Comment résoudre les paramètres d'examen. Problèmes avec un paramètre de l'examen d'État unifié des années précédentes

Équation de la forme f(x; un) = 0 est appelé équation avec variable X et paramètre UN.

Résoudre l'équation avec le paramètre UN– cela signifie pour chaque valeur UN trouver des valeurs X, satisfaisant cette équation.

Exemple 1. Oh= 0

Exemple 2. Oh = UN

Exemple 3.

x + 2 = ah
x – ah = -2
x(1 – une) = -2

Si 1 – UN= 0, c'est à dire UN= 1, alors X 0 = -2 pas de racines

Si 1 – UN 0, c'est-à-dire UN 1, alors X =

Exemple 4.

(UN 2 – 1) X = 2UN 2 + UN – 3
(UN – 1)(UN + 1)X = 2(UN – 1)(UN – 1,5)
(UN – 1)(UN + 1)X = (1UN – 3)(UN – 1)

Si UN= 1, puis 0 X = 0
X– n'importe quel nombre réel

Si UN= -1, puis 0 X = -2
pas de racines

Si UN 1, UN-1, alors X= (la seule solution).

Cela signifie que pour chaque valeur valide UN correspond à une seule valeur X.

Par exemple:

Si UN= 5, alors X = = ;

Si UN= 0, alors X= 3, etc.

1. Oh = X + 3

2. 4 + Oh = 3X – 1

3. UN = +

à UN= 1 pas de racines.

à UN= 3 pas de racines.

à UN = 1 X– n'importe quel nombre réel sauf X = 1

à UN = -1, UN= 0 aucune solution.

à UN = 0, UN= 2 aucune solution.

à UN = -3, UN = 0, 5, UN= -2 pas de solution

à UN = -Avec, Avec= 0 aucune solution.

Équations quadratiques avec paramètre

Exemple 1. Résoudre l'équation

(UN – 1)X 2 = 2(2UN + 1)X + 4UN + 3 = 0

À UN = 1 6X + 7 = 0

Au cas où UN 1, nous mettons en évidence les valeurs des paramètres auxquelles D va à zéro.

ré = (2(2 UN + 1)) 2 – 4(UN – 1)(4UN + 30 = 16UN 2 + 16UN + 4 – 4(4UN 2 + 3UN – 4UN – 3) = 16UN 2 + 16UN + 4 – 16UN 2 + 4UN + 12 = 20UN + 16

20UN + 16 = 0

20UN = -16

Si UN < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.

Si UN> -4/5 et UN 1, alors D > 0,

X =

Si UN= 4/5, alors D = 0,

Exemple 2. A quelles valeurs du paramètre a l'équation est-elle

x2 + 2( UN + 1)X + 9UN– 5 = 0 a 2 racines négatives différentes ?

D = 4( UN + 1) 2 – 4(9UN – 5) = 4UN 2 – 28UN + 24 = 4(UN – 1)(UN – 6)

4(UN – 1)(UN – 6) > 0

via t.Vieta : X 1 + X 2 = -2(UN + 1)
X 1 X 2 = 9UN – 5

Par condition X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(UN + 1) < 0 и 9UN – 5 > 0

À la fin

4(UN – 1)(UN – 6) > 0 - 2(UN + 1) < 0 9UN – 5 > 0

UN < 1: а > 6 UN > - 1 UN > 5/9

(Riz. 1) < un < 1, либо un > 6

Exemple 3. Trouver les valeurs UN, pour lequel cette équation a une solution.

x2 – 2( UN – 1)X + 2UN + 1 = 0

D = 4( UN – 1) 2 – 4(2UN + 10 = 4UN 2 – 8UN + 4 – 8UN – 4 = 4UN 2 – 16UN

4UN 2 – 16 0

4UN(UN – 4) 0

UN( UN – 4)) 0

UN( UN – 4) = 0

une = 0 ou UN – 4 = 0
UN = 4

(Riz. 2)

Répondre: UN 0 et UN 4

Matériel didactique

1. A quelle valeur UNéquation Oh 2 – (UN + 1) X + 2UN– 1 = 0 a une racine ?

2. A quelle valeur UNéquation ( UN + 2) X 2 + 2(UN + 2)X+ 2 = 0 a une racine ?

3. Pour quelles valeurs de a est l'équation ( UN 2 – 6UN + 8) X 2 + (UN 2 – 4) X + (10 – 3UN – UN 2) = 0 a plus de deux racines ?

4. Pour quelles valeurs de a, équation 2 X 2 + X – UN= 0 a au moins une racine commune avec l'équation 2 X 2 – 7X + 6 = 0?

5. Pour quelles valeurs d'une l'équation X 2 +Oh+ 1 = 0 et X 2 + X + UN= 0 a-t-il au moins une racine commune ?

1. Quand UN = - 1/7, UN = 0, UN = 1

2. Quand UN = 0

3. Quand UN = 2

4. Quand UN = 10

5. Quand UN = - 2

Équations exponentielles avec paramètre

Exemple 1.Trouver toutes les valeurs UN, pour lequel l'équation

9 fois – ( UN+ 2)*3 x-1/x +2 UN*3 -2/x = 0 (1) a exactement deux racines.

Solution. En multipliant les deux côtés de l'équation (1) par 3 2/x, on obtient l'équation équivalente

3 2(x+1/x) – ( UN+ 2)*3 x+1/x + 2 UN = 0 (2)

Soit 3 x+1/x = à, alors l'équation (2) prendra la forme à 2 – (UN + 2)à + 2UN= 0, ou

(à – 2)(à – UN) = 0, d'où à 1 =2, à 2 = UN.

Si à= 2, c'est-à-dire 3x+1/x = 2 alors X + 1/X= journal 3 2 , ou X 2 – X journal 3 2 + 1 = 0.

Cette équation n’a pas de véritables racines, puisqu’elle D= journal 2 3 2 – 4< 0.

Si à = UN, c'est-à-dire 3x+1/x = UN Que X + 1/X= journal 3 UN, ou X 2 –X journal 3 une + 1 = 0. (3)

L'équation (3) a exactement deux racines si et seulement si

D = log 2 3 2 – 4 > 0, ou |log 3 a| > 2.

Si log 3 a > 2, alors UN> 9, et si log 3 a< -2, то 0 < UN < 1/9.

Réponse : 0< UN < 1/9, UN > 9.

Exemple 2. A quelles valeurs de a se trouve l'équation 2 2х – ( UN - 3) 2x-3 UN= 0 a des solutions ?

Pour qu’une équation donnée ait des solutions, il faut et il suffit que l’équation t 2 – (un - 3) t – 3un= 0 avait au moins une racine positive. Trouvons les racines en utilisant le théorème de Vieta : X 1 = -3, X 2 = UN = >

a est un nombre positif.

Réponse : quand UN > 0

Matériel didactique

1. Trouver toutes les valeurs de a pour lesquelles l'équation

25 x – (2 UN+ 5)*5 x-1/x + 10 UN* 5 -2/x = 0 a exactement 2 solutions.

2. Pour quelles valeurs de a est l'équation

2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 a une seule racine ?

3. A quelles valeurs du paramètre a l'équation est-elle

4 x - (5 UN-3)2x+4 UN 2 – 3UN= 0 a une solution unique ?

Exemple 1. Trouver toutes les valeurs UN, pour lequel l'équation

journal 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)

a une solution unique.

Solution. L'équation (1) est équivalente à l'équation

1 + Oh = 2Xà X > 0, X 1/4 (3)

X = à

oui 2 – à + 1 = 0 (4)

La condition (2) de (3) n’est pas satisfaite.

Laisser UN 0, alors UA 2 – 2à+ 1 = 0 a de vraies racines si et seulement si D = 4 – 4UN 0, c'est-à-dire à UN 1.Pour résoudre l’inégalité (3), traçons les fonctions Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I.Étude approfondie du cours d'algèbre et d'analyse mathématique. – M. : Éducation, 1990

et autres. Guide d'étude. – M. : Examen, 2001–2008.

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MKOU "École secondaire Lodeynopolskaya n° 68"

Discours lors d'une réunion de la région de Moscou

Méthodes de résolution de problèmes

avec paramètres

Prokooucheva Natalia Gennadievna

2013-2014

Pôle Lodeïnoye

Problèmes avec les paramètres

Les problèmes liés aux paramètres comptent parmi les problèmes les plus difficiles proposés à la fois lors de l'examen d'État unifié et lors des concours supplémentaires dans les universités.

Si dans une équation (inégalité) certains coefficients ne sont pas donnés par des valeurs numériques spécifiques, mais sont désignés par des lettres, alors ils sont appelés paramètres et l'équation (inégalité) est paramétrique.

En règle générale, les inconnues sont désignées par les dernières lettres de l'alphabet latin : x, y, z, ..., et les paramètres par les premières : a, b, c, ...

Résoudre une équation (inégalité) avec des paramètres signifie indiquer à quelles valeurs des paramètres des solutions existent et quelles sont elles. Deux équations (inégalités) contenant les mêmes paramètres sont dites équivalentes si :

a) ils ont un sens pour les mêmes valeurs de paramètres ;

b) toute solution de la première équation (inégalité) est une solution de la seconde et vice versa.

Naturellement, une si petite classe de problèmes ne permet pas à beaucoup de saisir l’essentiel : le paramètre, étant un nombre fixe mais inconnu, a une double nature. Premièrement, la prétendue renommée permet de « communiquer » avec le paramètre sous forme de nombre, et deuxièmement, le degré de liberté de communication est limité par son obscurité. Ainsi, diviser par une expression contenant un paramètre et extraire la racine d'un degré pair de ces expressions nécessite des recherches préalables. Généralement, les résultats de ces études influencent à la fois la décision et la réponse.

Comment commencer à résoudre de tels problèmes ? N'ayez pas peur des problèmes avec les paramètres. Tout d'abord, vous devez faire ce qui est fait lors de la résolution d'une équation ou d'une inégalité - réduire l'équation donnée (inégalité) à une forme plus simple, si possible : factoriser une expression rationnelle, factoriser un polynôme trigonométrique, supprimer les modules, les logarithmes, et etc. alors vous devez lire attentivement la tâche encore et encore.

Lors de la résolution de problèmes contenant un paramètre, certains problèmes peuvent être divisés en deux grandes classes. La première classe comprend des problèmes dans lesquels il est nécessaire de résoudre une inégalité ou une équation pour toutes les valeurs possibles d'un paramètre. La deuxième classe comprend les tâches dans lesquelles il est nécessaire de trouver non pas toutes les solutions possibles, mais uniquement celles qui satisfont à certaines conditions supplémentaires.

La manière la plus compréhensible pour les écoliers de résoudre de tels problèmes est de trouver d’abord toutes les solutions, puis de sélectionner celles qui satisfont à des conditions supplémentaires. Mais ce n'est pas toujours possible. Il existe un grand nombre de problèmes pour lesquels il est impossible de trouver toutes les solutions possibles, et on ne nous demande pas de le faire. Par conséquent, nous devons chercher un moyen de résoudre le problème sans avoir à notre disposition l'ensemble des solutions à une équation ou une inégalité donnée, par exemple, rechercher les propriétés des fonctions incluses dans l'équation qui nous permettront de juger de l'existence d'un certain ensemble de solutions.

Principaux types de tâches avec paramètres

Tapez 1.Équations, inégalités, leurs systèmes et ensembles qui doivent être résolus soit pour toute valeur d'un paramètre (paramètres), soit pour des valeurs de paramètres appartenant à un ensemble prédéterminé.

Ce type de problème est fondamental lors de la maîtrise du thème « Problèmes avec paramètres », car le travail investi prédétermine le succès dans la résolution de problèmes de tous les autres types de base.

Tapez 2.Équations, inégalités, leurs systèmes et ensembles, pour lesquels il faut déterminer le nombre de solutions en fonction de la valeur du (des) paramètre(s).

Nous attirons votre attention sur le fait que lors de la résolution de problèmes de ce type, il n'est nécessaire ni de résoudre des équations données, des inégalités, leurs systèmes et combinaisons, etc., ni de fournir ces solutions ; Dans la plupart des cas, ce travail supplémentaire est une erreur tactique qui entraîne une perte de temps inutile. Cependant, il ne faut pas rendre cela absolu, car parfois une solution directe selon le type 1 est le seul moyen raisonnable d'obtenir une réponse lors de la résolution d'un problème de type 2.

Tapez 3.Équations, inégalités, leurs systèmes et collections, pour lesquelles il est nécessaire de trouver toutes les valeurs de paramètres pour lesquelles les équations, inégalités, leurs systèmes et collections spécifiés ont un nombre donné de solutions (en particulier, elles n'ont pas ou n'ont pas un nombre infini de solutions).

Il est facile de voir que les problèmes de type 3 sont en quelque sorte l’inverse des problèmes de type 2.

Tapez 4.Équations, inégalités, leurs systèmes et ensembles, pour lesquels, pour les valeurs requises du paramètre, l'ensemble des solutions satisfait aux conditions spécifiées dans le domaine de définition.

Par exemple, recherchez les valeurs des paramètres auxquelles :

1) l'équation est satisfaite pour toute valeur de la variable d'un intervalle donné ;
2) l'ensemble des solutions de la première équation est un sous-ensemble de l'ensemble des solutions de la deuxième équation, etc.

Commentaire. La variété des problèmes avec un paramètre couvre l'ensemble du cours de mathématiques scolaires (algèbre et géométrie), mais l'écrasante majorité d'entre eux lors des examens finaux et d'entrée appartiennent à l'un des quatre types répertoriés, qui pour cette raison sont appelés fondamentaux.

La classe de problèmes avec un paramètre la plus répandue est celle des problèmes avec une inconnue et un paramètre. Le paragraphe suivant indique les principaux moyens de résoudre les problèmes de cette classe particulière.

Méthodes de base pour résoudre des problèmes avec un paramètre

Méthode I(analytique). Il s'agit d'une méthode dite de solution directe, répétant des procédures standard pour trouver la réponse à des problèmes sans paramètre. Parfois, ils disent qu'il s'agit d'une méthode de solution énergique, dans le bon sens, « arrogante ».

Méthode II(graphique). En fonction de la tâche (avec variable x et paramètre un) les graphiques sont considérés ou dans le plan de coordonnées ( X ; oui), ou dans le plan de coordonnées ( x; un).

Commentaire. La clarté et la beauté exceptionnelles de la méthode graphique de résolution de problèmes avec un paramètre captivent tellement les étudiants du sujet « Problèmes avec un paramètre » qu'ils commencent à ignorer les autres méthodes de solution, oubliant le fait bien connu : pour toute classe de problèmes , leurs auteurs peuvent en formuler une qui est brillamment résolue de cette manière et avec des difficultés colossales d'autres manières. Par conséquent, au stade initial de l'étude, il est dangereux de commencer par des techniques graphiques pour résoudre des problèmes avec un paramètre.

Méthode III(décision concernant le paramètre). En résolvant de cette façon, les variables x Et un sont acceptés comme égaux et la variable par rapport à laquelle la solution analytique est considérée comme la plus simple est sélectionnée. Après des simplifications naturelles, on revient au sens originel des variables x Et un et terminez la solution.

Passons maintenant à la démonstration de ces méthodes pour résoudre des problèmes avec un paramètre.

1. Équations linéaires et inégalités avec paramètres

Fonction linéaire : – équation d'une droite avec coefficient de pente . Le coefficient angulaire est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à la direction positive de l'axe .

Équations linéaires avec paramètres de la forme

Si , l'équation a la seule chose solution.

Si , cette équation n'a pas de solutions, Quand , et l'équation a une infinité de solutions, Quand .

Exemple 1. Résoudre l'équation | x | = un .

Solution:

un > 0, => x 1,2 = ± un

un = 0, => x = 0

un < 0, =>il n'y a pas de solutions.

Répondre: x 1,2 = ± unà un > 0; x= 0 à un= 0 ; il n'y a pas de solutions pour un < 0.

Exemple 2. Résoudre l’équation |3 – x | = un .

Solution:

un > 0, => 3 – x = ± un , => x= 3 ± un

un = 0, => 3 – x = 0. => x = 3

un < 0, =>il n'y a pas de solutions.

Répondre: x 1,2 = 3 ± unà un > 0; x= 3 à un= 0 ; il n'y a pas de solutions pour un < 0.

Exemple 3. Résoudre l'équation m ² x – m = x + 1.

Solution:

m ² x – m = x + 1

m ² x – x = m + 1

(m² – 1)x = m + 1

Répondre:
à m ≠ ± 1; x Є R.à m= –1 ; il n'y a pas de solutions pour m = 1.

Exemple 4. UN résoudre l'équation : ( un 2 – 4) x = un + 2 .

Solution: Factorisons le coefficient. .

Si , l'équation a la seule chose solution: .

Si , équation n'a pas de solutions.

Si , alors l'équation a une infinité de solutions .

Exemple 6. Pour toutes les valeurs de paramètres un résoudre l'équation :
.

Solution: ODZ : . Dans cette condition, l’équation est équivalente à la suivante : . Vérifions si vous appartenez à l'ODZ : , Si . Si , alors l'équation n'a pas de solutions.

Exemple 7. Pour toutes les valeurs de paramètres UN résoudre l'équation : | X + 3| – un | x – 1| = 4.

Solution: Divisons la droite numérique en 3 parties par les points auxquels les expressions sous le signe du module disparaissent et résolvons 3 systèmes :

1) , Si . Trouvé sera la solution si .

2) , Si . Celui trouvé satisfait à l’inégalité requise est donc une solution pour . Si , alors la solution est n'importe laquelle .

3) , Si . Trouvé Pas satisfait l’inégalité requise, donc, Pas est une solution quand . Si , alors la solution est n'importe quel x > 1.

Répondre: à ; à ;

n ri ; est aussi une solution pour tous .

Exemple 8. Trouver tout UN, pour chacun desquels au moins une des solutions de l'équation 15 x – 7un = 2 – 3hache + 6un moins 2 .

Solution: Trouvons des solutions à l'équation pour chacun . , Si . Résolvons l'inégalité : .

Quand l'équation n'a pas de solution.

Répondre : UNÎ (–5 , 4) .

Inégalités linéaires avec paramètres

Par exemple: Résoudre les inégalités : kx < b .

Si k> 0, alors
. Si k < 0, то
. Si k= 0, alors quand b> 0 solution est quelconque x Є R., et quand
il n'y a pas de solutions.

Résolvez les inégalités restantes dans la boîte de la même manière.

Exemple 1. Pour toutes les valeurs du paramètre a, résoudre l'inégalité
.

Solution:

. Si la parenthèse est avant x est positif, c'est-à-dire à
, Que
. Si la parenthèse est avant x négatif, c'est-à-dire à
, Que
. Si un= 0 ou a = , alors il n'y a pas de solutions.

Répondre:
à
;
à
;

il n'y a pas de solutions pour un= 0 ou a = .

Exemple 2. Pour toutes les valeurs de paramètres UN résoudre les inégalités | X– un| – | x + un| < 2un .

Solution:

À un=0 nous avons une inégalité incorrecte 0< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, puis à x< –un les deux modules sont développés avec un moins et nous obtenons l'inégalité incorrecte 2 un < 2un, c'est-à-dire il n'y a pas de solutions. Si x Є [– un ; un] , alors le premier module s'ouvre par un moins, et le second par un plus, et on obtient l'inégalité –2 x < 2un, c'est-à-dire x > –un, c'est-à-dire que la solution est quelconque x Є (– un ; un]. Si x > un les deux modules s'ouvrent avec un plus et on obtient la bonne inégalité –2 un < 2un, c'est-à-dire , la solution est n'importe laquelle x Є ( un; +∞). En combinant les deux réponses, nous obtenons cela lorsque un > 0 x Є (– un ; +∞).

Laisser un < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2un. Ainsi, avec un < 0 решений нет.

Répondre: x Є (– un; +∞) à un> 0, il n'y a pas de solution pour
.

Commentaire. La solution à ce problème est plus rapide et plus simple si vous utilisez l'interprétation géométrique du module de la différence de deux nombres comme distance entre les points. Alors l'expression du côté gauche peut être interprétée comme la différence de distances du point X aux points UN Et - UN .

Exemple 3. Trouver tout UN, pour chacun desquels toutes les solutions de l'inégalité
satisfaire l'inégalité 2 x – un² + 5< 0.

Solution:

La solution à l’inégalité |x | ≤ 2 est un ensemble UN=[–2; 2], et la solution aux inégalités 2 x – un² + 5< 0 является множество B = (–∞;
) . Pour satisfaire les conditions du problème, il faut que l'ensemble A soit inclus dans l'ensemble B(). Cette condition sera satisfaite si et seulement si .

Répondre: une Є (–∞; –3)U (3; +∞).

Exemple 4. Trouver toutes les valeurs de a pour lesquelles l'inégalité
court pour tout le monde x du segment.

Solution:

Une fraction est inférieure à zéro entre les racines, vous devez donc déterminer quelle racine est la plus grande.

–3un + 2 < 2un + 4
et –3 un + 2 > 2un + 4
. Ainsi, quand
xЄ (–3 un + 2; 2un+ 4) et pour que l'inégalité soit valable pour tout x du segment , il faut que

À
xЄ (2 un + 4; –3un+ 2) et pour que l'inégalité soit valable pour tous x du segment, il faut que

Quand a = – (quand les racines coïncident) il n’y a pas de solutions, car dans ce cas l'inégalité prend la forme : .

Répondre:
.

Exemple 5. UN l'inégalité est valable pour toutes les valeurs négatives X?

Solution:

La fonction augmente de façon monotone si le coefficient à x non négatif, et il diminue de façon monotone si le coefficient à x négatif.

Découvrons le signe du coefficient à

un ≤ –3,

un ≥ 1; (un² + 2 un – 3) < 0 <=> –3 < un < 1.

un ≤ –3,

Laisser un≥ 1. Alors la fonction f (x ) ne diminue pas de façon monotone, et la condition du problème sera satisfaite si f (x ) ≤ 0 <=> 3un ² – un – 14 ≤ 0 <=>
.

un ≤ –3,

Avec les conditions un≥ 1 ; on obtient :

Soit -3< un < 1. Тогда функция f (x ) diminue de façon monotone et la condition du problème ne peut jamais être satisfaite.

Répondre:
.

2. Équations quadratiques et inégalités avec paramètres

Fonction quadratique :
.

Dans l’ensemble des nombres réels, cette équation est étudiée selon le schéma suivant.

Exemple 1. A quelles valeurs un équationx ² – hache + 1 = 0 n'a pas de vraies racines ?

Solution:

x ² – hache + 1 = 0

D = un ² – 4 1 =un ² – 4

un ² – 4< 0 + – +

( un – 2)( un + 2) < 0 –2 2

Répondre: àune Є (–2 ; 2)

Exemple 2.Pour quelles valeurs de a l'équation UN (X ² – X + 1) = 3 X + 5 a deux vraies racines différentes ?

Solution:

UN (X ² – X + 1) = 3 X + 5, UN ≠ 0

Oh ² – ah+ un – 3 X – 5 = 0

Oh ² – ( UN + 3) X + UN – 5 = 0

D = ( un +3)² – 4un ( un – 5) = un ² +6un + 9 – 4 un ² + 20un = –3 un ² + 26un + 9

–3 un ² + 26 un + 9 > 0

3 un ² – 26un – 9 < 0

D = 26² – 4 3 (–9) = 784

un 1 =
; un 2 =
+ – +

0 9

Répondre:àunЄ (–1/3 ; 0)U (0; 9)

Exemple 3 : Résoudre l'équation
.

Solution:

ODZ: x ≠1, x ≠ un

x – 1 + x – un = 2, 2 x = 3 + un ,

1)
; 3 + un ≠ 2; un ≠ –1

2)
; 3 + un ≠ 2 un ; un ≠ 3

Répondre:
àun Є (–∞; –1)U (–1; 3) U (3; +∞);

il n'y a pas de solutions pourune = –1 ; 3.

Exemple4 . Résoudre l'équation | x ²–2 x –3 | = un .

Solution:

Regardons les fonctions oui = | x ²–2 x –3 | Etoui = un .

À un < 0 aucune solution ;
à un = 0 et un> 4 deux solutions ;
à 0< un < 4 – четыре решения;
à un= 4 – trois solutions.

Répondre:

à un < 0 нет решений;
à un= 0 et un> 4 deux solutions ;
à 0< un < 4 – четыре решения;
à un= 4 – trois solutions.

Exemple 5.Trouver toutes les valeurs un , pour chacun desquels l'équation | x ²–( un +2) x +2 un | = | 3 x –6 |
a exactement deux racines. Si de telles valeurs un plusieurs, indiquez leur produit dans votre réponse.

Solution:

Développons le trinôme quadratique x ²–( un +2) x +2 un par des multiplicateurs.
;
;
;

Nous obtenons | ( x –2)( x – un ) | = 3 | x –2 |.
Cette équation est équivalente à l'ensemble

Cette équation a donc exactement deux racines si un+ 3 = 2 et un – 3 = 2.
De là, nous constatons que les valeurs souhaitées un sont un 1 = –1; un 2 = 5; un 1 · un 2 = –5.

Répondre: –5.

Exemple 6.Trouver toutes les valeurs un , pour lequel les racines de l'équation hache ² – 2( un + 1) x – un + 5 = 0 sont positifs.

Solution:

Point de contrôle un= 0, parce que change l’essence de l’équation.

1. un = 0 –2x + = 0;

Répondre: une Є U .

Exemple 7.Àquelles valeurs de paramètres un équation | x ² – 4 x + 3 | = hache a 3 racines.

Solution:

Construisons des graphiques de fonctions oui = | x ² – 4 x + 3 | Et oui = hache .

La fonction est représentée graphiquement sur le segment
.
Cette équation aura trois racines si le graphique de la fonction oui = hache sera tangent au graphique oui = x ²+ 4 x – 3 sur
segment

L'équation tangente a la forme oui = f (x 0 ) + f ’(x 0 )(x – x 0 ),



Parce que équation tangente oui = un, on obtient un système d'équations

Parce que x 0 Є ,

Répondre:à un = 4 – 2
.

Inégalités quadratiques avec paramètres

Exemple.Rechercher toutes les valeurs des paramètres un , pour chacune d'elles parmi les solutions aux inégalités
il n'y a aucun point sur le segment de droite.

Solution:

Tout d'abord, résolvons l'inégalité pour toutes les valeurs du paramètre, puis trouvons celles pour lesquelles il n'y a pas un seul point du segment parmi les solutions .
Laisser
, hache = t ²

t ≥ 0

Avec un tel remplacement de variables, l'ODZ d'inégalité est effectuée automatiquement. x peut s'exprimer à travers t, Si un≠ 0. Par conséquent, le cas où un = 0, nous considérerons séparément.
1.Laissez un = 0, alors X> 0, et le segment donné est une solution.
2.Laissez un≠ 0, alors
et les inégalités
prendra la forme
,

La solution à l'inégalité dépend des valeurs un, nous devons donc considérer deux cas.
1) Si un>0, alors
à
, ou dans d'anciennes variables,

La solution ne contient pas un seul point du segment donné si et seulement si les conditions sont remplies un ≤ 7,

16un≥ 96. Par conséquent, un Є .
2). Si UN< 0, то
;
; tЄ (4 un ; un). Parce que t≥ 0, alors il n’y a pas de solutions.

Répondre: .

Équations irrationnelles avec paramètres

Lors de la résolution d'équations irrationnelles et d'inégalités avec un paramètre, il convient tout d'abord de prendre en compte la plage de valeurs acceptables. Deuxièmement, si les deux côtés de l’inégalité sont des expressions non négatives, alors une telle inégalité peut être quadragée tout en conservant le signe de l’inégalité.
Dans de nombreux cas, les équations et inégalités irrationnelles sont réduites à des équations quadratiques après avoir changé les variables.

Exemple 1. Résoudre l'équation
.

Solution:

ODZ : x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, un ≥ 0.

x + 1 = un ².

Si x = un² – 1, alors la condition est satisfaite.

Répondre: x = un² – 1 à UN≥ 0 ; il n'y a pas de solutions pour un < 0.

Exemple 2 : Résoudre l'équation
.

Solution:

ODZ : x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,

hache ≥ 0; x ≤ un;

x + 3 = hache,

2x = un – 3,

<=>
<=>
<=> un ≥ –3.

Répondre:
à un≥ –3 ; il n'y a pas de solutions pour un < –3.

Exemple 3. Combien de racines l’équation a-t-elle ?
en fonction des valeurs des paramètres UN?

Solution:

Plage de valeurs acceptables de l'équation : x Є [–2 ; 2]

Construisons des graphiques de fonctions. Le graphique de la première fonction est la moitié supérieure du cercle x² + oui² = 4. Le graphique de la deuxième fonction est la bissectrice des premier et deuxième angles de coordonnées. Du graphique de la première fonction, soustrayez le graphique de la seconde et obtenez le graphique de la fonction
. Si vous remplacez à sur UN, alors le dernier graphique de la fonction est l'ensemble des points (x; a) satisfaisant l'équation d'origine.

D'après le graphique, nous voyons la réponse.

Répondre:à UNЄ (–∞ ; –2) U (1 ; +∞), pas de racines ;

à UNЄ [–2 ; 2), deux racines ;

à UN= 1, une racine.

Exemple 4.À quelles valeurs de paramètre UNéquation
a une seule solution ?

Solution:

Méthode 1 (analytique) :

Répondre:

Méthode 2 (graphique) :

Répondre: pour a ≥ –2 l’équation a une solution unique

Exemple 5. Pour quelles valeurs du paramètre a l'équation = 2 + x a-t-elle une solution unique.

Solution:

Considérons une version graphique de la solution de cette équation, c'est-à-dire que nous construirons deux fonctions :
à 1 = 2 + X Et à 2 =

La première fonction est linéaire et passe par les points (0 ; 2) et (–2 ; 0).
Le graphique de la deuxième fonction contient un paramètre. Considérons d'abord le graphique de cette fonction à UN= 0 (Fig.1). Lors de la modification de la valeur du paramètre, le graphique se déplacera le long de l'axe OH par la valeur correspondante à gauche (pour positif UN) ou vers la droite (pour les valeurs négatives UN) (Fig.2)

D'après la figure, il est clair que lorsque UN < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

Répondre:à un≥ –2 l’équation a une solution unique.

Équations trigonométriques avec paramètres.

Exemple 1.Résoudre l'équation péché (– x + 2 x – 1) = b + 1.

Solution:

Compte tenu de l'étrangeté de la fonction
, on réduit cette équation à l'équivalent
.

1. b = –1

3. b =–2

4. | b + 1| > 1

Il n'y a pas de solutions.

5. bЄ(–1 ; 0)

6. bЄ(–2 ; –1)

Exemple 2.Trouver toutes les valeurs du paramètre p pour lesquelles l'équation
n'a pas de solutions.

Solution:

Exprimons cos 2 xà travers péché.

Laisser
alors la tâche était réduite à trouver toutes les valeurs p, pour laquelle l'équation n'a pas de solutions sur [–1; 1]. L'équation ne peut pas être résolue de manière algorithmique, nous allons donc résoudre le problème à l'aide d'un graphique. Écrivons l'équation sous la forme , et maintenant un croquis du graphique du côté gauche
facile à construire.
L'équation n'a pas de solution si la droite oui = p+ 9 ne coupe pas le graphique sur l'intervalle [–1 ; 1], c'est-à-dire

Répondre:p Є (–∞; –9) U (17; +∞).

Systèmes d'équations avec paramètres

Systèmes de deux équations linéaires avec paramètres

Système d'équations

Les solutions d'un système de deux équations linéaires sont les points d'intersection de deux droites : et .

Il y a 3 cas possibles :

1. Les lignes ne sont pas parallèles . Alors leurs vecteurs normaux ne sont pas parallèles, c'est-à-dire . Dans ce cas, le système a la seule solution.

2. Les lignes sont parallèles et ne coïncident pas. Alors leurs vecteurs normaux sont parallèles, mais les déplacements sont différents, c'est-à-dire .

Dans ce cas le système n'a pas de solutions .

3. Les lignes droites coïncident. Alors leurs vecteurs normaux sont parallèles et les déplacements coïncident, c'est-à-dire . Dans ce cas, le système a une infinité de solutions - tous les points d'une ligne .

Le but de ce travail est d'étudier différentes manières de résoudre des problèmes avec des paramètres. La capacité et la capacité à résoudre des problèmes avec des paramètres démontrent la maîtrise des méthodes de résolution d'équations et d'inégalités, une compréhension significative des informations théoriques, le niveau de pensée logique et stimulent l'activité cognitive. Pour développer ces compétences, des efforts plus longs sont nécessaires, c'est pourquoi dans les classes spécialisées 10-11 avec une étude approfondie des sciences exactes, le cours « Mathematical Practicum » a été introduit, dont une partie est la solution d'équations et d'inégalités avec paramètres. Le cours fait partie des disciplines incluses dans le programme d'études de l'école.

Une étude réussie des méthodes de résolution de problèmes avec des paramètres peut être facilitée par des cours au choix ou au choix, ou par un composant derrière la grille sur le thème : « Problèmes avec les paramètres ».

Considérons quatre grandes classes de problèmes avec des paramètres :

1. Équations, inégalités et leurs systèmes qui doivent être résolus pour n'importe quelle valeur de paramètre, ou pour des valeurs de paramètres appartenant à un ensemble spécifique.
2. Équations, inégalités et leurs systèmes pour lesquels il faut déterminer le nombre de solutions en fonction de la valeur du paramètre.
3. Équations, inégalités et leurs systèmes, pour lesquels il est nécessaire de trouver toutes les valeurs de paramètres pour lesquelles les équations spécifiées (systèmes, inégalités) ont un nombre donné de solutions.
4. Équations, inégalités et leurs systèmes pour lesquels, pour les valeurs de paramètres requises, l'ensemble des solutions satisfait aux conditions données dans le domaine de définition.

Méthodes de résolution de problèmes avec les paramètres.

1. Méthode analytique.

Il s’agit d’une méthode de résolution directe qui répète les procédures standard pour trouver la réponse à des problèmes sans paramètre.

Exemple 1 : Rechercher toutes les valeurs d'un paramètre un, pour lequel l'équation :

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 a au plus une racine.

À 2 un– 1 = 0 cette équation n’est pas quadratique, donc le cas un=1/2 est trié séparément.

Si un= 1/2, alors l'équation prend la forme 1/2 x– 2 = 0, il a une racine.

Si un≠ 1/2, alors l'équation est quadratique ; pour qu'il ait au plus une racine il faut et il suffit que le discriminant soit non positif :

D= un 2 – 4(2un – 1)(2un – 3) = -15un 2 + 32un – 12;

Pour écrire la réponse finale, vous devez comprendre

2. Méthode graphique.

En fonction de la tâche (avec variable x et paramètre un) graphiques dans le plan de coordonnées ( x;y) ou dans l'avion ( x;une).

Exemple 2. Pour chaque valeur de paramètre un déterminer le nombre de solutions de l'équation .

Notez que le nombre de solutions de l'équation égal au nombre de points d'intersection des graphiques de fonctions Et y = une.

Graphique d'une fonction montré sur la figure 1.

y = une est une ligne horizontale. A l'aide du graphique, il est facile de déterminer le nombre de points d'intersection en fonction de un(par exemple, quand un= 11 – deux points d'intersection ; à un= 2 – huit points d'intersection).

Réponse : quand un < 0 – решений нет; при un= 0 et un= 25/4 – quatre solutions ; à 0< un < 6 – восемь решений; при un= 6 – sept solutions ; à

6 < un < 25/4 – шесть решений; при un> 25/4 – deux solutions.

3. Méthode de résolution par rapport à un paramètre.

En résolvant de cette façon, les variables X Et UN sont acceptés comme égaux et la variable par rapport à laquelle la solution analytique devient plus simple est sélectionnée. Après simplifications, il faut revenir au sens originel des variables X Et UN et terminez la solution.

Exemple 3 : Rechercher toutes les valeurs d'un paramètre UN, pour chacun desquels l'équation = - hache +3un+2 a une solution unique.

Nous allons résoudre cette équation en changeant les variables. Soit = t , t≥ 0, alors x = t 2 + 8 et l'équation devient à 2 +t + 5un– 2 = 0. Maintenant le défi est de tout trouver UN, pour lequel l'équation à 2 +t + 5un– 2 = 0 a une solution unique non négative. Cela se produit dans les cas suivants.

1) Si UN= 0, alors l'équation a une solution unique t = 2.

Résoudre certains types d'équations et d'inégalités avec des paramètres.

Les problèmes liés aux paramètres aident à la formation d’une pensée logique et à l’acquisition de compétences en recherche.

La solution à chaque problème est unique et nécessite une approche individuelle et non standard, car il n'existe pas de manière unique de résoudre de tels problèmes.

Problème n°1. A quelles valeurs du paramètre b l'équation n'a-t-elle pas de racines ?

Tâche n°2. Rechercher toutes les valeurs des paramètres un, pour lequel l’ensemble des solutions à l’inégalité est :

contient le chiffre 6, et contient également deux segments de longueur 6 qui n'ont pas de points communs.

Transformons les deux côtés de l'inégalité.

Pour que l’ensemble des solutions de l’inégalité contienne le nombre 6, il faut et suffisant que la condition suivante soit remplie :

Figure 4

À un> 6 ensembles de solutions à l'inégalité : .

L'intervalle (0;5) ne peut contenir aucun segment de longueur 6. Cela signifie que deux segments disjoints de longueur 6 doivent être contenus dans l'intervalle (5; un).

Problème n°3. Dans le domaine de la définition d'une fonction prenez tous les entiers positifs et additionnez-les. Trouvez toutes les valeurs pour lesquelles cette somme est supérieure à 5 mais inférieure à 10.

1) Graphique d'une fonction fractionnaire linéaire est une hyperbole. Par condition x> 0. Avec augmentation illimitée X la fraction diminue de façon monotone et se rapproche de zéro, et les valeurs de la fonction z augmenter et se rapprocher de 5. De plus, z(0) = 1.

2) Par définition de diplôme, domaine de définition D(o) consiste en des solutions à l’inégalité. À un= 1 on obtient une inégalité qui n’a pas de solution. Donc la fonction à pas défini nulle part.

3) À 0< un< 1 показательная функция с основанием UN diminue et l’inégalité équivaut à l’inégalité. Parce que x> 0, alors z(x) > z(0) = 1 . Cela signifie que chaque valeur positive X est une solution à l’inégalité. Par conséquent, pour un tel UN Le montant spécifié dans la condition est introuvable.

4) Quand un> 1 fonction exponentielle avec base UN augmente et l’inégalité équivaut à l’inégalité. Si un≥ 5, alors tout nombre positif est sa solution et la somme spécifiée dans la condition ne peut pas être trouvée. Si 1< un < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0) , où un = z(x 0) .

5) Les entiers sont situés dans cet intervalle d'affilée, à partir de 1. Calculons les sommes des nombres naturels consécutifs, à partir de 1 : 1 ; 1+2 = 3 ; 1+2+3 = 6 ; 1+2+3+4 = 10;... Par conséquent, le montant indiqué ne sera supérieur à 5 et inférieur à 10 que si le chiffre 3 se situe dans l'intervalle (0; x 0), et le chiffre 4 ne se situe pas dans cet intervalle. Donc 3< x 0 ≤ 4. Puisqu'il augmente de , alors z(3) < z(x 0) ≤ z(4) .

La résolution d'équations et d'inégalités irrationnelles, ainsi que d'équations, d'inégalités et de systèmes contenant des modules, est abordée dans Annexe 1.

Les problèmes liés aux paramètres sont complexes car il n’existe pas d’algorithme unique pour les résoudre. La spécificité de tels problèmes est que, outre les quantités inconnues, ils contiennent des paramètres dont les valeurs numériques ne sont pas spécifiquement indiquées, mais sont considérées comme connues et spécifiées sur un certain ensemble numérique. Dans ce cas, les valeurs des paramètres influencent de manière significative le déroulement logique et technique de la résolution du problème et la forme de la réponse.

Selon les statistiques, de nombreux diplômés ne commencent pas à résoudre les problèmes liés aux paramètres de l'examen d'État unifié. Selon la FIPI, seulement 10 % des diplômés commencent à résoudre de tels problèmes, et le pourcentage de leur solution correcte est faible : 2 à 3 %, donc l'acquisition de compétences pour résoudre des tâches difficiles et non standard, y compris des problèmes avec des paramètres, par l'école les étudiants restent toujours d’actualité.

1. Systèmes d'équations linéaires avec un paramètre

Les systèmes d'équations linéaires avec un paramètre sont résolus par les mêmes méthodes de base que les systèmes d'équations ordinaires : la méthode de substitution, la méthode d'addition d'équations et la méthode graphique. La connaissance de l'interprétation graphique des systèmes linéaires permet de répondre facilement à la question du nombre de racines et de leur existence.

Exemple 1.

Trouvez toutes les valeurs du paramètre a pour lesquelles le système d'équations n'a pas de solution.

(x + (une 2 – 3)y = une,
(x + y = 2.

Solution.

Examinons plusieurs façons de résoudre ce problème.

1 façon. On utilise la propriété : le système n'a pas de solutions si le rapport des coefficients devant x est égal au rapport des coefficients devant y, mais pas égal au rapport des termes libres (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Nous avons alors :

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 ou système

(et 2 – 3 = 1,
(une ≠ 2.

À partir de la première équation a 2 = 4, donc, en tenant compte de la condition selon laquelle a ≠ 2, nous obtenons la réponse.

Réponse : a = -2.

Méthode 2. Nous résolvons par méthode de substitution.

(2 – y + (une 2 – 3)y = une,
(x = 2 – y,

((une 2 – 3)y – y = une – 2,
(x = 2 – y.

Après avoir retiré le facteur commun y des parenthèses dans la première équation, on obtient :

((une 2 – 4)y = une – 2,
(x = 2 – y.

Le système n'a pas de solution si la première équation n'a pas de solution, c'est-à-dire

(et 2 – 4 = 0,
(une – 2 ≠ 0.

Évidemment, a = ±2, mais en tenant compte de la deuxième condition, la réponse ne vient qu'avec une réponse négative.

Répondre: une = -2.

Exemple 2.

Trouver toutes les valeurs du paramètre a pour lequel le système d'équations a un nombre infini de solutions.

(8x + ay = 2,
(hache + 2y = 1.

Solution.

Selon la propriété, si le rapport des coefficients de x et y est le même et est égal au rapport des membres libres du système, alors il a un nombre infini de solutions (c'est-à-dire a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Donc 8/a = a/2 = 2/1. En résolvant chacune des équations résultantes, nous constatons que a = 4 est la réponse dans cet exemple.

Répondre: une = 4.

2. Systèmes d'équations rationnelles avec un paramètre

Exemple 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = une.

Solution.

Multiplions la première équation du système par 2 :

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = une.

En soustrayant la deuxième équation de la première, nous obtenons 5|x| = 4 – une. Cette équation aura une solution unique pour a = 4. Dans d'autres cas, cette équation aura deux solutions (pour a< 4) или ни одного (при а > 4).

Réponse : a = 4.

Exemple 4.

Trouver toutes les valeurs du paramètre a pour lesquelles le système d'équations a une solution unique.

(x + y = une,
(y – x 2 = 1.

Solution.

Nous allons résoudre ce système en utilisant la méthode graphique. Ainsi, le graphique de la deuxième équation du système est une parabole élevée le long de l'axe Oy vers le haut d'un segment unitaire. La première équation spécifie un ensemble de droites parallèles à la droite y = -x (Figure 1). Il ressort clairement de la figure que le système a une solution si la droite y = -x + a est tangente à la parabole en un point de coordonnées (-0,5, 1,25). En substituant ces coordonnées dans l'équation de la droite au lieu de x et y, nous trouvons la valeur du paramètre a :

1,25 = 0,5 + une ;

Réponse : a = 0,75.

Exemple 5.

A l'aide de la méthode de substitution, découvrez à quelle valeur du paramètre a le système a une solution unique.

(hache – y = une + 1,
(hache + (a + 2)y = 2.

Solution.

À partir de la première équation, nous exprimons y et le substituons dans la seconde :

(y = hache – a – 1,
(hache + (une + 2)(hache – une – 1) = 2.

Réduisons la deuxième équation à la forme kx = b, qui aura une solution unique pour k ≠ 0. On a :

hache + une 2 x – une 2 – une + 2ax – 2a – 2 = 2 ;

un 2 x + 3ax = 2 + un 2 + 3a + 2.

Nous représentons le trinôme carré a 2 + 3a + 2 comme produit de parenthèses

(a + 2)(a + 1), et à gauche on sort x entre parenthèses :

(une 2 + 3une)x = 2 + (une + 2)(une + 1).

Évidemment, a 2 + 3a ne doit pas être égal à zéro, donc

une 2 + 3une ≠ 0, une(une + 3) ≠ 0, ce qui signifie une ≠ 0 et ≠ -3.

Répondre: une ≠ 0 ; ≠ -3.

Exemple 6.

À l'aide de la méthode de solution graphique, déterminez à quelle valeur du paramètre a le système a une solution unique.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = une.

Solution.

A partir de la condition, on construit un cercle avec un centre à l'origine et un rayon de 3 segments unitaires ; c'est ce qui est spécifié par la première équation du système ;

x 2 + y 2 = 9. La deuxième équation du système (y = |x| + a) est une ligne brisée. En utilisant chiffre 2 Nous considérons tous les cas possibles de sa localisation par rapport au cercle. Il est facile de voir que a = 3.

Réponse : a = 3.

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1. Tâche.
À quelles valeurs de paramètre unéquation ( un - 1)x 2 + 2x + un- Est-ce que 1 = 0 a exactement une racine ?

1. Solutions.
À un= 1 l'équation est 2 x= 0 et a évidemment une seule racine x= 0. Si un N° 1, alors cette équation est quadratique et a une racine unique pour les valeurs de paramètres pour lesquelles le discriminant du trinôme quadratique est égal à zéro. En assimilant le discriminant à zéro, on obtient une équation pour le paramètre un 4un 2 - 8un= 0, d'où un= 0 ou un = 2.

1. Réponse : l'équation a une seule racine en un O (0 ; 1 ; 2).

2. Tâche.
Rechercher toutes les valeurs des paramètres un, pour laquelle l'équation a deux racines différentes x 2 +4hache+8un+3 = 0.
2. Solutions.
Équation x 2 +4hache+8un+3 = 0 a deux racines distinctes si et seulement si D = 16un 2 -4(8un+3) > 0. On obtient (après réduction par un facteur commun à 4) 4 un 2 -8un-3 > 0, d'où

2. Réponse :

3. Tâche.
On sait que
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Représenter graphiquement la fonction f 1 (x) à un = 1.
b) A quelle valeur un graphiques de fonctions f 1 (x) Et f 2 (x) ont un seul point commun ?

3. Solutions.
3.a. Transformons-nous f 1 (x) comme suit
Le graphique de cette fonction à un= 1 est indiqué dans la figure de droite.
3.b. Notons immédiatement que les graphiques de fonctions oui = kx+b Et oui = hache 2 +bx+c (un N° 0) se coupent en un seul point si et seulement si l'équation quadratique kx+b = hache 2 +bx+c a une seule racine. Utiliser la vue f 1 de 3.a, égalisons le discriminant de l'équation un = 6x-x 2 -6 à zéro. De l'équation 36-24-4 un= 0 on obtient un= 3. Faites de même avec l'équation 2 x-un = 6x-x 2 -6 nous trouverons un= 2. Il est facile de vérifier que ces valeurs de paramètres satisfont aux conditions du problème. Répondre: un= 2 ou un = 3.

4. Tâche.
Trouver toutes les valeurs un, pour lequel l'ensemble des solutions à l'inégalité x 2 -2hache-3un i 0 contient le segment .

4. Solutions.
Première coordonnée du sommet de la parabole f(x) = x 2 -2hache-3unégal à x 0 = un. A partir des propriétés d'une fonction quadratique, la condition f(x) і 0 sur le segment équivaut à un ensemble de trois systèmes
a exactement deux solutions ?

5. Solutions.
Réécrivons cette équation sous la forme x 2 + (2un-2)x - 3un+7 = 0. Il s'agit d'une équation quadratique ; elle a exactement deux solutions si son discriminant est strictement supérieur à zéro. En calculant le discriminant, nous constatons que la condition pour la présence d'exactement deux racines est la réalisation de l'inégalité un 2 +un-6 > 0. En résolvant l'inégalité, on trouve un < -3 или un> 2. La première des inégalités n'a évidemment pas de solution en nombres naturels, et la plus petite solution naturelle de la seconde est le nombre 3.

5. Réponse : 3.

6. Problème (10 clés)
Trouver toutes les valeurs un, pour lequel le graphe de la fonction ou, après transformations évidentes, un-2 = | 2-un| . La dernière équation est équivalente à l'inégalité un je 2.

6. Réponse : unÀ PROPOS )