Les étudiants demandent toujours : « Pourquoi ne puis-je pas utiliser une calculatrice lors de l’examen de mathématiques ? Comment extraire la racine carrée d’un nombre sans calculatrice ? Essayons de répondre à cette question.
Comment extraire la racine carrée d’un nombre sans l’aide d’une calculatrice ?
Action racine carrée inverse à l’action de la quadrature.
√81= 9 9 2 =81
Si vous prenez la racine carrée d’un nombre positif et mettez le résultat au carré, vous obtenez le même nombre.
De petits nombres qui sont des carrés parfaits nombres naturels, par exemple 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 racines carrées peuvent être extraites par voie orale. Habituellement, à l'école, ils enseignent un tableau de carrés de nombres naturels jusqu'à vingt. Connaissant ce tableau, il est facile d'extraire les racines carrées des nombres 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. A partir des nombres supérieurs à 400 vous pouvez les extraire en utilisant la méthode de sélection en utilisant quelques astuces. Essayons de regarder cette méthode avec un exemple.
Exemple: Extraire la racine du nombre 676.
On remarque que 20 2 = 400, et 30 2 = 900, ce qui signifie 20< √676 < 900.
Les carrés exacts des nombres naturels se terminent par 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9.
Le nombre 6 est donné par 4 2 et 6 2.
Cela signifie que si la racine provient de 676, alors elle est soit 24, soit 26.
Reste à vérifier : 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Répondre: √676 = 26 .
Plus exemple: √6889 .
Puisque 80 2 = 6400 et 90 2 = 8100, alors 80< √6889 < 90.
Le nombre 9 est donné par 3 2 et 7 2, alors √6889 est égal à 83 ou 87.
Vérifions : 83 2 = 6889.
Répondre: √6889 = 83 .
Si vous avez du mal à résoudre en utilisant la méthode de sélection, vous pouvez factoriser l'expression radicale.
Par exemple, trouver √893025.
Prenons en compte le nombre 893025, rappelez-vous, vous avez fait cela en sixième année.
On obtient : √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Plus exemple : √20736. Factorisons le nombre 20736 :
Nous obtenons √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Bien entendu, la factorisation nécessite une connaissance des signes de divisibilité et des compétences en factorisation.
Et enfin, il y a règle pour extraire les racines carrées. Faisons connaissance avec cette règle avec des exemples.
Calculer √279841.
Pour extraire la racine d'un entier à plusieurs chiffres, on le divise de droite à gauche en faces contenant 2 chiffres (le bord le plus à gauche peut contenir un chiffre). On l’écrit ainsi : 27’98’41
Pour obtenir le premier chiffre de la racine (5), on prend la racine carrée du plus grand carré parfait contenu dans la première face de gauche (27).
Ensuite, le carré du premier chiffre de la racine (25) est soustrait de la première face et la face suivante (98) est ajoutée à la différence (soustraite).
A gauche du nombre obtenu 298, écrivez le double chiffre de la racine (10), divisez par celui-ci le nombre de toutes les dizaines du nombre obtenu précédemment (29/2 ≈ 2), testez le quotient (102 ∙ 2 = 204 ne doit pas dépasser 298) et écrivez (2) après le premier chiffre de la racine.
Ensuite, le quotient résultant 204 est soustrait de 298 et l'arête suivante (41) est ajoutée à la différence (94).
A gauche du nombre obtenu 9441, écrivez le double produit des chiffres de la racine (52 ∙2 = 104), divisez le nombre de toutes les dizaines du nombre 9441 (944/104 ≈ 9) par ce produit, testez le Le quotient (1049 ∙9 = 9441) doit être 9441 et notez-le (9) après le deuxième chiffre de la racine.
Nous avons reçu la réponse √279841 = 529.
Extraire de la même manière racines de fractions décimales. Seulement nombre radical il faut le casser sur les bords pour que la virgule soit entre les bords.
Exemple. Trouvez la valeur √0,00956484.
Il faut juste se rappeler que si décimal a nombre impair décimales, la racine carrée ne peut pas en être extraite exactement.
Alors maintenant, vous avez vu trois façons d’extraire la racine. Choisissez celui qui vous convient le mieux et entraînez-vous. Pour apprendre à résoudre des problèmes, il faut les résoudre. Et si vous avez des questions, inscrivez-vous à mes cours.
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Carré terrain carré le terrain fait 81 dm². Trouvez son côté. Supposons que la longueur du côté du carré soit X décimètres. Alors la superficie de la parcelle est X² décimètres carrés. Puisque, selon la condition, cette superficie est égale à 81 dm², alors X² = 81. La longueur d'un côté d'un carré est un nombre positif. Un nombre positif dont le carré est 81 est le nombre 9. Pour résoudre le problème, il a fallu trouver le nombre x dont le carré est 81, c'est-à-dire résoudre l'équation X² = 81. Cette équation a deux racines : x 1 = 9 et x 2 = - 9, puisque 9² = 81 et (- 9)² = 81. Les nombres 9 et - 9 sont appelés racines carrées de 81.
Notez que l'un des racines carrées X= 9 est nombre positif. On l'appelle racine carrée arithmétique de 81 et on la note √81, donc √81 = 9.
Racine carrée arithmétique d'un nombre UN est un nombre non négatif dont le carré est égal à UN.
Par exemple, les nombres 6 et - 6 sont des racines carrées du nombre 36. Cependant, le nombre 6 est une racine carrée arithmétique de 36, puisque 6 est un nombre non négatif et 6² = 36. Le nombre - 6 n'est pas un nombre non négatif. racine arithmétique.
Racine carrée arithmétique d'un nombre UN noté comme suit : √ UN.
Le signe est appelé signe racine carrée arithmétique ; UN- appelé une expression radicale. Expression √ UN lire comme ceci : racine carrée arithmétique d'un nombre UN. Par exemple, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Dans les cas où il est clair que nous parlons deà propos d'une racine arithmétique, ils disent brièvement : « la racine carrée de UN«.
Le fait de trouver la racine carrée d’un nombre est appelé racine carrée. Cette action est l’inverse de la quadrature.
Vous pouvez mettre au carré n’importe quel nombre, mais vous ne pouvez pas extraire les racines carrées d’un nombre. Par exemple, il est impossible d'extraire la racine carrée du nombre - 4. Si une telle racine existait, alors en la désignant par la lettre X, nous obtiendrions l'égalité incorrecte x² = - 4, puisqu'il y a un nombre non négatif à gauche et un nombre négatif à droite.
Expression √ UN n'a de sens que lorsque une ≥ 0. La définition de la racine carrée peut s’écrire brièvement ainsi : √ une ≥ 0, (√UN)² = UN. Égalité (√ UN)² = UN valable pour une ≥ 0. Ainsi, pour garantir que la racine carrée d'un nombre non négatif UN est égal b, c'est-à-dire dans le fait que √ UN =b, vous devez vérifier que les deux conditions suivantes sont remplies : b ≥ 0, b² = UN.
Racine carrée d'une fraction
Calculons. Notez que √25 = 5, √36 = 6, et vérifions si l'égalité est vraie.
Parce que 
et , alors l’égalité est vraie. Donc, 
.
Théorème: Si UN≥ 0 et b> 0, c'est-à-dire la racine de la fraction égal à la racine du numérateur divisé par la racine du dénominateur. Il est nécessaire de prouver que : et 
.
Depuis √ UN≥0 et √ b> 0, alors .
Sur la propriété d'élever une fraction à une puissance et la définition d'une racine carrée 
le théorème est prouvé. Regardons quelques exemples.
Calculer en utilisant le théorème prouvé 
.
Deuxième exemple : prouver que 
, Si UN ≤ 0, b < 0. 
.
Autre exemple : Calculez .
.
Conversion de racine carrée
Suppression du multiplicateur sous le signe racine. Laissons l'expression être donnée. Si UN≥ 0 et b≥ 0, alors en utilisant le théorème racine du produit on peut écrire :
Cette transformation est appelée suppression du facteur du signe racine. Regardons un exemple ;
Calculer à X= 2. Substitution directe X= 2 dans l'expression radicale conduit à calculs complexes. Ces calculs peuvent être simplifiés si vous supprimez d'abord les facteurs sous le signe racine : . En remplaçant maintenant x = 2, nous obtenons :.
Ainsi, lorsque vous supprimez un facteur sous le signe racine, représentez l'expression radicale sous la forme d'un produit dans lequel un ou plusieurs facteurs sont des carrés. nombres non négatifs. Appliquez ensuite le théorème de la racine du produit et prenez la racine de chaque facteur. Prenons un exemple : simplifions l'expression A = √8 + √18 - 4√2 en retirant les facteurs des deux premiers termes sous le signe racine, nous obtenons :. Soulignons que l'égalité 
valable uniquement pour UN≥ 0 et b≥ 0. si UN < 0, то .
L'élévation d'un nombre à une puissance est une forme abrégée d'écriture de l'opération de multiplication multiple, dans laquelle tous les facteurs sont égaux au nombre d'origine. Et extraire la racine signifie opération inverse- détermination du multiplicateur qui doit intervenir dans l'opération de multiplication multiple pour que le résultat soit un nombre radical. L'exposant et l'exposant racine indiquent la même chose : combien de facteurs il devrait y avoir dans une telle opération de multiplication.
Vous aurez besoin
- Accès Internet.
Instructions
- Si vous devez appliquer à la fois l'opération d'extraction de la racine et son élévation à la puissance d'un nombre ou d'une expression, réduisez les deux opérations en une seule - élever à une puissance avec un exposant fractionnaire. Le numérateur de la fraction doit contenir un exposant et le dénominateur doit contenir une racine. Par exemple, si vous devez mettre au carré un cube racine, alors ces deux opérations seront équivalentes à une élévation d'un nombre à la puissance ⅔.
- Si les conditions nécessitent une mise au carré racine avec un exposant égal à deux, il ne s'agit pas d'une tâche de calcul, mais d'un test de vos connaissances. Utilisez la méthode de la première étape et vous obtiendrez la fraction 2/2, c'est-à-dire 1. Cela signifie que le résultat de la mise au carré de la racine carrée d’un nombre quelconque sera ce nombre lui-même.
- Carré si nécessaire racine avec un exposant pair, il y a toujours la possibilité de simplifier l'opération. Depuis deux (numérateur) indicateur fractionnaire degrés) et tout nombre pair (dénominateur) est diviseur commun, puis après avoir simplifié la fraction, on restera au numérateur, ce qui veut dire qu'il n'est pas nécessaire d'élever à la puissance dans les calculs, il suffit d'extraire racine avec la moitié de l'exposant. Par exemple, la mise au carré de la sixième racine de huit peut être réduite à extraire racine cubique, parce que 2/6=1/3.
- Pour calculer le résultat pour n'importe quel exposant de la racine, utilisez, par exemple, la calculatrice intégrée à moteur de recherche Google. C'est peut-être le plus moyen facile calculs si vous avez accès à Internet depuis votre ordinateur. Un substitut généralement accepté au signe de l'opération d'exponentiation est ce « couvercle » : ^. Utilisez-le lorsque vous saisissez une requête de recherche dans Google. Par exemple, si vous voulez mettre au carré racine cinquième puissance à partir du nombre 750, formulez la requête comme suit : 750^(2/5). Après l'avoir saisi, le moteur de recherche, même sans appuyer sur le bouton d'envoi au serveur, affichera le résultat du calcul précis à sept décimales : 750^(2 / 5) = 14,1261725.
Formules de racines. Propriétés des racines carrées.
Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)
Dans la leçon précédente, nous avons découvert ce qu’est une racine carrée. Il est temps de découvrir lesquels existent formules pour les racines que sont propriétés des racines, et que peut-on faire avec tout cela.
Formules de racines, propriétés des racines et règles de travail avec les racines- c'est essentiellement la même chose. Il existe étonnamment peu de formules pour les racines carrées. Ce qui me fait certainement plaisir ! Ou plutôt, vous pouvez écrire de nombreuses formules différentes, mais pour un travail pratique et confiant avec les racines, trois seulement suffisent. Tout le reste découle de ces trois-là. Bien que beaucoup de gens soient confus dans les trois formules de racines, oui...
Commençons par le plus simple. C'est ici:
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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)
Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.
