Quelle est la solution à une inégalité ? Quelques points sur la manière de résoudre les inégalités

Par exemple, l'inégalité est l'expression \(x>5\).

Types d'inégalités :

Si \(a\) et \(b\) sont des nombres ou , alors l'inégalité est appelée numérique. Il s'agit en fait simplement de comparer deux nombres. Ces inégalités se répartissent en fidèle Et infidèle.

Par exemple:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) est une inégalité numérique incorrecte, puisque \(17+3=20\) et \(20\) est inférieur à \(115\) (et non supérieur ou égal à) .

Si \(a\) et \(b\) sont des expressions contenant une variable, alors nous avons inégalité avec variable. Ces inégalités sont divisées en types selon le contenu :

Quelle est la solution à une inégalité ?

Si vous remplacez un nombre par une variable dans une inégalité, celle-ci deviendra numérique.

Si une valeur donnée pour x transforme l’inégalité d’origine en une véritable inégalité numérique, alors on l’appelle solution aux inégalités. Si ce n’est pas le cas, cette valeur n’est pas une solution. Et pour que résoudre les inégalités– il faut trouver toutes ses solutions (ou montrer qu’il n’y en a pas).

Par exemple, si nous substituons le nombre \(7\) dans l'inégalité linéaire \(x+6>10\), nous obtenons l'inégalité numérique correcte : \(13>10\). Et si nous substituons \(2\), il y aura une inégalité numérique incorrecte \(8>10\). Autrement dit, \(7\) est une solution à l’inégalité d’origine, mais \(2\) ne l’est pas.

Cependant, l’inégalité \(x+6>10\) a d’autres solutions. En effet, nous obtiendrons les inégalités numériques correctes en substituant \(5\), et \(12\), et \(138\)... Et comment trouver toutes les solutions possibles ? Pour cela ils utilisent. Pour notre cas nous avons :

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Autrement dit, tout nombre supérieur à quatre nous convient. Vous devez maintenant écrire la réponse. Les solutions aux inégalités sont généralement écrites numériquement, en les marquant en outre sur l'axe des nombres avec un ombrage. Pour notre cas nous avons :

Répondre: \(x\in(4;+\infty)\)

Quand le signe d’une inégalité change-t-il ?

Il existe un grand piège dans les inégalités dans lequel les étudiants « aiment » vraiment tomber :

Lorsqu’on multiplie (ou divise) une inégalité par un nombre négatif, elle est inversée (« plus » par « moins », « plus ou égal » par « inférieur ou égal », etc.)

Pourquoi cela se produit-il ? Pour comprendre cela, regardons les transformations de l'inégalité numérique \(3>1\). C’est exact, trois est effectivement supérieur à un. Tout d'abord, essayons de le multiplier par n'importe quel nombre positif, par exemple deux :

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Comme nous pouvons le voir, après multiplication, l’inégalité reste vraie. Et quel que soit le nombre positif par lequel nous multiplions, nous obtiendrons toujours la bonne inégalité. Essayons maintenant de multiplier par un nombre négatif, par exemple moins trois :

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Le résultat est une inégalité incorrecte, car moins neuf est inférieur à moins trois ! Autrement dit, pour que l'inégalité devienne vraie (et donc que la transformation de la multiplication par négatif soit « légale »), vous devez inverser le signe de comparaison, comme ceci : \(−9<− 3\).
Avec la division, cela fonctionnera de la même manière, vous pouvez le vérifier vous-même.

La règle écrite ci-dessus s’applique à tous les types d’inégalités, pas seulement aux inégalités numériques.

Répondre: \(x\in(-1;\infty)\)

Inégalités et handicap

Les inégalités, tout comme les équations, peuvent avoir des restrictions sur , c'est-à-dire sur les valeurs de x. En conséquence, les valeurs inacceptables selon le DZ devraient être exclues de la gamme de solutions.

Exemple: Résoudre l'inégalité \(\sqrt(x+1)<3\)

Solution: Il est clair que pour que le côté gauche soit inférieur à \(3\), l'expression radicale doit être inférieure à \(9\) (après tout, à partir de \(9\) juste \(3\)). On obtient :

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Tous? Toute valeur de x inférieure à \(8\) nous conviendra ? Non! Car si l’on prend, par exemple, la valeur \(-5\) qui semble répondre à l’exigence, ce ne sera pas une solution à l’inégalité originelle, puisqu’elle nous amènera à calculer la racine d’un nombre négatif.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Par conséquent, nous devons également prendre en compte les restrictions sur la valeur de X - il ne peut pas être tel qu'il y ait un nombre négatif sous la racine. Ainsi, nous avons la deuxième exigence pour x :

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Et pour que x soit la solution finale, il doit satisfaire aux deux exigences à la fois : il doit être inférieur à \(8\) (pour être une solution) et supérieur à \(-1\) (pour être admissible en principe). En le traçant sur la droite numérique, nous avons la réponse finale :

Répondre: \(\gauche[-1;8\droite)\)

En termes plus simples, on peut dire qu'il s'agit d'inégalités dans lesquelles il n'y a une variable qu'au premier degré, et elle n'est pas au dénominateur de la fraction.

\(\frac(3y-4)(5)\) \(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

Exemples d'inégalités non linéaires :

\(3>-2\) – il n'y a pas de variables ici, seulement des nombres, ce qui signifie qu'il s'agit d'une inégalité numérique
\(\frac(-14)((y-3)^(2)-5)\) \(\leq0\) – il y a une variable dans le dénominateur, ceci
\(5(x-1)-2x>3x^(2)-8\) - il y a une variable à la puissance seconde, c'est

Résoudre les inégalités linéaires

Résoudre les inégalités il y aura n'importe quel nombre dont la substitution à la place de la variable rendra l'inégalité vraie. Résoudre les inégalités- signifie trouver tous ces nombres.

Par exemple, pour l’inégalité \(x-2>0\) le nombre \(5\) sera la solution, car en remplaçant cinq au lieu de x, nous obtenons le nombre correct : \(3>0\). Mais le nombre \(1\) ne sera pas une solution, puisque la substitution entraînera une inégalité numérique incorrecte : \(-1>0\) . Mais la solution de l'inégalité sera non seulement cinq, mais aussi \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) et un nombre infini de nombres : tout nombre supérieur à deux.

Par conséquent, les inégalités linéaires ne peuvent pas être résolues en recherchant et en substituant des valeurs. Au lieu de cela, les utiliser conduire à l’un des événements suivants :

\(x c\), \(x\leqс\), \(x\geqс\), où \(с\) est n'importe quel nombre

La réponse est ensuite marquée sur la droite numérique et écrite sous la forme (également appelé intervalle).

En général, si vous savez résoudre, vous pouvez alors créer des inégalités linéaires, car le processus de résolution est très similaire. Il n'y a qu'un seul ajout important :

Exemple. Résoudre l'inégalité \(2(x+1)-1<7+8x\)
Solution:

Répondre: \(x\in(-1;\infty)\)

Cas particulier n°1 : solution à l’inégalité – nombre quelconque

Dans les inégalités linéaires, une situation est possible où absolument n'importe quel nombre peut être utilisé comme solution - entier, fractionnaire, négatif, positif, zéro... Par exemple, cette inégalité \(x+2>x\) sera vraie pour tout valeur de x. Eh bien, comment pourrait-il en être autrement, car un deux a été ajouté au X à gauche, mais pas à droite. Naturellement, un plus grand nombre sera obtenu à gauche, quel que soit X que nous prenons.

Exemple. Résoudre l'inégalité \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Solution:

Répondre: \(x\in(-\infty;\infty)\)

Cas particulier n°2 : les inégalités n’ont pas de solutions

La situation inverse est également possible, lorsqu’une inégalité linéaire n’a aucune solution, c’est-à-dire qu’aucun x ne la rendra vraie. Par exemple, \(x-2>x\) ne sera jamais vrai, car deux est soustrait de x à gauche, mais pas à droite. Cela signifie qu’à gauche il y en aura toujours moins, pas plus.

Exemple. Résoudre l'inégalité \(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)
Solution:

Répondre: \(x\dans\varnothing\)

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Tout le monde ne sait pas comment résoudre les inégalités qui, dans leur structure, présentent des caractéristiques similaires et distinctives avec les équations. Une équation est un exercice composé de deux parties, entre lesquelles il y a un signe égal, et entre les parties de l'inégalité il peut y avoir un signe « plus que » ou « moins que ». Ainsi, avant de trouver une solution à une inégalité particulière, il faut comprendre qu'il vaut la peine de considérer le signe du nombre (positif ou négatif) s'il est nécessaire de multiplier les deux côtés par une expression. Le même fait doit être pris en compte si la quadrature est nécessaire pour résoudre une inégalité, puisque la quadrature s'effectue par multiplication.

Comment résoudre un système d'inégalités

Il est beaucoup plus difficile de résoudre les systèmes d’inégalités que les inégalités ordinaires. Voyons comment résoudre les inégalités en 9e année à l'aide d'exemples précis. Il faut comprendre qu'avant de résoudre des inégalités quadratiques (systèmes) ou tout autre système d'inégalités, il est nécessaire de résoudre chaque inégalité séparément, puis de les comparer. La solution à un système d’inégalités sera soit une réponse positive, soit une réponse négative (que le système ait une solution ou non).

La tâche consiste à résoudre un ensemble d’inégalités :

Résolvons chaque inégalité séparément

Nous construisons une droite numérique sur laquelle nous décrivons un ensemble de solutions

Puisqu'un ensemble est une union d'ensembles de solutions, cet ensemble sur la droite numérique doit être souligné par au moins une ligne.

Résoudre les inégalités avec le module

Cet exemple montrera comment résoudre des inégalités avec module. Nous avons donc une définition :

Nous devons résoudre l’inégalité :

Avant de résoudre une telle inégalité, il faut se débarrasser du module (signe)

Écrivons, à partir des données de définition :

Vous devez maintenant résoudre chacun des systèmes séparément.

Construisons une droite numérique sur laquelle nous décrivons les ensembles de solutions.

Nous disposons ainsi d’une collection qui combine de nombreuses solutions.

Résoudre les inégalités quadratiques

À l’aide de la droite numérique, regardons un exemple de résolution d’inégalités quadratiques. On a une inégalité :

Nous savons que le graphique d’un trinôme quadratique est une parabole. On sait aussi que les branches de la parabole sont dirigées vers le haut si a>0.

x2-3x-4< 0

En utilisant le théorème de Vieta, nous trouvons les racines x 1 = - 1 ; x2 = 4

Dessinons une parabole, ou plutôt un croquis de celle-ci.

Ainsi, nous avons découvert que les valeurs du trinôme quadratique seront inférieures à 0 sur l'intervalle de – 1 à 4.

Beaucoup de gens se posent des questions lors de la résolution de doubles inégalités comme g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

En fait, il existe plusieurs méthodes pour résoudre les inégalités, vous pouvez donc utiliser la méthode graphique pour résoudre des inégalités complexes.

Résoudre les inégalités fractionnaires

Les inégalités fractionnaires nécessitent une approche plus prudente. Cela est dû au fait que lors du processus de résolution de certaines inégalités fractionnaires, le signe peut changer. Avant de résoudre des inégalités fractionnaires, vous devez savoir que la méthode des intervalles est utilisée pour les résoudre. Une inégalité fractionnaire doit être présentée de telle manière qu'un côté du signe ressemble à une expression rationnelle fractionnaire et l'autre côté ressemble à « - 0 ». En transformant ainsi l’inégalité, on obtient comme résultat f(x)/g(x) > (.

Résoudre les inégalités à l'aide de la méthode des intervalles

La technique des intervalles est basée sur la méthode d'induction complète, c'est-à-dire qu'il est nécessaire de parcourir toutes les options possibles pour trouver une solution à l'inégalité. Cette méthode de résolution n'est peut-être pas nécessaire pour les élèves de 8e année, car ils doivent savoir comment résoudre les inégalités de 8e année, qui sont des exercices simples. Mais pour les classes plus âgées, cette méthode est indispensable, car elle permet de résoudre les inégalités fractionnaires. La résolution des inégalités à l'aide de cette technique repose également sur une propriété d'une fonction continue telle que la préservation du signe entre les valeurs dans lesquelles elle tend vers 0.

Construisons un graphique du polynôme. Il s'agit d'une fonction continue qui prend la valeur 0 3 fois, c'est-à-dire que f(x) sera égal à 0 aux points x 1, x 2 et x 3, racines du polynôme. Dans les intervalles entre ces points, le signe de la fonction est conservé.

Puisque pour résoudre l'inégalité f(x)>0 nous avons besoin du signe de la fonction, nous passons à la ligne de coordonnées en quittant le graphique.

f(x)>0 pour x(x 1 ; x 2) et pour x(x 3 ;)

f(x)x(- ; x 1) et à x (x 2 ; x 3)

Le graphique montre clairement les solutions des inégalités f(x)f(x)>0 (la solution de la première inégalité est en bleu et la solution de la seconde en rouge). Pour déterminer le signe d'une fonction sur un intervalle, il suffit de connaître le signe de la fonction en l'un des points. Cette technique permet de résoudre rapidement les inégalités dans lesquelles le côté gauche est factorisé, car dans de telles inégalités, il est assez facile de trouver les racines.

L’un des sujets qui nécessite un maximum d’attention et de persévérance de la part des étudiants est la résolution des inégalités. Tellement semblable aux équations et en même temps très différente d'elles. Parce que les résoudre nécessite une approche particulière.

Propriétés qui seront nécessaires pour trouver la réponse

Tous sont utilisés pour remplacer une entrée existante par une entrée équivalente. La plupart d’entre eux sont similaires à ce qui figurait dans les équations. Mais il existe aussi des différences.

• Une fonction définie dans l'ODZ, ou n'importe quel nombre, peut être ajoutée aux deux côtés de l'inégalité d'origine.
• De même, la multiplication est possible, mais uniquement par une fonction ou un nombre positif.
• Si cette action est effectuée avec une fonction ou un nombre négatif, alors le signe d'inégalité doit être remplacé par le signe opposé.
• Les fonctions non négatives peuvent être élevées à une puissance positive.

Parfois, la résolution des inégalités s’accompagne d’actions qui apportent des réponses superflues. Ils doivent être éliminés en comparant le domaine DL et l'ensemble des solutions.

Utiliser la méthode des intervalles

Son essence est de réduire l’inégalité à une équation dans laquelle il y a un zéro du côté droit.

1. Déterminez la zone où se trouvent les valeurs admissibles des variables, c'est-à-dire l'ODZ.
2. Transformez l'inégalité à l'aide d'opérations mathématiques pour que le côté droit ait un zéro.
3. Remplacez le signe d'inégalité par « = » et résolvez l'équation correspondante.
4. Sur l'axe numérique, marquez toutes les réponses obtenues lors de la solution, ainsi que les intervalles OD. En cas d'inégalité stricte, les points doivent être tirés en pointillés. S'il y a un signe égal, ils doivent être repeints.
5. Déterminez le signe de la fonction d'origine sur chaque intervalle obtenu à partir des points de l'ODZ et les réponses qui le divisent. Si le signe de la fonction ne change pas lors du passage par un point, alors il est inclus dans la réponse. Sinon, il est exclu.
6. Les points limites de l'ODZ doivent être vérifiés davantage et ensuite seulement inclus ou non dans la réponse.
7. La réponse obtenue doit être écrite sous forme d’ensembles combinés.

Un peu sur les doubles inégalités

Ils utilisent deux signes d'inégalité à la fois. Autrement dit, certaines fonctions sont limitées par des conditions deux fois à la fois. De telles inégalités sont résolues comme un système de deux, lorsque l'original est divisé en parties. Et dans la méthode des intervalles, les réponses issues de la résolution des deux équations sont indiquées.

Pour les résoudre, il est également permis d'utiliser les propriétés indiquées ci-dessus. Avec leur aide, il est pratique de réduire les inégalités à zéro.

Qu’en est-il des inégalités qui ont un module ?

Dans ce cas, la solution des inégalités utilise les propriétés suivantes, et elles sont valables pour une valeur positive de « a ».

Si « x » prend une expression algébrique, alors les remplacements suivants sont valides :

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a à x< -a или х >un.

Si les inégalités ne sont pas strictes, alors les formules sont également correctes, seulement en elles, en plus du signe plus ou moins, « = » apparaît.

Comment résoudre un système d’inégalités ?

Cette connaissance sera requise dans les cas où une telle tâche est confiée ou s'il existe un enregistrement de double inégalité ou si un module apparaît dans l'enregistrement. Dans une telle situation, la solution sera les valeurs des variables qui satisferaient toutes les inégalités de l'enregistrement. S’il n’existe pas de tels chiffres, le système n’a pas de solutions.

Le plan selon lequel s'effectue la solution du système d'inégalités :

• résolvez chacun d’eux séparément ;
• représenter tous les intervalles sur l'axe des nombres et déterminer leurs intersections ;
• notez la réponse du système, qui sera une combinaison de ce qui s’est passé dans le deuxième paragraphe.

Que faire des inégalités fractionnaires ?

Étant donné que les résoudre peut nécessiter un changement du signe de l'inégalité, vous devez suivre très attentivement et attentivement tous les points du plan. Sinon, vous pourriez obtenir la réponse inverse.

La résolution des inégalités fractionnaires utilise également la méthode des intervalles. Et le plan d'action sera le suivant :

• En utilisant les propriétés décrites, donnez à la fraction une forme telle qu'il ne reste que zéro à droite du signe.
• Remplacez l'inégalité par « = » et déterminez les points auxquels la fonction sera égale à zéro.
• Marquez-les sur l’axe des coordonnées. Dans ce cas, les nombres obtenus à la suite de calculs au dénominateur seront toujours pointés. Tous les autres sont basés sur la condition d’inégalité.
• Déterminez les intervalles de constance du signe.
• En réponse, notez l'union des intervalles dont le signe correspond à celui de l'inégalité d'origine.

Situations où l'irrationalité apparaît dans les inégalités

En d’autres termes, il existe une racine mathématique dans la notation. Étant donné que dans le cours d'algèbre scolaire, la plupart des tâches concernent la racine carrée, c'est ce qui sera pris en compte.

La solution aux inégalités irrationnelles revient à obtenir un système à deux ou trois qui sera équivalent à celui d’origine.

Exemples de résolution de différents types d’inégalités

Afin de clarifier la théorie sur la résolution des inégalités, des exemples sont donnés ci-dessous.

Premier exemple. 2x - 4 > 1 + x

Solution : Pour déterminer la DJA, il suffit de regarder de près les inégalités. Il est formé de fonctions linéaires, il est donc défini pour toutes les valeurs de la variable.

Vous devez maintenant soustraire (1 + x) des deux côtés de l’inégalité. Il s'avère : 2x - 4 - (1 + x) > 0. Une fois les parenthèses ouvertes et des termes similaires donnés, l'inégalité prendra la forme suivante : x - 5 > 0.

En l'assimilant à zéro, il est facile de trouver sa solution : x = 5.

Maintenant, ce point avec le chiffre 5 doit être marqué sur le rayon de coordonnées. Vérifiez ensuite les signes de la fonction d'origine. Sur le premier intervalle de moins l'infini à 5, vous pouvez prendre le nombre 0 et le substituer à l'inégalité obtenue après les transformations. Après calculs, il s'avère -7 >0. sous l'arc de l'intervalle, vous devez signer un signe moins.

Sur l'intervalle suivant de 5 à l'infini, vous pouvez choisir le chiffre 6. Il s'avère alors que 1 > 0. Il y a un signe « + » sous l'arc. Ce deuxième intervalle sera la réponse à l'inégalité.

Réponse : x se situe dans l’intervalle (5 ; ∞).

Deuxième exemple. Il faut résoudre un système de deux équations : 3x + 3 ≤ 2x + 1 et 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Solution. La VA de ces inégalités se situe également dans la région de n'importe quel nombre, puisque des fonctions linéaires sont données.

La deuxième inégalité prendra la forme de l'équation suivante : 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Après transformation : -x - 4 =0. Cela produit une valeur pour la variable égale à -4.

Ces deux nombres doivent être marqués sur l'axe, représentant les intervalles. Puisque l’inégalité n’est pas stricte, tous les points doivent être ombrés. Le premier intervalle va de moins l’infini à -4. Laissez le nombre -5 être choisi. La première inégalité donnera la valeur -3, et la seconde 1. Cela signifie que cet intervalle n'est pas inclus dans la réponse.

Le deuxième intervalle est de -4 à -2. Vous pouvez choisir le nombre -3 et le remplacer dans les deux inégalités. Dans le premier et le second, la valeur est -1. Cela signifie que sous l'arc "-".

Dans le dernier intervalle de -2 à l’infini, le meilleur nombre est zéro. Vous devez le remplacer et trouver les valeurs des inégalités. Le premier d’entre eux produit un nombre positif et le second un zéro. Cette lacune doit également être exclue de la réponse.

Parmi les trois intervalles, un seul est une solution à l’inégalité.

Réponse : x appartient à [-4 ; -2].

Troisième exemple. |1 -x| > 2 |x - 1|.

Solution. La première étape consiste à déterminer les points auxquels les fonctions disparaissent. Pour celui de gauche, ce nombre sera 2, pour celui de droite - 1. Ils doivent être marqués sur la poutre et les intervalles de constance du signe déterminés.

Sur le premier intervalle, de moins l'infini à 1, la fonction du côté gauche de l'inégalité prend des valeurs positives et la fonction du côté droit prend des valeurs négatives. Sous l'arc, vous devez écrire deux signes « + » et « - » côte à côte.

L'intervalle suivant est de 1 à 2. Sur celui-ci, les deux fonctions prennent des valeurs positives. Cela signifie qu'il y a deux avantages sous l'arc.

Le troisième intervalle de 2 à l'infini donnera le résultat suivant : la fonction de gauche est négative, la fonction de droite est positive.

En tenant compte des signes résultants, vous devez calculer les valeurs d'inégalité pour tous les intervalles.

La première produit l'inégalité suivante : 2 - x > - 2 (x - 1). Le moins avant les deux dans la deuxième inégalité est dû au fait que cette fonction est négative.

Après transformation, l'inégalité ressemble à ceci : x > 0. Elle donne immédiatement les valeurs de la variable. Autrement dit, à partir de cet intervalle, seul l'intervalle de 0 à 1 recevra une réponse.

Sur le second : 2 - x > 2 (x - 1). Les transformations donneront l'inégalité suivante : -3x + 4 est supérieur à zéro. Son zéro sera x = 4/3. Compte tenu du signe d'inégalité, il s'avère que x doit être inférieur à ce nombre. Cela signifie que cet intervalle est réduit à un intervalle de 1 à 4/3.

Cette dernière donne l'inégalité suivante : - (2 - x) > 2 (x - 1). Sa transformation conduit à ce qui suit : -x > 0. Autrement dit, l'équation est vraie lorsque x est inférieur à zéro. Cela signifie que sur l’intervalle requis, l’inégalité ne fournit pas de solutions.

Dans les deux premiers intervalles, le nombre limite s'est avéré être 1. Il doit être vérifié séparément. Autrement dit, remplacez-le par l'inégalité d'origine. Il s'avère : |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Le comptage montre que 1 est supérieur à 0. C’est une affirmation vraie, donc une est incluse dans la réponse.

Réponse : x se situe dans l'intervalle (0 ; 4/3).