Dans l'article l'essence de la méthode a été décrite conception parallèle et ses propriétés. Mais comme le montre la pratique, il est difficile pour les étudiants de percevoir des concepts théoriques sans démonstration avec des exemples précis.
Dans cet article nous montrerons comment utiliser les propriétés de projection parallèle et les propriétés des figures planes connues des écoliers (triangle, parallélogramme, trapèze, cercle et hexagone) pour images de ces figures lors de la conception parallèle .
1. Image triangulaire
1) Tout triangle (rectangulaire, isocèle, régulier) est représenté comme un triangle arbitraire situé à un endroit pratique sur la figure.
2) Si ΔA 1 B 1 C 1 est rectangulaire, alors l'image des directions de ses deux hauteurs (jambes) est donnée. La hauteur abaissée jusqu'à l'hypoténuse et le centre du cercle inscrit sont arbitrairement représentés. L'image d'une perpendiculaire tombant d'un point donné de l'hypoténuse vers n'importe quelle jambe est un segment parallèle à l'autre jambe.
3) Si ΔA 1 B 1 C 1 est isocèle, alors l'image de la médiane B 1 D 1 est l'image de la hauteur et de la bissectrice ΔA 1 B 1 C 1 . Les images du centre des cercles inscrits et circonscrits appartiennent à BD.
4) Si ΔA 1 B 1 C 1 est régulier (équilatéral), alors les centres des cercles inscrits et circonscrits coïncident et se trouvent au point d'intersection des médianes. La construction d’une image de ce triangle ne peut donc être arbitraire si, par exemple, on donne le centre d’un de ces cercles.
2. Image d'un parallélogramme
Tout parallélogramme donné A 1 B 1 C 1 D 1 (y compris un rectangle, un carré, un losange) peut être représenté par un parallélogramme arbitraire ABCD.
Sur l'image d'un parallélogramme arbitraire, des images de ses deux hauteurs tirées d'un sommet peuvent être construites arbitrairement. De plus, les hauteurs tirées du sommet de l'angle aigu du parallélogramme - l'original - se trouvent à l'extérieur du parallélogramme, et les hauteurs tirées du sommet de l'angle obtus se trouvent à l'intérieur de celui-ci.
1) Si A 1 B 1 C 1 D 1 est un losange, alors une paire de lignes droites mutuellement perpendiculaires est déterminée dans l'image - ce sont les diagonales ABCD. Par conséquent, il est arbitrairement possible de construire une image d’une seule hauteur à partir d’un sommet donné d’un losange jusqu’à son côté.
Lorsque vous représentez une autre hauteur d'un losange, tenez compte du fait que les bases de ces hauteurs se trouvent sur une ligne droite parallèle à la diagonale du losange.
Les perpendiculaires dessinées sur les côtés d'un losange à partir de n'importe quel point de sa diagonale sont représentées de la même manière.
2) Si A 1 B 1 C 1 D 1 est un carré, alors son image est un parallélogramme arbitraire ABCD. De plus, les images des hauteurs, des bissectrices, des angles, des perpendiculaires aux côtés ne peuvent pas être construites arbitrairement.
3. Image d'un trapèze
Tout trapèze A 1 B 1 C 1 D 1 (ainsi que isocèle et rectangulaire) peut être représenté par un trapèze arbitraire ABCD.
1) Si A 1 B 1 C 1 D 1 est un trapèze général, alors l'image de sa hauteur et de l'une des perpendiculaires abaissées du point de base vers les côtés peut être construite arbitrairement.
2) Si A 1 B 1 C 1 D 1 est un trapèze rectangulaire, alors C 1 B 1 ⊥ A 1 B 1 , l'image de la hauteur du trapèze est déjà donnée sur la figure, donc seule la perpendiculaire au côté incliné peut être arbitrairement représenté.
3) Si A 1 B 1 C 1 D 1 est un trapèze isocèle (il existe un axe de symétrie), alors l'image de la hauteur est un segment reliant les milieux des bases supérieure et inférieure du trapèze (ou parallèle à celui-ci ).
4. Image de cercle
La projection parallèle d'un cercle est une ellipse. Le centre du cercle dans l'image est le point d'intersection des diamètres conjugués de l'ellipse. Deux diamètres d'un cercle (ellipse) sont dits conjugués si chacun d'eux coupe en deux toutes les cordes parallèles à l'autre diamètre.
4. Image d'un hexagone régulier
Un hexagone régulier A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 est représenté comme suit : d'abord, un parallélogramme arbitraire BCEF est dessiné et ses diagonales BE et CF sont dessinées ; puis, à partir du point de leur intersection O, des segments égaux de longueur arbitraire (mais plus grands que la moitié du côté BC) sont posés parallèlement aux côtés BC et EF. Les extrémités des segments construits sont les sommets A et D.
Nous avons donc examiné toutes sortes d’options. images de figures plates sur un plan utilisant la méthode de projection parallèle .
Dans le prochain article, nous examinerons image de figures spatiales sur un avion.
Dans certains cas, il est plus pratique de commencer à construire des projections axonométriques en construisant une figure de base. Par conséquent, considérons comment les figures géométriques plates situées horizontalement sont représentées en axonométrie.
1. carré montré sur la fig. 1, a et b.
Le long de l'axe X tracer le côté du carré a, le long de l'axe à- un demi côté a/2 pour projection dimétrique frontale et latérale UN pour la projection isométrique. Les extrémités des segments sont reliées par des lignes droites.
Riz. 1. Projections axonométriques d'un carré :
2. Construction d'une projection axonométrique triangle montré sur la fig. 2, a et b.
Symétrique en un point À PROPOS(origine des axes de coordonnées) le long de l'axe X mettre de côté la moitié du côté du triangle UN/ 2, et le long de l'axe à- sa hauteur h(pour projection dimétrique frontale mi-hauteur h/2). Les points résultants sont reliés par des segments droits.
Riz. 2. Projections axonométriques d'un triangle :
a - dimétrique frontal ; b - isométrique
3. Construction d'une projection axonométrique hexagone régulier montré sur la fig. 3.
Axe Xà droite et à gauche du point À PROPOS tracer des segments égaux au côté de l’hexagone. Axe à symétrique au point À PROPOS disposer les segments s/2, égal à la moitié de la distance entre les côtés opposés de l'hexagone (pour la projection dimétrique frontale, ces segments sont divisés par deux). À partir de points m Et n, obtenu sur l'axe à, balayez vers la droite et la gauche parallèlement à l'axe X segments égaux à la moitié du côté de l’hexagone. Les points résultants sont reliés par des segments droits.
Riz. 3. Projections axonométriques d'un hexagone régulier :
a - dimétrique frontal ; b - isométrique
4. Construction d'une projection axonométrique cercle .
Projection dimétrique frontale pratique pour représenter des objets aux contours courbes, similaires à ceux montrés sur la Fig. 4.
Figure 4. Projections dimétriques frontales des pièces
Sur la fig. 5. donné frontal dimétrique projection d'un cube avec des cercles inscrits sur ses faces. Les cercles situés sur des plans perpendiculaires aux axes x et z sont représentés par des ellipses. La face avant du cube, perpendiculaire à l'axe y, est projetée sans distorsion, et le cercle qui s'y trouve est représenté sans distorsion, c'est-à-dire décrit par une boussole.
Figure 5. Projections dimétriques frontales de cercles inscrits dans les faces d'un cube
Construction d'une projection dimétrique frontale d'une pièce plate avec un trou cylindrique .
La projection dimétrique frontale d'une pièce plate avec un trou cylindrique est réalisée comme suit.
1. Construisez le contour de la face avant de la pièce à l'aide d'un compas (Fig. 6, a).
2. Des lignes droites sont tracées passant par les centres du cercle et des arcs parallèles à l'axe y, sur lesquels est posée la moitié de l'épaisseur de la pièce. Les centres du cercle et des arcs situés sur la surface arrière de la pièce sont obtenus (Fig. 6, b). A partir de ces centres sont tracés un cercle et des arcs dont les rayons doivent être égaux aux rayons du cercle et des arcs de la face avant.
3. Dessinez des tangentes aux arcs. Supprimez les lignes en excès et tracez le contour visible (Fig. 6, c).
Riz. 6. Construction d'une projection dimétrique frontale d'une pièce avec des éléments cylindriques
Projections isométriques de cercles .
Un carré en projection isométrique est projeté dans un losange. Les cercles inscrits dans des carrés, par exemple situés sur les faces d'un cube (Fig. 7), sont représentés comme des ellipses dans une projection isométrique. En pratique, les ellipses sont remplacées par des ovales dessinés avec quatre arcs de cercle.
Riz. 7. Projections isométriques de cercles inscrits sur les faces d'un cube
Construction d'un ovale inscrit dans un losange.
1. Construisez un losange avec un côté égal au diamètre du cercle représenté (Fig. 8, a). Pour ce faire, à travers le point À PROPOS dessiner des axes isométriques X Et oui, et sur eux du point À PROPOS tracez des segments égaux au rayon du cercle représenté. À travers des points un, b, AvecEt d tracer des lignes droites parallèles aux axes ; obtenez un losange. Le grand axe de l'ovale est situé sur la grande diagonale du losange.
2. Insérez un ovale dans un losange. Pour ce faire, à partir des sommets d'angles obtus (points UN Et DANS) décrire des arcs de rayon R., égale à la distance du sommet de l'angle obtus (points UN Et DANS) aux points une, b ou s, d respectivement. Du point DANS aux points UN Et b tracez des lignes droites (Fig. 8, b); l'intersection de ces lignes avec la plus grande diagonale du losange donne les points AVEC Et D, qui seront les centres de petits arcs ; rayon R1 les arcs mineurs sont égaux à Sa (Base de données). Des arcs de ce rayon conjuguent les grands arcs de l'ovale.
Riz. 8. Construction d'un ovale dans un plan perpendiculaire à l'axe z.
C'est ainsi que se construit un ovale, situé dans un plan perpendiculaire à l'axe z(ovale 1 sur la figure 7). Ovales situés dans des plans perpendiculaires aux axes X(ovale 3) et à(ovale 2), construit de la même manière que l'ovale 1, seul l'ovale 3 est construit sur les axes à Et z(Fig. 9, a) et ovale 2 (voir Fig. 7) - sur les axes X Et z(Fig. 9, b).
Riz. 9. Construction d'un ovale dans des plans perpendiculaires aux axes X Et à
Construire une projection isométrique d'une pièce avec un trou cylindrique.
Si sur une projection isométrique d'une pièce, vous devez représenter un trou cylindrique traversant percé perpendiculairement à la face avant, illustré sur la figure. 10, a.
La construction s'effectue comme suit.
1. Trouvez la position du centre du trou sur la face avant de la pièce. Les axes isométriques sont tracés à travers le centre trouvé. (Pour déterminer leur direction, il est pratique d'utiliser l'image du cube sur la figure 7.) Sur les axes partant du centre, des segments égaux au rayon du cercle représenté sont posés (Fig. 10, a).
2. Construisez un losange dont le côté est égal au diamètre du cercle représenté ; dessinez une grande diagonale du losange (Fig. 10, b).
3. Décrire les grands arcs ovales ; trouver les centres des petits arcs (Fig. 10, c).
4. De petits arcs sont réalisés (Fig. 10, d).
5. Construisez le même ovale sur la face arrière de la pièce et tracez des tangentes aux deux ovales (Fig. 10, e).
Riz. 10. Construction d'une projection isométrique d'une pièce avec un trou cylindrique
31*. Tracez une perpendiculaire du point C à la ligne AB (Fig. 29,a, où AB || pl. V).
Solution. On sait qu'un angle droit est projeté sur un plan en forme d'angle droit si l'un de ses côtés est parallèle au plan de projection et que l'autre coupe ce plan selon un angle aigu.
Dans ce cas (Fig. 29, a) la droite AB est parallèle au carré. V. Par conséquent, il est possible à partir du point c" (Fig. 29, b) de tracer une droite perpendiculaire à a"b" et de trouver les projections du point K où CK coupe AB. On obtient les projections c"k " et ck de la perpendiculaire souhaitée.
32. Tracez une ligne à partir du point C perpendiculaire à la ligne AB : 1) AB || pl. H (Fig. .30, a), 2) AB || pl. W (Fig. 30, b).
33*. Couper les droites AB et CD (Fig. 31, a) avec une troisième droite qui leur est perpendiculaire, c'est-à-dire trouver la distance la plus courte entre les droites croisées AB et CD, dont une droite (CD) est perpendiculaire au carré. projections N.
Solution. Puisque la droite CD est perpendiculaire à pl. H, alors toute perpendiculaire à celui-ci est située parallèlement au carré. N. Par conséquent, l’angle droit entre la ligne souhaitée et la droite AB est représenté sur le carré. H en forme d'angle droit. Horizon. la projection du point d'intersection de la ligne souhaitée avec la ligne CD - point m - coïncide avec (d) (Fig. 31, b). Nous dessinons l'horizon passant par le point m. projection de la droite perpendiculaire à ab jusqu'à ce qu'elle la coupe au point k et trouver k". L'avant, la projection de la droite souhaitée (k"m") est située parallèlement à l'axe des x.
34*. Construisez un losange ABCD, sachant que le segment BD est une de ses diagonales (BD || pl. V), et que le sommet A doit être sur la droite EF (Fig. 32, a).
Solution. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires entre elles et se coupent en deux au point d'intersection. Par conséquent, nous divisons (Fig. 32, b) les projections de la diagonale BD en deux. Depuis BD || pl. V, puis à partir du point k" on trace une perpendiculaire à la droite b"d". Cela correspond aux règles de construction de la projection d'un angle droit sur un plan par rapport auquel la diagonale BD est parallèle. Le point d'intersection de cette perpendiculaire à la projection e"f" représente le front, la projection a "le sommet désiré du losange A. Pour construire le point c" on dispose le segment k"c" sur le prolongement de la droite a"k", différente à partir du segment a"k". A partir du point a" nous construisons le point a sur ef. Le reste ressort clairement du dessin.
35. Construisez un triangle isocèle ABC de base égale à BC (BC || pl. H). Le sommet A doit être sur la droite EF (Fig. 33).
36. Construisez un triangle rectangle ABC dont le côté A B se trouve sur la droite MN (MN || pl. V) et est égal à l. Pour la jambe BC, sa projection bс est donnée (Fig. 34).
37*. Construisez un triangle isocèle avec la base BC sur la droite MN (MN || pl. H) et le sommet A sur la droite EF (Fig. 35, a). La base BC doit être égale à la hauteur du triangle AK, et pour le point K son horizon et sa projection sont donnés.
Solution. Pour construire un triangle, vous devez trouver sa hauteur AK et mettre la moitié de sa valeur sur la droite M N de part et d'autre du point K. Sur la Fig. 35, b, à partir du point k nous construisons le point k". A partir du point k nous traçons une perpendiculaire à la droite mn (l'angle droit entre la hauteur AK et la base BC située sur MN est représenté sur le plan de projection H sous la forme d'un angle droit, puisque la droite MN est parallèle au carré H). nous obtenons le devant. Projection en hauteur AK.
Vous pouvez maintenant trouver la hauteur réelle de l’AK. Pour ce faire, on construit un triangle rectangle akK, dont la branche kK est égale à la différence des distances des points A et K du carré. H. L'hypoténuse aK exprime la hauteur de AK. En traçant sur la droite mn les segments kb et kc, égaux à la moitié de la hauteur de AK (c'est-à-dire la moitié du segment aK), on obtient les points b et c, et d'eux les projections b" et c". Le reste ressort clairement du dessin.
38. Construisez un carré ABCD de côté BC sur la droite MM, qui || pl. V (Fig. 36).
39. Construisez un triangle rectangle ABC de côté BC sur la droite MN (MN || aire H). Pour la jambe AB, la projection a"b" est donnée. La jambe BC doit être 1,5 fois plus grande que la jambe AB (Fig. 37).
8.1. Projections dimétriques frontales de cercles. S'ils veulent certains éléments dans l'image axonométrique. par exemple, les cercles (Fig. 64) ne sont pas déformés, puis une projection dimétrique frontale est utilisée. La construction d'une projection dimétrique frontale d'une pièce à trou cylindrique, dont deux vues sont données sur la figure 64, a, s'effectue comme suit :
- À l'aide des axes x, y, z, tracez des lignes fines pour délimiter la forme externe de la pièce (Fig. 64, b).
- Trouvez le centre du trou sur la face avant. L'axe du trou y est tracé parallèlement à l'axe y et la moitié de l'épaisseur de la pièce y est posée. On obtient le centre du trou situé sur la face arrière.
- À partir des points obtenus, comme à partir des centres, sont tracés des cercles dont le diamètre est égal au diamètre du trou (Fig. 64, c).
- Supprimez les lignes en excès et tracez le contour visible de la pièce (Fig. 64, d).
Riz. 64. Construction d'une projection dimétrique frontale
Dans votre cahier d'exercices, construisez une projection dimétrique frontale de la pièce illustrée à la figure 64, a. Pointez l’axe y dans l’autre direction. Agrandissez la taille de l’image environ deux fois.
8.2. Projections isométriques de cercles. La projection isométrique d'un cercle (Fig. 65) est une courbe appelée ellipse. Les ellipses sont difficiles à construire. Dans la pratique du dessin, des ovales sont souvent construits à la place. Un ovale est une courbe fermée délimitée par des arcs de cercle. Il est pratique de construire un ovale en l’insérant dans un losange, qui est une projection isométrique d’un carré.
Riz. 65. Image en projection isométrique de cercles inscrits dans un cube
La construction d'un ovale inscrit dans un losange s'effectue dans l'ordre suivant.
Tout d'abord, un losange est construit avec un côté égal au diamètre du cercle représenté (Fig. 66, a). Pour ce faire, les axes isométriques x et y sont tracés passant par le point O. Sur eux, à partir du point O, sont posés des segments égaux au rayon du cercle représenté. Par les points a, b, c et d, tracez des droites parallèles aux axes ; obtenez un losange.
Riz. 66. Construire un ovale
Le grand axe de l'ovale est situé sur la grande diagonale du losange.
Après cela, un ovale est inscrit dans le losange. Pour ce faire, des arcs sont tracés à partir des sommets d'angles obtus (points A et B). Leur rayon R est égal à la distance du sommet d'un angle obtus (points A et B) aux points c, d ou a, b, respectivement (Fig. 66, b).
Des lignes droites sont tracées passant par les points B et a, B et b. A l'intersection des droites Ba et Bb avec la plus grande diagonale du losange, se trouvent les points C et D (Fig. 66, a). Ces points seront les centres des petits arcs. Leur rayon R1 est égal à Ca (ou Db). Des arcs de ce rayon relient en douceur les grands arcs de l'ovale.
Nous avons examiné la construction d'un ovale situé dans un plan perpendiculaire à l'axe z (ovale 1 sur la figure 65). Des ovales situés dans des plans perpendiculaires à l'axe y (ovale 2) et à l'axe x (ovale 3) sont également construits. Uniquement pour l'ovale 2, la construction est réalisée sur les axes x et z (Fig. 67, a), et pour l'ovale 3 - sur les axes y et z (Fig. 67, b). Voyons comment les constructions étudiées sont appliquées dans la pratique.
Riz. 67. Construction d'ovales : a situés dans un plan perpendiculaire à l'axe des y ; b - situé dans un plan perpendiculaire à l'axe x
Riz. 68. Construction d'une projection isométrique d'une pièce avec un trou cylindrique
8.3. Une méthode pour construire des projections axonométriques d'objets à surfaces rondes. La figure 68a montre une projection isométrique de la planche. Il est nécessaire de représenter un trou cylindrique percé perpendiculairement au bord avant. La construction se fait ainsi :
- Trouvez le centre du trou sur la face avant. Déterminez la direction des axes isométriques pour construire un losange (voir Fig. 65). Des axes sont tirés du centre trouvé (Fig. 68, a) et des segments égaux au rayon du cercle y sont posés.
- Ils construisent un losange. Dessinez-le le long d'une grande diagonale (Fig. 68, b).
- Décrivez les grands arcs. Trouvez les centres des petits arcs (Fig. 68. c).
- De petits arcs sont dessinés à partir des centres trouvés.
Le même ovale est construit sur le bord arrière, mais seule sa partie visible est délimitée (Fig. 68, d).
