Quelle est la probabilité d'un événement. Qu'est-ce que le hasard

En économie, comme dans d’autres domaines de l’activité humaine ou dans la nature, nous sommes constamment confrontés à des événements impossibles à prévoir avec précision. Ainsi, le volume des ventes d'un produit dépend de la demande, qui peut varier considérablement, et d'un certain nombre d'autres facteurs presque impossibles à prendre en compte. Par conséquent, lors de l'organisation de la production et de la réalisation des ventes, vous devez prédire le résultat de telles activités sur la base soit de votre propre expérience antérieure, soit d'une expérience similaire d'autres personnes, soit de votre intuition, qui repose également dans une large mesure sur des données expérimentales.

Afin d'évaluer d'une manière ou d'une autre l'événement en question, il est nécessaire de prendre en compte ou d'organiser spécialement les conditions dans lesquelles cet événement est enregistré.

La mise en œuvre de certaines conditions ou actions pour identifier l'événement en question est appelée expérience ou expérience.

L'événement s'appelle aléatoire, si, à la suite de l'expérience, cela peut se produire ou non.

L'événement s'appelle fiable, s'il apparaît nécessairement comme le résultat d'une expérience donnée, et impossible, s'il ne peut pas apparaître dans cette expérience.

Par exemple, les chutes de neige à Moscou le 30 novembre sont un événement aléatoire. Le lever du soleil quotidien peut être considéré comme un événement fiable. Les chutes de neige à l’équateur peuvent être considérées comme un événement impossible.

L'une des tâches principales de la théorie des probabilités est de déterminer une mesure quantitative de la possibilité qu'un événement se produise.

Algèbre des événements

Les événements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas être observés ensemble dans la même expérience. Ainsi, la présence de deux et trois voitures dans un même magasin à vendre en même temps sont deux événements incompatibles.

Montantévénements est un événement consistant en la survenance d'au moins un de ces événements

Un exemple de somme d’événements est la présence d’au moins un produit sur deux dans le magasin.

Le travailévénements est un événement constitué de la survenance simultanée de tous ces événements

Un événement consistant en l'apparition simultanée de deux produits dans un magasin est un produit d'événements : - l'apparition d'un produit, - l'apparition d'un autre produit.

Les événements forment un groupe complet d'événements si au moins l'un d'entre eux est sûr de se produire dans l'expérience.

Exemple. Le port dispose de deux postes d'amarrage pour recevoir les navires. Trois événements peuvent être considérés : - l'absence de navires aux postes à quai, - la présence d'un navire à l'un des postes à quai, - la présence de deux navires à deux postes à quai. Ces trois événements forment un ensemble complet d'événements.

Opposé deux événements possibles uniques qui forment un groupe complet sont appelés.

Si l'un des événements opposés est noté , alors l'événement opposé est généralement noté .

Définitions classiques et statistiques de la probabilité d'un événement

Chacun des résultats également possibles des tests (expériences) est appelé résultat élémentaire. Ils sont généralement désignés par des lettres. Par exemple, un dé est lancé. Il peut y avoir un total de six résultats élémentaires en fonction du nombre de points sur les côtés.

À partir de résultats élémentaires, vous pouvez créer un événement plus complexe. Ainsi, l'événement d'un nombre pair de points est déterminé par trois résultats : 2, 4, 6.

Une mesure quantitative de la possibilité de survenance de l'événement en question est la probabilité.

Les définitions les plus largement utilisées de la probabilité d’un événement sont : classique Et statistique.

La définition classique de la probabilité est associée à la notion d’issue favorable.

Le résultat s'appelle favorableà un événement donné si sa survenance entraîne la survenance de cet événement.

Dans l'exemple ci-dessus, l'événement en question (un nombre pair de points du côté obtenu) a trois résultats favorables. Dans ce cas, le général
nombre de résultats possibles. Cela signifie que la définition classique de la probabilité d’un événement peut être utilisée ici.

Définition classique est égal au rapport entre le nombre d’issues favorables et le nombre total d’issues possibles

où est la probabilité de l'événement, est le nombre d'issues favorables à l'événement, est le nombre total d'issues possibles.

Dans l'exemple considéré

La définition statistique de la probabilité est associée au concept de fréquence relative d'apparition d'un événement dans les expériences.

La fréquence relative d'occurrence d'un événement est calculée à l'aide de la formule

où est le nombre d'occurrences d'un événement dans une série d'expériences (essais).

Définition statistique. La probabilité d'un événement est le nombre autour duquel la fréquence relative se stabilise (se fixe) avec une augmentation illimitée du nombre d'expériences.

Dans les problèmes pratiques, la probabilité d’un événement est considérée comme la fréquence relative d’un nombre suffisamment grand d’essais.

De ces définitions de la probabilité d'un événement, il ressort clairement que l'inégalité est toujours satisfaite

Pour déterminer la probabilité d'un événement sur la base de la formule (1.1), des formules combinatoires sont souvent utilisées, qui permettent de trouver le nombre de résultats favorables et le nombre total de résultats possibles.

À Lors de l'évaluation de la probabilité d'occurrence d'un événement aléatoire, il est très important de bien comprendre si la probabilité () d'occurrence de l'événement qui nous intéresse dépend de la façon dont d'autres événements se développent.

Dans le cas du schéma classique, lorsque tous les résultats sont également probables, nous pouvons déjà estimer indépendamment les valeurs de probabilité de l'événement individuel qui nous intéresse. Nous pouvons le faire même si l’événement est un ensemble complexe de plusieurs résultats élémentaires. Que se passe-t-il si plusieurs événements aléatoires se produisent simultanément ou séquentiellement ? Comment cela affecte-t-il la probabilité que l’événement qui nous intéresse se produise ?

Si je lance un dé plusieurs fois et que je veux qu'un six apparaisse, et que je n'ai toujours pas de chance, cela signifie-t-il que je devrais augmenter ma mise car, selon la théorie des probabilités, je suis sur le point d'avoir de la chance ? Hélas, la théorie des probabilités ne dit rien de tel. Pas de dés, pas de cartes, pas de pièces je ne me souviens pas ce qu'ils nous ont montré la dernière fois. Peu importe pour eux que ce soit la première ou la dixième fois que je tente ma chance aujourd’hui. Chaque fois que je répète le lancer, je ne sais qu'une chose : et cette fois la probabilité d'obtenir un six est à nouveau d'un sixième. Bien entendu, cela ne signifie pas que le numéro dont j’ai besoin ne sera jamais disponible. Cela signifie seulement que ma perte après le premier lancer et après tout autre lancer sont des événements indépendants.

Les événements A et B sont appelés indépendant, si la mise en œuvre de l'un d'eux n'affecte en rien la probabilité d'un autre événement. Par exemple, les probabilités de toucher une cible avec la première des deux armes ne dépendent pas du fait que la cible ait été touchée par l'autre arme, donc les événements « la première arme a touché la cible » et « la deuxième arme a touché la cible » sont indépendant.

Si deux événements A et B sont indépendants et que la probabilité de chacun d'eux est connue, alors la probabilité d'apparition simultanée de l'événement A et de l'événement B (notée AB) peut être calculée à l'aide du théorème suivant.

Théorème de multiplication de probabilité pour les événements indépendants

Exemple.Les probabilités d'atteindre la cible lors du tir du premier et du deuxième canon sont respectivement égales : p 1 =0,7 ;

p2 = 0,8. Trouvez la probabilité d'un coup avec une salve par les deux canons simultanément. Solution:

comme nous l'avons déjà vu, les événements A (touché par le premier canon) et B (touché par le deuxième canon) sont indépendants, c'est-à-dire P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0,56.

Exemple.Qu’arrive-t-il à nos estimations si les événements initiaux ne sont pas indépendants ? Changeons un peu l'exemple précédent.

Deux tireurs tirent sur des cibles lors d'une compétition, et si l'un d'eux tire avec précision, l'adversaire commence à devenir nerveux et ses résultats se détériorent. Comment transformer cette situation quotidienne en un problème mathématique et proposer des moyens de le résoudre ? Il est intuitivement clair qu'il est nécessaire d'une manière ou d'une autre de séparer les deux options pour le développement des événements, de créer essentiellement deux scénarios, deux tâches différentes. Dans le premier cas, si l'adversaire manque, le scénario sera favorable à l'athlète nerveux et sa précision sera supérieure. Dans le second cas, si l'adversaire a décemment tenté sa chance, la probabilité d'atteindre la cible pour le deuxième athlète diminue. Pour séparer les scénarios possibles (souvent appelés hypothèses) pour le développement d’événements, nous utiliserons souvent un diagramme « arbre de probabilité ». Ce diagramme a une signification similaire à celle de l’arbre de décision que vous avez probablement déjà traité. Chaque branche représente un scénario distinct pour le développement des événements, seulement maintenant elle a sa propre signification de ce qu'on appelle

conditionnel

probabilités (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). Ce schéma est très pratique pour analyser des événements aléatoires séquentiels. Il reste à clarifier une autre question importante : d'où viennent les valeurs initiales des probabilités dans

Exemple.situations réelles ? Après tout, la théorie des probabilités ne fonctionne pas uniquement avec des pièces de monnaie et des dés ? Habituellement, ces estimations sont tirées de statistiques et, lorsque les informations statistiques ne sont pas disponibles, nous effectuons nos propres recherches. Et nous devons souvent commencer non pas par la collecte de données, mais par la question de savoir de quelles informations nous avons réellement besoin.

Disons que nous devons estimer dans une ville de cent mille habitants le volume du marché pour un nouveau produit qui n'est pas un article essentiel, par exemple un baume pour le soin des cheveux colorés. Considérons le diagramme de « l'arbre de probabilité ». Dans ce cas, il faut estimer approximativement la valeur de probabilité sur chaque « branche ».

Ainsi, nos estimations de la capacité du marché :

3) parmi eux, seulement 10% utilisent des baumes pour cheveux colorés,

4) parmi eux, seulement 10 % peuvent trouver le courage d’essayer un nouveau produit,

5) 70 % d’entre eux achètent généralement tout non pas chez nous, mais chez nos concurrents.

p2 = 0,8. Trouvez la probabilité d'un coup avec une salve par les deux canons simultanément. Selon la loi de multiplication des probabilités, nous déterminons la probabilité de l'événement qui nous intéresse A = (un citadin nous achète ce nouveau baume) = 0,00045.

Multiplions cette valeur de probabilité par le nombre d'habitants de la ville. Du coup, nous n'avons que 45 clients potentiels, et étant donné qu'une bouteille de ce produit dure plusieurs mois, le commerce n'est pas très animé.

Et pourtant, nos évaluations présentent certains avantages.

Premièrement, nous pouvons comparer les prévisions de différentes idées commerciales ; elles auront des « fourchettes » différentes dans les diagrammes et, bien sûr, les valeurs de probabilité seront également différentes.

Deuxièmement, comme nous l’avons déjà dit, une variable aléatoire n’est pas dite aléatoire car elle ne dépend de rien. Juste elle exact la signification n’est pas connue à l’avance. Nous savons que le nombre moyen d’acheteurs peut être augmenté (par exemple en faisant la publicité d’un nouveau produit). Il est donc logique de concentrer nos efforts sur les « fourchettes » où la distribution de probabilité ne nous convient pas particulièrement, sur les facteurs que nous pouvons influencer.

Examinons un autre exemple quantitatif de recherche sur le comportement des consommateurs.

Exemple. En moyenne, 10 000 personnes visitent le marché alimentaire chaque jour. La probabilité qu'un visiteur du marché entre dans le pavillon des produits laitiers est de 1/2.

On sait que ce pavillon vend en moyenne 500 kg de produits divers par jour.

Peut-on dire que l’achat moyen dans le pavillon ne pèse que 100 g ? Discussion.

Bien sûr que non. Il est clair que tous ceux qui sont entrés dans le pavillon n’ont pas fini par y acheter quelque chose.

Une fois ces estimations obtenues, la tâche devient simple. Sur 10 000 personnes qui viendront au marché, 5 000 iront au pavillon des produits laitiers ; il n'y aura que 1 000 achats, le poids moyen des achats étant de 500 grammes. Il est intéressant de noter que pour construire une image complète de ce qui se passe, la logique du « branchement » conditionnel doit être définie à chaque étape de notre raisonnement aussi clairement que si nous travaillions sur une situation « spécifique », et non avec des probabilités.

Tâches d'autotest

1. Soit un circuit électrique composé de n éléments connectés en série, dont chacun fonctionne indépendamment des autres.

La probabilité p de défaillance de chaque élément est connue. Déterminer la probabilité de bon fonctionnement de toute la section du circuit (événement A).

2. L'étudiant connaît 20 des 25 questions d'examen. Trouvez la probabilité que l'étudiant connaisse les trois questions qui lui sont posées par l'examinateur.

3. La production comprend quatre étapes successives, à chacune desquelles fonctionnent des équipements, pour lesquels les probabilités de défaillance au cours du mois suivant sont respectivement égales à p 1, p 2, p 3 et p 4. Trouvez la probabilité qu'il n'y ait pas d'arrêt de production dû à une panne d'équipement dans un mois.

probabilité- un nombre compris entre 0 et 1 qui reflète les chances qu'un événement aléatoire se produise, où 0 est l'absence totale de probabilité que l'événement se produise et 1 signifie que l'événement en question se produira certainement.

La probabilité de l'événement E est un nombre compris entre 1 et 1.
La somme des probabilités d’événements mutuellement exclusifs est égale à 1.

probabilité empirique- la probabilité, qui est calculée comme la fréquence relative d'un événement dans le passé, extraite de l'analyse des données historiques.

La probabilité d’événements très rares ne peut être calculée empiriquement.

probabilité subjective- probabilité basée sur une évaluation subjective personnelle d'un événement sans tenir compte des données historiques. Les investisseurs qui prennent des décisions concernant l’achat et la vente d’actions agissent souvent sur la base de considérations de probabilité subjective.

probabilité a priori -

La chance est de 1 sur... (cotes) qu'un événement se produise grâce au concept de probabilité. La probabilité qu'un événement se produise est exprimée en probabilité comme suit : P/(1-P).

Par exemple, si la probabilité d’un événement est de 0,5, alors la probabilité que cet événement se produise est de 1 sur 2 car 0,5/(1-0,5).

La probabilité qu'un événement ne se produise pas est calculée à l'aide de la formule (1-P)/P

Probabilité incohérente- par exemple, le prix des actions de la société A prend en compte l'éventuel événement E à hauteur de 85%, et le prix des actions de la société B ne prend en compte que 50%. C’est ce qu’on appelle une probabilité incohérente. Selon le théorème néerlandais des paris, une probabilité incohérente crée des opportunités de profit.

Probabilité inconditionnelle est la réponse à la question « Quelle est la probabilité que l’événement se produise ? »

Probabilité conditionnelle- c'est la réponse à la question : « Quelle est la probabilité de l'événement A si l'événement B se produit. » La probabilité conditionnelle est notée P(A|B).

Probabilité conjointe- la probabilité que les événements A et B se produisent simultanément. Noté P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(UNE|B)*P(B)

Règle pour résumer les probabilités :

La probabilité que l’événement A ou l’événement B se produise est

P (A ou B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Si les événements A et B s’excluent mutuellement, alors

P (A ou B) = P(A) + P(B)

Événements indépendants- les événements A et B sont indépendants si

P(UNE|B) = P(UNE), P(B|UNE) = P(B)

C'est-à-dire qu'il s'agit d'une séquence de résultats dont la valeur de probabilité est constante d'un événement à l'autre.
Un tirage au sort est un exemple d'un tel événement - le résultat de chaque tirage au sort suivant ne dépend pas du résultat du précédent.

Événements dépendants- ce sont des événements où la probabilité d'occurrence de l'un dépend de la probabilité d'occurrence d'un autre.

La règle pour multiplier les probabilités d'événements indépendants :
Si les événements A et B sont indépendants, alors

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Règle de probabilité totale :

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S et S" sont des événements mutuellement exclusifs

valeur attendue une variable aléatoire est la moyenne des résultats possibles d'une variable aléatoire. Pour l’événement X, l’attente est notée E(X).

Disons que nous avons 5 valeurs d'événements mutuellement exclusifs avec une certaine probabilité (par exemple, le revenu d'une entreprise était tel ou tel montant avec telle probabilité). La valeur attendue est la somme de tous les résultats multipliée par leur probabilité :

La dispersion d'une variable aléatoire est l'attente des écarts carrés d'une variable aléatoire par rapport à son attente :

s2 = E(2) (6)

Valeur attendue conditionnelle - la valeur attendue d'une variable aléatoire X, à condition que l'événement S se soit déjà produit.

Alors parlons d’un sujet qui intéresse beaucoup de monde. Dans cet article, je répondrai à la question de savoir comment calculer la probabilité d'un événement. Je vais donner des formules pour un tel calcul et plusieurs exemples pour clarifier comment cela se fait.

Quelle est la probabilité

Commençons par le fait que la probabilité que tel ou tel événement se produise est un certain degré de confiance dans l'apparition éventuelle d'un résultat. Pour ce calcul, une formule de probabilité totale a été développée qui vous permet de déterminer si l'événement qui vous intéresse se produira ou non, grâce aux probabilités dites conditionnelles. Cette formule ressemble à ceci : P = n/m, les lettres peuvent changer, mais cela n'affecte pas l'essence elle-même.

Exemples de probabilité

À l'aide d'un exemple simple, analysons cette formule et appliquons-la. Disons que vous avez un certain événement (P), que ce soit un lancer de dé, c'est-à-dire un dé équilatéral. Et nous devons calculer quelle est la probabilité d’obtenir 2 points. Pour ce faire, vous avez besoin du nombre d'événements positifs (n), dans notre cas - la perte de 2 points, pour le nombre total d'événements (m). Un lancer de 2 points ne peut se produire que dans un cas, s'il y a 2 points sur les dés, car sinon la somme sera plus grande, il s'ensuit que n = 1. Ensuite, on compte le nombre de lancers de tout autre nombre sur le dés, pour 1 dé - ce sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6, il y a donc 6 cas favorables, c'est-à-dire m = 6. Maintenant, en utilisant la formule, nous effectuons un calcul simple P = 1/ 6 et nous constatons que le résultat de 2 points sur les dés est de 1/6, c'est-à-dire que la probabilité de l'événement est très faible.

Regardons également un exemple utilisant des boules colorées contenues dans une boîte : 50 blanches, 40 noires et 30 vertes. Vous devez déterminer quelle est la probabilité de tirer une boule verte. Et donc, puisqu'il y a 30 boules de cette couleur, c'est-à-dire qu'il ne peut y avoir que 30 événements positifs (n = 30), le nombre de tous les événements est 120, m = 120 (basé sur le nombre total de toutes les boules), en utilisant la formule on calcule que la probabilité de tirer une boule verte sera égale à P = 30/120 = 0,25, soit 25% de 100. De la même manière, vous pouvez calculer la probabilité de tirer une boule d'un couleur différente (noir ce sera 33%, blanc 42%).

La nécessité d'agir sur les probabilités survient lorsque les probabilités de certains événements sont connues et qu'il est nécessaire de calculer les probabilités d'autres événements associés à ces événements.

L'ajout de probabilités est utilisé lorsque vous devez calculer la probabilité d'une combinaison ou d'une somme logique d'événements aléatoires.

Somme des événements UN Et B indiquer UN + B ou UN ∪ B. La somme de deux événements est un événement qui se produit si et seulement si au moins un des événements se produit. Cela signifie que UN + B– un événement qui se produit si et seulement si l’événement s’est produit pendant l’observation UN ou un événement B, ou simultanément UN Et B.

Si les événements UN Et B sont mutuellement incohérents et leurs probabilités sont données, alors la probabilité qu'un de ces événements se produise à la suite d'un essai est calculée en utilisant l'addition de probabilités.

Théorème d’addition de probabilité. La probabilité que l'un des deux événements mutuellement incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :

Par exemple, lors d'une chasse, deux coups de feu sont tirés. Événement UN– frapper un canard du premier coup, événement DANS– touché dès le deuxième coup, événement ( UN+ DANS) – une touche du premier ou du deuxième coup ou de deux coups. Ainsi, si deux événements UN Et DANS– des événements incompatibles, alors UN+ DANS– la survenance d'au moins un de ces événements ou de deux événements.

Exemple 1. Il y a 30 boules de même taille dans une boîte : 10 rouges, 5 bleues et 15 blanches. Calculez la probabilité qu’une balle colorée (et non blanche) soit ramassée sans regarder.

Solution. Supposons que l'événement UN- "la boule rouge est prise", et l'événement DANS- "La balle bleue a été prise." Ensuite, l’événement est « une balle colorée (et non blanche) est prise ». Trouvons la probabilité de l'événement UN:

et événements DANS:

Événements UN Et DANS– mutuellement incompatible, puisque si une balle est prise, alors il est impossible de prendre des balles de couleurs différentes. On utilise donc l’addition de probabilités :

Le théorème pour ajouter des probabilités pour plusieurs événements incompatibles. Si les événements constituent un ensemble complet d'événements, alors la somme de leurs probabilités est égale à 1 :

La somme des probabilités d'événements opposés est également égale à 1 :

Les événements opposés forment un ensemble complet d’événements et la probabilité d’un ensemble complet d’événements est de 1.

Les probabilités d'événements opposés sont généralement indiquées en minuscules p Et q. En particulier,

d'où découlent les formules suivantes pour la probabilité d'événements opposés :

Exemple 2. La cible du stand de tir est divisée en 3 zones. La probabilité qu'un certain tireur tire sur la cible dans la première zone est de 0,15, dans la deuxième zone – 0,23, dans la troisième zone – 0,17. Trouvez la probabilité que le tireur atteigne la cible et la probabilité que le tireur rate la cible.

Solution : Trouvez la probabilité que le tireur atteigne la cible :

Trouvons la probabilité que le tireur rate la cible :

Pour des problèmes plus complexes, dans lesquels vous devez utiliser à la fois l'addition et la multiplication de probabilités, voir la page "Divers problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités".

Ajout de probabilités d'événements mutuellement simultanés

Deux événements aléatoires sont dits conjoints si la survenance d’un événement n’exclut pas la survenance d’un deuxième événement dans la même observation. Par exemple, lors du lancement d'un dé, l'événement UN Le chiffre 4 est considéré comme déployé, et l'événement DANS– lancer un nombre pair. Puisque 4 est un nombre pair, ces deux événements sont compatibles. En pratique, il existe des problèmes liés au calcul des probabilités d'apparition de l'un des événements mutuellement simultanés.

Théorème d'addition de probabilité pour les événements conjoints. La probabilité que l'un des événements conjoints se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements, à laquelle est soustraite la probabilité de l'occurrence commune des deux événements, c'est-à-dire le produit des probabilités. La formule des probabilités d'événements conjoints a la forme suivante :

Depuis les événements UN Et DANS compatible, événement UN+ DANS se produit si l’un des trois événements possibles se produit : ou AB. D'après le théorème d'addition d'événements incompatibles, on calcule comme suit :

Événement UN se produira si l’un des deux événements incompatibles se produit : ou AB. Cependant, la probabilité d'occurrence d'un événement parmi plusieurs événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de tous ces événements :

De même:

En remplaçant les expressions (6) et (7) dans l'expression (5), nous obtenons la formule de probabilité pour les événements conjoints :

Lors de l'utilisation de la formule (8), il convient de tenir compte du fait que les événements UN Et DANS peut être:

• mutuellement indépendants;
• mutuellement dépendants.

Formule de probabilité pour des événements mutuellement indépendants :

Formule de probabilité pour des événements mutuellement dépendants :

Si les événements UN Et DANS sont incohérents, alors leur coïncidence est un cas impossible et, par conséquent, P.(AB) = 0. La quatrième formule de probabilité pour les événements incompatibles est :

Exemple 3. En course automobile, lorsque vous conduisez la première voiture, vous avez de meilleures chances de gagner, et lorsque vous conduisez la deuxième voiture. Trouver:

• la probabilité que les deux voitures gagnent ;
• la probabilité qu'au moins une voiture gagne ;

1) La probabilité que la première voiture gagne ne dépend pas du résultat de la deuxième voiture, donc les événements UN(la première voiture gagne) et DANS(la deuxième voiture gagnera) – épreuves indépendantes. Trouvons la probabilité que les deux voitures gagnent :

2) Trouvez la probabilité que l'une des deux voitures gagne :

Pour des problèmes plus complexes, dans lesquels vous devez utiliser à la fois l'addition et la multiplication de probabilités, voir la page "Divers problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités".

Résolvez vous-même le problème de l'addition de probabilités, puis examinez la solution

Exemple 4. Deux pièces sont lancées. Événement UN- perte des armoiries sur la première monnaie. Événement B- perte des armoiries sur la deuxième monnaie. Trouver la probabilité d'un événement C = UN + B .

Multiplier les probabilités

La multiplication de probabilité est utilisée lorsque la probabilité d'un produit logique d'événements doit être calculée.

Dans ce cas, les événements aléatoires doivent être indépendants. Deux événements sont dits indépendants l’un de l’autre si la survenance de l’un d’entre eux n’affecte pas la probabilité de survenance du deuxième événement.

Théorème de multiplication de probabilité pour les événements indépendants. Probabilité d'occurrence simultanée de deux événements indépendants UN Et DANS est égal au produit des probabilités de ces événements et se calcule par la formule :

Exemple 5. La pièce est lancée trois fois de suite. Trouvez la probabilité que les armoiries apparaissent trois fois.

Solution. La probabilité que les armoiries apparaissent au premier tirage au sort, la deuxième fois et la troisième fois. Trouvons la probabilité que les armoiries apparaissent toutes les trois fois :

Résolvez vous-même les problèmes de multiplication de probabilités, puis examinez la solution

Exemple 6. Il y a une boîte de neuf balles de tennis neuves. Pour jouer, on prend trois balles, et après le jeu elles sont remises. Lors du choix des balles, les balles jouées ne sont pas distinguées des balles non jouées. Quelle est la probabilité qu’après trois parties, il ne reste plus aucune balle non jouée dans la surface ?

Exemple 7. 32 lettres de l'alphabet russe sont écrites sur des cartes alphabet découpées. Cinq cartes sont tirées au hasard les unes après les autres et placées sur la table par ordre d'apparition. Trouvez la probabilité que les lettres forment le mot « fin ».

Exemple 8. D'un jeu complet de cartes (52 feuilles), quatre cartes sont retirées à la fois. Trouvez la probabilité que ces quatre cartes soient de couleurs différentes.

Exemple 9. La même tâche que dans l'exemple 8, mais chaque carte après avoir été retirée est remise dans le paquet.

Des problèmes plus complexes, dans lesquels vous devez utiliser à la fois l'addition et la multiplication de probabilités, ainsi que calculer le produit de plusieurs événements, peuvent être trouvés sur la page « Divers problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités ».

La probabilité qu'au moins un des événements mutuellement indépendants se produise peut être calculée en soustrayant de 1 le produit des probabilités d'événements opposés, c'est-à-dire en utilisant la formule :

Exemple 10. Le fret est acheminé par trois modes de transport : le transport fluvial, ferroviaire et routier. La probabilité que la marchandise soit livrée par transport fluvial est de 0,82, par transport ferroviaire est de 0,87 et par transport routier est de 0,90. Trouvez la probabilité que la marchandise soit livrée par au moins un des trois modes de transport.