Deux conditions pour une pyramide régulière par sa définition. Pyramide et ses éléments

Une figure tridimensionnelle qui apparaît souvent dans les problèmes géométriques est la pyramide. La plus simple de toutes les figures de cette classe est triangulaire. Dans cet article, nous analyserons en détail les formules de base et les propriétés du bon

Idées géométriques sur la figure

Avant de passer à l’examen des propriétés d’une pyramide triangulaire régulière, examinons de plus près de quel type de figure nous parlons.

Supposons qu'il existe un triangle arbitraire dans un espace tridimensionnel. Sélectionnons n'importe quel point de cet espace qui ne se trouve pas dans le plan du triangle et connectons-le aux trois sommets du triangle. Nous avons une pyramide triangulaire.

Il se compose de 4 côtés, qui sont tous des triangles. Les points de rencontre de trois faces sont appelés sommets. La figure en comporte également quatre. Les lignes d'intersection de deux faces sont des arêtes. La pyramide en question comporte 6 arêtes. La figure ci-dessous montre un exemple de cette figure.

Puisque la figure est formée de quatre côtés, on l’appelle aussi tétraèdre.

Pyramide correcte

Ci-dessus, nous avons considéré une figure arbitraire à base triangulaire. Supposons maintenant que nous tracions un segment perpendiculaire du sommet de la pyramide à sa base. Ce segment est appelé hauteur. Évidemment, vous pouvez dessiner 4 hauteurs différentes pour la figure. Si la hauteur coupe la base triangulaire au centre géométrique, alors une telle pyramide est dite droite.

Une pyramide droite dont la base est un triangle équilatéral est dite régulière. Pour elle, les trois triangles formant la surface latérale de la figure sont isocèles et égaux les uns aux autres. Un cas particulier d'une pyramide régulière est la situation où les quatre côtés sont des triangles identiques équilatéraux.

Considérons les propriétés d'une pyramide triangulaire régulière et donnons les formules correspondantes pour calculer ses paramètres.

Côté base, hauteur, bord latéral et apothème

Deux des paramètres répertoriés déterminent de manière unique les deux autres caractéristiques. Présentons des formules qui relient ces quantités.

Supposons que le côté de la base d’une pyramide triangulaire régulière soit a. La longueur de son bord latéral est b. Quelle sera la hauteur d’une pyramide triangulaire régulière et de son apothème ?

Pour la hauteur h on obtient l'expression :

Cette formule découle du théorème de Pythagore pour lequel sont le bord latéral, la hauteur et les 2/3 de la hauteur de la base.

L'apothème d'une pyramide est la hauteur de tout triangle latéral. La longueur de l'apothème a b est égale à :

une b = √(b 2 - une 2 /4)

De ces formules il ressort clairement que quel que soit le côté de la base d'une pyramide triangulaire régulière et la longueur de son bord latéral, l'apothème sera toujours plus grand que la hauteur de la pyramide.

Les deux formules présentées contiennent les quatre caractéristiques linéaires de la figure en question. Par conséquent, étant donné les deux connus, vous pouvez trouver le reste en résolvant le système d’égalités écrites.

Volume des chiffres

Pour absolument n'importe quelle pyramide (y compris inclinée), la valeur du volume d'espace limité par celle-ci peut être déterminée en connaissant la hauteur de la figure et l'aire de sa base. La formule correspondante est :

En appliquant cette expression à la figure en question, on obtient la formule suivante :

Où la hauteur d’une pyramide triangulaire régulière est h et son côté de base est a.

Il n'est pas difficile d'obtenir une formule pour le volume d'un tétraèdre dans laquelle tous les côtés sont égaux et représentent des triangles équilatéraux. Dans ce cas, le volume de la figure est déterminé par la formule :

Autrement dit, il est déterminé uniquement par la longueur du côté a.

Superficie

Continuons à considérer le triangulaire régulier. L'aire totale de toutes les faces d'une figure est appelée sa surface. Cette dernière peut être commodément étudiée en considérant le développement correspondant. La figure ci-dessous montre à quoi ressemble le développement d’une pyramide triangulaire régulière.

Supposons que l'on connaisse la hauteur h et le côté de la base a de la figure. Alors l'aire de sa base sera égale à :

Chaque écolier peut obtenir cette expression s'il se souvient comment trouver l'aire d'un triangle, et tient également compte du fait que la hauteur d'un triangle équilatéral est aussi une bissectrice et une médiane.

La surface latérale formée de trois triangles isocèles identiques est :

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Cette égalité découle de l'expression de l'apothème de la pyramide en termes de hauteur et de longueur de la base.

La surface totale de la figure est :

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Notez que pour un tétraèdre dont les quatre côtés sont des triangles équilatéraux identiques, l'aire S sera égale à :

Propriétés d'une pyramide triangulaire tronquée régulière

Si le sommet de la pyramide triangulaire considérée est coupé avec un plan parallèle à la base, alors la partie inférieure restante sera appelée pyramide tronquée.

Dans le cas d'une base triangulaire, le résultat du procédé de section décrit est un nouveau triangle, également équilatéral, mais dont la longueur de côté est plus courte que le côté de la base. Une pyramide triangulaire tronquée est présentée ci-dessous.

On voit que cette figure est déjà limitée par deux bases triangulaires et trois trapèzes isocèles.

Supposons que la hauteur de la figure résultante soit égale à h, que les longueurs des côtés des bases inférieure et supérieure soient respectivement a 1 et a 2, et que l'apothème (hauteur du trapèze) soit égal à a b. Ensuite, la superficie de la pyramide tronquée peut être calculée à l'aide de la formule :

S = 3/2*(une 1 + une 2)*une b + √3/4*(une 1 2 + une 2 2)

Ici le premier terme est l'aire de la surface latérale, le deuxième terme est l'aire des bases triangulaires.

Le volume de la figure est calculé comme suit :

V = √3/12*h*(une 1 2 + une 2 2 + une 1 *une 2)

Pour déterminer sans ambiguïté les caractéristiques d’une pyramide tronquée, il est nécessaire de connaître ses trois paramètres, comme le démontrent les formules données.

Une pyramide est un polyèdre ayant à sa base un polygone. Toutes les faces forment à leur tour des triangles qui convergent vers un sommet. Les pyramides sont triangulaires, quadrangulaires, etc. Afin de déterminer quelle pyramide se trouve devant vous, il suffit de compter le nombre d'angles à sa base. La définition de « hauteur d’une pyramide » se retrouve très souvent dans les problèmes de géométrie du programme scolaire. Dans cet article, nous allons essayer d’examiner différentes manières de le trouver.

Parties de la pyramide

Chaque pyramide est composée des éléments suivants :

• des faces latérales, qui ont trois coins et convergent au sommet ;
• l'apothème représente la hauteur qui descend de son sommet ;
• le sommet de la pyramide est un point qui relie les nervures latérales, mais ne se situe pas dans le plan de la base ;
• la base est un polygone sur lequel le sommet ne repose pas ;
• la hauteur d'une pyramide est un segment qui coupe le sommet de la pyramide et forme un angle droit avec sa base.

Comment trouver la hauteur d'une pyramide si son volume est connu

Grâce à la formule V = (S*h)/3 (dans la formule V est le volume, S est l'aire de la base, h est la hauteur de la pyramide) on trouve que h = (3*V)/ S. Pour consolider le matériel, résolvons immédiatement le problème. La base triangulaire mesure 50 cm 2 , alors que son volume est de 125 cm 3 . La hauteur de la pyramide triangulaire est inconnue, c'est ce que nous devons trouver. Tout est simple ici : on insère les données dans notre formule. On obtient h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Comment trouver la hauteur d'une pyramide si la longueur de la diagonale et ses arêtes sont connues

On s’en souvient, la hauteur de la pyramide forme un angle droit avec sa base. Cela signifie que la hauteur, le bord et la moitié de la diagonale forment ensemble. Beaucoup, bien sûr, se souviennent du théorème de Pythagore. Connaissant deux dimensions, il ne sera pas difficile de trouver la troisième quantité. Rappelons le théorème bien connu a² = b² + c², où a est l'hypoténuse, et dans notre cas le bord de la pyramide ; b - la première branche ou moitié de la diagonale et c - respectivement, la deuxième branche, ou la hauteur de la pyramide. De cette formule c² = a² - b².

Maintenant le problème : dans une pyramide régulière, la diagonale est de 20 cm, lorsque la longueur du bord est de 30 cm. Il faut trouver la hauteur. On résout : c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. D'où c = √ 500 = environ 22,4.

Comment trouver la hauteur d'une pyramide tronquée

C'est un polygone de section parallèle à sa base. La hauteur d'une pyramide tronquée est le segment qui relie ses deux bases. La hauteur peut être trouvée pour une pyramide régulière si les longueurs des diagonales des deux bases, ainsi que le bord de la pyramide, sont connus. Soit la diagonale de la plus grande base d1, tandis que la diagonale de la plus petite base est d2 et que le bord a une longueur l. Pour trouver la hauteur, vous pouvez abaisser les hauteurs depuis les deux points supérieurs opposés du diagramme jusqu'à sa base. On voit que nous avons deux triangles rectangles ; il ne reste plus qu'à trouver la longueur de leurs pattes. Pour ce faire, soustrayez la plus petite de la plus grande diagonale et divisez par 2. Nous trouverons donc une branche : a = (d1-d2)/2. Après quoi, selon le théorème de Pythagore, il suffit de trouver la deuxième branche, qui est la hauteur de la pyramide.

Voyons maintenant tout cela en pratique. Nous avons une tâche devant nous. Une pyramide tronquée a un carré à la base, la longueur diagonale de la plus grande base est de 10 cm, tandis que la plus petite mesure 6 cm et le bord est de 4 cm. Vous devez trouver la hauteur. Tout d'abord, nous trouvons une jambe : a = (10-6)/2 = 2 cm. Une jambe est égale à 2 cm, et l'hypoténuse est 4 cm. Il s'avère que la deuxième jambe ou hauteur sera égale à 16-. 4 = 12, c'est-à-dire h = √12 = environ 3,5 cm.

Ce didacticiel vidéo aidera les utilisateurs à se faire une idée sur le thème Pyramide. Pyramide correcte. Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec le concept de pyramide et lui donner une définition. Considérons ce qu'est une pyramide régulière et quelles propriétés elle possède. Ensuite, nous démontrons le théorème sur la surface latérale d’une pyramide régulière.

Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec le concept de pyramide et lui donner une définition.

Considérons un polygone Un 1 Un 2...Un, qui se situe dans le plan α, et le point P., qui ne se situe pas dans le plan α (Fig. 1). Relions les points P. avec des sommets Un 1, Un 2, Un 3, … Un. Nous obtenons n triangles : Un 1 Un 2 R, Un 2 Un 3 R et ainsi de suite.

Définition. Polyèdre RA 1 A 2 ...A n, composé de n-carré Un 1 Un 2...Un Et n triangles RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 est appelé n-pyramide du charbon. Riz. 1.

Riz. 1

Considérons une pyramide quadrangulaire PABCD(Fig.2).

R.- le sommet de la pyramide.

ABCD- la base de la pyramide.

RA- côte latérale.

AB- nervure de base.

Du point de vue R. laissons tomber la perpendiculaire RN au plan de base ABCD. La perpendiculaire tracée est la hauteur de la pyramide.

Riz. 2

La surface totale de la pyramide est constituée de la surface latérale, c'est-à-dire l'aire de toutes les faces latérales, et l'aire de la base :

S complet = S côté + S principal

Une pyramide est dite correcte si :

• sa base est un polygone régulier ;
• le segment reliant le sommet de la pyramide au centre de la base est sa hauteur.

Explication à l'aide de l'exemple d'une pyramide quadrangulaire régulière

Considérons une pyramide quadrangulaire régulière PABCD(Fig. 3).

R.- le sommet de la pyramide. Base de la pyramide ABCD- un quadrilatère régulier, c'est-à-dire un carré. Point À PROPOS, le point d'intersection des diagonales, est le centre du carré. Moyens, RO est la hauteur de la pyramide.

Riz. 3

Explication: dans le bon sens n Dans un triangle, le centre du cercle inscrit et le centre du cercle circonscrit coïncident. Ce centre est appelé centre du polygone. Parfois, on dit que le sommet est projeté vers le centre.

La hauteur de la face latérale d’une pyramide régulière tirée de son sommet est appelée apothème et est désigné ha un.

1. toutes les arêtes latérales d’une pyramide régulière sont égales ;

2. Les faces latérales sont des triangles isocèles égaux.

Nous donnerons une preuve de ces propriétés en utilisant l’exemple d’une pyramide quadrangulaire régulière.

Donné: PABCD- pyramide quadrangulaire régulière,

ABCD- carré,

RO- hauteur de la pyramide.

Prouver:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Voir Fig. 4.

Riz. 4

Preuve.

RO- hauteur de la pyramide. C'est-à-dire directement RO perpendiculaire au plan abc, et donc direct JSC, VO, SO Et FAIRE couché dedans. donc des triangles ROA, ROV, ROS, TIGE- rectangulaire.

Considérons un carré ABCD. Des propriétés d’un carré il résulte que AO = VO = CO = FAIRE.

Puis les triangles rectangles ROA, ROV, ROS, TIGE jambe RO- général et jambes JSC, VO, SO Et FAIRE sont égaux, ce qui signifie que ces triangles sont égaux sur deux côtés. De l’égalité des triangles découle l’égalité des segments, RA = PB = RS = PD. Le point 1 a été prouvé.

Segments AB Et Soleil sont égaux parce qu’ils sont côtés d’un même carré, RA = PB = RS. donc des triangles AVR Et VSR- isocèle et égale sur trois côtés.

De la même manière, nous constatons que les triangles ABP, VCP, CDP, DAP sont isocèles et égaux, comme cela doit être prouvé au paragraphe 2.

L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de l'apothème :

Pour le prouver, choisissons une pyramide triangulaire régulière.

Donné: RAVS- pyramide triangulaire régulière.

AB = BC = AC.

RO- hauteur.

Prouver: . Voir Fig. 5.

Riz. 5

Preuve.

RAVS- pyramide triangulaire régulière. C'est AB= AC = BC. Laisser À PROPOS- centre du triangle abc, Alors RO est la hauteur de la pyramide. A la base de la pyramide se trouve un triangle équilatéral abc. Noter que .

Triangles RAV, RVS, RSA- des triangles isocèles égaux (par propriété). Une pyramide triangulaire a trois faces latérales : RAV, RVS, RSA. Cela signifie que l'aire de la surface latérale de la pyramide est :

Côté S = 3S RAW

Le théorème est prouvé.

Le rayon d'un cercle inscrit à la base d'une pyramide quadrangulaire régulière est de 3 m, la hauteur de la pyramide est de 4 m. Trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.

Donné: pyramide quadrangulaire régulière ABCD,

ABCD- carré,

r= 3 m,

RO- hauteur de la pyramide,

RO= 4 m.

Trouver: Côté S. Voir Fig. 6.

Riz. 6

Solution.

D'après le théorème prouvé, .

Trouvons d'abord le côté de la base AB. On sait que le rayon d'un cercle inscrit à la base d'une pyramide quadrangulaire régulière est de 3 m.

Ensuite, M.

Trouver le périmètre du carré ABCD d'un côté de 6 m :

Considérons un triangle BCD. Laisser M- milieu du côté CC. Parce que À PROPOS- milieu BD, Que (m).

Triangle DPC- isocèle. M- milieu CC. C'est, RM- la médiane, et donc la hauteur dans le triangle DPC. Alors RM- apothème de la pyramide.

RO- hauteur de la pyramide. Puis, directement RO perpendiculaire au plan abc, et donc direct OM, couché dedans. Trouvons l'apothème RM d'un triangle rectangle ROM.

Nous pouvons maintenant trouver la surface latérale de la pyramide :

Répondre: 60 m2.

Le rayon du cercle circonscrit à la base d'une pyramide triangulaire régulière est égal à m. La surface latérale est de 18 m 2. Trouvez la longueur de l'apothème.

Donné: PCAA- pyramide triangulaire régulière,

AB = BC = SA,

R.= m,

Côté S = 18 m2.

Trouver: . Voir Fig. 7.

Riz. 7

Solution.

Dans un triangle rectangle abc Le rayon du cercle circonscrit est donné. Trouvons un côté AB ce triangle en utilisant la loi des sinus.

Connaissant le côté d'un triangle régulier (m), on trouve son périmètre.

Par le théorème sur la surface latérale d'une pyramide régulière, où ha un- apothème de la pyramide. Alors:

Répondre: 4 m.

Nous avons donc examiné ce qu'est une pyramide, ce qu'est une pyramide régulière, et nous avons prouvé le théorème sur la surface latérale d'une pyramide régulière. Dans la prochaine leçon, nous nous familiariserons avec la pyramide tronquée.

Références

1. Géométrie. 10e-11e années : manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général (niveaux de base et spécialisé) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5e éd., rév. et supplémentaire - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : ill.
2. Géométrie. 10e-11e années : Manuel pour les établissements d'enseignement général / Sharygin I. F. - M. : Outarde, 1999. - 208 pp. : ill.
3. Géométrie. 10e année : Manuel pour les établissements d'enseignement général avec étude approfondie et spécialisée des mathématiques /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6e éd., stéréotype. - M. : Outarde, 008. - 233 p. : ill.

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2. Portail Internet « Festival des idées pédagogiques « Premier septembre » ()
3. Portail Internet « Slideshare.net » ()

Devoirs

1. Un polygone régulier peut-il être la base d'une pyramide irrégulière ?
2. Montrer que les arêtes disjointes d’une pyramide régulière sont perpendiculaires.
3. Trouvez la valeur de l'angle dièdre du côté de la base d'une pyramide quadrangulaire régulière si l'apothème de la pyramide est égal au côté de sa base.
4. RAVS- pyramide triangulaire régulière. Construisez l’angle linéaire de l’angle dièdre à la base de la pyramide.

Les étudiants découvrent le concept de pyramide bien avant d’étudier la géométrie. La faute en revient aux célèbres grandes merveilles égyptiennes du monde. Par conséquent, lorsqu'ils commencent à étudier ce merveilleux polyèdre, la plupart des étudiants l'imaginent déjà clairement. Toutes les attractions mentionnées ci-dessus ont la forme correcte. Ce qui s'est passé pyramide régulière, et ses propriétés seront discutées plus loin.

Définition

Il existe de nombreuses définitions d’une pyramide. Depuis l’Antiquité, il est très populaire.

Par exemple, Euclide l'a défini comme une figure corporelle constituée de plans qui, partant d'un seul, convergent en un certain point.

Heron a fourni une formulation plus précise. Il a insisté sur le fait que c'était le chiffre qui a une base et des plans en forme de triangles, convergeant en un point.

Sur la base de l'interprétation moderne, la pyramide est représentée comme un polyèdre spatial, composé d'un certain k-gon et de k figures triangulaires plates, ayant un point commun.

Regardons cela plus en détail, de quels éléments se compose-t-il :

• Le k-gon est considéré comme la base de la figure ;
• Des formes à 3 polygones font saillie sur les bords de la partie latérale ;
• la partie supérieure d'où proviennent les éléments latéraux est appelée sommet ;
• tous les segments reliant un sommet sont appelés arêtes ;
• si une ligne droite descend du sommet au plan de la figure sous un angle de 90 degrés, alors sa partie contenue dans l'espace interne est la hauteur de la pyramide ;
• dans tout élément latéral, une perpendiculaire, appelée apothème, peut être tracée du côté de notre polyèdre.

Le nombre d'arêtes est calculé à l'aide de la formule 2*k, où k est le nombre de côtés du k-gon. Le nombre de faces d'un polyèdre tel qu'une pyramide peut être déterminé à l'aide de l'expression k+1.

Important! Une pyramide de forme régulière est une figure stéréométrique dont le plan de base est un k-gon à côtés égaux.

Propriétés de base

Pyramide correcte possède de nombreuses propriétés, qui lui sont propres. Listons-les :

1. La base est une figure de forme correcte.
2. Les arêtes de la pyramide qui limitent les éléments latéraux ont des valeurs numériques égales.
3. Les éléments latéraux sont des triangles isocèles.
4. La base de la hauteur de la figure tombe au centre du polygone, tout en étant à la fois le point central de l'inscrit et du circonscrit.
5. Toutes les nervures latérales sont inclinées par rapport au plan de base selon le même angle.
6. Toutes les surfaces latérales ont le même angle d'inclinaison par rapport à la base.

Grâce à toutes les propriétés répertoriées, effectuer des calculs d'éléments est beaucoup plus simple. Sur la base des propriétés ci-dessus, nous prêtons attention à deux signes :

1. Dans le cas où le polygone s'inscrit dans un cercle, les faces latérales auront des angles égaux avec la base.
2. Lors de la description d'un cercle autour d'un polygone, toutes les arêtes de la pyramide partant du sommet auront des longueurs égales et des angles égaux avec la base.

La base est un carré

Pyramide quadrangulaire régulière - un polyèdre dont la base est un carré.

Il présente quatre faces latérales d’apparence isocèle.

Un carré est représenté sur un plan, mais repose sur toutes les propriétés d’un quadrilatère régulier.

Par exemple, s'il faut relier le côté d'un carré avec sa diagonale, alors utilisez la formule suivante : la diagonale est égale au produit du côté du carré et de la racine carrée de deux.

Il est basé sur un triangle régulier

Une pyramide triangulaire régulière est un polyèdre dont la base est un 3-gone régulier.

Si la base est un triangle régulier et que les bords latéraux sont égaux aux bords de la base, alors une telle figure appelé tétraèdre.

Toutes les faces d'un tétraèdre sont des 3-gones équilatéraux. Dans ce cas, il faut connaître certains points et ne pas perdre de temps dessus lors du calcul :

• l'angle d'inclinaison des côtes par rapport à n'importe quelle base est de 60 degrés ;
• la taille de toutes les faces internes est également de 60 degrés ;
• n'importe quel visage peut servir de base ;
• , dessinés à l'intérieur de la figure, ce sont des éléments égaux.

Sections d'un polyèdre

Dans tout polyèdre il y a plusieurs types de sections plat. Souvent, dans un cours de géométrie scolaire, ils travaillent avec deux :

• axial;
• parallèlement à la base.

La section axiale est obtenue lorsque le plan coupe le polyèdre qui passe par le sommet, les arêtes latérales et l'axe. Dans ce cas, l'axe est la hauteur tirée du sommet. Le plan de coupe est limité par les lignes d'intersection avec toutes les faces, ce qui donne un triangle.

Attention! Dans une pyramide régulière, la section axiale est un triangle isocèle.

Si le plan de coupe est parallèle à la base, le résultat est la deuxième option. Dans ce cas, nous avons une figure en coupe similaire à la base.

Par exemple, si la base est un carré, alors la section parallèle à la base sera également un carré, mais de plus petites dimensions.

Lors de la résolution de problèmes dans cette condition, ils utilisent des signes et des propriétés de similitude des figures, basé sur le théorème de Thales. Tout d’abord, il faut déterminer le coefficient de similarité.

Si le plan est tracé parallèlement à la base et qu'il coupe la partie supérieure du polyèdre, on obtient alors une pyramide tronquée régulière dans la partie inférieure. On dit alors que les bases d’un polyèdre tronqué sont des polygones similaires. Dans ce cas, les faces latérales sont des trapèzes isocèles. La section axiale est également isocèle.

Afin de déterminer la hauteur d'un polyèdre tronqué, il est nécessaire de tracer la hauteur dans la coupe axiale, c'est-à-dire dans le trapèze.

Superficies

Les principaux problèmes géométriques qui doivent être résolus dans un cours de géométrie scolaire sont trouver la surface et le volume d'une pyramide.

Il existe deux types de valeurs de superficie :

• zone des éléments latéraux;
• superficie de toute la surface.

D'après le nom lui-même, il est clair de quoi nous parlons. La surface latérale comprend uniquement les éléments latéraux. Il s'ensuit que pour le trouver, il suffit d'additionner les aires des plans latéraux, c'est-à-dire les aires des 3-gones isocèles. Essayons de dériver la formule pour l'aire des éléments latéraux :

1. L'aire d'un 3-gon isocèle est égale à Str=1/2(aL), où a est le côté de la base, L est l'apothème.
2. Le nombre de plans latéraux dépend du type de k-gon à la base. Par exemple, une pyramide quadrangulaire régulière possède quatre plans latéraux. Il faut donc additionner les aires de quatre chiffres Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. L'expression est ainsi simplifiée car la valeur 4a = Rosn, où Rosn est le périmètre de la base. Et l'expression 1/2*Rosn est son demi-périmètre.
3. Ainsi, nous concluons que l'aire des éléments latéraux d'une pyramide régulière est égale au produit du demi-périmètre de la base et de l'apothème : Sside = Rosn * L.

L'aire de la surface totale de la pyramide est constituée de la somme des aires des plans latéraux et de la base : Sp.p = Sside + Sbas.

Quant à l'aire de la base, ici la formule est utilisée en fonction du type de polygone.

Volume d'une pyramide régulièreégal au produit de l'aire du plan de base et de la hauteur divisé par trois : V=1/3*Sbas*H, où H est la hauteur du polyèdre.

Qu'est-ce qu'une pyramide régulière en géométrie

Propriétés d'une pyramide quadrangulaire régulière

Le texte de l'ouvrage est affiché sans images ni formules.
La version complète de l'ouvrage est disponible dans l'onglet "Fichiers de travail" au format PDF

Introduction

Lorsque nous rencontrons le mot « pyramide », notre mémoire associative nous emmène en Égypte. Si nous parlons des premiers monuments architecturaux, nous pouvons dire que leur nombre est d'au moins plusieurs centaines. Un écrivain arabe du XIIIe siècle disait : « Tout dans le monde a peur du temps, et le temps a peur des pyramides. » Les pyramides sont la seule des sept merveilles du monde qui ait survécu jusqu'à nos jours, avant l'ère de la technologie informatique. Cependant, les chercheurs n’ont toujours pas réussi à trouver les clés de tous leurs mystères. Plus nous en apprenons sur les pyramides, plus nous nous posons de questions. Les pyramides intéressent les historiens, les physiciens, les biologistes, les médecins, les philosophes, etc. Elles suscitent un grand intérêt et incitent à une étude plus approfondie de leurs propriétés, tant du point de vue mathématique que d'autres points de vue (historique, géographique, etc.).

C'est pourquoi but Notre recherche consistait à étudier les propriétés de la pyramide sous différents points de vue. Nous avons identifié comme objectifs intermédiaires : la considération des propriétés de la pyramide du point de vue mathématique, l'étude des hypothèses sur l'existence des secrets et des mystères de la pyramide, ainsi que les possibilités de son application.

Objet L’étude dans cet ouvrage est une pyramide.

Article recherche : caractéristiques et propriétés de la pyramide.

Tâches recherche:

Étudier la littérature scientifique populaire sur le sujet de la recherche.

Considérez la pyramide comme un corps géométrique.

Déterminez les propriétés et les caractéristiques de la pyramide.

Trouvez du matériel confirmant l'application des propriétés de la pyramide dans divers domaines scientifiques et technologiques.

Méthodes recherche : analyse, synthèse, analogie, modélisation mentale.

Résultat attendu des travaux il doit y avoir des informations structurées sur la pyramide, ses propriétés et ses possibilités d'application.

Étapes de préparation du projet:

Déterminer le sujet, les buts et les objectifs du projet.

Étudier et collecter du matériel.

Elaboration d'un plan de projet.

Formulation du résultat attendu de l'activité sur le projet, y compris l'assimilation de nouveau matériel, la formation de connaissances, de compétences et d'aptitudes dans l'activité en question.

Présentation des résultats de la recherche.

Réflexion

Pyramide comme corps géométrique

Considérons les origines du mot et du terme « pyramide" Il convient immédiatement de noter que la « pyramide » ou « pyramide"(Anglais), " pyramide"(langues française, espagnole et slave), "pyramide"(allemand) est un terme occidental dont les origines remontent à la Grèce antique. En grec ancien πύραμίς (« p iramis" et bien d'autres. h. Πύραμίδες « pyramides") a plusieurs significations. Les anciens Grecs appelaient pyramide» une galette de blé qui ressemblait à la forme des bâtiments égyptiens. Plus tard, le mot est devenu « une structure monumentale avec une zone carrée à la base et des côtés en pente se rejoignant au sommet ». Le dictionnaire étymologique indique que le grec « pyramide » vient de l'égyptien « Pimar." Première interprétation écrite du mot "pyramide" trouvé en Europe en 1555 et signifie : « un des types d’anciennes structures des rois ». Après la découverte des pyramides au Mexique et avec le développement de la science au XVIIIe siècle, la pyramide est devenue non seulement un monument architectural ancien, mais aussi une figure géométrique régulière à quatre côtés symétriques (1716). La géométrie des pyramides a commencé dans l’Égypte ancienne et à Babylone, mais s’est activement développée dans la Grèce antique. Le premier à établir le volume de la pyramide fut Démocrite, et cela fut prouvé par Eudoxe de Cnide.

La première définition appartient au mathématicien grec ancien, auteur des traités théoriques de mathématiques qui nous sont parvenus, Euclide. Dans le volume XII de ses « Principes », il définit une pyramide comme une figure solide délimitée par des plans qui, à partir d'un plan (base), convergent en un point (sommet). Mais cette définition a déjà été critiquée dans l’Antiquité. Héron propose alors la définition suivante d'une pyramide : « C'est une figure délimitée par des triangles convergeant en un point et dont la base est un polygone. »

Il existe une définition du mathématicien français Adrien Marie Legendre, qui en 1794 dans son ouvrage « Éléments de géométrie » définit une pyramide comme suit : « Une pyramide est une figure solide formée de triangles convergeant en un point et se terminant sur différents côtés d'un base plate.

Les dictionnaires modernes interprètent le terme « pyramide » comme suit :

En analysant les définitions de la pyramide, nous pouvons conclure que toutes les sources ont des formulations similaires :

Une pyramide est un polyèdre dont la base est un polygone et les faces restantes sont des triangles ayant un sommet commun. En fonction du nombre de coins de la base, les pyramides sont classées comme triangulaires, quadrangulaires, etc.

Polygone A 1 A 2 A 3 ... An est la base de la pyramide, et les triangles RA 1 A 2 , RA 2 A 3 , ..., RANA 1 sont les faces latérales de la pyramide, P est le sommet du pyramide, segments RA 1 , RA 2 , ..., RAN - côtes latérales.

La perpendiculaire tracée du sommet de la pyramide au plan de la base s'appelle hauteur pyramides.

En plus d'une pyramide arbitraire, il existe une pyramide régulière, à la base de laquelle se trouvent un polygone régulier et une pyramide tronquée.

Zone La surface totale d’une pyramide est la somme des aires de toutes ses faces. Sfull = S side + S main, où S side est la somme des aires des faces latérales.

Volume La pyramide est trouvée par la formule : V=1/3S main.h, où S main. - surface de base, h - hauteur.

À propriétés de la pyramide inclure:

Lorsque tous les bords latéraux sont de même taille, il est alors facile de décrire un cercle autour de la base de la pyramide, avec le sommet de la pyramide projeté au centre de ce cercle ; les nervures latérales forment des angles égaux avec le plan de la base ; De plus, l’inverse est également vrai, c’est-à-dire lorsque les nervures latérales forment des angles égaux avec le plan de la base, ou lorsqu'un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide et que le sommet de la pyramide sera projeté au centre de ce cercle, cela signifie que tous les bords latéraux de la pyramide ont la même taille.

Lorsque les faces latérales ont un angle d'inclinaison par rapport au plan de la base de même grandeur, il est alors facile de décrire un cercle autour de la base de la pyramide, et le sommet de la pyramide sera projeté au centre de ce cercle. ; les hauteurs des faces latérales sont d'égales longueurs ; l'aire de la surface latérale est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de la hauteur de la face latérale.

La pyramide s'appelle correct, si sa base est un polygone régulier et que son sommet est projeté au centre de la base. Les faces latérales d'une pyramide régulière sont des triangles isocèles égaux (Fig. 2a). Axe d'une pyramide régulière est la ligne droite contenant sa hauteur. Apothème - la hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière tirée de son sommet.

Carré la face latérale d'une pyramide régulière s'exprime comme suit : Sside. =1/2P h, où P est le périmètre de la base, h est la hauteur de la face latérale (apothème d'une pyramide régulière). Si la pyramide est coupée par le plan A'B'C'D', parallèle à la base, alors les bords latéraux et la hauteur sont divisés par ce plan en parties proportionnelles ; en coupe transversale, on obtient un polygone A'B'C'D', semblable à la base ; Les surfaces transversales et les bases sont liées comme les carrés de leurs distances au sommet.

Pyramide tronquée est obtenu en découpant sa partie supérieure de la pyramide avec un plan parallèle à la base (Fig. 2b). Les bases de la pyramide tronquée sont des polygones similaires ABCD et A`B`C`D`, les faces latérales sont des trapèzes. La hauteur d'une pyramide tronquée est la distance entre les bases. Le volume d'une pyramide tronquée est trouvé par la formule : V = 1/3 h (S + + S'), où S et S' sont les aires des bases ABCD et A'B'C'D', h est la hauteur.

Les bases d'une pyramide n-gonale tronquée régulière sont des n-gones réguliers. La surface latérale d'une pyramide tronquée régulière s'exprime comme suit : Sside. = ½(P+P’)h, où P et P’ sont les périmètres des bases, h est la hauteur de la face latérale (apothème d’une pyramide tronquée régulière)

Les sections d'une pyramide par des plans passant par son sommet sont des triangles. La section passant par deux arêtes latérales non adjacentes de la pyramide est appelée section diagonale. Si la section passe par un point sur le bord latéral et le côté de la base, alors sa trace jusqu'au plan de la base de la pyramide sera ce côté. Une section passant par un point situé sur la face de la pyramide et une section donnée tracée sur le plan de base, alors la construction doit être réalisée comme suit : trouver le point d'intersection du plan de la face donnée et la trace de section de la pyramide et la désigner ; construire une droite passant par un point donné et le point d'intersection résultant ; répétez ces étapes pour les visages suivants.

Pyramide rectangulaire - Il s'agit d'une pyramide dont l'un des bords latéraux est perpendiculaire à la base. Dans ce cas, cette arête sera la hauteur de la pyramide (Fig. 2c).

Pyramide triangulaire régulière est une pyramide dont la base est un triangle régulier et dont le sommet est projeté au centre de la base. Un cas particulier de pyramide triangulaire régulière est tétraèdre. (Fig.2a)

Considérons les théorèmes reliant la pyramide à d'autres corps géométriques.

Sphère

Une sphère peut être décrite autour d'une pyramide lorsqu'à la base de la pyramide se trouve un polygone autour duquel un cercle peut être décrit (condition nécessaire et suffisante). Le centre de la sphère sera le point d'intersection des plans passant par les milieux des arêtes de la pyramide qui leur sont perpendiculaires. De ce théorème, il s'ensuit qu'une sphère peut être décrite à la fois autour de n'importe quelle pyramide triangulaire et autour de n'importe quelle pyramide régulière ; Une sphère peut s'inscrire dans une pyramide lorsque les plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide se coupent en un point (condition nécessaire et suffisante). Ce point sera le centre de la sphère.

Cône

Un cône est dit inscrit dans une pyramide si leurs sommets coïncident et que sa base est inscrite dans la base de la pyramide. De plus, il n'est possible d'insérer un cône dans une pyramide que lorsque les apothèmes de la pyramide sont égaux entre eux (condition nécessaire et suffisante) ; Un cône est dit proche d’une pyramide lorsque leurs sommets coïncident et que sa base est décrite près de la base de la pyramide. De plus, il n'est possible de décrire un cône à proximité d'une pyramide que lorsque toutes les arêtes latérales de la pyramide sont égales entre elles (condition nécessaire et suffisante) ; Les hauteurs de ces cônes et pyramides sont égales les unes aux autres.

Cylindre

Un cylindre est dit inscrit dans une pyramide si l'une de ses bases coïncide avec un cercle inscrit dans la section de la pyramide par un plan parallèle à la base, et que l'autre base appartient à la base de la pyramide. Un cylindre est dit décrit à proximité d'une pyramide si le sommet de la pyramide appartient à l'une de ses bases, et son autre base est décrite à proximité de la base de la pyramide. De plus, il n’est possible de décrire un cylindre à proximité d’une pyramide que s’il existe un polygone inscrit à la base de la pyramide (condition nécessaire et suffisante).

Très souvent, dans leurs recherches, les scientifiques utilisent les propriétés de la pyramide. avec des proportions de nombre d'or. Nous verrons comment les ratios d'or ont été utilisés lors de la construction de pyramides dans le paragraphe suivant, et nous nous attarderons ici sur la définition du nombre d'or.

Le dictionnaire encyclopédique mathématique donne la définition suivante Nombre d'or- c'est la division du segment AB en deux parties de telle sorte que sa plus grande partie AC soit la moyenne proportionnelle entre l'ensemble du segment AB et sa plus petite partie CD.

La détermination algébrique du nombre d'or du segment AB = a se réduit à résoudre l'équation a:x = x:(a-x), à partir de laquelle x est approximativement égal à 0,62a. Le rapport x peut être exprimé sous forme de fractions n/n+1= 0,618, où n est le nombre de Fibonacci numéroté n.

Le nombre d'or est souvent utilisé dans les œuvres d'art, l'architecture et se trouve dans la nature. Des exemples frappants sont la sculpture d'Apollon du Belvédère et du Parthénon. Lors de la construction du Parthénon, le rapport entre la hauteur du bâtiment et sa longueur a été utilisé et ce rapport est de 0,618. Les objets qui nous entourent fournissent également des exemples du nombre d'or. Par exemple, les reliures de nombreux livres ont également un rapport largeur/longueur proche de 0,618.

Ainsi, après avoir étudié la littérature scientifique populaire sur le problème de recherche, nous sommes arrivés à la conclusion qu'une pyramide est un polyèdre dont la base est un polygone et que les faces restantes sont des triangles avec un sommet commun. Nous avons examiné les éléments et les propriétés de la pyramide, ses types et sa relation avec les proportions du nombre d'or.

2. Caractéristiques de la pyramide

Ainsi, dans le Grand Dictionnaire Encyclopédique, il est écrit qu'une pyramide est une structure monumentale qui a la forme géométrique d'une pyramide (parfois en gradins ou en forme de tour). Les pyramides étaient le nom donné aux tombeaux des anciens pharaons égyptiens du IIIe au IIe millénaire avant JC. e., ainsi que les socles de temples d'Amérique centrale et d'Amérique du Sud associés aux cultes cosmologiques. Parmi les pyramides grandioses d'Égypte, la Grande Pyramide du pharaon Khéops occupe une place particulière. Avant de commencer à analyser la forme et la taille de la pyramide de Khéops, nous devons nous rappeler quel système de mesures utilisaient les Égyptiens. Les Égyptiens avaient trois unités de longueur : une « coudée » (466 mm), qui équivalait à sept « paumes » (66,5 mm), qui à leur tour équivalaient à quatre « doigts » (16,6 mm).

La plupart des chercheurs s'accordent à dire que la longueur du côté de la base de la pyramide, par exemple GF, est égale à L = 233,16 m. Cette valeur correspond presque exactement à 500 « coudées ». Le respect total des 500 « coudes » se produira si la longueur du « coude » est considérée comme égale à 0,4663 m.

La hauteur de la pyramide (H) est estimée par les chercheurs entre 146,6 et 148,2 m. Et selon la hauteur acceptée de la pyramide, toutes les relations de ses éléments géométriques changent. Quelle est la raison des différences dans les estimations de la hauteur de la pyramide ? Le fait est que la pyramide de Khéops est tronquée. Sa plate-forme supérieure mesure aujourd'hui environ 10 x 10 m, mais il y a un siècle elle mesurait 6 x 6 m. Évidemment, le sommet de la pyramide a été démantelé et ne correspond pas à celui d'origine. Lors de l'évaluation de la hauteur de la pyramide, il est nécessaire de prendre en compte un facteur physique tel que le tassement de la structure. Pendant une longue période, sous l'influence d'une pression colossale (atteignant 500 tonnes pour 1 m 2 de surface inférieure), la hauteur de la pyramide a diminué par rapport à sa hauteur d'origine. La hauteur originale de la pyramide peut être recréée en trouvant une idée géométrique de base.

En 1837, le colonel anglais G. Wise mesura l'angle d'inclinaison des faces de la pyramide : il s'avéra être égal à a = 51°51". Cette valeur est encore reconnue aujourd'hui par la plupart des chercheurs. La valeur indiquée de la l'angle correspond à une tangente (tg a) égale à 1,27306. Cette valeur correspond au rapport de la hauteur de la pyramide AC à la moitié de sa base CB, soit AC/CB = H/(L/2) = 2H/ L.

Et là, les chercheurs ont eu une grosse surprise ! Le fait est que si l'on prend la racine carrée du nombre d'or, on obtient le résultat suivant = 1,272. En comparant cette valeur avec la valeur tg a = 1,27306, on constate que ces valeurs sont très proches les unes des autres. Si nous prenons l'angle a = 51°50", c'est-à-dire le réduisons d'une seule minute d'arc, alors la valeur de a deviendra égale à 1,272, c'est-à-dire qu'elle coïncidera avec la valeur. Il convient de noter que dans 1840 G. Wise répéta ses mesures et précisa que la valeur de l'angle a = 51°50".

Ces mesures ont conduit les chercheurs à l'hypothèse intéressante suivante : le triangle ACB de la pyramide de Khéops était basé sur le rapport AC/CB = 1,272.

Considérons maintenant un triangle rectangle ABC, dans lequel le rapport des branches AC / CB = . Si nous désignons maintenant les longueurs des côtés du rectangle ABC par x, y, z, et prenons également en compte que le rapport y/x =, alors conformément au théorème de Pythagore, la longueur z peut être calculée à l'aide de la formule :

Si on prend x = 1, y = , alors :

Un triangle rectangle dont les côtés sont dans le rapport t::1 est appelé un triangle rectangle « doré ».

Ensuite, si nous prenons comme base l'hypothèse selon laquelle « l'idée géométrique » principale de la pyramide de Khéops est un triangle rectangle « d'or », alors à partir de là, nous pouvons facilement calculer la hauteur « de conception » de la pyramide de Khéops. Il est égal à :

H = (L/2)/= 148,28 m.

Dérivons maintenant quelques autres relations pour la pyramide de Khéops, découlant de l'hypothèse « en or ». On trouvera notamment le rapport entre l'aire extérieure de la pyramide et l'aire de sa base. Pour ce faire, on prend la longueur de la jambe CB comme une, c'est-à-dire : CB = 1. Mais alors la longueur du côté de la base de la pyramide est GF = 2, et l'aire de la base EFGH sera être égal à S EFGH = 4.

Calculons maintenant l'aire de la face latérale de la pyramide de Khéops S D . Puisque la hauteur AB du triangle AEF est égale à t, l'aire de la face latérale sera égale à S D = t. Alors l'aire totale des quatre faces latérales de la pyramide sera égale à 4t, et le rapport entre la surface extérieure totale de la pyramide et la surface de la base sera égal au nombre d'or. C'est le principal mystère géométrique de la pyramide de Khéops.

Et aussi, lors de la construction des pyramides égyptiennes, il a été constaté qu'un carré construit à la hauteur de la pyramide est exactement égal à l'aire de chacun des triangles latéraux. Ceci est confirmé par les dernières mesures.

On sait que le rapport entre la longueur d'un cercle et son diamètre est une valeur constante, bien connue des mathématiciens et des écoliers modernes - c'est le nombre « Pi » = 3,1416... Mais si l'on additionne les quatre côtés de la base de la pyramide de Khéops, on obtient 931,22 m. En divisant ce nombre par deux fois la hauteur de la pyramide (2x148,208), on obtient 3,1416..., c'est-à-dire le nombre « Pi ». Par conséquent, la pyramide de Khéops est un monument unique en son genre qui représente l’incarnation matérielle du nombre « Pi », qui joue un rôle important en mathématiques.

Ainsi, la présence du nombre d'or dans les dimensions de la pyramide - le rapport du double côté de la pyramide à sa hauteur - est un nombre très proche en valeur du nombre π. C'est sans doute aussi une particularité. Bien que de nombreux auteurs estiment que cette coïncidence est accidentelle, puisque la fraction 14/11 est « une bonne approximation à la fois de la racine carrée du nombre d'or et du rapport des aires d'un carré et du cercle qui y est inscrit ».

Cependant, il est incorrect de parler ici uniquement des pyramides égyptiennes. Il n’y a pas que des pyramides égyptiennes, il existe tout un réseau de pyramides sur Terre. Les principaux monuments (les pyramides égyptiennes et mexicaines, l'île de Pâques et le complexe de Stonehenge en Angleterre) sont à première vue dispersés de manière aléatoire sur notre planète. Mais si le complexe tibétain des pyramides est inclus dans l'étude, alors un système mathématique strict de leur emplacement à la surface de la Terre apparaît. Dans le contexte de la chaîne himalayenne, une formation pyramidale se détache clairement : le mont Kailash. L'emplacement de la ville de Kailash, des pyramides égyptiennes et mexicaines est très intéressant, à savoir si vous reliez la ville de Kailash aux pyramides mexicaines, alors la ligne qui les relie va à l'île de Pâques. Si vous reliez la ville de Kailash aux pyramides égyptiennes, la ligne de leur connexion va à nouveau à l'île de Pâques. Exactement un quart du globe a été délimité. Si nous connectons les pyramides mexicaines et égyptiennes, nous verrons deux triangles égaux. Si vous trouvez leurs superficies, alors leur somme est égale au quart de la superficie du globe.

Un lien incontestable entre le complexe pyramidal tibétain a été révélé avec d'autres structures antiquité - Pyramides égyptiennes et mexicaines, colosses de l'île de Pâques et complexe de Stonehenge en Angleterre. La hauteur de la pyramide principale du Tibet - le mont Kailash - est 6714 mètres. La distance entre Kailash et le pôle Nord est de 6714 kilomètres, la distance entre Kailash et Stonehenge est de 6714 kilomètres Si nous les mettons sur le globe depuis le pôle Nord 6714 kilomètres, nous arriverons ensuite à la soi-disant Tour du Diable, qui ressemble à une pyramide tronquée. Et enfin, exactement 6714 kilomètres de Stonehenge au Triangle des Bermudes.

À la suite de ces études, nous pouvons conclure qu'il existe un système géographique pyramidal sur Terre.

Ainsi, les fonctionnalités incluent le rapport de la surface extérieure totale de la pyramide à la surface de la base sera égal au nombre d'or ; la présence dans les dimensions de la pyramide du nombre d'or - le rapport du double côté de la pyramide à sa hauteur - est un nombre très proche en valeur du nombre π, c'est-à-dire la pyramide de Khéops est un monument unique en son genre qui représente l'incarnation matérielle du nombre « Pi » ; l'existence d'un système pyramidal-géographique.

3. Autres propriétés et utilisations de la pyramide.

Considérons l'application pratique de cette figure géométrique. Par exemple, hologramme. Voyons d’abord ce qu’est l’holographie. Holographie - un ensemble de technologies pour enregistrer, reproduire et remodeler avec précision les champs d'ondes du rayonnement optique électromagnétique, une méthode photographique spéciale dans laquelle, à l'aide d'un laser, des images d'objets tridimensionnels sont enregistrées puis reconstruites, très similaires aux images réelles. Un hologramme est un produit de l'holographie, une image tridimensionnelle créée à l'aide d'un laser qui reproduit l'image d'un objet tridimensionnel. En utilisant une pyramide tétraédrique tronquée régulière, vous pouvez recréer une image - un hologramme. Un fichier photo et une pyramide tétraédrique tronquée régulière à partir d'un matériau translucide sont créés. Une petite indentation est faite à partir du pixel le plus bas et de celui du milieu par rapport à l'axe des ordonnées. Ce point sera le milieu du côté du carré formé par la section. La photographie est multipliée, et ses copies sont positionnées de la même manière par rapport aux trois autres faces. Placez la pyramide sur le carré avec sa section transversale vers le bas pour qu'elle coïncide avec le carré. Le moniteur génère une onde lumineuse, chacune de quatre photographies identiques, se trouvant dans un plan qui est une projection de la face de la pyramide, tombe sur la face elle-même. Du coup, sur chacune des quatre faces nous avons des images identiques, et comme le matériau dont est faite la pyramide a la propriété de transparence, les ondes semblent réfractées, se rejoignant au centre. En conséquence, nous obtenons le même motif d'interférence d'une onde stationnaire, dont l'axe central ou l'axe de rotation est la hauteur d'une pyramide tronquée régulière. Cette méthode fonctionne également avec des images vidéo, puisque le principe de fonctionnement reste inchangé.

En considérant des cas particuliers, on constate que la pyramide est largement utilisée dans la vie quotidienne, même à la maison. La forme pyramidale se retrouve fréquemment, principalement dans la nature : plantes, cristaux, la molécule de méthane a la forme d'une pyramide triangulaire régulière - un tétraèdre, La cellule unitaire d'un cristal de diamant est également un tétraèdre, avec des atomes de carbone situés au centre et à quatre sommets. Les pyramides se trouvent à la maison et dans les jouets des enfants. Les boutons et les claviers d’ordinateur ressemblent souvent à une pyramide tronquée quadrangulaire. Ils peuvent être vus sous la forme d’éléments de bâtiments ou de structures architecturales elles-mêmes, comme les structures de toit translucides.

Regardons quelques autres exemples d'utilisation du terme « pyramide »

Pyramides écologiques- ce sont des modèles graphiques (généralement sous forme de triangles) reflétant le nombre d'individus (pyramide des nombres), la quantité de leur biomasse (pyramide de la biomasse) ou l'énergie qu'ils contiennent (pyramide d'énergie) à chaque niveau trophique et indiquant une diminution de tous les indicateurs avec l'augmentation du niveau trophique

Pyramide de l'information. Il reflète la hiérarchie des différents types d’informations. La fourniture d’informations est structurée selon le schéma pyramidal suivant : en haut se trouvent les principaux indicateurs permettant de suivre clairement le rythme de progression de l’entreprise vers l’objectif choisi. Si quelque chose ne va pas, vous pouvez alors accéder au niveau intermédiaire de la pyramide - les données généralisées. Ils clarifient le tableau pour chaque indicateur individuellement ou conjointement les uns avec les autres. À l'aide de ces données, vous pouvez déterminer l'emplacement possible d'une panne ou d'un problème. Pour des informations plus complètes, vous devez vous tourner vers la base de la pyramide - une description détaillée de l'état de tous les processus sous forme numérique. Ces données permettent d'identifier la cause du problème afin qu'il puisse être corrigé et évité qu'il ne se reproduise à l'avenir.

Taxonomie de Bloom. La taxonomie de Bloom propose une classification des tâches sous la forme d'une pyramide que les enseignants fixent aux élèves et, par conséquent, des objectifs d'apprentissage. Elle divise les objectifs éducatifs en trois domaines : cognitif, affectif et psychomoteur. Au sein de chaque sphère individuelle, pour passer à un niveau supérieur, l'expérience des niveaux précédents distingués dans cette sphère est nécessaire.

Pyramide financière- un phénomène spécifique de développement économique. Le nom « pyramide » illustre clairement la situation dans laquelle les personnes « en bas » de la pyramide donnent de l'argent au petit sommet. De plus, chaque nouveau participant paie pour augmenter ses chances de promotion au sommet de la pyramide.

Pyramide des besoins Maslow reflète l'une des théories de la motivation les plus populaires et les plus connues : la théorie de la hiérarchie. besoins. Maslow a distribué les besoins à mesure qu'ils augmentent, expliquant cette construction par le fait qu'une personne ne peut pas éprouver des besoins de haut niveau alors qu'elle a besoin de choses plus primitives. À mesure que les besoins de niveau inférieur sont satisfaits, les besoins de niveau supérieur deviennent de plus en plus pertinents, mais cela ne signifie pas que le besoin précédent est remplacé par un nouveau seulement lorsque le précédent est pleinement satisfait.

Un autre exemple d’utilisation du terme « pyramide » est pyramide alimentaire - une représentation schématique des principes d'une alimentation saine développés par les nutritionnistes. Les aliments situés à la base de la pyramide doivent être consommés aussi souvent que possible, tandis que les aliments situés au sommet de la pyramide doivent être évités ou consommés en quantités limitées.

Ainsi, tout ce qui précède montre la variété des utilisations de la pyramide dans nos vies. Peut-être que la pyramide a un but bien plus élevé et qu’elle est destinée à quelque chose de plus grand que les utilisations pratiques découvertes aujourd’hui.

Conclusion

Nous rencontrons constamment des pyramides dans nos vies - ce sont d'anciennes pyramides égyptiennes et des jouets avec lesquels les enfants jouent ; objets d'architecture et de design, cristaux naturels ; virus visibles uniquement au microscope électronique. Au fil des millénaires de leur existence, les pyramides sont devenues une sorte de symbole, personnifiant le désir de l’homme d’atteindre le sommet de la connaissance.

Au cours de l'étude, nous avons déterminé que les pyramides sont un phénomène assez courant dans le monde entier.

Nous avons étudié la littérature scientifique populaire sur le sujet de la recherche, examiné diverses interprétations du terme « pyramide », déterminé que dans un sens géométrique, une pyramide est un polyèdre dont la base est un polygone et les faces restantes sont des triangles qui ont un sommet commun. Nous avons étudié les types de pyramides (régulières, tronquées, rectangulaires), les éléments (apothème, faces latérales, bords latéraux, sommet, hauteur, base, section diagonale) et les propriétés des pyramides géométriques lorsque les bords latéraux sont égaux et lorsque les faces latérales sont inclinés par rapport au plan de la base selon le même angle. Nous avons examiné des théorèmes reliant la pyramide à d'autres corps géométriques (sphère, cône, cylindre).

Nous avons inclus les caractéristiques suivantes de la pyramide :

le rapport de la surface extérieure totale de la pyramide à la surface de la base sera égal au nombre d'or ;

la présence dans les dimensions de la pyramide du nombre d'or - le rapport du double côté de la pyramide à sa hauteur - est un nombre très proche en valeur du nombre π, c'est-à-dire la pyramide de Khéops est un monument unique en son genre qui représente l'incarnation matérielle du nombre « Pi » ;

l'existence d'un système pyramidal-géographique.

Nous avons étudié l'usage moderne de cette figure géométrique. Nous avons regardé comment la pyramide et l'hologramme sont connectés, et avons remarqué que la forme pyramidale se retrouve le plus souvent dans la nature (plantes, cristaux, molécules de méthane, structure du réseau de diamant, etc.). Tout au long de l’étude, nous avons rencontré des éléments confirmant l’utilisation des propriétés de la pyramide dans divers domaines scientifiques et technologiques, dans la vie quotidienne des gens, dans l’analyse de l’information, en économie et dans bien d’autres domaines. Et ils sont arrivés à la conclusion que les pyramides ont peut-être un but bien plus élevé et sont destinées à quelque chose de plus grand que les moyens pratiques de les utiliser qui sont maintenant découverts.

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