Comment résoudre des équations cubiques. Formules de Cardano et Vieta pour résoudre l'équation cubique

Objectifs de la leçon.

1. Approfondir les connaissances des étudiants sur le thème « Résolution d’équations d’ordre supérieur » et résumer le matériel pédagogique.
2. Présenter aux élèves les techniques de résolution d’équations d’ordre supérieur.
3. Apprenez aux étudiants à appliquer la théorie de la divisibilité lors de la résolution d'équations de degrés supérieurs.
4. Apprenez aux élèves à diviser un polynôme par un polynôme à l'aide d'un coin.
5. Développer des compétences et des capacités pour travailler avec des équations de degrés supérieurs.

Du développement:

1. Développer l’attention des élèves.
2. Développer la capacité à obtenir des résultats de travail.
3. Développer un intérêt pour l’étude de l’algèbre et des compétences de travail indépendant.

Éduquer :

1. Favoriser un sentiment de collectivisme.
2. Formation d'un sentiment de responsabilité pour le résultat du travail.
3. Formation chez les étudiants estime de soi adéquate lors du choix d'une note pour le travail en classe.

Équipement : ordinateur, projecteur.

Progression de la leçon

Étape 1 des travaux. Moment organisationnel.

Étape 2 des travaux. Motivation et résolution de problèmes

Équation un de les notions les plus importantes mathématiques. Le développement de méthodes de résolution d'équations, depuis la naissance des mathématiques en tant que science, pendant longtempsétait le sujet principal de l’algèbre.

DANS cours scolaire Dans l’étude des mathématiques, une grande attention est accordée à la résolution de divers types d’équations. Jusqu’en neuvième année, nous ne pouvions résoudre que des équations linéaires et quadratiques. Équations du troisième, du quatrième, etc. les degrés sont appelés équations de degrés supérieurs. En neuvième année, nous avons été initiés à deux techniques de base pour résoudre certaines équations du troisième et du quatrième degrés : la factorisation d'un polynôme et l'utilisation d'un changement de variable.

Est-il possible de résoudre des équations de degrés supérieurs ? Nous allons essayer de trouver une réponse à cette question aujourd'hui.

Étape 3 des travaux. Révisez le matériel appris précédemment. Introduire le concept d’équation de degrés supérieurs.

1) Résoudre une équation linéaire.

Une équation de la forme est dite linéaire, où par définition. Cette équation a une seule racine.

2) Résoudre une équation quadratique.

Une équation de la forme est dite quadratique , Où . Le nombre de racines et les racines elles-mêmes sont déterminées par le discriminant de l'équation. Car l’équation n’a pas de racines, car elle a une racine (deux racines identiques)

À partir des équations linéaires et quadratiques considérées, nous voyons que le nombre de racines de l'équation n'est pas supérieur à son degré. Dans un cours d'algèbre supérieur, il est prouvé qu'une équation de degré 1 n'a pas plus de n racines. Quant aux racines elles-mêmes, la situation est bien plus compliquée. Pour les équations des troisième et quatrième degrés, des formules permettant de trouver les racines sont connues. Cependant, ces formules sont très complexes et lourdes et application pratique je n'ai pas. Pour les équations du cinquième degré et des degrés supérieurs, les formules générales n'existent pas et ne peuvent pas exister (comme l'ont prouvé au XIXe siècle N. Abel et E. Galois).

Nous appellerons les équations troisième, quatrième, etc. degrés par des équations de degrés supérieurs. Quelques équations diplômes élevés peut être résolu en utilisant deux techniques principales : en factorisant le polynôme ou en utilisant un changement de variable.

3) Solution de l'équation cubique.

Résolvons l'équation cubique

Regroupons les termes du polynôme du côté gauche de l'équation et factorisons-les. On obtient :

Le produit des facteurs est égal à zéro si l'un des facteurs égal à zéro. Nous obtenons trois équations linéaires :

Ainsi, cette équation cubique a trois racines : ; ;.

4) Résoudre l'équation biquadratique.

Les équations biquadratiques sont très courantes et ont la forme (c'est-à-dire des équations quadratiques par rapport à ). Pour les résoudre, une nouvelle variable est introduite.

Décidons bi équation quadratique.

Introduisons une nouvelle variable et obtenons une équation quadratique dont les racines sont les nombres et 4.

Revenons à l'ancienne variable et obtenons deux équations quadratiques simples :

Ainsi, cette équation biquadratique a quatre racines :

; ;.

Essayons de résoudre l'équation en utilisant les techniques décrites ci-dessus.

ÉCHEC !!!

Étape 4 des travaux. Donnez quelques énoncés sur les racines d'un polynôme de la forme , où nième polynôme degrés

Voici quelques affirmations sur les racines d’un polynôme de la forme :

1) Un polynôme du ième degré n'a que des racines (compte tenu de leurs multiplicités). Par exemple, un polynôme du troisième degré ne peut pas avoir quatre racines.

2) Polynôme degré étrange a au moins une racine. Par exemple, les polynômes du premier, du troisième, du cinquième, etc. les degrés ont au moins une racine. Les polynômes de degré pair peuvent ne pas avoir de racines.

3) Si aux extrémités du segment les valeurs du polynôme ont des signes différents (c'est-à-dire ), alors l'intervalle contient au moins une racine. Cette affirmation est largement utilisée pour calculer approximativement les racines d’un polynôme.

4) Si un nombre est la racine d'un polynôme de la forme, alors ce polynôme peut être représenté comme un produit, où un polynôme du (ème degré. En d'autres termes, un polynôme de la forme peut être divisé sans reste par un binôme. Cela permet de réduire l'équation du ème degré à une équation du (ème degré (abaisser le degré de l'équation).

5) Si une équation avec tous les coefficients entiers (et le terme libre) a racine entière, alors cette racine est un diviseur membre gratuit. Cette instruction vous permet de sélectionner la racine entière du polynôme (s'il y en a une).

Étape 5 des travaux. Montrez comment la théorie de la divisibilité est utilisée pour résoudre des équations de degrés supérieurs. Considérons des exemples de résolution d'équations de degrés supérieurs, dans lesquels la méthode du « coin » consistant à diviser un polynôme par un polynôme est utilisée pour factoriser le côté gauche.

Exemple 1. Résoudre l'équation .

Ainsi, nous avons effectivement factorisé le côté gauche de l’équation :

Le produit des facteurs est nul si l’un des facteurs est nul. Nous obtenons deux équations.

Explique comment résoudre des équations cubiques. Le cas est considéré lorsqu'une racine est connue. Méthodes pour trouver des entiers et racines rationnelles. Application des formules de Cardano et Vieta pour résoudre n'importe quelle équation cubique.

Nous considérons ici la résolution d'équations cubiques de la forme
(1) .
Ensuite, nous supposons qu’il s’agit de nombres réels.

(2) ,
puis en le divisant par , on obtient une équation de la forme (1) à coefficients
.

L'équation (1) a trois racines : , et .

L'une des racines est toujours réelle. Nous désignons la vraie racine par .

Les racines peuvent être réelles ou complexes conjuguées. Les vraies racines peuvent être multiples. Par exemple, si , alors et sont des racines doubles (ou des racines multiples de 2), et est une racine simple.

Si une racine est connue Connaissons une racine de l’équation cubique (1). Désignons la racine connue par . En divisant ensuite l’équation (1) par , nous obtenons une équation quadratique. En résolvant l'équation quadratique, nous trouvons deux autres racines et .
.
Pour le prouver, nous utiliserons le fait que

polynôme cubique
"Division et multiplication d'un polynôme par un polynôme avec un coin et une colonne."
La résolution d'équations quadratiques est discutée sur la page
"Racines d'une équation quadratique."

Si une des racines est entière

Si l'équation d'origine est :
(2) ,
et ses coefficients , , , sont des entiers, alors vous pouvez essayer de trouver la racine entière. Si cette équation a une racine entière, alors c'est un diviseur du coefficient.

La méthode pour trouver des racines entières consiste à trouver tous les diviseurs du nombre et à vérifier si l'équation (2) est satisfaite pour eux. Si l’équation (2) est satisfaite, alors nous avons trouvé sa racine. Notons-le comme .
Ensuite, nous divisons l'équation (2) par .

Nous obtenons une équation quadratique. En le résolvant, nous trouvons deux autres racines.

Des exemples de définition de racines entières sont donnés sur la page

Exemples de factorisation de polynômes > > > .
;
(3) .
Trouver des racines rationnelles

Si dans l'équation (2) , , , sont des nombres entiers et qu'il n'y a pas de racines entières, alors vous pouvez essayer de trouver des racines rationnelles, c'est-à-dire des racines de la forme , où et sont des nombres entiers. Pour ce faire, multipliez l'équation (2) par et effectuez la substitution : Ensuite, nous recherchons les racines entières de l’équation (3) parmi les diviseurs du terme libre.
.

Si nous avons trouvé la racine entière de l'équation (3), alors, en revenant à la variable, nous obtenons

racine rationnelle

équations (2):
(1) .
Formules de Cardano et Vieta pour résoudre l'équation cubique
.
Si nous ne connaissons pas une seule racine et qu’il n’y a pas de racines entières, nous pouvons alors trouver les racines de l’équation cubique à l’aide des formules de Cardano.
(4) ,
Considérons l'équation cubique :
(5) ; .

Faisons une substitution :
Après cela, l'équation est réduite à une forme incomplète ou réduite :
Où

Littérature utilisée :

DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

G. Korn, Manuel de mathématiques pour les scientifiques et les ingénieurs, 2012.

Simonian Albina

L'ouvrage traite des techniques et des méthodes de résolution d'équations cubiques. Application de la formule de Cardano pour résoudre des problèmes de préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques.

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Aperçu :

Établissement éducatif municipal pour l'enfance et la jeunesse Palais de la créativité des enfants et des jeunes

Don Académie des Sciences pour Jeunes Chercheurs

Section : Mathématiques - Algèbre et théorie des nombres Travaux de recherche

"Regardons le monde des formules"

sur le sujet

1. "Résoudre des équations du 3ème degré"
2. Responsable : professeur de mathématiques Babina Natalya Alekseevna
3. G.Salsk 2010
4. Introduction……………………………………………………………………………….3
5. Partie principale……………………………………………………………………………….4
6. Partie pratique……………………………………………………………10-13

Conclusion………………………………………………………………………………….14

Littérature………………………………………………………………………………………..15 écoles secondaires, est composant essentiel enseignement général et culture générale homme moderne. Presque tout ce qui entoure une personne est lié d’une manière ou d’une autre aux mathématiques. UN dernières réalisations en physique, technologie, informatique il ne fait aucun doute qu’à l’avenir, la situation restera la même. Par conséquent, la décision de nombreux problèmes pratiques se résume à une décision différents types des équations que vous devez apprendre à résoudre. Équations linéaires premier degré, on nous a appris à résoudre en première année, et intérêt particulier Nous ne leur avons montré aucune inquiétude. Plus intéressant équations non linéaires– équations diplômes supérieurs. Les mathématiques révèlent l'ordre, la symétrie et la certitude, et c'est espèce supérieure beau.

Le but de mon projet « Regard sur le monde des formules » sur le thème « Résolution d'équations cubiques du troisième degré » est de systématiser les connaissances sur la façon de résoudre des équations cubiques, d'établir le fait de l'existence d'une formule pour trouver les racines d'une équation du troisième degré, ainsi que la relation entre les racines et les coefficients dans une équation cubique. En classe, nous avons résolu des équations, à la fois cubiques et de puissances supérieures à 3. Résoudre des équations différentes méthodes, nous avons ajouté, soustrait, multiplié, divisé des coefficients, les avons élevés à des puissances et en avons extrait des racines, bref, nous avons effectué opérations algébriques. Il existe une formule pour résoudre des équations quadratiques. Existe-t-il une formule pour résoudre une équation du troisième degré, c'est-à-dire des instructions dans quel ordre et quel type d'opérations algébriques doivent être effectuées avec les coefficients afin d'obtenir les racines. J'étais curieux de savoir s'ils avaient essayé mathématiciens célèbres trouver formule générale, adapté à la résolution d'équations cubiques ? Et s’ils essayaient, seraient-ils capables d’obtenir une expression des racines grâce aux coefficients de l’équation ?

2. Partie principale :

À cette époque lointaine, lorsque les sages ont commencé à penser aux égalités contenant des quantités inconnues, il n’existait probablement ni pièces ni portefeuilles. Chez les anciens problèmes mathématiques Mésopotamie, Inde, Chine, Grèce, des grandeurs inconnues exprimaient le nombre de paons dans le jardin, le nombre de taureaux dans le troupeau, l'ensemble des choses prises en compte lors du partage des biens. Les sources qui nous sont parvenues indiquent que les anciens scientifiques possédaient certains techniques générales résoudre des problèmes avec des quantités inconnues. Pourtant, pas un seul papyrus, pas un seul tablette d'argile aucune description de ces techniques n'est donnée. Une exception est « Arithmétique » du mathématicien grec Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle) - un ensemble de problèmes de composition d'équations avec une présentation systématique de leurs solutions. Cependant, le premier manuel de résolution de problèmes largement connu fut l'œuvre du scientifique de Bagdad du IXe siècle. Muhammad Ben Musa al-Khwarizmi.

C'est ainsi que m'est venue l'idée de créer le projet "Regardons le monde des formules...", questions fondamentales de ce projet acier:

1. déterminer s'il existe une formule pour résoudre des équations cubiques ;
2. en cas de réponse positive, recherchez une formule exprimant les racines de l'équation cubique par numéro final opérations algébriques sur ses coefficients.

Puisque dans les manuels scolaires et dans d'autres livres de mathématiques, la plupart des raisonnements et des preuves ne sont pas basés sur exemples spécifiques, mais en général, j'ai décidé de chercher des exemples spécifiques qui confirment ou infirment mon idée. À la recherche d'une formule pour résoudre des équations cubiques, j'ai décidé de suivre des algorithmes familiers pour résoudre des équations quadratiques. Par exemple, résoudre l'équation x3 + 2x2 - 5x -6=0 isolé un cube complet en utilisant la formule (x+a) 3 =x 3 + 3x 2 une +3a 2 x+une 3 . Pour isoler le cube complet du côté gauche de l'équation que j'ai prise, j'y ai tourné 2x 2 en 3x 2 un, c'est-à-dire Je cherchais quelque chose pour que l'égalité soit juste 2x 2 = 3x 2 une . Il n'était pas difficile de calculer que a = . Converti côté gaucheéquation donnéecomme suit : x 3 + 2x2 -5x-6=0

(x 3 +3x 2 une+ 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3- 6x - 6 Effectué la substitution y = x +, c'est-à-dire x = y - y 3 - 6(oui -) - 6=0 ; 3 - 6 ans + 4- 6=0 ;Équation originale 3 - a pris la forme : 6у - 2=0 ; Le résultat n'est pas une très belle équation, car au lieu de coefficients entiers j'ai maintenant des coefficients fractionnaires, bien que le terme dans l'équation contenant le carré de l'inconnue ait disparu ! Suis-je plus proche de mon objectif ? Après tout, le terme contenant le premier degré de l'inconnu demeure. Peut-être a-t-il fallu sélectionner le cube complet pour que le terme 5x disparaisse ? (x+a) 3 =x 3 +3x 2 une+ 3une 2 x + une 3. J'ai trouvé quelque chose comme ça pour que 3a 2x = -5x ; ceux. pour qu'un 2

= - Mais ici, cela s'est plutôt mal passé - dans cette égalité, il y a un nombre positif à gauche et un nombre négatif à droite. Une telle égalité ne peut pas exister. Je n'ai pas encore réussi à résoudre l'équation ; je n'ai pu que la mettre sous la forme 3 - 6у - 2=0. Donc, le résultat du travail que j'ai fait sur étape initiale: J'ai pu supprimer le terme contenant le deuxième degré de l'équation cubique, c'est-à-dire si donnééquation canonique +сх+d, alors il peut être réduit à une équation cubique incomplète x 3 +px+q=0. De plus, travailler avec différents ouvrages de référence, j'ai pu découvrir que l'équation est de la forme x 3 + px = q Le mathématicien italien Dal Ferro (1465-1526) a réussi à le résoudre. Pourquoi pour ce type et pas pour ce type x 3 + px + q = 0 ? Ce car les nombres négatifs n'avaient pas encore été introduits et les équations n'étaient considérées qu'avec des coefficients positifs. Et les nombres négatifs ont été reconnus un peu plus tard.Informations historiques :Dal Ferro a sélectionné de nombreuses options par analogie avec la formule des racines de l'équation quadratique ci-dessus. Il raisonnait ainsi : la racine de l'équation quadratique est - ± c'est-à-dire a la forme : x=t ±. Cela signifie que la racine d'une équation cubique doit également être la somme ou la différence de certains nombres et, probablement, parmi eux, il doit y avoir des racines du troisième degré. Lesquels exactement ? Parmi les nombreuses options, l'une s'est avérée fructueuse : il a trouvé la réponse sous la forme d'une différence - Il était encore plus difficile de deviner que t et u devaient être choisis pour que =. En remplaçant à x la différence - , et à la place de p le produit reçu : (-) 3 +3 (-)=q. J'ai ouvert les parenthèses : t - 3 +3- u+3- 3=q. Après avoir apporté membres similaires obtenu : t-u=q.

Le résultat est un système d'équations :

t u = () 3 t-u=q. Construisons la droite et la gauchemettez au carré les parties de la première équation, multipliez la deuxième équation par 4 et additionnez la première et la deuxième équation. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Depuis nouveau système t+u=2 ; t -u=q on a : t= + ; u = - . En substituant l'expression à x, nous obtenonsEn travaillant sur le projet, j'ai appris des matériaux intéressants. Il s'avère que Dal Ferro n'a pas publié la méthode qu'il a trouvée, mais certains de ses étudiants étaient au courant de cette découverte, et bientôt l'un d'eux, Antonio Fiore, a décidé d'en profiter.Au cours de ces années-là, les débats publics sur questions scientifiques. Les gagnants de ces conflits recevaient généralement de bonnes récompenses et étaient souvent invités à des postes élevés.

Au même moment, dans la ville italienne de Vérone, vivait un pauvre professeur de mathématiques, Nicolo (1499-1557), surnommé Tartaglia (c'est-à-dire le bègue). Il était très talentueux et a réussi à redécouvrir la technique Dal Ferro (Annexe 1).Un duel a eu lieu entre Fiore et Tartaglia. Selon la condition, les rivaux ont échangé trente problèmes, dont la solution a été donnée dans 50 jours. Mais parce que Fior ne connaissait essentiellement qu'un seul problème et était sûr qu'un enseignant ne pourrait pas le résoudre, alors les 30 problèmes se sont révélés être du même type. Tartaglia les a traités en 2 heures. Fiore n'a pas pu résoudre un seul problème proposé par l'ennemi. La victoire glorifiait Tartaglia dans toute l'Italie, mais le problème n'était pas complètement résolu. .

Gerolamo Cardano a réussi à faire tout cela. La formule même que Dal Ferro a découverte et redécouverte par Tartaglia s'appelle la formule de Cardano (Annexe 2).

Cardano Girolamo (24.9.1501-21.9.1576) - mathématicien, mécanicien et médecin italien. Né à Pavie. Il a étudié aux universités de Pavie et Padoue. Dans sa jeunesse, il a étudié la médecine. En 1534 devient professeur de mathématiques à Milan et Bologne. En mathématiques, le nom Cardano est généralement associé à une formule de résolution d'équation cubique, qu'il a empruntée à N. Tartaglia. Cette formule a été publiée dans le livre de Cardano « Le grand art ou les règles de l'algèbre » (1545). A partir de ce moment, Tartaglia et Cardano devinrent des ennemis mortels. Ce livre présente systématiquement les méthodes modernes de Cardano pour résoudre des équations, principalement cubiques. Cardano terminé transformation linéaire, qui permet de réduire l'équation cubique à une forme affranchie d'un terme du 2ème degré et indique la relation entre les racines et les coefficients de l'équation, et la divisibilité du polynôme par la différence x –a, si a est son racine. Cardano a été l'un des premiers en Europe à admettre l'existence racines négativeséquations. Dans son œuvre, des quantités imaginaires apparaissent pour la première fois. En mécanique, Cardano a étudié la théorie des leviers et des poids. Un des mouvements latéraux d'un segment angle droit les mécaniciens appellent la carte un nouveau mouvement. Ainsi, en utilisant la formule de Cardano, vous pouvez résoudre des équations de la forme x 3 +рх+q=0 (Annexe 3)

Il semble que le problème ait été résolu. Il existe une formule pour résoudre des équations cubiques.

La voilà !

L'expression à la racine est discriminant. ré = () 2 + () 3 J'ai décidé de revenir à mon équation et d'essayer de la résoudre en utilisant la formule de Cardano : Mon équation ressemble à : y 3 - 6у - 2=0, où p= - 6=-; q = - 2 = - . C'est facile de calculer ça () 3 = =- et () 2 = =, () 2 + () 3 = = - = - . Et ensuite ? J'ai facilement extrait la racine du numérateur de cette fraction, il s'est avéré être 15. Que faire du dénominateur ? Non seulement la racine n’est pas extraite complètement, mais il faut aussi l’extraire d’un nombre négatif ! Quel est le problème? On peut supposer que cette équation n’a pas de racines, car pour D Ainsi, en travaillant sur le projet, j'ai rencontré un autre problème.Quel est le problème? J'ai commencé à composer des équations qui ont des racines, mais ne contiennent pas le terme du carré de l'inconnu :

1. composé une équation de racine x = - 4.

x3 +15x+124=0 Et effectivement, en vérifiant j'étais convaincu que -4 est la racine de l'équation. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

J'ai vérifié si cette racine pouvait être obtenue en utilisant la formule de Cardano x=+=+= =1- 5 =- 4

Compris, x = -4.

1. composé la deuxième équation ayant une racine réelle x=1 : x 3 + 3x – 4 =0 et vérifié la formule.

Et dans ce cas précis, la formule a parfaitement fonctionné.

1. trouvé l'équation x 3 +6x+2=0, qui a une racine irrationnelle.

Ayant décidé équation donnée, j'ai eu cette racine x = - Et puis j'ai deviné : la formule fonctionnait si l'équation n'avait qu'une seule racine. Et mon équation, dont la solution m'a conduit dans une impasse, avait trois racines ! C’est ici qu’il faut chercher la raison !Maintenant, j'ai pris une équation qui a trois racines : 1 ; 2 ; -3. x3 – 7x +6=0 p= -7 ; q = 6. Vérifié le discriminant : D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Comme je l'ai supposé, sous le signe de la racine carrée, il s'est avéré à nouveau nombre négatif. J'en suis arrivé à la conclusion :chemin vers trois racines de l'équation x 3 +px+q=0 conduit à l’opération impossible de prendre la racine carrée d’un nombre négatif.

1. Il ne me reste plus qu'à découvrir ce que je rencontrerai dans le cas où l'équation aurait deux racines. J'ai choisi une équation qui a deux racines : x 3 – 12 x + 16 = 0. p = -12, q = 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 =64-64=0 D = 64 – 64 = 0. Nous pourrions maintenant conclure que le nombre de racines d'une équation cubique de la forme x 3 +px+q=0 dépend du signe du discriminant D=() 2 +() 3 comme suit:

Si D>0, alors l’équation a 1 solution.

Si D

Si D=0, alors l'équation a 2 solutions.

J'ai trouvé la confirmation de ma conclusion dans un ouvrage de référence sur les mathématiques, de l'auteur N.I. Bronshtein. Donc ma conclusion: La formule de Cardano peut être utilisée lorsque l'on est sûr que la racine est unique. Pour moi réussi à établir qu'il existe une formule pour trouver les racines d'une équation cubique, mais pour la forme x 3 + px + q = 0.

3. Partie pratique.

Travailler sur le projet «... m'a beaucoup aidé à résoudre certains problèmes avec les paramètres. Par exemple:1. À quel minimum valeur naturelle et l'équation x 3 -3x+4=a a 1 solution ? L'équation a été réécrite comme x3-3x+4-a=0; p= -3 ; q=4-a. Selon la condition, il doit avoir 1 solution, c'est-à-dire D>0 Trouvons D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

UNE (-∞;2) (6; ∞)

La plus petite valeur naturelle de a de cet intervalle est 1.

Répondre. 1

2. À quoi la plus grande valeur naturelle du paramètre a, l'équation x 3 + x2 -8x+2-a=0 a trois racines ?

Équation x 3 + 3x 2 -24x+6-3a=0 se réduit à la forme y 3 +py+q=0, où a=1 ; dans=3 ; c = -24 ; d=6-3a où q= - + et 3 p = q=32-3a; p=-27. Pour ce type d'équation D=() 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 et 1 = ==28, et 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

Un (-7 ; 28)

La plus grande valeur naturelle de a de cet intervalle est 28.

Réponse.28

3. En fonction des valeurs du paramètre a, trouvez le nombre de racines de l'équation x3 – 3x – a=0

Solution. Dans l'équation p = -3 ; q = -une. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

Pour a (-∞;-2) (2;∞) l'équation a 1 solution ;

Quand a (-2;2) l'équation a 3 racines ;

Quand a = -2 ; L'équation 2 a 2 solutions.

Essais :

1. Combien de racines les équations ont-elles :

1) x 3 -12x+8=0 ?

une) 1 ; b) 2 ; c)3 ; d)4

2)x3-9x+14=0

une) 1 ; b) 2 ; c)3 ; d)4

2. A quelles valeurs de p se trouve l'équation x 3 +px+8=0 a deux racines ?

a)3 ; b) 5 ; c) -3 ; d)5

Réponse : 1.d) 4

2.c) 3.

3.c)-3

Le mathématicien français François Viète (1540-1603) a su, 400 ans avant nous (Annexe 4), établir un lien entre les racines d'une équation du second degré et leurs coefficients.

X1 + X2 = -p ;

X 1 ∙x 2 =q.

Je voulais savoir : est-il possible d'établir un lien entre les racines d'une équation du troisième degré et leurs coefficients ? Si oui, quel est ce lien ? C'est ainsi qu'est né mon mini-projet. J'ai décidé d'utiliser mes compétences existantes en équations quadratiques pour résoudre mon problème. J'ai agi par analogie. J'ai pris l'équation x 3 + pixels 2 +qx+r =0. Si l'on note les racines de l'équation x1, x2, x3 , alors l'équation peut s'écrire sous la forme (x-x 1 ) (x-x 2) (x-x 3 )=0 En ouvrant les parenthèses, on obtient : x 3 -(x 1 +x 2 +x 3)x 2 +(x 1 x 2 + x 1 x 3 +x 2 x 3)x - x 1 x 2 x 3 =0. Nous avons le système suivant :

X 1 + x 2 + x 3 = - p ;

X 1 x 2 x 3 = -r.

Ainsi, il est possible d'associer les racines d'équations de degré arbitraire à leurs coefficients.Que peut-on apprendre du théorème de Vieta dans la question qui m’intéresse ?

1. Le produit de toutes les racines de l’équation est égal au module du terme libre. Si les racines de l’équation sont des nombres entiers, alors elles doivent être des diviseurs du terme libre.

Revenons à l'équation x 3 + 2x2 -5x-6=0. Les entiers doivent appartenir à l'ensemble : ±1 ; ±2 ; ±3 ; ±6. En remplaçant systématiquement les nombres dans l'équation, nous obtenons les racines : -3 ; -1 ; 2.

2. Si vous résolvez cette équation par factorisation, le théorème de Vieta donne un « indice » :Il est nécessaire que lors de la compilation des groupes pour la décomposition, des nombres apparaissent - diviseurs du terme libre. Il est clair que vous n’apprendrez peut-être pas tout de suite, car tous les diviseurs ne sont pas des racines de l’équation. Et, hélas, cela peut ne pas fonctionner du tout - après tout, les racines de l'équation peuvent ne pas être des nombres entiers.

Résolvons l'équation x 3 +2x2 -5x-6=0 factorisation. X 3 +2x 2 -5x-6=x 3 +(3x 2 - x 2)-3x-2x-6=x 2 (x+3)– x(x+3) – 2(x+3)=(x+3)(x 2 –x-2)= =(x+3)(x 2 +x -2x -2)=(x+3)(x(x+1)-2(x+1))=(x+2)(x+1)(x-2) L'équation originale est équivalente à : (x+2)(x+1)(x-2)=0. Et cette équation a trois racines : -3 ; -1 ;2. En utilisant « l’indice » du théorème de Vieta, j’ai résolu l’équation suivante : x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. Diviseurs de termes libres : ±1 ;±2 ;±4 ;±8 ;±16. X 3 -12x+16= x 3 -4x-8x+16= (x 3 -4x)-(8x-16)=x(x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

=(x-2)(x(x+2)-8)=(x-2)(x 2 +2x-8) (x-2)(x 2 +2x-8)=0 x-2=0 ou x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4 ; x2 =2. Répondre. -4 ; 2.

3. Connaissant le système d'égalités résultant, vous pouvez trouver les coefficients inconnus de l'équation à partir des racines de l'équation.

Essais :

1. Équation x 3 + px 2 + 19x - 12=0 a les racines 1, 3, 4. Trouvez le coefficient p ; Répondre. une) 12 ; b) 19 ; c) -12 ; d) -8 2. Équation x 3 – 10 x 2 + 41x +r=0 a les racines 2, 3, 5. Trouvez le coefficient r ; Répondre. a) 19 ; b) -10 ; c) 30 ; d) -30.

Tâches pour appliquer les résultats de ce projet dans quantité suffisante peut être trouvé dans le manuel destiné aux candidats aux universités édité par M.I. Skanavi. La connaissance du théorème de Vieta peut être d'une aide inestimable pour résoudre de tels problèmes.

№6.354

4. Conclusion

1. Il existe une formule exprimant les racines d'une équation algébrique à travers les coefficients de l'équation : où D==() 2 + () 3 D>0,1 solution. Formule Cardano.

2. Propriété des racines de l'équation cubique

X 1 + x 2 + x 3 = - p ;

X1. x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = -r.

En conséquence, je suis arrivé à la conclusion qu'il existe une formule qui exprime les racines des équations cubiques à travers ses coefficients, et qu'il existe également un lien entre les racines et les coefficients de l'équation.

5. Littérature :

1. Dictionnaire encyclopédique d'un jeune mathématicien. A.P. Savin. –M. : Pédagogie, 1989.

2.Examen d'État unifié en mathématiques - 2004. Problèmes et solutions. V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova et autres. Maison d'édition Tchouvache. Université, 2004.

3.Équations et inégalités avec paramètres. V.V. Mochalov, V.V. Silvestrov. Équations et inégalités avec paramètres : Manuel. allocation. – Cheboksary : ​​Maison d'édition Chuvash. Université, 2004.

4.Problèmes mathématiques. Algèbre. Manuel de référence. Vavilov V.V., Olehnik S.N.-M. : Nauka, 1987.

5. Solveur de tous les problèmes compétitifs en mathématiques, collection éditée par M.I. Skanavi. Maison d'édition "Encyclopédie ukrainienne" du nom de M.P. Bazhov, 1993.

6.Derrière les pages d'un manuel d'algèbre. L.F.Pichurin.-M. : Éducation, 1990.

Simonian Albina

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Légendes des diapositives :

Jetons un coup d'œil au monde des formules

L'enseignement mathématique reçu dans les écoles secondaires est une composante essentielle de l'enseignement général et de la culture générale de l'homme moderne. Presque tout ce qui entoure une personne est lié d’une manière ou d’une autre aux mathématiques. Et les dernières avancées dans les domaines de la physique, de la technologie et de l’informatique ne laissent aucun doute sur le fait qu’à l’avenir, la situation restera la même. Par conséquent, résoudre de nombreux problèmes pratiques revient à résoudre différents types d'équations que vous devez apprendre à résoudre. On nous a appris à résoudre des équations linéaires du premier degré en première année et nous n'y avons pas montré beaucoup d'intérêt. Les équations non linéaires sont plus intéressantes - les équations de grands degrés. Les mathématiques révèlent l’ordre, la symétrie et la certitude, et ce sont les types de beauté les plus élevés. Introduction:

l'équation a la forme (1) on transforme l'équation de manière à isoler le cube exact : on multiplie (1) les équations par 3 (2) on transforme (2) les équations on obtient l'équation suivanteÉlevons les côtés droit et gauche (3) de l'équation à la puissance trois, trouvons les racines de l'équation Exemples de résolution d'une équation cubique.

Équations quadratiques de la forme où le discriminant Parmi nombres réels pas de racines

Équation du troisième degré

Contexte historique : À cette époque lointaine, lorsque les sages ont commencé à penser aux égalités contenant des quantités inconnues, il n’existait probablement ni pièces ni portefeuilles. Dans les anciens problèmes mathématiques de la Mésopotamie, de l'Inde, de la Chine, de la Grèce, les grandeurs inconnues exprimaient le nombre de paons dans le jardin, le nombre de taureaux dans le troupeau et l'ensemble des choses prises en compte lors du partage des biens. Les sources qui nous sont parvenues indiquent que les scientifiques anciens disposaient de techniques générales pour résoudre des problèmes avec des quantités inconnues. Cependant, pas un seul papyrus ou tablette d’argile ne contient une description de ces techniques. Une exception est « Arithmétique » du mathématicien grec Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle) - un ensemble de problèmes de composition d'équations avec une présentation systématique de leurs solutions. Cependant, le premier manuel de résolution de problèmes largement connu fut l'ouvrage du scientifique de Bagdad du IXe siècle. Muhammad Ben Musa al-Khwarizmi.

l'équation a la forme (1) appliquer la formule 1) en sélectionnant trouver et pour que l'égalité suivante soit vérifiée, on transforme le côté gauche de (1) l'équation comme suit : en sélectionnant le cube complet, prendre la somme comme y, on obtient une équation pour y (2) simplifier (2) équation ( 3) Dans (3) le terme contenant le carré de l'inconnue a disparu, mais le terme contenant le premier degré de l'inconnue est resté 2) par sélection, trouver et pour que le L'égalité suivante est valable. Une telle égalité est impossible puisqu'il y a un nombre positif à gauche et un nombre négatif à gauche. Si nous suivons ce chemin, nous resterons bloqués... Nous échouerons sur le chemin choisi. Nous ne pouvons pas encore résoudre l’équation.

Les équations cubiques sont des équations de la forme où (1) 1. Simplifions les équations en les divisant par a, alors le coefficient de « x » devient égal à 1, donc la solution de toute équation cubique est basée sur la formule de la somme du cube : (2) si l'on prend alors l'équation (1) ne diffère de l'équation (2) que par le coefficient de x et le terme libre. Additionnons les équations (1) et (2) et présentons des équations similaires : si nous effectuons ici une substitution, nous obtenons une équation cubique pour y sans terme :

Cardano Girolamo

Cardano Girolamo (24.9.1501-21.9.1576) - mathématicien, mécanicien et médecin italien. Né à Pavie. Il a étudié aux universités de Pavie et Padoue. Dans sa jeunesse, il a étudié la médecine. En 1534 devient professeur de mathématiques à Milan et Bologne. En mathématiques, le nom Cardano est généralement associé à une formule de résolution d'équation cubique, qu'il a empruntée à N. Tartaglia. Cette formule a été publiée dans le livre de Cardano « Le grand art ou les règles de l'algèbre » (1545). A partir de ce moment, Tartaglia et Cardano devinrent des ennemis mortels. Ce livre présente systématiquement les méthodes modernes de Cardano pour résoudre des équations, principalement cubiques. Cardano a effectué une transformation linéaire qui a permis de réduire une équation cubique à une forme libre d'un terme du 2ème degré il a souligné la relation entre les racines et les coefficients de l'équation, et la divisibilité du polynôme par la différence x ; –a, si a est sa racine. Cardano a été l'un des premiers en Europe à admettre l'existence de racines négatives d'équations. Dans son œuvre, des quantités imaginaires apparaissent pour la première fois. En mécanique, Cardano a étudié la théorie des leviers et des poids. L'un des mouvements d'un segment le long des côtés d'un angle droit de la mécanique est appelé mouvement de cardan. Biographie de Cardano Girolamo

Au même moment, dans la ville italienne de Vérone vivait un pauvre professeur de mathématiques, Nicolo (1499-1557), surnommé Tartaglia (c'est-à-dire le bègue). Il était très talentueux et a réussi à redécouvrir la technique du Dal Ferro. Un duel a eu lieu entre Fiore et Tartaglia. Selon la condition, les rivaux ont échangé 30 problèmes, dont la solution a été donnée dans 50 jours. Mais comme Fior ne connaissait essentiellement qu'un seul problème et était sûr qu'un enseignant ne pourrait pas le résoudre, les 30 problèmes se sont révélés être du même type. Tartaglia s'en est occupé en deux heures. Fiore n'a pas pu résoudre un seul problème proposé par l'ennemi. La victoire a glorifié Tartaglia dans toute l'Italie, mais le problème n'a pas été complètement résolu, la technique simple avec laquelle nous avons pu traiter un membre de l'équation contenant un carré de valeur inconnue (sélection d'un cube complet) n'a pas encore été découverte et le solution aux équations différents types n'était pas inclus dans le système. Le duel de Fiore avec Tartaglia

une équation de la forme à partir d'une équation donnée et calculons le discriminant de l'équation. Non seulement la racine de cette équation n'est pas entièrement extraite, mais elle doit également être extraite d'un nombre négatif. Quel est le problème? On peut supposer que cette équation n’a pas de racines, car D

Les racines d'une équation cubique dépendent du discriminant l'équation a 1 solution l'équation a 3 solutions l'équation a 2 solutions Conclusion

l'équation a la forme : trouver les racines de l'équation à l'aide de la formule de Cardano Exemples de résolution d'équations cubiques à l'aide de la formule de Cardano

une équation de la forme (1) à partir d'une équation donnée et puisque, par condition, cette équation doit avoir 1 solution, alors Calculer le discriminant (1) de l'équation + - + 2 6 Réponse : la plus petite valeur naturelle de a de cette l'intervalle est 1. À quelle est la plus petite valeur naturelle de a, l'équation a-t-elle 1 solution ?

Résolution d'équations cubiques à l'aide de la méthode Vieta Les équations ont la forme

Résolvez une équation si l'on sait que le produit de ses deux racines est égal à 1 par le théorème de Vieta et la condition dans laquelle nous avons ou substituons la valeur dans la première équation ou substituons la valeur de la troisième équation dans la première, nous obtenons les racines de l'équation ou la réponse :

Littérature utilisée : « Mathématiques. Manuel pédagogique et méthodologique"Yu.A. Gusman, A.O. Smirnov. Encyclopédie « J'explore le monde. Mathématiques" - Moscou, AST, 1996. "Mathématiques." Manuel pédagogique et méthodologique » V.T. Lisitchkine. Un manuel destiné aux candidats aux universités, édité par M.I. Skanavi. Célibataire Examen d'État en mathématiques - 2004

Merci de votre attention

Équation cubique – équation algébrique troisième degré. Forme générale de l'équation cubique : ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0

En remplaçant x dans cette équation par une nouvelle inconnue y, associée à x par l'égalité x = y – (b/3a), l'équation cubique peut être réduite à une forme (canonique) plus simple : y3 + pу + q = 0, où p = - b2 + c , q = 2b – bс + d

3a2 a 27a3 3a2 a la solution de cette équation peut être obtenue en utilisant la formule de Cardano.

1. 1 Histoire des équations cubiques

Le terme « équation cubique » a été introduit par R. Descartes (1619) et W. Oughtred (1631).

Les premières tentatives pour trouver des solutions à des problèmes pouvant être réduits à des équations cubiques ont été faites par des mathématiciens anciens (par exemple, le problème du doublement d'un cube et de la trisection d'un angle).

Les mathématiciens du Moyen Âge oriental ont créé tout à fait théorie développée(V. forme géométrique) équations cubiques ; il est exposé de manière plus approfondie dans le traité sur les preuves de problèmes d'algèbre et d'almukabala « Omara Haya » (vers 1070), où la question de trouver racines positives 14 types d'équations cubiques contenant uniquement des termes à coefficients positifs des deux côtés.

Pour la première fois en Europe forme trigonométrique une solution à un cas d'équation cubique a été donnée par Vieth (1953).

La première solution en radicaux d'un des types d'équations cubiques a été trouvée par S. Ferro (vers 1515), mais elle n'a pas été publiée. La découverte a été répétée indépendamment par Tartaglia (1535), indiquant une règle pour résoudre deux autres types d'équations cubiques. Ces découvertes furent publiées en 1545 par G. Cardano, qui mentionna la paternité de N. Tartaglia.

A la fin du XVe siècle. Professeur de mathématiques aux universités de Rome et de Milan Luca Pacioli dans son célèbre manuel « La somme des connaissances en arithmétique, géométrie, relations et proportionnalité » pose le problème de trouver méthode générale pour résoudre des équations cubiques, il l'a mis sur un pied d'égalité avec le problème de la quadrature du cercle. Et pourtant, grâce aux efforts des algébristes italiens, une telle méthode fut rapidement trouvée.

Commençons par la simplification

Si l'équation cubique vue générale ax3 + bx2 + cx + d = 0, où a ≠ 0, divisé par a, alors le coefficient de x3 sera égal à 1. Par conséquent, à l'avenir, nous partirons de l'équation x3 + Px2 + Qx + R = 0 . (1)

Tout comme la solution d'une équation quadratique est basée sur la formule du carré de la somme, la solution d'une équation cubique est basée sur la formule du cube de la somme :

(une + b)3 = une3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Afin de ne pas se tromper dans les coefficients, remplaçons ici a par x et réorganisons les termes :

(x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3. (2)

On voit qu’en utilisant b de manière appropriée, c’est-à-dire en prenant b = P/3, on peut y parvenir côté droit Cette formule différera du côté gauche de l'équation x3 + Px2 + Qx + R = 0 uniquement par le coefficient de x et le terme libre. Ajoutons l'équation x3 + Px2 + Qx + R = 0 et (x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 et donnons des équations similaires :

(x + b)3 + (Q – 3b2)x + R – b3 = 0.

Si on fait ici la substitution y = x + b, on obtient une équation cubique pour y sans le terme avec y2 : y3 + py + q = 0.

Ainsi, nous avons montré que dans l'équation cubique x3 + Px2 + Qx + R = 0, en utilisant une substitution appropriée, nous pouvons nous débarrasser du terme contenant le carré de l'inconnue. Par conséquent, nous allons maintenant résoudre une équation de la forme x3 + рх + q = 0. (3)

1. 2 Historique de la formule Cardano

La formule Cardano porte le nom de G. Cardano, qui l'a publiée pour la première fois en 1545.

L'auteur de cette formule est Niccolo Tartaglia. Il a créé cette solution en 1535 spécifiquement pour participer à un concours de mathématiques qu'il a naturellement remporté. Tartaglia, communiquant la formule (sous forme poétique) à Cardano, n'a présenté que la partie de la solution de l'équation cubique dans laquelle la racine a une valeur (réelle).

Les résultats de Cardano dans cette formule concernent la considération du cas dit irréductible, dans lequel l'équation a trois valeurs ( de vraies valeurs, à cette époque, il n'y avait ni nombres imaginaires ni même négatifs, bien qu'il y ait eu des tentatives dans ce sens). Cependant, contrairement à ce que Cardano a indiqué dans sa publication comme étant la paternité de Tartaglia, la formule porte le nom de Cardano.

1. Formule 3 Cardano

Revenons maintenant à la formule du cube somme, mais écrivons-la différemment :

(une + b)3 = une3 + b3 + 3ab(une + b).

Comparez cette entrée avec l’équation x3 + px + q = 0 et essayez d’établir une connexion entre elles. Remplaçons x = a + b dans notre formule : x3 = a3 + b3 + 3abx, ou x3 – 3abx – (a3 + b3) = 0

Maintenant c'est clair : pour trouver la racine de l'équation x3 + рх + q = 0, il suffit de résoudre le système d'équations a3 + b3 = - q, a3 + b3 = - q, ou

3ab = - p, a3b3 = - p 3,

3 et prenons comme x la somme de a et b. En remplaçant u = a3, v = b3, ce système se réduit complètement à vue simple: et + v = - q, et v = - p 3.

Ensuite, vous pouvez agir de différentes manières, mais tous les « chemins » mèneront à la même équation quadratique. Par exemple, selon le théorème de Vieta, la somme des racines de l’équation quadratique réduite est égale au coefficient de x avec un signe moins, et le produit est égal au terme libre. Il s’ensuit que et v sont tous deux des racines de l’équation t2 + qt – (p/3)3 = 0.

Notons ces racines : t1,2 = - q ± q 2 + p 3.

Les variables a et b sont égales racines cubiques de t1 et t2, et la solution souhaitée de l'équation cubique x3 + рх + q = 0 est la somme de ces racines : x = 3 – q + q 2 + p 3+ 3 – q – q 2 + p 3.

Cette formule est connue sous le nom de formule de Cardano.

Résoudre des équations

Avant d'examiner la formule de Cardano en pratique, expliquons comment utiliser une racine de l'équation cubique x3 + px + q = 0 pour trouver ses autres racines, le cas échéant.

Sachons que notre équation a la racine h. Alors son côté gauche peut être décomposé en linéaire et facteurs carrés. Cela se fait très simplement. Nous substituons l'expression du terme libre dans l'équation par la racine q = - h3 – ph et utilisons la formule de la différence des cubes :

0 = x3 – h3 + px – ph = (x – h)(x2 + hx + h2) + p(x – h) = (x – h)(x2 + hx + h2 + p).

Vous pouvez maintenant résoudre l’équation quadratique x2 + hx + h2 + p = 0 et trouver les racines restantes de cette équation cubique.

Nous sommes donc pleinement armés et, semble-t-il, pouvons faire face à n'importe quelle équation cubique. Essayons notre main.

1. Commençons par l'équation x3 + 6x – 2 = 0

Nous substituons p = 6 et q = -2 dans la formule de Cardano et après de simples abréviations, nous obtenons la réponse : x = 3√4 – 3√2. Eh bien, la formule est plutôt sympa. Seule la perspective de supprimer le facteur x - (3√4 - 3√2) du côté gauche de l'équation et de résoudre l'équation quadratique restante avec des coefficients « terribles » pour calculer d'autres racines n'est pas très inspirante. Cependant, en regardant l'équation de plus près, on peut se rassurer : la fonction de gauche est strictement croissante et ne peut donc disparaître qu'une seule fois. Cela signifie que le nombre trouvé est la seule vraie racine de l’équation.

y y = x3 + 6x – 2

3√4 – 3√2 ×

Riz. 1 Le graphique de la fonction y = x3 + 6x – 2 coupe l'axe des x en un point - 3√4 – 3√2.

2. Exemple suivant– équation x3 + 3x – 4 = 0.

La formule de Cardano donne x = 3 2 + √5 + 3 2 - √5.

Comme dans l’exemple précédent, on voit que cette racine est unique. Mais il n’est pas nécessaire d’être très perspicace pour, en regardant l’équation, deviner sa racine : x = 1. Nous devons admettre que la formule a produit une unité ordinaire sous une forme si bizarre. D'ailleurs, pour simplifier cette expression lourde, mais non dénuée de grâce, transformations algébriqueséchoue - les irrationalités cubiques qu'il contient sont inamovibles.

3. Eh bien, prenons maintenant une équation qui a évidemment trois racines réelles. C’est facile à créer – il suffit de multiplier trois parenthèses de la forme x – b. Il suffit de s'assurer que la somme des racines est égale à zéro, car, selon théorème général Vieta, il ne diffère du coefficient en x2 que par son signe. L’ensemble le plus simple de ces racines est 0, 1 et – 1.

Appliquons la formule de Cardano à l'équation x (x – 1)(x + 1) = 0, ou x3 – x = 0.

En y mettant p = -1 et q = 0, on obtient x = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27.

y y = x (x - 1)(x + 1)

Riz. 2 L'équation x (x – 1)(x + 1) = 0 a trois racines réelles : -1, 0 et 1. En conséquence, le graphique de la fonction y = x (x – 1)(x + 1) coupe le axe des x en trois points.

Un nombre négatif apparaissait sous le signe de la racine carrée. Cela se produit également lors de la résolution d’équations quadratiques. Mais l’équation quadratique dans ce cas n’a pas de racines réelles, alors que l’équation cubique en a trois !

Plus analyse approfondie montre que nous ne sommes pas tombés dans ce piège par hasard. L'équation x3 + px + q = 0 a trois racines réelles si et seulement si l'expression Δ = (q/2)2 + (p/3)3 racine carrée dans la formule de Cardano est négatif. Si Δ > 0, alors il existe une racine réelle (Fig. 3, b), et si Δ = 0, alors il y en a deux (l'une d'elles est double), sauf dans le cas p = q = 0, lorsque les trois les racines fusionnent.

y Δ 0 y = -pх - q y = x3

0 x 0 x y = -pх - q y = x3 a) b)

Riz. 3 L'équation cubique x3 + px + q = 0 peut être représentée par x3 = -px – q. On voit de là que les racines de l’équation correspondront aux abscisses des points d’intersection des deux graphiques : y = x3 et y = -px – q. Si Δ 0 – un.

1. 4 Théorème de Vieta

Théorème de Vieta. Si entier équation rationnelle degré n, réduit à vue standard, a n racines réelles différentes x1, x2,. xn, alors ils satisfont les égalités : x1 + x2 + + xn = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + + xn-1xn = a2 a0 x1 · x2 · · xn = (-1)nаn.

Pour les racines de l'équation du troisième degré a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0, où a0 ≠ 0, les égalités suivantes sont valables : x1 + x2 + x3 = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, a0 x1x2x3 = -a3.

1. 5 Théorème de Bezout. Schéma Horner

La résolution d’équations est étroitement liée à la factorisation de polynômes. Par conséquent, lors de la résolution d'équations, tout ce qui concerne la sélection dans le polynôme est important multiplicateurs linéaires, c'est-à-dire avec la division du polynôme A(x) par le binôme x – α. La base de nombreuses connaissances sur la division du polynôme A(x) par le binôme x – α est le théorème dû à mathématicien français Etienne Bezout (1730-1783) et portant son nom.

Théorème de Bezout. Le reste de la division du polynôme A(x) par le binôme x – α est égal à A(α) (c'est-à-dire la valeur du polynôme A(x) à x = α).

Trouvons le reste en divisant le polynôme A(x) = x4 – 6x3 + 8 par x + 2.

Solution. D’après le théorème de Bezout, le reste de la division par x + 2 est A(-2) = (-2)4 – 6(-2)3 + 8 = 72.

Un moyen pratique de trouver les valeurs d'un polynôme lorsque valeur définie La variable x a été introduite par le mathématicien anglais Williams George Horner (1786-1837). Cette méthode fut plus tard appelée schéma de Horner. Cela consiste à remplir un tableau de deux lignes. Par exemple, pour calculer A(-2) dans l'exemple précédent, dans la ligne supérieure du tableau nous listons les coefficients de ce polynôme, écrit sous la forme standard x4 – 6x3 + 8 = x4 + (-6)x3 + 0 x2 + 0 x + 8.

Nous dupliquons le coefficient du degré le plus élevé dans la ligne du bas et, devant lui, nous écrivons la valeur de la variable x = -2, à laquelle la valeur du polynôme est calculée. Il en résulte le tableau suivant :

Remplissez les cellules vides du tableau selon règle suivante: Le nombre le plus à droite de la ligne du bas est multiplié par -2 et ajouté au nombre au-dessus de la cellule vide. Selon cette règle, la première cellule vide contient le nombre (-2) 1 + (-6) = -8, la deuxième cellule contient le nombre (-2) (-8) + 0 = 16, la troisième cellule contient le nombre (- 2) · 16 + 0 = - 32, dans la dernière cellule - le nombre (-2) · (-32) + 8 = 72. Le tableau entièrement rempli selon le schéma de Horner ressemble à ceci :

2 1 -8 16 -32 72

Le nombre dans la dernière cellule est le reste en divisant le polynôme par x + 2, A(-2) = 72.

En effet, à partir du tableau obtenu, rempli selon le schéma de Horner, il est possible d'écrire non seulement le reste, mais aussi le quotient incomplet

Q(x) = x3 – 8x2 + 16x – 32, puisque le nombre sur la deuxième ligne (sans compter la dernière) sont les coefficients du polynôme Q(x) - le quotient incomplet de division par x + 2.

Résolvons l'équation x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0

Notons tous les diviseurs du terme libre de l'équation : ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

x = 1, x = -2, x = 3

Réponse : x = 1, x = -2, x = 3

2. CONCLUSIONS

Je formulerai les principales conclusions sur le travail effectué.

Au cours de mon travail, je me suis familiarisé avec l'histoire du développement du problème de la résolution d'une équation du troisième degré. La signification théorique des résultats obtenus réside dans le fait qu'elle remplace consciemment la formule de Cardano dans la résolution de certaines équations du troisième degré. J'étais convaincu qu'il existe une formule pour résoudre une équation du troisième degré, mais en raison de sa lourdeur, elle n'est pas populaire et peu fiable, car elle n'atteint pas toujours le résultat final.

À l’avenir, nous pourrons nous poser les questions suivantes : comment connaître à l’avance quelles sont les racines d’une équation du troisième degré ; Est-il possible de résoudre une équation cubique ? graphiquement, si possible, alors comment ; Comment estimer approximativement les racines d’une équation cubique ?