En el que examinamos las derivadas más simples y también nos familiarizamos con las reglas de diferenciación y algunas técnicas técnicas para encontrar derivadas. Por lo tanto, si no eres muy bueno con las derivadas de funciones o algunos puntos de este artículo no están del todo claros, primero lee la lección anterior. Por favor, póngase serio: el material no es sencillo, pero intentaré presentarlo de forma sencilla y clara.

En la práctica, tienes que lidiar con la derivada de una función compleja muy a menudo, incluso diría, casi siempre, cuando te asignan tareas para encontrar derivadas.

Miramos la tabla de la regla (No. 5) para derivar una función compleja:

Vamos a resolverlo. En primer lugar, prestemos atención a la entrada. Aquí tenemos dos funciones: y, y la función, en sentido figurado, está anidada dentro de la función. Una función de este tipo (cuando una función está anidada dentro de otra) se llama función compleja.

llamaré a la función función externa, y la función – función interna (o anidada).

! Estas definiciones no son teóricas y no deben aparecer en el diseño final de las tareas. Utilizo expresiones informales "función externa", función "interna" sólo para facilitarle la comprensión del material.

Para aclarar la situación, considere:

Ejemplo 1

Encuentra la derivada de una función.

Debajo del seno no solo tenemos la letra "X", sino una expresión completa, por lo que no funcionará encontrar la derivada directamente de la tabla. También notamos que aquí es imposible aplicar las primeras cuatro reglas, parece haber una diferencia, pero lo cierto es que el seno no se puede “romper en pedazos”:

En este ejemplo, de mis explicaciones ya queda intuitivamente claro que una función es una función compleja y un polinomio es una función interna (incrustación) y una función externa.

primer paso Lo que hay que hacer para encontrar la derivada de una función compleja es Entender qué función es interna y cuál es externa..

En el caso de ejemplos simples, parece claro que un polinomio está incluido debajo del seno. Pero ¿y si no todo es obvio? ¿Cómo determinar con precisión qué función es externa y cuál es interna? Para ello, sugiero utilizar la siguiente técnica, que se puede realizar mentalmente o en un borrador.

Imaginemos que necesitamos usar una calculadora para calcular el valor de la expresión en (en lugar de uno puede haber cualquier número).

¿Qué calcularemos primero? En primer lugar deberás realizar la siguiente acción: , por lo tanto el polinomio será una función interna:

En segundo lugar será necesario encontrar, por lo que seno – será una función externa:

después de nosotros AGOTADO con funciones internas y externas, es hora de aplicar la regla de diferenciación de funciones complejas .

Empecemos a decidir. De la lección ¿Cómo encontrar la derivada? Recordamos que el diseño de una solución para cualquier derivada siempre comienza así: encerramos la expresión entre paréntesis y ponemos un trazo en la parte superior derecha:

En primer lugar encontramos la derivada de la función externa (seno), miramos la tabla de derivadas de funciones elementales y notamos que . Todas las fórmulas de la tabla también son aplicables si "x" se reemplaza con una expresión compleja, en este caso:

Tenga en cuenta que la función interna no ha cambiado, no lo tocamos.

Bueno, es bastante obvio que

El resultado de aplicar la fórmula. en su forma final se ve así:

El factor constante suele colocarse al principio de la expresión:

Si hay algún malentendido, anota la solución en un papel y vuelve a leer las explicaciones.

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de una función.

Ejemplo 3

Encuentra la derivada de una función.

Como siempre, anotamos:

Averigüemos dónde tenemos una función externa y dónde tenemos una interna. Para ello, intentamos (mentalmente o en un borrador) calcular el valor de la expresión en . ¿Qué deberías hacer primero? En primer lugar, debes calcular a qué es igual la base: por lo tanto, el polinomio es la función interna:

Y, sólo entonces se realiza la exponenciación, por lo tanto, la función de potencia es una función externa:

Según la fórmula , primero necesitas encontrar la derivada de la función externa, en este caso, el grado. Buscamos la fórmula requerida en la tabla: . Repetimos de nuevo: cualquier fórmula tabular es válida no sólo para “X”, sino también para una expresión compleja. Por tanto, el resultado de aplicar la regla para derivar una función compleja próximo:

Vuelvo a enfatizar que cuando tomamos la derivada de la función externa, nuestra función interna no cambia:

Ahora todo lo que queda es encontrar una derivada muy simple de la función interna y modificar un poco el resultado:

Ejemplo 4

Encuentra la derivada de una función.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta (respuesta al final de la lección).

Para consolidar su comprensión de la derivada de una función compleja, le daré un ejemplo sin comentarios, intente resolverlo usted mismo, ¿dónde está la función externa y dónde la interna, por qué las tareas se resuelven de esta manera?

Ejemplo 5

a) Encuentra la derivada de la función.

b) Encuentra la derivada de la función.

Ejemplo 6

Encuentra la derivada de una función.

Aquí tenemos una raíz, y para diferenciar la raíz hay que representarla como una potencia. Por lo tanto, primero llevamos la función a la forma apropiada para la diferenciación:

Analizando la función, llegamos a la conclusión de que la suma de los tres términos es una función interna y la elevación a una potencia es una función externa. Aplicamos la regla de diferenciación de funciones complejas. :

Nuevamente representamos el grado como un radical (raíz), y para la derivada de la función interna aplicamos una regla simple para derivar la suma:

Listo. También puedes reducir la expresión a un denominador común entre paréntesis y escribir todo como una fracción. Es hermoso, por supuesto, pero cuando obtienes derivadas largas y engorrosas, es mejor no hacer esto (es fácil confundirse, cometer un error innecesario y será un inconveniente para el maestro verificarlo).

Ejemplo 7

Encuentra la derivada de una función.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta (respuesta al final de la lección).

Es interesante notar que a veces en lugar de la regla para derivar una función compleja, puedes usar la regla para derivar un cociente. , pero tal solución parecerá una perversión inusual. Aquí hay un ejemplo típico:

Ejemplo 8

Encuentra la derivada de una función.

Aquí puedes usar la regla de derivación del cociente. , pero es mucho más rentable encontrar la derivada mediante la regla de derivación de una función compleja:

Preparamos la función para la derivación: sacamos el menos del signo de la derivada y elevamos el coseno al numerador:

El coseno es una función interna, la exponenciación es una función externa.
Usemos nuestra regla :

Encontramos la derivada de la función interna y restablecemos el coseno nuevamente:

Listo. En el ejemplo considerado, es importante no confundirse con los signos. Por cierto, intenta resolverlo usando la regla. , las respuestas deben coincidir.

Ejemplo 9

Encuentra la derivada de una función.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta (respuesta al final de la lección).

Hasta ahora hemos visto casos en los que sólo teníamos un anidamiento en una función compleja. En tareas prácticas, a menudo se pueden encontrar derivados en los que, como muñecos encajables, uno dentro del otro, se anidan 3 o incluso 4-5 funciones a la vez.

Ejemplo 10

Encuentra la derivada de una función.

Entendamos los archivos adjuntos de esta función. Intentemos calcular la expresión usando el valor experimental. ¿Cómo contaríamos con una calculadora?

Primero necesitas encontrar , lo que significa que el arcoseno es la incrustación más profunda:

Este arcoseno de uno debe entonces elevarse al cuadrado:

Y por último elevamos siete a una potencia:

Es decir, en este ejemplo tenemos tres funciones diferentes y dos incrustaciones, mientras que la función más interna es el arcoseno y la función más externa es la función exponencial.

empecemos a decidir

En concordancia con reglas Primero debes tomar la derivada de la función externa. Miramos la tabla de derivadas y encontramos la derivada de la función exponencial: La única diferencia es que en lugar de “x” tenemos una expresión compleja, lo que no niega la validez de esta fórmula. Entonces, el resultado de aplicar la regla para derivar una función compleja próximo.

Prueba y derivación de las fórmulas para la derivada de la función exponencial (e elevada a la potencia x) y la función exponencial (a elevada a la potencia x). Ejemplos de cálculo de derivadas de e^2x, e^3x y e^nx. Fórmulas para derivadas de órdenes superiores.

La derivada de un exponente es igual al exponente mismo (la derivada de e elevado a x es igual a e elevado a x):
(1) (e x )′ = e x.

La derivada de una función exponencial con base a es igual a la función misma multiplicada por el logaritmo neperiano de a:
(2) .

Derivación de la fórmula para la derivada de la exponencial, e elevada a la potencia x

Una exponencial es una función exponencial cuya base de potencia es igual al número e, que es el siguiente límite:
.
Aquí puede ser un número natural o un número real. A continuación, derivamos la fórmula (1) para la derivada de la exponencial.

Derivación de la fórmula de la derivada exponencial

Considere la exponencial, e elevada a la potencia x:
y = e x .
Esta función está definida para todos.
(3) .

Encontremos su derivada con respecto a la variable x.
Por definición, la derivada es el siguiente límite: Transformemos esta expresión para reducirla a propiedades y reglas matemáticas conocidas. Para hacer esto necesitamos los siguientes hechos:
(4) ;
A) Propiedad exponente:
(5) ;
B) Propiedad del logaritmo:
(6) .
EN)
Continuidad del logaritmo y propiedad de límites para una función continua: Aquí hay una función que tiene un límite y este límite es positivo.
(7) .

GRAMO)
;
.

El significado del segundo límite destacable:
Apliquemos estos hechos a nuestro límite (3). Usamos la propiedad (4):
.
Hagamos una sustitución.
.

Entonces ; .
.

Debido a la continuidad de la exponencial,
Por lo tanto, cuando , .
.

Como resultado obtenemos:
.
Hagamos una sustitución.
.

Entonces . En , . Y tenemos:

Apliquemos la propiedad del logaritmo (5):

.
(8)
Entonces

Apliquemos la propiedad (6). Como existe un límite positivo y el logaritmo es continuo, entonces: Aquí también utilizamos el segundo límite notable (7). Entonces Así, obtuvimos la fórmula (1) para la derivada de la exponencial.
;
.
Derivación de la fórmula para la derivada de una función exponencial.
.

Derivadas de orden superior de e elevado a x

Ahora busquemos derivadas de órdenes superiores. Veamos primero el exponente:
(14) .
(1) .

Vemos que la derivada de la función (14) es igual a la propia función (14). Derivando (1), obtenemos derivadas de segundo y tercer orden:
;
.

Esto muestra que la derivada de enésimo orden también es igual a la función original:
.

Derivadas de orden superior de la función exponencial

Consideremos ahora una función exponencial con base de grado a:
.
Encontramos su derivada de primer orden:
(15) .

Derivando (15), obtenemos derivadas de segundo y tercer orden:
;
.

Vemos que cada diferenciación conduce a la multiplicación de la función original por .
.

Por tanto, la derivada de enésimo orden tiene la siguiente forma:

Desde que llegaste aquí, probablemente ya viste esta fórmula en el libro de texto.

y poner una cara como esta: Amigo, ¡no te preocupes! De hecho, todo es sencillamente escandaloso. Definitivamente entenderás todo. Sólo una petición: lea el artículo. tomando tu tiempo

, trata de entender cada paso. Escribí de la manera más simple y clara posible, pero aún necesitas entender la idea. Y asegúrese de resolver las tareas del artículo.

¿Qué es una función compleja?

Imagínese que se muda a otro apartamento y, por lo tanto, empaqueta cosas en cajas grandes. Supongamos que necesita recolectar algunos artículos pequeños, por ejemplo, material de escritura escolar. Si simplemente los arrojas en una caja enorme, se perderán, entre otras cosas. Para evitarlo, primero los metes, por ejemplo, en una bolsa, que luego metes en una caja grande y luego la sellas. Este proceso “complejo” se presenta en el siguiente diagrama:

Al parecer, ¿qué tienen que ver las matemáticas con esto? ¡Sí, a pesar de que una función compleja se forma EXACTAMENTE DE LA MISMA manera! Solo que "empaquetamos" no cuadernos y bolígrafos, sino \(x\), mientras que los "paquetes" y las "cajas" son diferentes.

Por ejemplo, tomemos x y “empactémoslo” en una función:

Como resultado, obtenemos, por supuesto, \(\cos⁡x\). Esta es nuestra “bolsa de cosas”. Ahora pongámoslo en una “caja”; empaquetémoslo, por ejemplo, en una función cúbica.

¿Qué pasará al final? Sí, así es, habrá una “bolsa de cosas en una caja”, es decir, “coseno de X al cubo”. El diseño resultante es una función compleja. Se diferencia del simple en que Se aplican VARIAS “influencias” (paquetes) a una X seguida

y resulta ser "función de función" - "envase dentro del embalaje".

Hay muy pocos tipos de estos “paquetes” en el curso escolar, sólo cuatro:

Ahora “empaquemos” X primero en una función exponencial con base 7 y luego en una función trigonométrica. Obtenemos:

Ahora "empaquemos" x dos veces en funciones trigonométricas, primero en y luego en:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Sencillo, ¿verdad?

Ahora escribe las funciones tú mismo, donde x:
- primero se “empaqueta” en un coseno y luego en una función exponencial de base \(3\);
- primero a la quinta potencia y luego a la tangente;
- primero al logaritmo en base \(4\) , luego a la potencia \(-2\).

Encuentre las respuestas a esta tarea al final del artículo.

¿Podemos “empacar” X no dos, sino tres veces? ¡Sí, no hay problema! Y cuatro, cinco y veinticinco veces. Aquí, por ejemplo, hay una función en la que x se “empaqueta” \(4\) veces:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Pero tales fórmulas no se encuentran en la práctica escolar (los estudiantes tienen más suerte; la suya puede ser más complicada☺).

"Descomprimir" una función compleja

Mire la función anterior nuevamente. ¿Puedes descifrar la secuencia de “empacar”? En qué se metió X primero, en qué después, y así sucesivamente hasta el final. Es decir, ¿qué función está anidada dentro de cuál? Toma una hoja de papel y escribe lo que piensas. Puedes hacerlo con una cadena con flechas como escribimos arriba o de cualquier otra forma.

Ahora la respuesta correcta es: primero, x fue “empaquetado” en la \(4\)ésima potencia, luego el resultado fue empaquetado en un seno, éste, a su vez, fue colocado en el logaritmo en base \(2\) , y al final toda esta construcción quedó metida en un power fives.

Es decir, debe desenrollar la secuencia EN ORDEN INVERSO. Y aquí tienes una pista sobre cómo hacerlo más fácilmente: mira inmediatamente la X; deberías bailar desde ella. Veamos algunos ejemplos.

Por ejemplo, aquí está la siguiente función: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Miramos a X: ¿qué le sucede primero? Tomado de él. ¿Y luego? Se toma la tangente del resultado. La secuencia será la misma:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Otro ejemplo: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analicemos: primero elevamos X al cubo y luego tomamos el coseno del resultado. Esto significa que la secuencia será: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Presta atención, la función parece ser similar a la primera (donde tiene imágenes). Pero esta es una función completamente diferente: aquí en el cubo está x (es decir, \(\cos⁡((x·x·x)))\), y allí en el cubo está el coseno \(x\) ( es decir, \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Esta diferencia surge de diferentes secuencias de "empaquetado".

El último ejemplo (con información importante): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Está claro que aquí primero hicimos operaciones aritméticas con x, luego tomamos el seno del resultado: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Y este es un punto importante: a pesar de que las operaciones aritméticas no son funciones en sí mismas, aquí también actúan como una forma de “empaquetar”. Profundicemos un poco más en esta sutileza.

Como dije anteriormente, en funciones simples x se "empaqueta" una vez, y en funciones complejas, dos o más. Además, cualquier combinación de funciones simples (es decir, su suma, diferencia, multiplicación o división) también es una función simple. Por ejemplo, \(x^7\) es una función simple y también lo es \(ctg x\). Esto significa que todas sus combinaciones son funciones simples:

\(x^7+ ctg x\) - simple,
\(x^7· cuna x\) – simple,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – simple, etc.

Sin embargo, si a dicha combinación se le aplica una función más, se convertirá en una función compleja, ya que habrá dos “paquetes”. Ver diagrama:

Bien, adelante ahora. Escriba la secuencia de funciones de “envoltura”:
\(y=cos(⁡(sen⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Las respuestas están nuevamente al final del artículo.

Funciones internas y externas

¿Por qué necesitamos entender el anidamiento de funciones? ¿Qué nos aporta esto? El hecho es que sin tal análisis no podremos encontrar de manera confiable las derivadas de las funciones discutidas anteriormente.

Y para seguir adelante necesitaremos dos conceptos más: funciones internas y externas. Esto es algo muy simple, además, de hecho, ya lo hemos analizado anteriormente: si recordamos nuestra analogía al principio, entonces la función interna es un "paquete" y la función externa es una "caja". Aquellos. lo que X está "envuelto" primero es una función interna, y en lo que está "envuelto" la función interna ya es externo. Bueno, está claro por qué: ella está afuera, es decir, externa.

En este ejemplo: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), la función \(\log_2⁡x\) es interna, y
- externo.

Y en esto: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) es interno, y
- externo.

Complete la última práctica de análisis de funciones complejas y finalmente pasemos a aquello para lo que comenzamos: encontraremos derivadas de funciones complejas:

Complete los espacios en blanco de la tabla:

Derivada de una función compleja

Bravo por nosotros, finalmente llegamos al "jefe" de este tema: de hecho, la derivada de una función compleja, y específicamente, a esa terrible fórmula del principio del artículo.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Esta fórmula dice así:

La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de la función externa con respecto a una función interna constante y la derivada de la función interna.

E inmediatamente mire el diagrama de análisis, de acuerdo con las palabras, para comprender qué hacer con qué:

Espero que los términos "derivado" y "producto" no causen ninguna dificultad. "Función compleja": ya lo hemos resuelto. El problema está en la "derivada de una función externa con respecto a una función interna constante". ¿Qué es?

Respuesta: Ésta es la derivada habitual de una función externa, en la que solo cambia la función externa y la interna permanece igual. ¿Aún no lo tienes claro? Bien, usemos un ejemplo.

Tengamos una función \(y=\sin⁡(x^3)\). Está claro que la función interna aquí es \(x^3\), y la externa
. Encontremos ahora la derivada del exterior con respecto a la constante interior.

¿Qué es un derivado?

Tabla de derivadas.

La derivada es uno de los conceptos principales de las matemáticas superiores. En esta lección introduciremos este concepto. Conozcámonos, sin formulaciones ni pruebas matemáticas estrictas.

Este conocido te permitirá:

Comprender la esencia de tareas simples con derivadas;

Resuelva con éxito estas tareas más simples;

Prepárese para lecciones más serias sobre derivados.

Primero, una agradable sorpresa).

La definición estricta de derivada se basa en la teoría de los límites y la cosa es bastante complicada. Esto es perturbador. ¡Pero la aplicación práctica de derivados, por regla general, no requiere un conocimiento tan extenso y profundo!

Para completar con éxito la mayoría de las tareas en la escuela y la universidad, basta con saber sólo unos pocos términos- comprender la tarea, y solo algunas reglas- para solucionarlo. Eso es todo. Esto me hace feliz.

¿Empecemos a conocernos?)

Términos y designaciones.

Hay muchas operaciones matemáticas diferentes en matemáticas elementales. Suma, resta, multiplicación, exponenciación, logaritmo, etc. Si agrega una operación más a estas operaciones, las matemáticas elementales aumentan. Esta nueva operación se llama diferenciación. La definición y el significado de esta operación se discutirán en lecciones separadas.

Es importante entender aquí que la diferenciación es simplemente una operación matemática sobre una función. Tomamos cualquier función y, según determinadas reglas, la transformamos. El resultado será una nueva función. Esta nueva función se llama: derivado.

Diferenciación- acción sobre una función.

Derivado- el resultado de esta acción.

Así como, por ejemplo, suma- el resultado de la suma. O privado- el resultado de la división.

Conociendo los términos, al menos podrá comprender las tareas). Las formulaciones son las siguientes: encontrar la derivada de una función; tomar la derivada; diferenciar la función; calcular derivada etc. esto es todo el mismo. Por supuesto, también hay tareas más complejas, en las que encontrar la derivada (diferenciación) será sólo uno de los pasos para resolver el problema.

La derivada se indica con un guión en la parte superior derecha de la función. Como esto: y" o f"(x) o Calle) etcétera.

Lectura trazo igrek, trazo ef desde x, trazo es desde te, bueno ya lo entiendes...)

Un primo también puede indicar la derivada de una función particular, por ejemplo: (2x+3)", (incógnita 3 )" , (pecado)" etc. A menudo, las derivadas se denotan mediante diferenciales, pero no consideraremos dicha notación en esta lección.

Supongamos que hemos aprendido a comprender las tareas. Todo lo que queda es aprender a resolverlos.) Déjame recordarte una vez más: encontrar la derivada es transformación de una función según ciertas reglas. Sorprendentemente, existen muy pocas de estas reglas.

Para encontrar la derivada de una función, sólo necesitas saber tres cosas. Tres pilares sobre los que se sustenta toda diferenciación. Aquí están estos tres pilares:

1. Tabla de derivadas (fórmulas de diferenciación).

3. Derivada de una función compleja.

Empecemos en orden. En esta lección veremos la tabla de derivadas.

Tabla de derivadas.

Hay una infinidad de funciones en el mundo. Entre este conjunto se encuentran las funciones más importantes para el uso práctico. Estas funciones se encuentran en todas las leyes de la naturaleza. A partir de estas funciones, como a partir de ladrillos, se pueden construir todas las demás. Esta clase de funciones se llama funciones elementales. Son estas funciones las que se estudian en la escuela: lineal, cuadrática, hipérbola, etc.

Diferenciación de funciones "desde cero", es decir. Según la definición de derivada y la teoría de los límites, esto es algo que requiere bastante mano de obra. ¡Y los matemáticos también son personas, sí, sí!) Así que simplificaron su vida (y la nuestra). Calcularon las derivadas de funciones elementales antes que nosotros. El resultado es una tabla de derivadas, donde todo está listo).

Aquí está esta placa para las funciones más populares. A la izquierda está la función elemental, a la derecha está su derivada.

	Función y	Derivada de la función y y"
1	C (valor constante)	"C" = 0
2	incógnita	x" = 1
3	x n (n - cualquier número)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	pecado x	(sen x)" = cosx
	porque x	(cos x)" = - sen x
	tgx
	ctg x
5	arcosen x
	arcocos x
	arctán x
	arcctgx
4	a incógnita
	mi incógnita
5	registro a incógnita
	En x ( a = mi)

Recomiendo prestar atención al tercer grupo de funciones de esta tabla de derivadas. La derivada de una función potencia es una de las fórmulas más comunes, ¡si no la más común! ¿Entiendes la pista?) Sí, es recomendable saberse de memoria la tabla de derivadas. Por cierto, esto no es tan difícil como parece. Intente resolver más ejemplos, ¡la tabla en sí será recordada!)

Encontrar el valor tabular de la derivada, como comprenderá, no es la tarea más difícil. Por lo tanto, muy a menudo en tales tareas hay chips adicionales. Ya sea en la redacción de la tarea, o en la función original, que no parece estar en la tabla...

Veamos algunos ejemplos:

1. Encuentra la derivada de la función y = x 3

No existe tal función en la tabla. Pero existe una derivada de una función de potencia en forma general (tercer grupo). En nuestro caso n=3. Así que sustituimos tres en lugar de n y anotamos cuidadosamente el resultado:

(incógnita 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Eso es todo.

Respuesta: y" = 3x 2

2. Encuentra el valor de la derivada de la función y = sinx en el punto x = 0.

Esta tarea significa que primero debes encontrar la derivada del seno y luego sustituir el valor x = 0 en esta misma derivada. ¡Exactamente en ese orden! De lo contrario, sucede que inmediatamente sustituyen cero en la función original... Se nos pide que encontremos no el valor de la función original, sino el valor. su derivada. Déjame recordarte que la derivada es una función nueva.

Utilizando la tablilla encontramos el seno y la derivada correspondiente:

y" = (sen x)" = cosx

Sustituimos cero en la derivada:

y"(0) = porque 0 = 1

Esta será la respuesta.

3. Diferenciar la función:

¿Qué, inspira?) No existe tal función en la tabla de derivadas.

Déjame recordarte que derivar una función es simplemente encontrar la derivada de esta función. Si olvidamos la trigonometría elemental, buscar la derivada de nuestra función es bastante problemático. La mesa no ayuda...

Pero si vemos que nuestra función es coseno de doble ángulo¡Entonces todo mejorará de inmediato!

¡Sí, sí! Recuerda que transformando la función original antes de la diferenciación bastante aceptable! Y resulta que hace la vida mucho más fácil. Usando la fórmula del coseno de doble ángulo:

Aquellos. nuestra complicada función no es más que y = cosx. Y esta es una función de tabla. Inmediatamente obtenemos:

Respuesta: y" = - sen x.

Ejemplo para graduados avanzados y estudiantes:

4. Encuentra la derivada de la función:

Por supuesto, no existe tal función en la tabla de derivadas. Pero si recuerdas las matemáticas elementales, operaciones con potencias... Entonces es muy posible simplificar esta función. Como esto:

¡Y x elevado a una décima ya es una función tabular! Tercer grupo, n=1/10. Escribimos directamente según la fórmula:

Eso es todo. Esta será la respuesta.

Espero que todo quede claro con el primer pilar de diferenciación: la tabla de derivados. Queda por ocuparnos de las dos ballenas restantes. En la próxima lección aprenderemos las reglas de diferenciación.

¿Cómo encontrar la derivada, cómo tomar la derivada? En esta lección aprenderemos cómo encontrar derivadas de funciones. Pero antes de estudiar esta página, le recomiendo encarecidamente que se familiarice con el material metodológico.Fórmulas calientes para el curso de matemáticas escolares.. El manual de referencia se puede abrir o descargar en la página Fórmulas y tablas matemáticas. . También desde allí necesitaremostabla de derivados, es mejor imprimirlo; tendrás que consultarlo a menudo, no sólo ahora, sino también fuera de línea.

¿Comer? Empecemos. Tengo dos noticias para ti: buenas y muy buenas. La buena noticia es la siguiente: para aprender a encontrar derivados, no es necesario saber ni comprender qué es un derivado. Además, es más apropiado digerir la definición de la derivada de una función, el significado matemático, físico y geométrico de la derivada más adelante, ya que un estudio de alta calidad de la teoría, en mi opinión, requiere el estudio de una serie de otros temas, así como alguna experiencia práctica.

Y ahora nuestra tarea es dominar técnicamente estos mismos derivados. La muy buena noticia es que aprender a calcular derivadas no es tan difícil; existe un algoritmo bastante claro para resolver (y explicar) esta tarea, las integrales o los límites, por ejemplo, son más difíciles de dominar;

Te aconsejo que estudies el tema en el siguiente orden: primero, Este artículo. Entonces necesitas leer la lección más importante. Derivada de una función compleja . Estas dos clases básicas tomarán tus habilidades desde cero. A continuación puedes familiarizarte con derivados más complejos en el artículo. Derivados complejos.

Derivada logarítmica. Si el listón es demasiado alto, léelo primero. Los problemas típicos más simples con derivadas.. Además del material nuevo, la lección cubre otros tipos de derivadas más simples y es una gran oportunidad para mejorar su técnica de diferenciación. Además, los exámenes casi siempre contienen tareas para encontrar derivadas de funciones especificadas de forma implícita o paramétrica. También existe tal lección: Derivadas de funciones implícitas y definidas paramétricamente.

Intentaré de forma accesible, paso a paso, enseñarte cómo encontrar derivadas de funciones. Toda la información se presenta en detalle, en palabras sencillas.

En realidad, veamos un ejemplo de inmediato: Ejemplo 1

Encuentra la derivada de la función Solución:

Este es el ejemplo más simple, encuéntrelo en la tabla de derivadas de funciones elementales. Ahora veamos la solución y analicemos ¿qué pasó? Y sucedió lo siguiente:

teníamos una función que, como resultado de la solución, se convirtió en una función.

En pocas palabras, para encontrar la derivada

función, debe convertirla en otra función de acuerdo con ciertas reglas . Mire nuevamente la tabla de derivadas: allí las funciones se convierten en otras funciones. el unico

la excepción es la función exponencial, que

se convierte en sí mismo. La operación de encontrar la derivada se llamadiferenciación.

Notación: La derivada se denota o.

¡ATENCIÓN, IMPORTANTE! ¡Olvidarse de poner un trazo (donde es necesario), o dibujar un trazo extra (donde no es necesario) es un GRAVE ERROR! ¡Una función y su derivada son dos funciones diferentes!

Volvamos a nuestra tabla de derivadas. De esta tabla es deseable. memorizar: reglas de diferenciación y derivadas de algunas funciones elementales, especialmente:

derivada de la constante:

¿Dónde es un número constante? derivada de una función de potencia:

En particular:,,.

¿Por qué recordar? Este conocimiento es un conocimiento básico sobre derivados. Y si no puedes responder a la pregunta del profesor "¿Cuál es la derivada de un número?", entonces tus estudios en la universidad pueden terminar para ti (conozco personalmente dos casos de la vida real). Además, estas son las fórmulas más habituales que tenemos que utilizar casi cada vez que nos encontramos con derivadas.

EN En realidad, los ejemplos tabulares simples son raros; por lo general, al encontrar derivadas, primero se utilizan reglas de diferenciación y luego una tabla de derivadas de funciones elementales.

EN de esta conexión procedemos a considerarreglas de diferenciación:

1) Se puede (y se debe) sacar un número constante del signo de la derivada

¿Dónde hay un número constante (constante)? ​​Ejemplo 2

Encuentra la derivada de una función.

Miremos la tabla de derivados. La derivada del coseno está ahí, pero tenemos.

Es hora de usar la regla, quitamos el factor constante del signo de la derivada:

Ahora convertimos nuestro coseno según la tabla:

Bueno, es aconsejable "peinar" un poco el resultado: coloque el signo menos en primer lugar y, al mismo tiempo, elimine los corchetes:

2) La derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas.

Encuentra la derivada de una función.

Decidamos. Como probablemente ya habrás notado, el primer paso que siempre se realiza al encontrar una derivada es encerrar la expresión completa entre paréntesis y poner un número primo en la parte superior derecha:

Apliquemos la segunda regla:

Tenga en cuenta que para la diferenciación, todas las raíces y potencias deben representarse en la forma y, si están en el denominador, entonces

moverlos hacia arriba. Cómo hacer esto se analiza en mis materiales didácticos.

Ahora recordemos la primera regla de diferenciación: tomamos los factores constantes (números) fuera del signo de la derivada:

Por lo general, durante la solución, estas dos reglas se aplican simultáneamente (para no reescribir una expresión larga nuevamente).

Todas las funciones ubicadas debajo de los trazos son funciones de tabla elementales; utilizando la tabla realizamos la transformación:

Puedes dejar todo como está, ya que no quedan más trazos y se ha encontrado la derivada. Sin embargo, expresiones como ésta suelen simplificar:

Es aconsejable volver a representar todas las potencias de la forma en forma de raíces,

potencias con exponentes negativos: descartarlas en el denominador. Aunque no es necesario que hagas esto, no será un error.

Encuentra la derivada de una función.

Intente resolver este ejemplo usted mismo (respuesta al final de la lección).

3) Derivada del producto de funciones

Parece que la analogía sugiere la fórmula…., pero la sorpresa es que:

Esta es una regla inusual(como, de hecho, otros) se desprende de definiciones derivadas. Pero por ahora dejaremos de lado la teoría; ahora es más importante aprender a resolver:

Encuentra la derivada de una función.

Aquí tenemos el producto de dos funciones dependiendo de . Primero aplicamos nuestra extraña regla y luego transformamos las funciones usando la tabla de derivadas:

¿Difícil? Para nada, bastante accesible incluso para una tetera.

Encuentra la derivada de una función.

Esta función contiene la suma y el producto de dos funciones: un trinomio cuadrado y un logaritmo. Desde el colegio recordamos que la multiplicación y la división tienen prioridad sobre la suma y la resta.

Es lo mismo aquí. PRIMERO utilizamos la regla de diferenciación de productos:

Ahora para el corchete usamos las dos primeras reglas:

Como resultado de aplicar las reglas de diferenciación bajo los trazos, solo nos quedan funciones elementales; usando la tabla de derivadas las convertimos en otras funciones:

Con cierta experiencia en la búsqueda de derivadas, no parece necesario describir con tanto detalle las derivadas simples. Por lo general, suelen decidirse de forma oral, e inmediatamente se deja por escrito que .

Encuentra la derivada de una función. Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta (respuesta al final de la lección)

4) Derivada de funciones cocientes

Se abrió una trampilla en el techo, no te alarmes, es un fallo técnico. Pero esta es la dura realidad:

Encuentra la derivada de una función.

Lo que falta aquí: suma, diferencia, producto, fracción…. ¡¿Por dónde empezar?! Hay dudas, no hay dudas, pero, EN CUALQUIER CASO, primero dibujamos corchetes y ponemos un trazo arriba a la derecha:

Ahora miramos la expresión entre paréntesis, ¿cómo podemos simplificarla? En este caso, notamos un factor al que, según la primera regla, es recomendable quitarle el signo de la derivada:

Al mismo tiempo, nos deshacemos de los paréntesis del numerador, que ya no son necesarios. En términos generales, factores constantes al encontrar la derivada.