Dans un centre commercial, deux machines identiques vendent du café. Les machines sont entretenues le soir après la fermeture du centre. On sait que la probabilité que se produise l'événement « Le soir, la première machine manquera de café » est de 0,25. La probabilité que l'événement « Le soir, la deuxième machine n'aura plus de café » est la même. La probabilité que les deux machines soient à court de café le soir est de 0,15. Trouvez la probabilité que le soir il reste du café dans les deux machines.
Solution.
Considérez les événements
A = le café sera épuisé dans la première machine,
B = le café sera épuisé dans la deuxième machine.
A·B = le café sera épuisé dans les deux machines,
A + B = le café sera épuisé dans au moins une machine.
Par condition P(A) = P(B) = 0,25 ; P(A·B) = 0,15.
Les événements A et B sont conjoints, la probabilité de la somme de deux événements conjoints est égale à la somme des probabilités de ces événements, diminuée de la probabilité de leur produit :
P(UNE + B) = P(UNE) + P(B) − P(UNE B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.
Par conséquent, la probabilité que l’événement inverse, soit que le café reste dans les deux machines, est de 1 − 0,35 = 0,65.
Réponse : 0,65.
Donnons une autre solution.
La probabilité que le café reste dans la première machine est de 1 − 0,25 = 0,75. La probabilité que le café reste dans la deuxième machine est de 1 − 0,25 = 0,75. La probabilité que le café reste dans la première ou la deuxième machine est de 1 − 0,15 = 0,85. Puisque P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B), on a : 0,85 = 0,75 + 0,75 − X, d'où vient la probabilité requise ? X = 0,65.
Note.
Notez que les événements A et B ne sont pas indépendants. En effet, la probabilité de produire des événements indépendants serait égale au produit des probabilités de ces événements : P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, cependant, selon la condition, cette probabilité est égale à 0,15.
Elena Alexandrovna Popova 10.10.2018 09:57
Moi, professeur agrégé, candidat en sciences pédagogiques, je considère qu'il est COMPLÈTEMENT STUPIDE ET RIDICULE D'INCLURE DES TÂCHES SUR DES ÉVÉNEMENTS DÉPENDANTS POUR LES ÉCOLIERS. Les enseignants NE CONNAISSENT PAS cette section - J'ai été invité à donner des conférences à la télévision lors de cours de formation d'enseignants. Cette section ne fait pas et ne peut pas être au programme. Il n’est PAS BESOIN d’inventer des méthodes sans justification. Des TÂCHES de ce type peuvent simplement être éliminées. Limitez-vous à la DÉFINITION CLASSIQUE DES PROBABILITÉS. Et même dans ce cas, étudiez d'abord les manuels scolaires et voyez ce que les auteurs ont écrit à ce sujet. Regardez la 5e année de Zubareva. Elle ne connaît même pas les symboles et donne la probabilité en pourcentage. Après avoir appris de tels manuels, les étudiants croient toujours que la probabilité est un pourcentage. Il existe de nombreux problèmes intéressants concernant la détermination classique des probabilités. C'est ce que les écoliers doivent se demander. Il n'y a pas de limite à l'indignation des professeurs d'université face à VOTRE stupidité en introduisant de telles tâches.
Les événements qui se produisent dans la réalité ou dans notre imagination peuvent être divisés en 3 groupes. Ce sont certains événements qui se produiront certainement, des événements impossibles et des événements aléatoires. La théorie des probabilités étudie les événements aléatoires, c'est-à-dire des événements qui peuvent ou non se produire. Cet article présentera brièvement la théorie des formules de probabilité et des exemples de résolution de problèmes en théorie des probabilités, qui feront partie de la tâche 4 de l'examen d'État unifié en mathématiques (niveau profil).
Pourquoi avons-nous besoin de la théorie des probabilités ?
Historiquement, la nécessité d’étudier ces problématiques est apparue au XVIIe siècle en lien avec le développement et la professionnalisation des jeux de hasard et l’émergence des casinos. Il s’agissait d’un phénomène réel qui nécessitait sa propre étude et recherche.
Les cartes à jouer, les dés et la roulette créaient des situations dans lesquelles n'importe lequel d'un nombre fini d'événements également possibles pouvait se produire. Il était nécessaire de donner des estimations numériques de la possibilité qu'un événement particulier se produise.
Au XXe siècle, il est devenu clair que cette science apparemment frivole joue un rôle important dans la compréhension des processus fondamentaux qui se produisent dans le microcosme. La théorie moderne des probabilités a été créée.
Concepts de base de la théorie des probabilités
L'objet d'étude de la théorie des probabilités sont les événements et leurs probabilités. Si un événement est complexe, il peut alors être décomposé en éléments simples dont les probabilités sont faciles à trouver.
La somme des événements A et B est appelée événement C, qui consiste dans le fait que soit l'événement A, soit l'événement B, soit les événements A et B se sont produits simultanément.
Le produit des événements A et B est un événement C, ce qui signifie que l’événement A et l’événement B se sont produits.
Les événements A et B sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire simultanément.
Un événement A est dit impossible s’il ne peut pas se produire. Un tel événement est indiqué par le symbole .
Un événement A est dit certain s’il est certain qu’il se produira. Un tel événement est indiqué par le symbole .
Soit chaque événement A associé à un nombre P(A). Ce nombre P(A) est appelé probabilité de l'événement A si les conditions suivantes sont remplies avec cette correspondance.
Un cas particulier important est la situation dans laquelle il existe des résultats élémentaires également probables et des résultats arbitraires de ces événements forment les événements A. Dans ce cas, la probabilité peut être saisie à l'aide de la formule. La probabilité ainsi introduite est appelée probabilité classique. On peut prouver que dans ce cas les propriétés 1 à 4 sont satisfaites.
Les problèmes de théorie des probabilités qui apparaissent à l'examen d'État unifié de mathématiques sont principalement liés aux probabilités classiques. De telles tâches peuvent être très simples. Les problèmes de théorie des probabilités dans les versions de démonstration sont particulièrement simples. Il est facile de calculer le nombre de résultats favorables ; le nombre de tous les résultats est écrit directement dans la condition.
Nous obtenons la réponse en utilisant la formule.
Un exemple de problème de l'examen d'État unifié de mathématiques sur la détermination des probabilités
Il y a 20 tartes sur la table - 5 au chou, 7 aux pommes et 8 au riz. Marina veut prendre la tarte. Quelle est la probabilité qu’elle prenne la galette de riz ?
Solution.
Il y a 20 résultats élémentaires également probables, c'est-à-dire que Marina peut remporter n'importe laquelle des 20 tartes. Mais nous devons estimer la probabilité que Marina prenne la tarte au riz, c'est-à-dire où A est le choix de la tarte au riz. Cela signifie que le nombre d'issues favorables (choix de tartes avec du riz) n'est que de 8. La probabilité sera alors déterminée par la formule :
Événements indépendants, opposés et arbitraires
Cependant, des tâches plus complexes ont commencé à apparaître dans la banque de tâches ouverte. Attirons donc l’attention du lecteur sur d’autres questions étudiées en théorie des probabilités.
Les événements A et B sont dits indépendants si la probabilité de chacun ne dépend pas de la survenance de l’autre événement.
L'événement B est que l'événement A ne s'est pas produit, c'est-à-dire l'événement B est opposé à l'événement A. La probabilité de l'événement opposé est égale à un moins la probabilité de l'événement direct, c'est-à-dire .
Théorèmes d'addition et de multiplication de probabilités, formules
Pour les événements arbitraires A et B, la probabilité de la somme de ces événements est égale à la somme de leurs probabilités sans la probabilité de leur événement conjoint, c'est-à-dire .
Pour les événements indépendants A et B, la probabilité d'occurrence de ces événements est égale au produit de leurs probabilités, c'est-à-dire dans ce cas .
Les 2 derniers énoncés sont appelés théorèmes d’addition et de multiplication des probabilités.
Compter le nombre de résultats n’est pas toujours aussi simple. Dans certains cas, il est nécessaire d'utiliser des formules combinatoires. Le plus important est de compter le nombre d’événements qui satisfont à certaines conditions. Parfois, ces types de calculs peuvent devenir des tâches indépendantes.
De combien de manières 6 étudiants peuvent-ils être assis sur 6 sièges vides ? Le premier étudiant prendra l'une des 6 places. Chacune de ces options correspond à 5 façons pour le deuxième élève de prendre place. Il reste 4 places libres pour le troisième élève, 3 pour le quatrième, 2 pour le cinquième et le sixième prendra la seule place restante. Pour trouver le nombre de toutes les options, vous devez trouver le produit, qui est désigné par le symbole 6 ! et lit "factorielle six".
Dans le cas général, la réponse à cette question est donnée par la formule du nombre de permutations de n éléments.
Considérons maintenant un autre cas avec nos étudiants. De combien de façons 2 étudiants peuvent-ils être assis sur 6 sièges vides ? Le premier étudiant prendra l'une des 6 places. Chacune de ces options correspond à 5 façons pour le deuxième élève de prendre place. Pour trouver le nombre de toutes les options, vous devez trouver le produit.
En général, la réponse à cette question est donnée par la formule du nombre de placements de n éléments sur k éléments
Dans notre cas.
Et le dernier cas de cette série. De combien de façons peut-on choisir trois élèves sur 6 ? Le premier étudiant peut être sélectionné de 6 manières, le deuxième de 5 manières, le troisième de quatre manières. Mais parmi ces options, les trois mêmes étudiants apparaissent 6 fois. Pour trouver le nombre de toutes les options, vous devez calculer la valeur : . De manière générale, la réponse à cette question est donnée par la formule du nombre de combinaisons d'éléments par élément :
Dans notre cas.
Exemples de résolution de problèmes de l'examen d'État unifié en mathématiques pour déterminer la probabilité
Tâche 1. De la collection éditée par. Iachchenko.
Il y a 30 tartes dans l'assiette : 3 à la viande, 18 au chou et 9 aux cerises. Sasha choisit une tarte au hasard. Trouvez la probabilité qu'il se retrouve avec une cerise.
.
Réponse : 0,3.
Tâche 2. De la collection éditée par. Iachchenko.
Dans chaque lot de 1 000 ampoules, en moyenne, 20 sont défectueuses. Trouvez la probabilité qu'une ampoule prise au hasard dans un lot fonctionne.
Solution : Le nombre d’ampoules en état de marche est de 1 000 à 20 = 980. Ensuite la probabilité qu’une ampoule prise au hasard dans un lot fonctionne :
Réponse : 0,98.
La probabilité que l'élève U. résolve correctement plus de 9 problèmes lors d'un test de mathématiques est de 0,67. La probabilité que U. résolve correctement plus de 8 problèmes est de 0,73. Trouvez la probabilité que U résolve exactement 9 problèmes correctement.
Si nous imaginons une droite numérique et y marquons les points 8 et 9, alors nous verrons que la condition « U. résoudra exactement 9 problèmes correctement » est inclus dans la condition « U. résoudra correctement plus de 8 problèmes », mais ne s’applique pas à la condition « U. résoudra correctement plus de 9 problèmes.
Cependant, la condition « U. résoudra correctement plus de 9 problèmes » est contenu dans la condition « U. résoudra correctement plus de 8 problèmes. Ainsi, si l'on désigne des événements : « U. résoudra exactement 9 problèmes correctement" - via A, "U. résoudra correctement plus de 8 problèmes" - via B, "U. résoudra correctement plus de 9 problèmes » via C. Cette solution ressemblera à ceci :
Réponse : 0,06.
Lors d'un examen de géométrie, un étudiant répond à une question parmi une liste de questions d'examen. La probabilité qu’il s’agisse d’une question de trigonométrie est de 0,2. La probabilité qu'il s'agisse d'une question sur les angles externes est de 0,15. Aucune question ne porte simultanément sur ces deux sujets. Trouvez la probabilité qu'un étudiant reçoive une question sur l'un de ces deux sujets lors de l'examen.
Pensons aux événements que nous avons. On nous donne deux événements incompatibles. C'est-à-dire que soit la question portera sur le thème « Trigonométrie », soit sur le thème « Angles externes ». D'après le théorème des probabilités, la probabilité d'événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de chaque événement, il faut trouver la somme des probabilités de ces événements, soit :
Réponse : 0,35.
La pièce est éclairée par une lanterne à trois lampes. La probabilité qu’une lampe s’éteigne en un an est de 0,29. Trouvez la probabilité qu'au moins une lampe ne grille pas au cours de l'année.
Considérons les événements possibles. Nous avons trois ampoules, dont chacune peut griller ou non indépendamment de toute autre ampoule. Ce sont des événements indépendants.
Ensuite, nous indiquerons les options pour de tels événements. Utilisons les notations suivantes : - l'ampoule est allumée, - l'ampoule est grillée. Et juste à côté, nous calculerons la probabilité de l’événement. Par exemple, la probabilité d'un événement dans lequel trois événements indépendants « l'ampoule est grillée », « l'ampoule est allumée », « l'ampoule est allumée » se sont produits : , où la probabilité de l'événement « l'ampoule est grillée » est allumée » est calculée comme la probabilité de l'événement opposé à l'événement « l'ampoule n'est pas allumée », à savoir : .
Présenté à ce jour dans la banque ouverte de problèmes d'examen d'État unifié en mathématiques (mathege.ru), dont la solution repose sur une seule formule, qui est la définition classique de la probabilité.
La façon la plus simple de comprendre la formule consiste à utiliser des exemples.
Exemple 1. Il y a 9 boules rouges et 3 boules bleues dans le panier. Les boules ne diffèrent que par la couleur. On en sort un au hasard (sans regarder). Quelle est la probabilité que la boule ainsi choisie soit bleue ?
Commentaire. Dans les problèmes de théorie des probabilités, quelque chose se produit (dans ce cas, notre action de retirer la balle) qui peut avoir un résultat différent – un résultat. Il convient de noter que le résultat peut être envisagé de différentes manières. "Nous avons sorti une sorte de balle" est aussi un résultat. "Nous avons sorti la balle bleue" - le résultat. "Nous avons retiré exactement cette balle parmi toutes les balles possibles" - cette vision la moins généralisée du résultat est appelée un résultat élémentaire. Ce sont les résultats élémentaires qui sont pris en compte dans la formule de calcul de la probabilité.
Solution. Calculons maintenant la probabilité de choisir la boule bleue.
Événement A : « la balle sélectionnée s'est avérée bleue »
Nombre total de tous les résultats possibles : 9+3=12 (le nombre de toutes les boules que nous pourrions tirer)
Nombre de résultats favorables à l'événement A : 3 (le nombre de ces résultats dans lesquels l'événement A s'est produit - c'est-à-dire le nombre de boules bleues)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Réponse : 0,25
Pour le même problème, calculons la probabilité de choisir une boule rouge.
Le nombre total d'issues possibles restera le même, 12. Nombre d'issues favorables : 9. Probabilité recherchée : 9/12=3/4=0,75
La probabilité de tout événement est toujours comprise entre 0 et 1.
Parfois, dans le langage courant (mais pas dans la théorie des probabilités !), la probabilité des événements est estimée en pourcentage. La transition entre les scores en mathématiques et en conversation s'effectue en multipliant (ou en divisant) par 100 %.
Donc,
De plus, la probabilité est nulle pour des événements qui ne peuvent pas se produire – c'est incroyable. Par exemple, dans notre exemple, ce serait la probabilité de tirer une balle verte du panier. (Le nombre de résultats favorables est 0, P(A)=0/12=0, s'il est calculé à l'aide de la formule)
La probabilité 1 comporte des événements dont la réalisation est absolument certaine, sans options. Par exemple, la probabilité que « la balle sélectionnée soit rouge ou bleue » relève de notre tâche. (Nombre de résultats favorables : 12, P(A)=12/12=1)
Nous avons examiné un exemple classique illustrant la définition de la probabilité. Tous les problèmes similaires de l'examen d'État unifié en théorie des probabilités sont résolus en utilisant cette formule.
À la place des boules rouges et bleues, il peut y avoir des pommes et des poires, des garçons et des filles, des billets appris et non appris, des billets contenant ou non une question sur un sujet (prototypes), des sacs ou des pompes de jardin défectueux et de haute qualité (prototypes). ,) - le principe reste le même.
Ils diffèrent légèrement dans la formulation du problème de la théorie des probabilités de l'examen d'État unifié, où vous devez calculer la probabilité qu'un événement se produise un certain jour. ( , ) Comme dans les problèmes précédents, vous devez déterminer quel est le résultat élémentaire, puis appliquer la même formule.
Exemple 2. La conférence dure trois jours. Le premier et le deuxième jour, il y a 15 intervenants, le troisième jour - 20. Quelle est la probabilité que le rapport du professeur M. tombe le troisième jour si l'ordre des rapports est déterminé par tirage au sort ?
Quel est le résultat élémentaire ici ? – Attribuer au rapport du professeur l’un de tous les numéros d’ordre possibles pour le discours. 15+15+20=50 personnes participent au tirage au sort. Ainsi, le rapport du professeur M. pourra recevoir l'un des 50 numéros. Cela signifie qu'il n'y a que 50 résultats élémentaires.
Quelles sont les issues favorables ? - Celles dans lesquelles il s'avère que le professeur interviendra le troisième jour. Autrement dit, les 20 derniers chiffres.
D'après la formule, probabilité P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Réponse : 0,4
Le tirage au sort représente ici l'établissement d'une correspondance aléatoire entre des personnes et des lieux ordonnés. Dans l'exemple 2, l'appariement a été considéré du point de vue des places qu'une personne particulière pourrait occuper. Vous pouvez aborder la même situation de l'autre côté : laquelle des personnes avec quelle probabilité pourrait se rendre à un endroit précis (prototypes , , , ) :
Exemple 3. Le tirage au sort comprend 5 Allemands, 8 Français et 3 Estoniens. Quelle est la probabilité que le premier (/second/septième/dernier – peu importe) soit un Français.
Le nombre de résultats élémentaires est le nombre de toutes les personnes possibles qui pourraient accéder à un endroit donné par tirage au sort. 5+8+3=16 personnes.
Résultats favorables - Français. 8 personnes.
Probabilité requise : 8/16=1/2=0,5
Réponse : 0,5
Le prototype est légèrement différent. Il y a encore des problèmes avec les pièces () et les dés (), qui sont un peu plus créatifs. La solution à ces problèmes se trouve sur les pages des prototypes.
Voici quelques exemples de lancer une pièce ou un dé.
Exemple 4. Quand on lance une pièce de monnaie, quelle est la probabilité d’arriver sur face ?
Il y a 2 résultats : pile ou face. (on pense que la pièce n’atteint jamais sur sa tranche) Un résultat favorable est pile, 1.
Probabilité 1/2=0,5
Réponse : 0,5.
Exemple 5. Et si on jetait une pièce deux fois ? Quelle est la probabilité que cela tombe face les deux fois ?
L'essentiel est de déterminer quels résultats élémentaires nous prendrons en compte lorsque nous lancerons deux pièces. Après avoir lancé deux pièces, l’un des résultats suivants peut se produire :
1) PP – les deux fois, c’est tombé sur face
2) PO – première fois face, deuxième fois face
3) OP – pile la première fois, face la deuxième fois
4) OO – des têtes sont levées les deux fois
Il n'y a pas d'autres options. Cela signifie qu’il y a 4 résultats élémentaires. Seul le premier, 1, est favorable.
Probabilité : 1/4=0,25
Réponse : 0,25
Quelle est la probabilité que deux tirages à pile ou face aboutissent à pile ?
Le nombre de résultats élémentaires est le même, 4. Les résultats favorables sont le deuxième et le troisième, 2.
Probabilité d'obtenir une queue : 2/4=0,5
Dans de tels problèmes, une autre formule peut être utile.
Si avec un tirage au sort nous avons 2 options de résultats possibles, alors pour deux lancers, les résultats seront 2 2 = 2 2 = 4 (comme dans l'exemple 5), pour trois lancers 2 2 2 = 2 3 = 8, pour quatre : 2·2·2·2=2 4 =16, ... pour N lancers les résultats possibles seront 2·2·...·2=2 N .
Ainsi, vous pouvez trouver la probabilité d’obtenir 5 faces sur 5 lancers de pièces.
Nombre total d'objectifs élémentaires : 2 5 =32.
Résultats favorables : 1. (RRRRRR – c'est face aux 5 fois)
Probabilité : 1/32=0,03125
Il en va de même pour les dés. Avec un lancer, il y a 6 résultats possibles Donc, pour deux lancers : 6 6 = 36, pour trois 6 6 6 = 216, etc.
Exemple 6. Nous jetons les dés. Quelle est la probabilité qu’un nombre pair soit obtenu ?
Résultats totaux : 6, selon le nombre de côtés.
Favorable : 3 résultats. (2, 4, 6)
Probabilité : 3/6=0,5
Exemple 7. On lance deux dés. Quelle est la probabilité que le total soit de 10 ? (arrondir au centième près)
Pour un dé, il y a 6 résultats possibles. Cela signifie que pour deux, selon la règle ci-dessus, 6·6=36.
Quels résultats seront favorables pour que le total obtienne 10 ?
10 doit être décomposé en la somme de deux nombres de 1 à 6. Cela peut se faire de deux manières : 10=6+4 et 10=5+5. Cela signifie que les options suivantes sont possibles pour les cubes :
(6 sur le premier et 4 sur le deuxième)
(4 sur le premier et 6 sur le deuxième)
(5 sur le premier et 5 sur le deuxième)
Au total, 3 options. Probabilité requise : 3/36=1/12=0,08
Réponse : 0,08
D’autres types de problèmes B6 seront abordés dans un prochain article Comment résoudre.
Attention aux candidats ! Plusieurs tâches USE sont abordées ici. Le reste, plus intéressant, est dans notre vidéo gratuite. Regardez et faites !
Nous commencerons par des problèmes simples et des concepts de base de la théorie des probabilités.
Aléatoire Un événement qui ne peut être prédit avec précision à l’avance est appelé. Cela peut arriver ou non.
Vous avez gagné à la loterie – un événement aléatoire. Vous avez invité des amis pour célébrer votre victoire et, en chemin, ils se sont retrouvés coincés dans l'ascenseur - également un événement aléatoire. Certes, le maître s'est avéré être à proximité et a libéré toute l'entreprise en dix minutes - et cela peut aussi être considéré comme un heureux accident...
Notre vie est pleine d'événements aléatoires. À propos de chacun d'eux, nous pouvons dire que cela arrivera avec certains probabilité. Très probablement, vous connaissez intuitivement ce concept. Nous allons maintenant donner la définition mathématique de la probabilité.
Commençons par l'exemple le plus simple. Vous lancez une pièce de monnaie. Pile ou face?
Une telle action, qui peut conduire à un résultat parmi plusieurs, est appelée en théorie des probabilités test.
Pile et queue – deux possibles résultat essais.
Des têtes tomberont dans un cas sur deux possibles. Ils disent que probabilité que la pièce atterrira sur face est .
Lançons un dé. Le dé a six faces, il y a donc également six résultats possibles.
Par exemple, vous souhaitiez que trois points apparaissent. Il s’agit d’un résultat sur six possibles. En théorie des probabilités, on l'appellera issue favorable.
La probabilité d'obtenir un trois est égale (une issue favorable sur six possibles).
La probabilité de quatre est également
Mais la probabilité qu’un sept apparaisse est nulle. Après tout, il n’y a pas de bord à sept points sur le cube.
La probabilité d’un événement est égale au rapport entre le nombre d’issues favorables et le nombre total d’issues.
Évidemment, la probabilité ne peut pas être supérieure à un.
Voici un autre exemple. Il y a des pommes dans un sac, certaines sont rouges, les autres sont vertes. Les pommes ne diffèrent ni par leur forme ni par leur taille. Vous mettez la main dans le sac et en retirez une pomme au hasard. La probabilité de tirer une pomme rouge est égale à , et la probabilité de tirer une pomme verte est égale à .
La probabilité d’obtenir une pomme rouge ou verte est égale.
Analysons les problèmes de théorie des probabilités inclus dans les recueils de préparation à l'examen d'État unifié.
. La compagnie de taxi dispose actuellement de voitures gratuites : rouges, jaunes et vertes. L’une des voitures les plus proches du client a répondu à l’appel. Trouvez la probabilité qu'un taxi jaune vienne à elle.
Il y a un total de voitures, c'est-à-dire qu'une sur quinze viendra chez le client. Il y en a neuf jaunes, ce qui signifie que la probabilité qu’une voiture jaune arrive est égale à , c’est-à-dire.
. (Version démo) Dans la collection de tickets sur la biologie de tous les tickets, dans deux d'entre eux il y a une question sur les champignons. Lors de l'examen, l'étudiant reçoit un ticket sélectionné au hasard. Trouvez la probabilité que ce ticket ne contienne pas de question sur les champignons.
Évidemment, la probabilité de tirer un ticket sans poser de questions sur les champignons est égale à , c'est-à-dire .
. Le comité de parents a acheté des puzzles à offrir aux enfants à la fin de l'année scolaire, notamment des peintures d'artistes célèbres et des images d'animaux. Les cadeaux sont distribués au hasard. Trouvez la probabilité que Vovochka obtienne un puzzle avec un animal.
Le problème est résolu de la même manière.
Répondre: .
. Des athlètes de Russie, des États-Unis et d'autres de Chine participent au championnat de gymnastique. L'ordre dans lequel les gymnastes évoluent est déterminé par tirage au sort. Trouvez la probabilité que le dernier athlète à concourir vienne de Chine.
Imaginons que tous les athlètes s'approchent simultanément du chapeau et en retirent des morceaux de papier avec des chiffres. Certains d’entre eux obtiendront le numéro vingt. La probabilité qu'un athlète chinois s'en sorte est égale (puisque les athlètes viennent de Chine). Répondre: .
. Il a été demandé à l'étudiant de nommer le numéro de à. Quelle est la probabilité qu’il nomme un nombre multiple de cinq ?
Tous les cinq un nombre de cet ensemble est divisible par . Cela signifie que la probabilité est égale à .
Un dé est lancé. Trouvez la probabilité d'obtenir un nombre impair de points.
Nombres impairs ; - même. La probabilité d'obtenir un nombre impair de points est .
Répondre: .
. La pièce est lancée trois fois. Quelle est la probabilité d’avoir deux têtes et une queue ?
A noter que le problème peut être formulé différemment : trois pièces ont été lancées en même temps. Cela n’affectera pas la décision.
Selon vous, combien de résultats possibles existe-t-il ?
Nous jetons une pièce de monnaie. Cette action a deux résultats possibles : pile ou face.
Deux pièces - déjà quatre résultats :
Trois pièces ? C'est vrai, les résultats, puisque .
Deux piles et une pile apparaissent trois fois sur huit.
Répondre: .
. Dans une expérience aléatoire, deux dés sont lancés. Trouvez la probabilité que le total soit de points. Arrondissez le résultat au centième.
Nous jetons le premier dé : six résultats. Et pour chacun d'eux, six autres sont possibles - lorsque nous lançons le deuxième dé.
Nous constatons que cette action – lancer deux dés – a un total de résultats possibles, puisque .
Et maintenant - des résultats favorables :
La probabilité d'obtenir huit points est de .
>. Le tireur atteint la cible avec probabilité. Trouvez la probabilité qu'il atteigne la cible quatre fois de suite.
Si la probabilité d’un succès est égale, alors la probabilité d’un échec est de . On raisonne de la même manière que dans le problème précédent. La probabilité de deux coups sûrs d'affilée est égale. Et la probabilité de quatre coups sûrs d'affilée est égale.
Probabilité : logique de force brute.
Voici un problème issu du travail de diagnostic que beaucoup de gens ont trouvé difficile.
Petya avait dans sa poche des pièces d'une valeur de roubles et des pièces d'une valeur de roubles. Petya, sans regarder, a transféré quelques pièces dans une autre poche. Trouvez la probabilité que les pièces de cinq roubles se trouvent maintenant dans différentes poches.
Nous savons que la probabilité d’un événement est égale au rapport entre le nombre d’issues favorables et le nombre total d’issues. Mais comment calculer tous ces résultats ?
Vous pouvez bien sûr désigner des pièces de cinq roubles avec des chiffres et des pièces de dix roubles avec des chiffres - puis compter le nombre de façons dont vous pouvez sélectionner trois éléments de l'ensemble.
Il existe cependant une solution plus simple :
Nous codons les pièces avec des chiffres : , (ce sont des pièces de cinq roubles), (ce sont des pièces de dix roubles). La condition problématique peut maintenant être formulée comme suit :
Il y a six jetons avec des numéros de à . De combien de manières peut-on les répartir également dans deux poches, afin que les jetons avec des chiffres ne finissent pas ensemble ?
Écrivons ce que nous avons dans notre première poche.
Pour ce faire, nous composerons toutes les combinaisons possibles à partir de l'ensemble. Un ensemble de trois jetons sera un nombre à trois chiffres. Évidemment, dans nos conditions, ce sont les mêmes jeux de puces. Afin de ne rien manquer et de ne rien répéter, nous classons les nombres à trois chiffres correspondants par ordre croissant :
Tous! Nous avons passé en revue toutes les combinaisons possibles en commençant par . Continuons :
Total des résultats possibles.
Nous avons une condition : les jetons avec des chiffres ne doivent pas être ensemble. Cela signifie, par exemple, que la combinaison ne nous convient pas - cela signifie que les deux jetons ne se sont pas retrouvés dans la première, mais dans la deuxième poche. Les résultats qui nous sont favorables sont ceux où il y a soit seulement, soit seulement. Les voici :
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – total des résultats favorables.
Alors la probabilité requise est égale à .
Quelles tâches vous attendent à l'examen d'État unifié de mathématiques ?
Analysons l'un des problèmes complexes de la théorie des probabilités.
Pour entrer à l'institut de spécialité « Linguistique », le candidat Z. doit obtenir au moins 70 points à l'examen d'État unifié dans chacune des trois matières : mathématiques, langue russe et langue étrangère. Pour vous inscrire à la spécialité « Commerce », vous devez obtenir au moins 70 points dans chacune des trois matières : mathématiques, langue russe et études sociales.
La probabilité que le candidat Z. obtienne au moins 70 points en mathématiques est de 0,6, en russe - 0,8, en langue étrangère - 0,7 et en sciences sociales - 0,5.
Trouvez la probabilité que Z. puisse s'inscrire dans au moins une des deux spécialités mentionnées.
Notez que le problème ne demande pas si un candidat nommé Z. étudiera à la fois la linguistique et le commerce et recevra deux diplômes. Ici, nous devons trouver la probabilité que Z. puisse s'inscrire dans au moins une de ces deux spécialités, c'est-à-dire qu'il obtiendra le nombre de points requis.
Pour accéder à au moins une des deux spécialités, Z. doit obtenir au moins 70 points en mathématiques. Et en russe. Et aussi - études sociales ou étrangères.
La probabilité qu’il obtienne 70 points en mathématiques est de 0,6.
La probabilité de marquer des points en mathématiques et en russe est de 0,6 à 0,8.
Parlons des études étrangères et sociales. Les options qui nous conviennent sont lorsque le candidat a obtenu des points en études sociales, en études étrangères ou les deux. L'option ne convient pas lorsqu'il n'a marqué aucun point ni dans la langue ni dans la « société ». Cela signifie que la probabilité de réussir des études sociales ou une langue étrangère avec au moins 70 points est égale à
1 – 0,5 0,3.
En conséquence, la probabilité de réussir les mathématiques, les études russes et sociales ou étrangères est égale
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. C'est la réponse.
La probabilité d'un événement $A$ est le rapport entre le nombre de résultats favorables pour $A$ et le nombre de tous les résultats également possibles.
$P(A)=(m)/(n)$, où $n$ est le nombre total de résultats possibles, et $m$ est le nombre de résultats favorables à l'événement $A$.
La probabilité d'un événement est un nombre du segment $$
La compagnie de taxi a des voitures à 50$ en stock. 35$ d'entre eux sont noirs, le reste est jaune.
Trouvez la probabilité qu'une voiture jaune réponde à un appel aléatoire.
Trouvons le nombre de voitures jaunes :
Il y a des voitures à 50$ au total, soit une sur cinquante répondra à un appel. Les voitures jaunes coûtent 15 $, donc la probabilité qu'une voiture jaune arrive est $(15)/(50)=(3)/(10)=0,3$.
Réponse : 0,3$
Événements opposés
Deux événements sont dits opposés si dans un test donné ils sont incompatibles et que l'un d'eux se produit nécessairement. Les probabilités d'événements opposés totalisent 1. Un événement opposé à l'événement $A$ s'écrit $((A))↖(-)$.
$P(UNE)+P((UNE))↖(-)=1$
Événements indépendants
Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la probabilité d'occurrence de chacun d'eux ne dépend pas du fait que l'autre événement s'est produit ou non. Sinon, les événements sont dits dépendants.
La probabilité du produit de deux événements indépendants $A$ et $B$ est égale au produit de ces probabilités :
Ivan Ivanovitch a acheté deux billets de loterie différents. La probabilité de gagner le premier billet de loterie est de 0,15 $. La probabilité que le deuxième billet de loterie gagne est de 0,12 $. Ivan Ivanovitch participe aux deux tirages. En supposant que les tirages se déroulent indépendamment les uns des autres, déterminez la probabilité qu'Ivan Ivanovitch gagne dans les deux tirages.
Probabilité $P(A)$ - le premier ticket gagnera.
Probabilité $P(B)$ - le deuxième ticket gagnera.
Les événements $A$ et $B$ sont des événements indépendants. Autrement dit, pour trouver la probabilité que les deux événements se produisent, vous devez trouver le produit des probabilités
La probabilité du produit de deux événements indépendants $A$ et $B$ est égale au produit de ces probabilités :
$Р=0,15·0,12=0,018$
Réponse : 0,018 $
Événements incompatibles
Deux événements $A$ et $B$ sont dits incompatibles s'il n'y a aucun résultat qui favorise à la fois l'événement $A$ et l'événement $B$. (Événements qui ne peuvent pas se produire en même temps)
La probabilité de la somme de deux événements incompatibles $A$ et $B$ est égale à la somme des probabilités de ces événements :
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
Lors d’un examen d’algèbre, un étudiant reçoit une question parmi toutes les questions de l’examen. La probabilité qu'il s'agisse d'une question sur les équations quadratiques est de 0,3$. La probabilité qu'il s'agisse d'une question d'équations irrationnelles est de 0,18 $. Aucune question ne porte simultanément sur ces deux sujets. Trouvez la probabilité qu'un étudiant reçoive une question sur l'un de ces deux sujets lors de l'examen.
Ces événements sont dits incompatibles, puisque l'étudiant se verra poser une question SOIT sur le thème « Équations quadratiques » OU sur le thème « Équations irrationnelles ». Les sujets ne peuvent pas être trouvés en même temps. La probabilité de la somme de deux événements incompatibles $A$ et $B$ est égale à la somme des probabilités de ces événements :
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
$P = 0,3+0,18=0,48$
Réponse : 0,48 $
Événements communs
Deux événements sont dits conjoints si la survenance de l’un d’eux n’exclut pas la survenance de l’autre au cours d’un même procès. Sinon, les événements sont dits incompatibles.
La probabilité de la somme de deux événements conjoints $A$ et $B$ est égale à la somme des probabilités de ces événements moins la probabilité de leur produit :
$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(UNE B)$
Dans la salle de cinéma, deux machines identiques vendent du café. La probabilité que la machine manque de café à la fin de la journée est de 0,6$. La probabilité que les deux machines manquent de café est de 0,32$. Trouvez la probabilité qu'à la fin de la journée, au moins une des machines soit à court de café.
Notons les événements :
$A$ = le café sera épuisé dans la première machine,
$B$ = le café sera épuisé dans la deuxième machine.
$A·B =$ le café va manquer dans les deux machines,
$A + B =$ le café sera épuisé dans au moins une machine.
Selon la condition, $P(A) = P(B) = 0,6 ; P(A·B) = 0,32 $.
Les événements $A$ et $B$ sont conjoints, la probabilité de la somme de deux événements conjoints est égale à la somme des probabilités de ces événements, diminuée de la probabilité de leur produit :
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
