Examen de la solution des systèmes avec un paramètre. Etude du trinôme quadratique

Équation de la forme f(x; un) = 0 est appelé équation avec variable X et paramètre UN.

Résoudre l'équation avec le paramètre UN– cela signifie pour chaque valeur UN trouver des valeurs X, satisfaisant cette équation.

Exemple 1. Oh= 0

Exemple 2. Oh = UN

Exemple 3.

x + 2 = ah
x – ah = -2
x(1 – une) = -2

Si 1 – UN= 0, c'est à dire UN= 1, alors X 0 = -2 pas de racines

Si 1 – UN 0, c'est-à-dire UN 1, alors X =

Exemple 4.

(UN 2 – 1) X = 2UN 2 + UN – 3
(UN – 1)(UN + 1)X = 2(UN – 1)(UN – 1,5)
(UN – 1)(UN + 1)X = (1UN – 3)(UN – 1)

Si UN= 1, puis 0 X = 0
X– n'importe quel nombre réel

Si UN= -1, puis 0 X = -2
pas de racines

Si UN 1, UN-1, alors X= (la seule solution).

Cela signifie que pour chaque valeur valide UN correspond à une seule valeur X.

Par exemple:

Si UN= 5, alors X = = ;

Si UN= 0, alors X= 3, etc.

1. Oh = X + 3

2. 4 + Oh = 3X – 1

3. UN = +

à UN= 1 pas de racines.

à UN= 3 pas de racines.

à UN = 1 X– n'importe quel nombre réel sauf X = 1

à UN = -1, UN= 0 aucune solution.

à UN = 0, UN= 2 aucune solution.

à UN = -3, UN = 0, 5, UN= -2 pas de solution

à UN = -Avec, Avec= 0 aucune solution.

Équations quadratiques avec paramètre

Exemple 1. Résoudre l'équation

(UN – 1)X 2 = 2(2UN + 1)X + 4UN + 3 = 0

À UN = 1 6X + 7 = 0

Au cas où UN 1, nous mettons en évidence les valeurs des paramètres auxquelles D va à zéro.

ré = (2(2 UN + 1)) 2 – 4(UN – 1)(4UN + 30 = 16UN 2 + 16UN + 4 – 4(4UN 2 + 3UN – 4UN – 3) = 16UN 2 + 16UN + 4 – 16UN 2 + 4UN + 12 = 20UN + 16

20UN + 16 = 0

20UN = -16

Si UN < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.

Si UN> -4/5 et UN 1, alors D > 0,

X =

Si UN= 4/5, alors D = 0,

Exemple 2. A quelles valeurs du paramètre a l'équation est-elle

x2 + 2( UN + 1)X + 9UN– 5 = 0 a 2 racines négatives différentes ?

D = 4( UN + 1) 2 – 4(9UN – 5) = 4UN 2 – 28UN + 24 = 4(UN – 1)(UN – 6)

4(UN – 1)(UN – 6) > 0

via t.Vieta : X 1 + X 2 = -2(UN + 1)
X 1 X 2 = 9UN – 5

Par condition X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(UN + 1) < 0 и 9UN – 5 > 0

À la fin

4(UN – 1)(UN – 6) > 0 - 2(UN + 1) < 0 9UN – 5 > 0

UN < 1: а > 6 UN > - 1 UN > 5/9

(Riz. 1) < un < 1, либо un > 6

Exemple 3. Trouver les valeurs UN, pour lequel cette équation a une solution.

x2 – 2( UN – 1)X + 2UN + 1 = 0

D = 4( UN – 1) 2 – 4(2UN + 10 = 4UN 2 – 8UN + 4 – 8UN – 4 = 4UN 2 – 16UN

4UN 2 – 16 0

4UN(UN – 4) 0

UN( UN – 4)) 0

UN( UN – 4) = 0

une = 0 ou UN – 4 = 0
UN = 4

(Riz. 2)

Répondre: UN 0 et UN 4

Matériel didactique

1. A quelle valeur UNéquation Oh 2 – (UN + 1) X + 2UN– 1 = 0 a une racine ?

2. A quelle valeur UNéquation ( UN + 2) X 2 + 2(UN + 2)X+ 2 = 0 a une racine ?

3. Pour quelles valeurs de a est l'équation ( UN 2 – 6UN + 8) X 2 + (UN 2 – 4) X + (10 – 3UN – UN 2) = 0 a plus de deux racines ?

4. Pour quelles valeurs de a, équation 2 X 2 + X – UN= 0 a au moins une racine commune avec l'équation 2 X 2 – 7X + 6 = 0?

5. Pour quelles valeurs d'une l'équation X 2 +Oh+ 1 = 0 et X 2 + X + UN= 0 a-t-il au moins une racine commune ?

1. Quand UN = - 1/7, UN = 0, UN = 1

2. Quand UN = 0

3. Quand UN = 2

4. Quand UN = 10

5. Quand UN = - 2

Équations exponentielles avec paramètre

Exemple 1.Trouver toutes les valeurs UN, pour lequel l'équation

9 fois – ( UN+ 2)*3 x-1/x +2 UN*3 -2/x = 0 (1) a exactement deux racines.

Solution. En multipliant les deux côtés de l'équation (1) par 3 2/x, on obtient l'équation équivalente

3 2(x+1/x) – ( UN+ 2)*3 x+1/x + 2 UN = 0 (2)

Soit 3 x+1/x = à, alors l'équation (2) prendra la forme à 2 – (UN + 2)à + 2UN= 0, ou

(à – 2)(à – UN) = 0, d'où à 1 =2, à 2 = UN.

Si à= 2, c'est-à-dire 3x+1/x = 2 alors X + 1/X= journal 3 2 , ou X 2 – X journal 3 2 + 1 = 0.

Cette équation n’a pas de véritables racines, puisqu’elle D= journal 2 3 2 – 4< 0.

Si à = UN, c'est-à-dire 3x+1/x = UN Que X + 1/X= journal 3 UN, ou X 2 –X journal 3 une + 1 = 0. (3)

L'équation (3) a exactement deux racines si et seulement si

D = log 2 3 2 – 4 > 0, ou |log 3 a| > 2.

Si log 3 a > 2, alors UN> 9, et si log 3 a< -2, то 0 < UN < 1/9.

Réponse : 0< UN < 1/9, UN > 9.

Exemple 2. A quelles valeurs de a se trouve l'équation 2 2х – ( UN - 3) 2x-3 UN= 0 a des solutions ?

Pour qu’une équation donnée ait des solutions, il faut et il suffit que l’équation t 2 – (un - 3) t – 3un= 0 avait au moins une racine positive. Trouvons les racines en utilisant le théorème de Vieta : X 1 = -3, X 2 = UN = >

a est un nombre positif.

Réponse : quand UN > 0

Matériel didactique

1. Trouver toutes les valeurs de a pour lesquelles l'équation

25 x – (2 UN+ 5)*5 x-1/x + 10 UN* 5 -2/x = 0 a exactement 2 solutions.

2. Pour quelles valeurs de a est l'équation

2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 a une seule racine ?

3. Pour quelles valeurs du paramètre a l'équation est-elle

4 x - (5 UN-3)2x +4 UN 2 – 3UN= 0 a une solution unique ?

Exemple 1. Trouver toutes les valeurs UN, pour lequel l'équation

journal 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)

a une solution unique.

Solution. L'équation (1) est équivalente à l'équation

1 + Oh = 2Xà X > 0, X 1/4 (3)

X = à

oui 2 – à + 1 = 0 (4)

La condition (2) de (3) n’est pas satisfaite.

Laisser UN 0, alors UA 2 – 2à+ 1 = 0 a de vraies racines si et seulement si D = 4 – 4UN 0, c'est-à-dire à UN 1.Pour résoudre l’inégalité (3), traçons les fonctions Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I.Étude approfondie du cours d'algèbre et d'analyse mathématique. – M. : Éducation, 1990

et autres. Guide d'étude. – M. : Examen, 2001–2008.
1. Tâche. unÀ quelles valeurs de paramètre un - 1)x 2 + 2x + unéquation (

- Est-ce que 1 = 0 a exactement une racine ?
1. Solutions. unÀ x= 1 l'équation est 2 x= 0 et a évidemment une seule racine un= 0. Si un 4un 2 - 8un N° 1, alors cette équation est quadratique et a une racine unique pour les valeurs de paramètres pour lesquelles le discriminant du trinôme quadratique est égal à zéro. En assimilant le discriminant à zéro, on obtient une équation pour le paramètre un= 0, d'où un = 2.

= 0 ou 1. Réponse : un l'équation a une seule racine en

O (0 ; 1 ; 2).
2. Tâche. un Rechercher toutes les valeurs des paramètres x 2 +4, pour laquelle l'équation a deux racines différentes+8un+3 = 0.
hache
2. Solutions. x 2 +4, pour laquelle l'équation a deux racines différentes+8unÉquation +3 = 0 a deux racines distinctes si et seulement si = 16un 2 -4(8un D un 2 -8un+3) > 0. On obtient (après réduction par un facteur commun à 4) 4

-3 > 0, d'où

) ET (1 +
On sait que
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Représenter graphiquement la fonction f 1 (x) à un = 1.
b) A quelle valeur un graphiques de fonctions f 1 (x) Et f 2 (x) ont un seul point commun ?

3. Solutions.
3.a. Transformons-nous f 1 (x) comme suit
Le graphique de cette fonction à un= 1 est indiqué dans la figure de droite.
3.b. Notons immédiatement que les graphiques de fonctions oui = kx+b Et oui = , pour laquelle l'équation a deux racines différentes 2 +bx+c (un N° 0) se coupent en un seul point si et seulement si l'équation quadratique kx+b = , pour laquelle l'équation a deux racines différentes 2 +bx+c a une seule racine. Utiliser la vue f 1 de 3.a, égalisons le discriminant de l'équation un = 6x-x 2 -6 à zéro. De l'équation 36-24-4 un= 0 on obtient un= 3. Faites de même avec l'équation 2 x-un = 6x-x 2 -6 nous trouverons un= 2. Il est facile de vérifier que ces valeurs de paramètres satisfont aux conditions du problème. Répondre: un= 2 ou un = 3.

4. Tâche.
Trouver toutes les valeurs un, pour lequel l'ensemble des solutions à l'inégalité x 2 -2, pour laquelle l'équation a deux racines différentes-3un i 0 contient le segment .

4. Solutions.
Première coordonnée du sommet de la parabole f(x) = x 2 -2, pour laquelle l'équation a deux racines différentes-3unégal à x 0 = un. A partir des propriétés d'une fonction quadratique, la condition f(x) і 0 sur le segment équivaut à un ensemble de trois systèmes
a exactement deux solutions ?

5. Solutions.
Réécrivons cette équation sous la forme x 2 + (2un-2)x - 3un+7 = 0. Il s'agit d'une équation quadratique ; elle a exactement deux solutions si son discriminant est strictement supérieur à zéro. En calculant le discriminant, nous constatons que la condition pour la présence d'exactement deux racines est la réalisation de l'inégalité un 2 +un-6 > 0. En résolvant l'inégalité, on trouve un < -3 или un> 2. La première des inégalités n'a évidemment pas de solution en nombres naturels, et la plus petite solution naturelle de la seconde est le nombre 3.

5. Réponse : 3.

6. Problème (10 clés)
Trouver toutes les valeurs un, pour lequel le graphe de la fonction ou, après transformations évidentes, un-2 = | 2-un| . La dernière équation est équivalente à l'inégalité un je 2.

6. Réponse : unÀ PROPOS )