Qu'est-ce qu'un déterminant de 2ème ordre ? Déterminants et leurs propriétés

Déterminant une matrice carrée est un nombre qui se calcule comme suit :

a) Si l'ordre d'une matrice carrée est 1, c'est-à-dire il est constitué de 1 nombre, alors le déterminant est égal à ce nombre ;

b) Si l'ordre d'une matrice carrée est 2, c'est-à-dire il est constitué de 4 nombres, alors le déterminant est égal à la différence entre le produit des éléments de la diagonale principale et le produit des éléments de la diagonale secondaire ;

c) Si l'ordre d'une matrice carrée est 3, c'est-à-dire il est constitué de 9 nombres, alors le déterminant est égal à la somme des produits des éléments de la diagonale principale et de deux triangles parallèles à cette diagonale, d'où la somme des produits des éléments de la diagonale secondaire et de deux triangles parallèles à cette diagonale est soustrait.

Exemples

Propriétés des déterminants

1. Le déterminant ne changera pas si les lignes sont remplacées par des colonnes et les colonnes par des lignes

1. Un déterminant ayant 2 séries identiques est égal à zéro
2. Le facteur commun de n'importe quelle ligne (ligne ou colonne) du déterminant peut être retiré du signe du déterminant

4. Lors de la réorganisation de deux séries parallèles, le déterminant change de signe pour celui opposé

5. Si les éléments d'une série d'un déterminant sont les sommes de deux termes, alors le déterminant peut être développé en la somme de deux déterminants correspondants

6. Le déterminant ne changera pas si les éléments correspondants d'une série parallèle sont ajoutés aux éléments d'une série, multipliés par n'importe quel nombre

Élément mineur du déterminant et son complément algébrique

Élément mineur un IJ Le déterminant d'ordre n est un déterminant d'ordre n-1 obtenu à partir de celui d'origine en barrant la i-ème ligne et la j-ème colonne.

Complément algébrique de l'élément a IJ le déterminant est son mineur multiplié par (-1) i+ j

Exemple

Matrice inverse

La matrice s'appelle non dégénéré, si son déterminant n'est pas égal à zéro, sinon, la matrice est dite singulière

La matrice s'appelle union, s'il est constitué des compléments algébriques correspondants et est transposé

La matrice s'appelle inverseà une matrice donnée si leur produit est égal à la matrice identité du même ordre que la matrice donnée

Théorème sur l'existence d'une matrice inverse

Toute matrice non singulière a un inverse égal à la matrice d'union divisée par le déterminant de cette matrice

Algorithme pour trouver la matrice inverse A

1. Calculer le déterminant

1. Transposer la matrice

1. Construire une matrice d'union, calculer tous les compléments algébriques de la matrice transposée

1. Utilisez la formule :

Matrice mineure est un déterminant constitué d'éléments situés à l'intersection de k lignes et k colonnes sélectionnées d'une matrice donnée de taille mxn

Rang matriciel est l'ordre le plus élevé de la matrice mineure qui est non nul

Notation r(A), rangA

Rang est égal au nombre de lignes non nulles de la matrice de pas.

Exemple

Systèmes d'équations linéaires.

Un système d'équations linéaires contenant m équations et n inconnues est appelé un système de la forme

où sont les chiffres un IJ - coefficients du système, nombres b i - termes libres

Formulaire d'enregistrement matriciel systèmes d'équations linéaires

Solution système n valeurs d'inconnues c 1, c 2,…, c n sont appelées, en les substituant dans le système, toutes les équations du système se transforment en vraies égalités. La solution du système peut être écrite sous forme de vecteur colonne.

Le système d'équations s'appelle articulation, s'il a au moins une solution, et non conjoint, s'il n'y a pas de solutions.

Théorème de Kronecker-Capelli

Un système LU est cohérent si et seulement si le rang de la matrice principale est égal au rang de la matrice étendue

Méthodes pour résoudre un système LU

1. Méthode Gauss(à l'aide de transformations élémentaires, réduire la matrice étendue à une matrice échelonnée puis à une matrice canonique)

Les transformations élémentaires comprennent :

Réorganisation des lignes (colonnes)

Ajouter à une ligne (colonne) une autre, multipliée par un nombre autre que 0.

Créons une matrice étendue :

Sélectionnons l'élément de premier plan dans la première colonne et la première ligne, l'élément 1., et appelons-le premier. La ligne contenant l'élément de début ne changera pas. Réinitialisons les éléments sous la diagonale principale. Pour ce faire, ajoutez la première ligne à la deuxième ligne, multipliée par (-2). En additionnant la première ligne à la troisième ligne, multipliée par (-1), on obtient :

Échangeons les deuxième et troisième lignes. Rayez mentalement la première colonne et la première ligne et continuez l'algorithme pour la matrice restante. A la troisième ligne on ajoute la 2ème, multipliée par 5.

Nous avons amené la matrice étendue sous une forme échelonnée. En revenant aux équations du système, en partant de la dernière ligne et en remontant, on détermine les inconnues une à une.

2. Méthode matricielle(AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B ; matrice inverse de la matrice principale multipliée par la colonne de termes libres)

3. Méthode de Cramer.

La solution du système se trouve par la formule :

Où est le déterminant de la matrice principale modifiée, dans laquelle la ième colonne est remplacée par une colonne de termes libres, et est le déterminant principal, constitué des coefficients des inconnues.

Vecteurs.

Vecteur est un segment dirigé

Tout vecteur est donné par sa longueur (module) et sa direction.

Désignation : ou

où A est le début du vecteur, B est la fin du vecteur et est la longueur du vecteur.

Classification des vecteurs

Vecteur zéro est un vecteur dont la longueur est nulle

Vecteur unitaire est un vecteur dont la longueur est égale à un

Vecteurs égaux– ce sont deux vecteurs qui ont la même longueur et la même direction

Vecteurs opposés– ce sont deux vecteurs dont les longueurs sont égales et les directions opposées

Vecteurs colinéaires– ce sont deux vecteurs qui se trouvent sur la même droite ou sur des droites parallèles

Codirectionnel les vecteurs sont deux vecteurs colinéaires de même direction

Dirigé à l’opposé les vecteurs sont deux vecteurs colinéaires de directions opposées

Coplanaire les vecteurs sont trois vecteurs situés dans le même plan ou sur des plans parallèles

Système rectangulaire les coordonnées sur un plan sont deux lignes mutuellement perpendiculaires avec une direction et une origine sélectionnées, la ligne horizontale étant appelée axe des abscisses et la ligne verticale étant appelée axe des ordonnées

Pour chaque point d'un système de coordonnées rectangulaires, nous attribuons deux nombres : l'abscisse et l'ordonnée.

Système rectangulaire les coordonnées dans l'espace sont trois lignes droites mutuellement perpendiculaires avec une direction et une origine choisies, tandis que la ligne droite horizontale dirigée vers nous est appelée l'axe des abscisses, la ligne droite horizontale dirigée vers notre droite est l'axe des ordonnées et la ligne droite verticale dirigé vers le haut est appelé l'axe d'application

Pour chaque point d'un système de coordonnées rectangulaires, nous attribuons trois nombres : abscisse, ordonnée et applicatif

2. DÉTERMINANTS ET RÈGLE DE CRAMER

2.1. Déterminants du second ordre

Déterminant la matrice du deuxième ordre se trouve comme suit:

(2.1)
Il est égal au produit des éléments de la diagonale principale de la matrice moins le produit des éléments de la deuxième diagonale.

Par exemple,


Il convient de souligner encore une fois qu'une matrice est un tableau de nombres, tandis qu'un déterminant est un nombre déterminé à travers les éléments d'une matrice carrée.

Considérons maintenant un système de deux équations linéaires à deux inconnues :

En utilisant le concept de déterminant du 2ème ordre, la solution de ce système peut s'écrire comme suit :

(2.2)

C'est là La règle de Cramer résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues, à condition que 0.

Exemple 2.1. Résolvez un système d'équations linéaires en utilisant la règle de Cramer :

Solution . Trouvons les déterminants :



Informations historiques. Idée conceptuelle "déterminant" pourrait appartenir G.Leibniz(1646-1716), s'il avait développé et publié ses idées sur les déterminants, auxquelles il est arrivé en 1693. Par conséquent, la priorité dans le développement d'une méthode de déterminants pour résoudre des systèmes d'équations linéaires appartient à G. Kramer(1704-1752), qui a publié ses recherches sur ce sujet en 1750. Cependant, Cramer n'a pas construit une théorie à part entière des déterminants et il lui manquait également une notation pratique. La première étude approfondie consacrée aux déterminants a été A. Vandermonde(1735-1796) en 1772. Il donne une présentation logique de la théorie des déterminants et introduit la règle de décomposition d'un déterminant à l'aide de mineurs. Un exposé complet de la théorie des déterminants n'a été donné qu'en 1812.
J. Binet(1786-1856) et O. Cauchy(1789-1858). Terme "déterminant" ("déterminant") dans son sens moderne a été introduit par Cauchy (auparavant ce terme était utilisé par K. Gauss pour désigner le discriminant d'une forme quadratique).

2.2. Déterminants de troisième ordre

(2.3)

Naturellement, il est assez difficile de retenir cette formule. Cependant, il existe des règles qui facilitent l'écriture d'une expression pour un déterminant de troisième ordre.

Règle du triangle : les trois termes inclus dans l'expression originale avec un signe plus sont des produits d'éléments de la diagonale principale ou de triangles dont les bases sont parallèles à cette diagonale. Les trois termes restants accompagnés d'un signe moins se trouvent de la même manière, mais par rapport à la deuxième diagonale.

Règle de Sarrus : ajoutez la première puis la deuxième colonne à la matrice de droite. Alors les termes « positifs » seront sur les droites parallèles à la diagonale principale, et les termes « négatifs » sur les droites parallèles à la deuxième diagonale..

2.3. La règle de Cramer

En utilisant des déterminants du 3ème ordre, la solution d'un tel système peut s'écrire sous la même forme que pour un système de deux équations, c'est-à-dire

(2.4)

si 0. Ici

C'est là La règle de Cramer résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues.

Exemple 2.3. Résolvez un système d'équations linéaires en utilisant la règle de Cramer :

Solution . Trouver le déterminant de la matrice principale du système

Depuis 0, pour trouver une solution au système, nous pouvons appliquer la règle de Cramer, mais nous calculons d’abord trois déterminants supplémentaires :

Examen:

La solution a donc été trouvée correctement. 

Les règles de Cramer obtenues pour les systèmes linéaires du 2e et du 3e ordre suggèrent que les mêmes règles peuvent être formulées pour les systèmes linéaires de n'importe quel ordre. Cela arrive vraiment

Théorème de Cramer. Système quadratique d'équations linéaires avec un déterminant non nul de la matrice principale du système (0) a une et une seule solution et cette solution est calculée à l'aide des formules

(2.5)

Où  – déterminant de la matrice principale,  je – déterminant matriciel, obtenu du principal, remplaçantjeème colonne colonne des membres libres.

Notez que si =0, alors la règle de Cramer ne s’applique pas. Cela signifie que le système n’a aucune solution ou qu’il possède une infinité de solutions.

Après avoir formulé le théorème de Cramer, la question se pose naturellement du calcul des déterminants d'ordres supérieurs.

2.4. Déterminants du nième ordre

Par exemple, trouvons les mineurs et les compléments algébriques des éléments un 23 et un 31 qualifiés

Nous obtenons



En utilisant la notion de complément algébrique on peut formuler théorème de développement déterminantn-ème ordre par ligne ou colonne.

Théorème 2.1.Déterminant matricielUNest égal à la somme des produits de tous les éléments d'une certaine ligne (ou colonne) par leurs compléments algébriques :

(2.6)

Ce théorème est à la base de l'une des principales méthodes de calcul des déterminants, dite. méthode de réduction de commande. En raison de l'expansion du déterminant nème ordre sur n’importe quelle ligne ou colonne, nous obtenons n déterminants ( n–1)ème ordre. Pour avoir moins de tels déterminants, il est conseillé de sélectionner la ligne ou la colonne qui comporte le plus de zéros. En pratique, la formule de développement du déterminant s’écrit généralement sous la forme :

ceux. les ajouts algébriques sont écrits explicitement en termes de mineurs.

Exemples 2.4. Calculez les déterminants en les triant d’abord dans une ligne ou une colonne. En règle générale, dans de tels cas, sélectionnez la colonne ou la ligne contenant le plus de zéros. La ligne ou la colonne sélectionnée sera indiquée par une flèche.



2.5. Propriétés de base des déterminants

Propriété 1. Le déterminant ne changera pas si les lignes et les colonnes qu'il contient sont permutées, c'est-à-dire lors de la transposition d'une matrice:

.

Cette propriété indique l'égalité des lignes et des colonnes du déterminant. En d’autres termes, toute affirmation concernant les colonnes d’un déterminant est également vraie pour ses lignes et vice versa.

Propriété 2. Le déterminant change de signe lorsque deux lignes (colonnes) sont interverties.

Conséquence. Si le déterminant a deux lignes (colonnes) identiques, alors il est égal à zéro.

Propriété 3. Le facteur commun de tous les éléments d'une ligne (colonne) peut être retiré du signe déterminant.

Par exemple,

Conséquence. Si tous les éléments d'une certaine ligne (colonne) d'un déterminant sont égaux à zéro, alors le déterminant lui-même est égal à zéro.

Propriété 4. Le déterminant ne changera pas si les éléments d'une ligne (colonne) sont ajoutés aux éléments d'une autre ligne (colonne), multipliés par un certain nombre.

Par exemple,

Propriété 5. Le déterminant du produit des matrices est égal au produit des déterminants des matrices :

2.6.

Transformations élémentaires Les transformations suivantes sont appelées matrices : 1) multiplication d'une ligne (colonne) par un nombre non égal à zéro ; 2) ajouter une ligne (colonne) à une autre ; 3) réarrangement de deux lignes (colonnes).

Méthode de transformation élémentaire consiste à utiliser des transformations élémentaires, prenant en compte les propriétés des déterminants, pour réduire la matrice à une forme triangulaire.

Exemple 2.5. Calculer le déterminant à l'aide de transformations élémentaires, en les mettant sous forme triangulaire :



Exemple 2.6. Calculez le déterminant :

.

Solution . Simplifions ce déterminant puis calculons-le :

. 
Exemple 2.7. Calculer le déterminant
.

Solution . Méthode 1 .En utilisant des transformations élémentaires de la matrice, en tenant compte des propriétés des déterminants, nous obtiendrons des zéros dans n'importe quelle ligne ou colonne, puis nous développerons le déterminant résultant le long de cette ligne ou colonne :

–6

2

-2


.
Méthode 2 .A l'aide de transformations élémentaires de la matrice, prenant en compte les propriétés des déterminants, on réduit la matrice à une forme triangulaire :

. 

Le calcul des déterminants à l'aide de transformations élémentaires, en le réduisant à une forme triangulaire, est l'une des méthodes les plus courantes. Cela est dû au fait qu'il s'agit de la principale méthode de calcul des déterminants sur un ordinateur. Plus précisément, c'est l'une des modifications Méthode Gauss , qui est généralement utilisé lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires.

Exemple 2.8. Calculez le déterminant en utilisant la méthode gaussienne :

Solution. Considérez la première colonne et sélectionnez la ligne qui contient 1. S'il n'y a pas d'unités, alors vous devez créer cette unité à l'aide de transformations élémentaires : réorganiser des lignes ou des colonnes, les ajouter ou les soustraire les unes aux autres, les multiplier ou les diviser par certains. nombre (en tenant compte, bien entendu, des propriétés des déterminants). Prenons comme base la deuxième ligne et utilisons-la pour obtenir des zéros dans la première colonne :

Après cela, on ne prête plus attention à la première ligne. Regardons la 2ème colonne.

Le résultat est une matrice triangulaire. Pour calculer le déterminant, il suffit de multiplier les éléments matriciels situés sur la diagonale principale. Ainsi, nous obtenons la réponse : –2(–1)(–1)1334 = –264. 

Leçon pratique

Sujet: Calcul des déterminants.

Objectifs: h renforcer les notions de déterminants et de leurs propriétés, former et consolider des compétences et des capacités calculer les déterminants des 2e et 3e ordres ; développer la capacité de généraliser les connaissances acquises, de mener des analyses et des comparaisons, de favoriser le développement de la pensée logique ; cultiver chez les étudiants une attitude consciente envers le processus d'apprentissage.

I. Principes théoriques généraux

Un déterminant du second ordre est un nombre

Un déterminant du troisième ordre est un nombre

Propriétés des déterminants

Propriété 1.
Le déterminant ne changera pas si toutes les lignes sont remplacées par les colonnes correspondantes et vice versa.

Propriété 2.
Lorsque deux lignes ou colonnes sont permutées, le déterminant change de signe.

Propriété 3.
Un déterminant est égal à zéro s’il comporte deux lignes (colonnes) égales.

Propriété 4.
Un facteur commun à tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne peut être retiré du signe déterminant.

Propriété 5.
Si les éléments correspondants d'une autre ligne ou colonne sont ajoutés aux éléments d'une ligne ou d'une colonne, le déterminant ne changera pas.

Corollaire des propriétés 4 et 5 : Si aux éléments d'une ligne ou d'une colonne on ajoute les éléments correspondants d'une autre ligne ou colonne, multipliés par un certain nombre, alors le déterminant ne changera pas.

Questions de sécurité :

1.Donner la définition d’une matrice.
2. Que signifie le symbole ? ?
3. Quelle matrice est dite transposée par rapport à la matrice A ?
4. Quelle matrice est appelée carré d'ordre n ?
5. Définissez un déterminant du 2ème ordre.

6. Définissez un déterminant du 3ème ordre.

7. Quel est le déterminant d’une matrice transposée ?

8. Comment la valeur du déterminant changera-t-elle si 2 lignes (colonnes) sont échangées dans la matrice ?

9. Est-il possible de retirer le facteur commun d'une ligne ou d'une colonne du signe déterminant ?

10.Quel est le déterminant si tous les éléments d'une certaine ligne (colonne) sont égaux à 0 ?

11. À quoi est égal le déterminant s'il a deux lignes (colonnes) identiques ?

12. Formulez une règle pour calculer le déterminant du 2e ordre.

13. Formulez une règle pour calculer le déterminant du 3ème ordre.

II . Formation de compétences et d'aptitudes.

Exemple 1. Vous numérotez le déterminant : a) selon la règle du triangle b) selon la règle de Sarrus ;

c) par la méthode d'expansion par éléments de la première rangée

Solution:

b) additionner les deux premières colonnes et calculer le produit de trois éléments le long de la diagonale principale et parallèlement à celle-ci avec un signe (+), puis le long de la diagonale secondaire et parallèlement à celle-ci avec un signe (-) :

on obtient :

Exemple 2. Calculer le déterminant de deux manières : en utilisant le développement de la première ligne et la règle du triangle.

Solution:

Exemple 3. Calculez le déterminant à l'aide des propriétés :

III .Renforcement du matériau étudié.

N°1. Calculer les déterminants :

№ 2. Résolvez les équations :

N° 4. Calculer les déterminants à l'aide des propriétés :

1 .
. 2.
. 3.
. 4 .
.

Littérature

1. Pismenny, D. T. Notes de cours sur les mathématiques supérieures : un cours complet par D. T. Pismenny. – 9e éd. – M. : Iris-presse, 2009. 608 p. : ill. – (Enseignement supérieur).

2. Lungu, K. N. Recueil de problèmes en mathématiques supérieures. 1ère année / K. N. Lungu, D. T. Pismenny, S. N. Fedin, Yu. – 7e éd. – M. : Iris-press, 2008. 576 pp. : – (Enseignement supérieur).

Thème 1. Matrices et systèmes

Notion de matrice

Définition 1.Matrice

.

Ici, un je j (je=1,2,...,m; j=1,2,...n) - éléments matriciels, je- le numéro de ligne, j m=n la matrice s'appelle carré matrice de commande n.

je¹j sont égaux à zéro, est appelé diagonale:

célibataire

nul et est noté θ.

- ligne de la matrice; - colonne matricielle.

déterminant(ou déterminant).

Déterminants du 2ème ordre

Définition 2. À PROPOS limiteur de second ordre matrices , c'est

. (3)

Autres désignations : , .

Ainsi, la notion de déterminant présuppose simultanément une méthode pour son calcul. Les nombres sont appelés éléments du déterminant. La diagonale formée par les éléments s'appelle principal et les éléments - côté

Exemple 1. Le déterminant de la matrice est égal à

.

Déterminants du 3ème ordre

Définition 2. À PROPOS limiteur de troisième ordre est le nombre indiqué par le symbole

,

et défini par l'égalité

Chiffres - éléments déterminant. Formulaire d'éléments maison diagonale, éléments - côté.

Lors du calcul du déterminant, afin de rappeler quels termes du côté droit de l'égalité (4) sont pris avec le signe « + » et lesquels avec le signe « - », utilisez la règle symbolique des triangles (règle de Sarrus) :

Avec le signe « + », on prend les produits des éléments de la diagonale principale et des éléments situés aux sommets des triangles de bases parallèles à la diagonale principale ; suivi du signe « - » – le produit des éléments de la diagonale secondaire et des éléments situés aux sommets des triangles de bases parallèles à la diagonale secondaire.

Calcul du déterminant à l'aide de la règle d'affectation des colonnes.

1. Nous attribuons séquentiellement les première et deuxième colonnes à droite du déterminant.

2. On calcule les produits de trois éléments en diagonale de gauche à droite, de haut en bas à partir de UN 11 à UN 13 et prenez-les avec le signe « + ». Ensuite on calcule les produits de trois éléments en diagonale de gauche à droite, de bas en haut à partir de UN 31 à UN 13 et prenez-les avec le signe « - ».

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

Exemple 2. Calculez le déterminant à l'aide de la règle d'affectation des colonnes.

3. Déterminants n-ième ordre. Mineurs et compléments algébriques. Calcul des déterminants par développement de lignes (colonnes).

Considérons le concept de déterminant n- pas de commande. Déterminant n- l'ordre élevé est le nombre associé à la matrice n- d'un certain ordre et calculé selon une certaine loi.

,

voici les éléments du déterminant. Montrer la règle par laquelle le déterminant est révélé n- ordre, regardons quelques concepts.

Définition 4. Mineureélément déterminant n-ème ordre est appelé le déterminant ( n- 1) ordre obtenu en barrant la ligne et la colonne du déterminant à l'intersection desquels se trouve cet élément.

Définition 5. Complément algébrique un élément du déterminant n Le ème ordre est appelé le mineur de cet élément multiplié par , c'est-à-dire .

Dans un déterminant du troisième ordre, on peut considérer, par exemple,

, .

, .

Définition 6. Déterminant n- d'ordre supérieur est un nombre égal à la somme des produits des éléments de la première ligne du déterminant multipliée par leurs compléments algébriques.

Cette règle de calcul du déterminant s'appelle expansion le long de la première rangée.

Théorème (sur le développement du déterminant). Le déterminant peut être calculé en développant sur n’importe quelle ligne ou colonne.

– la somme des produits des éléments de la 1ère colonne par les compléments algébriques de la 2ème colonne.

Exemple 3. Calculer le déterminant du quatrième ordre .

Solution. Nous multiplions la troisième ligne par (-1) et l'ajoutons à la quatrième, puis développons le déterminant le long de la quatrième ligne :

Le déterminant de troisième ordre a été développé le long de la première ligne.

Méthode Gauss.

Méthode Gauss c'est que le système originel, en éliminant l'inconnu, se transforme en par étapes esprit. Dans ce cas, les transformations sont effectuées sur les lignes de la matrice étendue, puisque les transformations qui excluent les inconnues sont équivalentes aux transformations élémentaires des lignes de la matrice.

La méthode gaussienne consiste à course vers l'avant Et inverse. L'approche directe de la méthode de Gauss consiste à réduire la matrice étendue du système (1) à une forme pas à pas au moyen de transformations élémentaires sur les lignes. Après quoi, le système est examiné pour en vérifier la cohérence et la certitude. Ensuite, le système d'équations est reconstruit à l'aide de la matrice par étapes. La solution de ce système d'équations pas à pas est l'inverse de la méthode gaussienne, dans laquelle, à partir de la dernière équation, les inconnues avec un grand numéro de série sont calculées séquentiellement et leurs valeurs sont substituées dans l'équation précédente du système.

L'étude du système en fin d'avancée est réalisée selon le théorème de Kronecker-Capelli en comparant les rangs de la matrice système A et de la matrice étendue A´. Les cas suivants sont possibles.

1) Si , alors le système est incohérent (selon le théorème de Kronecker-Capelli).

2) Si , alors le système (1) est défini, et vice versa (sans preuve).

3) Si , alors le système (1) est incertain, et vice versa (sans preuve).

Inégalité n'est pas vrai, puisque la matrice A fait partie de la matrice A´, l'inégalité n'est pas vraie, puisque le nombre de colonnes de la matrice A est égal n. De plus, pour un système à matrice carrée, c'est-à-dire si n = T, les égalités sont équivalentes au fait que .

Si le système est incertain, c'est-à-dire s'il est exécuté, alors certaines de ses inconnues sont déclarées libres et le reste s'exprime à travers elles. Le nombre d'inconnues libres est . Lors de l'exécution de l'inverse de la méthode gaussienne, si dans l'équation suivante, après substitution des variables trouvées précédemment, il reste plus d'une inconnue, alors toutes les inconnues sauf une sont déclarées inconnues libres.

Examinons l'implémentation de la méthode Gauss à l'aide d'exemples.

Exemple 4. Résoudre le système d'équations

Solution. Résolvons le système en utilisant la méthode gaussienne. Écrivons la matrice étendue du système et réduisons-la à une forme pas à pas par transformations élémentaires de lignes (mouvement direct).

~ ~ ~

~ ~ .

Par conséquent, le système est cohérent et a une solution unique, c'est-à-dire est certain.

Créons un système pas à pas et résolvons-le (inverse).

Le contrôle peut être facilement effectué par substitution.

Répondre: .

Thème 2. Algèbre vectorielle.

Projection d'un vecteur sur un axe.

Définition 2. Projection vectorielle par axe je est un nombre égal à la longueur du segment AB cet axe, enserré entre les projections du début et de la fin du vecteur, pris avec le signe « + », si le segment AB orienté (en comptant de UNÀ DANS) du côté positif de l'axe je et le signe «-» - sinon (voir Fig. 2).

Désignation: .

Théorème 1. La projection d'un vecteur sur l'axe est égale au produit de son module et du cosinus de l'angle entre le vecteur et la direction positive de l'axe (Fig. 3) :

. (1)

Figure 3. Figure 4.

Preuve. À partir de (Fig. 3), nous obtenons . La direction du segment coïncide avec la direction positive de l’axe, donc l’égalité est vraie. Dans le cas de l'orientation opposée (Fig. 4) nous avons . Le théorème a été prouvé.

Considérons les propriétés des projections.

Propriété 1. La projection de la somme de deux vecteurs et sur l'axe est égale à la somme de leurs projections sur le même axe, c'est-à-dire.

Figure 5.

La preuve dans le cas d'un des arrangements possibles de vecteurs découle de la figure 5. En effet, par définition 2

La propriété 1 est vraie pour tout nombre fini de termes vectoriels.

Propriété 2. Lorsqu'un vecteur est multiplié par un nombre l, sa projection est multipliée par ce nombre

. (2)

Montrons l'égalité (2). Lorsque les vecteurs et forment le même angle avec l'axe. Par le théorème 1

Lorsque les vecteurs et forment des angles et avec l'axe, respectivement. Théorème 1

Pour , on obtient l’égalité évidente

Corollaire des propriétés 1 et 2. La projection d'une combinaison linéaire de vecteurs est égale à la même combinaison linéaire des projections de ces vecteurs, c'est-à-dire

Thème 1. Matrices et systèmes

Notion de matrice

Définition 1.Matrice la taille est un tableau rectangulaire de nombres ou d'expressions alphabétiques écrites sous la forme

.

Ici, un je j (je=1,2,...,m; j=1,2,...n) - éléments matriciels, je- le numéro de ligne, j- numéro de colonne. Les matrices sont généralement désignées par les lettres majuscules de l'alphabet latin A, B, C, etc., ainsi que par ou . À m=n la matrice s'appelle carré matrice de commande n.

Une matrice carrée dans laquelle tous les éléments ont des indices inégaux je¹j sont égaux à zéro, est appelé diagonale:

Si tous les éléments non nuls d'une matrice diagonale sont égaux à un, alors la matrice s'appelle célibataire. La matrice d'identité est généralement désignée par la lettre E.

Une matrice dont les éléments sont tous nuls s’appelle nul et est noté θ.

Il existe également des matrices constituées d'une ligne ou d'une colonne.

- ligne de la matrice; - colonne matricielle.

La caractéristique numérique d'une matrice carrée est déterminant(ou déterminant).

Déterminants du 2ème ordre et du 3ème ordre, leurs propriétés.

Déterminants du 2ème ordre

Définition 2. À PROPOS limiteur de second ordre matrices (ou simplement un déterminant du second ordre) est un nombre désigné par un symbole et défini par l'égalité , c'est

. (3)

Autres désignations : , .

Pour trouver le déterminant d'une matrice, vous devez utiliser des formules valables pour les déterminants du 2e et du 3e ordre.

Formule

Soit une matrice du second ordre $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(pmatrix) $. Ensuite son déterminant est calculé à l'aide de la formule :

$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(vmatrix) = a_(11)\cdot a_(22) - a_(12)\ cdot a_(21) $$

Du produit des éléments situés sur la diagonale principale $ a_(11)\cdot a_(22) $, on soustrait le produit des éléments situés sur la diagonale secondaire $ a_(12)\cdot a_(21) $. Cette règle n'est vraie que (!) pour un déterminant du 2ème ordre.

Si on lui donne une matrice de troisième ordre $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32) &a_ (33) \end(pmatrix) $, alors son déterminant doit être calculé à l'aide de la formule :

$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33) \fin(vmatrix) = $$

$$ = a_(11)a_(22)a_(33) + a_(12)a_(23)a_(31)+a_(21)a_(32)a_(13) - a_(13)a_(22) a_(31)-a_(23)a_(32)a_(11)-a_(12)a_(21)a_(33) $$

Exemples de solutions