La palabra "conformidad" se usa con bastante frecuencia en ruso y significa una relación entre algo, que expresa coherencia, igualdad en algún aspecto (Diccionario explicativo de Ozhegov).

En la vida se escucha a menudo: “Este libro de texto corresponde a este programa, pero este libro de texto no corresponde (pero puede corresponder a otro programa); Esta manzana corresponde a la calidad más alta, pero ésta es sólo la primera". Decimos que esta respuesta en el examen corresponde a una nota “excelente” y ésta a “buena”. Decimos que a esta persona le queda (en el sentido de le queda) ropa de la talla 46. De acuerdo con las instrucciones, debes hacer esto y no otra cosa. Existe una correspondencia entre el número de días soleados al año y el rendimiento de los cultivos.

Si intentas analizar estos ejemplos, notarás que en todos los casos estamos hablando de dos clases de objetos, y entre objetos de una clase, de acuerdo con ciertas reglas, se establece una cierta conexión con objetos de otra clase. Por ejemplo, en el caso de hacer coincidir la ropa con una determinada talla, una clase de objetos son las personas y otra clase de objetos son algunos números naturales que desempeñan el papel de tallas de ropa. Podemos establecer la regla mediante la cual se establece el cumplimiento, por ejemplo, utilizando un algoritmo natural: probándonos un traje específico o determinando su idoneidad "a simple vista".

Consideraremos correspondencias para las cuales están completamente definidas las clases de objetos entre los cuales se establece la correspondencia y la regla para establecer la correspondencia. En la escuela se estudiaron numerosos ejemplos de tales correspondencias. En primer lugar, se trata, por supuesto, de funciones. Cualquier función es un ejemplo de correspondencia. De hecho, consideremos, por ejemplo, la función en = incógnita+ 3. Si no se dice específicamente sobre el dominio de definición de la función, entonces se considera que cada valor numérico del argumento incógnita corresponde a un valor numérico en, que se encuentra según la regla: a incógnita es necesario sumar 3. En este caso, se establece correspondencia entre los conjuntos R Y R números reales.

Tenga en cuenta que establecer conexiones entre dos conjuntos incógnita Y Y asociado con la consideración de pares de objetos formados a partir de elementos del conjunto incógnita y los elementos correspondientes del conjunto Y.

Definición. Cumplimiento entre conjuntos incógnita Y Y llamar a cualquier subconjunto no vacío de un producto cartesiano incógnita ´ Y.

Muchos incógnita llamado zona de salida partidos, conjunto Y – zona de llegada cumplimiento.

Las correspondencias entre conjuntos generalmente se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino, por ejemplo, R, S, T. Si R– alguna correspondencia entre conjuntos incógnita Y Y, entonces, según la definición de correspondencia, RÍ incógnita´ Y Y R≠ Æ. Correspondencia de tiempos entre conjuntos. incógnita Y Y es cada subconjunto del producto cartesiano incógnita ´ Y, es decir. es un conjunto de pares ordenados, entonces los métodos para especificar correspondencias son esencialmente los mismos que los métodos para especificar conjuntos. Entonces, haciendo juego R entre conjuntos incógnita Y Y puedes configurar:

a) enumerar todos los pares de elementos ( x,y) Î R;

b) indicando la propiedad característica que tienen todos los pares ( x,y) conjuntos R y ningún par que no sea su elemento lo posee.

EJEMPLOS.

1) Cumplimiento R entre conjuntos incógnita= (20, 25) y Y= (4, 5, 6) se especifica indicando la propiedad característica: “ incógnita múltiple en»,
incógnita Î incógnita, en Î Y. Entonces muchos R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.

2) Cumplimiento R entre conjuntos incógnita= (2, 4, 6, 8) y

Y= (1, 3, 5) dado por un conjunto de pares R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.

Si R– correspondencia entre dos conjuntos numéricos incógnita Y Y, entonces, representando todos los pares de números que corresponden R en el plano de coordenadas, obtenemos una figura llamada gráfica de correspondencia R. Por el contrario, cualquier subconjunto de puntos en el plano de coordenadas se considera una gráfica de alguna correspondencia entre conjuntos numéricos. incógnita Y Y.

Gráfico coincidente

Para mostrar visualmente correspondencias entre conjuntos finitos, además de gráficas, se utilizan gráficas. (De la palabra griega "grapho" - escribo, comparo: gráfico, telégrafo).

Para construir un gráfico de correspondencia entre conjuntos. incógnita Y Y Los elementos de cada uno de los conjuntos se representan como puntos en el plano, luego se dibujan flechas desde incógnita Î incógnita A en Î Y, si es par ( x,y) pertenece a esta correspondencia. El resultado es un dibujo formado por puntos y flechas.

EJEMPLO Correspondencia R entre conjuntos incógnita= (2, 3, 4, 5) y Y= (4, 9) se obtiene enumerando los pares R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.

De la misma manera puedes escribir 4 R 4, 3R 9. Y en general, si una pareja
(x,y) Î R, entonces dicen que el elemento incógnita Î incógnita coincide con el elemento en Î Y y escribe xRу. Elemento 2 О incógnita llamada imagen inversa del elemento
4Î Y sujeto a cumplimiento R y se designa 4 R-1 2. De manera similar, puedes escribir 4 R -1 4, 9R -1 3.

Para construir una teoría matemática, no sólo se necesitan los elementos en sí, sino también las relaciones entre ellos. Para los números, el concepto de igualdad tiene sentido: a = b. Si los números a y b son diferentes, ¿eh? b, entonces es posible a > b, o a

Dos planos rectos pueden ser perpendiculares, paralelos o cruzarse en un ángulo determinado.

Todas estas relaciones conciernen a dos objetos. Por eso se llaman relaciones binarias.

Para estudiar las relaciones entre objetos en matemáticas, se creó la teoría de las relaciones binarias.

Cuando consideramos ciertas relaciones, siempre estamos tratando con pares ordenados formados a partir de los elementos de un conjunto dado. Por ejemplo, para la relación “mayor por 4”, que se considera sobre el conjunto X = (2, 6, 10, 14), serán pares ordenados (2, 6), (6, 10), (10, 14), y para las relaciones "divididas" - (6, 2), (10, 2), (14, 2).

Se puede observar que el conjunto de pares que definen las relaciones “mayores que por 4”, “divisibles”, son subconjuntos del producto cartesiano

X ´ X =((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) ).

Definición 1. Una relación binaria entre elementos de un conjunto X o una relación en un conjunto X es cualquier subconjunto del producto cartesiano X ´ X.

Las relaciones binarias generalmente se denotan con letras mayúsculas del alfabeto latino: P, T, S, R, Q, etc. Entonces, si P es una relación en el conjunto X, entonces P Ì X ´ X. A menudo se utilizan varios símbolos especiales. escribir relaciones, por ejemplo , =, >, ~, ½½, ^, etc. El conjunto de todos los primeros elementos de pares de P se llama dominio de definición de la relación P. El conjunto de valores de la relación P es el conjunto de todos los segundos elementos de pares de P.

Para mayor claridad, las relaciones binarias se representan gráficamente mediante un dibujo gráfico especial. Los elementos del conjunto X están representados por puntos. Si (x, y) Î Р(хРу) se cumple, entonces se dibuja una flecha desde el punto x hasta el punto y. Tal dibujo se llama gráfico de relaciones P, y los puntos que representan los elementos del conjunto X son los vértices del gráfico. flechas como bordes del gráfico.

Ejemplo. Sea la relación P: “el número x es divisor del número y” dado en el conjunto

X = (5, 10, 20, 30, 40), como se muestra en la Figura 25.

Las flechas de un gráfico cuyo inicio y final son el mismo punto se llaman bucles. Si cambia las direcciones de todas las flechas en el gráfico de relaciones P a la opuesta, obtendrá una nueva relación, que se llama inversa de P. Se denota P–1. Tenga en cuenta que xРу Û уР–1х.

Métodos para especificar relaciones binarias.

Dado que la relación R entre los elementos del conjunto X es un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, se puede especificar de la misma manera que cualquier conjunto.

1. Muy a menudo, la relación R en el conjunto X se especifica utilizando la propiedad característica de los pares de elementos que están en la relación R. Esta propiedad se formula en forma de una oración con dos variables.

Por ejemplo, entre las relaciones del conjunto X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), podemos considerar la siguiente: “el número x es 2 veces menor que el número y”, “el número x es divisor de los números y”, “el número x es mayor que el número y” y otros.

2. La relación R en el conjunto X también se puede definir enumerando todos los pares de elementos del conjunto X relacionados por la relación R.

Por ejemplo, si escribimos un conjunto de pares (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), entonces en el establezca X = (1, 2, 3, 4) definiremos alguna relación R. La misma relación R también se puede dar

3. utilizando un gráfico (Fig. 26).

Propiedades de las relaciones binarias.

Definición 2. Una relación R en un conjunto X se llama reflexiva si cada elemento del conjunto X está en esta relación consigo mismo.

En resumen: R es reflexivo sobre X Û xRx para cualquier x О X.

o, lo que es lo mismo: en cada vértice del gráfico de relaciones hay un bucle. Lo contrario también es cierto: si no todos los vértices de un gráfico de relación tienen un bucle, entonces es una relación reflexiva.

Ejemplo. Relaciones reflexivas: “ser iguales en el conjunto de todos los triángulos del plano”, “? y £ en el conjunto de todos los números reales."

Tenga en cuenta que hay relaciones que no tienen la propiedad de reflexividad (ponga un ejemplo "x es mayor que y")

Definición 3. Una relación binaria R en un conjunto X se llama antirreflexiva en X si para cada x de X (x, x) Ï R, es decir para cada x de X no se cumple la condición xRx.

Si una relación R es antirreflexiva, entonces ningún vértice de su gráfico tiene bucle. A la inversa: si ningún vértice del gráfico tiene un bucle, entonces el gráfico representa una relación antirreflexiva.

Ejemplos de relaciones antirreflexivas: “ser mayor”, “ser más pequeña”, “ser hija”, etc.

Definición 4. Una relación R en un conjunto X se llama simétrica si, para cualquier elemento x, Î X se cumple la condición: si x e y están en una relación R, entonces y y x también están en esta relación.

En resumen: R es simétrico en X Û xRу Û yRx.

Un gráfico de relaciones simétricas tiene la propiedad: si hay una flecha que conecta un par de elementos, entonces necesariamente hay una segunda que conecta los mismos elementos, pero va en la dirección opuesta. Lo contrario también es cierto.

Ejemplos de relaciones simétricas son las relaciones: “ser mutuamente perpendiculares en el conjunto de todas las rectas del plano”, “ser semejantes en el conjunto de todos los rectángulos del plano”.

Definición 5. Si para ningún elemento xey del conjunto X puede suceder que tanto xRy como yRx ocurran simultáneamente, entonces la relación R en el conjunto X se llama asimétrica.

Un ejemplo de relación asimétrica: “ser el padre” (si x es el padre de y, entonces y no puede ser el padre de x).

Definición 6. Una relación R en un conjunto X se llama antisimétrica si, para diferentes elementos x, y О X, del hecho de que el elemento x está en la relación R con el elemento y, se sigue que el elemento y no está en la relación R con el elemento x.

En resumen: ¿R es antisimétrico en X Û xRу y x? ¿y? .

Por ejemplo, la relación "menor que" en el conjunto de números enteros es antisimétrica.

Un gráfico de relaciones antisimétricas tiene una característica especial: si dos vértices del gráfico están conectados por una flecha, entonces solo hay una flecha. La afirmación contraria también es cierta.

Tenga en cuenta que hay relaciones que no tienen ni la propiedad de simetría ni la propiedad de antisimetría.

Definición7. Una relación R en un conjunto X se llama transitiva si para cualquier elemento x, y, z О X se cumple la siguiente condición: si x está en la relación R con y e y está en la relación R con z, entonces el elemento x está en la relación R con el elemento z.

En resumen: ¿R es transitivo en X Û xRу y уRz? xRz.

Por ejemplo, la relación “la línea x es paralela a la línea y”, definida sobre el conjunto de líneas en un plano, es transitiva.

El gráfico de relación transitiva tiene la peculiaridad de que por cada par de flechas que van de x a y y de y a z, también contiene una flecha que va de x a z. Lo contrario también es cierto.

Tenga en cuenta que hay relaciones que no tienen la propiedad de transitividad. Por ejemplo, la relación “estar uno al lado del otro en un estante” no es transitiva.

Todas las propiedades generales de las relaciones se pueden dividir en tres grupos:

reflexividad (toda relación es reflexiva o antirreflexiva),

simetría (la relación es siempre simétrica, asimétrica o antisimétrica),

transitividad (toda relación es transitiva o no transitiva). Las relaciones que tienen un determinado conjunto de propiedades reciben nombres especiales.

SOBRE LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS.

IX. Triángulos rectángulos.

§ 83. Relaciones entre los elementos de un triángulo rectángulo.

En el § 20 se derivaron relaciones trigonométricas entre los elementos de un triángulo rectángulo; es decir, de la definición de funciones trigonométricas se derivaron las fórmulas (Fig.40):

pecado A = a / do; porque A = b / do; bronceado A = a / b

Determinando a partir de estas fórmulas a, b Y Con, encontramos:

1) A= Con pecado A 2) b= Con porque A; 3) A= b tg a.

Las formulaciones verbales se dan en los §§20-21. A estas fórmulas hay que sumar tres más, conocidas de la geometría:

A + B = 90°; do 2 = un 2 +b 2; S = 1/2 ab.

Artículo 84. Sólo existen tres relaciones independientes entre los elementos de cualquier triángulo. Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos; pero de estos seis elementos basta tener tres (excepto en el caso de tres ángulos) para que se pueda construir un triángulo y así obtener los tres elementos restantes. De ello se deduce que al calcular en un triángulo, se pueden determinar tres elementos a partir de los datos restantes; y para ello, el número de ecuaciones diferentes entre los elementos del triángulo también debe ser igual a tres. Si se obtienen más de tres ecuaciones, algunas de ellas serán consecuencia de otras.

En un triángulo rectángulo se suele considerar que las relaciones principales son las siguientes:

A + B = 90°; A= Con pecado A; b= Con Porque A.

El resto se puede deducir de ellos.

§ 85. Resolución de triángulos rectángulos.

Los elementos principales de un triángulo son los lados y los ángulos. Por tanto, a la hora de resolver un triángulo rectángulo, dependiendo de los elementos que se den, se pueden presentar 4 casos, que se comentan en los siguientes párrafos. En este caso, los datos deben contener necesariamente un elemento lineal, ya que de lo contrario es imposible averiguar las dimensiones del triángulo: desde tres ángulos puedes construir tantos triángulos similares como quieras.

La solución de triángulos (así como la solución de cualquier problema matemático) se lleva a cabo primero, si es posible, hasta el final de forma general; luego se sustituyen los datos numéricos y se realizan los cálculos. Todos los ejemplos siguientes se resuelven utilizando tablas de Bradis, primero utilizando valores naturales de funciones trigonométricas y luego utilizando logaritmos.

En caso de utilizar tablas de cinco dígitos, también se han guardado ejemplos de resolución de triángulos utilizando estas tablas.

§ 86. 1.er caso. Dada una hipotenusa y un ángulo agudo ( Con y A). Encuentra otro ángulo agudo, catetos y área (B, a, b, S).

I. Solución general.

II. Ejemplo numérico: Con= 627; A = 23°30"

Solución.

B = 90° - 23°30" = 66°30"; A= 627 sen 23°30"

Según la Tabla VIII de Bradis encontramos sen 23°30" = 0.3987; por lo tanto:

A = 627 0,3987 = 249,9849;
A≈ 250 (unidades lineales);
b= 627 cos 23°30" = 627 0,9171 = 575,0227.
b≈ 575 (unidades lineales);
S = 1/2 249,98 575,02 = 71.872 (unidades cuadradas). yo

§ 87. 2º caso. Dado un cateto y un ángulo agudo ( A y A). Encuentra B, c, b, S.

I. Solución en forma general.

II. Ejemplo numérico: A=18; A = 47°.

Solución.

§ 88. 3.º caso. Dadas una hipotenusa y un cateto ( Con Y A). Encuentra A, B, b, S.

I. Solución en forma general.

pecado A = a / do; porque B = a / do ; b = √do 2 -a 2 ; S= a / 2 √do 2 -a 2 .

II. Ejemplo numérico: Con = 65; A =16.

Yo Decisión.

pecado A= 16 / 65 = 0,2461; A = 14°12" + 3" = 14°15";
B = 90° - 14°15" = 75°45";

b = √65 2 -16 2 = √(65 + 16) (65 -16) = √81 49 = 9 7;
b= 63 (unidades lineales);

S = 16 / 2 63 = 504 (unidades cuadradas).

§ 89. Caso 4.º. Se dan ambos lados ( A Y b). Encuentra A, B, Con, S.

I. Solución en forma general.

bronceado A = a / b; bronceado B = b / a ; do = √a 2 +b 2 ; S= ab / 2

II. Ejemplo numérico: a = 25; b = 40.

Solución.

tan A = 25/40 = 0,625; A = 32°; B = 58°;
do= √25 2 +40 2 ≈ 47,2; S = 500 (unidades cuadradas).

El concepto de cumplimiento. Métodos para especificar correspondencias.

Inicialmente, el álgebra era el estudio de la resolución de ecuaciones. A lo largo de los muchos siglos de su desarrollo, el álgebra se ha convertido en una ciencia que estudia operaciones y relaciones en varios conjuntos. Por tanto, no es casualidad que ya en la escuela primaria los niños se familiaricen con conceptos algebraicos como expresiones (numéricas y con variables), igualdad numérica, desigualdad numérica, ecuación. Estudian diversas propiedades de las operaciones aritméticas con números que les permiten realizar cálculos de forma racional. Y, por supuesto, en el curso inicial de matemáticas se les presentan diversas dependencias y relaciones, pero para utilizarlas para el desarrollo de la actividad mental de los niños, el maestro debe dominar algunos conceptos generales del álgebra moderna: el concepto de correspondencia, relaciones, operaciones algebraicas, etc. Además, al dominar el lenguaje matemático utilizado en álgebra, el profesor podrá comprender mejor la esencia del modelado matemático de fenómenos y procesos reales.

Al estudiar el mundo que nos rodea, las matemáticas consideran no sólo sus objetos, sino también principalmente las conexiones entre ellos. Estas conexiones se llaman dependencias, correspondencias, relaciones, funciones. Por ejemplo, al calcular las longitudes de los objetos se establecen correspondencias entre objetos y números, que son los valores de sus longitudes; Al resolver problemas de movimiento, se establece una relación entre la distancia recorrida y el tiempo si la velocidad del movimiento es constante.

Desde sus inicios se han estudiado dependencias, correspondencias y relaciones específicas entre objetos en matemáticas. Pero la pregunta de qué tienen en común las diversas correspondencias, cuál es la esencia de cualquier correspondencia, se planteó a finales del siglo XIX y principios del XX, y la respuesta se encontró en el marco de la teoría de conjuntos.

En el curso inicial de matemáticas se estudian diversas relaciones entre elementos de uno, dos o más conjuntos. Por tanto, el docente necesita comprender su esencia, lo que le ayudará a asegurar la unidad en la metodología de estudio de estas relaciones.

Veamos tres ejemplos de correspondencias estudiadas en un curso inicial de matemáticas.

En el primer caso, establecemos una correspondencia entre expresiones dadas y sus valores numéricos. En el segundo averiguamos qué número corresponde a cada una de estas figuras, caracterizando su área. En el tercero buscamos un número que sea solución de la ecuación.

¿Qué tienen en común estas correspondencias?

Vemos que en todos los casos tenemos dos conjuntos: en el primero, es un conjunto de tres expresiones numéricas y un conjunto de N números naturales (los valores de estas expresiones le pertenecen), en el segundo, es un conjunto de tres figuras geométricas y un conjunto de N números naturales; en el tercero es un conjunto de tres ecuaciones y un conjunto de N números naturales.

Al completar las tareas propuestas, establecemos una conexión (correspondencia) entre los elementos de estos conjuntos. Se puede representar visualmente mediante gráficos (Fig. 1).

Puede especificar estas coincidencias enumerando todos los pares de elementos que se encuentran en una coincidencia determinada:

I. ((en 1, 4), (en 3, 20));

II. ((F 1, 4), (F 2, 10), (F 3, 10));

III. ((y 1, 4), (y 2, 11), (y 3, 4)).

Los conjuntos resultantes muestran que cualquier correspondencia entre dos conjuntos X e Y puede considerarse como conjunto de pares ordenados , formado a partir de sus elementos. Y dado que los pares ordenados son elementos de un producto cartesiano, llegamos a la siguiente definición del concepto general de correspondencia.

Definición. Una correspondencia entre elementos del conjunto X e Y es cualquier subconjunto del producto cartesiano de estos conjuntos.

Las correspondencias generalmente se indican con las letras P, S, T, R, etc. Si S es una correspondencia entre elementos de los conjuntos X e Y, entonces, según la definición, S X x Y.

Descubramos ahora cómo definir correspondencias entre dos conjuntos. Dado que la correspondencia es un subconjunto, se puede especificar como cualquier conjunto, es decir ya sea enumerando todos los pares de elementos que se encuentran en una correspondencia determinada o indicando una propiedad característica de los elementos de este subconjunto. Así, se puede especificar la correspondencia entre los conjuntos X = (1, 2, 4, 6) e Y = (3, 5):

1) usar una oración con dos variables: a< b при условии, что а X, b Y;

2) enumerar pares de números pertenecientes a un subconjunto del producto cartesiano XxY: ((1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)). Este método de asignación también incluye la asignación de correspondencia mediante un gráfico (Fig. 2) y un gráfico (Fig. 3).

Arroz. 2 figura. 3

A menudo, al estudiar las correspondencias entre elementos de los conjuntos X e Y, hay que considerar la correspondencia que es su opuesto. Dejemos, por ejemplo,

S - correspondencia “más de 2” entre elementos de conjuntos

X = (4,5,8, 10) e Y= (2,3,6). Entonces S=((4, 2), (5,3), (8, 6)) y su gráfica será la misma que en la Figura 4a.

La inversa de la coincidencia dada es la coincidencia "menos de 2". Se considera entre los elementos de los conjuntos Y y X, y para presentarlo claramente basta con cambiar la dirección de las flechas en el gráfico de relaciones S al contrario (Fig. 4b). Si la correspondencia “menos por 2” se denota por S -1, entonces S -1 = ((2.4), (3.5), (6.8)).

Acordemos escribir la oración “el elemento x está de acuerdo con el elemento y” de la siguiente manera: xSy. La entrada xSy puede considerarse como una generalización de las entradas para correspondencias específicas: x = 2y; x > 3y+1, etc.

Utilicemos la notación introducida para definir el concepto de correspondencia inversa al dado.

Definición. Sea S una correspondencia entre elementos de los conjuntos X e Y. Se dice que una correspondencia S -1 entre elementos de los conjuntos Y y X es su inversa si yS -x si y sólo si xSy .

Las correspondencias S y S -1 se denominan mutuamente inversas. Descubramos las características de sus gráficos.

Construyamos un gráfico de correspondencia S = ((4, 2), (5, 3), (8, 6)) (Fig. 5a). Al construir un gráfico de correspondencia S -1 = ((2, 4), (3, 5), (6, 8)), debemos seleccionar el primer componente del conjunto Y = (2, 3, 6), y el segundo del conjunto X = (4, 5, 8, 10). Como resultado, el gráfico de correspondencia S -1 coincidirá con el gráfico de correspondencia S. Para distinguir entre los gráficos de correspondencia S y S -1,

acordó considerar el primer componente del par de correspondencia S -1 como abscisa y el segundo como ordenada. Por ejemplo, si (5, 3) S, entonces (3, 5) S -1. Los puntos con coordenadas (5, 3) y (3, 5), y en el caso general (x, y) y (y, x) son simétricos con respecto a la bisectriz del primer y tercer ángulo coordenado. En consecuencia, las gráficas de correspondencias mutuamente inversas S y S -1 son simétricas con respecto a la bisectriz del primer y tercer ángulo coordenado.

Para construir un gráfico de correspondencia S -1 , basta con representar puntos en el plano de coordenadas que sean simétricos a los puntos del gráfico S con respecto a la bisectriz del primer y tercer ángulo coordenado.