3 Examinez la fonction et tracez un graphique. Examen complet de la fonction et tracé du graphique

Les points de référence lors de l'étude des fonctions et de la construction de leurs graphiques sont des points caractéristiques - points de discontinuité, extremum, inflexion, intersection avec des axes de coordonnées. Grâce au calcul différentiel, il est possible d'établir les traits caractéristiques des changements de fonctions : augmentation et diminution, maximums et minimums, sens de convexité et de concavité du graphe, présence d'asymptotes.

Un croquis du graphique de la fonction peut (et doit) être dessiné après avoir trouvé les asymptotes et les points extremum, et il convient de remplir le tableau récapitulatif de l'étude de la fonction au fur et à mesure de l'avancement de l'étude.

Le schéma d’étude de fonction suivant est généralement utilisé.

1.Trouver le domaine de définition, les intervalles de continuité et les points d'arrêt de la fonction.

2.Examinez la fonction pour la régularité ou l'impair (symétrie axiale ou centrale du graphique).

3.Trouvez des asymptotes (verticales, horizontales ou obliques).

4.Trouver et étudier les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction, ses points extremum.

5.Trouver les intervalles de convexité et de concavité de la courbe, ses points d'inflexion.

6.Trouvez les points d'intersection de la courbe avec les axes de coordonnées, s'ils existent.

7.Compiler un tableau récapitulatif de l’étude.

8.Un graphe est construit, prenant en compte l'étude de la fonction réalisée selon les points décrits ci-dessus.

Exemple. Fonction Explorer

et construire son graphique.

7. Compilons un tableau récapitulatif de l'étude de la fonction, dans lequel nous saisirons tous les points caractéristiques et les intervalles entre eux. Compte tenu de la parité de la fonction, on obtient le tableau suivant :

Aujourd'hui, nous vous invitons à explorer et à construire un graphique d'une fonction avec nous. Après avoir étudié attentivement cet article, vous n’aurez pas à transpirer longtemps pour accomplir ce type de tâche. Il n'est pas facile d'étudier et de construire un graphique d'une fonction ; c'est un travail volumineux qui nécessite une attention et une précision maximales dans les calculs. Pour rendre le matériel plus facile à comprendre, nous étudierons la même fonction étape par étape et expliquerons toutes nos actions et calculs. Bienvenue dans le monde étonnant et fascinant des mathématiques ! Allons-y!

Domaine de définition

Afin d’explorer et de représenter graphiquement une fonction, vous devez connaître plusieurs définitions. La fonction est l’un des principaux concepts (de base) des mathématiques. Il reflète la dépendance entre plusieurs variables (deux, trois ou plus) lors des changements. La fonction montre également la dépendance des ensembles.

Imaginez que nous ayons deux variables qui présentent une certaine plage de changement. Ainsi, y est fonction de x, à condition que chaque valeur de la deuxième variable corresponde à une valeur de la seconde. Dans ce cas, la variable y est dépendante et on l'appelle une fonction. Il est d'usage de dire que les variables x et y sont dans Pour plus de clarté sur cette dépendance, un graphique de la fonction est construit. Qu'est-ce qu'un graphique d'une fonction ? Il s'agit d'un ensemble de points sur le plan de coordonnées, où chaque valeur x correspond à une valeur y. Les graphiques peuvent être différents : ligne droite, hyperbole, parabole, onde sinusoïdale, etc.

Il est impossible de représenter graphiquement une fonction sans recherche. Aujourd'hui, nous allons apprendre à mener des recherches et à construire un graphique d'une fonction. Il est très important de prendre des notes pendant l'étude. Cela rendra la tâche beaucoup plus facile à accomplir. Le plan de recherche le plus pratique :

1. Portée de la définition.
2. Continuité.
3. Pair ou impair.
4. Périodicité.
5. Asymptotes.
6. Des zéros.
7. Signe la constance.
8. Augmentation et diminution.
9. Extrêmes.
10. Convexité et concavité.

Commençons par le premier point. Trouvons le domaine de définition, c'est-à-dire sur quels intervalles notre fonction existe : y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Dans notre cas, la fonction existe pour toutes les valeurs de x, c'est-à-dire que le domaine de définition est égal à R. Cela peut s'écrire comme suit xÎR.

Continuité

Nous allons maintenant examiner la fonction de discontinuité. En mathématiques, le terme « continuité » est apparu à la suite de l’étude des lois du mouvement. Qu'est-ce qui est infini ? L'espace, le temps, certaines dépendances (un exemple est la dépendance des variables S et t dans les problèmes de mouvement), la température d'un objet chauffé (eau, poêle à frire, thermomètre, etc.), une ligne continue (c'est-à-dire celle qui peut être dessiné sans le retirer de la feuille de crayon).

Un graphique est considéré comme continu s’il ne se rompt pas à un moment donné. L’un des exemples les plus évidents d’un tel graphique est une sinusoïde, que vous pouvez voir sur l’image de cette section. La fonction est continue en un certain point x0 si un certain nombre de conditions sont remplies :

• une fonction est définie en un point donné ;
• les limites droite et gauche en un point sont égales ;
• la limite est égale à la valeur de la fonction au point x0.

Si au moins une condition n’est pas remplie, la fonction échoue. Et les points auxquels la fonction s'interrompt sont généralement appelés points d'arrêt. Un exemple de fonction qui « se brisera » lorsqu'elle est affichée graphiquement est : y=(x+4)/(x-3). De plus, y n'existe pas au point x = 3 (puisqu'il est impossible de diviser par zéro).

Dans la fonction que nous étudions (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) tout s'est avéré simple, puisque le graphique sera continu.

Pair, impair

Examinez maintenant la fonction de parité. Tout d'abord, un peu de théorie. Une fonction paire est celle qui satisfait à la condition f(-x)=f(x) pour toute valeur de la variable x (dans la plage de valeurs). Les exemples incluent :

• module x (le graphique ressemble à une daw, la bissectrice du premier et du deuxième quart du graphique) ;
• x au carré (parabole) ;
• cosinus x (cosinus).

Notez que tous ces graphiques sont symétriques lorsqu’ils sont vus par rapport à l’axe des y (c’est-à-dire l’axe des y).

Qu’appelle-t-on alors une fonction impaire ? Ce sont les fonctions qui satisfont à la condition : f(-x)=-f(x) pour toute valeur de la variable x. Exemples :

• hyperbole;
• parabole cubique;
• sinusoïde;
• tangente et ainsi de suite.

Veuillez noter que ces fonctions sont symétriques par rapport au point (0:0), c'est-à-dire l'origine. D'après ce qui a été dit dans cette section de l'article, une fonction paire et impaire doit avoir la propriété : x appartient à l'ensemble de définitions et -x également.

Examinons la fonction de parité. Nous pouvons voir qu’elle ne correspond à aucune des descriptions. Notre fonction n’est donc ni paire ni impaire.

Asymptotes

Commençons par une définition. Une asymptote est une courbe aussi proche que possible du graphique, c'est-à-dire que la distance à partir d'un certain point tend vers zéro. Au total, il existe trois types d'asymptotes :

• vertical, c'est-à-dire parallèle à l'axe y ;
• horizontal, c'est-à-dire parallèle à l'axe x ;
• incliné.

Comme pour le premier type, ces lignes sont à rechercher à certains endroits :

• écart;
• extrémités du domaine de définition.

Dans notre cas, la fonction est continue et le domaine de définition est égal à R. Par conséquent, il n'y a pas d'asymptote verticale.

Le graphique d'une fonction a une asymptote horizontale s'il répond à la condition suivante : si x tend vers l'infini ou moins l'infini, et que la limite est égale à un certain nombre (par exemple, a). Dans ce cas, y=a est l'asymptote horizontale. Il n’y a pas d’asymptote horizontale dans la fonction que nous étudions.

Une asymptote oblique n'existe que si deux conditions sont remplies :

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Ensuite, il peut être trouvé en utilisant la formule : y=kx+b. Encore une fois, dans notre cas, il n’y a pas d’asymptote oblique.

Zéros de fonction

L'étape suivante consiste à examiner le graphique de la fonction pour les zéros. Il est également très important de noter que la tâche associée à la recherche des zéros d'une fonction se produit non seulement lors de l'étude et de la construction d'un graphique d'une fonction, mais également en tant que tâche indépendante et comme moyen de résoudre des inégalités. Vous devrez peut-être trouver les zéros d’une fonction sur un graphique ou utiliser une notation mathématique.

Trouver ces valeurs vous aidera à représenter graphiquement la fonction avec plus de précision. En termes simples, le zéro d'une fonction est la valeur de la variable x à laquelle y = 0. Si vous recherchez les zéros d'une fonction sur un graphique, vous devez faire attention aux points d'intersection du graphique avec l'axe des x.

Pour trouver les zéros de la fonction, vous devez résoudre l'équation suivante : y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Après avoir effectué les calculs nécessaires, nous obtenons la réponse suivante :

Constance du signe

La prochaine étape de la recherche et de la construction d'une fonction (graphique) consiste à trouver des intervalles de signe constant. Cela signifie que nous devons déterminer à quels intervalles la fonction prend une valeur positive et à quels intervalles elle prend une valeur négative. Les fonctions zéro trouvées dans la dernière section nous aideront à le faire. Nous devons donc construire une ligne droite (séparée du graphique) et répartir les zéros de la fonction le long de celle-ci dans le bon ordre, du plus petit au plus grand. Vous devez maintenant déterminer lequel des intervalles résultants a un signe « + » et lequel a un « - ».

Dans notre cas, la fonction prend une valeur positive sur les intervalles :

• de 1 à 4 ;
• de 9 à l'infini.

Valeur négative :

• de moins l'infini à 1 ;
• de 4 à 9.

C'est assez facile à déterminer. Remplacez n'importe quel nombre de l'intervalle dans la fonction et voyez quel signe la réponse s'avère avoir (moins ou plus).

Fonction croissante et décroissante

Afin d’explorer et de construire une fonction, nous devons savoir où le graphique va augmenter (monter le long de l’axe Oy) et où il va descendre (descendre le long de l’axe y).

Une fonction n'augmente que si une plus grande valeur de la variable x correspond à une plus grande valeur de y. Autrement dit, x2 est supérieur à x1 et f(x2) est supérieur à f(x1). Et on observe un phénomène complètement inverse avec une fonction décroissante (plus x est grand, moins y). Pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution, vous devez trouver les éléments suivants :

• domaine de définition (nous l'avons déjà) ;
• dérivée (dans notre cas : 1/3(3x^2-28x+49) ;
• résolvez l'équation 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Après calculs on obtient le résultat :

On obtient : la fonction augmente sur les intervalles de moins l'infini à 7/3 et de 7 à l'infini, et diminue sur l'intervalle de 7/3 à 7.

Extrêmes

La fonction étudiée y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) est continue et existe pour toute valeur de la variable x. Le point extrême montre le maximum et le minimum d'une fonction donnée. Dans notre cas, il n'y en a pas, ce qui simplifie grandement la tâche de construction. Sinon, ils peuvent également être trouvés à l’aide de la fonction dérivée. Une fois trouvés, n'oubliez pas de les marquer sur la carte.

Convexité et concavité

Nous continuons à explorer plus en détail la fonction y(x). Nous devons maintenant vérifier sa convexité et sa concavité. Les définitions de ces concepts sont assez difficiles à comprendre ; il vaut mieux tout analyser à l'aide d'exemples. Pour le test : une fonction est convexe si c'est une fonction non décroissante. D'accord, c'est incompréhensible !

Nous devons trouver la dérivée d’une fonction du second ordre. On obtient : y=1/3(6x-28). Maintenant, assimilons le membre de droite à zéro et résolvons l'équation. Réponse : x=14/3. Nous avons trouvé le point d'inflexion, c'est-à-dire l'endroit où le graphique passe de la convexité à la concavité ou vice versa. Sur l'intervalle de moins l'infini à 14/3, la fonction est convexe, et de 14/3 à plus l'infini, elle est concave. Il est également très important de noter que le point d'inflexion sur le graphique doit être lisse et doux, il ne doit pas y avoir de coins pointus.

Définir des points supplémentaires

Notre tâche est d'étudier et de construire un graphique de la fonction. Nous avons terminé l’étude ; construire un graphique de la fonction n’est plus difficile. Pour une reproduction plus précise et détaillée d'une courbe ou d'une ligne droite sur le plan de coordonnées, vous pouvez trouver plusieurs points auxiliaires. Ils sont assez faciles à calculer. Par exemple, prenons x=3, résolvons l’équation résultante et trouvons y=4. Ou x=5, et y=-5 et ainsi de suite. Vous pouvez prendre autant de points supplémentaires que nécessaire pour la construction. On en trouve au moins 3 à 5.

Tracer un graphique

Nous devions étudier la fonction (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Toutes les marques nécessaires lors des calculs ont été faites sur le plan de coordonnées. Il ne reste plus qu'à construire un graphique, c'est-à-dire relier tous les points. La connexion des points doit être fluide et précise, c'est une question de compétence - un peu de pratique et votre emploi du temps sera parfait.

L'une des tâches les plus importantes du calcul différentiel est le développement d'exemples généraux d'étude du comportement des fonctions.

Si la fonction y=f(x) est continue sur l'intervalle , et que sa dérivée est positive ou égale à 0 sur l'intervalle (a,b), alors y=f(x) augmente de (f"(x)0) Si la fonction y=f (x) est continue sur le segment , et que sa dérivée est négative ou égale à 0 sur l'intervalle (a,b), alors y=f(x) diminue de (f"(x)0. )

Les intervalles dans lesquels la fonction ne diminue ni n'augmente sont appelés intervalles de monotonie de la fonction. La nature de la monotonie d'une fonction ne peut changer qu'aux points de son domaine de définition où le signe de la dérivée première change. Les points auxquels la dérivée première d'une fonction disparaît ou présente une discontinuité sont appelés critiques.

Théorème 1 (1ère condition suffisante pour l'existence d'un extremum).

Soit la fonction y=f(x) définie au point x 0 et soit un voisinage δ>0 tel que la fonction soit continue sur l'intervalle et dérivable sur l'intervalle (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , et sa dérivée conserve un signe constant sur chacun de ces intervalles. Alors si sur x 0 -δ,x 0) et (x 0 , x 0 +δ) les signes de la dérivée sont différents, alors x 0 est un point extremum, et s'ils coïncident, alors x 0 n'est pas un point extremum . De plus, si, en passant par le point x0, la dérivée change de signe de plus à moins (à gauche de x 0 f"(x)>0 est satisfait, alors x 0 est le point maximum ; si la dérivée change de signe de de moins à plus (à droite de x 0 exécuté f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Les points maximum et minimum sont appelés points extrêmes de la fonction, et les maximums et minimums de la fonction sont appelés ses valeurs extrêmes.

Théorème 2 (un signe nécessaire d'un extremum local).

Si la fonction y=f(x) a un extremum au courant x=x 0, alors soit f'(x 0)=0, soit f'(x 0) n'existe pas.
Aux points extrêmes de la fonction différentiable, la tangente à son graphique est parallèle à l'axe Ox.

Algorithme d'étude d'une fonction pour un extremum :

1) Trouvez la dérivée de la fonction.
2) Trouver les points critiques, c'est-à-dire points auxquels la fonction est continue et la dérivée est nulle ou n'existe pas.
3) Considérez le voisinage de chaque point et examinez le signe de la dérivée à gauche et à droite de ce point.
4) Déterminez les coordonnées des points extrêmes ; pour cela, substituez les valeurs des points critiques dans cette fonction. En utilisant des conditions suffisantes pour l'extremum, tirez les conclusions appropriées.

Exemple 18. Examinez la fonction y=x 3 -9x 2 +24x pour un extremum

Solution.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) En assimilant la dérivée à zéro, nous trouvons x 1 =2, x 2 =4. Dans ce cas, la dérivée est définie partout ; Cela signifie qu’à part les deux points constatés, il n’y a pas d’autres points critiques.
3) Le signe de la dérivée y"=3(x-2)(x-4) change en fonction de l'intervalle comme le montre la figure 1. En passant par le point x=2, la dérivée change de signe de plus à moins, et en passant par le point x=4 - du moins au plus.
4) Au point x=2 la fonction a un maximum y max =20, et au point x=4 - un minimum y min =16.

Théorème 3. (2ème condition suffisante pour l'existence d'un extremum).

Soit f"(x 0) et au point x 0 il existe f""(x 0). Alors si f""(x 0)>0, alors x 0 est le point minimum, et si f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Sur un segment, la fonction y=f(x) peut atteindre la valeur la plus petite (y la plus petite) ou la plus grande (y la plus élevée) soit aux points critiques de la fonction situés dans l'intervalle (a;b), soit à les extrémités du segment.

Algorithme pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction continue y=f(x) sur le segment :

1) Trouvez f"(x).
2) Trouvez les points auxquels f"(x)=0 ou f"(x) n'existe pas et sélectionnez parmi eux ceux qui se trouvent à l'intérieur du segment.
3) Calculer la valeur de la fonction y=f(x) aux points obtenus à l'étape 2), ainsi qu'aux extrémités du segment et sélectionner parmi eux le plus grand et le plus petit : ce sont respectivement les plus grands (y la plus grande) et la plus petite (y la plus petite) valeurs de la fonction sur l'intervalle.

Exemple 19. Trouvez la plus grande valeur de la fonction continue y=x 3 -3x 2 -45+225 sur le segment.

1) On a y"=3x 2 -6x-45 sur le segment
2) La dérivée y" existe pour tout x. Trouvons les points auxquels y"=0 ; on obtient :
3x2 -6x-45=0
x2 -2x-15=0
x1 =-3 ; x2 =5
3) Calculer la valeur de la fonction aux points x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Le segment contient uniquement le point x=5. La plus grande des valeurs trouvées de la fonction est 225 et la plus petite est le nombre 50. Donc, y max = 225, y min = 50.

Etude d'une fonction sur la convexité

La figure montre des graphiques de deux fonctions. Le premier d’entre eux est convexe vers le haut, le second est convexe vers le bas.

La fonction y=f(x) est continue sur le segment et dérivable dans l'intervalle (a;b), est dite convexe vers le haut (vers le bas) sur ce segment si, pour axb, son graphe ne se situe pas plus haut (pas plus bas) que le tangente tracée en tout point M 0 (x 0 ;f(x 0)), où axb.

Théorème 4. Soit la fonction y=f(x) avoir une dérivée seconde en tout point intérieur x du segment et être continue aux extrémités de ce segment. Alors si l'inégalité f""(x)0 est vraie sur l'intervalle (a;b), alors la fonction est convexe vers le bas sur l'intervalle ; si l'inégalité f""(x)0 est vraie sur l'intervalle (a;b), alors la fonction est convexe vers le haut sur .

Théorème 5. Si la fonction y=f(x) a une dérivée seconde sur l'intervalle (a;b) et si elle change de signe en passant par le point x 0, alors M(x 0 ;f(x 0)) est un point d'inflexion.

Règle pour trouver les points d'inflexion :

1) Trouvez les points auxquels f""(x) n'existe pas ou disparaît.
2) Examinez le signe f""(x) à gauche et à droite de chaque point trouvé lors de la première étape.
3) Sur la base du théorème 4, tirez une conclusion.

Exemple 20. Trouver les points extremum et les points d'inflexion du graphique de la fonction y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Nous avons f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Évidemment, f"(x)=0 quand x 1 =0, x 2 =1. En passant par le point x=0, la dérivée change de signe de moins à plus, mais en passant par le point x=1 elle ne change pas de signe. Cela signifie que x=0 est le point minimum (y min =12) et qu'il n'y a pas d'extremum au point x=1. Ensuite, nous trouvons . La dérivée seconde disparaît aux points x 1 =1, x 2 =1/3. Les signes de la dérivée seconde changent comme suit : Sur le rayon (-∞;) on a f""(x)>0, sur l'intervalle (;1) on a f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Par conséquent, x= est le point d'inflexion du graphe de fonction (transition de la convexité vers le haut à la convexité vers le haut) et x=1 est également le point d'inflexion (transition de la convexité vers le haut vers la convexité vers le bas). Si x=, alors y= ; si, alors x=1, y=13.

Algorithme pour trouver l'asymptote d'un graphique

I. Si y=f(x) comme x → a, alors x=a est une asymptote verticale.
II. Si y=f(x) comme x → ∞ ou x → -∞, alors y=A est une asymptote horizontale.
III. Pour trouver l’asymptote oblique, nous utilisons l’algorithme suivant :
1) Calculez. Si la limite existe et est égale à b, alors y=b est une asymptote horizontale ; si , alors passez à la deuxième étape.
2) Calculez. Si cette limite n’existe pas, alors il n’y a pas d’asymptote ; s'il existe et est égal à k, alors passez à la troisième étape.
3) Calculez. Si cette limite n’existe pas, alors il n’y a pas d’asymptote ; s'il existe et est égal à b, alors passez à la quatrième étape.
4) Écrivez l’équation de l’asymptote oblique y=kx+b.

Exemple 21 : Trouver l'asymptote d'une fonction

1)
2)
3)
4) L'équation de l'asymptote oblique a la forme

Schéma d'étude d'une fonction et de construction de son graphe

I. Trouver le domaine de définition de la fonction.
II. Trouver les points d'intersection du graphique de la fonction avec les axes de coordonnées.
III. Trouvez des asymptotes.
IV. Trouvez les points extrêmes possibles.
V. Trouver les points critiques.
VI. À l’aide du chiffre auxiliaire, explorez le signe des dérivées première et seconde. Déterminez les zones d'augmentation et de diminution de la fonction, trouvez la direction de convexité du graphique, les points d'extrema et les points d'inflexion.
VII. Construisez un graphique en tenant compte des recherches effectuées aux paragraphes 1 à 6.

Exemple 22 : Construire un graphique de la fonction selon le schéma ci-dessus

Solution.
I. Le domaine d'une fonction est l'ensemble de tous les nombres réels sauf x=1.
II. Puisque l'équation x 2 +1=0 n'a pas de racines réelles, le graphique de la fonction n'a pas de points d'intersection avec l'axe Ox, mais coupe l'axe Oy au point (0;-1).
III. Clarifions la question de l'existence des asymptotes. Etudions le comportement de la fonction près du point de discontinuité x=1. Puisque y → ∞ comme x → -∞, y → +∞ comme x → 1+, alors la droite x=1 est l'asymptote verticale du graphique de la fonction.
Si x → +∞(x → -∞), alors y → +∞(y → -∞) ; le graphique n’a donc pas d’asymptote horizontale. De plus, de l'existence de limites

En résolvant l'équation x 2 -2x-1=0, nous obtenons deux points extremum possibles :
x 1 =1-√2 et x 2 =1+√2

V. Pour trouver les points critiques, on calcule la dérivée seconde :

Puisque f""(x) ne disparaît pas, il n’y a pas de points critiques.
VI. Examinons le signe des dérivées première et seconde. Points extremum possibles à considérer : x 1 =1-√2 et x 2 =1+√2, diviser le domaine d'existence de la fonction en intervalles (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) et (1+√2;+∞).

Dans chacun de ces intervalles, la dérivée conserve son signe : dans le premier - plus, dans le deuxième - moins, dans le troisième - plus. La séquence de signes de la dérivée première s'écrira ainsi : +,-,+.
Nous constatons que la fonction augmente à (-∞;1-√2), diminue à (1-√2;1+√2) et augmente à nouveau à (1+√2;+∞). Points extrêmes : maximum à x=1-√2, et f(1-√2)=2-2√2 minimum à x=1+√2, et f(1+√2)=2+2√2. À (-∞;1) le graphique est convexe vers le haut et à (1;+∞) il est convexe vers le bas.
VII Faisons un tableau des valeurs obtenues

VIII Sur la base des données obtenues, nous construisons un croquis du graphique de la fonction

Pour étudier pleinement la fonction et tracer son graphique, il est recommandé d'utiliser le schéma suivant :

1) trouver le domaine de définition de la fonction ;

2) trouver les points de discontinuité de la fonction et les asymptotes verticales (si elles existent) ;

3) étudier le comportement de la fonction à l'infini, trouver des asymptotes horizontales et obliques ;

4) examiner la fonction pour la parité (bizarre) et la périodicité (pour les fonctions trigonométriques) ;

5) trouver les extrema et les intervalles de monotonie de la fonction ;

6) déterminer les intervalles de convexité et les points d'inflexion ;

7) trouver les points d'intersection avec les axes de coordonnées et, si possible, quelques points supplémentaires qui clarifient le graphique.

L'étude de la fonction s'effectue simultanément à la construction de son graphe.

Exemple 9 Explorez la fonction et créez un graphique.

1. Portée de la définition : ;

2. La fonction souffre de discontinuité en certains points
,
;

Nous examinons la fonction de présence d'asymptotes verticales.

;
,
─ asymptote verticale.

;
,
─ asymptote verticale.

3. Nous examinons la fonction de présence d'asymptotes obliques et horizontales.

Droit
─ asymptote oblique, si
,
.

,
.

Droit
─ asymptote horizontale.

4. La fonction est même parce que
.

La parité de la fonction indique la symétrie du graphique par rapport à l'axe des ordonnées.

5. Trouvez les intervalles de monotonie et les extrema de la fonction.
;
Trouvons les points critiques, c'est-à-dire points auxquels la dérivée est 0 ou n'existe pas :
;

. Nous avons trois points . Ces points divisent tout l'axe réel en quatre intervalles. Définissons les signes

sur chacun d'eux.
Sur les intervalles (-∞; -1) et (-1; 0) la fonction augmente, sur les intervalles (0; 1) et (1; +∞) ─ elle diminue. En passant par un point
.

la dérivée change de signe de plus à moins, donc à ce stade la fonction a un maximum

6. Trouvez les intervalles de convexité et les points d'inflexion. Trouvons les points auxquels

est 0 ou n'existe pas.
,
,

n'a pas de véritables racines.
Points
Et divisez l'axe réel en trois intervalles. Définissons le signe

à chaque intervalle.
Ainsi, la courbe sur les intervalles
Et
Points
convexe vers le bas, sur l'intervalle (-1;1) convexe vers le haut ; il n'y a pas de points d'inflexion, puisque la fonction est en des points

pas défini.

7. Trouvez les points d'intersection avec les axes.
Avec essieu
le graphique de la fonction coupe au point (0; -1), et avec l'axe

le graphique ne se coupe pas, car le numérateur de cette fonction n'a pas de véritables racines.

Le graphique de la fonction donnée est présenté à la figure 1.

Figure 1 ─ Graphique de fonction

Application du concept de dérivée en économie. Fonction d'élasticité

Pour étudier les processus économiques et résoudre d'autres problèmes appliqués, le concept d'élasticité d'une fonction est souvent utilisé. Définition.
Fonction d'élasticité est appelée la limite du rapport de l'incrément relatif de la fonction à l'incrément relatif de la variable
à

, . (VII)
L'élasticité d'une fonction montre approximativement de combien de pour cent la fonction va changer quand la variable indépendante change

de 1%.
La fonction d'élasticité est utilisée dans l'analyse de la demande et de la consommation. Si l'élasticité de la demande (en valeur absolue)
, alors la demande est considérée comme élastique si
─ neutre si

─ inélastique par rapport au prix (ou au revenu). Exemple 10
Calculer l'élasticité de la fonction = 3.

et trouver la valeur de l'indice d'élasticité pour

Solution : d'après la formule (VII), l'élasticité de la fonction est :
Soit x=3, alors

.Cela signifie que si la variable indépendante augmente de 1 %, alors la valeur de la variable dépendante augmentera de 1,42 %. Exemple 11 Laisser la demande fonctionner concernant le prix
on dirait , Où

─ coefficient constant. Trouvez la valeur de l'indicateur d'élasticité de la fonction de demande au prix x = 3 den. unités

Solution : calculer l'élasticité de la fonction de demande à l'aide de la formule (VII)
Croire
unités monétaires, on obtient
unités monétaires une augmentation du prix de 1 % entraînera une diminution de la demande de 6 %, soit la demande est élastique.