dos términos del lado izquierdo se cancelan, lo que significa que estamos en el camino correcto: 
Integramos por partes. La sabrosa letra de la fórmula de integración por partes ya está involucrada en la solución, por eso usamos, por ejemplo, las letras “a” y “be”:
Ahora recordemos el reemplazo:
Respuesta: solución general:
Y un ejemplo de una solución independiente:
Ejemplo 3
Encuentre una solución particular a la ecuación diferencial correspondiente a la condición inicial dada.
,
(Difiere del Ejemplo No. 4 de la lección Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer orden.)
Solución:
Este DE es lineal no homogéneo. Usamos el método de variación de constantes arbitrarias. Resolvamos la ecuación auxiliar:
Separamos las variables e integramos: 
Solución general: 
En la ecuación no homogénea hacemos el reemplazo: 
Realicemos la sustitución: 
Entonces la solución general es: 
Encontremos una solución particular correspondiente a la condición inicial dada: 
Respuesta: solución privada:
La solución al final de la lección puede servir como ejemplo para finalizar la tarea.
Método de variación de constantes arbitrarias.
para una ecuación lineal no homogénea de segundo orden
con coeficientes constantes
A menudo he oído la opinión de que el método de variar constantes arbitrarias para una ecuación de segundo orden no es fácil. Pero supongo lo siguiente: lo más probable es que el método les parezca difícil a muchos porque no ocurre con tanta frecuencia. Pero en realidad no hay dificultades particulares: el curso de la decisión es claro, transparente y comprensible. Y hermosa.
Para dominar el método, es deseable poder resolver ecuaciones no homogéneas de segundo orden seleccionando una solución particular basada en la forma del lado derecho. Este método se analiza en detalle en el artículo. ED no homogéneos de segundo orden. Recordamos que una ecuación lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma:
El método de selección, que se analizó en la lección anterior, funciona solo en un número limitado de casos cuando el lado derecho contiene polinomios, exponenciales, senos y cosenos. Pero, ¿qué hacer cuando a la derecha, por ejemplo, hay una fracción, un logaritmo, una tangente? En tal situación, el método de variación de constantes viene al rescate.
Ejemplo 4
Encuentre la solución general a una ecuación diferencial de segundo orden. 
Solución: Hay una fracción en el lado derecho de esta ecuación, por lo que podemos decir inmediatamente que el método para seleccionar una solución particular no funciona. Usamos el método de variación de constantes arbitrarias.
No hay signos de tormenta; el comienzo de la solución es completamente normal:
encontraremos solución general adecuado homogéneo ecuaciones: 
Compongamos y resolvamos la ecuación característica: 
– se obtienen raíces complejas conjugadas, por lo que la solución general es:
Preste atención a la entrada de la solución general: si hay paréntesis, ábralos.
Ahora hacemos casi el mismo truco que para la ecuación de primer orden: variamos las constantes, reemplazándolas con funciones desconocidas. Eso es, solución general de no homogéneos buscaremos ecuaciones en la forma:
Dónde - por ahora Funciones desconocidas.
Parece un vertedero de basura doméstica, pero ahora lo arreglaremos todo.
Las incógnitas son las derivadas de las funciones. Nuestro objetivo es encontrar derivadas, y las derivadas encontradas deben satisfacer tanto la primera como la segunda ecuaciones del sistema.
¿De dónde vienen los “griegos”? La cigüeña los trae. Observamos la solución general obtenida anteriormente y escribimos:
Encontremos las derivadas:
Las partes izquierdas han sido tratadas. ¿Qué hay a la derecha?
es el lado derecho de la ecuación original, en este caso:
El coeficiente es el coeficiente de la segunda derivada:
En la práctica, casi siempre, y nuestro ejemplo no es una excepción.
Todo está claro, ahora puedes crear un sistema: 
El sistema generalmente se resuelve. según las fórmulas de Cramer utilizando el algoritmo estándar. La única diferencia es que en lugar de números tenemos funciones.
Encontremos el principal determinante del sistema: 
Si ha olvidado cómo se revela el determinante dos por dos, consulte la lección ¿Cómo calcular el determinante? El enlace lleva al tablero de la vergüenza =)
Entonces: esto significa que el sistema tiene una solución única.
Encontrar la derivada: 
Pero eso no es todo, hasta ahora sólo hemos encontrado la derivada.
La función en sí se restablece mediante integración:
Veamos la segunda función: 
Aquí agregamos una constante "normal"
En la etapa final de la solución, ¿recordamos de qué forma buscábamos una solución general a la ecuación no homogénea? En esto:
¡Se acaban de encontrar las funciones que necesita! 
Ya solo queda realizar la sustitución y anotar la respuesta:
Respuesta: solución general:
En principio, la respuesta podría haber ampliado el paréntesis.
Se realiza una verificación completa de la respuesta de acuerdo con el esquema estándar, que se discutió en la lección. ED no homogéneos de segundo orden. Pero la verificación no será fácil, ya que es necesario encontrar derivados bastante pesados y realizar sustituciones engorrosas. Esta es una característica desagradable cuando se resuelven tales difusores.
Ejemplo 5
Resolver una ecuación diferencial variando constantes arbitrarias
Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. De hecho, en el lado derecho también hay una fracción. Recordemos la fórmula trigonométrica; por cierto, será necesario aplicarla durante la solución.
El método de variación de constantes arbitrarias es el método más universal. Puede resolver cualquier ecuación que pueda resolverse. Método para seleccionar una solución particular basándose en la forma del lado derecho.. Surge la pregunta: ¿por qué no utilizar también allí el método de variación de constantes arbitrarias? La respuesta es obvia: la selección de una solución particular, que se discutió en clase. Ecuaciones no homogéneas de segundo orden, acelera significativamente la solución y acorta la grabación, sin problemas con determinantes e integrales.
Veamos dos ejemplos con problema de cauchy.
Ejemplo 6
Encuentre una solución particular a la ecuación diferencial correspondiente a las condiciones iniciales dadas.
, 
Solución: Nuevamente la fracción y el exponente se encuentran en un lugar interesante.
Usamos el método de variación de constantes arbitrarias.
encontraremos solución general adecuado homogéneo ecuaciones: 
– se obtienen diferentes raíces reales, por lo que la solución general es:
Solución general de heterogéneos. buscamos ecuaciones en la forma: , donde – por ahora Funciones desconocidas.
Creemos un sistema:
En este caso:
,
Encontrar derivadas: 
, 
De este modo: 
Resolvamos el sistema usando las fórmulas de Cramer:
, lo que significa que el sistema tiene una solución única.
Restauramos la función por integración:
Usado aquí método de subsumir una función bajo el signo diferencial.
Restauramos la segunda función por integración: 
Esta integral se resuelve método de reemplazo de variables:
Del propio reemplazo expresamos:
De este modo: 
Esta integral se puede encontrar método de extracción de cuadrado completo, pero en ejemplos con difusores prefiero expandir la fracción método de coeficientes indeterminados:
Ambas funciones encontradas:
Como resultado, la solución general de la ecuación no homogénea es:
Encontremos una solución particular que satisfaga las condiciones iniciales. .
Técnicamente, la búsqueda de una solución se realiza de forma estándar, como se comenta en el artículo. Ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden..
Espera, ahora encontraremos la derivada de la solución general encontrada:
Esto es una gran vergüenza. No es necesario simplificarlo; es más fácil crear inmediatamente un sistema de ecuaciones. Según las condiciones iniciales. :
Sustituyamos los valores encontrados de las constantes. 
a la solución general:
En la respuesta, los logaritmos se pueden empaquetar un poco.
Respuesta: solución privada: 
Como puede ver, pueden surgir dificultades en integrales y derivadas, pero no en el algoritmo en sí para el método de variación de constantes arbitrarias. ¡No soy yo quien te intimidó, es toda la colección de Kuznetsov!
Para relajarse, un último ejemplo más sencillo para resolverlo usted mismo:
Ejemplo 7
Resuelve el problema de Cauchy
, 
El ejemplo es sencillo, pero creativo, cuando creas un sistema míralo detenidamente antes de decidirte ;-),
Como resultado, la solución general es:
Encontremos una solución particular correspondiente a las condiciones iniciales. .
Sustituyamos los valores encontrados de las constantes en la solución general:
Respuesta: solución privada:
Tema 44. Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Método de variación de constantes arbitrarias. Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. (especial lado derecho).
Transformaciones sociales. Estado e iglesia.
La política social de los bolcheviques estuvo dictada en gran medida por su enfoque de clase. Por decreto del 10 de noviembre de 1917, se destruyó el sistema de clases, se abolieron los rangos, títulos y premios prerrevolucionarios. Se ha establecido la elección de jueces; Se llevó a cabo la secularización de los estados civiles. Se establecieron la educación y la atención médica gratuitas (decreto del 31 de octubre de 1918). Las mujeres obtuvieron los mismos derechos que los hombres (decretos del 16 y 18 de diciembre de 1917). El Decreto sobre el matrimonio introdujo la institución del matrimonio civil.
Por decreto del Consejo de Comisarios del Pueblo del 20 de enero de 1918, la iglesia fue separada del estado y del sistema educativo. La mayor parte de los bienes de la iglesia fueron confiscados. El patriarca de Moscú y de toda Rusia, Tikhon (elegido el 5 de noviembre de 1917), anatematizó el 19 de enero de 1918 el poder soviético y llamó a luchar contra los bolcheviques.
Considere una ecuación lineal no homogénea de segundo orden.
La estructura de la solución general de dicha ecuación está determinada por el siguiente teorema:
Teorema 1. La solución general de la ecuación no homogénea (1) se representa como la suma de alguna solución particular de esta ecuación y la solución general de la ecuación homogénea correspondiente.
(2)
Prueba. Es necesario acreditar que la cantidad
es una solución general a la ecuación (1). Primero demostremos que la función (3) es una solución de la ecuación (1).
Sustituyendo la suma en la ecuación (1) en lugar de en, tendremos
Dado que existe una solución para la ecuación (2), la expresión entre los primeros paréntesis es idénticamente igual a cero. Dado que existe una solución para la ecuación (1), la expresión en el segundo paréntesis es igual a f(x). Por tanto, la igualdad (4) es una identidad. Por tanto, queda demostrada la primera parte del teorema.
Probemos la segunda afirmación: la expresión (3) es general solución a la ecuación (1). Debemos demostrar que las constantes arbitrarias incluidas en esta expresión se pueden seleccionar de modo que se cumplan las condiciones iniciales:
(5)
cualesquiera que sean los números x 0 , y 0 y (si solo x0 fue tomado del área donde se realizan las funciones un 1, un 2 Y f(x) continuo).
Observando que se puede representar en la forma 
. Entonces, según las condiciones (5), tendremos
Resolvamos este sistema y determinamos C 1 Y C 2. Reescribamos el sistema en la forma:
(6)
Tenga en cuenta que el determinante de este sistema es el determinante de Wronski para las funciones a las 1 Y a las 2 en el punto x=x 0. Dado que estas funciones son linealmente independientes según la condición, el determinante de Wronski no es igual a cero; por lo tanto el sistema (6) tiene una solución definida C 1 Y C 2, es decir. hay tales significados C 1 Y C 2, bajo el cual la fórmula (3) determina la solución de la ecuación (1) que satisface las condiciones iniciales dadas. Q.E.D.
Pasemos al método general para encontrar soluciones parciales a una ecuación no homogénea.
Escribamos la solución general de la ecuación homogénea (2)
. (7)
Buscaremos una solución particular a la ecuación no homogénea (1) en la forma (7), considerando C 1 Y C 2 como algunas funciones aún desconocidas de INCÓGNITA.
Diferenciamos la igualdad (7):
Seleccionemos las funciones que buscas C 1 Y C 2 para que se cumpla la igualdad
. (8)
Si tenemos en cuenta esta condición adicional, entonces la primera derivada tomará la forma
.
Diferenciando ahora esta expresión, encontramos:
Sustituyendo en la ecuación (1), obtenemos
Las expresiones en los dos primeros paréntesis se vuelven cero, ya que y 1 Y y 2– soluciones de una ecuación homogénea. Por tanto, la última igualdad toma la forma
. (9)
Por tanto, la función (7) será una solución a la ecuación no homogénea (1) si las funciones C 1 Y C 2 satisfacer las ecuaciones (8) y (9). Creemos un sistema de ecuaciones a partir de las ecuaciones (8) y (9).
Dado que el determinante de este sistema es el determinante de Wronski para soluciones linealmente independientes y 1 Y y 2 ecuación (2), entonces no es igual a cero. Por lo tanto, resolviendo el sistema, encontraremos ciertas funciones de incógnita.
