Comment convertir des nombres décimaux en fractions. Des transformations « à l’oreille »

Il semblerait que convertir une fraction décimale en fraction régulière soit un sujet élémentaire, mais beaucoup d'élèves ne le comprennent pas ! Par conséquent, aujourd'hui, nous examinerons en détail plusieurs algorithmes à la fois, à l'aide desquels vous comprendrez toutes les fractions en une seconde seulement.

Permettez-moi de vous rappeler qu'il existe au moins deux formes d'écriture d'une même fraction : commune et décimale. Les fractions décimales sont toutes sortes de constructions de la forme 0,75 ; 1,33 ; et même −7,41. Voici des exemples de fractions ordinaires qui expriment les mêmes nombres :

Voyons maintenant : comment passer de la notation décimale à la notation régulière ? Et surtout : comment faire cela le plus rapidement possible ?

Algorithme de base

En fait, il existe au moins deux algorithmes. Et nous allons examiner les deux maintenant. Commençons par le premier – le plus simple et le plus compréhensible.

Pour convertir un nombre décimal en fraction, vous devez suivre trois étapes :

Une remarque importante sur les nombres négatifs. Si dans l'exemple d'origine, il y a un signe moins devant la fraction décimale, alors dans la sortie, il devrait également y avoir un signe moins devant la fraction ordinaire. Voici quelques exemples supplémentaires :

Je voudrais accorder une attention particulière au dernier exemple. Comme vous pouvez le constater, la fraction 0,0025 contient de nombreux zéros après la virgule décimale. Pour cette raison, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par 10 jusqu'à quatre fois. Est-il possible de simplifier d'une manière ou d'une autre l'algorithme dans ce cas ?

Bien sûr que vous le pouvez. Et maintenant, nous allons examiner un algorithme alternatif - il est un peu plus difficile à comprendre, mais après un peu de pratique, il fonctionne beaucoup plus rapidement que l'algorithme standard.

Un moyen plus rapide

Cet algorithme comporte également 3 étapes. Pour obtenir une fraction à partir d’un nombre décimal, procédez comme suit :

1. Comptez combien de chiffres se trouvent après la virgule. Par exemple, la fraction 1,75 a deux de ces chiffres et 0,0025 en a quatre. Notons cette quantité par la lettre $n$.
2. Réécrivez le nombre d'origine sous la forme $\frac(a)(((10)^(n)))$, où $a$ sont tous les chiffres de la fraction d'origine (sans les zéros « de départ » sur le à gauche, le cas échéant), et $n$ est le même nombre de chiffres après la virgule décimale que nous avons calculé à la première étape. En d'autres termes, vous devez diviser les chiffres de la fraction originale par un suivi de $n$ zéros.
3. Si possible, réduisez la fraction obtenue.

C'est ça! À première vue, ce schéma est plus compliqué que le précédent. Mais en réalité, c’est à la fois plus simple et plus rapide. Jugez par vous-même :

Comme vous pouvez le voir, dans la fraction 0,64, il y a deux chiffres après la virgule - 6 et 4. Donc $n=2$. Si on supprime la virgule et les zéros à gauche (dans ce cas, un seul zéro), on obtient le nombre 64. Passons à la deuxième étape : $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, donc le dénominateur est exactement cent. Eh bien, il ne reste plus qu'à réduire le numérateur et le dénominateur :)

Autre exemple :

Ici, tout est un peu plus compliqué. Premièrement, il y a déjà 3 nombres après la virgule, c'est-à-dire $n=3$, vous devez donc diviser par $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Deuxièmement, si on supprime la virgule de la notation décimale, on obtient ceci : 0,004 → 0004. N'oubliez pas que les zéros à gauche doivent être supprimés, donc en fait nous avons le chiffre 4. Ensuite tout est simple : diviser, réduire et obtenir la réponse.

Enfin, le dernier exemple :

La particularité de cette fraction est la présence d'une partie entière. Par conséquent, le résultat que nous obtenons est une fraction impropre de 47/25. Vous pouvez bien sûr essayer de diviser 47 par 25 avec un reste et ainsi à nouveau isoler toute la partie. Mais pourquoi se compliquer la vie si cela peut se faire au stade de la transformation ? Eh bien, découvrons-le.

Que faire de toute la partie

En fait, tout est très simple : si nous voulons obtenir une fraction appropriée, alors nous devons en supprimer toute la partie lors de la transformation, puis, lorsque nous obtenons le résultat, l'ajouter à nouveau à droite avant la ligne de fraction. .

Par exemple, considérons le même nombre : 1,88. Notons par un (la partie entière) et regardons la fraction 0,88. Il peut être facilement converti :

Ensuite, nous nous souvenons de l'unité « perdue » et l'ajoutons au recto :

\[\frac(22)(25)\à 1\frac(22)(25)\]

C'est ça! La réponse s’est avérée être la même qu’après avoir sélectionné toute la partie la dernière fois. Quelques autres exemples :

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\à 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\à 13\frac(4)(5). \\\fin (aligner)\]

C'est la beauté des mathématiques : peu importe la voie que vous prenez, si tous les calculs sont effectués correctement, la réponse sera toujours la même :)

En conclusion, je voudrais considérer une autre technique qui aide beaucoup.

Des transformations « à l’oreille »

Pensons à ce qu'est même une décimale. Plus précisément, comment nous le lisons. Par exemple, le nombre 0,64 - nous le lisons comme « zéro virgule 64 centièmes », n'est-ce pas ? Eh bien, ou juste « 64 centièmes ». Le mot clé ici est « centièmes », c’est-à-dire numéro 100.

Et 0,004 ? Il s’agit de « zéro virgule 4 millièmes » ou simplement « quatre millièmes ». D'une manière ou d'une autre, le mot clé est « milliers », c'est-à-dire 1000.

Alors, quel est le problème ? Et le fait est que ce sont ces chiffres qui finissent par « apparaître » dans les dénominateurs à la deuxième étape de l’algorithme. Ceux. 0,004 équivaut à « quatre millièmes » ou « 4 divisé par 1 000 » :

Essayez de vous entraîner - c'est très simple. L'essentiel est de lire correctement la fraction originale. Par exemple, 2,5 équivaut à « 2 entiers, 5 dixièmes », donc

Et quelque 1,125 équivaut à « 1 entier, 125 millièmes », donc

Dans le dernier exemple, bien sûr, quelqu'un objectera en disant qu'il n'est pas évident pour tous les élèves que 1000 est divisible par 125. Mais ici, vous devez vous rappeler que 1000 = 10 3 et 10 = 2 ∙ 5, donc

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Ainsi, toute puissance de dix n'est décomposée qu'en facteurs 2 et 5 - ce sont ces facteurs qu'il faut rechercher au numérateur, pour qu'au final tout soit réduit.

Ceci conclut la leçon. Passons à une opération inverse plus complexe - voir "

Conversion d'une fraction en décimal

Disons que nous voulons convertir la fraction 11/4 en nombre décimal. La façon la plus simple de procéder est la suivante :

Nous avons réussi car dans ce cas la décomposition du dénominateur en facteurs premiers n'est constituée que de deux. Nous avons complété cette expansion avec deux autres cinq, profité du fait que 10 = 2∙5 et obtenu une fraction décimale. Une telle procédure est évidemment possible si et seulement si la décomposition du dénominateur en facteurs premiers ne contient que deux et cinq. Si un autre nombre premier est présent dans le développement du dénominateur, une telle fraction ne peut pas être convertie en nombre décimal. Néanmoins, nous essaierons de le faire, mais seulement d'une manière différente, que nous connaîtrons en utilisant l'exemple de la même fraction 11/4. Divisons 11 par 4 en utilisant le « coin » :

Dans la ligne de réponse, nous avons reçu la partie entière (2), et nous avons également le reste (3). Auparavant, nous terminions la division ici, mais nous savons maintenant que nous pouvons ajouter une virgule et plusieurs zéros à droite du dividende (11), ce que nous allons maintenant faire mentalement. Après la virgule décimale vient la dixième place. On ajoute le zéro qui apparaît au dividende dans ce chiffre au reste résultant (3) :

Désormais, la division peut continuer comme si de rien n’était. N'oubliez pas de mettre une virgule après toute la partie dans la ligne de réponse :

Maintenant, nous ajoutons un zéro au reste (2), qui est à la centième place du dividende et terminons la division :

En conséquence, on obtient, comme précédemment,

Essayons maintenant de calculer exactement de la même manière à quoi est égale la fraction 27/11 :

Nous avons reçu le chiffre 2,45 dans la ligne de réponse et le chiffre 5 dans la ligne restante. Mais nous avons déjà rencontré un tel vestige auparavant. Par conséquent, nous pouvons immédiatement dire que si nous continuons notre division avec un « coin », alors le chiffre suivant dans la ligne de réponse sera 4, puis le chiffre 5 viendra, puis encore 4 et encore 5, et ainsi de suite, à l'infini. :

27 / 11 = 2,454545454545...

Nous avons ce qu'on appelle périodique une fraction décimale avec une période de 45. Pour de telles fractions, une notation plus compacte est utilisée, dans laquelle le point n'est écrit qu'une seule fois, mais il est mis entre parenthèses :

2,454545454545... = 2,(45).

D'une manière générale, si nous divisons un nombre naturel par un autre avec un « coin », en écrivant la réponse sous la forme d'une fraction décimale, alors seulement deux résultats sont possibles : (1) soit tôt ou tard, nous obtiendrons zéro dans la ligne restante , (2) ou il y aura là un tel reste, que nous avons déjà rencontré auparavant (l'ensemble des restes possibles est limité, puisqu'ils sont tous évidemment plus petits que le diviseur). Dans le premier cas, le résultat de la division est une fraction décimale finie, dans le second cas, une fraction périodique.

Convertir une décimale périodique en fraction

Donnons-nous une fraction décimale périodique positive avec une partie entière nulle, par exemple :

un = 0,2(45).

Comment puis-je reconvertir cette fraction en une fraction commune ?

Multiplions-le par 10 k, Où k est le nombre de chiffres entre le point décimal et la parenthèse ouvrante indiquant le début du point. Dans ce cas k= 1 et 10 k = 10:

un∙ 10 k = 2,(45).

Multipliez le résultat par 10 n, Où n- la « longueur » du point, c'est-à-dire le nombre de chiffres mis entre parenthèses. Dans ce cas n= 2 et 10 n = 100:

un∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Calculons maintenant la différence

un∙ 10 k ∙ 10 n − un∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Puisque les parties fractionnaires du minuend et du soustrahend sont les mêmes, alors la partie fractionnaire de la différence est égale à zéro, et nous arrivons à une équation simple pour un:

un∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Cette équation est résolue à l'aide des transformations suivantes :

un∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

un∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

Nous n'avons volontairement pas encore terminé les calculs, afin qu'il soit clairement visible comment ce résultat peut être immédiatement écrit, en omettant les arguments intermédiaires. La fin du numérateur (245) est la partie fractionnaire du nombre

un = 0,2(45)

si vous effacez les parenthèses dans son entrée. Le sous-trahend au numérateur (2) est la partie non périodique du nombre UN, situé entre la virgule et la parenthèse ouvrante. Le premier facteur du dénominateur (10) est une unité à laquelle sont attribués autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la partie non périodique ( k). Le deuxième facteur du dénominateur (99) est égal à autant de neuf qu'il y a de chiffres dans la période ( n).

Nos calculs peuvent maintenant être complétés :

Ici, le numérateur contient le point et le dénominateur contient autant de neuf qu'il y a de chiffres dans le point. Après réduction par 9, la fraction résultante est égale à

De la même façon,

Nombres décimaux tels que 0,2 ; 1,05 ; 3.017, etc. comme ils sont entendus, ainsi ils sont écrits. Zéro virgule deux, on obtient une fraction. Un virgule cinq centièmes, on obtient une fraction. Trois virgule dix-sept millièmes, on obtient la fraction. Les nombres avant la virgule décimale représentent la partie entière de la fraction. Le nombre après la virgule est le numérateur de la fraction future. S'il y a un nombre à un chiffre après la virgule décimale, le dénominateur sera 10, s'il y a un nombre à deux chiffres - 100, un nombre à trois chiffres - 1000, etc. Certaines fractions résultantes peuvent être réduites. Dans nos exemples

Conversion d'une fraction en nombre décimal

C'est l'inverse de la transformation précédente. Quelle est la caractéristique d’une fraction décimale ? Son dénominateur est toujours 10, ou 100, ou 1 000, ou 10 000, et ainsi de suite. Si votre fraction commune a un dénominateur comme celui-ci, il n'y a pas de problème. Par exemple, ou

Si la fraction est, par exemple . Dans ce cas, il faut utiliser la propriété de base d'une fraction et convertir le dénominateur en 10 ou 100, ou 1000... Dans notre exemple, si on multiplie le numérateur et le dénominateur par 4, on obtient une fraction qui peut être écrit sous forme de nombre décimal 0,12.

Certaines fractions sont plus faciles à diviser qu’à convertir le dénominateur. Par exemple,

Certaines fractions ne peuvent pas être converties en décimales !
Par exemple,

Conversion d'une fraction mixte en fraction impropre

Une fraction mixte, par exemple, peut être facilement convertie en fraction impropre. Pour ce faire, vous devez multiplier la partie entière par le dénominateur (en bas) et l'ajouter au numérateur (en haut), en laissant le dénominateur (en bas) inchangé. C'est

Lors de la conversion d'une fraction mixte en fraction impropre, vous pouvez vous rappeler que vous pouvez utiliser l'addition de fractions.

Conversion d'une fraction impropre en fraction mixte (mise en évidence de la partie entière)

Une fraction impropre peut être convertie en fraction mixte en mettant en évidence la partie entière. Regardons un exemple. Nous déterminons combien de fois entières « 3 » rentrent dans « 23 ». Ou divisez 23 par 3 sur une calculatrice, le nombre entier à la virgule décimale est celui souhaité. C'est "7". Ensuite, nous déterminons le numérateur de la fraction future : nous multiplions le « 7 » obtenu par le dénominateur « 3 » et soustrayons le résultat du numérateur « 23 ». C’est comme si l’on retrouvait le surplus qui reste du numérateur « 23 » si l’on enlève le montant maximum de « 3 ». Nous laissons le dénominateur inchangé. Tout est fait, notez le résultat

Dans cet article, nous verrons comment convertir des fractions en décimales, et considérons également le processus inverse : convertir des fractions décimales en fractions ordinaires. Ici, nous décrirons les règles de conversion des fractions et fournirons des solutions détaillées à des exemples typiques.

Navigation dans les pages.

Conversion de fractions en décimales

Désignons l'ordre dans lequel nous traiterons convertir des fractions en décimales.

Tout d’abord, nous verrons comment représenter les fractions avec des dénominateurs 10, 100, 1 000,… sous forme de décimales. Cela s'explique par le fait que les fractions décimales sont essentiellement une forme compacte d'écriture de fractions ordinaires avec les dénominateurs 10, 100, ....

Après cela, nous irons plus loin et montrerons comment écrire n'importe quelle fraction ordinaire (pas seulement celles dont les dénominateurs sont 10, 100, ...) sous forme de fraction décimale. Lorsque les fractions ordinaires sont traitées de cette manière, on obtient à la fois des fractions décimales finies et des fractions décimales périodiques infinies.

Parlons maintenant de tout dans l'ordre.

Conversion de fractions communes avec des dénominateurs 10, 100, ... en décimales

Certaines fractions appropriées nécessitent une « préparation préliminaire » avant d'être converties en décimales. Ceci s'applique aux fractions ordinaires dont le nombre de chiffres au numérateur est inférieur au nombre de zéros au dénominateur. Par exemple, la fraction commune 2/100 doit d'abord être préparée pour être convertie en fraction décimale, mais la fraction 9/10 ne nécessite aucune préparation.

La « préparation préliminaire » des fractions ordinaires appropriées pour la conversion en fractions décimales consiste à ajouter autant de zéros à gauche du numérateur que le nombre total de chiffres y soit égal au nombre de zéros au dénominateur. Par exemple, une fraction après avoir ajouté des zéros ressemblera à .

Une fois que vous avez préparé une fraction appropriée, vous pouvez commencer à la convertir en décimal.

Donnons règle pour convertir une fraction commune appropriée avec un dénominateur de 10, ou 100, ou 1 000, ... en une fraction décimale. Il se compose de trois étapes :

• écrivez 0 ;
• après cela, nous mettons un point décimal ;
• Nous notons le nombre du numérateur (avec les zéros ajoutés, si nous les ajoutons).

Considérons l'application de cette règle lors de la résolution d'exemples.

Exemple.

Convertissez la fraction appropriée 37/100 en un nombre décimal.

Solution.

Le dénominateur contient le nombre 100, qui comporte deux zéros. Le numérateur contient le nombre 37, sa notation comporte deux chiffres, cette fraction n'a donc pas besoin d'être préparée pour la conversion en fraction décimale.

Maintenant, nous écrivons 0, mettons un point décimal et écrivons le nombre 37 à partir du numérateur, et nous obtenons la fraction décimale 0,37.

Répondre:

0,37 .

Pour renforcer les compétences de conversion de fractions ordinaires appropriées avec les numérateurs 10, 100, ... en fractions décimales, nous analyserons la solution d'un autre exemple.

Exemple.

Écrivez la fraction appropriée 107/10 000 000 sous forme décimale.

Solution.

Le nombre de chiffres au numérateur est 3 et le nombre de zéros au dénominateur est 7, cette fraction commune doit donc être préparée pour la conversion en décimal. Nous devons ajouter 7-3=4 zéros à gauche du numérateur pour que le nombre total de chiffres soit égal au nombre de zéros au dénominateur. Nous obtenons.

Il ne reste plus qu'à créer la fraction décimale requise. Pour ce faire, premièrement, nous écrivons 0, deuxièmement, nous mettons une virgule, troisièmement, nous écrivons le nombre du numérateur avec les zéros 0000107, nous obtenons ainsi une fraction décimale 0,0000107.

Répondre:

0,0000107 .

Les fractions incorrectes ne nécessitent aucune préparation lors de la conversion en décimales. Ce qui suit doit être respecté règles pour convertir des fractions impropres avec des dénominateurs 10, 100, ... en décimales:

• notez le nombre à partir du numérateur ;
• Nous utilisons un point décimal pour séparer autant de chiffres à droite qu'il y a de zéros au dénominateur de la fraction originale.

Examinons l'application de cette règle lors de la résolution d'un exemple.

Exemple.

Convertissez la fraction impropre 56 888 038 009/100 000 en décimale.

Solution.

Premièrement, nous notons le nombre à partir du numérateur 56888038009, et deuxièmement, nous séparons les 5 chiffres de droite par un point décimal, puisque le dénominateur de la fraction originale a 5 zéros. En conséquence, nous avons la fraction décimale 568880,38009.

Répondre:

568 880,38009 .

Pour convertir un nombre fractionnaire en fraction décimale dont le dénominateur de la partie fractionnaire est le nombre 10, ou 100, ou 1 000, ..., vous pouvez convertir le nombre fractionnaire en une fraction ordinaire impropre, puis convertir le résultat fraction en fraction décimale. Mais vous pouvez également utiliser ce qui suit la règle pour convertir les nombres fractionnaires avec un dénominateur fractionnaire de 10, ou 100, ou 1 000, ... en fractions décimales:

• si nécessaire, nous effectuons une « préparation préliminaire » de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire original en ajoutant le nombre requis de zéros à gauche au numérateur ;
• notez la partie entière du nombre mixte original ;
• mettre un point décimal ;
• Nous notons le nombre du numérateur avec les zéros ajoutés.

Regardons un exemple dans lequel nous effectuons toutes les étapes nécessaires pour représenter un nombre fractionnaire sous forme de fraction décimale.

Exemple.

Convertissez le nombre fractionné en nombre décimal.

Solution.

Le dénominateur de la partie fractionnaire a 4 zéros et le numérateur contient le nombre 17, composé de 2 chiffres, nous devons donc ajouter deux zéros à gauche dans le numérateur pour que le nombre de chiffres y devienne égal au nombre de des zéros au dénominateur. Ceci fait, le numérateur sera 0017.

Maintenant, nous écrivons la partie entière du nombre d'origine, c'est-à-dire le nombre 23, mettons un point décimal, après quoi nous écrivons le nombre du numérateur avec les zéros ajoutés, c'est-à-dire 0017, et nous obtenons la décimale souhaitée. fraction 23,0017.

Écrivons brièvement toute la solution : .

Bien entendu, il était possible de représenter d’abord le nombre fractionnaire sous la forme d’une fraction impropre, puis de le convertir en nombre décimal. Avec cette approche, la solution ressemble à ceci : .

Répondre:

23,0017 .

Conversion de fractions en décimales périodiques finies et infinies

Non seulement les fractions ordinaires avec des dénominateurs 10, 100, ... peuvent être converties en fractions décimales, mais aussi les fractions ordinaires avec d'autres dénominateurs. Voyons maintenant comment cela se fait.

Dans certains cas, la fraction ordinaire originale est facilement réduite à l'un des dénominateurs 10, ou 100, ou 1 000, ... (voir amener une fraction ordinaire à un nouveau dénominateur), après quoi il n'est pas difficile de représenter la fraction résultante comme fraction décimale. Par exemple, il est évident que la fraction 2/5 peut être réduite à une fraction de dénominateur 10, pour cela il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par 2, ce qui donnera la fraction 4/10, qui, selon le règles discutées dans le paragraphe précédent, est facilement convertie en fraction décimale 0, 4.

Dans d'autres cas, vous devez utiliser une autre méthode de conversion d'une fraction ordinaire en décimal, que nous passons maintenant à l'examen.

Pour convertir une fraction ordinaire en fraction décimale, le numérateur de la fraction est divisé par le dénominateur, le numérateur est d'abord remplacé par une fraction décimale égale avec n'importe quel nombre de zéros après la virgule décimale (nous en avons parlé dans la section égal et fractions décimales inégales). Dans ce cas, la division s'effectue de la même manière que la division par une colonne de nombres naturels, et dans le quotient une virgule décimale est placée lorsque la division de la partie entière du dividende se termine. Tout cela deviendra clair à partir des solutions aux exemples donnés ci-dessous.

Exemple.

Convertissez la fraction 621/4 en nombre décimal.

Solution.

Représentons le nombre au numérateur 621 sous la forme d'une fraction décimale, en ajoutant un point décimal et plusieurs zéros après. Tout d'abord, ajoutons 2 chiffres 0, plus tard, si nécessaire, nous pouvons toujours ajouter d'autres zéros. Nous avons donc 621,00.

Divisons maintenant le nombre 621 000 par 4 avec une colonne. Les trois premières étapes ne sont pas différentes de la division de nombres naturels par une colonne, après quoi nous arrivons à l'image suivante :

C’est ainsi que l’on arrive à la virgule décimale du dividende, et le reste est différent de zéro. Dans ce cas, on met un point décimal dans le quotient et on continue à diviser en colonne, sans faire attention aux virgules :

Ceci termine la division et nous obtenons ainsi la fraction décimale 155,25, qui correspond à la fraction ordinaire d'origine.

Répondre:

155,25 .

Pour consolider le matériel, considérons la solution d'un autre exemple.

Exemple.

Convertissez la fraction 21/800 en décimal.

Solution.

Pour convertir cette fraction commune en décimale, on divise avec une colonne de la fraction décimale 21 000... par 800. Après la première étape, nous devrons mettre un point décimal dans le quotient, puis continuer la division :

Finalement, nous avons obtenu le reste 0, ceci achève la conversion de la fraction commune 21/400 en fraction décimale, et nous sommes arrivés à la fraction décimale 0,02625.

Répondre:

0,02625 .

Il peut arriver qu'en divisant le numérateur par le dénominateur d'une fraction ordinaire, on n'obtienne toujours pas un reste de 0. Dans ces cas, la division peut être poursuivie indéfiniment. Cependant, à partir d'un certain pas, les restes commencent à se répéter périodiquement et les nombres du quotient se répètent également. Cela signifie que la fraction originale est convertie en une fraction décimale infiniment périodique. Montrons cela avec un exemple.

Exemple.

Écrivez la fraction 19/44 sous forme décimale.

Solution.

Pour convertir une fraction ordinaire en décimale, effectuez une division par colonne :

Il est déjà clair que lors de la division, les résidus 8 et 36 ont commencé à se répéter, tandis que dans le quotient les nombres 1 et 8 se répètent. Ainsi, la fraction commune originale 19/44 est convertie en une fraction décimale périodique 0,43181818...=0,43(18).

Répondre:

0,43(18) .

Pour conclure ce point, nous déterminerons quelles fractions ordinaires peuvent être converties en fractions décimales finies, et lesquelles ne peuvent être converties qu'en fractions périodiques.

Ayons devant nous une fraction ordinaire irréductible (si la fraction est réductible, alors nous réduisons d'abord la fraction), et nous devons découvrir en quelle fraction décimale elle peut être convertie - finie ou périodique.

Il est clair que si une fraction ordinaire peut être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1 000, ..., alors la fraction résultante peut être facilement convertie en une fraction décimale finale selon les règles évoquées dans le paragraphe précédent. Mais aux dénominateurs 10, 100, 1 000, etc. Toutes les fractions ordinaires ne sont pas données. Seules les fractions dont les dénominateurs sont au moins un des nombres 10, 100,... peuvent être réduites à de tels dénominateurs. Et quels nombres peuvent être diviseurs de 10, 100,... ? Les nombres 10, 100, ... vont nous permettre de répondre à cette question, et ils sont les suivants : 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1 000 = 2 2 2 5 5 5, .... Il s'ensuit que les diviseurs sont 10, 100, 1 000, etc. Il ne peut y avoir que des nombres dont les décompositions en facteurs premiers contiennent uniquement les nombres 2 et (ou) 5.

Nous pouvons maintenant tirer une conclusion générale sur la conversion de fractions ordinaires en décimales :

• si dans la décomposition du dénominateur en facteurs premiers seuls les nombres 2 et (ou) 5 sont présents, alors cette fraction peut être convertie en une fraction décimale finale ;
• si, en plus des deux et des cinq, il existe d'autres nombres premiers dans le développement du dénominateur, alors cette fraction est convertie en une fraction périodique décimale infinie.

Exemple.

Sans convertir des fractions ordinaires en décimales, dites-moi laquelle des fractions 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 peut être convertie en une fraction décimale finale, et lesquelles ne peuvent être converties qu'en une fraction périodique.

Solution.

Le dénominateur de la fraction 47/20 est factorisé en facteurs premiers comme 20=2·2·5. Cette expansion ne contient que deux et cinq, cette fraction peut donc être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1 000, ... (dans cet exemple, au dénominateur 100), et peut donc être convertie en une fraction décimale finale.

La décomposition du dénominateur de la fraction 7/12 en facteurs premiers a la forme 12=2·2·3. Puisqu'elle contient un facteur premier de 3, différent de 2 et 5, cette fraction ne peut pas être représentée comme une décimale finie, mais peut être convertie en une décimale périodique.

Fraction 21/56 – contractile, après contraction il prend la forme 3/8. La factorisation du dénominateur en facteurs premiers contient trois facteurs égaux à 2, donc la fraction commune 3/8, et donc la fraction égale 21/56, peut être convertie en une fraction décimale finale.

Enfin, le développement du dénominateur de la fraction 31/17 est lui-même 17, donc cette fraction ne peut pas être convertie en une fraction décimale finie, mais peut être convertie en une fraction périodique infinie.

Répondre:

47/20 et 21/56 peuvent être convertis en fraction décimale finie, mais 7/12 et 31/17 ne peuvent être convertis qu'en fraction périodique.

Les fractions ordinaires ne sont pas converties en décimales infinies non périodiques

Les informations du paragraphe précédent soulèvent la question : « La division du numérateur d’une fraction par le dénominateur peut-elle donner une fraction infinie non périodique ?

Réponse : non. Lors de la conversion d’une fraction commune, le résultat peut être soit une fraction décimale finie, soit une fraction décimale périodique infinie. Expliquons pourquoi il en est ainsi.

D'après le théorème sur la divisibilité avec un reste, il est clair que le reste est toujours inférieur au diviseur, c'est-à-dire que si nous divisons un entier par un entier q, alors le reste ne peut être que l'un des nombres 0, 1, 2 , ..., q−1. Il s'ensuit qu'une fois que la colonne a fini de diviser la partie entière du numérateur d'une fraction ordinaire par le dénominateur q, en pas plus de q étapes, l'une des deux situations suivantes se présentera :

• soit nous obtiendrons un reste de 0, cela mettra fin à la division et nous obtiendrons la fraction décimale finale ;
• ou nous obtiendrons un reste qui est déjà apparu auparavant, après quoi les restes commenceront à se répéter comme dans l'exemple précédent (puisqu'en divisant des nombres égaux par q, on obtient des restes égaux, ce qui découle du théorème de divisibilité déjà mentionné), ce se traduira par une fraction décimale périodique infinie.

Il ne peut y avoir d'autres options, par conséquent, lors de la conversion d'une fraction ordinaire en fraction décimale, une fraction décimale non périodique infinie ne peut pas être obtenue.

Du raisonnement donné dans ce paragraphe, il résulte également que la durée de la période d'une fraction décimale est toujours inférieure à la valeur du dénominateur de la fraction ordinaire correspondante.

Conversion de décimales en fractions

Voyons maintenant comment convertir une fraction décimale en fraction ordinaire. Commençons par convertir les fractions décimales finales en fractions ordinaires. Après cela, nous considérerons une méthode pour inverser des fractions décimales périodiques infinies. En conclusion, disons de l'impossibilité de convertir des fractions décimales non périodiques infinies en fractions ordinaires.

Conversion de décimales finales en fractions

Obtenir une fraction écrite sous forme décimale finale est assez simple. La règle pour convertir une fraction décimale finale en une fraction commune se compose de trois étapes :

• tout d'abord, écrivez la fraction décimale donnée dans le numérateur, après avoir préalablement supprimé le point décimal et tous les zéros à gauche, le cas échéant ;
• deuxièmement, écrivez-en un dans le dénominateur et ajoutez-y autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale d'origine ;
• troisièmement, si nécessaire, réduisez la fraction résultante.

Regardons les solutions aux exemples.

Exemple.

Convertissez le nombre décimal 3,025 en fraction.

Solution.

Si nous supprimons le point décimal de la fraction décimale originale, nous obtenons le nombre 3 025. Il n’y a pas de zéros à gauche que nous rejetterions. Ainsi, on écrit 3 025 au numérateur de la fraction souhaitée.

Nous écrivons le nombre 1 au dénominateur et ajoutons 3 zéros à sa droite, car dans la fraction décimale originale, il y a 3 chiffres après la virgule décimale.

Nous avons donc obtenu la fraction commune 3 025/1 000. Cette fraction peut être réduite de 25, on obtient .

Répondre:

.

Exemple.

Convertissez la fraction décimale 0,0017 en fraction.

Solution.

Sans point décimal, la fraction décimale originale ressemble à 00017, en ignorant les zéros à gauche, nous obtenons le nombre 17, qui est le numérateur de la fraction ordinaire souhaitée.

Nous écrivons un avec quatre zéros au dénominateur, puisque la fraction décimale originale a 4 chiffres après la virgule décimale.

En conséquence, nous avons une fraction ordinaire de 17/10 000. Cette fraction est irréductible et la conversion d'une fraction décimale en fraction ordinaire est terminée.

Répondre:

.

Lorsque la partie entière de la fraction décimale finale originale est différente de zéro, elle peut être immédiatement convertie en un nombre fractionnaire, en contournant la fraction commune. Donnons règle pour convertir une fraction décimale finale en un nombre fractionnaire:

• le nombre avant la virgule décimale doit être écrit comme une partie entière du nombre fractionnaire souhaité ;
• au numérateur de la partie fractionnaire, vous devez écrire le nombre obtenu à partir de la partie fractionnaire de la fraction décimale originale après avoir supprimé tous les zéros à gauche ;
• au dénominateur de la partie fractionnaire, vous devez écrire le nombre 1, auquel ajouter autant de zéros à droite qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale d'origine ;
• si nécessaire, réduisez la partie fractionnaire du nombre fractionnaire obtenu.

Regardons un exemple de conversion d'une fraction décimale en nombre fractionnaire.

Exemple.

Exprimer la fraction décimale 152,06005 sous forme de nombre fractionnaire

Souvent, les enfants qui étudient à l’école se demandent pourquoi ils pourraient avoir besoin de mathématiques dans la vraie vie, en particulier les sections qui vont déjà bien plus loin que le simple comptage, multiplication, division, addition et soustraction. De nombreux adultes se posent également cette question si leur activité professionnelle est très éloignée des mathématiques et calculs divers. Cependant, il convient de comprendre qu'il existe toutes sortes de situations et qu'il est parfois impossible de se passer de ce programme scolaire très notoire que nous avons si dédaigneusement rejeté dans notre enfance. Par exemple, tout le monde ne sait pas comment convertir une fraction en nombre décimal, mais cette connaissance peut être extrêmement utile pour faciliter le comptage. Tout d’abord, vous devez vous assurer que la fraction dont vous avez besoin peut être convertie en décimale finale. Il en va de même pour les pourcentages, qui peuvent également être facilement convertis en décimales.

Vérifier une fraction pour voir si elle peut être convertie en nombre décimal

Avant de compter quoi que ce soit, vous devez vous assurer que la fraction décimale résultante sera finie, sinon elle s'avérera infinie et il sera tout simplement impossible de calculer la version finale. De plus, les fractions infinies peuvent également être périodiques et simples, mais c'est un sujet pour une section distincte.

Il n’est possible de convertir une fraction ordinaire en sa version décimale finale que si son dénominateur unique ne peut être développé qu’en facteurs de 5 et 2 (facteurs premiers). Et même s’ils sont répétés un nombre arbitraire de fois.

Précisons que ces deux nombres sont premiers, donc en fin de compte ils ne peuvent être divisés sans reste que par eux-mêmes ou par un. Un tableau de nombres premiers peut être trouvé sans problème sur Internet ; ce n'est pas du tout difficile, même s'il n'a aucun rapport direct avec notre compte.

Regardons des exemples :

La fraction 7/40 peut être convertie d'une fraction en son équivalent décimal car son dénominateur peut être facilement divisé en facteurs de 2 et 5.

Cependant, si la première option aboutit à une fraction décimale finale, alors, par exemple, 7/60 ne donnera en aucun cas un résultat similaire, puisque son dénominateur ne sera plus décomposé en nombres recherchés, mais aura un trois parmi les facteurs dénominateurs.

Il existe plusieurs façons de convertir une fraction en nombre décimal

Une fois qu'il est devenu clair quelles fractions peuvent être converties d'ordinaire en décimal, vous pouvez procéder à la conversion elle-même. En fait, il n’y a rien de très difficile, même pour quelqu’un dont le programme scolaire a complètement disparu de la mémoire.

Comment convertir des fractions en décimales : la méthode la plus simple

Cette méthode de conversion d'une fraction en décimal est en effet la plus simple, mais beaucoup de gens ne réalisent même pas son existence mortelle, puisqu'à l'école toutes ces « vérités » semblent inutiles et peu importantes. Pendant ce temps, non seulement un adulte sera capable de le comprendre, mais un enfant percevra également facilement ces informations.

Ainsi, pour convertir une fraction en nombre décimal, vous multipliez le numérateur ainsi que le dénominateur par un nombre. Cependant, tout n'est pas si simple, du coup, c'est au dénominateur qu'il faut obtenir 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 et ainsi de suite, à l'infini. N'oubliez pas de vérifier d'abord si une fraction donnée peut être convertie en nombre décimal.

Regardons des exemples :

Disons que nous devons convertir la fraction 6/20 en nombre décimal. Nous vérifions :

Une fois convaincus qu'il est encore possible de convertir une fraction en fraction décimale, voire finie, puisque son dénominateur peut facilement être décomposé en deux et en cinq, il faut procéder à la traduction elle-même. La meilleure option, logiquement, pour multiplier le dénominateur et obtenir le résultat 100, est 5, puisque 20x5=100.

Vous pouvez considérer un exemple supplémentaire pour plus de clarté :

La deuxième méthode, la plus populaire convertir des fractions en décimales

La deuxième option est un peu plus compliquée, mais elle est plus populaire car elle est beaucoup plus facile à comprendre. Tout ici est transparent et clair, passons donc tout de suite aux calculs.

A retenir

Afin de convertir correctement une fraction simple, c'est-à-dire ordinaire, en son équivalent décimal, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. En fait, une fraction est une division, vous ne pouvez pas contester cela.

Regardons l'action à l'aide d'un exemple :

Ainsi, la première chose à faire est de convertir la fraction 78/200 en décimal, vous devez diviser son numérateur, c'est-à-dire le nombre 78, par le dénominateur 200. Mais la première chose qui devrait devenir une habitude est de vérifier , ce qui a déjà été mentionné ci-dessus.

Après vérification, vous devez vous souvenir de l'école et diviser le numérateur par le dénominateur avec un « coin » ou une « colonne ».

Comme vous pouvez le constater, tout est extrêmement simple et vous n’avez pas besoin d’être un génie pour résoudre facilement de tels problèmes. Pour plus de simplicité et de commodité, nous proposons également un tableau des fractions les plus populaires, faciles à retenir et ne faisant même pas l'effort de les traduire.

Comment convertir des pourcentages en décimales: rien de plus simple

Enfin, l'évolution s'est portée sur les pourcentages qui, comme le dit le même programme scolaire, peuvent être convertis en fraction décimale. De plus, tout sera beaucoup plus simple ici, et il n'y a pas lieu d'avoir peur. Même ceux qui n'ont pas obtenu de diplôme universitaire, ont sauté la cinquième année et ne connaissent rien aux mathématiques peuvent faire face à cette tâche.

Peut-être devons-nous commencer par une définition, c’est-à-dire comprendre ce qu’est réellement l’intérêt. Un pourcentage est un centième d’un nombre, c’est-à-dire complètement arbitraire. A partir d'une centaine, par exemple, ce sera un et ainsi de suite.

Ainsi, pour convertir des pourcentages en nombre décimal, il vous suffit de supprimer le signe %, puis de diviser le nombre lui-même par cent.

Regardons des exemples :

De plus, pour effectuer une « conversion » inversée, il vous suffit de tout faire dans l'autre sens, c'est-à-dire que le nombre doit être multiplié par cent et qu'un signe de pourcentage doit y être ajouté. De la même manière, en appliquant les connaissances acquises, vous pouvez également convertir une fraction ordinaire en pourcentage. Pour ce faire, il suffira simplement de convertir d'abord une fraction ordinaire en décimal, et donc de la convertir en pourcentage, et vous pourrez également facilement effectuer l'action inverse. Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de très compliqué, tout cela est une connaissance de base qu’il suffit de garder à l’esprit, surtout si vous avez affaire à des chiffres.

La voie de la moindre résistance : des services en ligne pratiques

Il arrive aussi que vous n’ayez pas du tout envie de compter et que vous n’ayez tout simplement pas le temps. C'est pour de tels cas, ou surtout pour les utilisateurs paresseux, qu'il existe de nombreux services pratiques et faciles à utiliser sur Internet qui vous permettront de convertir des fractions ordinaires, ainsi que des pourcentages, en fractions décimales. C’est vraiment la voie de moindre résistance, donc utiliser de telles ressources est un plaisir.

Portail de référence utile "Calculatrice"

Pour utiliser le service Calculatrice, suivez simplement le lien http://www.calc.ru/desyatichnyye-drobi.html et entrez les nombres requis dans les champs obligatoires. De plus, la ressource vous permet de convertir des fractions ordinaires et mixtes en décimales.

Après une courte attente, environ trois secondes, le service affichera le résultat final.

De la même manière, vous pouvez convertir une fraction décimale en fraction régulière.

Calculateur en ligne sur la « Ressource mathématique » Calcs.su

Un autre service très utile est le calculateur de fractions sur la ressource mathématique. Ici, vous n'avez pas non plus à compter quoi que ce soit vous-même, il vous suffit de sélectionner dans la liste fournie ce dont vous avez besoin et de recevoir vos commandes.

Ensuite, dans le champ spécialement prévu à cet effet, vous devez saisir le nombre de pourcentages souhaité, qui doivent être convertis en fraction régulière. De plus, si vous avez besoin de fractions décimales, vous pouvez facilement effectuer vous-même la tâche de traduction ou utiliser la calculatrice conçue à cet effet.

En fin de compte, il convient d'ajouter que peu importe le nombre de services inédits inventés, quel que soit le nombre de ressources qui vous proposent leurs services, cela ne fera pas de mal de vous entraîner la tête de temps en temps. Vous devez donc impérativement appliquer les connaissances que vous avez acquises, d’autant plus que vous pourrez alors fièrement aider vos propres enfants puis petits-enfants à faire leurs devoirs. Pour ceux qui souffrent d'un éternel manque de temps, de telles calculatrices en ligne sur les portails mathématiques seront utiles et vous aideront même à comprendre comment convertir une fraction en nombre décimal.