Notions de limites de séquences et de fonctions. Lorsqu'il faut trouver la limite d'une suite, elle s'écrit : lim xn=a. Dans une telle séquence de séquences, xn tend vers a et n tend vers l’infini. La séquence est généralement représentée sous forme de série, par exemple :
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Les séquences sont divisées en séquences croissantes et décroissantes. Par exemple:
xn=n^2 - séquence croissante
yn=1/n - séquence
Ainsi, par exemple, la limite de la séquence xn=1/n^ :
limite 1/n^2=0
x→∞
Cette limite est égale à zéro, puisque n→∞, et la séquence 1/n^2 tend vers zéro.
Généralement, une quantité variable x tend vers une limite finie a, et x se rapproche constamment de a, et la quantité a est constante. Cela s'écrit comme suit : limx =a, tandis que n peut aussi tendre vers zéro ou vers l'infini. Il existe une infinité de fonctions dont la limite tend vers l’infini. Dans d'autres cas, lorsque, par exemple, la fonction ralentit un train, il est possible que la limite tende vers zéro.
Les limites ont un certain nombre de propriétés. En règle générale, toute fonction n'a qu'une seule limite. C'est la propriété principale de la limite. D’autres sont répertoriés ci-dessous :
* Le montant plafond est égal à la somme des plafonds :
lim(x+y)=lim x+lim y
* La limite du produit est égale au produit des limites :
lim(xy)=lim x*lim y
* La limite du quotient est égale au quotient des limites :
lim(x/y)=lim x/lim y
* Le facteur constant est pris en dehors du signe limite :
lim(Cx)=C lim x
Étant donné une fonction 1 /x dans laquelle x →∞, sa limite est nulle. Si x→0, la limite d'une telle fonction est ∞.
Pour les fonctions trigonométriques, il existe certaines de ces règles. Puisque la fonction sin x tend toujours vers l’unité lorsqu’elle tend vers zéro, l’identité lui vaut :
lim péché x/x=1
Dans un certain nombre de fonctions, il existe des fonctions pour lesquelles une incertitude apparaît lors du calcul des limites - une situation dans laquelle la limite ne peut pas être calculée. La seule issue à cette situation est L'Hôpital. Il existe deux types d'incertitudes :
* incertitude de la forme 0/0
* incertitude de la forme ∞/∞
Par exemple, une limite de la forme suivante est donnée : lim f(x)/l(x), et f(x0)=l(x0)=0. Dans ce cas, une incertitude de la forme 0/0 apparaît. Pour résoudre un tel problème, les deux fonctions sont différenciées, après quoi la limite du résultat est trouvée. Pour les incertitudes de type 0/0, la limite est :
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (à x→0)
La même règle est également vraie pour les incertitudes de type ∞/∞. Mais dans ce cas l’égalité suivante est vraie : f(x)=l(x)=∞
Grâce à la règle de L'Hôpital, vous pouvez trouver les valeurs de toutes limites dans lesquelles apparaissent des incertitudes. Un préalable à
volume - aucune erreur lors de la recherche de dérivés. Ainsi, par exemple, la dérivée de la fonction (x^2)" est égale à 2x. De là, nous pouvons conclure que :
f"(x)=nx^(n-1)
Regardons quelques exemples illustratifs.
Soit x une variable numérique, X l'aire de son changement. Si chaque nombre x appartenant à X est associé à un certain nombre y, alors ils disent qu'une fonction est définie sur l'ensemble X, et écrivent y = f(x).
L'ensemble X dans ce cas est un plan composé de deux axes de coordonnées - 0X et 0Y. Par exemple, décrivons la fonction y = x 2. Les axes 0X et 0Y forment X - la zone de son changement. La figure montre clairement comment se comporte la fonction. Dans ce cas, on dit que la fonction y = x 2 est définie sur l'ensemble X.
L'ensemble Y de toutes les valeurs partielles d'une fonction est appelé l'ensemble des valeurs f(x). En d'autres termes, l'ensemble de valeurs est l'intervalle le long de l'axe 0Y où la fonction est définie. La parabole représentée montre clairement que f(x) > 0, car x2 > 0. Par conséquent, la plage de valeurs sera . Nous examinons de nombreuses valeurs par 0Y.
L’ensemble de tous x est appelé le domaine de f(x). Nous examinons de nombreuses définitions par 0X et dans notre cas, la plage de valeurs acceptables est [- ; +].
Un point a (a appartient à ou X) est appelé point limite de l'ensemble X si dans n'importe quel voisinage du point a il y a des points de l'ensemble X différents de a.
Le moment est-il venu de comprendre quelle est la limite d’une fonction ?
Le b pur vers lequel tend la fonction lorsque x tend vers le nombre a est appelé limite de la fonction. Celui-ci s'écrit ainsi :
Par exemple, f(x) = x 2. Nous devons découvrir à quoi tend la fonction (n'est pas égale) en x 2. Tout d'abord, nous écrivons la limite :
Regardons le graphique.
Traçons une ligne parallèle à l'axe 0Y passant par le point 2 sur l'axe 0X. Il croisera notre graphique au point (2;4). Déposons une perpendiculaire de ce point à l'axe 0Y et arrivons au point 4. C'est ce que notre fonction vise en x 2. Si nous substituons maintenant la valeur 2 dans la fonction f(x), la réponse sera la même .
Maintenant, avant de passer à calcul des limites, introduisons les définitions de base.
Introduit par le mathématicien français Augustin Louis Cauchy au 19ème siècle.
Disons que la fonction f(x) est définie sur un certain intervalle qui contient le point x = A, mais il n'est pas du tout nécessaire que la valeur de f(A) soit définie.
Alors, selon la définition de Cauchy, limite de la fonction f(x) sera un certain nombre B avec x tendant vers A si pour tout C > 0 il existe un nombre D > 0 pour lequel
Ceux. si la fonction f(x) en x A est limitée par la limite B, cela s'écrit
Limite de séquence un certain nombre A est appelé si pour tout nombre positif arbitrairement petit B > 0 il existe un nombre N pour lequel toutes les valeurs dans le cas n > N satisfont l'inégalité
Cette limite ressemble à .
Une suite qui a une limite sera dite convergente ; sinon, nous l’appellerons divergente.
Comme vous l'avez déjà remarqué, les limites sont indiquées par l'icône lim, sous laquelle est écrite une condition pour la variable, puis la fonction elle-même est écrite. Un tel ensemble se lira comme « la limite d’une fonction soumise à… ». Par exemple:
- la limite de la fonction lorsque x tend vers 1.
L'expression « se rapprochant de 1 » signifie que x prend successivement des valeurs se rapprochant de 1 infiniment proches.
Il devient maintenant clair que pour calculer cette limite, il suffit de substituer la valeur 1 à x :
En plus d'une valeur numérique spécifique, x peut également tendre vers l'infini. Par exemple:
L'expression x signifie que x augmente constamment et s'approche de l'infini sans limite. Par conséquent, en substituant l'infini à x, il devient évident que la fonction 1-x tendra vers , mais avec le signe opposé :
Ainsi, calcul des limites revient à trouver sa valeur spécifique ou une certaine zone dans laquelle se situe la fonction limitée par la limite.
Sur la base de ce qui précède, il s'ensuit que lors du calcul des limites, il est important d'utiliser plusieurs règles :
Compréhension essence de la limite et règles de base calculs de limites, vous obtiendrez des informations clés sur la manière de les résoudre. Si une limite vous pose des difficultés, écrivez dans les commentaires et nous vous aiderons certainement.
Remarque : La jurisprudence est la science des lois, qui aide dans les conflits et autres difficultés de la vie.
Lors du calcul des limites, il convient de prendre en compte les règles de base suivantes:
1. La limite de la somme (différence) des fonctions est égale à la somme (différence) des limites des termes :
2. La limite d'un produit de fonctions est égale au produit des limites des facteurs :
3. La limite du rapport de deux fonctions est égale au rapport des limites de ces fonctions :
.
4. Le facteur constant peut être pris au-delà du signe limite :
.
5. La limite d'une constante est égale à la constante elle-même :
6. Pour les fonctions continues, les symboles de limite et de fonction peuvent être intervertis :
.
Trouver la limite d'une fonction doit commencer par remplacer la valeur dans l'expression de la fonction. De plus, si la valeur numérique 0 ou ¥ est obtenue, alors la limite souhaitée a été trouvée.
Exemple 2.1. Calculez la limite.
Solution.
.
Les expressions de la forme , , , , , sont appelées incertitudes.
Si vous obtenez une incertitude de la forme , alors pour trouver la limite, vous devez transformer la fonction de manière à révéler cette incertitude.
L'incertitude de forme est généralement obtenue lorsque la limite du rapport de deux polynômes est donnée. Dans ce cas, pour calculer la limite, il est recommandé de factoriser les polynômes et de les réduire d'un facteur commun. Ce multiplicateur est nul à la valeur limite X .
Exemple 2.2. Calculez la limite.
Solution.
En remplaçant , nous obtenons l'incertitude :
.
Factorisons le numérateur et le dénominateur :
;
Réduisons d'un facteur commun et obtenons
.
Une incertitude de forme est obtenue lorsque la limite du rapport de deux polynômes est donnée à . Dans ce cas, pour le calculer, il est recommandé de diviser les deux polynômes par X au diplôme supérieur.
Exemple 2.3. Calculez la limite.
Solution. En substituant ∞, on obtient une incertitude de la forme , on divise donc tous les termes de l'expression par x3.
.
Il est pris en compte ici que .
Lors du calcul des limites d'une fonction contenant des racines, il est recommandé de multiplier et de diviser la fonction par son conjugué.
Exemple 2.4. Calculer la limite
Solution.
Lors du calcul des limites pour révéler une incertitude de la forme ou (1) ∞, les première et deuxième limites remarquables sont souvent utilisées :
De nombreux problèmes associés à la croissance continue d’une certaine quantité conduisent à la deuxième limite remarquable.
Considérons l'exemple de Ya I. Perelman, donnant une interprétation du nombre. e dans le problème des intérêts composés. Dans les caisses d’épargne, les intérêts sont ajoutés chaque année au capital fixe. Si l'adhésion est effectuée plus souvent, le capital croît plus rapidement, puisqu'un montant plus important est impliqué dans la formation des intérêts. Prenons un exemple purement théorique et très simplifié.
Que 100 deniers soient déposés à la banque. unités sur la base de 100 % par an. Si les intérêts ne sont ajoutés au capital fixe qu'après un an, alors à cette période, 100 deniers. unités se transformera en 200 unités monétaires.
Voyons maintenant ce que deviendront 100 denize. unités, si les intérêts sont ajoutés au capital fixe tous les six mois. Après six mois, 100 deniers. unités augmentera de 100 × 1,5 = 150, et après six mois supplémentaires - de 150 × 1,5 = 225 (den. unités). Si l'adhésion se fait tous les 1/3 de l'année, alors après un an 100 den. unités se transformera en 100 × (1 +1/3) 3 "237 (den. unités).
Nous augmenterons les conditions d'ajout d'intérêts à 0,1 an, à 0,01 an, à 0,001 an, etc. Puis sur 100 deniers. unités au bout d'un an ce sera :
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unités den.),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (unités den.),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unités den.).
Avec une réduction illimitée des modalités d'ajout des intérêts, le capital accumulé ne croît pas indéfiniment, mais se rapproche d'une certaine limite égale à environ 271. Le capital déposé à 100 % par an ne peut augmenter de plus de 2,71 fois, même si les intérêts courus ont été ajoutés à la capitale toutes les secondes parce que
Exemple 2.5. Calculer la limite d'une fonction
Solution.
Exemple 2.6. Calculer la limite d'une fonction .
Solution. En substituant, nous obtenons l'incertitude :
.
A l'aide de la formule trigonométrique, on transforme le numérateur en produit :
En conséquence nous obtenons
Ici, la deuxième limite remarquable est prise en compte.
Exemple 2.7. Calculer la limite d'une fonction
Solution.
.
Pour révéler l'incertitude de la forme ou, vous pouvez utiliser la règle de L'Hôpital, qui repose sur le théorème suivant.
Théorème. La limite du rapport de deux fonctions infinitésimales ou infiniment grandes est égale à la limite du rapport de leurs dérivées
A noter que cette règle peut être appliquée plusieurs fois de suite.
Exemple 2.8. Trouver
Solution. Lors de la substitution, nous avons une incertitude sur la forme. En appliquant la règle de L'Hôpital, on obtient
Continuité de fonction
Une propriété importante d'une fonction est la continuité.
Définition. La fonction est considérée continu, si un petit changement dans la valeur de l'argument entraîne un petit changement dans la valeur de la fonction.
Mathématiquement, cela s'écrit comme suit : quand
Par et, on entend l'incrément des variables, c'est-à-dire la différence entre les valeurs suivantes et précédentes : , (Figure 2.3)
Figure 2.3 – Incrément des variables |
De la définition d'une fonction continue au point, il s'ensuit que . Cette égalité signifie que trois conditions sont remplies :
Solution. Pour la fonction le point est suspect d'une discontinuité, vérifions cela et trouvons des limites unilatérales
Ainsi, , Moyens - point d'arrêt
Dérivée d'une fonction
Limite de fonction- nombre un sera la limite d'une quantité variable si, au cours de son changement, cette quantité variable se rapproche indéfiniment un.
Ou en d'autres termes, le nombre UN est la limite de la fonction y = f(x) au point x0, si pour toute séquence de points du domaine de définition de la fonction , différent x0, et qui converge vers le point x 0 (lim x n = x0), la séquence des valeurs de fonction correspondantes converge vers le nombre UN.
Le graphique d'une fonction dont la limite, étant donné un argument qui tend vers l'infini, est égale à L:
Signification UN est limite (valeur limite) de la fonction f(x) au point x0 dans le cas d'une séquence de points , qui converge vers x0, mais qui ne contient pas x0 comme l'un de ses éléments (c'est-à-dire dans le voisinage perforé x0), séquence de valeurs de fonction converge vers UN.
Limite d'une fonction de Cauchy.
Signification UN sera limite de la fonction f(x) au point x0 si pour tout nombre non négatif pris à l'avance ε le nombre non négatif correspondant sera trouvé δ = δ(ε) tel que pour chaque argument x, satisfaisant la condition 0 < | x - x0 | < δ , l'inégalité sera satisfaite | f(x)UNE |< ε .
Ce sera très simple si vous comprenez l'essence de la limite et les règles de base pour la trouver. Quelle est la limite de la fonction f (x)à x lutter pour un est égal UN, s'écrit ainsi :
De plus, la valeur vers laquelle tend la variable x, peut être non seulement un nombre, mais aussi l'infini (∞), parfois +∞ ou -∞, ou il peut n'y avoir aucune limite du tout.
Pour comprendre comment trouver les limites d'une fonction, il est préférable de regarder des exemples de solutions.
Il faut trouver les limites de la fonction f (x) = 1/xà:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Trouvons une solution à la première limite. Pour ce faire, vous pouvez simplement remplacer x le nombre vers lequel il tend, c'est-à-dire 2, on obtient :
Trouvons la deuxième limite de la fonction. Ici, remplacez plutôt le 0 pur x c'est impossible, parce que Vous ne pouvez pas diviser par 0. Mais on peut prendre des valeurs proches de zéro, par exemple 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 ; 0,00001 et ainsi de suite, et la valeur de la fonction f (x) augmentera : 100 ; 1000 ; 10 000 ; 100 000 et ainsi de suite. Ainsi, on peut comprendre que lorsque x→ 0 la valeur de la fonction qui est sous le signe limite augmentera sans limite, c'est-à-dire tendre vers l'infini. Ce qui veut dire :
Concernant la troisième limite. La même situation que dans le cas précédent, il est impossible de substituer ∞ dans sa forme la plus pure. Il faut considérer le cas d’une augmentation illimitée x. Nous en substituons 1000 un par un ; 10 000 ; 100000 et ainsi de suite, on a ça la valeur de la fonction f (x) = 1/x diminuera : 0,001 ; 0,0001 ; 0,00001 ; et ainsi de suite, tendant vers zéro. C'est pourquoi :
Il faut calculer la limite de la fonction
En commençant à résoudre le deuxième exemple, nous constatons une incertitude. De là, nous trouvons le degré le plus élevé du numérateur et du dénominateur - c'est x3, on le retire des parenthèses au numérateur et au dénominateur puis on le réduit de :
Répondre
La première étape dans trouver cette limite, remplacez la valeur 1 à la place x, ce qui entraîne une incertitude. Pour le résoudre, factorisons le numérateur et faisons-le en utilisant la méthode de recherche des racines d'une équation quadratique x2 + 2x-3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3 ;x2= 1.
Le numérateur sera donc :
Répondre
Il s'agit de la définition de sa valeur spécifique ou d'une certaine zone où tombe la fonction, qui est limitée par la limite.
Pour résoudre les limites, suivez les règles :
Ayant compris l'essence et l'essentiel règles pour résoudre la limite, vous obtiendrez une compréhension de base de la façon de les résoudre.