Quel est le dénominateur commun ? Règles ou algorithme pour réduire les fractions à un dénominateur commun

Au départ, je voulais inclure des techniques de dénominateur commun dans la section Ajout et soustraction de fractions. Mais il s'est avéré qu'il y avait tellement d'informations et leur importance est si grande (après tout, les fractions numériques ne sont pas les seules à avoir des dénominateurs communs) qu'il est préférable d'étudier cette question séparément.

Supposons donc que nous ayons deux fractions avec des dénominateurs différents. Et nous voulons nous assurer que les dénominateurs deviennent les mêmes. La propriété fondamentale d'une fraction vient à la rescousse, qui, je vous le rappelle, ressemble à ceci :

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Ainsi, si vous choisissez correctement les facteurs, les dénominateurs des fractions deviendront égaux - ce processus est appelé réduction à un dénominateur commun. Et les nombres requis, « égalisant » les dénominateurs, sont appelés facteurs supplémentaires.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :

Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.

Il existe de nombreuses façons de trouver des nombres qui, une fois multipliés par eux, rendront les dénominateurs des fractions égaux. Nous n'en considérerons que trois - par ordre croissant de complexité et, en un sens, d'efficacité.

Multiplication entrecroisée

La méthode la plus simple et la plus fiable, qui garantit l'égalisation des dénominateurs. Nous agirons « à corps perdu » : nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et la seconde par le dénominateur de la première. En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au produit des dénominateurs d’origine. Jetez un oeil :

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On obtient :

Oui, c'est aussi simple que cela. Si vous commencez tout juste à étudier les fractions, il est préférable de travailler en utilisant cette méthode - de cette façon, vous vous assurerez contre de nombreuses erreurs et serez assuré d'obtenir le résultat.

Le seul inconvénient de cette méthode est qu'il faut compter beaucoup, car les dénominateurs sont multipliés « jusqu'au bout », et le résultat peut être de très grands nombres. C'est le prix à payer pour la fiabilité.

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l’un d’eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

D’ailleurs, je n’ai pas pris les fractions de cet exemple par hasard. Si cela vous intéresse, essayez de les compter en utilisant la méthode entrecroisée. Après réduction, les réponses seront les mêmes, mais il y aura beaucoup plus de travail.

C'est là toute la puissance de la méthode des diviseurs communs, mais, encore une fois, elle ne peut être utilisée que lorsque l'un des dénominateurs est divisible par l'autre sans reste. Ce qui arrive assez rarement.

Méthode multiple la moins courante

Lorsque nous réduisons des fractions à un dénominateur commun, nous essayons essentiellement de trouver un nombre divisible par chaque dénominateur. Ensuite, nous ramenons les dénominateurs des deux fractions à ce nombre.

Il existe de nombreux nombres de ce type, et le plus petit d'entre eux ne sera pas nécessairement égal au produit direct des dénominateurs des fractions originales, comme le suppose la méthode « entrecroisée ».

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 · 12 = 96.

Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur plus petit commun multiple (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a ; b) . Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24 .

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regardez les exemples :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Pour apprécier la différence que fait la méthode multiple la moins courante, essayez de calculer ces mêmes exemples en utilisant la méthode croisée. Bien sûr, sans calculatrice. Je pense qu'après cela, les commentaires seront inutiles.

Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

Le seul problème est de savoir comment trouver ce même NOC. Parfois, tout peut être trouvé en quelques secondes, littéralement « à l'œil nu », mais en général, il s'agit d'une tâche informatique complexe qui nécessite une considération distincte. Nous n’en parlerons pas ici.

Dans cette leçon, nous examinerons la réduction des fractions à un dénominateur commun et résoudrons des problèmes sur ce sujet. Définissons le concept de dénominateur commun et de facteur supplémentaire, et rappelons-nous les nombres relativement premiers. Définissons le concept de plus petit dénominateur commun (LCD) et résolvons un certain nombre de problèmes pour le trouver.

Sujet : Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs

Leçon : Réduire des fractions à un dénominateur commun

Répétition. La propriété principale d'une fraction.

Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont multipliés ou divisés par le même nombre naturel, vous obtenez une fraction égale.

Par exemple, le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être divisés par 2. Nous obtenons la fraction. Cette opération est appelée réduction de fraction. Vous pouvez également effectuer la transformation inverse en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2. Dans ce cas, on dit que l'on a réduit la fraction à un nouveau dénominateur. Le chiffre 2 est appelé facteur supplémentaire.

Conclusion. Une fraction peut être réduite à n’importe quel dénominateur qui est un multiple du dénominateur de la fraction donnée. Pour amener une fraction à un nouveau dénominateur, son numérateur et son dénominateur sont multipliés par un facteur supplémentaire.

1. Réduisez la fraction au dénominateur 35.

Le nombre 35 est un multiple de 7, c'est-à-dire que 35 est divisible par 7 sans reste. Cela signifie que cette transformation est possible. Trouvons un facteur supplémentaire. Pour ce faire, divisez 35 par 7. Nous obtenons 5. Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par 5.

2. Réduisez la fraction au dénominateur 18.

Trouvons un facteur supplémentaire. Pour ce faire, divisez le nouveau dénominateur par celui d'origine. On obtient 3. Multipliez le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 3.

3. Réduisez la fraction à un dénominateur de 60.

Diviser 60 par 15 donne un facteur supplémentaire. Il est égal à 4. Multipliez le numérateur et le dénominateur par 4.

4. Réduisez la fraction au dénominateur 24

Dans les cas simples, la réduction à un nouveau dénominateur s'effectue mentalement. Il est seulement d'usage d'indiquer le facteur supplémentaire derrière une parenthèse légèrement à droite et au-dessus de la fraction originale.

Une fraction peut être réduite à un dénominateur de 15 et une fraction peut être réduite à un dénominateur de 15. Les fractions ont également un dénominateur commun de 15.

Le dénominateur commun des fractions peut être n’importe quel multiple commun de leurs dénominateurs. Par souci de simplicité, les fractions sont réduites à leur plus petit dénominateur commun. Il est égal au plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions données.

Exemple. Réduisez les fractions et au plus petit dénominateur commun.

Tout d'abord, trouvons le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions. Ce nombre est 12. Trouvons un facteur supplémentaire pour les première et deuxième fractions. Pour ce faire, divisez 12 par 4 et 6. Trois est un facteur supplémentaire pour la première fraction et deux pour la seconde. Ramenons les fractions au dénominateur 12.

Nous avons ramené les fractions à un dénominateur commun, c'est-à-dire que nous avons trouvé des fractions égales qui ont le même dénominateur.

Règle. Pour réduire des fractions à leur plus petit dénominateur commun, il faut

Trouvez d’abord le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions, ce sera leur plus petit commun dénominateur ;

Deuxièmement, divisez le plus petit dénominateur commun par les dénominateurs de ces fractions, c'est-à-dire trouvez un facteur supplémentaire pour chaque fraction.

Troisièmement, multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par son facteur supplémentaire.

a) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le plus petit dénominateur commun est 12. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est 4, pour la seconde - 3. Nous réduisons les fractions au dénominateur 24.

b) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le plus petit dénominateur commun est 45. Diviser 45 par 9 par 15 donne respectivement 5 et 3. Nous réduisons les fractions au dénominateur 45.

c) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le dénominateur commun est 24. Les facteurs supplémentaires sont respectivement 2 et 3.

Parfois, il peut être difficile de trouver verbalement le plus petit commun multiple des dénominateurs de fractions données. Ensuite, le dénominateur commun et les facteurs supplémentaires sont trouvés à l'aide de la factorisation première.

Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Factorisons les nombres 60 et 168 en facteurs premiers. Écrivons le développement du nombre 60 et ajoutons les facteurs manquants 2 et 7 du deuxième développement. Multiplions 60 par 14 et obtenons un dénominateur commun de 840. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est 14. Le facteur supplémentaire pour la deuxième fraction est 5. Ramenons les fractions à un dénominateur commun de 840.

Références

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et autres Mathématiques 6. - M. : Mnémosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathématiques 6ème année. - Gymnase, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Derrière les pages d'un manuel de mathématiques. - Lumières, 1989.

4. Rurukin A.N., Tchaïkovski I.V. Devoirs pour le cours de mathématiques pour les classes 5-6. - ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaïkovski K.G. Mathématiques 5-6. Un manuel pour les élèves de 6e année de l'école par correspondance MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. et autres Mathématiques : Manuel-interlocuteur pour les 5-6 années du secondaire. Bibliothèque du professeur de mathématiques. - Lumières, 1989.

Vous pouvez télécharger les livres spécifiés à la clause 1.2. de cette leçon.

Devoirs

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et autres Mathématiques 6. - M. : Mnemosyne, 2012. (lien voir 1.2)

Devoirs : n°297, n°298, n°300.

Autres tâches : n° 270, n° 290

Multiplication entrecroisée

Méthode du diviseur commun

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Pour apprécier la différence que fait la méthode multiple la moins courante, essayez de calculer ces mêmes exemples en utilisant la méthode croisée.

Dénominateur commun des fractions

Bien sûr, sans calculatrice. Je pense qu'après cela, les commentaires seront inutiles.

Voir aussi :

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Ainsi, si vous choisissez correctement les facteurs, les dénominateurs des fractions deviendront égaux - c'est ce qu'on appelle le processus. Et les nombres requis, « égalisant » les dénominateurs, sont appelés.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :

Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.

Multiplication entrecroisée

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On obtient :

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l’un d’eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

Méthode multiple la moins courante

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 12 = 96.

Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a; b). Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24.

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regardez les exemples :

Comment trouver le plus petit dénominateur commun

Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 · 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

Voir aussi :

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ?

Dénominateur commun, concept et définition.

Voici quelques raisons :

Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.

Multiplication entrecroisée

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On obtient :

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l’un d’eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

Méthode multiple la moins courante

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 12 = 96.

Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a; b). Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24.

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regardez les exemples :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 · 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

Voir aussi :

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :

Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.

Multiplication entrecroisée

Jetez un oeil :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On obtient :

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l’un d’eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

Méthode multiple la moins courante

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 12 = 96.

Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a; b). Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24.

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regardez les exemples :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 · 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

Voir aussi :

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :

Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.

Multiplication entrecroisée

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On obtient :

Le seul inconvénient de cette méthode est qu'il faut compter beaucoup, car les dénominateurs sont multipliés « jusqu'au bout », et le résultat peut être de très grands nombres.

Réduire les fractions à un dénominateur commun

C'est le prix à payer pour la fiabilité.

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l’un d’eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

Méthode multiple la moins courante

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 12 = 96.

Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a; b). Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24.

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regardez les exemples :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 · 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

La plupart des opérations avec des fractions algébriques, telles que l'addition et la soustraction, nécessitent d'abord de réduire ces fractions aux mêmes dénominateurs. Ces dénominateurs sont aussi souvent appelés « dénominateur commun ». Dans ce sujet, nous examinerons la définition des concepts « dénominateur commun des fractions algébriques » et « plus petit dénominateur commun des fractions algébriques (LCD) », considérerons l'algorithme pour trouver le dénominateur commun point par point et résoudrons plusieurs problèmes sur le sujet.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Dénominateur commun des fractions algébriques

Si nous parlons de fractions ordinaires, alors le dénominateur commun est un nombre divisible par l'un des dénominateurs des fractions originales. Pour les fractions ordinaires 1 2 Et 5 9 le nombre 36 peut être un dénominateur commun, puisqu'il est divisible par 2 et 9 sans reste.

Le dénominateur commun des fractions algébriques est déterminé de la même manière, seuls les polynômes sont utilisés à la place des nombres, puisqu'ils sont les numérateurs et dénominateurs de la fraction algébrique.

Définition 1

Dénominateur commun d'une fraction algébrique est un polynôme divisible par le dénominateur de n'importe quelle fraction.

En raison des particularités des fractions algébriques, qui seront discutées ci-dessous, nous traiterons souvent de dénominateurs communs représentés comme un produit plutôt que comme un polynôme standard.

Exemple 1

Polynôme écrit sous forme de produit 3x2 (x + 1), correspond à un polynôme de la forme standard 3x3 + 3x2. Ce polynôme peut être le dénominateur commun des fractions algébriques 2 x, - 3 x y x 2 et y + 3 x + 1, du fait qu'il est divisible par x, sur x2 et sur x+1. Des informations sur la divisibilité des polynômes sont disponibles dans la rubrique correspondante de notre ressource.

Plus petit dénominateur commun (LCD)

Pour des fractions algébriques données, le nombre de dénominateurs communs peut être infini.

Exemple 2

Prenons comme exemple les fractions 1 2 x et x + 1 x 2 + 3. Leur dénominateur commun est 2x (x2 + 3), ainsi que − 2x (x2 + 3), ainsi que x (x2 + 3), ainsi que 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), ainsi que − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, etc.

Lorsque vous résolvez des problèmes, vous pouvez faciliter votre travail en utilisant un dénominateur commun, qui a la forme la plus simple parmi l'ensemble des dénominateurs. Ce dénominateur est souvent appelé le plus petit dénominateur commun.

Définition 2

Plus petit dénominateur commun des fractions algébriques est le dénominateur commun des fractions algébriques, qui a la forme la plus simple.

Soit dit en passant, le terme « plus petit dénominateur commun » n'est généralement pas accepté, il est donc préférable de se limiter au terme « dénominateur commun ». Et voici pourquoi.

Plus tôt, nous avons attiré votre attention sur l’expression « le dénominateur de l’espèce la plus simple ». Le sens principal de cette phrase est le suivant : le dénominateur de la forme la plus simple doit être divisible par tout autre dénominateur commun des données dans la condition du problème des fractions algébriques. Dans ce cas, dans le produit, qui est le dénominateur commun des fractions, divers coefficients numériques peuvent être utilisés.

Exemple 3

Prenons les fractions 1 2 · x et x + 1 x 2 + 3 . Nous avons déjà découvert qu'il serait plus simple pour nous de travailler avec un dénominateur commun de la forme 2 · x · (x 2 + 3). De plus, le dénominateur commun de ces deux fractions peut être x (x2 + 3), qui ne contient pas de coefficient numérique. La question est de savoir lequel de ces deux dénominateurs communs est considéré comme le plus petit dénominateur commun des fractions. Il n'y a pas de réponse définitive, il est donc plus correct de simplement parler du dénominateur commun et de travailler avec l'option avec laquelle il sera le plus pratique de travailler. Nous pouvons donc utiliser des dénominateurs communs tels que x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) ou − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, qui ont une apparence plus complexe, mais il peut être plus difficile d'effectuer des actions avec eux.

Trouver le dénominateur commun des fractions algébriques : algorithme d'actions

Supposons que nous ayons plusieurs fractions algébriques pour lesquelles nous devons trouver un dénominateur commun. Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser l’algorithme d’actions suivant. Nous devons d’abord factoriser les dénominateurs des fractions originales. Ensuite, nous composons une œuvre dans laquelle nous incluons séquentiellement :

tous les facteurs du dénominateur de la première fraction ainsi que les puissances ;
tous les facteurs présents au dénominateur de la deuxième fraction, mais qui ne sont pas dans le produit écrit ou dont le degré est insuffisant ;
tous les facteurs manquants du dénominateur de la troisième fraction, et ainsi de suite.

Le produit résultant sera le dénominateur commun des fractions algébriques.

Comme facteurs du produit, nous pouvons prendre tous les dénominateurs des fractions données dans l'énoncé du problème. Cependant, le multiplicateur que nous obtiendrons au final sera loin d’avoir un sens comparable à celui des MNT et son utilisation sera irrationnelle.

Exemple 4

Déterminez le dénominateur commun des fractions 1 x 2 y, 5 x + 1 et y - 3 x 5 y.

Solution

Dans ce cas, nous n’avons pas besoin de factoriser les dénominateurs des fractions originales. Par conséquent, nous commencerons à appliquer l’algorithme en composant l’œuvre.

Du dénominateur de la première fraction on prend le multiplicateur x 2 ans, du dénominateur de la deuxième fraction le multiplicateur x+1. Nous obtenons le produit x 2 oui (x + 1).

Le dénominateur de la troisième fraction peut nous donner un multiplicateur x 5 ans, cependant, le produit que nous avons compilé plus tôt comporte déjà des facteurs x2 Et oui. On ajoute donc plus x 5 − 2 = x 3. Nous obtenons le produit x 2 oui (x + 1) x 3, que l'on peut réduire à la forme x 5 ans (x + 1). Ce sera notre NOZ de fractions algébriques.

Répondre: x 5 · y · (x + 1) .

Examinons maintenant des exemples de problèmes dans lesquels les dénominateurs de fractions algébriques contiennent des facteurs numériques entiers. Dans de tels cas, nous suivons également l’algorithme, après avoir décomposé les facteurs numériques entiers en facteurs simples.

Exemple 5

Trouvez le dénominateur commun des fractions 1 12 x et 1 90 x 2.

Solution

En divisant les nombres aux dénominateurs des fractions en facteurs premiers, nous obtenons 1 2 2 3 x et 1 2 3 2 5 x 2. Nous pouvons maintenant passer à l’élaboration d’un dénominateur commun. Pour ce faire, du dénominateur de la première fraction on prend le produit 2 2 3x et ajoutez-y les facteurs 3, 5 et x du dénominateur de la deuxième fraction. Nous obtenons 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. C'est notre dénominateur commun.

Répondre: 180x2.

Si vous regardez attentivement les résultats des deux exemples analysés, vous remarquerez que les dénominateurs communs des fractions contiennent tous les facteurs présents dans les développements des dénominateurs, et si un certain facteur est présent dans plusieurs dénominateurs, alors il est pris avec le plus grand exposant disponible. Et si les dénominateurs ont des coefficients entiers, alors le dénominateur commun contient un facteur numérique égal au plus petit commun multiple de ces coefficients numériques.

Exemple 6

Les dénominateurs des deux fractions algébriques 1 12 x et 1 90 x 2 ont un facteur x. Dans le deuxième cas, le facteur x est au carré. Pour créer un dénominateur commun, nous devons prendre ce facteur au maximum, c'est-à-dire x2. Il n'y a pas d'autres multiplicateurs avec des variables. Coefficients numériques entiers des fractions originales 12 Et 90 , et leur plus petit commun multiple est 180 . Il s'avère que le dénominateur commun souhaité a la forme 180x2.

Nous pouvons maintenant écrire un autre algorithme pour trouver le facteur commun des fractions algébriques. Pour cela nous :

factoriser les dénominateurs de toutes les fractions ;
on compose le produit de tous les facteurs de lettres (s'il y a un facteur dans plusieurs développements, on prend l'option avec le plus grand exposant) ;
on ajoute le LCM des coefficients numériques des développements au produit résultant.

Les algorithmes donnés sont équivalents, donc n’importe lequel d’entre eux peut être utilisé pour résoudre des problèmes. Il est important de prêter attention aux détails.

Il existe des cas où les facteurs communs aux dénominateurs des fractions peuvent être invisibles derrière les coefficients numériques. Ici, il convient de mettre d'abord entre parenthèses les coefficients numériques aux puissances supérieures des variables dans chacun des facteurs présents dans le dénominateur.

Exemple 7

Quel dénominateur commun ont les fractions 3 5 - x et 5 - x · y 2 2 · x - 10 ?

Solution

Dans le premier cas, le moins un doit être retiré des parenthèses. Nous obtenons 3-x-5. On multiplie le numérateur et le dénominateur par - 1 afin de supprimer le moins au dénominateur : - 3 x - 5.

Dans le deuxième cas, nous mettons les deux entre parenthèses. Cela nous permet d'obtenir la fraction 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Il est évident que le dénominateur commun de ces fractions algébriques - 3 x - 5 et 5 - x · y 2 2 · x - 5 est 2 (x-5).

Répondre:2 (x-5).

Les données dans la condition problématique de fraction peuvent avoir des coefficients fractionnaires. Dans ces cas, vous devez d'abord vous débarrasser des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur par un certain nombre.

Exemple 8

Simplifiez les fractions algébriques 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 et - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 puis déterminez leur dénominateur commun.

Solution

Débarrassons-nous des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur dans le premier cas par 14, dans le second cas par 3. On obtient :

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 et - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Après les transformations effectuées, il apparaît clairement que le dénominateur commun est 2 (x2 + 2).

Répondre: 2 (x2 + 2).

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