Comment résoudre des équations linéaires avec des fractions. Comment résoudre des équations avec des fractions

Le plus petit dénominateur commun est utilisé pour simplifier cette équation. Cette méthode est utilisée lorsque vous ne pouvez pas écrire une équation donnée avec une expression rationnelle de chaque côté de l’équation (et utiliser la méthode de multiplication entrecroisée). Cette méthode est utilisée lorsqu'on vous donne une équation rationnelle avec 3 fractions ou plus (dans le cas de deux fractions, il est préférable d'utiliser la multiplication entrecroisée).

Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions (ou le plus petit commun multiple). NOZ est le plus petit nombre divisible également par chaque dénominateur.

Parfois, le NPD est un nombre évident. Par exemple, si l’on donne l’équation : x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, alors il est évident que le plus petit commun multiple des nombres 3, 2 et 6 est 6.
Si le MNT n’est pas évident, notez les multiples du plus grand dénominateur et trouvez parmi eux celui qui sera un multiple des autres dénominateurs. Souvent, le NOD peut être trouvé en multipliant simplement deux dénominateurs. Par exemple, si l'équation est donnée x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, alors NOS = 8*9 = 72.
Si un ou plusieurs dénominateurs contiennent une variable, le processus devient un peu plus compliqué (mais pas impossible). Dans ce cas, le NOC est une expression (contenant une variable) divisée par chaque dénominateur. Par exemple, dans l'équation 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), car cette expression est divisée par chaque dénominateur : 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un nombre égal au résultat de la division de la CNP par le dénominateur correspondant de chaque fraction.

Puisque vous multipliez le numérateur et le dénominateur par le même nombre, vous multipliez effectivement la fraction par 1 (par exemple, 2/2 = 1 ou 3/3 = 1).
Donc dans notre exemple, multipliez x/3 par 2/2 pour obtenir 2x/6, et 1/2 multipliez par 3/3 pour obtenir 3/6 (la fraction 3x +1/6 n'a pas besoin d'être multipliée car c'est la le dénominateur est 6).

Procédez de la même manière lorsque la variable est au dénominateur. Dans notre deuxième exemple, NOZ = 3x(x-1), multipliez donc 5/(x-1) par (3x)/(3x) pour obtenir 5(3x)/(3x)(x-1) ; 1/x multiplié par 3(x-1)/3(x-1) et vous obtenez 3(x-1)/3x(x-1) ; 2/(3x) multiplié par (x-1)/(x-1) et vous obtenez 2(x-1)/3x(x-1). Maintenant que vous avez réduit les fractions à un dénominateur commun, vous pouvez vous débarrasser du dénominateur. Pour ce faire, multipliez chaque côté de l’équation par le dénominateur commun. Résolvez ensuite l’équation résultante, c’est-à-dire trouvez « x ». Pour ce faire, isolez la variable d’un côté de l’équation.

Dans notre exemple : 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Vous pouvez additionner 2 fractions avec le même dénominateur, alors écrivez l'équation comme suit : (2x+3)/6=(3x+1)/6. Multipliez les deux côtés de l'équation par 6 et supprimez les dénominateurs : 2x+3 = 3x +1. Résolvez et obtenez x = 2.
Dans notre deuxième exemple (avec une variable au dénominateur), l'équation ressemble (après réduction à un dénominateur commun) : 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). En multipliant les deux côtés de l'équation par N3, vous vous débarrassez du dénominateur et obtenez : 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ou 15x = 3x - 3 + 2x -2, ou 15x = x - 5 Résolvez et obtenez : x = -5/14.

Résoudre des équations avec des fractions Regardons des exemples. Les exemples sont simples et illustratifs. Avec leur aide, vous pourrez comprendre de la manière la plus compréhensible.
Par exemple, vous devez résoudre l’équation simple x/b + c = d.

Une équation de ce type est dite linéaire, car Le dénominateur ne contient que des nombres.

La solution est effectuée en multipliant les deux côtés de l’équation par b, l’équation prend alors la forme x = b*(d – c), c’est-à-dire le dénominateur de la fraction du côté gauche s’annule.

Par exemple, comment résoudre une équation fractionnaire :
x/5+4=9
On multiplie les deux côtés par 5. On obtient :
x+20=45
x=45-20=25

Autre exemple où l'inconnue est au dénominateur :

Les équations de ce type sont appelées fractionnaires-rationnelles ou simplement fractionnaires.

Nous résoudrions une équation fractionnaire en nous débarrassant des fractions, après quoi cette équation se transforme le plus souvent en une équation linéaire ou quadratique, qui est résolue de la manière habituelle. Il vous suffit de considérer les points suivants :

la valeur d'une variable qui fait passer le dénominateur à 0 ne peut pas être une racine ;
Vous ne pouvez pas diviser ou multiplier une équation par l’expression =0.

C'est ici qu'entre en vigueur le concept de région des valeurs admissibles (ADV) - ce sont les valeurs des racines de l'équation pour lesquelles l'équation a un sens.

Ainsi, lors de la résolution de l'équation, il est nécessaire de trouver les racines, puis de vérifier leur conformité à l'ODZ. Les racines qui ne correspondent pas à notre ODZ sont exclues de la réponse.

Par exemple, vous devez résoudre une équation fractionnaire :

D'après la règle ci-dessus, x ne peut pas être = 0, c'est-à-dire ODZ dans ce cas : x – toute valeur autre que zéro.

On se débarrasse du dénominateur en multipliant tous les termes de l'équation par x

Et nous résolvons l'équation habituelle

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Réponse : x = 1/3

Résolvons une équation plus compliquée :

ODZ est également présent ici : x -2.

Lors de la résolution de cette équation, nous ne déplacerons pas tout d'un côté et ne ramènerons pas les fractions à un dénominateur commun. Nous multiplierons immédiatement les deux côtés de l’équation par une expression qui annulera tous les dénominateurs d’un coup.

Pour réduire les dénominateurs, vous devez multiplier le côté gauche par x+2 et le côté droit par 2. Cela signifie que les deux côtés de l'équation doivent être multipliés par 2(x+2) :

Il s'agit de la multiplication de fractions la plus courante, dont nous avons déjà parlé ci-dessus.

Écrivons la même équation, mais légèrement différemment

Le côté gauche est réduit de (x+2), et le côté droit de 2. Après réduction, on obtient l'équation linéaire habituelle :

x = 4 – 2 = 2, ce qui correspond à notre ODZ

Réponse : x = 2.

Résoudre des équations avec des fractions pas aussi difficile que cela puisse paraître. Dans cet article, nous l'avons montré avec des exemples. Si vous rencontrez des difficultés avec comment résoudre des équations avec des fractions, puis désabonnez-vous dans les commentaires.

Équations fractionnaires. ODZ.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très « pas très… »
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Nous continuons à maîtriser les équations. Nous savons déjà travailler avec des équations linéaires et quadratiques. La dernière vue restante - équations fractionnaires. Ou ils sont aussi appelés beaucoup plus respectablement - équations rationnelles fractionnaires. C'est la même chose.

Équations fractionnaires.

Comme leur nom l’indique, ces équations contiennent nécessairement des fractions. Mais pas seulement des fractions, mais des fractions qui ont inconnu au dénominateur. Au moins dans un. Par exemple:

Permettez-moi de vous rappeler que si les dénominateurs sont seulement Nombres, ce sont des équations linéaires.

Comment décider équations fractionnaires? Tout d’abord, débarrassez-vous des fractions ! Après cela, l'équation se transforme le plus souvent en linéaire ou quadratique. Et puis on sait quoi faire... Dans certains cas, cela peut se transformer en une identité, comme 5=5 ou une expression incorrecte, comme 7=2. Mais cela arrive rarement. Je le mentionnerai ci-dessous.

Mais comment se débarrasser des fractions !? Très simple. Appliquer les mêmes transformations identiques.

Nous devons multiplier l’équation entière par la même expression. Pour que tous les dénominateurs soient réduits ! Tout deviendra immédiatement plus facile. Laissez-moi vous expliquer avec un exemple. Il faut résoudre l'équation :

Comment avez-vous été enseigné à l’école primaire ? On met tout de côté, on le ramène à un dénominateur commun, etc. Oubliez ça comme un mauvais rêve ! C'est ce que vous devez faire lorsque vous ajoutez ou soustrayez des fractions. Ou alors vous travaillez avec les inégalités. Et dans les équations, nous multiplions immédiatement les deux côtés par une expression qui nous donnera la possibilité de réduire tous les dénominateurs (c'est-à-dire, en fait, par un dénominateur commun). Et quelle est cette expression ?

Du côté gauche, réduire le dénominateur nécessite de multiplier par x+2. Et à droite, il faut multiplier par 2. Cela signifie que l'équation doit être multipliée par. 2(x+2). Multiplier:

Il s'agit d'une multiplication courante de fractions, mais je vais la décrire en détail :

Veuillez noter que je n'ouvre pas encore le support (x + 2)! Alors, dans son intégralité, je l'écris :

Sur le côté gauche il se contracte entièrement (x+2), et à droite 2. C'est ce qu'il fallait ! Après réduction on obtient linéaireéquation:

Et tout le monde peut résoudre cette équation ! x = 2.

Résolvons un autre exemple, un peu plus compliqué :

Si l'on se souvient que 3 = 3/1, et 2x = 2x/ 1, on peut écrire :

Et encore une fois, nous nous débarrassons de ce que nous n'aimons pas vraiment : les fractions.

On voit que pour réduire le dénominateur par X, il faut multiplier la fraction par (x-2). Et quelques-uns ne nous gênent pas. Eh bien, multiplions. Tous côté gauche et tous côté droit :

Encore des parenthèses (x-2) Je ne le révèle pas. Je travaille avec le support dans son ensemble comme s'il s'agissait d'un seul numéro ! Cela doit toujours être fait, sinon rien ne sera réduit.

Avec un sentiment de profonde satisfaction, nous réduisons (x-2) et on obtient une équation sans aucune fraction, avec une règle !

Ouvrons maintenant les parenthèses :

Nous en apportons des similaires, déplaçons tout vers la gauche et obtenons :

Mais avant cela, nous apprendrons à résoudre d’autres problèmes. Sur les intérêts. Au fait, c'est un râteau !

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Les équations avec des fractions elles-mêmes ne sont pas difficiles et sont très intéressantes. Examinons les types d'équations fractionnaires et comment les résoudre.

Comment résoudre des équations avec des fractions - x au numérateur

Si une équation fractionnaire est donnée, où l'inconnue est au numérateur, la solution ne nécessite pas de conditions supplémentaires et est résolue sans tracas inutiles. La forme générale d’une telle équation est x/a + b = c, où x est l’inconnue, a, b et c sont des nombres ordinaires.

Trouvez x : x/5 + 10 = 70.

Pour résoudre l’équation, vous devez vous débarrasser des fractions. Multipliez chaque terme de l'équation par 5 : 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x et 5 s'annulent, 10 et 70 sont multipliés par 5 et on obtient : x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Trouvez x : x/5 + x/10 = 90.

Cet exemple est une version légèrement plus compliquée du premier. Il y a ici deux solutions possibles.

Option 1 : On se débarrasse des fractions en multipliant tous les termes de l'équation par un plus grand dénominateur, soit par 10 : 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = >x=300.
Option 2 : ajoutez le côté gauche de l’équation. x/5 + x/10 = 90. Le dénominateur commun est 10. Divisez 10 par 5, multipliez par x, nous obtenons 2x. Divisez 10 par 10, multipliez par x, nous obtenons x : 2x+x/10 = 90. Donc 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Nous rencontrons souvent des équations fractionnaires dans lesquelles les x sont des côtés opposés du signe égal. Dans de telles situations, il est nécessaire de déplacer toutes les fractions avec des X d'un côté et les nombres de l'autre.

Trouvez x : 3x/5 = 130 – 2x/5.
Déplacez-vous de 2x/5 vers la droite avec le signe opposé : 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
On réduit 5x/5 et on obtient : x = 130.

Comment résoudre une équation avec des fractions - x au dénominateur

Ce type d'équations fractionnaires nécessite l'écriture de conditions supplémentaires. La précision de ces conditions fait partie intégrante d’une décision correcte. En ne les ajoutant pas, vous courez le risque, puisque la réponse (même si elle est correcte) peut tout simplement ne pas être prise en compte.

La forme générale des équations fractionnaires, où x est au dénominateur, est : a/x + b = c, où x est l'inconnue, a, b, c sont des nombres ordinaires. Veuillez noter que x ne peut pas être n'importe quel nombre. Par exemple, x ne peut pas être égal à zéro puisqu’il ne peut pas être divisé par 0. C'est précisément la condition supplémentaire qu'il faut préciser. C'est ce qu'on appelle la plage de valeurs admissibles, en abrégé VA.

Trouvez x : 15/x + 18 = 21.

On écrit immédiatement l'ODZ pour x : x ≠ 0. Maintenant que l'ODZ est indiqué, nous résolvons l'équation selon le schéma standard, en nous débarrassant des fractions. Nous multiplions tous les termes de l'équation par x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Il existe souvent des équations dans lesquelles le dénominateur contient non seulement x, mais également une autre opération associée, par exemple une addition ou une soustraction.

Trouver x : 15/(x-3) + 18 = 21.

Nous savons déjà que le dénominateur ne peut pas être égal à zéro, ce qui signifie x-3 ≠ 0. On déplace -3 vers la droite en changeant le signe « - » en « + » et on obtient que x ≠ 3. L'ODZ est indiqué.

On résout l'équation, on multiplie le tout par x-3 : 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Déplacez les X vers la droite, les nombres vers la gauche : 24 = 3x => x = 8.

Une équation est une égalité contenant une lettre dont il faut trouver la valeur.

Dans les équations, l’inconnue est généralement représentée par une lettre minuscule. Les lettres les plus couramment utilisées sont « x » [ix] et « y » [y].

Racine de l'équation- c'est la valeur de la lettre à laquelle l'égalité numérique correcte est obtenue à partir de l'équation.

Résoudre l'équation- signifie retrouver toutes ses racines ou s'assurer qu'il n'y a pas de racines.

Après avoir résolu l'équation, nous écrivons toujours un chèque après la réponse.

Informations pour les parents

Chers parents, nous attirons votre attention sur le fait qu'à l'école primaire et en 5e, les enfants ne connaissent PAS le thème « Les nombres négatifs ».

Ils doivent donc résoudre des équations en utilisant uniquement les propriétés d’addition, de soustraction, de multiplication et de division. Les méthodes de résolution d'équations pour la 5e année sont données ci-dessous.

N'essayez pas d'expliquer la solution d'équations en transférant des chiffres et des lettres d'une partie de l'équation à une autre avec un changement de signe.

Vous pouvez rafraîchir les concepts liés à l'addition, la soustraction, la multiplication et la division dans la leçon « Lois de l'arithmétique ».

Résolution d'équations d'addition et de soustraction

Comment trouver l'inconnu
terme

Comment trouver l'inconnu
fin de minute

Comment trouver l'inconnu
soustraire

Pour trouver le terme inconnu, vous devez soustraire le terme connu de la somme.

Pour trouver le menu inconnu, vous devez ajouter le sous-titre à la différence.

Pour trouver la soustraction inconnue, vous devez soustraire la différence de la fin du menu.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Examen

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Examen

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − X = 3
x = 5 − 3
x = 2
Examen

Résolution d'équations de multiplication et de division

Comment trouver un inconnu
facteur

Comment trouver l'inconnu
dividende

Comment trouver un inconnu
diviseur

Pour trouver un facteur inconnu, vous devez diviser le produit par le facteur connu.

Pour trouver le dividende inconnu, vous devez multiplier le quotient par le diviseur.

Pour trouver un diviseur inconnu, vous devez diviser le dividende par le quotient.

oui 4 = 12
y=12:4
y=3
Examen

oui : 7 = 2
y = 2 7
y=14
Examen

8:y=4
y=8:4
y=2
Examen

Une équation est une égalité contenant une lettre dont il faut trouver le signe. La solution d'une équation est l'ensemble des valeurs des lettres qui transforment l'équation en une véritable égalité :

Rappelez-vous que pour résoudre équation il faut transférer les termes à l'inconnue dans une partie de l'égalité, et les termes numériques dans l'autre, en amener des similaires et obtenir l'égalité suivante :

A partir de la dernière égalité on détermine l'inconnue selon la règle : « l'un des facteurs est égal au quotient divisé par le deuxième facteur ».

Puisque les nombres rationnels a et b peuvent avoir des signes identiques ou différents, le signe de l'inconnu est déterminé par les règles de division des nombres rationnels.

Procédure de résolution d'équations linéaires

L'équation linéaire doit être simplifiée en ouvrant les parenthèses et en effectuant les opérations de la deuxième étape (multiplication et division).

Déplacez les inconnues d'un côté du signe égal, et les nombres de l'autre côté du signe égal, obtenant une égalité identique à celle donnée,

Amenez les similaires à gauche et à droite du signe égal, obtenant ainsi une égalité de forme hache = b.

Calculer la racine de l'équation (trouver l'inconnue X de l'égalité x = b : un),

Vérifiez en remplaçant l'inconnue dans l'équation donnée.

Si nous obtenons une identité dans une égalité numérique, alors l’équation est résolue correctement.

Cas particuliers de résolution d'équations

Si équationétant donné un produit égal à 0, alors pour le résoudre on utilise la propriété de multiplication : « le produit est égal à zéro si l'un des facteurs ou les deux facteurs sont égaux à zéro ».

27 (x - 3) = 0
27 n'est pas égal à 0, ce qui signifie x - 3 = 0

Le deuxième exemple a deux solutions à l'équation, puisque
c'est une équation du deuxième degré :

Si les coefficients de l'équation sont des fractions ordinaires, vous devez tout d'abord vous débarrasser des dénominateurs. Pour ce faire :

Trouver le dénominateur commun ;

Déterminer des facteurs supplémentaires pour chaque terme de l'équation ;

Multipliez les numérateurs des fractions et des nombres entiers par des facteurs supplémentaires et écrivez tous les termes de l'équation sans dénominateurs (le dénominateur commun peut être écarté) ;

Déplacez les termes à inconnues d'un côté de l'équation, et les termes numériques de l'autre du signe égal, pour obtenir une égalité équivalente ;

Amenez des membres similaires ;

Propriétés de base des équations

Dans n’importe quelle partie de l’équation, vous pouvez ajouter des termes similaires ou ouvrir une parenthèse.

N'importe quel terme de l'équation peut être transféré d'une partie de l'équation à une autre en changeant son signe en son contraire.

Les deux côtés de l’équation peuvent être multipliés (divisés) par le même nombre, sauf 0.

Dans l’exemple ci-dessus, toutes ses propriétés ont été utilisées pour résoudre l’équation.

Comment résoudre une équation avec une inconnue dans une fraction

Parfois, les équations linéaires prennent la forme lorsque inconnu apparaît au numérateur d’une ou plusieurs fractions. Comme dans l'équation ci-dessous.

Dans de tels cas, ces équations peuvent être résolues de deux manières.

I méthode de solution
Réduire une équation à une proportion

Lorsque vous résolvez des équations à l'aide de la méthode des proportions, vous devez effectuer les étapes suivantes :

amener toutes les fractions à un dénominateur commun et les additionner sous forme de fractions algébriques (une seule fraction doit rester des côtés gauche et droit) ;

Résolvez l’équation résultante en utilisant la règle des proportions.

Revenons donc à notre équation. Sur le côté gauche, nous n’avons déjà qu’une seule fraction, donc aucune transformation n’y est nécessaire.

Nous travaillerons avec le côté droit de l’équation. Simplifions le côté droit de l'équation pour qu'il ne reste qu'une seule fraction. Pour ce faire, rappelez-vous les règles d'addition d'un nombre avec une fraction algébrique.

Maintenant, nous utilisons la règle des proportions et résolvons l’équation jusqu’au bout.

II méthode de solution
Réduction à une équation linéaire sans fractions

Regardons à nouveau l'équation ci-dessus et résolvons-la d'une manière différente.

On voit qu'il y a deux fractions dans l'équation "

Comment résoudre des équations avec des fractions. Solution exponentielle d'équations avec des fractions.

Une équation de ce type est dite linéaire, car Le dénominateur ne contient que des nombres.

Par exemple, comment résoudre une équation fractionnaire :
x/5+4=9
On multiplie les deux côtés par 5. On obtient :
x+20=45

Autre exemple où l'inconnue est au dénominateur :

Les équations de ce type sont appelées fractionnaires-rationnelles ou simplement fractionnaires.

la valeur d'une variable qui fait passer le dénominateur à 0 ne peut pas être une racine ;
Vous ne pouvez pas diviser ou multiplier une équation par l’expression =0.

C'est ici qu'entre en vigueur le concept de région des valeurs admissibles (ADV) - ce sont les valeurs des racines de l'équation pour lesquelles l'équation a un sens.

Par exemple, vous devez résoudre une équation fractionnaire :

D'après la règle ci-dessus, x ne peut pas être = 0, c'est-à-dire ODZ dans ce cas : x – toute valeur autre que zéro.

On se débarrasse du dénominateur en multipliant tous les termes de l'équation par x

Et nous résolvons l'équation habituelle

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Résolvons une équation plus compliquée :

ODZ est également présent ici : x -2.

Pour réduire les dénominateurs, vous devez multiplier le côté gauche par x+2 et le côté droit par 2. Cela signifie que les deux côtés de l'équation doivent être multipliés par 2(x+2) :

Il s'agit de la multiplication de fractions la plus courante, dont nous avons déjà parlé ci-dessus.

Écrivons la même équation, mais légèrement différemment

Le côté gauche est réduit de (x+2), et le côté droit de 2. Après réduction, on obtient l'équation linéaire habituelle :

x = 4 – 2 = 2, ce qui correspond à notre ODZ

Résoudre des équations avec des fractions, 5e année

Résoudre des équations avec des fractions. Résoudre des problèmes de fractions.

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— Addition de fractions avec les mêmes dénominateurs.

— Soustraction de fractions de mêmes dénominateurs.

Additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs.

Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur identique.

Soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs.

Pour soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez soustraire le numérateur du petit bout du numérateur du petit bout, mais laisser le dénominateur le même.