Une urne contient 10 boules blanches, 5 rouges et 5 vertes. Trouvez la probabilité qu'une boule tirée au hasard soit colorée (et non blanche).
Solution:
Nombre d'issues favorables à l'événement UN,égal à la somme des boules rouges et vertes : t = 10. Le nombre total de résultats incompatibles également possibles est égal à nombre total boules dans l'urne : n = 20. Alors :
Lors de la détermination de la probabilité d'un événement, selon sa définition classique, certaines conditions doivent être remplies. Ces conditions consistent en l'équipossibilité et l'incompatibilité des événements inclus dans groupe completévénements dont la probabilité doit être déterminée. En pratique, il n'est pas toujours possible de tout déterminer options possibles résultats, et plus encore pour justifier leur égalité des chances. Par conséquent, s’il est impossible de satisfaire aux exigences de la définition classique de la probabilité, utilisez évaluation statistique probabilité d'un événement. Ceci introduit le concept fréquence relative survenance d'un événement UN, égal au rapport , Où T- nombre d'essais au cours desquels l'événement s'est produit UN; P- nombre total d'essais.
J. Bernoulli a prouvé qu'avec une augmentation illimitée du nombre de tests fréquence relativeévénements UN différera arbitrairement peu de la probabilité de l'événement UN: .
Cette égalité est valable si les conditions dans lesquelles l'expérience est réalisée restent constantes.
La validité du théorème de Bernoulli a également été prouvée dans de nombreuses expériences comparant les probabilités calculées par les méthodes classiques et Méthodes statistiques. Ainsi, dans les expériences de Pearson, pour déterminer la probabilité que les « armoiries » tombent lors de l’exécution de 12 000 lancers, probabilité statistiqueétait égal à 0,5016, et avec 24 000 lancers - 0,5005, ce qui montre une approche de la valeur de probabilité de 0,5 à mesure que le nombre d'expériences augmente. Proximité des valeurs de probabilité déterminées différentes façons, indiquent l'objectivité de la possibilité que cet événement se produise.
4. Théorème d'addition de probabilité
Connaissant les probabilités de certains événements, vous pouvez calculer les probabilités d’autres s’ils sont liés. Le théorème d'addition de probabilité vous permet de déterminer la probabilité d'apparition d'un événement aléatoire parmi plusieurs.
Théorème.Probabilité de la somme de deux événements incompatibles A et B sont égaux à la somme des probabilités de ces événements :
P(A+B) = P(A) + P(B).(2)
Preuve. Laisser P.- le nombre total d'incompatibilités également possibles résultats élémentaires; m1 - nombre d'issues favorables à l'événement UN; t 2 - nombre d'issues favorables à l'événement DANS. Parce que UN Et DANSévénements incompatibles, alors l'événement A+B sera favorable m 1 + m 2 résultats. Alors, selon la définition classique de la probabilité :
En étendant cette preuve à P.événements, nous pouvons prouver le théorème suivant.
Théorème.Probabilité du montant nombre finiévénements incompatibles par paires A 1, A 2,..., A n est égal à la somme des probabilités de ces événements, c'est-à-dire
P(UNE 1 + UNE 2 +…+UNE p) = P(UNE 1) + P(UNE 2) +…+P(UNE p) (3)
Deux corollaires peuvent être déduits de ce théorème :
Corollaire 1.Si les événements A 1, A 2,..., A n forment un groupe complet, alors la somme de leurs probabilités est égale à un, c'est-à-dire = P(UNE 1) + P(UNE 2) +…+P(UNE p) = 1.(4)
Corollaire 2.La somme des probabilités d'événements opposés est égale à un, c'est-à-dire
Preuve. Les événements opposés sont incompatibles et forment un groupe complet, et la somme des probabilités de tels événements est égale à 1.
Exemple 3.
Trouvez la probabilité d’obtenir un 2 ou un 3 en lançant un dé.
Solution:
Événement UN - le chiffre 2 est lancé, la probabilité de cet événement PENNSYLVANIE)= . Événement DANS- le numéro 3 est lancé, la probabilité de cet événement P(B) = . Les événements sont incompatibles, donc
Exemple 4.
Un lot de 40 vêtements a été reçu. Parmi ceux-ci, 20 ensembles Vêtements pour hommes, 6 - femmes et 14 - enfants. Trouvez la probabilité que les vêtements pris au hasard ne soient pas ceux de femmes.
Solution:
Événement UN- vêtements pour hommes, probabilité 
Événement DANS- Vêtements pour femmes, 
Probabilité l'événement est appelé le rapport du nombre de résultats élémentaires favorables cet evènement, au nombre de toutes les issues également possibles de l'expérience dans laquelle cet événement peut apparaître. La probabilité de l'événement A est notée P(A) (ici P est la première lettre mot français probabilité - probabilité). D'après la définition
(1.2.1)
où est le nombre d'issues élémentaires favorables à l'événement A ; - le nombre de tous les résultats élémentaires également possibles de l'expérience, formant un groupe complet d'événements.
Cette définition de la probabilité est dite classique. Il est apparu le stade initial développement de la théorie des probabilités.
La probabilité d'un événement a les propriétés suivantes :
1. Probabilité événement fiableégal à un. Désignons un événement fiable par la lettre . Pour un certain événement, donc
(1.2.2)
2. La probabilité d’un événement impossible est nulle. Désignons par la lettre un événement impossible. Pour un événement impossible, donc
(1.2.3)
3. Probabilité Événement aléatoire s'exprime nombre positif, moins d'un. Puisque pour un événement aléatoire les inégalités , ou , sont satisfaites, alors
(1.2.4)
4. La probabilité de tout événement satisfait les inégalités
(1.2.5)
Cela découle des relations (1.2.2) - (1.2.4).
Exemple 1. Une urne contient 10 boules de taille et de poids égaux, dont 4 rouges et 6 bleues. Une boule est tirée de l'urne. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit bleue ?
Solution. On note l'événement « la boule tirée s'est avérée bleue » par la lettre A. Ce test a 10 issues élémentaires également possibles, dont 6 en faveur de l'événement A. Conformément à la formule (1.2.1), on obtient 
Exemple 2. Tous les nombres naturels de 1 à 30 sont écrits sur des cartes identiques et placés dans une urne. Après avoir soigneusement mélangé les cartes, une carte est retirée de l'urne. Quelle est la probabilité que le nombre sur la carte prise soit un multiple de 5 ?
Solution. Notons A l'événement « le nombre sur la carte prise est un multiple de 5 ». Dans ce test, il y a 30 résultats élémentaires également possibles, parmi lesquels l'événement A est favorisé par 6 résultats (les nombres 5, 10, 15, 20, 25, 30). Ainsi, 
Exemple 3. Deux dés sont lancés et le total des points est calculé. faces supérieures. Trouvez la probabilité de l’événement B telle que les faces supérieures des dés aient un total de 9 points.
Solution. Dans ce test, il n'y a que 6 2 = 36 résultats élémentaires également possibles. L'événement B est favorisé par 4 résultats : (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), donc 
Exemple 4. Sélectionné au hasard entier naturel, n’excédant pas 10. Quelle est la probabilité que ce nombre soit premier ?
Solution. Notons par la lettre C l'événement « le nombre choisi est premier ». DANS dans ce cas n = 10, m = 4 ( nombres premiers 2, 3, 5, 7). Par conséquent, la probabilité requise 
Exemple 5. Deux pièces symétriques sont lancées. Quelle est la probabilité qu’il y ait des chiffres sur la face supérieure des deux pièces ?
Solution. Désignons par la lettre D l'événement « il y a un numéro sur la face supérieure de chaque pièce ». Dans ce test, il y a 4 résultats élémentaires également possibles : (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (La notation (G, C) signifie que la première pièce porte un blason, la seconde un numéro). L'événement D est favorisé par un résultat élémentaire (C, C). Puisque m = 1, n = 4, alors 
Exemple 6. Quelle est la probabilité qu’un nombre à deux chiffres choisi au hasard ait les mêmes chiffres ?
Solution. Numéros à deux chiffres sont des nombres de 10 à 99 ; Il existe 90 nombres de ce type au total. 9 nombres ont des chiffres identiques (ce sont les nombres 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Puisque dans ce cas m = 9, n = 90, alors 
,
où A est l’événement « numéro à chiffres identiques ».
Exemple 7. Des lettres du mot différentiel Une lettre est choisie au hasard. Quelle est la probabilité que cette lettre soit : a) une voyelle, b) une consonne, c) une lettre h?
Solution. Le mot différentiel comporte 12 lettres, dont 5 voyelles et 7 consonnes. Des lettres h il n'y a pas dans ce mot. Notons les événements : A - "lettre voyelle", B - "lettre consonne", C - "lettre h". Le nombre d'issues élémentaires favorables : - pour l'événement A, - pour l'événement B, - pour l'événement C. Puisque n = 12, alors
, Et .
Exemple 8. Deux dés sont lancés et le nombre de points au dessus de chaque dé est noté. Trouvez la probabilité que les deux dés soient lancés même nombre points.
Solution. Notons cet événement par la lettre A. L'événement A est favorisé par 6 issues élémentaires : (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Le nombre total de résultats élémentaires également possibles qui forment un groupe complet d'événements, dans ce cas n=6 2 =36. Cela signifie que la probabilité requise 
Exemple 9. Le livre compte 300 pages. Quelle est la probabilité qu'une page ouverte au hasard ait numéro de série, multiple de 5 ?
Solution. Des conditions du problème, il s'ensuit que tous les résultats élémentaires également possibles qui forment un groupe complet d'événements seront n = 300. Parmi ceux-ci, m = 60 favorisent l'apparition de l'événement spécifié. En effet, un nombre multiple de 5 a la forme 5k, où k est un nombre naturel, et , d'où 
. Ainsi, 
, où A - l'événement « page » a un numéro de séquence qui est un multiple de 5".
Exemple 10. Deux dés sont lancés et la somme des points sur les faces supérieures est calculée. Qu'est-ce qui est le plus probable : obtenir un total de 7 ou 8 ?
Solution. Notons les événements : A - « 7 points sont lancés », B – « 8 points sont lancés ». L'événement A est favorisé par 6 résultats élémentaires : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1), et l'événement B est favorisé par 5 résultats : (2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4), (5 ; 3), (6 ; 2). Tous les résultats élémentaires également possibles sont n = 6 2 = 36. Par conséquent, Et .
Ainsi, P(A)>P(B), c'est-à-dire qu'obtenir un total de 7 points est un événement plus probable que d'obtenir un total de 8 points.
Tâches
1. Un nombre naturel n’excédant pas 30 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit un multiple de 3 ?
2. Dans l'urne un rouge et b boules bleues, identiques en taille et en poids. Quelle est la probabilité qu’une boule tirée au hasard dans cette urne soit bleue ?
3. Un nombre n'excédant pas 30 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit un diviseur de 30 ?
4. Dans l'urne UN bleu et b boules rouges, identiques en taille et en poids. Une boule est retirée de cette urne et mise de côté. Cette balle s'est avérée être rouge. Après cela, une autre boule est tirée de l'urne. Trouvez la probabilité que la deuxième boule soit également rouge.
5. Un nombre national ne dépassant pas 50 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit premier ?
6. Trois dés sont lancés et la somme des points sur les faces supérieures est calculée. Qu'est-ce qui est le plus susceptible d'obtenir un total de 9 ou 10 points ?
7. Trois dés sont lancés et la somme des points lancés est calculée. Qu'est-ce qui est le plus susceptible d'obtenir un total de 11 (événement A) ou de 12 points (événement B) ?
Réponses
1. 1/3. 2 . b/(un+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(un+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - probabilité d'obtenir 9 points au total ; p 2 = 27/216 - probabilité d'obtenir 10 points au total ; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Des questions
1. Quelle est la probabilité d’un événement appelé ?
2. Quelle est la probabilité d’un événement fiable ?
3. Quelle est la probabilité qu’un événement impossible se produise ?
4. Quelles sont les limites de la probabilité d’un événement aléatoire ?
5. Quelles sont les limites de la probabilité de tout événement ?
6. Quelle définition de la probabilité est dite classique ?
Calculer la probabilité d'événements complexes
Soit une urne avec dix boules, dont 6 blanches et 4 noires. Les événements suivants sont alors possibles :
A – à emporter boule blanche de l'urne
B – retirer la boule noire de l’urne
L'événement A comprend les événements A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6. L'événement B se compose des événements B 1, B 2, B 3, B 4. Ensuite, le pourcentage de boules blanches dans l'urne est déterminé comme le rapport, et le pourcentage de boules noires est .
Définition: La probabilité de l'événement A est appelée. nombre, égal au rapport le nombre d'issues m favorables à la survenance de l'événement A au nombre total de toutes les issues élémentaires n.
- formule manière classique calculer la probabilité
La probabilité d'un événement aléatoire est un nombre compris entre zéro et un
Définition: Les permutations sont des combinaisons composées de tous P.éléments d'un ensemble donné et ne diffèrent que par l'ordre de leur disposition. Nombre de toutes les permutations possibles
R p = p!
Définition: Placements – combinaisons de T P. divers éléments, différant soit par la composition des éléments, soit par leur ordre. Nombre de tous placements possibles
Définition: Les combinaisons sont des ensembles non ordonnés de Téléments d'un ensemble contenant P. différents éléments (c'est-à-dire des ensembles qui ne diffèrent que par la composition des éléments). Nombre de combinaisons
Exemple 1. 10 personnes participent aux compétitions de qualification, dont trois atteignent la finale. Combien de trois finalistes différents peut-il y avoir ?
Solution. Contrairement à l'exemple précédent, l'ordre des finalistes n'a pas d'importance ici, on recherche donc le nombre de combinaisons de 10 à 3 :
Exemple 2. Il y a 10 boules dans une urne : 6 blanches et 4 noires. Deux balles en sont retirées. Quelle est la probabilité que : a) 2 blancs ; b) 2 noirs ; c) 1 blanc, 1 noir
Solution:
UN) Soit A – 2 boules blanches sont tirées. Trouvons le nombre total de tous les résultats élémentaires n.
b) soit B – 2 boules noires sont tirées
V) soit C – 1 boule blanche et 1 boule noire sont tirées
-> Théorie des probabilités. Événement aléatoire, sa fréquence et sa probabilité
Événement aléatoire, sa fréquence et sa probabilité
