Calculadora-Matemática-Online v.1.0
La calculadora realiza las siguientes operaciones: suma, resta, multiplicación, división, trabajo con decimales, extracción de raíces, exponenciación, cálculo de porcentajes y otras operaciones.
Solución:
Cómo usar una calculadora matemática
| Llave | Designación | Explicación |
|---|---|---|
| 5 | números 0-9 | Números arábigos. Ingresando números enteros naturales, cero. Para obtener un número entero negativo, debes presionar la tecla +/- |
| . | punto (coma) | Separador para indicar una fracción decimal. Si no hay ningún número antes del punto (coma), la calculadora sustituirá automáticamente un cero antes del punto. Por ejemplo: se escribirá .5 - 0.5 |
| + | signo más | Sumar números (enteros, decimales) |
| - | signo menos | Restar números (enteros, decimales) |
| ÷ | signo de división | Dividir números (enteros, decimales) |
| incógnita | signo de multiplicación | Multiplicar números (enteros, decimales) |
| √ | raíz | Extrayendo la raíz de un número. Cuando presiona el botón "raíz" nuevamente, la raíz se calcula a partir del resultado. Por ejemplo: raíz de 16 = 4; raíz de 4 = 2 |
| x2 | elevar al cuadrado | Cuadrar un número. Cuando presionas el botón "cuadrar" nuevamente, el resultado se eleva al cuadrado. Por ejemplo: cuadrado 2 = 4; cuadrado 4 = 16 |
| 1/x | fracción | Salida en fracciones decimales. El numerador es 1, el denominador es el número ingresado. |
| % | por ciento | Obtener un porcentaje de un número. Para trabajar, debe ingresar: el número a partir del cual se calculará el porcentaje, el signo (más, menos, dividir, multiplicar), cuánto porcentaje en forma numérica, el botón "%" |
| ( | paréntesis abierto | Un paréntesis abierto para especificar la prioridad de cálculo. Se requiere un paréntesis cerrado. Ejemplo: (2+3)*2=10 |
| ) | paréntesis cerrado | Un paréntesis cerrado para especificar la prioridad de cálculo. Se requiere un paréntesis abierto |
| ± | más menos | signo inverso |
| = | es igual | Muestra el resultado de la solución. También encima de la calculadora, en el campo “Solución”, se muestran los cálculos intermedios y el resultado. |
| ← | eliminar un personaje | Elimina el último carácter. |
| CON | reiniciar | Botón de reinicio. Restablece completamente la calculadora a la posición "0" |
Algoritmo de la calculadora en línea usando ejemplos.
Suma.
Suma de números enteros naturales (5 + 7 = 12)
Suma de números enteros naturales y negativos ( 5 + (-2) = 3 )
Sumar fracciones decimales (0,3 + 5,2 = 5,5)
Sustracción.
Restar números enteros naturales ( 7 - 5 = 2 )
Restar números enteros naturales y negativos ( 5 - (-2) = 7 )
Restar fracciones decimales (6,5 - 1,2 = 4,3)
Multiplicación.
Producto de números enteros naturales (3 * 7 = 21)
Producto de números enteros naturales y negativos ( 5 * (-3) = -15 )
Producto de fracciones decimales ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
División.
División de números enteros naturales (27/3 = 9)
División de números enteros naturales y negativos (15 / (-3) = -5)
División de fracciones decimales (6,2 / 2 = 3,1)
Extrayendo la raíz de un número.
Extrayendo la raíz de un número entero (raíz(9) = 3)
Extraer la raíz de fracciones decimales (raíz(2,5) = 1,58)
Extraer la raíz de una suma de números (raíz(56 + 25) = 9)
Extrayendo la raíz de la diferencia entre números (raíz (32 – 7) = 5)
Cuadrar un número.
Cuadrar un número entero ( (3) 2 = 9 )
Cuadrar decimales ((2,2)2 = 4,84)
Conversión a fracciones decimales.
Calcular porcentajes de un número.
Aumenta el número 230 en un 15% (230 + 230 * 0,15 = 264,5)
Reducir el número 510 en un 35% ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )
El 18% del número 140 es (140 * 0,18 = 25,2)
Como sabes, la multiplicación de números se reduce a la suma de productos parciales obtenidos al multiplicar el dígito actual del multiplicador. EN al multiplicando L. Para binario números, los productos parciales son iguales al multiplicando o cero. Por lo tanto, la multiplicación de números binarios se reduce a una suma secuencial de productos parciales con un desplazamiento. Para decimal números, los productos parciales pueden tomar 10 valores diferentes, incluido el cero. Por lo tanto, para obtener productos parciales, en lugar de la multiplicación, se puede utilizar la suma secuencial múltiple del multiplicando L. Para ilustrar el algoritmo para multiplicar números decimales, usaremos un ejemplo.
Ejemplo 2.26. Pa higo. 2.15, A Se da la multiplicación de números decimales enteros A x b = 54 x 23, comenzando por el dígito menos significativo del multiplicador. El siguiente algoritmo se utiliza para la multiplicación:
Se toma 0 como estado inicial. La primera suma se obtiene sumando el multiplicando A = 54 a cero. Luego el multiplicando se suma nuevamente a la primera suma. A= 54. Y finalmente, después de la tercera sumatoria, se obtiene el primer producto parcial, igual a 0" + 54 + 54 + 54 = 162;
Arroz. 2.15. Algoritmo para multiplicar números decimales enteros 54 x 23(A) y el principio de su implementación.(b)
- el primer producto parcial se desplaza un bit hacia la derecha (o el multiplicando hacia la izquierda);
- el multiplicando se suma dos veces a los dígitos más altos del primer producto parcial: 16 + 54 + 54 = 124;
- después de combinar la suma resultante 124 con el 2 menos significativo del primer producto parcial, se encuentra el producto 1242.
Consideremos, usando un ejemplo, la posibilidad de implementar un circuito de un algoritmo utilizando las operaciones de suma, resta y desplazamiento.
Ejemplo 2.27. Que esté en el registro. R t el multiplicando se almacena permanentemente Una = 54. En el estado inicial al registro. R 2 coloca el multiplicador EN= 23, y regístrate R 3 está cargado de ceros. Para obtener el primer producto parcial (162), sumamos el multiplicando tres veces al contenido del registro. Una = 54, disminuyendo el contenido del registro cada vez en uno R T Después del bit menos significativo del registro r., se vuelve igual a cero, desplaza el contenido de ambos registros /? hacia la derecha un bit., y R.,. Presencia de 0 en el dígito menos significativo R 2c indica que la formación del producto parcial está completa y es necesario realizar un cambio. Luego realizamos dos operaciones de suma del multiplicando. A= 54 con el contenido del registro y restando uno al contenido del registro R 0. Después de la segunda operación, el dígito menos significativo del registro r., será igual a cero. Por lo tanto, desplazando el contenido de los registros hacia la derecha un bit R 3 y R Y obtenemos el producto requerido pag = 1242.
La implementación del algoritmo para multiplicar números decimales en códigos decimales binarios (Fig. 2.16) tiene características asociadas con la realización de operaciones de suma y resta.
Arroz. 2.16.
(ver párrafo 2.3), además de desplazar la tétrada cuatro bits. Considerémoslos bajo las condiciones del ejemplo 2.27.
Ejemplo 2.28. Multiplicación de números en coma flotante. Para obtener el producto de números. A y Bc punto flotante debe ser definido METRO c = METRO l x METRO norte, R Con =P{ + R norte. En este caso se utilizan las reglas de multiplicación y suma algebraica de números de coma fija. Al producto se le asigna un signo "+" si el multiplicando y el multiplicador tienen el mismo signo, y un signo "-" si sus signos son diferentes. Si es necesario, la mantisa resultante se normaliza con la corrección de orden adecuada.
Ejemplo 2.29. Multiplicación de números binarios normalizados:
Al realizar una operación de multiplicación, pueden ocurrir casos especiales que son manejados por instrucciones especiales del procesador. Por ejemplo, si uno de los factores es igual a cero, la operación de multiplicación no se realiza (se bloquea) y se genera inmediatamente un resultado cero.
Objeto del servicio. La calculadora en línea está diseñada para multiplicar números binarios. Ejemplo No. 1. Multiplica los números binarios 111 y 101.Solución.
| 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 0 | 1 | ||
| = | = | = | = | = |
| 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | ||
| = | = | = | = | = |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Durante la suma, se produjo un desbordamiento en los bits 2, 3, 4. Además, el desbordamiento también ocurrió en el dígito más significativo, por lo que escribimos 1 delante del número resultante y obtenemos: 100011
En el sistema numérico decimal, este número tiene la siguiente forma:
Para traducir, debes multiplicar el dígito de un número por el grado correspondiente del dígito.
100011 = 2 5 *1 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *1 + 2 0 *1 = 32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 35
Comprobemos el resultado de la multiplicación en el sistema numérico decimal. Para ello, convertimos los números 111 y 101 a notación decimal.
111 2 = 2 2 *1 + 2 1 *1 + 2 0 *1 = 4 + 2 + 1 = 7
101 2 = 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 4 + 0 + 1 = 5
7 x 5 = 35
Ejemplo No. 2. Encuentra el producto binario 11011*1100. Convierte la respuesta al sistema decimal.
Solución. Comenzamos la multiplicación desde los dígitos más bajos: si el dígito actual del segundo número es 0, escribimos ceros en todas partes, si es 1, luego reescribimos el primer número.
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | ||||
| = | = | = | = | = | = | = | = |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |||
| = | = | = | = | = | = | = | = |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Durante la suma, se produjo un desbordamiento en los bits 3, 4, 5, 6, 7. Además, el desbordamiento también ocurrió en el dígito más significativo, por lo que escribimos 1 delante del número resultante y obtenemos: 101000100
101000100 = 2 8 *1 + 2 7 *0 + 2 6 *1 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 256 + 0 + 64 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 324
Comprobemos el resultado de la multiplicación en el sistema numérico decimal. Para ello, convertimos los números 11011 y 1100 a notación decimal.
11011 = 2 4 *1 + 2 3 *1 + 2 2 *0 + 2 1 *1 + 2 0 *1 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27
1100 = 2 3 *1 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12
27 x 12 = 324
Ejemplo No. 3. 1101.11*101
Multiplicaremos números sin tener en cuenta el punto flotante: 110111 x 101
Comenzamos la multiplicación desde los dígitos más bajos: si el dígito actual del segundo número es 0, escribimos ceros en todas partes, si es 1, luego reescribimos el primer número.
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 0 | 1 | |||||
| = | = | = | = | = | = | = | = |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| = | = | = | = | = | = | = | = |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Durante la suma, se produjo un desbordamiento en los bits 2, 3, 4, 5, 6, 7. Además, el desbordamiento también ocurrió en el dígito más significativo, por lo que escribimos 1 delante del número resultante y obtenemos: 100010011
Como multiplicamos sin tener en cuenta el punto flotante, escribimos el resultado final como: 1000100,11
En el sistema numérico decimal, este número tiene la siguiente forma:
1000100 = 2 6 *1 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 64 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 68
Para convertir la parte fraccionaria, debes dividir el dígito de un número por el grado correspondiente del dígito.
11 = 2 -1 *1 + 2 -2 *1 = 0.75
Como resultado, obtenemos el número 68,75.
Comprobemos el resultado de la multiplicación en el sistema numérico decimal. Para ello, convertimos los números 1101,11 y 101 a notación decimal.
1101 = 2 3 *1 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13
11 = 2 -1 *1 + 2 -2 *1 = 0.75
Como resultado, obtenemos el número 13,75.
Convierte el número: 101 2 = 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 4 + 0 + 1 = 5
13,75 x 5 = 68,75
En la última lección aprendimos a sumar y restar decimales (ver la lección “Suma y resta de decimales”). Al mismo tiempo, evaluamos en qué medida se simplifican los cálculos en comparación con las fracciones ordinarias de "dos pisos".
Desafortunadamente, este efecto no ocurre al multiplicar y dividir decimales. En algunos casos, la notación decimal incluso complica estas operaciones.
Primero, introduzcamos una nueva definición. Lo veremos con bastante frecuencia, y no sólo en esta lección.
La parte significativa de un número es todo lo que se encuentra entre el primer y el último dígito distinto de cero, incluidos los extremos. Estamos hablando solo de números, no se tiene en cuenta el punto decimal.
Los dígitos incluidos en la parte significativa de un número se llaman dígitos significativos. Pueden repetirse e incluso ser iguales a cero.
Por ejemplo, considere varias fracciones decimales y escriba las partes significativas correspondientes:
- 91,25 → 9125 (cifras significativas: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (cifras significativas: 8; 2; 4; 1);
- 15,0075 → 150075 (cifras significativas: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (cifras significativas: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (solo hay una cifra significativa: 3).
Tenga en cuenta: los ceros dentro de la parte significativa del número no van a ninguna parte. Ya nos encontramos con algo similar cuando aprendimos a convertir fracciones decimales en fracciones ordinarias (ver lección “Decimales”).
Este punto es tan importante, y aquí se cometen errores con tanta frecuencia, que publicaré una prueba sobre este tema en un futuro próximo. ¡Asegúrate de practicar! Y nosotros, armados con el concepto de parte significativa, procederemos, de hecho, al tema de la lección.
Multiplicar decimales
La operación de multiplicación consta de tres pasos sucesivos:
- Para cada fracción, escribe la parte significativa. Obtendrá dos números enteros ordinarios, sin denominadores ni puntos decimales;
- Multiplica estos números de cualquier forma conveniente. Directamente, si los números son pequeños, o en una columna. Obtenemos la parte significativa de la fracción deseada;
- Descubra dónde y cuántos dígitos se desplaza el punto decimal en las fracciones originales para obtener la parte significativa correspondiente. Realice cambios inversos para la parte significativa obtenida en el paso anterior.
Permítanme recordarles una vez más que los ceros a los lados de la parte significativa nunca se tienen en cuenta. Ignorar esta regla conduce a errores.
- 0,28 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 · 10.000.
Trabajamos con la primera expresión: 0,28 · 12,5.
- Escribamos las partes significativas de los números de esta expresión: 28 y 125;
- Su producto: 28 · 125 = 3500;
- En el primer factor, la coma decimal se desplaza 2 dígitos hacia la derecha (0,28 → 28), y en el segundo se desplaza 1 dígito más. En total, necesita un desplazamiento hacia la izquierda de tres dígitos: 3500 → 3500 = 3,5.
Ahora veamos la expresión 6.3 · 1.08.
- Escribamos las partes significativas: 63 y 108;
- Su producto: 63 · 108 = 6804;
- De nuevo, dos desplazamientos hacia la derecha: de 2 y 1 dígito, respectivamente. Total: nuevamente 3 dígitos a la derecha, por lo que el desplazamiento inverso será de 3 dígitos a la izquierda: 6804 → 6,804. Esta vez no hay ceros finales.
Llegamos a la tercera expresión: 132,5 · 0,0034.
- Partes significativas: 1325 y 34;
- Su producto: 1325 · 34 = 45.050;
- En la primera fracción, el punto decimal se mueve 1 dígito hacia la derecha, y en la segunda, hasta 4. Total: 5 a la derecha. Nos desplazamos 5 hacia la izquierda: 45.050 → .45050 = 0,4505. El cero se eliminó al final y se agregó al frente para no dejar un punto decimal "desnudo".
La siguiente expresión es: 0,0108 · 1600,5.
- Escribimos las partes significativas: 108 y 16 005;
- Los multiplicamos: 108 · 16.005 = 1.728.540;
- Contamos los números después del punto decimal: en el primer número hay 4, en el segundo hay 1. El total vuelve a ser 5. Tenemos: 1.728.540 → 17,28540 = 17,2854. Al final, se eliminó el cero “extra”.
Finalmente, la última expresión: 5,25 10.000.
- Partes significativas: 525 y 1;
- Los multiplicamos: 525 · 1 = 525;
- La primera fracción se desplaza 2 dígitos hacia la derecha y la segunda fracción se desplaza 4 dígitos hacia la izquierda (10.000 → 1,0000 = 1). Total 4 − 2 = 2 dígitos a la izquierda. Realizamos un desplazamiento inverso de 2 dígitos hacia la derecha: 525, → 52,500 (tuvimos que agregar ceros).
Tenga en cuenta en el último ejemplo: dado que el punto decimal se mueve en diferentes direcciones, el desplazamiento total se calcula mediante la diferencia. ¡Este es un punto muy importante! Aquí hay otro ejemplo:
Considere los números 1,5 y 12.500. Tenemos: 1,5 → 15 (desplazamiento 1 hacia la derecha); 12,500 → 125 (desplazamiento 2 a la izquierda). Damos un “paso” 1 dígito a la derecha y luego 2 a la izquierda. Como resultado, avanzamos 2 − 1 = 1 dígito hacia la izquierda.
división decimal
La división es quizás la operación más difícil. Por supuesto, aquí puedes actuar por analogía con la multiplicación: dividir las partes significativas y luego "mover" el punto decimal. Pero en este caso surgen muchas sutilezas que anulan los ahorros potenciales.
Por tanto, veamos un algoritmo universal, que es un poco más largo, pero mucho más fiable:
- Convierte todas las fracciones decimales a fracciones ordinarias. Con un poco de práctica, este paso te llevará cuestión de segundos;
- Divide las fracciones resultantes de la forma clásica. En otras palabras, multiplica la primera fracción por la segunda “invertida” (ver lección “Multiplicación y división de fracciones numéricas");
- Si es posible, presente el resultado nuevamente como una fracción decimal. Este paso también es rápido, ya que el denominador suele ser ya una potencia de diez.
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Consideremos la primera expresión. Primero, convertimos fracciones a decimales:
Hagamos lo mismo con la segunda expresión. Se factorizará nuevamente el numerador de la primera fracción:
Hay un punto importante en el tercer y cuarto ejemplo: después de eliminar la notación decimal, aparecen fracciones reducibles. Sin embargo, no realizaremos esta reducción.
El último ejemplo es interesante porque el numerador de la segunda fracción contiene un número primo. Simplemente no hay nada que factorizar aquí, así que lo consideramos de frente:
A veces, la división da como resultado un número entero (me refiero al último ejemplo). En este caso, el tercer paso no se realiza en absoluto.
Además, al dividir, a menudo surgen fracciones "feas" que no se pueden convertir a decimales. Esto distingue la división de la multiplicación, donde los resultados siempre se representan en forma decimal. Por supuesto, en este caso tampoco se realiza el último paso.
Preste también atención a los ejemplos tercero y cuarto. En ellos, deliberadamente no reducimos fracciones ordinarias obtenidas a partir de decimales. De lo contrario, esto complicará la tarea inversa: representar la respuesta final nuevamente en forma decimal.
Recuerde: la propiedad básica de una fracción (como cualquier otra regla matemática) en sí misma no significa que deba aplicarse en todas partes y siempre, en cada oportunidad.
