Équations du second degré. Guide complet (2019)

Dans le terme « équation quadratique », le mot clé est « quadratique ». Cela signifie que l'équation doit nécessairement contenir une variable (le même x) au carré, et qu'il ne doit pas y avoir de x à la puissance troisième (ou supérieure).

La solution de nombreuses équations revient à résoudre des équations quadratiques.

Apprenons à déterminer qu'il s'agit d'une équation quadratique et non d'une autre équation.

Exemple 1.

Débarrassons-nous du dénominateur et multiplions chaque terme de l'équation par

Déplaçons tout vers côté gauche et classer les termes par ordre décroissant des puissances de x

Nous pouvons désormais affirmer avec certitude que équation donnée est carré !

Exemple 2.

Multiplions la gauche et côté droit sur le:

Cette équation, bien qu’elle y figurait à l’origine, n’est pas quadratique !

Exemple 3.

Multiplions le tout par :

Effrayant? Les quatrième et deuxième degrés... Cependant, si nous effectuons un remplacement, nous verrons que nous avons une équation quadratique simple :

Exemple 4.

Cela semble être là, mais regardons de plus près. Déplaçons tout vers la gauche :

Vous voyez, c'est réduit - et maintenant c'est une simple équation linéaire !

Essayez maintenant de déterminer par vous-même lesquels prochaines équations sont carrés et qui ne le sont pas :

Exemples:

Réponses:

carré;
carré;
pas carré;
pas carré;
pas carré;
carré;
pas carré;
carré.

Les mathématiciens divisent tout de manière conditionnelle équations du second degré en apparence:

Équations quadratiques complètes- des équations dans lesquelles les coefficients et, ainsi que Membre gratuit c ne sont pas égaux à zéro (comme dans l’exemple). De plus, parmi les équations quadratiques complètes, il y a donné- ce sont des équations dans lesquelles le coefficient (l'équation du premier exemple est non seulement complète, mais aussi réduite !)

Équations quadratiques incomplètes- les équations dans lesquelles le coefficient et/ou le terme libre c sont égaux à zéro :
Ils sont incomplets car il leur manque certains éléments. Mais l'équation doit toujours contenir x au carré !!! Sinon, ce ne sera plus une équation quadratique, mais une autre équation.

Pourquoi ont-ils proposé une telle division ? Il semblerait qu'il y ait un X au carré, et d'accord. Cette division est déterminée par les méthodes de résolution. Examinons chacun d'eux plus en détail.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

Tout d’abord, concentrons-nous sur la résolution d’équations quadratiques incomplètes – elles sont beaucoup plus simples !

Il existe des types d'équations quadratiques incomplètes :

, dans cette équation le coefficient est égal.
, dans cette équation le terme libre est égal à.
, dans cette équation le coefficient et le terme libre sont égaux.

1. je. Parce que nous savons extraire Racine carrée, alors exprimons à partir de cette équation

L'expression peut être négative ou positive. Un nombre au carré ne peut pas être négatif, car en multipliant deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours nombre positif, donc : si, alors l'équation n'a pas de solution.

Et si, alors nous obtenons deux racines. Ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées. L'essentiel est que vous devez savoir et toujours vous rappeler que cela ne peut pas être moins.

Essayons de résoudre quelques exemples.

Exemple 5 :

Résous l'équation

Il ne reste plus qu'à extraire la racine des côtés gauche et droit. Après tout, vous vous souvenez comment extraire les racines ?

Répondre:

N'oubliez jamais les racines avec un signe négatif !!!

Exemple 6 :

Résous l'équation

Répondre:

Exemple 7 :

Résous l'équation

Oh! Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines !

Pour de telles équations sans racines, les mathématiciens ont proposé une icône spéciale - (ensemble vide). Et la réponse peut s’écrire ainsi :

Répondre:

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines. Il n'y a aucune restriction ici, puisque nous n'avons pas extrait la racine.
Exemple 8 :

Résous l'équation

Sortons le facteur commun des parenthèses :

Ainsi,

Cette équation a deux racines.

Répondre:

Le type le plus simple d’équations quadratiques incomplètes (même si elles sont toutes simples, n’est-ce pas ?). Évidemment, cette équation n’a toujours qu’une seule racine :

Nous renoncerons ici aux exemples.

Résolution d'équations quadratiques complètes

Nous vous rappelons qu'une équation quadratique complète est une équation de la forme équation où

Résoudre des équations quadratiques complètes est un peu plus difficile (juste un peu) que celles-ci.

Souviens-toi, N'importe quelle équation quadratique peut être résolue à l'aide d'un discriminant ! Même incomplet.

Les autres méthodes vous aideront à le faire plus rapidement, mais si vous rencontrez des problèmes avec les équations quadratiques, maîtrisez d'abord la solution à l'aide du discriminant.

1. Résolution d'équations quadratiques à l'aide d'un discriminant.

Résoudre des équations quadratiques à l'aide de cette méthode est très simple ; l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules.

Si, alors l’équation a une racine. Attention particulière avancez d'un pas. Le discriminant () nous indique le nombre de racines de l'équation.

Si, alors la formule de l'étape sera réduite à. Ainsi, l’équation n’aura qu’une racine.
Si, alors nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant à l'étape. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Revenons à nos équations et regardons quelques exemples.

Exemple 9 :

Résous l'équation

Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que l’équation a deux racines.

Étape 3.

Répondre:

Exemple 10 :

Résous l'équation

L'équation est présentée sous forme standard, donc Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que l’équation a une racine.

Répondre:

Exemple 11 :

Résous l'équation

L'équation est présentée sous forme standard, donc Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant. Il n’y a pas de racines de l’équation.

Nous savons maintenant comment écrire correctement ces réponses.

Répondre: pas de racines

2. Résoudre des équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta.

Si vous vous en souvenez, il existe un type d'équation que l'on dit réduite (lorsque le coefficient a est égal à) :

De telles équations sont très faciles à résoudre à l’aide du théorème de Vieta :

Somme des racines donné l'équation quadratique est égale et le produit des racines est égal.

Exemple 12 :

Résous l'équation

Cette équation peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta car .

La somme des racines de l'équation est égale, c'est-à-dire on obtient la première équation :

Et le produit est égal à :

Composons et résolvons le système :

Et. Le montant est égal à :
Et. Le montant est égal à :
Et. Le montant est égal.

et sont la solution au système :

Répondre: ; .

Exemple 13 :

Résous l'équation

Répondre:

Exemple 14 :

Résous l'équation

L'équation est donnée, ce qui signifie :

Répondre:

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. NIVEAU MOYEN

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

En d'autres termes, une équation quadratique est une équation de la forme où - l'inconnue, - des nombres, et.

Le nombre est appelé le plus élevé ou premier coefficientéquation quadratique, - deuxième coefficient, UN - Membre gratuit.

Pourquoi? Parce que si l'équation devient immédiatement linéaire, parce que disparaîtra.

Dans ce cas, et peut être égal à zéro. Dans cette chaise, l'équation est dite incomplète. Si tous les termes sont en place, l’équation est complète.

Solutions à différents types d'équations quadratiques

Méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes :

Tout d'abord, examinons les méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes - elles sont plus simples.

On peut distinguer les types d'équations suivants :

I., dans cette équation le coefficient et le terme libre sont égaux.

II. , dans cette équation le coefficient est égal.

III. , dans cette équation le terme libre est égal à.

Examinons maintenant la solution à chacun de ces sous-types.

Évidemment, cette équation n’a toujours qu’une seule racine :

Un nombre au carré ne peut pas être négatif, car lorsque vous multipliez deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif. C'est pourquoi:

si, alors l'équation n'a pas de solutions ;

si nous avons deux racines

Ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées. La principale chose à retenir est que cela ne peut pas être inférieur.

Exemples:

Solutions:

Répondre:

N'oubliez jamais les racines avec un signe négatif !

Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines.

Pour écrire brièvement qu'un problème n'a pas de solution, nous utilisons l'icône d'ensemble vide.

Répondre:

Ainsi, cette équation a deux racines : et.

Répondre:

Nous allons le retirer multiplicateur commun en dehors des parenthèses :

Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs égal à zéro. Cela signifie que l'équation a une solution lorsque :

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines : et.

Exemple:

Résous l'équation.

Solution:

Factorisons le côté gauche de l'équation et trouvons les racines :

Répondre:

Méthodes de résolution d'équations quadratiques complètes :

1. Discriminant

Résoudre des équations quadratiques de cette manière est facile, l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules. N'oubliez pas que n'importe quelle équation quadratique peut être résolue à l'aide d'un discriminant ! Même incomplet.

Avez-vous remarqué la racine du discriminant dans la formule des racines ? Mais le discriminant peut être négatif. Ce qu'il faut faire? Nous devons accorder une attention particulière à l’étape 2. Le discriminant nous indique le nombre de racines de l’équation.

Si, alors l'équation a des racines :
Si alors l’équation a racines identiques, mais essentiellement une racine :
Ces racines sont appelées racines doubles.
Si, alors la racine du discriminant n’est pas extraite. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Pourquoi est-ce possible différentes quantités racines? Tournons-nous vers sens géométriqueéquation quadratique. Le graphique de la fonction est une parabole :

Dans un cas particulier, qui est une équation quadratique, . Cela signifie que les racines d'une équation quadratique sont les points d'intersection avec l'axe des abscisses (axis). Une parabole peut ne pas couper l'axe du tout, ou peut le couper en un (lorsque le sommet de la parabole se trouve sur l'axe) ou en deux points.

De plus, le coefficient est responsable de la direction des branches de la parabole. Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et si, alors vers le bas.

Exemples:

Solutions:

Répondre:

Répondre: .

Répondre:

Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Répondre: .

2. Théorème de Vieta

Il est très simple d'utiliser le théorème de Vieta : il suffit de choisir une paire de nombres dont le produit est égal au terme libre de l'équation, et la somme est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé.

Il est important de rappeler que le théorème de Vieta ne peut s'appliquer que dans équations quadratiques réduites ().

Regardons quelques exemples :

Exemple 1:

Résous l'équation.

Solution:

Cette équation peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta car . Autres coefficients : ; .

La somme des racines de l’équation est :

Et le produit est égal à :

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal et vérifions si leur somme est égale :

Et. Le montant est égal à :
Et. Le montant est égal à :
Et. Le montant est égal.

et sont la solution au système :

Ainsi, et sont les racines de notre équation.

Répondre: ; .

Exemple n°2 :

Solution:

Sélectionnons des paires de nombres qui donnent le produit, puis vérifions si leur somme est égale :

et : ils donnent au total.

et : ils donnent au total. Pour l'obtenir, il suffit simplement de changer les signes des racines supposées : et, après tout, du produit.

Répondre:

Exemple n°3 :

Solution:

Le terme libre de l’équation est négatif, et donc le produit des racines est un nombre négatif. Cela n’est possible que si l’une des racines est négative et l’autre positive. La somme des racines est donc égale à différences de leurs modules.

Sélectionnons de telles paires de nombres qui donnent le produit, et dont la différence est égale à :

et : leur différence est égale - ne correspond pas ;

et : - ne convient pas ;

et : - approprié. Il ne reste plus qu'à rappeler qu'une des racines est négative. Puisque leur somme doit être égale, la racine de module le plus petit doit être négative : . Nous vérifions:

Répondre:

Exemple n°4 :

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est donnée, ce qui signifie :

Le terme libre est négatif, donc le produit des racines est négatif. Et cela n’est possible que lorsqu’une racine de l’équation est négative et l’autre positive.

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal, puis déterminons quelles racines doivent avoir un signe négatif :

Evidemment, seules les racines et conviennent à la première condition :

Répondre:

Exemple n°5 :

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est donnée, ce qui signifie :

La somme des racines est négative, ce qui signifie qu’au moins une des racines est négative. Mais comme leur produit est positif, cela signifie que les deux racines ont un signe moins.

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal à :

Évidemment, les racines sont les nombres et.

Répondre:

D'accord, il est très pratique de trouver des racines oralement, au lieu de compter ce méchant discriminant. Essayez d'utiliser le théorème de Vieta aussi souvent que possible.

Mais le théorème de Vieta est nécessaire pour faciliter et accélérer la recherche des racines. Pour que vous puissiez bénéficier de son utilisation, vous devez rendre les actions automatiques. Et pour cela, résolvez cinq autres exemples. Mais ne trichez pas : vous ne pouvez pas utiliser de discriminant ! Seul le théorème de Vieta :

Solutions aux tâches pour le travail indépendant :

Tâche 1. ((x)^(2))-8x+12=0

D'après le théorème de Vieta :

Comme d'habitude, on commence la sélection par le morceau :

Ne convient pas car le montant ;

: le montant est exactement ce dont vous avez besoin.

Répondre: ; .

Tâche 2.

Et encore notre théorème Vieta préféré : la somme doit être égale et le produit doit être égal.

Mais comme il ne doit pas en être ainsi, mais, on change les signes des racines : et (au total).

Répondre: ; .

Tâche 3.

Hmm... Où est-ce ?

Vous devez déplacer tous les termes en une seule partie :

La somme des racines est égale au produit.

Bon, arrête ! L'équation n'est pas donnée. Mais le théorème de Vieta n'est applicable que dans les équations données. Vous devez donc d’abord donner une équation. Si vous ne pouvez pas diriger, abandonnez cette idée et résolvez d’une autre manière (par exemple, via un discriminant). Permettez-moi de vous rappeler que donner une équation quadratique signifie rendre le coefficient dominant égal :

Super. Alors la somme des racines est égale à et le produit.

Ici, c’est aussi simple que d’éplucher des poires pour choisir : après tout, c’est un nombre premier (désolé pour la tautologie).

Répondre: ; .

Tâche 4.

Le membre libre est négatif. Qu'est-ce qu'il y a de spécial là-dedans ? Et le fait est que les racines auront des signes différents. Et maintenant, lors de la sélection, on vérifie non pas la somme des racines, mais la différence de leurs modules : cette différence est égale, mais un produit.

Ainsi, les racines sont égales à et, mais l'une d'elles est moins. Le théorème de Vieta nous dit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient de signe opposé, c'est-à-dire. Cela signifie que la racine la plus petite aura un moins : et, depuis.

Répondre: ; .

Tâche 5.

Que devez-vous faire en premier ? C'est vrai, donnez l'équation :

Encore une fois : on sélectionne les facteurs du nombre, et leur différence doit être égale à :

Les racines sont égales à et, mais l'une d'elles est moins. Lequel? Leur somme doit être égale, ce qui signifie que le moins aura une racine plus grande.

Répondre: ; .

Permettez-moi de résumer :

Le théorème de Vieta n'est utilisé que dans les équations quadratiques données.
En utilisant le théorème de Vieta, vous pouvez trouver les racines par sélection, oralement.
Si l'équation n'est pas donnée ou si aucune paire de facteurs appropriée du terme libre n'est trouvée, alors il n'y a pas de racines entières et vous devez la résoudre d'une autre manière (par exemple, via un discriminant).

3. Méthode de sélection d'un carré complet

Si tous les termes contenant l'inconnue sont représentés sous forme de termes issus de formules de multiplication abrégées - le carré de la somme ou de la différence - alors après remplacement des variables, l'équation peut être présentée sous la forme d'une équation quadratique incomplète du type .

Par exemple:

Exemple 1:

Résous l'équation: .

Solution:

Répondre:

Exemple 2 :

Résous l'équation: .

Solution:

Répondre:

En général, la transformation ressemblera à ceci :

Cela implique: .

Cela ne vous rappelle rien ? C'est une chose discriminatoire ! C'est exactement ainsi que nous avons obtenu la formule discriminante.

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Équation quadratique- c'est une équation de la forme où - l'inconnue, - les coefficients de l'équation quadratique, - le terme libre.

Équation quadratique complète- une équation dans laquelle les coefficients ne sont pas égaux à zéro.

Équation quadratique réduite- une équation dans laquelle le coefficient, soit : .

Équation quadratique incomplète- une équation dans laquelle le coefficient et ou le terme libre c sont égaux à zéro :

si le coefficient, l'équation ressemble à : ,
si le terme est libre, l'équation a la forme : ,
si et, l'équation ressemble à : .

1. Algorithme de résolution d'équations quadratiques incomplètes

1.1. Équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Exprimons l'inconnu : ,

2) Vérifiez le signe de l'expression :

si, alors l'équation n'a pas de solutions,
si, alors l'équation a deux racines.

1.2. Équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Retirons le facteur commun entre parenthèses : ,

2) Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. L’équation a donc deux racines :

1.3. Une équation quadratique incomplète de la forme, où :

Cette équation n'a toujours qu'une seule racine : .

2. Algorithme de résolution d'équations quadratiques complètes de la forme où

2.1. Solution utilisant le discriminant

1) Réduisons l'équation à vue générale: ,

2) Calculons le discriminant à l'aide de la formule : , qui indique le nombre de racines de l'équation :

3) Trouvez les racines de l'équation :

si, alors l'équation a des racines, qui sont trouvées par la formule :
si, alors l'équation a une racine, qui se trouve par la formule :
si, alors l'équation n'a pas de racines.

2.2. Solution utilisant le théorème de Vieta

La somme des racines de l'équation quadratique réduite (équation de la forme où) est égale, et le produit des racines est égal, c'est-à-dire , UN.

2.3. Solution par la méthode de sélection d'un carré complet

J'espère qu'après avoir étudié cet article, vous apprendrez à trouver les racines d'une équation quadratique complète.

Grâce au discriminant, seules les équations quadratiques complètes sont résolues ; pour résoudre les équations quadratiques incomplètes, d'autres méthodes sont utilisées, que vous trouverez dans l'article « Résolution d'équations quadratiques incomplètes ».

Quelles équations quadratiques sont dites complètes ? Ce équations de la forme ax 2 + b x + c = 0, où les coefficients a, b et c ne sont pas égaux à zéro. Ainsi, pour résoudre une équation quadratique complète, nous devons calculer le discriminant D.

D = b 2 – 4ac.

En fonction de la valeur du discriminant, nous noterons la réponse.

Si le discriminant est un nombre négatif (D< 0),то корней нет.

Si le discriminant est nul, alors x = (-b)/2a. Lorsque le discriminant est un nombre positif (D > 0),

alors x 1 = (-b - √D)/2a, et x 2 = (-b + √D)/2a.

Par exemple. Résous l'équation x2– 4x + 4=0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Réponse : 2.

Résoudre l'équation 2 x2 +x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Réponse : pas de racines.

Résoudre l'équation 2 x2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Réponse : – 3,5 ; 1.

Imaginons donc la solution d'équations quadratiques complètes à l'aide du diagramme de la figure 1.

En utilisant ces formules, vous pouvez résoudre n’importe quelle équation quadratique complète. Il faut juste faire attention à l'équation a été écrite sous forme de polynôme de la forme standard

UN x2 + bx + c, sinon vous risquez de faire une erreur. Par exemple, en écrivant l’équation x + 3 + 2x 2 = 0, vous pouvez décider par erreur que

a = 1, b = 3 et c = 2. Alors

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 et alors l'équation a deux racines. Et ce n'est pas vrai. (Voir la solution à l'exemple 2 ci-dessus).

Par conséquent, si l’équation ne s’écrit pas sous forme de polynôme de forme standard, l’équation quadratique complète doit d’abord être écrite sous forme de polynôme de forme standard (le monôme avec l'indicateur le plus élevé degrés, c'est-à-dire UN x2 , puis avec moins – bx et puis un membre gratuit Avec.

Lors de la résolution d'une équation quadratique réduite et d'une équation quadratique avec un coefficient pair au deuxième terme, vous pouvez utiliser d'autres formules. Faisons connaissance avec ces formules. Si dans une équation quadratique complète, le coefficient au deuxième terme est pair (b = 2k), alors vous pouvez résoudre l'équation en utilisant les formules données dans le diagramme de la figure 2.

Une équation quadratique complète est dite réduite si le coefficient à x2 égal à un et l'équation prendra la forme x 2 + px + q = 0. Une telle équation peut être donnée pour solution, ou elle peut être obtenue en divisant tous les coefficients de l'équation par le coefficient UN, debout à x2 .

La figure 3 montre un diagramme pour résoudre le carré réduit
équations. Regardons un exemple d'application des formules discutées dans cet article.

Exemple. Résous l'équation

3x2 + 6x – 6 = 0.

Résolvons cette équation en utilisant les formules présentées dans le diagramme de la figure 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Réponse : –1 – √3 ; –1 + √3

Vous pouvez remarquer que le coefficient de x dans cette équation nombre pair, c'est-à-dire b = 6 ou b = 2k, d'où k = 3. Essayons ensuite de résoudre l'équation en utilisant les formules données dans le diagramme de la figure D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Réponse : –1 – √3 ; –1 + √3. En remarquant que tous les coefficients de cette équation quadratique sont divisibles par 3 et en effectuant la division, nous obtenons l'équation quadratique réduite x 2 + 2x – 2 = 0 Résolvez cette équation en utilisant les formules de l'équation quadratique réduite
équations figure 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Réponse : –1 – √3 ; –1 + √3.

Comme on le voit, en résolvant cette équation par diverses formules nous avons reçu la même réponse. Par conséquent, après avoir parfaitement maîtrisé les formules présentées dans le diagramme de la figure 1, vous serez toujours en mesure de résoudre n'importe quelle équation quadratique complète.

site Web, lors de la copie totale ou partielle du matériel, un lien vers la source est requis.

J'espère qu'après avoir étudié cet article, vous apprendrez à trouver les racines d'une équation quadratique complète.

D = b 2 – 4ac.

En fonction de la valeur du discriminant, nous noterons la réponse.

Si le discriminant est un nombre négatif (D< 0),то корней нет.

Si le discriminant est nul, alors x = (-b)/2a. Lorsque le discriminant est un nombre positif (D > 0),

alors x 1 = (-b - √D)/2a, et x 2 = (-b + √D)/2a.

Par exemple. Résous l'équation x2– 4x + 4=0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Réponse : 2.

Résoudre l'équation 2 x2 +x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Réponse : pas de racines.

Résoudre l'équation 2 x2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Réponse : – 3,5 ; 1.

Imaginons donc la solution d'équations quadratiques complètes à l'aide du diagramme de la figure 1.

UN x2 + bx + c, sinon vous risquez de faire une erreur. Par exemple, en écrivant l’équation x + 3 + 2x 2 = 0, vous pouvez décider par erreur que

a = 1, b = 3 et c = 2. Alors

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 et alors l'équation a deux racines. Et ce n'est pas vrai. (Voir la solution à l'exemple 2 ci-dessus).

Par conséquent, si l'équation n'est pas écrite sous forme de polynôme de forme standard, l'équation quadratique complète doit d'abord être écrite sous forme de polynôme de forme standard (le monôme avec le plus grand exposant doit venir en premier, c'est-à-dire UN x2 , puis avec moins – bx et puis un membre gratuit Avec.

Une équation quadratique complète est dite réduite si le coefficient à x2 est égal à un et l'équation prend la forme x 2 + px + q = 0. Une telle équation peut être donnée pour solution, ou elle peut être obtenue en divisant tous les coefficients de l'équation par le coefficient UN, debout à x2 .

La figure 3 montre un diagramme pour résoudre le carré réduit
équations. Regardons un exemple d'application des formules discutées dans cet article.

Exemple. Résous l'équation

3x2 + 6x – 6 = 0.

Résolvons cette équation en utilisant les formules présentées dans le diagramme de la figure 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Réponse : –1 – √3 ; –1 + √3

Vous pouvez remarquer que le coefficient de x dans cette équation est un nombre pair, c'est-à-dire b = 6 ou b = 2k, d'où k = 3. Essayons ensuite de résoudre l'équation en utilisant les formules présentées dans le diagramme de la figure D. 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Réponse : –1 – √3 ; –1 + √3.

Comme vous pouvez le voir, en résolvant cette équation à l’aide de différentes formules, nous avons obtenu la même réponse. Par conséquent, après avoir parfaitement maîtrisé les formules présentées dans le diagramme de la figure 1, vous serez toujours en mesure de résoudre n'importe quelle équation quadratique complète.

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Les équations quadratiques apparaissent souvent lors de la solution diverses tâches physique et mathématiques. Dans cet article, nous verrons comment résoudre ces égalités de manière universelle"à travers le discriminant". Des exemples d'utilisation des connaissances acquises sont également donnés dans l'article.

De quelles équations parlerons-nous ?

La figure ci-dessous montre une formule dans laquelle x est une variable inconnue et caractères latins a, b, c représentent des nombres connus.

Chacun de ces symboles est appelé coefficient. Comme vous pouvez le voir, le nombre « a » apparaît devant la variable x au carré. Ce degré maximum de l’expression présentée, c’est pourquoi on l’appelle une équation quadratique. Son autre nom est souvent utilisé : équation du second ordre. La valeur de a en soi est coefficient carré(debout avec la variable au carré), b est coefficient linéaire(il se situe à côté de la variable élevée à la puissance première), enfin, le nombre c est le terme libre.

Notez que la forme de l'équation montrée dans la figure ci-dessus est la forme classique générale expression quadratique. En plus de cela, il existe d'autres équations du second ordre dans lesquelles les coefficients b et c peuvent être nuls.

Lorsque la tâche est de résoudre l'égalité en question, cela signifie qu'il faut trouver de telles valeurs de la variable x qui la satisferaient. Ici, la première chose dont vous devez vous souvenir est la suivante : puisque le degré maximum de X est 2, alors ce type les expressions ne peuvent pas avoir plus de 2 solutions. Cela signifie que si, lors de la résolution d'une équation, on trouvait 2 valeurs de x qui la satisfont, alors vous pouvez être sûr qu'il n'y a pas de 3ème nombre, en le substituant à x, l'égalité serait également vraie. Les solutions d’une équation mathématique s’appellent ses racines.

Méthodes de résolution d'équations du second ordre

La résolution d’équations de ce type nécessite la connaissance d’une certaine théorie à leur sujet. DANS cours scolaire les algèbres considèrent 4 diverses méthodes solutions. Listons-les :

utiliser la factorisation ;
en utilisant la formule d'un carré parfait ;
en appliquant le graphique de la fonction quadratique correspondante ;
en utilisant l'équation discriminante.

L’avantage de la première méthode est sa simplicité mais elle ne peut pas être utilisée pour toutes les équations ; La deuxième méthode est universelle, mais quelque peu lourde. La troisième méthode se distingue par sa clarté, mais elle n'est pas toujours pratique et applicable. Et enfin, l'utilisation de l'équation discriminante est un moyen universel et assez simple de trouver les racines d'absolument n'importe quelle équation du second ordre. Par conséquent, dans l’article, nous ne le considérerons que.

Formule pour obtenir les racines de l'équation

Tournons-nous vers apparence généraleéquation quadratique. Écrivons-le : a*x²+ b*x + c =0. Avant d'utiliser la méthode de résolution « par un discriminant », vous devez toujours mettre l'égalité sous forme écrite. Autrement dit, il doit être composé de trois termes (ou moins si b ou c vaut 0).

Par exemple, s'il existe une expression : x²-9*x+8 = -5*x+7*x², alors vous devez d'abord déplacer tous ses termes d'un côté de l'égalité et ajouter les termes contenant la variable x dans le mêmes pouvoirs.

DANS dans ce cas cette opération conduira à l'expression suivante : -6*x²-4*x+8=0, qui équivaut à l'équation 6*x²+4*x-8=0 (ici nous avons multiplié les côtés gauche et droit du égalité par -1).

Dans l'exemple ci-dessus, a = 6, b=4, c=-8. A noter que tous les termes de l'égalité considérée sont toujours additionnés, donc si le signe « - » apparaît, cela signifie que le coefficient correspondant est négatif, comme le nombre c dans ce cas.

Après avoir examiné ce point, passons maintenant à la formule elle-même, qui permet d'obtenir les racines d'une équation quadratique. Cela ressemble à celui montré sur la photo ci-dessous.

Comme le montre cette expression, elle permet d'obtenir deux racines (faites attention au signe « ± »). Pour ce faire, il suffit d'y substituer les coefficients b, c et a.

La notion de discriminant

Dans le paragraphe précédent, une formule a été donnée qui vous permet de résoudre rapidement n'importe quelle équation du second ordre. Dans ce document, l'expression radicale est appelée discriminant, c'est-à-dire D = b²-4*a*c.

Pourquoi cette partie de la formule est-elle mise en évidence, et elle a même nom propre? Le fait est que le discriminant relie les trois coefficients de l'équation en une seule expression. Dernier fait signifie qu'il contient entièrement des informations sur les racines, qui peuvent être exprimées dans la liste suivante :

D>0 : l’égalité a 2 diverses solutions, qui sont tous deux des nombres réels.
D=0 : L'équation n'a qu'une seule racine, et c'est un nombre réel.

Tâche de détermination discriminante

Donnons un exemple simple de la façon de trouver un discriminant. Soit l'égalité suivante : 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Ramenons-le sous forme standard, on obtient : (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, d'où on arrive à l'égalité : -2*x² +2*x-11 = 0. Ici a=-2, b=2, c=-11.

Vous pouvez maintenant utiliser la formule ci-dessus pour le discriminant : D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Le nombre obtenu est la réponse à la tâche. Puisque dans l'exemple le discriminant moins que zéro, alors on peut dire que cette équation quadratique n’a pas de vraies racines. Sa solution ne sera que des nombres de type complexe.

Un exemple d’inégalité à travers un discriminant

Résolvons des problèmes d'un type légèrement différent : étant donné l'égalité -3*x²-6*x+c = 0. Il faut trouver des valeurs de c pour lesquelles D>0.

Dans ce cas, seuls 2 coefficients sur 3 sont connus, il n'est donc pas possible de calculer la valeur exacte du discriminant, mais on sait qu'elle est positive. Nous utilisons le dernier fait pour composer l'inégalité : D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. La résolution de l’inégalité résultante conduit au résultat : c>-3.

Vérifions le nombre résultant. Pour ce faire, on calcule D pour 2 cas : c=-2 et c=-4. Le nombre -2 satisfait le résultat obtenu (-2>-3), le discriminant correspondant aura la valeur : D = 12>0. À son tour, le nombre -4 ne satisfait pas à l’inégalité (-4. Ainsi, tout nombre c supérieur à -3 satisfera à la condition.

Un exemple de résolution d'une équation

Présentons un problème qui implique non seulement de trouver le discriminant, mais aussi de résoudre l'équation. Il faut trouver les racines de l'égalité -2*x²+7-9*x = 0.

Dans cet exemple, le discriminant est valeur suivante: D = 81-4*(-2)*7= 137. Alors les racines de l'équation seront déterminées comme suit : x = (9±√137)/(-4). Ce valeurs exactes racines, si vous calculez la racine approximativement, alors vous obtenez les nombres : x = -5,176 et x = 0,676.

Problème géométrique

Nous allons résoudre un problème qui nécessitera non seulement la capacité de calculer le discriminant, mais aussi l'application de compétences la pensée abstraite et connaissance de la façon d'écrire des équations quadratiques.

Bob avait une couette de 5 x 4 mètres. Le garçon voulait y coudre une bande continue de beau tissu sur tout le périmètre. Quelle sera l'épaisseur de cette bande si l'on sait que Bob a 10 m² de tissu.

Supposons que la bande ait une épaisseur de x m, alors la zone du tissu le long du côté long de la couverture sera (5+2*x)*x, et comme il y a 2 côtés longs, nous avons : 2*x *(5+2*x). Sur le côté court, la surface du tissu cousu sera de 4*x, puisqu'il y a 2 de ces côtés, on obtient la valeur 8*x. Notez que la valeur 2*x a été ajoutée au côté long car la longueur de la couverture a augmenté de ce nombre. La superficie totale du tissu cousu à la couverture est de 10 m². On obtient donc l’égalité : 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Pour cet exemple, le discriminant est égal à : D = 18²-4*4*(-10) = 484. Sa racine est 22. A l'aide de la formule, on trouve les racines recherchées : x = (-18±22)/( 2*4) = (-5 ; 0,5). Évidemment, des deux racines, seul le nombre 0,5 convient selon les conditions du problème.

Ainsi, la bande de tissu que Bob coud à sa couverture fera 50 cm de large.

Parmi tout le cours programme scolaire En algèbre, l’un des sujets les plus approfondis est celui des équations quadratiques. Dans ce cas, une équation quadratique s'entend comme une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où a ≠ 0 (lire : a multiplié par x au carré plus be x plus ce est égal à zéro, où a n'est pas égal à zéro). Dans ce cas, la place principale est occupée par les formules permettant de trouver le discriminant d'une équation quadratique type spécifié, qui s'entend comme une expression qui permet de déterminer la présence ou l'absence de racines dans une équation quadratique, ainsi que leur nombre (le cas échéant).

Formule (équation) du discriminant d'une équation quadratique

La formule généralement acceptée pour le discriminant d'une équation quadratique est la suivante : D = b 2 – 4ac. En calculant le discriminant à l'aide de la formule spécifiée, vous pouvez non seulement déterminer la présence et le nombre de racines d'une équation quadratique, mais également choisir une méthode pour trouver ces racines, qui sont plusieurs selon le type d'équation quadratique.

Qu'est-ce que cela signifie si le discriminant est nul \ Formule pour les racines d'une équation quadratique si le discriminant est nul

Le discriminant, comme il ressort de la formule, est noté Lettre latine D. Dans le cas où le discriminant est égal à zéro, il faut conclure qu'une équation quadratique de la forme ax 2 + bx + c = 0, où a ≠ 0, n'a qu'une seule racine, qui est calculée à l'aide d'une formule simplifiée . Cette formule s'applique uniquement lorsque le discriminant est nul et ressemble à ceci : x = –b/2a, où x est la racine de l'équation quadratique, b et a sont les variables correspondantes de l'équation quadratique. Pour trouver la racine d'une équation quadratique, vous avez besoin Sens négatif variable b divisée par deux fois la valeur de la variable a. L'expression résultante sera la solution d'une équation quadratique.

Résoudre une équation quadratique à l'aide d'un discriminant

Si, lors du calcul du discriminant à l'aide de la formule ci-dessus, il s'avère valeur positive(D Au dessus de zéro), alors l'équation quadratique a deux racines, qui sont calculées à l'aide des formules suivantes : x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Le plus souvent, le discriminant n'est pas calculé séparément, mais l'expression radicale sous la forme de la formule discriminante est simplement substituée à la valeur D dont la racine est extraite. Si la variable b a même valeur, puis pour calculer les racines d'une équation quadratique de la forme ax 2 + bx + c = 0, où a ≠ 0, vous pouvez également utiliser formules suivantes: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, où k = b/2.

Dans certains cas pour solution pratique Pour les équations quadratiques, vous pouvez utiliser le théorème de Vieta, qui stipule que pour la somme des racines d'une équation quadratique de la forme x 2 + px + q = 0, la valeur x 1 + x 2 = –p sera valide, et pour le produit des racines de l'équation spécifiée, l'expression x 1 x x 2 = q.

Le discriminant peut-il être inférieur à zéro ?

Lors du calcul de la valeur discriminante, vous pouvez rencontrer une situation qui ne relève d'aucun des cas décrits - lorsque le discriminant a une valeur négative (c'est-à-dire inférieure à zéro). Dans ce cas, il est généralement admis qu'une équation quadratique de la forme ax 2 + bx + c = 0, où a ≠ 0, n'a pas de racines réelles, sa solution se limitera donc au calcul du discriminant, et les formules ci-dessus car les racines d'une équation quadratique ne s'appliqueront pas dans ce cas, il y en aura. En même temps, dans la réponse à l’équation quadratique, il est écrit que « l’équation n’a pas de racines réelles ».

Vidéo explicative :