Comment calculer rapidement la racine d'un nombre. Comment extraire la racine d'un nombre à plusieurs chiffres

Les étudiants demandent toujours : « Pourquoi ne puis-je pas utiliser une calculatrice lors de l’examen de mathématiques ? Comment extraire la racine carrée d’un nombre sans calculatrice ? Essayons de répondre à cette question.

Comment extraire la racine carrée d’un nombre sans l’aide d’une calculatrice ?

Action racine carrée inverse à l’action de la quadrature.

√81= 9 9 2 =81

Si vous prenez la racine carrée d’un nombre positif et mettez le résultat au carré, vous obtenez le même nombre.

À partir de petits nombres qui sont des carrés exacts de nombres naturels, par exemple 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, les racines carrées peuvent être extraites oralement. Habituellement, à l'école, ils enseignent un tableau de carrés de nombres naturels jusqu'à vingt. Connaissant ce tableau, il est facile d'extraire les racines carrées des nombres 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. A partir des nombres supérieurs à 400 vous pouvez les extraire en utilisant la méthode de sélection en utilisant quelques astuces. Essayons de regarder cette méthode avec un exemple.

Exemple: Extraire la racine du nombre 676.

On remarque que 20 2 = 400, et 30 2 = 900, ce qui veut dire 20< √676 < 900.

Les carrés exacts des nombres naturels se terminent par 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9.
Le nombre 6 est donné par 4 2 et 6 2.
Cela signifie que si la racine provient de 676, alors elle est soit 24, soit 26.

Reste à vérifier : 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Répondre: √676 = 26 .

Plus exemple: √6889 .

Puisque 80 2 = 6400 et 90 2 = 8100, alors 80< √6889 < 90.
Le nombre 9 est donné par 3 2 et 7 2, alors √6889 est égal à 83 ou 87.

Vérifions : 83 2 = 6889.

Répondre: √6889 = 83 .

Si vous avez du mal à résoudre en utilisant la méthode de sélection, vous pouvez factoriser l'expression radicale.

Par exemple, trouver √893025.

Prenons en compte le nombre 893025, rappelez-vous, vous avez fait cela en sixième année.

On obtient : √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Plus exemple : √20736. Factorisons le nombre 20736 :

Nous obtenons √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Bien entendu, la factorisation nécessite une connaissance des signes de divisibilité et des compétences en factorisation.

Et enfin, il y a règle pour extraire les racines carrées. Faisons connaissance avec cette règle avec des exemples.

Calculer √279841.

Pour extraire la racine d'un entier à plusieurs chiffres, on le divise de droite à gauche en faces contenant 2 chiffres (le bord le plus à gauche peut contenir un chiffre). On l’écrit ainsi : 27’98’41

Pour obtenir le premier chiffre de la racine (5), on prend la racine carrée du plus grand carré parfait contenu dans la première face de gauche (27).
Ensuite, le carré du premier chiffre de la racine (25) est soustrait de la première face et la face suivante (98) est ajoutée à la différence (soustraite).
A gauche du nombre obtenu 298, écrivez le double chiffre de la racine (10), divisez par celui-ci le nombre de toutes les dizaines du nombre obtenu précédemment (29/2 ≈ 2), testez le quotient (102 ∙2 = 204 ne doit pas dépasser 298) et écrivez (2) après le premier chiffre de la racine.
Ensuite, le quotient résultant 204 est soustrait de 298 et l'arête suivante (41) est ajoutée à la différence (94).
A gauche du nombre obtenu 9441, écrivez le double produit des chiffres de la racine (52 ∙2 = 104), divisez le nombre de toutes les dizaines du nombre 9441 (944/104 ≈ 9) par ce produit, testez le Le quotient (1049 ∙9 = 9441) doit être 9441 et notez-le (9) après le deuxième chiffre de la racine.

Nous avons reçu la réponse √279841 = 529.

Extraire de la même manière racines de fractions décimales. Seul le nombre radical doit être divisé en faces de manière à ce que la virgule soit entre les faces.

Exemple. Trouvez la valeur √0,00956484.

N'oubliez pas que si une fraction décimale a un nombre impair de décimales, la racine carrée ne peut pas en être extraite.

Alors maintenant, vous avez vu trois façons d’extraire la racine. Choisissez celui qui vous convient le mieux et entraînez-vous. Pour apprendre à résoudre des problèmes, il faut les résoudre. Et si vous avez des questions, .

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Comment extraire la racine carrée d’un nombre sans l’aide d’une calculatrice ?

Action racine carrée inverse à l’action de la quadrature.

√81= 9 9 2 =81

Si vous prenez la racine carrée d’un nombre positif et mettez le résultat au carré, vous obtenez le même nombre.

Exemple: Extraire la racine du nombre 676.

On remarque que 20 2 = 400, et 30 2 = 900, ce qui veut dire 20< √676 < 900.

Les carrés exacts des nombres naturels se terminent par 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9.
Le nombre 6 est donné par 4 2 et 6 2.
Cela signifie que si la racine provient de 676, alors elle est soit 24, soit 26.

Reste à vérifier : 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Répondre: √676 = 26 .

Plus exemple: √6889 .

Puisque 80 2 = 6400 et 90 2 = 8100, alors 80< √6889 < 90.
Le nombre 9 est donné par 3 2 et 7 2, alors √6889 est égal à 83 ou 87.

Vérifions : 83 2 = 6889.

Répondre: √6889 = 83 .

Si vous avez du mal à résoudre en utilisant la méthode de sélection, vous pouvez factoriser l'expression radicale.

Par exemple, trouver √893025.

Prenons en compte le nombre 893025, rappelez-vous, vous avez fait cela en sixième année.

On obtient : √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Plus exemple : √20736. Factorisons le nombre 20736 :

Nous obtenons √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Bien entendu, la factorisation nécessite une connaissance des signes de divisibilité et des compétences en factorisation.

Et enfin, il y a règle pour extraire les racines carrées. Faisons connaissance avec cette règle avec des exemples.

Calculer √279841.

Nous avons reçu la réponse √279841 = 529.

Extraire de la même manière racines de fractions décimales. Seul le nombre radical doit être divisé en faces de manière à ce que la virgule soit entre les faces.

Exemple. Trouvez la valeur √0,00956484.

N'oubliez pas que si une fraction décimale a un nombre impair de décimales, la racine carrée ne peut pas en être extraite.

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Instructions

Sélectionnez un multiplicateur pour le nombre radical, dont la suppression sous racine est en réalité une expression - sinon l'opération sera perdante. Par exemple, si sous le signe racine avec un exposant égal à trois (racine cubique), cela coûte nombre 128, puis sous le signe, vous pouvez retirer, par exemple, nombre 5. Dans le même temps, le radical nombre 128 devra être divisé par 5 au cube : ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Si la présence d'un nombre fractionnaire sous le signe racine ne contredit pas les conditions du problème, alors c'est possible sous cette forme. Si vous avez besoin d'une option plus simple, divisez d'abord l'expression radicale en facteurs entiers, dont la racine cubique de l'un d'entre eux sera un nombre entier. nombre m. Par exemple : ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Utilisez pour sélectionner les facteurs d'un nombre radical s'il n'est pas possible de calculer les puissances d'un nombre dans votre tête. Cela est particulièrement vrai pour racine m avec un exposant supérieur à deux. Si vous avez accès à Internet, vous pouvez effectuer des calculs à l'aide des calculatrices intégrées aux moteurs de recherche Google et Nigma. Par exemple, si vous avez besoin de trouver le plus grand facteur entier pouvant être extrait sous le signe cubique racine pour le numéro 250, puis rendez-vous sur le site de Google et saisissez la requête « 6^3 » pour vérifier s'il est possible de le supprimer sous le signe racine six. Le moteur de recherche affichera un résultat égal à 216. Hélas, 250 ne peut être divisé sans reste par ce nombre. Entrez ensuite la requête 5^3. Le résultat sera 125, et cela permet de diviser 250 en facteurs de 125 et 2, ce qui revient à le sortir du signe racine nombre 5, je pars de là nombre 2.

Sources :

comment le sortir des racines
Racine carrée du produit

Sortez-le par le dessous racine l'un des facteurs est nécessaire dans les situations où vous devez simplifier une expression mathématique. Il arrive parfois qu'il soit impossible d'effectuer les calculs nécessaires à l'aide d'une calculatrice. Par exemple, si des désignations de lettres pour les variables sont utilisées à la place de chiffres.

Instructions

Décomposez l’expression radicale en facteurs simples. Voir lequel des facteurs est répété le même nombre de fois, indiqué dans les indicateurs racine, ou plus. Par exemple, vous devez prendre la quatrième racine de a. Dans ce cas, le nombre peut être représenté par a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Indicateur racine dans ce cas, cela correspondra à facteur a3. Il faut le retirer du panneau.

Extrayez la racine des radicaux résultants séparément lorsque cela est possible. Extraction racine est l'opération algébrique inverse de l'exponentiation. Extraction racine d'une puissance arbitraire, trouver un nombre à partir d'un nombre qui, lorsqu'il est élevé à cette puissance arbitraire, donnera le nombre donné. Si extraction racine ne peut être produit, laissez l'expression radicale sous le signe racine juste comme ça. À la suite des actions ci-dessus, vous serez supprimé de dessous signe racine.

Vidéo sur le sujet

Veuillez noter

Soyez prudent lorsque vous écrivez des expressions radicales sous forme de facteurs - une erreur à ce stade entraînera des résultats incorrects.

Conseils utiles

Lors de l'extraction de racines, il est pratique d'utiliser des tableaux spéciaux ou des tableaux de racines logarithmiques - cela réduira considérablement le temps nécessaire pour trouver la bonne solution.

Sources :

signe d'extraction de racine en 2019

La simplification des expressions algébriques est nécessaire dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment la résolution d'équations d'ordre supérieur, la différenciation et l'intégration. Plusieurs méthodes sont utilisées, dont la factorisation. Pour appliquer cette méthode, vous devez trouver et faire un général facteur pour parenthèses.

Instructions

Réalisation du multiplicateur total parenthèses- l'une des méthodes de décomposition les plus courantes. Cette technique est utilisée pour simplifier la structure des expressions algébriques longues, c'est-à-dire polynômes. Le nombre général peut être un nombre, un monôme ou un binôme, et pour le trouver, on utilise la propriété distributive de multiplication.

Nombre Examinez attentivement les coefficients de chaque polynôme pour voir s'ils peuvent être divisés par le même nombre. Par exemple, dans l’expression 12 z³ + 16 z² – 4 il est évident facteur 4. Après la transformation, vous obtenez 4 (3 z³ + 4 z² - 1). En d’autres termes, ce nombre est le diviseur entier le plus petit commun de tous les coefficients.

Monôme. Déterminez si la même variable est dans chacun des termes du polynôme. En supposant que tel soit le cas, regardons maintenant les coefficients comme dans le cas précédent. Exemple : 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Chaque élément de ce polynôme contient une variable z. De plus, tous les coefficients sont des nombres multiples de 3. Le facteur commun sera donc le monôme 3 z : 3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

Binôme.Pour parenthèses général facteur de deux, une variable et un nombre, qui est un polynôme commun. Par conséquent, si facteur-le binôme n'est pas évident, alors il faut trouver au moins une racine. Sélectionnez le terme libre du polynôme ; c'est un coefficient sans variable. Appliquez maintenant la méthode de substitution à l’expression générale de tous les diviseurs entiers du terme libre.

Considérons : z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Vérifiez si l'un des facteurs entiers de 4 est z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Par simple substitution, trouvez z1 = 1 et z2 = 2, ce qui signifie pour parenthèses on peut supprimer les binômes (z - 1) et (z - 2). Pour trouver l’expression restante, utilisez une division longue séquentielle.

Lorsqu'ils résolvent divers problèmes d'un cours de mathématiques et de physique, les élèves et les étudiants sont souvent confrontés à la nécessité d'extraire des racines du deuxième, du troisième ou du nième degré. Bien entendu, à l’ère des technologies de l’information, il ne sera pas difficile de résoudre un tel problème à l’aide d’une calculatrice. Cependant, des situations surviennent lorsqu'il est impossible d'utiliser l'assistant électronique.

Par exemple, de nombreux examens ne vous permettent pas d’apporter des appareils électroniques. De plus, vous n’avez peut-être pas de calculatrice à portée de main. Dans de tels cas, il est utile de connaître au moins quelques méthodes de calcul manuel des radicaux.

L'une des façons les plus simples de calculer les racines est de en utilisant une table spéciale. Qu'est-ce que c'est et comment l'utiliser correctement ?

À l'aide du tableau, vous pouvez trouver le carré de n'importe quel nombre de 10 à 99. Les lignes du tableau contiennent les valeurs des dizaines et les colonnes contiennent les valeurs des unités. La cellule située à l'intersection d'une ligne et d'une colonne contient le carré d'un nombre à deux chiffres. Pour calculer le carré de 63, vous devez trouver une ligne avec une valeur de 6 et une colonne avec une valeur de 3. À l'intersection, nous trouverons une cellule avec le numéro 3969.

Puisque l'extraction de la racine est l'opération inverse de la quadrature, pour effectuer cette action vous devez faire l'inverse : recherchez d'abord la cellule avec le nombre dont vous souhaitez calculer le radical, puis utilisez les valeurs de la colonne et de la ligne pour déterminer la réponse. . À titre d'exemple, considérons le calcul de la racine carrée de 169.

On trouve une cellule avec ce numéro dans le tableau, horizontalement on détermine les dizaines - 1, verticalement on trouve les unités - 3. Réponse : √169 = 13.

De même, vous pouvez calculer les racines cubiques et nièmes à l’aide des tableaux appropriés.

L'avantage de la méthode est sa simplicité et l'absence de calculs supplémentaires. Les inconvénients sont évidents : la méthode ne peut être utilisée que pour une plage limitée de nombres (le nombre dont la racine est trouvée doit être compris entre 100 et 9801). De plus, cela ne fonctionnera pas si le numéro donné ne figure pas dans le tableau.

Factorisation première

Si la table des carrés n'est pas à portée de main ou s'il s'avère impossible de trouver la racine avec son aide, vous pouvez essayer factoriser le nombre sous la racine en facteurs premiers. Les facteurs premiers sont ceux qui peuvent être complètement (sans reste) divisibles uniquement par eux-mêmes ou par un. Les exemples pourraient être 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

Voyons calculer la racine en utilisant √576 comme exemple. Décomposons-le en facteurs premiers. On obtient le résultat suivant : √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². En utilisant la propriété de base des racines √a² = a, nous allons nous débarrasser des racines et des carrés, puis calculer la réponse : 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Que faire si l'un des multiplicateurs n'a pas sa propre paire ? Par exemple, considérons le calcul de √54. Après factorisation, on obtient le résultat sous la forme suivante : √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. La partie non amovible peut être laissée sous la racine. Pour la plupart des problèmes de géométrie et d’algèbre, cette réponse sera considérée comme la réponse finale. Mais s'il est nécessaire de calculer des valeurs approximatives, vous pouvez utiliser les méthodes qui seront décrites ci-dessous.

La méthode du Héron

Que faire lorsqu'il faut savoir au moins approximativement à quoi est égale la racine extraite (s'il est impossible d'obtenir une valeur entière) ? Un résultat rapide et assez précis est obtenu en utilisant la méthode Heron. Son essence est d'utiliser une formule approximative :

√R = √a + (R - a) / 2√a,

où R est le nombre dont la racine doit être calculée, a est le nombre le plus proche dont la valeur racine est connue.

Examinons comment la méthode fonctionne dans la pratique et évaluons sa précision. Calculons à quoi √111 est égal. Le nombre le plus proche de 111, dont la racine est connue, est 121. Ainsi, R = 111, a = 121. Remplacez les valeurs dans la formule :

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Vérifions maintenant l'exactitude de la méthode:

10,55² = 111,3025.

L'erreur de la méthode était d'environ 0,3. Si la précision de la méthode doit être améliorée, vous pouvez répéter les étapes décrites précédemment :

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Vérifions l'exactitude du calcul :

10,536² = 111,0073.

Après avoir réappliqué la formule, l’erreur est devenue totalement insignifiante.

Calculer la racine par division longue

Cette méthode pour trouver la valeur de la racine carrée est un peu plus complexe que les précédentes. Cependant, c'est la plus précise parmi les autres méthodes de calcul sans calculatrice..

Disons que vous devez trouver la racine carrée avec une précision de 4 décimales. Analysons l'algorithme de calcul en utilisant l'exemple d'un nombre arbitraire 1308.1912.

Divisez la feuille de papier en 2 parties avec une ligne verticale, puis tracez une autre ligne vers la droite, légèrement en dessous du bord supérieur. Écrivons le nombre sur le côté gauche, en le divisant en groupes de 2 chiffres, en nous déplaçant vers la droite et la gauche du point décimal. Le tout premier chiffre à gauche peut être sans paire. S'il manque le signe à droite du numéro, alors vous devez ajouter 0. Dans notre cas, le résultat sera 13 08.19 12.
Sélectionnons le plus grand nombre dont le carré est inférieur ou égal au premier groupe de chiffres. Dans notre cas c'est 3. Écrivons-le en haut à droite ; 3 est le premier chiffre du résultat. En bas à droite on indique 3×3 = 9 ; cela sera nécessaire pour les calculs ultérieurs. De 13 dans la colonne on soustrait 9, on obtient un reste de 4.
Attribuons la paire de nombres suivante au reste 4 ; nous obtenons 408.
Multipliez le nombre en haut à droite par 2 et notez-le en bas à droite en y ajoutant _ x _ =. On obtient 6_ x _ =.
Au lieu de tirets, il faut remplacer le même nombre, inférieur ou égal à 408. On obtient 66 × 6 = 396. On écrit 6 en haut à droite, puisqu'il s'agit du deuxième chiffre du résultat. Soustrayez 396 de 408, nous obtenons 12.
Répétons les étapes 3 à 6. Puisque les chiffres descendus sont dans la partie fractionnaire du nombre, il faut placer une virgule décimale en haut à droite après 6. Notons le résultat double avec des tirets : 72_ x _ =. Un nombre approprié serait 1 : 721×1 = 721. Écrivons-le comme réponse. Soustrayons 1219 - 721 = 498.
Effectuons encore trois fois la séquence d'actions donnée dans le paragraphe précédent pour obtenir le nombre de décimales requis. S'il n'y a pas assez de caractères pour d'autres calculs, vous devez ajouter deux zéros au nombre actuel à gauche.

En conséquence, nous obtenons la réponse : √1308,1912 ≈ 36,1689. Si vous vérifiez l'action à l'aide d'une calculatrice, vous pouvez vous assurer que tous les signes ont été correctement identifiés.

Calcul de racine carrée au niveau du bit

La méthode est très précise. De plus, cela est tout à fait compréhensible et ne nécessite pas la mémorisation de formules ou un algorithme d'actions complexe, puisque l'essence de la méthode est de sélectionner le résultat correct.

Extrayons la racine du nombre 781. Examinons la séquence d'actions en détail.

Voyons quel chiffre de la valeur de la racine carrée sera le plus significatif. Pour ce faire, mettons au carré 0, 10, 100, 1000, etc. et découvrons entre lequel d'entre eux se trouve le nombre radical. On obtient que 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
Choisissons la valeur des dizaines. Pour ce faire, nous allons élever à tour de rôle à la puissance 10, 20, ..., 90 jusqu'à obtenir un nombre supérieur à 781. Pour notre cas, nous obtenons 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Le la valeur du résultat n sera inférieure à 20< n <30.
Semblable à l’étape précédente, la valeur du chiffre des unités est sélectionnée. Mettons au carré 21,22, ..., 29 un par un : 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. On obtient que 27< n < 28.
Chaque chiffre suivant (dixièmes, centièmes, etc.) est calculé de la même manière qu'indiqué ci-dessus. Les calculs sont effectués jusqu'à ce que la précision requise soit atteinte.