Generalmente, dos triángulos se consideran similares si tienen la misma forma, aunque sean de diferentes tamaños, estén girados o incluso al revés.
La representación matemática de dos triángulos semejantes A 1 B 1 C 1 y A 2 B 2 C 2 que se muestran en la figura se escribe de la siguiente manera:
ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2
Dos triángulos son semejantes si:
1. Cada ángulo de un triángulo es igual al ángulo correspondiente de otro triángulo:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 Y ∠C 1 = ∠C 2
2. Las proporciones de los lados de un triángulo a los lados correspondientes de otro triángulo son iguales entre sí:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$
3. Relaciones dos lados un triángulo a los lados correspondientes de otro triángulo son iguales entre sí y al mismo tiempo
los ángulos entre estos lados son iguales:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ y $\ángulo A_1 = \ángulo A_2$
o
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ y $\ángulo B_1 = \ángulo B_2$
o
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ y $\ángulo C_1 = \ángulo C_2$
No confundas triángulos semejantes con triángulos iguales. Los triángulos iguales tienen longitudes de lados correspondientes iguales. Por tanto, para triángulos congruentes:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$
De esto se deduce que todos los triángulos iguales son semejantes. Sin embargo, no todos los triángulos semejantes son iguales.
Aunque la notación anterior muestra que para saber si dos triángulos son semejantes o no debemos conocer los valores de los tres ángulos o las longitudes de los tres lados de cada triángulo, para resolver problemas con triángulos semejantes basta con saber tres de los valores mencionados anteriormente para cada triángulo. Estas cantidades pueden estar en varias combinaciones:
1) tres ángulos de cada triángulo (no necesitas saber las longitudes de los lados de los triángulos).
O al menos 2 ángulos de un triángulo deben ser iguales a 2 ángulos de otro triángulo.
Ya que si 2 ángulos son iguales, entonces el tercer ángulo también será igual (El valor del tercer ángulo es 180 - ángulo1 - ángulo2).
2) las longitudes de los lados de cada triángulo (no es necesario conocer los ángulos);
3) las longitudes de los dos lados y el ángulo entre ellos.
A continuación veremos cómo resolver algunos problemas con triángulos semejantes. Primero veremos problemas que se pueden resolver usando directamente las reglas anteriores y luego discutiremos algunos problemas prácticos que se pueden resolver usando el método de triángulos semejantes.
Practica problemas con triángulos semejantes.
Ejemplo #1:
Demuestre que los dos triángulos de la siguiente figura son similares. 
Solución:
Como se conocen las longitudes de los lados de ambos triángulos, aquí se puede aplicar la segunda regla:
$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$
Ejemplo #2:
Demuestre que dos triángulos dados son similares y determine las longitudes de los lados PQ Y relaciones públicas.
Solución:
∠A = ∠P Y ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(ya que ∠C = 180 - ∠A - ∠B y ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)
De esto se deduce que los triángulos ΔABC y ΔPQR son semejantes. Por eso:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ y
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$
Ejemplo #3:
determinar la longitud AB en este triángulo. 
Solución:
∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Y ∠A general => triángulos ΔABC Y ΔADE son similares.
$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$
Ejemplo #4:
determinar la longitud anuncio(x) figura geométrica en la imagen. 
Los triángulos ΔABC y ΔCDE son similares porque AB || DE y tienen una esquina superior común C.
Vemos que un triángulo es una versión escalada del otro. Sin embargo, necesitamos demostrar esto matemáticamente.
AB || DE, CD || AC y BC || CE.
∠BAC = ∠EDC y ∠ABC = ∠DEC
Con base en lo anterior y teniendo en cuenta la presencia de un ángulo común do, podemos afirmar que los triángulos ΔABC y ΔCDE son semejantes.
Por eso:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57$
x = CA - CC = 23,57 - 15 = 8,57
Ejemplos prácticos
Ejemplo #5:
La fábrica utiliza una cinta transportadora inclinada para transportar productos del nivel 1 al nivel 2, que está 3 metros más alto que el nivel 1, como se muestra en la figura. El transportador inclinado se sirve desde un extremo hasta el nivel 1 y desde el otro extremo hasta un lugar de trabajo ubicado a una distancia de 8 metros del punto de operación del nivel 1. 
La fábrica quiere mejorar el transportador para acceder al nuevo nivel, que se encuentra 9 metros por encima del nivel 1, manteniendo el ángulo de inclinación del transportador.
Determine la distancia a la que se debe instalar la nueva estación de trabajo para garantizar que el transportador opere en su nuevo extremo en el nivel 2. También calcule la distancia adicional que recorrerá el producto al pasar al nuevo nivel.
Solución:
Primero, etiquetemos cada punto de intersección con una letra específica, como se muestra en la figura.
Con base en el razonamiento dado anteriormente en los ejemplos anteriores, podemos concluir que los triángulos ΔABC y ΔADE son similares. Por eso,
$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 millones$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16m
Así, el nuevo punto deberá instalarse a una distancia de 16 metros del punto existente.
Y dado que la estructura consta de triángulos rectángulos, podemos calcular la distancia de movimiento del producto de la siguiente manera:
$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$
De manera similar, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
que es la distancia que recorre actualmente el producto cuando alcanza el nivel existente.
y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
esta es la distancia adicional que debe recorrer un producto para alcanzar un nuevo nivel.
Ejemplo #6:
Steve quiere visitar a su amigo que recientemente se mudó a una nueva casa. En la figura se muestra el mapa de ruta hasta la casa de Steve y su amigo, junto con las distancias que Steve conoce. Ayuda a Steve a llegar a la casa de su amigo en el menor tiempo posible. 
Solución:
La hoja de ruta se puede representar geométricamente de la siguiente forma, como se muestra en la figura. 
Vemos que los triángulos ΔABC y ΔCDE son semejantes, por tanto:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$
El enunciado del problema establece que:
AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km y DE = 5 km
Con esta información podemos calcular las siguientes distancias:
$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$
Steve puede llegar a la casa de su amigo utilizando las siguientes rutas:
A -> B -> C -> E -> G, la distancia total es 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km
F -> B -> C -> D -> G, la distancia total es 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km
F -> A -> C -> E -> G, la distancia total es 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km
F -> A -> C -> D -> G, la distancia total es 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km
Por lo tanto, la ruta número 3 es la más corta y se le puede ofrecer a Steve.
Ejemplo 7:
Trisha quiere medir la altura de su casa, pero no tiene las herramientas adecuadas. Se dio cuenta de que había un árbol creciendo frente a la casa y decidió utilizar su ingenio y conocimientos de geometría adquiridos en la escuela para determinar la altura del edificio. Midió la distancia desde el árbol hasta la casa, el resultado fue 30 m. Luego se paró frente al árbol y comenzó a retroceder hasta que el borde superior del edificio se hizo visible por encima de la copa del árbol. Trisha marcó este lugar y midió la distancia desde allí hasta el árbol. Esta distancia fue de 5 m.
La altura del árbol es de 2,8 m y la altura del nivel de los ojos de Trisha es de 1,6 m. Ayude a Trisha a determinar la altura del edificio. 
Solución:
La representación geométrica del problema se muestra en la figura. 
Primero usamos la similitud de los triángulos ΔABC y ΔADE.
$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \veces AC$
$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$
Entonces podemos usar la similitud de los triángulos ΔACB y ΔAFG o ΔADE y ΔAFG. Elijamos la primera opción.
$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 m$
Preguntas más frecuentes
¿Es posible realizar un sello en un documento según la muestra proporcionada? Respuesta Sí, es posible. Envía una copia escaneada o una foto de buena calidad a nuestra dirección de correo electrónico y haremos el duplicado necesario.
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¿Puedo solicitar un diploma de cualquier universidad? Respuesta En general, sí. Llevamos casi 12 años trabajando en este campo. Durante este tiempo se formó una base de datos casi completa de documentos expedidos por casi todas las universidades del país y para diferentes años de emisión. Todo lo que necesitas es seleccionar una universidad, especialidad, documento y completar el formulario de pedido.
¿Qué hacer si encuentra errores tipográficos y errores en un documento?
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¿Qué debo hacer para solicitar un diploma de su empresa?
Respuesta Para solicitar un documento (certificado, diploma, certificado académico, etc.), debe completar el formulario de pedido en línea en nuestro sitio web o proporcionar su correo electrónico para que podamos enviarle un formulario de solicitud, que deberá completar y enviar de regreso. a nosotros.
Si no sabe qué indicar en algún campo del formulario de pedido/cuestionario, déjelo en blanco. Por lo tanto, aclararemos toda la información que falta por teléfono.
Últimas reseñas
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228. En este capítulo entenderemos principalmente por las designaciones de los segmentos AB, AC, etc., los números que los expresan.
Sabemos (ítem 226) que si dos segmentos a y b están dados geométricamente, entonces podemos construir un promedio proporcional entre ellos. Ahora los segmentos no se dan geométricamente, sino mediante números, es decir, por a y b nos referimos a números que expresan 2 segmentos dados. Luego, encontrar el segmento proporcional promedio se reducirá a encontrar el número x a partir de la proporción a/x = x/b, donde a, b y x son números. De esta proporción tenemos:
x 2 = ab
x = √ab
229. Tengamos un triángulo rectángulo ABC (dibujo 224).
Dejemos caer una BD perpendicular desde el vértice de su ángulo recto (∠B recto) hasta la hipotenusa AC. Entonces del párrafo 225 sabemos:
1) AC/AB = AB/AD y 2) AC/BC = BC/DC.
De aquí obtenemos:
AB 2 = CA AD y BC 2 = CA CC.
Sumando las igualdades resultantes pieza por pieza, obtenemos:
AB 2 + BC 2 = CA AD + CA CC = CA(AD + DC).
es decir. el cuadrado del número que expresa la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los números que expresan los catetos del triángulo rectángulo.
En resumen dicen: El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos..
Si le damos a la fórmula resultante una interpretación geométrica, obtendremos el teorema de Pitágoras que ya conocemos (ítem 161):
un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.
A partir de la ecuación AB 2 + BC 2 = AC 2, a veces hay que encontrar un cateto de un triángulo rectángulo usando la hipotenusa y otro cateto. Obtenemos, por ejemplo:
AB 2 = AC 2 – BC 2 y así sucesivamente
230. La relación numérica encontrada entre los lados de un triángulo rectángulo nos permite resolver muchos problemas computacionales. Resolvamos algunos de ellos:
1. Calcular el área de un triángulo equilátero dado su lado.
Sea ∆ABC (dibujo 225) equilátero y cada lado expresado por un número a (AB = BC = AC = a). Para calcular el área de este triángulo, primero debes averiguar su altura BD, a la que llamaremos h. Sabemos que en un triángulo equilátero, la altura BD biseca la base AC, es decir, AD = DC = a/2. Por tanto, del triángulo rectángulo DBC tenemos:
BD 2 = BC 2 – DC 2,
h 2 = a 2 – a 2 /4 = 3a 2 /4 (realizar resta).
De aquí tenemos:
(sacamos el multiplicador de debajo de la raíz).
Por tanto, llamando al número que expresa el área de nuestro triángulo en términos de Q y sabiendo que el área ∆ABC = (AC BD)/2, encontramos:
Podemos considerar esta fórmula como una de las formas de medir el área de un triángulo equilátero: necesitamos medir su lado en unidades lineales, elevar al cuadrado el número encontrado, multiplicar el número resultante por √3 y dividir por 4. obtenga la expresión para el área en unidades cuadradas (correspondientes).
2. Los lados del triángulo son 10, 17 y 21 líneas. unidad Calcula su área.
Bajemos la altura h en nuestro triángulo (dibujo 226) al lado más grande; seguramente pasará dentro del triángulo, ya que en un triángulo un ángulo obtuso solo puede ubicarse frente al lado más grande. Entonces el lado mayor, = 21, se dividirá en 2 segmentos, uno de los cuales denotaremos por x (ver dibujo) y luego el otro = 21 – x. Obtenemos dos triángulos rectángulos, de los cuales tenemos:
h 2 = 10 2 – x 2 y h 2 = 17 2 – (21 – x) 2
Como los lados izquierdos de estas ecuaciones son iguales, entonces
10 2 – x 2 = 17 2 – (21 – x) 2
Realizando las acciones obtenemos:
10 2 – x 2 = 289 – 441 + 42x – x 2
Simplificando esta ecuación encontramos:
Luego de la ecuación h 2 = 10 2 – x 2, obtenemos:
h2 = 10 2 – 6 2 = 64
y por lo tanto
Entonces se encontrará el área requerida:
Q = (21 8)/2 m2. unidad = 84 metros cuadrados. unidad
3. Puedes resolver un problema general:
¿Cómo calcular el área de un triángulo en función de sus lados?
Sean los lados del triángulo ABC expresados por los números BC = a, AC = b y AB = c (dibujo 227). Supongamos que AC es el lado mayor; entonces la altura BD irá dentro de ∆ABC. Llamemos: BD = h, DC = x y luego AD = b – x.
De ∆BDC tenemos: h 2 = a 2 – x 2 .
De ∆ABD tenemos: h 2 = c 2 – (b – x) 2,
de donde a 2 – x 2 = c 2 – (b – x) 2.
Resolviendo esta ecuación, obtenemos consistentemente:
2bx = a 2 + b 2 – c 2 y x = (a 2 + b 2 – c 2)/2b.
(Esto último está escrito sobre la base de que el numerador 4a 2 b 2 – (a 2 + b 2 – c 2) 2 puede considerarse como una igualdad de cuadrados, que descomponemos en el producto de la suma por la diferencia).
Esta fórmula se transforma introduciendo el perímetro del triángulo, que denotamos por 2p, es decir
Restando 2c a ambos lados de la igualdad, obtenemos:
a + b + c – 2c = 2p – 2c o a + b – c = 2(p – c):
También encontraremos:
c + a – b = 2(p – b) y c – a + b = 2(p – a).
Entonces obtenemos:
(p expresa el semiperímetro del triángulo).
Esta fórmula se puede utilizar para calcular el área de un triángulo en función de sus tres lados.
231. Ceremonias.
232. En el párrafo 229 encontramos la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Puedes encontrar una relación similar para los lados (con la adición de otro segmento) de un triángulo oblicuo.
Primero tengamos ∆ABC (dibujo 228) tal que ∠A sea agudo. Intentemos encontrar una expresión para el cuadrado del lado BC opuesto a este ángulo agudo (similar a como en el párrafo 229 encontramos la expresión para el cuadrado de la hipotenusa).
Construyendo BD ⊥ AC, obtenemos del triángulo rectángulo BDC:
BC 2 = BD 2 + DC 2
Reemplacemos BD2 definiéndolo a partir de ABD, del cual tenemos:
BD 2 = AB 2 – AD 2,
y reemplace el segmento DC por AC – AD (obviamente, DC = AC – AD). Entonces obtenemos:
BC 2 = AB 2 – AD 2 + (AC – AD) 2 = AB 2 – AD 2 + AC 2 – 2AC AD + AD 2
Habiendo reducido términos similares, encontramos:
BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AC AD.
Esta fórmula dice: El cuadrado del lado de un triángulo opuesto al ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de sus otros dos lados, menos el doble del producto de uno de estos lados por su segmento desde el vértice del ángulo agudo hasta la altura..
233. Ahora sean obtusos ∠A y ∆ABC (dibujo 229). Encontremos una expresión para el cuadrado del lado BC opuesto al ángulo obtuso.
Habiendo construido la altura BD, ahora se ubicará de manera ligeramente diferente: en 228 donde ∠A es agudo, los puntos D y C están ubicados a un lado de A, y aquí, donde ∠A es obtuso, se ubicarán los puntos D y C en lados opuestos de A. Luego de un ∆BDC rectangular obtenemos:
BC 2 = BD 2 + DC 2
Podemos reemplazar BD2 definiéndolo a partir del ∆BDA rectangular:
BD 2 = AB 2 – AD 2,
y el segmento DC = AC + AD, lo cual es obvio. Reemplazando obtenemos:
BC 2 = AB 2 – AD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 – AD 2 + AC 2 + 2AC AD + AD 2
Realizando la reducción de términos semejantes encontramos:
antes de Cristo 2 = AB 2 + CA 2 + 2AC AD,
es decir. El cuadrado del lado de un triángulo opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de sus otros dos lados, más el doble del producto de uno de ellos por su segmento desde el vértice del ángulo obtuso hasta la altura..
Esta fórmula, así como la fórmula del párrafo 232, admiten una interpretación geométrica, que es fácil de encontrar.
234. Utilizar las propiedades de los párrafos. 229, 232, 233, podemos, si se nos dan los lados de un triángulo en números, averiguar si el triángulo tiene un ángulo recto o un ángulo obtuso.
Un ángulo recto u obtuso en un triángulo solo se puede ubicar frente al lado mayor; cuál es el ángulo opuesto es fácil de descubrir: este ángulo es agudo, recto u obtuso, dependiendo de si el cuadrado del lado mayor es menor que. , igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Descubre si los siguientes triángulos, definidos por sus lados, tienen un ángulo recto o obtuso:
1) 15dm., 13dm. y 14 pulgadas; 2) 20, 29 y 21; 3) 11, 8 y 13; 4) 7, 11 y 15.
235. Tengamos un paralelogramo ABCD (dibujo 230); Construyamos sus diagonales AC y BD y sus altitudes BK ⊥ AD y CL ⊥ AD.
Entonces, si ∠A (∠BAD) es nítida, entonces ∠D (∠ADC) es ciertamente obtuso (ya que su suma = 2d). De ∆ABD, donde ∠A se considera agudo, tenemos:
BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AD AK,
y de ∆ACD, donde ∠D es obtuso, tenemos:
AC 2 = AD 2 + CD 2 + 2AD DL.
En la última fórmula, reemplacemos el segmento AD con el segmento BC igual a él y DL con el segmento AK igual a él (DL = AK, porque ∆ABK = ∆DCL, lo cual es fácil de ver). Entonces obtenemos:
AC2 = BC2 + CD2 + 2AD · AK.
Sumando la expresión para BD2 con la última expresión para AC 2, encontramos:
BD 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2,
ya que los términos –2AD · AK y +2AD · AK se cancelan entre sí. Podemos leer la igualdad resultante:
La suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados.
236. Calcular la mediana y la bisectriz de un triángulo a partir de sus lados. Sea la mediana BM la que se construya en el triángulo ABC (dibujo 231) (es decir, AM = MC). Conociendo los lados ∆ABC: BC = a, AC = b y AB = c, calcula la mediana BM.
Sigamos con BM y dejemos de lado el segmento MD = BM. Al conectar D con A y D con C, obtenemos el paralelogramo ABCD (esto es fácil de calcular, ya que ∆AMD = ∆BMC y ∆AMB = ∆DMC).
Llamando a la mediana BM en términos de m, obtenemos BD = 2m y luego, usando el párrafo anterior, tenemos:
237. Cálculo del radio circunscrito al triángulo de un círculo. Describamos un círculo O alrededor de ∆ABC (dibujo 233). Construyamos el diámetro del círculo BD, la cuerda AD y la altura del triángulo BH.
Entonces ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d - el ángulo A es un ángulo recto, porque está inscrito, con base en el diámetro BD y ∠D = ∠C, como está inscrito, con base en un arco AB). Por lo tanto tenemos:
o, llamando al radio OB por R, a la altura BH por h, y a los lados AB y BC, como antes, respectivamente por c y a:
pero área ∆ABC = Q = bh/2, de donde h = 2Q/b.
Por tanto, R = (abc)/(4Q).
Podemos (ítem 230 del problema 3) calcular el área del triángulo Q en función de sus lados. Desde aquí podemos calcular R a partir de los tres lados del triángulo.
238. Cálculo del radio de un círculo inscrito en un triángulo. Escribamos en ∆ABC, cuyos lados están dados (dibujo 234), un círculo O. Conectando su centro O con los vértices del triángulo y con los puntos tangentes D, E y F de los lados al círculo, obtenemos encuentre que los radios del círculo OD, OE y OF sirven como alturas de los triángulos BOC, COA y AOB.
Calculando el radio del círculo inscrito que pasa por r, tenemos:
1.4.1. Cuatro maravillosos puntos en un triángulo.
Las medianas de un triángulo se cortan en un punto y se dividen en él en una proporción contada desde el vértice. Este punto se llama centro de gravedad.
Las alturas de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se llama ortocentro.
Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto. Este punto es el centro del círculo inscrito.
Las perpendiculares dibujadas a los lados de un triángulo a través de sus puntos medios se cortan en un punto. Este punto es el centro del círculo circunscrito.
1.4.2. Línea media del triángulo
Paralelo a la base.
Igual a la mitad de la base.
Divide por la mitad cualquier segmento que conecte el vértice de un triángulo con cualquier punto de la base.
1.4.3. Propiedad de la bisectriz del triángulo
Dejemos que se dibuje una bisectriz en un triángulo. Entonces (la bisectriz divide la base en partes proporcionales a los lados).
1.4.4. Determinar el tipo de triángulo según sus lados
Sea c el mayor de los tres lados del triángulo.
Si entonces el triángulo es agudo.
Si el triángulo es rectángulo.
Si el triángulo es obtuso.
1.4.5. Cuadrado
1.4.6. Fórmulas para calcular los radios R y r.
1.4.7. Relaciones entre lados y ángulos
(teorema del coseno).
(teorema del seno).
1.4.8. Tres teoremas importantes sobre áreas
Si dos triángulos son semejantes, entonces sus áreas son iguales a los cuadrados de sus lados correspondientes.
Si dos triángulos tienen bases iguales, entonces las áreas se relacionan como las alturas correspondientes.
Si una altura de un triángulo es igual a la altura de otro triángulo, entonces las áreas están relacionadas como los lados a los que se dibujan estas alturas.
Medido en una unidad, entonces el cuadrado del número que expresa la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los números expresados presionando las piernas.
Este teorema suele expresarse abreviado de la siguiente manera:
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Esta relación fue notada por primera vez por el geómetra griego Pitágoras (siglo VI aC) y por eso lleva su nombre: teorema de pitágoras .
Teorema.
ángulo agudo, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados sin el doble del producto de cualquiera de estos lados por su segmento desde el vértice del ángulo agudo hasta la altura.
Dejar BCON- lado del triángulo ABCON(Fig. 1 y Fig. 2), opuesto al ángulo agudo A, Y BD- altura rebajada en cualquiera de los otros lados, por ejemplo, en ACON(o su continuación). Se requiere acreditar que:
antes de Cristo 2 = AB 2 + AC 2 - 2AS.A.D.
De triángulos rectángulos BDC Y ABD generamos:
antes de Cristo 2= BD 2+DCON 2 [ 1 ] ;
BD 2= AB 2-AD 2 [ 2] .
Allende: DCON= AC-AD(Figura 1) o DCON= AD-COMO(Figura 2). En ambos casos para DCON 2 obtenemos la misma expresión:
DCON 2 = (ACON-AD) 2 = ACON 2 - 2ACON . AD + AD 2 ;
DCON 2 = (AD-ACON) 2 = AD 2 - 2AD . ACON + ACON 2 .
Sustituyendo en igualdad en su lugar BD 2 Y DC 2 sus expresiones a partir de las igualdades y , obtenemos:
antes de Cristo 2= AB 2 - A D 2 + ACON 2 - 2 ACON . AD + A D 2 .
Así es la igualdad tras la reducción de socios -AD 2 Y + AD 2 , y es precisamente lo que necesitaba ser probado.
Comentario. El teorema demostrado sigue siendo cierto incluso cuando el ángulo CON directo. Entonces el segmento CD irá a cero, es decir AC será igual a AD, y tendremos:
antes de Cristo 2= AB 2+ ACON 2 - 2ACON 2 = AB 2-ACON 2 .
Lo cual es consistente con el teorema sobre hipotenusa cuadrada.
Teorema.
En un triángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, sumado al doble del producto de cualquiera de estos lados por el segmento de su continuación desde el vértice del ángulo obtuso. a la altitud. La prueba es similar a la anterior.
Consecuencia.
De los tres últimos teoremas deducimos que el cuadrado de un lado de un triángulo es igual, menor o mayor que la suma de los cuadrados de los demás lados, según si el ángulo opuesto es recto, agudo u obtuso.
Esto implica la proposición contraria: El ángulo de un triángulo será recto, agudo u obtuso, según si el cuadrado del lado opuesto es igual, menor o mayor que la suma de los cuadrados de los demás lados.
Calcular la altura de un triángulo en función de sus lados.
Denotemos la altura caída al lado a del triángulo. ABCON, a través de Ja. Para calcularlo, primero a partir de la ecuación:
b 2 = a 2 + de 2 - 2aCon’ .
encuentre el segmento base c’:
.
Luego desde DABD determinamos la altura como cateto:
.
De la misma forma, se pueden determinar las alturas h b y h c, bajadas a los lados by c.
Cálculo de las medianas de un triángulo en función de sus lados.
Sean dados los lados del triángulo. ABCON y necesitas calcular su mediana BD. Para ello, extendámoslo a una distancia. Delaware = BD y punto mi conectar con A Y CON. Entonces obtenemos un paralelogramo. ABCE.
Aplicando el teorema anterior encontramos: SER 2 = 2 AB 2 + 2 BC 2 -AC2.
