Dans cet article, nous verrons comment convertir des fractions en décimales, et considérons également le processus inverse : convertir des fractions décimales en fractions ordinaires. Ici, nous décrirons les règles de conversion des fractions et fournirons des solutions détaillées à des exemples typiques.
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Conversion de fractions en décimales
Désignons l'ordre dans lequel nous traiterons convertir des fractions en décimales.
Tout d’abord, nous verrons comment représenter les fractions avec des dénominateurs 10, 100, 1 000,… sous forme de décimales. Cela s'explique par le fait que les fractions décimales sont essentiellement une forme compacte d'écriture de fractions ordinaires avec les dénominateurs 10, 100, ....
Après cela, nous irons plus loin et montrerons comment écrire n'importe quelle fraction ordinaire (pas seulement celles dont les dénominateurs sont 10, 100, ...) sous forme de fraction décimale. Lorsque les fractions ordinaires sont traitées de cette manière, on obtient à la fois des fractions décimales finies et des fractions décimales périodiques infinies.
Parlons maintenant de tout dans l'ordre.
Conversion de fractions communes avec des dénominateurs 10, 100, ... en décimales
Certaines fractions appropriées nécessitent une « préparation préliminaire » avant d'être converties en décimales. Ceci s'applique aux fractions ordinaires dont le nombre de chiffres au numérateur est inférieur au nombre de zéros au dénominateur. Par exemple, la fraction commune 2/100 doit d'abord être préparée pour être convertie en fraction décimale, mais la fraction 9/10 ne nécessite aucune préparation.
La « préparation préliminaire » des fractions ordinaires appropriées pour la conversion en fractions décimales consiste à ajouter autant de zéros à gauche du numérateur que le nombre total de chiffres y soit égal au nombre de zéros au dénominateur. Par exemple, une fraction après avoir ajouté des zéros ressemblera à .
Une fois que vous avez préparé une fraction appropriée, vous pouvez commencer à la convertir en décimal.
Donnons règle pour convertir une fraction commune appropriée avec un dénominateur de 10, ou 100, ou 1 000, ... en une fraction décimale. Il se compose de trois étapes :
- écrivez 0 ;
- après cela, nous mettons un point décimal ;
- Nous notons le nombre du numérateur (avec les zéros ajoutés, si nous les ajoutons).
Considérons l'application de cette règle lors de la résolution d'exemples.
Exemple.
Convertissez la fraction appropriée 37/100 en un nombre décimal.
Solution.
Le dénominateur contient le nombre 100, qui comporte deux zéros. Le numérateur contient le nombre 37, sa notation comporte deux chiffres, cette fraction n'a donc pas besoin d'être préparée pour la conversion en fraction décimale.
Maintenant, nous écrivons 0, mettons un point décimal et écrivons le nombre 37 à partir du numérateur, et nous obtenons la fraction décimale 0,37.
Répondre:
0,37 .
Pour renforcer les compétences de conversion de fractions ordinaires appropriées avec les numérateurs 10, 100, ... en fractions décimales, nous analyserons la solution d'un autre exemple.
Exemple.
Écrivez la fraction appropriée 107/10 000 000 sous forme décimale.
Solution.
Le nombre de chiffres au numérateur est 3 et le nombre de zéros au dénominateur est 7, cette fraction commune doit donc être préparée pour la conversion en décimal. Nous devons ajouter 7-3=4 zéros à gauche du numérateur pour que le nombre total de chiffres soit égal au nombre de zéros au dénominateur. Nous obtenons.
Il ne reste plus qu'à créer la fraction décimale requise. Pour ce faire, premièrement, nous écrivons 0, deuxièmement, nous mettons une virgule, troisièmement, nous écrivons le nombre du numérateur avec les zéros 0000107, nous obtenons ainsi une fraction décimale 0,0000107.
Répondre:
0,0000107 .
Les fractions incorrectes ne nécessitent aucune préparation lors de la conversion en décimales. Ce qui suit doit être respecté règles pour convertir des fractions impropres avec des dénominateurs 10, 100, ... en décimales:
- notez le nombre à partir du numérateur ;
- Nous utilisons un point décimal pour séparer autant de chiffres à droite qu'il y a de zéros au dénominateur de la fraction originale.
Examinons l'application de cette règle lors de la résolution d'un exemple.
Exemple.
Convertissez la fraction impropre 56 888 038 009/100 000 en décimale.
Solution.
Premièrement, nous notons le nombre à partir du numérateur 56888038009, et deuxièmement, nous séparons les 5 chiffres de droite par un point décimal, puisque le dénominateur de la fraction originale a 5 zéros. En conséquence, nous avons la fraction décimale 568880,38009.
Répondre:
568 880,38009 .
Pour convertir un nombre fractionnaire en fraction décimale dont le dénominateur de la partie fractionnaire est le nombre 10, ou 100, ou 1 000, ..., vous pouvez convertir le nombre fractionnaire en une fraction ordinaire impropre, puis convertir le résultat fraction en fraction décimale. Mais vous pouvez également utiliser ce qui suit la règle pour convertir les nombres fractionnaires avec un dénominateur fractionnaire de 10, ou 100, ou 1 000, ... en fractions décimales:
- si nécessaire, nous effectuons une « préparation préliminaire » de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire original en ajoutant le nombre requis de zéros à gauche au numérateur ;
- notez la partie entière du nombre mixte original ;
- mettre un point décimal ;
- Nous notons le nombre du numérateur avec les zéros ajoutés.
Regardons un exemple dans lequel nous effectuons toutes les étapes nécessaires pour représenter un nombre fractionnaire sous forme de fraction décimale.
Exemple.
Convertissez le nombre fractionné en nombre décimal.
Solution.
Le dénominateur de la partie fractionnaire a 4 zéros et le numérateur contient le nombre 17, composé de 2 chiffres, nous devons donc ajouter deux zéros à gauche dans le numérateur pour que le nombre de chiffres y devienne égal au nombre de des zéros au dénominateur. Ceci fait, le numérateur sera 0017.
Maintenant, nous écrivons la partie entière du nombre d'origine, c'est-à-dire le nombre 23, mettons un point décimal, après quoi nous écrivons le nombre du numérateur avec les zéros ajoutés, c'est-à-dire 0017, et nous obtenons la décimale souhaitée. fraction 23,0017.
Écrivons brièvement toute la solution : 
.
Bien entendu, il était possible de représenter d’abord le nombre fractionnaire sous la forme d’une fraction impropre, puis de le convertir en nombre décimal. Avec cette approche, la solution ressemble à ceci : .
Répondre:
23,0017 .
Conversion de fractions en décimales périodiques finies et infinies
Non seulement les fractions ordinaires avec des dénominateurs 10, 100, ... peuvent être converties en fractions décimales, mais aussi les fractions ordinaires avec d'autres dénominateurs. Voyons maintenant comment cela se fait.
Dans certains cas, la fraction ordinaire originale est facilement réduite à l'un des dénominateurs 10, ou 100, ou 1 000, ... (voir amener une fraction ordinaire à un nouveau dénominateur), après quoi il n'est pas difficile de représenter la fraction résultante comme fraction décimale. Par exemple, il est évident que la fraction 2/5 peut être réduite à une fraction de dénominateur 10, pour cela il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par 2, ce qui donnera la fraction 4/10, qui, selon le règles discutées dans le paragraphe précédent, est facilement convertie en fraction décimale 0, 4.
Dans d'autres cas, vous devez utiliser une autre méthode de conversion d'une fraction ordinaire en décimal, que nous passons maintenant à l'examen.
Pour convertir une fraction ordinaire en fraction décimale, le numérateur de la fraction est divisé par le dénominateur, le numérateur est d'abord remplacé par une fraction décimale égale avec n'importe quel nombre de zéros après la virgule décimale (nous en avons parlé dans la section égal et fractions décimales inégales). Dans ce cas, la division s'effectue de la même manière que la division par une colonne de nombres naturels, et dans le quotient une virgule décimale est placée lorsque la division de la partie entière du dividende se termine. Tout cela deviendra clair à partir des solutions aux exemples donnés ci-dessous.
Exemple.
Convertissez la fraction 621/4 en nombre décimal.
Solution.
Représentons le nombre au numérateur 621 sous la forme d'une fraction décimale, en ajoutant un point décimal et plusieurs zéros après. Tout d'abord, ajoutons 2 chiffres 0, plus tard, si nécessaire, nous pouvons toujours ajouter d'autres zéros. Nous avons donc 621,00.
Divisons maintenant le nombre 621 000 par 4 avec une colonne. Les trois premières étapes ne sont pas différentes de la division de nombres naturels par une colonne, après quoi nous arrivons à l'image suivante : 
C’est ainsi que l’on arrive à la virgule décimale du dividende, et le reste est différent de zéro. Dans ce cas, on met un point décimal dans le quotient et on continue à diviser en colonne, sans faire attention aux virgules : 
Ceci termine la division et nous obtenons ainsi la fraction décimale 155,25, qui correspond à la fraction ordinaire d'origine.
Répondre:
155,25 .
Pour consolider le matériel, considérons la solution d'un autre exemple.
Exemple.
Convertissez la fraction 21/800 en décimal.
Solution.
Pour convertir cette fraction commune en décimale, on divise avec une colonne de la fraction décimale 21 000... par 800. Après la première étape, nous devrons mettre un point décimal dans le quotient, puis continuer la division : 
Finalement, nous avons obtenu le reste 0, ceci achève la conversion de la fraction commune 21/400 en fraction décimale, et nous sommes arrivés à la fraction décimale 0,02625.
Répondre:
0,02625 .
Il peut arriver qu'en divisant le numérateur par le dénominateur d'une fraction ordinaire, on n'obtienne toujours pas un reste de 0. Dans ces cas, la division peut être poursuivie indéfiniment. Cependant, à partir d'un certain pas, les restes commencent à se répéter périodiquement et les nombres du quotient se répètent également. Cela signifie que la fraction originale est convertie en une fraction décimale infiniment périodique. Montrons cela avec un exemple.
Exemple.
Écrivez la fraction 19/44 sous forme décimale.
Solution.
Pour convertir une fraction ordinaire en décimale, effectuez une division par colonne : 
Il est déjà clair que lors de la division, les résidus 8 et 36 ont commencé à se répéter, tandis que dans le quotient les nombres 1 et 8 se répètent. Ainsi, la fraction commune originale 19/44 est convertie en une fraction décimale périodique 0,43181818...=0,43(18).
Répondre:
0,43(18) .
Pour conclure ce point, nous déterminerons quelles fractions ordinaires peuvent être converties en fractions décimales finies, et lesquelles ne peuvent être converties qu'en fractions périodiques.
Ayons devant nous une fraction ordinaire irréductible (si la fraction est réductible, alors nous réduisons d'abord la fraction), et nous devons découvrir en quelle fraction décimale elle peut être convertie - finie ou périodique.
Il est clair que si une fraction ordinaire peut être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1 000, ..., alors la fraction résultante peut être facilement convertie en une fraction décimale finale selon les règles évoquées dans le paragraphe précédent. Mais aux dénominateurs 10, 100, 1 000, etc. Toutes les fractions ordinaires ne sont pas données. Seules les fractions dont les dénominateurs sont au moins un des nombres 10, 100,... peuvent être réduites à de tels dénominateurs. Et quels nombres peuvent être diviseurs de 10, 100,... ? Les nombres 10, 100, ... vont nous permettre de répondre à cette question, et ils sont les suivants : 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1 000 = 2 2 2 5 5 5, .... Il s'ensuit que les diviseurs sont 10, 100, 1 000, etc. Il ne peut y avoir que des nombres dont les décompositions en facteurs premiers contiennent uniquement les nombres 2 et (ou) 5.
Nous pouvons maintenant tirer une conclusion générale sur la conversion de fractions ordinaires en décimales :
- si dans la décomposition du dénominateur en facteurs premiers seuls les nombres 2 et (ou) 5 sont présents, alors cette fraction peut être convertie en une fraction décimale finale ;
- si, en plus des deux et des cinq, il existe d'autres nombres premiers dans le développement du dénominateur, alors cette fraction est convertie en une fraction périodique décimale infinie.
Exemple.
Sans convertir des fractions ordinaires en décimales, dites-moi laquelle des fractions 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 peut être convertie en une fraction décimale finale, et lesquelles ne peuvent être converties qu'en une fraction périodique.
Solution.
Le dénominateur de la fraction 47/20 est factorisé en facteurs premiers comme 20=2·2·5. Cette expansion ne contient que deux et cinq, cette fraction peut donc être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1 000, ... (dans cet exemple, au dénominateur 100), et peut donc être convertie en une fraction décimale finale.
La décomposition du dénominateur de la fraction 7/12 en facteurs premiers a la forme 12=2·2·3. Puisqu'elle contient un facteur premier de 3, différent de 2 et 5, cette fraction ne peut pas être représentée comme une décimale finie, mais peut être convertie en une décimale périodique.
Fraction 21/56 – contractile, après contraction il prend la forme 3/8. La factorisation du dénominateur en facteurs premiers contient trois facteurs égaux à 2, donc la fraction commune 3/8, et donc la fraction égale 21/56, peut être convertie en une fraction décimale finale.
Enfin, le développement du dénominateur de la fraction 31/17 est lui-même 17, donc cette fraction ne peut pas être convertie en une fraction décimale finie, mais peut être convertie en une fraction périodique infinie.
Répondre:
47/20 et 21/56 peuvent être convertis en fraction décimale finie, mais 7/12 et 31/17 ne peuvent être convertis qu'en fraction périodique.
Les fractions ordinaires ne sont pas converties en décimales infinies non périodiques
Les informations du paragraphe précédent soulèvent la question : « La division du numérateur d’une fraction par le dénominateur peut-elle donner une fraction infinie non périodique ?
Réponse : non. Lors de la conversion d’une fraction commune, le résultat peut être soit une fraction décimale finie, soit une fraction décimale périodique infinie. Expliquons pourquoi il en est ainsi.
D'après le théorème sur la divisibilité avec un reste, il est clair que le reste est toujours inférieur au diviseur, c'est-à-dire que si nous divisons un entier par un entier q, alors le reste ne peut être que l'un des nombres 0, 1, 2 , ..., q−1. Il s'ensuit qu'une fois que la colonne a fini de diviser la partie entière du numérateur d'une fraction ordinaire par le dénominateur q, en pas plus de q étapes, l'une des deux situations suivantes se présentera :
- soit nous obtiendrons un reste de 0, cela mettra fin à la division et nous obtiendrons la fraction décimale finale ;
- ou nous obtiendrons un reste qui est déjà apparu auparavant, après quoi les restes commenceront à se répéter comme dans l'exemple précédent (puisqu'en divisant des nombres égaux par q, on obtient des restes égaux, ce qui découle du théorème de divisibilité déjà mentionné), ce se traduira par une fraction décimale périodique infinie.
Il ne peut y avoir d'autres options, par conséquent, lors de la conversion d'une fraction ordinaire en fraction décimale, une fraction décimale non périodique infinie ne peut pas être obtenue.
Du raisonnement donné dans ce paragraphe, il résulte également que la durée de la période d'une fraction décimale est toujours inférieure à la valeur du dénominateur de la fraction ordinaire correspondante.
Conversion de décimales en fractions
Voyons maintenant comment convertir une fraction décimale en fraction ordinaire. Commençons par convertir les fractions décimales finales en fractions ordinaires. Après cela, nous considérerons une méthode pour inverser des fractions décimales périodiques infinies. En conclusion, disons de l'impossibilité de convertir des fractions décimales non périodiques infinies en fractions ordinaires.
Conversion de décimales finales en fractions
Obtenir une fraction écrite sous forme décimale finale est assez simple. La règle pour convertir une fraction décimale finale en une fraction commune se compose de trois étapes :
- tout d'abord, écrivez la fraction décimale donnée dans le numérateur, après avoir préalablement supprimé le point décimal et tous les zéros à gauche, le cas échéant ;
- deuxièmement, écrivez-en un dans le dénominateur et ajoutez-y autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale d'origine ;
- troisièmement, si nécessaire, réduisez la fraction résultante.
Regardons les solutions aux exemples.
Exemple.
Convertissez le nombre décimal 3,025 en fraction.
Solution.
Si nous supprimons le point décimal de la fraction décimale originale, nous obtenons le nombre 3 025. Il n’y a pas de zéros à gauche que nous rejetterions. Ainsi, on écrit 3 025 au numérateur de la fraction souhaitée.
Nous écrivons le nombre 1 au dénominateur et ajoutons 3 zéros à sa droite, car dans la fraction décimale originale, il y a 3 chiffres après la virgule décimale.
Nous avons donc obtenu la fraction commune 3 025/1 000. Cette fraction peut être réduite de 25, on obtient 
.
Répondre:
.
Exemple.
Convertissez la fraction décimale 0,0017 en fraction.
Solution.
Sans point décimal, la fraction décimale originale ressemble à 00017, en ignorant les zéros à gauche, nous obtenons le nombre 17, qui est le numérateur de la fraction ordinaire souhaitée.
Nous écrivons un avec quatre zéros au dénominateur, puisque la fraction décimale originale a 4 chiffres après la virgule décimale.
En conséquence, nous avons une fraction ordinaire de 17/10 000. Cette fraction est irréductible et la conversion d'une fraction décimale en fraction ordinaire est terminée.
Répondre:
.
Lorsque la partie entière de la fraction décimale finale originale est différente de zéro, elle peut être immédiatement convertie en un nombre fractionnaire, en contournant la fraction commune. Donnons règle pour convertir une fraction décimale finale en un nombre fractionnaire:
- le nombre avant la virgule décimale doit être écrit comme une partie entière du nombre fractionnaire souhaité ;
- au numérateur de la partie fractionnaire, vous devez écrire le nombre obtenu à partir de la partie fractionnaire de la fraction décimale originale après avoir supprimé tous les zéros à gauche ;
- au dénominateur de la partie fractionnaire, vous devez écrire le nombre 1, auquel ajouter autant de zéros à droite qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale d'origine ;
- si nécessaire, réduisez la partie fractionnaire du nombre fractionnaire obtenu.
Regardons un exemple de conversion d'une fraction décimale en nombre fractionnaire.
Exemple.
Exprimer la fraction décimale 152,06005 sous forme de nombre fractionnaire
Une fraction peut être convertie en nombre entier ou en nombre décimal. Une fraction impropre, dont le numérateur est supérieur au dénominateur et divisible par celui-ci sans reste, est convertie en un nombre entier, par exemple : 20/5. Divisez 20 par 5 et obtenez le nombre 4. Si la fraction est correcte, c'est-à-dire que le numérateur est inférieur au dénominateur, convertissez-la en nombre (fraction décimale). Vous pouvez obtenir plus d'informations sur les fractions dans notre section -.
Façons de convertir une fraction en nombre
- La première façon de convertir une fraction en nombre convient à une fraction qui peut être convertie en un nombre qui est une fraction décimale. Voyons d’abord s’il est possible de convertir la fraction donnée en fraction décimale. Pour ce faire, faisons attention au dénominateur (le nombre qui se trouve en dessous de la ligne ou à droite de la ligne inclinée). Si le dénominateur peut être factorisé (dans notre exemple - 2 et 5), qui peut être répété, alors cette fraction peut en fait être convertie en une fraction décimale finale. Par exemple : 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Cette fraction commune sera convertie en un nombre (décimal) avec un nombre fini de décimales. Mais la fraction 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) sera convertie en un nombre avec un nombre infini de décimales. Autrement dit, lors du calcul précis d'une valeur numérique, il est assez difficile de déterminer la décimale finale, car il existe un nombre infini de ces signes. Par conséquent, pour résoudre des problèmes, il faut généralement arrondir la valeur au centième ou au millième. Ensuite, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par un nombre tel que le dénominateur produise les nombres 10, 100, 1000, etc. Par exemple : 11/40 = (11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0,275
- La deuxième façon de convertir une fraction en nombre est plus simple : vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Pour appliquer cette méthode, nous effectuons simplement une division et le nombre obtenu sera la fraction décimale souhaitée. Par exemple, vous devez convertir la fraction 2/15 en nombre. Divisez 2 par 15. Nous obtenons 0,1333... - une fraction infinie. Nous l'écrivons ainsi : 0.13(3). Si la fraction est une fraction impropre, c'est-à-dire que le numérateur est supérieur au dénominateur (par exemple, 345/100), sa conversion en nombre entraînera une valeur numérique entière ou une fraction décimale avec une partie fractionnaire entière. Dans notre exemple, ce sera 3h45. Pour convertir une fraction mixte comme 3 2 / 7 en un nombre, vous devez d'abord la convertir en une fraction impropre : (3∙7+2)/7 = 23/7. Ensuite, divisez 23 par 7 et obtenez le nombre 3,2857143, que nous réduisons à 3,29.
Le moyen le plus simple de convertir une fraction en nombre consiste à utiliser une calculatrice ou un autre appareil informatique. Nous indiquons d’abord le numérateur de la fraction, puis appuyons sur le bouton avec l’icône « diviser » et entrons le dénominateur. Après avoir appuyé sur la touche "=", nous obtenons le numéro souhaité.
Matériel sur les fractions et étude séquentielle. Vous trouverez ci-dessous des informations détaillées avec des exemples et des explications.
1. Nombre mixte en une fraction commune.Écrivons le nombre sous forme générale :
Nous nous souvenons d'une règle simple : nous multiplions la partie entière par le dénominateur et ajoutons le numérateur, c'est-à-dire :
Exemples :
2. Au contraire, une fraction ordinaire en un nombre fractionnaire. *Bien sûr, cela ne peut être fait qu'avec une fraction impropre (lorsque le numérateur est supérieur au dénominateur).
Avec les « petits » nombres, en général, aucune action n'est nécessaire ; le résultat est « visible » immédiatement, par exemple les fractions :
*Plus de détails :
15h13 = 1 reste 2
4:3 = 1 reste 1
9:5 = 1 reste 4
Mais si les chiffres sont plus nombreux, vous ne pouvez pas vous passer de calculs. Tout est simple ici : divisez le numérateur par le dénominateur avec un coin jusqu'à ce que le reste soit inférieur au diviseur. Schéma de division :
Par exemple:
*Notre numérateur est le dividende, le dénominateur est le diviseur.
On obtient la partie entière (quotient incomplet) et le reste. On note un entier, puis une fraction (le numérateur contient le reste, mais le dénominateur reste le même) :
3. Convertissez le décimal en ordinaire.
En partie dans le premier paragraphe, où nous parlions des fractions décimales, nous en avons déjà parlé. Nous l'écrivons au fur et à mesure que nous l'entendons. Par exemple - 0,3 ; 0,45 ; 0,008 ; 4,38 ; 10.00015
Nous avons les trois premières fractions sans partie entière. Et les quatrième et cinquième l'ont, convertissons-les en ordinaires, nous savons déjà comment faire ça :
*On voit que les fractions peuvent aussi être réduites, par exemple 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 et autres, mais nous ne le ferons pas ici. Concernant la réduction, vous trouverez ci-dessous un paragraphe séparé, où nous analyserons tout en détail.
4. Convertissez l'ordinaire en décimal.
Ce n'est pas si simple. Avec certaines fractions, il est immédiatement évident et clair quoi en faire pour qu'elle devienne une décimale, par exemple :
Nous utilisons notre merveilleuse propriété de base d'une fraction - nous multiplions le numérateur et le dénominateur par 5, 25, 2, 5, 4, 2, respectivement, et nous obtenons :
S’il y a une partie entière, alors ce n’est pas compliqué non plus :
On multiplie la partie fractionnaire par 2, 25, 2 et 5, respectivement, et on obtient :
Et il y a ceux pour lesquels sans expérience il est impossible de déterminer s'ils peuvent être convertis en nombres décimaux, par exemple :
Par quels nombres devons-nous multiplier le numérateur et le dénominateur ?
Ici encore une méthode éprouvée vient à la rescousse - la division par un coin, une méthode universelle, vous pouvez toujours l'utiliser pour convertir une fraction commune en décimal :
De cette façon, vous pouvez toujours déterminer si une fraction est convertie en nombre décimal. Le fait est que toutes les fractions ordinaires ne peuvent pas être converties en nombre décimal, par exemple 1/9, 3/7, 7/26 ne sont pas converties. Quelle est alors la fraction obtenue en divisant 1 par 9, 3 par 7, 5 par 11 ? Ma réponse est décimale infinie (nous en avons parlé au paragraphe 1). Divisons :
C'est tout ! Bonne chance à vous !
Cordialement, Alexandre Krutitskikh.
Si nous devons diviser 497 par 4, alors lors de la division, nous verrons que 497 n'est pas divisible également par 4, c'est-à-dire le reste de la division demeure. Dans de tels cas, on dit que c'est terminé division avec reste, et la solution s'écrit comme suit :
497 : 4 = 124 (1 reste).
Les composantes de division du côté gauche de l'égalité sont appelées de la même manière que dans la division sans reste : 497 - dividende, 4 - diviseur. Le résultat de la division divisée par un reste est appelé privé incomplet. Dans notre cas, il s’agit du nombre 124. Et enfin, la dernière composante, qui n’est pas en division ordinaire, est reste. Dans les cas où il n’y a pas de reste, on dit qu’un nombre est divisé par un autre. sans laisser de trace, ou complètement. On pense qu'avec une telle division, le reste est nul. Dans notre cas, le reste est 1.
Le reste est toujours inférieur au diviseur.
La division peut être vérifiée par multiplication. Si, par exemple, il existe une égalité 64 : 32 = 2, alors la vérification peut se faire comme ceci : 64 = 32 * 2.
Souvent, dans les cas où une division avec un reste est effectuée, il est pratique d'utiliser l'égalité
une = b * n + r,
où a est le dividende, b est le diviseur, n est le quotient partiel, r est le reste.
Le quotient des nombres naturels peut s’écrire sous forme de fraction.
Le numérateur d'une fraction est le dividende et le dénominateur est le diviseur.
Puisque le numérateur d’une fraction est le dividende et le dénominateur est le diviseur, croire que la ligne d'une fraction signifie l'action de division. Parfois, il est pratique d’écrire la division sous forme de fraction sans utiliser le signe « : ».
Le quotient de la division des nombres naturels m et n peut s'écrire sous la forme d'une fraction \(\frac(m)(n) \), où le numérateur m est le dividende et le dénominateur n est le diviseur :
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Les règles suivantes sont vraies :
Pour obtenir la fraction \(\frac(m)(n)\), vous devez diviser l'unité en n parties égales (actions) et prendre m de ces parties.
Pour obtenir la fraction \(\frac(m)(n)\), vous devez diviser le nombre m par le nombre n.
Pour trouver une partie d'un tout, il faut diviser le nombre correspondant au tout par le dénominateur et multiplier le résultat par le numérateur de la fraction qui exprime cette partie.
Pour trouver un tout à partir de sa partie, il faut diviser le nombre correspondant à cette partie par le numérateur et multiplier le résultat par le dénominateur de la fraction qui exprime cette partie.
Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés par le même nombre (sauf zéro), la valeur de la fraction ne changera pas :
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont divisés par le même nombre (sauf zéro), la valeur de la fraction ne changera pas :
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Cette propriété est appelée propriété principale d'une fraction.
Les deux dernières transformations sont appelées réduire une fraction.
Si les fractions doivent être représentées comme des fractions avec le même dénominateur, alors cette action est appelée réduire des fractions à un dénominateur commun.
Fractions propres et impropres. Numéros mixtes
Vous savez déjà qu'une fraction peut être obtenue en divisant un tout en parties égales et en prenant plusieurs de ces parties. Par exemple, la fraction \(\frac(3)(4)\) signifie trois quarts de un. Dans de nombreux problèmes du paragraphe précédent, les fractions étaient utilisées pour représenter des parties d’un tout. Le bon sens veut que la partie soit toujours inférieure au tout, mais qu'en est-il des fractions telles que \(\frac(5)(5)\) ou \(\frac(8)(5)\ ? Il est clair que cela ne fait plus partie de l'unité. C'est probablement pourquoi les fractions dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur sont appelées fractions impropres. Les fractions restantes, c'est-à-dire les fractions dont le numérateur est inférieur au dénominateur, sont appelées fractions correctes.
Comme vous le savez, toute fraction commune, propre ou impropre, peut être considérée comme le résultat de la division du numérateur par le dénominateur. Ainsi, en mathématiques, contrairement au langage ordinaire, le terme « fraction impropre » ne signifie pas que nous avons fait quelque chose de mal, mais seulement que le numérateur de cette fraction est supérieur ou égal au dénominateur.
Si un nombre est constitué d'une partie entière et d'une fraction, alors tel les fractions sont appelées mixtes.
Par exemple:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 est la partie entière et \(\frac(2)(3) \) est la partie fractionnaire.
Si le numérateur de la fraction \(\frac(a)(b) \) est divisible par un entier naturel n, alors pour diviser cette fraction par n, il faut diviser son numérateur par ce nombre :
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Si le numérateur de la fraction \(\frac(a)(b) \) n'est pas divisible par un entier naturel n, alors pour diviser cette fraction par n, il faut multiplier son dénominateur par ce nombre :
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Notez que la deuxième règle est également vraie lorsque le numérateur est divisible par n. On peut donc l’utiliser lorsqu’il est difficile de déterminer au premier coup d’œil si le numérateur d’une fraction est divisible par n ou non.
Actions avec des fractions. Additionner des fractions.
Vous pouvez effectuer des opérations arithmétiques avec des nombres fractionnaires, tout comme avec des nombres naturels. Voyons d'abord ajouter des fractions. Il est facile d'additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Trouvons, par exemple, la somme de \(\frac(2)(7)\) et \(\frac(3)(7)\). Il est facile de comprendre que \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur identique.
À l'aide de lettres, la règle d'addition de fractions ayant des dénominateurs similaires peut s'écrire comme suit :
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Si vous devez additionner des fractions avec des dénominateurs différents, elles doivent d'abord être réduites à un dénominateur commun. Par exemple:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Pour les fractions, comme pour les nombres naturels, les propriétés commutatives et associatives de l'addition sont valables.
Ajouter des fractions mixtes
Les notations telles que \(2\frac(2)(3)\) sont appelées fractions mélangées. Dans ce cas, le chiffre 2 est appelé partie entière fraction mixte, et le nombre \(\frac(2)(3)\) est son partie fractionnaire. L’entrée \(2\frac(2)(3)\) se lit comme suit : « deux et deux tiers ».
En divisant le nombre 8 par le nombre 3, vous pouvez obtenir deux réponses : \(\frac(8)(3)\) et \(2\frac(2)(3)\). Ils expriment le même nombre fractionnaire, c'est-à-dire \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Ainsi, la fraction impropre \(\frac(8)(3)\) est représentée comme une fraction mixte \(2\frac(2)(3)\). Dans de tels cas, on dit qu'à partir d'une fraction impropre a mis en évidence toute la partie.
Soustraire des fractions (nombres fractionnaires)
La soustraction des nombres fractionnaires, comme les nombres naturels, est déterminée sur la base de l'action d'addition : en soustraire un autre à un nombre signifie trouver un nombre qui, ajouté au second, donne le premier. Par exemple:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) puisque \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
La règle pour soustraire des fractions avec des dénominateurs similaires est similaire à la règle pour additionner de telles fractions :
Pour trouver la différence entre des fractions ayant les mêmes dénominateurs, vous devez soustraire le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur identique.
En utilisant des lettres, cette règle s'écrit ainsi :
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Multiplier des fractions
Pour multiplier une fraction par une fraction, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs et écrire le premier produit comme numérateur et le second comme dénominateur.
À l'aide de lettres, la règle de multiplication des fractions peut s'écrire comme suit :
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
À l'aide de la règle formulée, vous pouvez multiplier une fraction par un nombre naturel, par une fraction mixte, ainsi que multiplier des fractions mixtes. Pour ce faire, vous devez écrire un nombre naturel sous forme de fraction avec un dénominateur 1, une fraction mixte - sous forme de fraction impropre.
Le résultat de la multiplication doit être simplifié (si possible) en réduisant la fraction et en isolant toute la partie de la fraction impropre.
Pour les fractions, comme pour les nombres naturels, les propriétés commutatives et combinatoires de la multiplication, ainsi que la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition, sont valables.
Division de fractions
Prenons la fraction \(\frac(2)(3)\) et « retournons-la », en échangeant le numérateur et le dénominateur. On obtient la fraction \(\frac(3)(2)\). Cette fraction est appelée inverse fractions \(\frac(2)(3)\).
Si nous « inversons » maintenant la fraction \(\frac(3)(2)\), nous obtiendrons la fraction originale \(\frac(2)(3)\. Par conséquent, des fractions telles que \(\frac(2)(3)\) et \(\frac(3)(2)\) sont appelées mutuellement inverse.
Par exemple, les fractions \(\frac(6)(5) \) et \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) et \(\frac (18 )(7)\).
À l'aide de lettres, les fractions réciproques peuvent s'écrire comme suit : \(\frac(a)(b) \) et \(\frac(b)(a) \)
Il est clair que le produit des fractions réciproques est égal à 1. Par exemple : \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
En utilisant des fractions réciproques, vous pouvez réduire la division de fractions à la multiplication.
La règle pour diviser une fraction par une fraction est :
Pour diviser une fraction par une autre, vous devez multiplier le dividende par l’inverse du diviseur.
À l'aide de lettres, la règle de division des fractions peut s'écrire comme suit :
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Si le dividende ou le diviseur est un nombre naturel ou une fraction mixte, alors pour utiliser la règle de division des fractions, il doit d'abord être représenté comme une fraction impropre.
