Poliedros circunscritos a una esfera Se dice que un poliedro está circunscrito a una esfera si los planos de todas sus caras tocan la esfera. Se dice que la esfera misma está inscrita en el poliedro. Teorema. Una esfera puede inscribirse en un prisma si y sólo si se puede inscribir un círculo en su base y la altura del prisma es igual al diámetro de este círculo. Teorema. Puedes encajar una esfera en cualquier pirámide triangular, y sólo una.
Ejercicio 1 Borra el cuadrado y dibuja dos paralelogramos que representen las caras superior e inferior del cubo. Conecta sus vértices con segmentos. Obtenga una imagen de una esfera inscrita en un cubo. Dibuja una esfera inscrita en un cubo, como en la diapositiva anterior. Para ello, dibuja una elipse inscrita en un paralelogramo obtenido comprimiendo un círculo y un cuadrado 4 veces. Marca los polos de la esfera y los puntos tangentes de la elipse y el paralelogramo.
Ejercicio 1 Una esfera está inscrita en un prisma cuadrangular recto, en cuya base hay un rombo de lado 1 y un ángulo agudo de 60 grados. Encuentra el radio de la esfera y la altura del prisma. Solución. El radio de la esfera es igual a la mitad de la altura de la base DG, es decir La altura del prisma es igual al diámetro de la esfera, es decir
Ejercicio 4 Una esfera está inscrita en un prisma cuadrangular recto, en cuya base hay un cuadrilátero, de perímetro 4 y área 2. Calcula el radio r de la esfera inscrita. Solución. Tenga en cuenta que el radio de la esfera es igual al radio del círculo inscrito en la base del prisma. Aprovechemos que el radio de un círculo inscrito en un polígono es igual al área de este polígono dividida por su semiperímetro. Obtenemos,
Ejercicio 3 Encuentra el radio de una esfera inscrita en una pirámide triangular regular, el lado de la base es 2 y los ángulos diédricos en la base son 60°. Solución. Aprovechemos que el centro de la esfera inscrita es el punto de intersección de los planos bisectrales de los ángulos diédricos en la base de la pirámide. Para el radio de la esfera OE se cumple la siguiente igualdad: Por lo tanto,
Ejercicio 4 Encuentre el radio de una esfera inscrita en una pirámide triangular regular, cuyos bordes laterales son iguales a 1 y los ángulos planos en el vértice son iguales a 90 grados. Respuesta: Solución. En el tetraedro SABC tenemos: SD = DE = SE = De la semejanza de los triángulos SOF y SDE obtenemos una ecuación resolviendo la cual encontramos
Ejercicio 1 Encuentre el radio de una esfera inscrita en una pirámide cuadrangular regular, cuyas aristas son iguales a 1. Usemos el hecho de que para el radio r de un círculo inscrito en un triángulo, se cumple la fórmula: r = S/ p, donde S es el área, p es el semiperímetro del triángulo. En nuestro caso, S = p = Solución. El radio de la esfera es igual al radio del círculo inscrito en el triángulo SEF, en el cual SE = SF = EF=1, SG = Por lo tanto,
Ejercicio 2 Encuentre el radio de una esfera inscrita en una pirámide cuadrangular regular, cuyo lado de la base es 1 y el borde lateral es 2. Usemos el hecho de que para el radio r de un círculo inscrito en un triángulo, la fórmula se cumple: r = S/p, donde S – área, p – semiperímetro del triángulo. En nuestro caso, S = p = Solución. El radio de la esfera es igual al radio del círculo inscrito en el triángulo SEF, en el cual SE = SF = EF=1, SG = Por lo tanto,
Ejercicio 3 Encuentra el radio de una esfera inscrita en una pirámide cuadrangular regular, el lado de la base es 2 y los ángulos diédricos en la base son 60°. Solución. Aprovechemos que el centro de la esfera inscrita es el punto de intersección de los planos bisectrales de los ángulos diédricos en la base de la pirámide. Para el radio de la esfera OG, se cumple la siguiente igualdad:
Ejercicio 4 La esfera unitaria está inscrita en una pirámide cuadrangular regular, el lado de la base es 4. Calcula la altura de la pirámide. Utilicemos el hecho de que para el radio r de un círculo inscrito en un triángulo, la fórmula es válida: r = S/p, donde S es el área, p es el semiperímetro del triángulo. En nuestro caso, S = 2h, p = Solución. Denotaremos la altura SG de la pirámide como h. El radio de la esfera es igual al radio del círculo inscrito en el triángulo SEF, en el que SE = SF = EF=4. En consecuencia, tenemos una igualdad de la cual encontramos
Ejercicio 1 Encuentra el radio de una esfera inscrita en una pirámide hexagonal regular, cuyas aristas de la base son iguales a 1 y las aristas laterales son iguales a 2. Usemos el hecho de que para el radio r de un círculo inscrito en un triángulo, la fórmula es válida: r = S/p, donde S – área, p – semiperímetro del triángulo. En nuestro caso, S = p = Por tanto, Solución. El radio de la esfera es igual al radio del círculo inscrito en el triángulo SPQ, en el cual SP = SQ = PQ= SH =
Ejercicio 2 Encuentra el radio de una esfera inscrita en una pirámide hexagonal regular cuyas aristas de la base son iguales a 1 y los ángulos diédricos en la base son iguales a 60°. Solución. Aprovechemos que el centro de la esfera inscrita es el punto de intersección de los planos bisectrales de los ángulos diédricos en la base de la pirámide. Para el radio de la esfera OH, se cumple la igualdad: Por lo tanto,
Ejercicio Encuentra el radio de una esfera inscrita en un octaedro unitario. Respuesta: Solución. El radio de la esfera es igual al radio del círculo inscrito en el rombo SESF, en el cual SE = SF = EF=1, SO = Entonces la altura del rombo, bajado desde el vértice E, será igual a La requerida El radio es igual a la mitad de la altura y es igual a O.
Ejercicio Encuentra el radio de una esfera inscrita en un icosaedro unitario. Solución. Usemos el hecho de que el radio OA de la esfera circunscrita es igual a y el radio AQ del círculo circunscrito alrededor de un triángulo equilátero de lado 1 es igual a. Utilizando el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo OAQ, obtenemos Ejercicio Encontrar. el radio de la esfera inscrita en el dodecaedro unitario. Solución. Aprovechamos que el radio OF de la esfera circunscrita es igual a y el radio FQ del círculo circunscrito a un pentágono equilátero de lado 1 es igual a. Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo OFQ, obtenemos.
Ejercicio 1 ¿Es posible encajar una esfera en un tetraedro truncado? Solución. Tenga en cuenta que el centro O de una esfera inscrita en un tetraedro truncado debe coincidir con el centro de una esfera inscrita en un tetraedro, que coincide con el centro de una esfera medio inscrita en un tetraedro truncado. Las distancias d 1, d 2 desde el punto O a caras hexagonales y triangulares se calculan utilizando el teorema de Pitágoras: donde R es el radio de una esfera semiinscrita, r 1, r 2 son los radios de círculos inscritos en un hexágono y un triángulo, respectivamente. Dado que r 1 > r 2, entonces d 1 r 2, entonces d 1 
“Esfera de la política” - Relaciones de los actores sociales respecto del poder estatal. Científico y teórico. El proceso de interacción entre política y economía. Junto con el estado. La regulación de las relaciones sociales está condicionada por los intereses sociales. El proceso de interacción entre política y moral. El poder del Estado, la persuasión, la estimulación.
“Geometría del prisma”: dado un prisma cuadrangular recto ABCDA1B1C1D1. Euclides probablemente lo consideró una cuestión de orientación práctica sobre geometría. Un prisma recto es un prisma cuyo borde lateral es perpendicular a la base. Prisma en geometría. Según la propiedad de 2 volúmenes, V=V1+V2, es decir, V=SABD h+SBDC h=(SABD+SBDC) h. Entonces los triángulos A1B1C1 y ABC son iguales en tres lados.
“Volumen de un prisma” - ¿Cómo encontrar el volumen de un prisma recto? El volumen del prisma original es igual al producto S · h. ¿Pasos básicos para demostrar el teorema del prisma directo? Área S de la base del prisma original. Dibujando la altura del triángulo ABC. Tarea. Prisma recto. Objetivos de la lección. El concepto de prisma. Volumen de un prisma recto. Resolviendo el problema. El prisma se puede dividir en prismas triangulares rectos de altura h.
“Superficie de la esfera” - Marte. ¿La pelota es una pelota? Bola y esfera. Tierra. Enciclopedia. Apoyamos al equipo de béisbol de nuestra escuela. Venus. Urano. ¿Hay una pelota en la imagen? Un poco de historia. Atmósfera. Decidí investigar un poco……. Saturno. ¿Estás listo para responder las preguntas?
El tema “Diferentes problemas sobre poliedros, cilindros, conos y bolas” es uno de los más difíciles del curso de geometría de 11º grado. Antes de resolver problemas geométricos, suelen estudiar las secciones relevantes de la teoría a las que se hace referencia al resolver problemas. En el libro de texto de S. Atanasyan y otros sobre este tema (p. 138) solo se pueden encontrar definiciones de poliedro descrito alrededor de una esfera, poliedro inscrito en una esfera, esfera inscrita en un poliedro y esfera descrita alrededor de un poliedro. Las recomendaciones metodológicas para este libro de texto (ver el libro "Estudiar geometría en los grados 10-11" de S.M. Sahakyan y V.F. Butuzov, p. 159) dicen qué combinaciones de cuerpos se consideran al resolver los problemas No. 629-646, y se llama la atención. al hecho de que “al resolver un problema particular, en primer lugar, es necesario asegurarse de que los estudiantes comprendan bien las posiciones relativas de los cuerpos indicados en la condición”. La siguiente es la solución a los problemas No. 638(a) y No. 640.
Teniendo en cuenta todo lo anterior, y el hecho de que los problemas más difíciles para los estudiantes son la combinación de una pelota con otros cuerpos, es necesario sistematizar los principios teóricos relevantes y comunicarlos a los estudiantes.
Definiciones.
1. Se dice que una bola está inscrita en un poliedro y un poliedro se describe alrededor de una bola si la superficie de la bola toca todas las caras del poliedro.
2. Se dice que una bola está circunscrita a un poliedro y que un poliedro está inscrito en una bola, si la superficie de la bola pasa por todos los vértices del poliedro.
3. Se dice que una pelota está inscrita en un cilindro, cono truncado (cono), y se dice que un cilindro, cono truncado (cono) está inscrito alrededor de la pelota si la superficie de la pelota toca las bases (base) y todas las generatrices del cilindro, de cono truncado (cono).
(De esta definición se deduce que el círculo máximo de una bola puede inscribirse en cualquier sección axial de estos cuerpos).
4. Se dice que una pelota está circunscrita a un cilindro, un cono truncado (cono), si los círculos de las bases (círculo base y vértice) pertenecen a la superficie de la pelota.
(De esta definición se deduce que alrededor de cualquier sección axial de estos cuerpos se puede describir la circunferencia de un círculo más grande de la bola).
Notas generales sobre la posición del centro del balón.
1. El centro de una bola inscrita en un poliedro se encuentra en el punto de intersección de los planos bisectores de todos los ángulos diédricos del poliedro. Se encuentra únicamente dentro del poliedro.
2. El centro de una bola circunscrita a un poliedro se encuentra en el punto de intersección de los planos perpendiculares a todas las aristas del poliedro y que pasan por sus puntos medios. Puede ubicarse dentro, en la superficie o fuera del poliedro.
Combinación de una esfera y un prisma.
1. Una bola inscrita en un prisma recto.
Teorema 1. Una esfera se puede inscribir en un prisma recto si y sólo si se puede inscribir un círculo en la base del prisma y la altura del prisma es igual al diámetro de este círculo.
Corolario 1. El centro de una esfera inscrita en un prisma recto se encuentra en el punto medio de la altura del prisma que pasa por el centro del círculo inscrito en la base.
Corolario 2. Una bola, en particular, puede inscribirse en líneas rectas: triangular, regular, cuadrangular (en las que las sumas de los lados opuestos de la base son iguales) bajo la condición H = 2r, donde H es la altura de la prisma, r es el radio del círculo inscrito en la base.
2. Una esfera circunscrita a un prisma.
Teorema 2. Una esfera se puede describir alrededor de un prisma si y sólo si el prisma es recto y se puede describir un círculo alrededor de su base.
Corolario 1. El centro de una esfera circunscrita a un prisma recto se encuentra en el punto medio de la altura del prisma que pasa por el centro de un círculo circunscrito a su base.
Corolario 2. Una bola, en particular, se puede describir: cerca de un prisma triangular recto, cerca de un prisma regular, cerca de un paralelepípedo rectangular, cerca de un prisma cuadrangular recto, en el que la suma de los ángulos opuestos de la base es igual a 180 grados.
Del libro de texto de L.S Atanasyan, se pueden sugerir los problemas nº 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) para la combinación de una bola y un prisma.
Combinación de bola con pirámide.
1. Una bola descrita cerca de una pirámide.
Teorema 3. Una bola se puede describir alrededor de una pirámide si y sólo si se puede describir un círculo alrededor de su base.
Corolario 1. El centro de una esfera circunscrita a una pirámide se encuentra en el punto de intersección de una línea recta perpendicular a la base de la pirámide que pasa por el centro de un círculo circunscrito a esta base y un plano perpendicular a cualquier arista lateral trazada por el medio de este borde.
Corolario 2. Si los bordes laterales de la pirámide son iguales entre sí (o están igualmente inclinados con respecto al plano de la base), entonces se puede describir una bola alrededor de dicha pirámide. El centro de esta bola en este caso se encuentra en el punto de intersección de las dos. la altura de la pirámide (o su extensión) con el eje de simetría del borde lateral que se encuentra en el plano del borde lateral y la altura.
Corolario 3. Una bola, en particular, se puede describir: cerca de una pirámide triangular, cerca de una pirámide regular, cerca de una pirámide cuadrangular en la que la suma de los ángulos opuestos es 180 grados.
2. Una bola inscrita en una pirámide.
Teorema 4. Si las caras laterales de la pirámide están igualmente inclinadas con respecto a la base, entonces se puede inscribir una bola en dicha pirámide.
Corolario 1. El centro de una bola inscrita en una pirámide cuyas caras laterales están igualmente inclinadas con respecto a la base se encuentra en el punto de intersección de la altura de la pirámide con la bisectriz del ángulo lineal de cualquier ángulo diédrico en la base de la pirámide, el lado de la cual es la altura de la cara lateral extraída desde la cima de la pirámide.
Corolario 2. Puedes colocar una bola en una pirámide regular.
Del libro de texto de L.S. Atanasyan, se pueden sugerir los problemas nº 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 para la combinación de una bola con una pirámide.
Combinación de bola con pirámide truncada.
1. Una bola circunscrita a una pirámide truncada regular.
Teorema 5. Se puede describir una esfera alrededor de cualquier pirámide truncada regular. (Esta condición es suficiente, pero no necesaria)
2. Una bola inscrita en una pirámide truncada regular.
Teorema 6. Una bola puede ser inscrita en una pirámide truncada regular si y sólo si la apotema de la pirámide es igual a la suma de las apotemas de las bases.
Sólo hay un problema para la combinación de una bola con una pirámide truncada en el libro de texto de L.S. Atanasyan (núm. 636).
Combinación de bola con cuerpos redondos.
Teorema 7. Una esfera se puede describir alrededor de un cilindro, un cono truncado (circular rectilíneo) o un cono.
Teorema 8. Una bola puede inscribirse en un cilindro (circular rectilíneo) si y sólo si el cilindro es equilátero.
Teorema 9. Puedes colocar una bola en cualquier cono (circular recto).
Teorema 10. Una bola puede inscribirse en un cono truncado (circular rectilíneo) si y sólo si su generatriz es igual a la suma de los radios de las bases.
Del libro de texto de L.S. Atanasyan se pueden sugerir los problemas nº 642, 643, 644, 645, 646 para la combinación de una pelota con cuerpos redondos.
Para estudiar con mayor éxito el material sobre este tema, es necesario incluir tareas orales en las lecciones:
1. La arista del cubo es igual a a. Encuentra los radios de las bolas: inscritas en el cubo y circunscritas a su alrededor. (r = a/2, R = a3).
2. ¿Es posible describir una esfera (bola) alrededor de: a) un cubo; b) paralelepípedo rectangular; c) un paralelepípedo inclinado con un rectángulo en su base; d) paralelepípedo recto; e) ¿un paralelepípedo inclinado? (a) sí; b) sí; c) no; d) no; d)no)
3. ¿Es cierto que se puede describir una esfera alrededor de cualquier pirámide triangular? (Sí)
4. ¿Es posible describir una esfera alrededor de cualquier pirámide cuadrangular? (No, no cerca de ninguna pirámide cuadrangular)
5. ¿Qué propiedades debe tener una pirámide para poder describir una esfera a su alrededor? (En su base debe haber un polígono alrededor del cual se pueda describir un círculo)
6. Una pirámide está inscrita en una esfera cuyo borde lateral es perpendicular a la base. ¿Cómo encontrar el centro de una esfera? (El centro de la esfera es el punto de intersección de dos lugares geométricos de puntos en el espacio. El primero es una perpendicular trazada al plano de la base de la pirámide, que pasa por el centro de un círculo circunscrito a su alrededor. El segundo es un plano perpendicular a un borde lateral dado y dibujado a través de su centro)
7. ¿Bajo qué condiciones se puede describir una esfera alrededor de un prisma, en cuya base hay un trapezoide? (En primer lugar, el prisma debe ser recto y, en segundo lugar, el trapezoide debe ser isósceles para que se pueda describir un círculo a su alrededor)
8. ¿Qué condiciones debe cumplir un prisma para que se describa una esfera a su alrededor? (El prisma debe ser recto y su base debe ser un polígono alrededor del cual se pueda describir un círculo)
9. Alrededor de un prisma triangular se describe una esfera cuyo centro se encuentra fuera del prisma. ¿Qué triángulo es la base del prisma? (Triángulo obtuso)
10. ¿Es posible describir una esfera alrededor de un prisma inclinado? (No, no puedes)
11. ¿Bajo qué condición el centro de una esfera circunscrita a un prisma triangular rectángulo estará ubicado en una de las caras laterales del prisma? (La base es un triángulo rectángulo)
12. La base de la pirámide es un trapezoide isósceles. La proyección ortogonal de la cima de la pirámide sobre el plano de la base es un punto ubicado fuera del trapezoide. ¿Es posible describir una esfera alrededor de tal trapezoide? (Sí, puedes. El hecho de que la proyección ortogonal de la cima de la pirámide esté ubicada fuera de su base no importa. Es importante que en la base de la pirámide se encuentre un trapezoide isósceles, un polígono alrededor del cual se puede formar un círculo. descrito)
13. Se describe una esfera cerca de una pirámide regular. ¿Cómo se ubica su centro en relación con los elementos de la pirámide? (El centro de la esfera está en una perpendicular trazada al plano de la base que pasa por su centro)
14. ¿En qué condiciones se encuentra el centro de una esfera descrita alrededor de un prisma triangular rectángulo: a) dentro del prisma; b) fuera del prisma? (En la base del prisma: a) un triángulo agudo; b) triángulo obtuso)
15. Se describe una esfera alrededor de un paralelepípedo rectangular cuyas aristas miden 1 dm, 2 dm y 2 dm. Calcula el radio de la esfera. (1,5 milímetros)
16. ¿En qué cono truncado puede caber una esfera? (En un cono truncado, en cuya sección axial se puede inscribir un círculo. La sección axial del cono es un trapezoide isósceles, la suma de sus bases debe ser igual a la suma de sus lados laterales. En otras palabras, el la suma de los radios de las bases del cono debe ser igual al generador)
17. Una esfera está inscrita en un cono truncado. ¿En qué ángulo es visible la generatriz del cono desde el centro de la esfera? (90 grados)
18. ¿Qué propiedad debe tener un prisma recto para que se pueda inscribir una esfera en él? (En primer lugar, en la base de un prisma recto debe haber un polígono en el que se pueda inscribir un círculo y, en segundo lugar, la altura del prisma debe ser igual al diámetro del círculo inscrito en la base)
19. Da un ejemplo de una pirámide en la que no cabe una esfera. (Por ejemplo, una pirámide cuadrangular con un rectángulo o paralelogramo en su base)
20. En la base de un prisma recto hay un rombo. ¿Es posible encajar una esfera en este prisma? (No, es imposible, ya que en general es imposible describir un círculo alrededor de un rombo)
21. ¿Bajo qué condiciones se puede inscribir una esfera en un prisma triangular rectángulo? (Si la altura del prisma es el doble del radio del círculo inscrito en la base)
22. ¿Bajo qué condiciones se puede inscribir una esfera en una pirámide truncada cuadrangular regular? (Si la sección transversal de una pirámide dada es un plano que pasa por el centro del lado de la base perpendicular a ella, es un trapezoide isósceles en el que se puede inscribir un círculo)
23. Una esfera está inscrita en una pirámide truncada triangular. ¿Qué punto de la pirámide es el centro de la esfera? (El centro de la esfera inscrita en esta pirámide está en la intersección de tres planos bisectrales de ángulos formados por las caras laterales de la pirámide con la base)
24. ¿Es posible describir una esfera alrededor de un cilindro (circular recta)? (Sí, puedes)
25. ¿Es posible describir una esfera alrededor de un cono, un cono truncado (circular rectilíneo)? (Sí, puedes, en ambos casos)
26. ¿Se puede inscribir una esfera en cualquier cilindro? ¿Qué propiedades debe tener un cilindro para que quepa una esfera en él? (No, no siempre: la sección axial del cilindro debe ser cuadrada)
27. ¿Se puede inscribir una esfera en cualquier cono? ¿Cómo determinar la posición del centro de una esfera inscrita en un cono? (Sí, absolutamente. El centro de la esfera inscrita está en la intersección de la altura del cono y la bisectriz del ángulo de inclinación de la generatriz con respecto al plano de la base)
El autor cree que de las tres lecciones de planificación sobre el tema "Diferentes problemas sobre poliedros, cilindros, conos y bolas", es aconsejable dedicar dos lecciones a la resolución de problemas sobre la combinación de una bola con otros cuerpos. No se recomienda demostrar los teoremas dados anteriormente por falta de tiempo en clase. Puedes invitar a estudiantes que tengan habilidades suficientes para ello a probarlas indicando (a criterio del profesor) el curso o plan de la prueba.
