Qu'est-ce qu'une équation exponentielle ? Exemples.

Donc, une équation exponentielle... Une nouvelle exposition unique dans notre exposition générale d'une grande variété d'équations !) Comme c'est presque toujours le cas, le mot clé de tout nouveau terme mathématique est l'adjectif correspondant qui le caractérise. C'est donc ici. Le mot clé du terme « équation exponentielle » est le mot "indicatif". Qu'est-ce que ça veut dire? Ce mot signifie que l'inconnu (x) se trouve en termes de diplômes. Et seulement là ! C'est extrêmement important.

Par exemple, ces équations simples :

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ou encore ces monstres :

2 péché x = 0,5

Veuillez immédiatement prêter attention à une chose importante : raisons degrés (en bas) – seulement des chiffres. Mais dans indicateurs degrés (ci-dessus) - une grande variété d'expressions avec un X. Absolument n'importe lequel.) Tout dépend de l'équation spécifique. Si, soudainement, x apparaît ailleurs dans l'équation, en plus de l'indicateur (disons, 3 x = 18 + x 2), alors une telle équation sera déjà une équation type mixte. De telles équations n’ont pas de règles claires pour les résoudre. Nous ne les considérerons donc pas dans cette leçon. Pour le plus grand plaisir des étudiants.) Nous ne considérerons ici que les équations exponentielles sous leur forme « pure ».

D’une manière générale, toutes les équations exponentielles pures, et même pas toujours, ne peuvent pas être résolues clairement. Mais parmi toute la riche variété d’équations exponentielles, il existe certains types qui peuvent et doivent être résolus. Ce sont ces types d’équations que nous considérerons. Et nous allons certainement résoudre les exemples.) Alors mettons-nous à l’aise et c’est parti ! Comme dans les jeux de tir sur ordinateur, notre voyage se déroulera à travers les niveaux.) De l'élémentaire au simple, du simple à l'intermédiaire et de l'intermédiaire au complexe. En chemin, un niveau secret vous attendra également : des techniques et des méthodes pour résoudre des exemples non standard. Ceux que vous ne lirez pas dans la plupart des manuels scolaires... Enfin, et à la fin, bien sûr, un boss final vous attend sous forme de devoirs.)

Niveau 0. Quelle est l’équation exponentielle la plus simple ? Résoudre des équations exponentielles simples.

Tout d’abord, regardons quelques éléments franchement élémentaires. Il faut bien commencer quelque part, non ? Par exemple, cette équation :

2 x = 2 2

Même sans aucune théorie, par simple logique et bon sens, il est clair que x = 2. Il n’y a pas d’autre moyen, n’est-ce pas ? Aucune autre signification de X ne convient... Et maintenant tournons notre attention vers compte rendu de la décision cette équation exponentielle sympa :

2 x = 2 2

X = 2

Que nous est-il arrivé ? Et ce qui suit s'est produit. En fait, nous l'avons pris et... avons simplement jeté les mêmes bases (deux) ! Complètement jeté. Et la bonne nouvelle, c’est que nous avons frappé dans le mille !

Oui, en effet, si dans une équation exponentielle il y a gauche et droite identique nombres dans n'importe quelle puissance, alors ces nombres peuvent être écartés et égaliser simplement les exposants. Les mathématiques le permettent.) Et puis vous pouvez travailler séparément avec les indicateurs et résoudre une équation beaucoup plus simple. Super, non ?

Voici l’idée clé pour résoudre n’importe quelle (oui, exactement n’importe quelle !) équation exponentielle : en utilisant des transformations identiques, il faut s'assurer que les côtés gauche et droit de l'équation sont identique nombres de base dans diverses puissances. Et puis vous pouvez supprimer en toute sécurité les mêmes bases et assimiler les exposants. Et travaillez avec une équation plus simple.

Rappelons maintenant la règle de fer : il est possible de supprimer des bases identiques si et seulement si les nombres à gauche et à droite de l'équation ont des numéros de base dans un splendide isolement.

Qu'est-ce que cela signifie, dans un splendide isolement ? Cela signifie sans voisins ni coefficients. Laissez-moi vous expliquer.

Par exemple, dans l'équation.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Les trois ne peuvent pas être supprimés ! Pourquoi? Parce qu'à gauche, nous n'avons pas seulement trois degrés solitaires, mais travail 3·3x-5 . Trois autres interfèrent : le coefficient, vous comprenez.)

On peut dire la même chose de l'équation

5 3 x = 5 2 x +5 x

Ici aussi, toutes les bases sont les mêmes - cinq. Mais à droite nous n’avons pas une seule puissance de cinq : il y a une somme de puissances !

Bref, on a le droit de supprimer des bases identiques uniquement lorsque notre équation exponentielle ressemble à ceci et uniquement à ceci :

unf (x) = un g (x)

Ce type d'équation exponentielle est appelé le plus simple. Ou, d'un point de vue scientifique, canonique . Et quelle que soit l’équation alambiquée que nous avons devant nous, nous la réduirons, d’une manière ou d’une autre, précisément à cette forme (canonique) la plus simple. Ou, dans certains cas, pour totalitééquations de ce genre. Ensuite, notre équation la plus simple peut être réécrite sous la forme générale suivante :

F(x) = g(x)

C'est tout. Ce serait une conversion équivalente. Dans ce cas, f(x) et g(x) peuvent être absolument n'importe quelle expression avec un x. Peu importe.

Peut-être qu'un étudiant particulièrement curieux se demandera : pourquoi diable rejetons-nous si facilement et simplement les mêmes bases à gauche et à droite et assimilons-nous les exposants ? L'intuition est l'intuition, mais que se passe-t-il si, dans une équation et pour une raison quelconque, cette approche s'avère incorrecte ? Est-il toujours légal de rejeter les mêmes motifs ? Malheureusement, pour obtenir une réponse mathématique rigoureuse à cette question intéressante, vous devez vous plonger assez profondément et sérieusement dans la théorie générale de la structure et du comportement des fonctions. Et un peu plus précisément - dans le phénomène monotonie stricte. En particulier, une stricte monotonie fonction exponentielleoui= un x. Puisque c'est la fonction exponentielle et ses propriétés qui sous-tendent la solution des équations exponentielles, oui.) Une réponse détaillée à cette question sera donnée dans une leçon spéciale distincte consacrée à la résolution d'équations complexes non standard en utilisant la monotonie de différentes fonctions.)

Expliquer ce point en détail maintenant ne ferait qu'époustoufler l'écolier moyen et l'effrayer à l'avance avec une théorie sèche et lourde. Je ne ferai pas ça.) Parce que notre tâche principale en ce moment est apprenez à résoudre des équations exponentielles ! Les plus simples ! Par conséquent, ne nous inquiétons pas encore et rejetons hardiment les mêmes raisons. Ce Peut, croyez-moi sur parole !) Et puis nous résolvons l’équation équivalente f(x) = g(x). En règle générale, plus simple que l'exponentielle originale.

On suppose bien sûr qu'à l'heure actuelle, les gens savent déjà comment résoudre au moins , et des équations sans x dans les exposants.) Pour ceux qui ne savent toujours pas comment, n'hésitez pas à fermer cette page, suivez les liens correspondants. et comblez les anciennes lacunes. Sinon tu vas avoir du mal, oui...

Je ne parle pas des équations irrationnelles, trigonométriques et autres brutales qui peuvent également surgir lors du processus d'élimination des fondations. Mais ne vous inquiétez pas, nous n’envisagerons pas pour l’instant la cruauté pure et simple en termes de degrés : c’est trop tôt. Nous nous entraînerons uniquement sur les équations les plus simples.)

Examinons maintenant les équations qui nécessitent un effort supplémentaire pour les réduire au plus simple. Par souci de distinction, appelons-les équations exponentielles simples. Alors passons au niveau supérieur !

Niveau 1. Équations exponentielles simples. Reconnaissons les diplômes ! Indicateurs naturels.

Les règles clés pour résoudre toute équation exponentielle sont règles pour gérer les diplômes. Sans ces connaissances et compétences, rien ne fonctionnera. Hélas. Donc, s’il y a des problèmes avec les diplômes, vous êtes d’abord les bienvenus. De plus, nous aurons également besoin de . Ces transformations (deux d’entre elles !) constituent la base de la résolution de toutes les équations mathématiques en général. Et pas seulement démonstratifs. Alors, si vous avez oublié, jetez également un œil au lien : je ne me contente pas de les mettre là.

Mais les opérations de pouvoirs et de transformations identitaires ne suffisent pas. L'observation personnelle et l'ingéniosité sont également requises. Nous avons besoin des mêmes raisons, n'est-ce pas ? Nous examinons donc l'exemple et les recherchons sous une forme explicite ou déguisée !

Par exemple, cette équation :

3 2 x – 27 x +2 = 0

Regardez d'abord terrains. Ils sont... différents ! Trois et vingt-sept. Mais il est trop tôt pour paniquer et désespérer. Il est temps de s'en souvenir

27 = 3 3

Les nombres 3 et 27 sont parents par degré ! Et les proches.) Par conséquent, nous avons parfaitement le droit d'écrire :

27 x +2 = (3 3) x+2

Relions maintenant nos connaissances sur actions avec diplômes(et je vous avais prévenu !). Il y a là une formule très utile :

(une m) n = une minute

Si vous le mettez maintenant en action, cela fonctionne très bien :

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

L'exemple original ressemble maintenant à ceci :

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Génial, les bases des diplômes se sont stabilisées. C'est ce que nous voulions. La moitié de la bataille est terminée.) Et maintenant nous lançons la transformation d'identité de base - déplacez 3 3(x +2) vers la droite. Personne n'a annulé les opérations élémentaires des mathématiques, oui.) On obtient :

3 2x = 3 3(x +2)

Que nous donne ce type d’équation ? Et le fait que maintenant notre équation soit réduite à la forme canonique: à gauche et à droite il y a les mêmes nombres (trois) en puissances. De plus, tous les trois vivent dans un splendide isolement. N'hésitez pas à supprimer les triples et obtenez :

2x = 3(x+2)

Nous résolvons cela et obtenons :

X = -6

C'est ça. C'est la bonne réponse.)

Réfléchissons maintenant à la solution. Qu’est-ce qui nous a sauvé dans cet exemple ? La connaissance des pouvoirs de trois nous a sauvés. Comment exactement ? Nous identifié le numéro 27 contient un trois crypté ! Cette astuce (coder la même base sous des nombres différents) est l’une des plus populaires dans les équations exponentielles ! A moins que ce soit le plus populaire. Oui, et de la même manière, d'ailleurs. C'est pourquoi l'observation et la capacité de reconnaître les puissances d'autres nombres dans les nombres sont si importantes dans les équations exponentielles !

Conseils pratiques :

Vous devez connaître les pouvoirs des nombres populaires. En face !

Bien sûr, n’importe qui peut élever deux à la puissance septième ou trois à la puissance cinquième. Pas dans mon esprit, mais au moins dans une ébauche. Mais dans les équations exponentielles, il faut bien plus souvent non pas élever à une puissance, mais, au contraire, découvrir quel nombre et à quelle puissance se cache derrière le nombre, disons 128 ou 243. Et c'est plus compliqué que de simple relance, vous en conviendrez. Sentez la différence, comme on dit !

Puisque la capacité de reconnaître les diplômes en personne sera utile non seulement à ce niveau, mais aussi aux suivants, voici une petite tâche pour vous :

Déterminez à quelles puissances et à quels nombres correspondent les nombres :

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Réponses (au hasard bien sûr) :

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Oui, oui ! Ne soyez pas surpris qu'il y ait plus de réponses que de tâches. Par exemple, 2 8, 4 4 et 16 2 valent tous 256.

Niveau 2. Équations exponentielles simples. Reconnaissons les diplômes ! Indicateurs négatifs et fractionnaires.

À ce niveau, nous utilisons déjà au maximum nos connaissances en matière de diplômes. À savoir, nous impliquons des indicateurs négatifs et fractionnaires dans ce processus fascinant ! Oui, oui ! Nous devons augmenter notre pouvoir, n'est-ce pas ?

Par exemple, cette terrible équation :

Encore une fois, le premier coup d’œil se porte sur les fondations. Les raisons sont différentes ! Et cette fois, ils ne se ressemblent même pas du tout ! 5 et 0,04... Et pour éliminer les bases, il faut les mêmes... Que faire ?

C'est bon! En fait, tout est pareil, c'est juste que le lien entre cinq et 0,04 est visuellement peu visible. Comment pouvons-nous en sortir ? Passons au nombre 0,04 comme fraction ordinaire ! Et puis, voyez-vous, tout s'arrangera.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Ouah! Il s'avère que 0,04 équivaut à 1/25 ! Eh bien, qui l'aurait pensé !)

Alors comment ? Est-il désormais plus facile de voir le lien entre les nombres 5 et 1/25 ? C'est ça...

Et maintenant selon les règles d'actions avec des diplômes avec indicateur négatif Vous pouvez écrire d’une main ferme :

C'est super. Nous sommes donc arrivés à la même base - cinq. Nous remplaçons maintenant le nombre gênant 0,04 dans l'équation par 5 -2 et obtenons :

Encore une fois, d’après les règles des opérations avec degrés, on peut désormais écrire :

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Au cas où, je vous rappelle (au cas où quelqu'un ne le saurait pas) que les règles de base en matière de gestion des diplômes sont valables pour n'importe lequel indicateurs! Y compris pour les négatifs.) Alors, n'hésitez pas à prendre et multiplier les indicateurs (-2) et (x-1) selon la règle appropriée. Notre équation s’améliore de plus en plus :

Tous! A part les cinq solitaires, il n'y a rien d'autre dans les puissances de gauche et de droite. L'équation est réduite à la forme canonique. Et puis - le long de la piste moletée. Nous supprimons les cinq et assimilons les indicateurs :

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

L'exemple est presque résolu. Il ne reste plus que les mathématiques du primaire - ouvrez (correctement !) les parenthèses et récupérez tout ce qui se trouve à gauche :

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Nous résolvons cela et obtenons deux racines :

x 1 = 1; x 2 = 3

C'est tout.)

Maintenant réfléchissons à nouveau. Dans cet exemple, nous avons encore dû reconnaître le même nombre à des degrés différents ! A savoir, voir un cinq crypté dans le nombre 0,04. Et cette fois - dans degré négatif ! Comment avons-nous fait cela ? Dès le départ, pas question. Mais après être passé de la fraction décimale 0,04 à la fraction commune 1/25, tout est devenu clair ! Et puis toute la décision s’est déroulée comme sur des roulettes.)

Par conséquent, un autre conseil pratique vert.

Si une équation exponentielle contient des fractions décimales, alors on passe des fractions décimales aux fractions ordinaires. Il est beaucoup plus facile de reconnaître les puissances de nombreux nombres populaires sous forme de fractions ! Après reconnaissance, on passe des fractions aux puissances avec des exposants négatifs.

Gardez à l’esprit que cette astuce se produit très, très souvent dans les équations exponentielles ! Mais la personne n'est pas dans le sujet. Il regarde par exemple les nombres 32 et 0,125 et s'énerve. À son insu, il s'agit d'un seul et même deux, mais à des degrés différents... Mais vous êtes déjà au courant !)

Résolvez l'équation :

Dans! Cela ressemble à une horreur tranquille... Cependant, les apparences sont trompeuses. Il s’agit de l’équation exponentielle la plus simple, malgré son apparence intimidante. Et maintenant je vais vous le montrer.)

Tout d’abord, regardons tous les nombres dans les bases et les coefficients. Ils sont bien sûr différents, oui. Mais nous allons quand même prendre un risque et essayer de les faire identique! Essayons d'arriver à le même nombre dans des puissances différentes. De plus, de préférence, les nombres sont les plus petits possibles. Alors commençons le décodage !

Eh bien, avec les quatre, tout est immédiatement clair - c'est 2 2. Donc c'est déjà quelque chose.)

Avec une fraction de 0,25 – ce n’est toujours pas clair. Il faut vérifier. Utilisons des conseils pratiques - passez d'une fraction décimale à une fraction ordinaire :

0,25 = 25/100 = 1/4

Beaucoup mieux déjà. Parce que maintenant, il est clairement visible que 1/4 vaut 2 -2. Génial, et le nombre 0,25 s'apparente également à deux.)

Jusqu'ici, tout va bien. Mais le pire de tous reste : racine carrée de deux ! Que faire de ce poivre ? Peut-il également être représenté comme une puissance de deux ? Et qui sait...

Eh bien, replongeons-nous dans notre trésor de connaissances sur les diplômes ! Cette fois, nous connectons également nos connaissances à propos des racines. Dès le cours de 9e année, vous et moi aurions dû apprendre que toute racine, si on le souhaite, peut toujours être transformée en diplôme avec un indicateur fractionnaire.

Comme ça:

Dans notre cas :

Ouah! Il s’avère que la racine carrée de deux est 2 1/2. C'est ça!

C'est super! Tous nos numéros gênants se sont en fait révélés être un deux crypté.) Je ne discute pas, quelque part crypté de manière très sophistiquée. Mais nous améliorons également notre professionnalisme dans la résolution de tels chiffrements ! Et puis tout est déjà évident. Dans notre équation on remplace les nombres 4, 0,25 et la racine de deux par des puissances de deux :

Tous! Les bases de tous les diplômes de l'exemple sont devenues les mêmes - deux. Et maintenant, des actions standards avec des diplômes sont utilisées :

suisun = suis + n

un m:un n = un m-n

(une m) n = une minute

Pour le côté gauche, vous obtenez :

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Pour le côté droit ce sera :

Et maintenant, notre mauvaise équation ressemble à ceci :

Pour ceux qui n’ont pas compris exactement comment cette équation est née, la question ici ne concerne pas les équations exponentielles. La question concerne les actions avec diplômes. Je vous ai demandé de le répéter d'urgence à ceux qui ont des problèmes !

Voici la ligne d'arrivée ! La forme canonique de l'équation exponentielle a été obtenue ! Alors comment ? Vous ai-je convaincu que tout n'est pas si effrayant ? ;) On supprime les deux et on assimile les indicateurs :

Il ne reste plus qu'à résoudre cette équation linéaire. Comment? À l’aide de transformations identiques, bien sûr.) Décidez de ce qui se passe ! Multipliez les deux côtés par deux (pour supprimer la fraction 3/2), déplacez les termes avec X vers la gauche, sans X vers la droite, amenez les termes similaires, comptez - et vous serez heureux !

Tout devrait se passer à merveille :

X=4

Réfléchissons maintenant à la solution. Dans cet exemple, nous avons été aidés par la transition de racine carréeÀ degré avec exposant 1/2. De plus, seule une transformation aussi astucieuse nous a permis d'atteindre la même base (deux) partout, ce qui a sauvé la situation ! Et sans cela, nous aurions toutes les chances de nous figer pour toujours et de ne jamais faire face à cet exemple, oui...

Nous ne négligeons donc pas les conseils pratiques suivants :

Si une équation exponentielle contient des racines, alors on passe des racines aux puissances avec des exposants fractionnaires. Très souvent, seule une telle transformation clarifie la situation ultérieure.

Bien entendu, les pouvoirs négatifs et fractionnaires sont déjà bien plus complexes que les pouvoirs naturels. Du moins du point de vue de la perception visuelle et, surtout, de la reconnaissance de droite à gauche !

Il est clair qu'élever directement, par exemple, deux à la puissance -3 ou quatre à la puissance -3/2 n'est pas un si gros problème. Pour ceux qui savent.)

Mais allez, par exemple, réalisez immédiatement que

0,125 = 2 -3

Ou

Ici, seules la pratique et une riche expérience règnent, oui. Et bien sûr, une idée claire, Qu'est-ce qu'un degré négatif et fractionnaire ? Et aussi des conseils pratiques ! Oui, oui, ces mêmes vert.) J'espère qu'ils vous aideront toujours à mieux vous orienter dans toute la diversité des diplômes et à augmenter considérablement vos chances de réussite ! Alors ne les négligeons pas. Ce n’est pas pour rien que j’écris parfois en vert.)

Mais si vous apprenez à vous connaître même avec des pouvoirs aussi exotiques que les pouvoirs négatifs et fractionnaires, alors vos capacités à résoudre des équations exponentielles se développeront énormément et vous serez capable de gérer presque tous les types d'équations exponentielles. Eh bien, sinon aucune, alors 80 pour cent de toutes les équations exponentielles - bien sûr ! Oui, oui, je ne plaisante pas !

Ainsi, notre première partie de notre introduction aux équations exponentielles est arrivée à sa conclusion logique. Et, comme entraînement intermédiaire, je suggère traditionnellement de faire une petite introspection.)

Tâche 1.

Pour que mes propos sur le décryptage des puissances négatives et fractionnaires ne soient pas vains, je vous propose de jouer à un petit jeu !

Exprimer les nombres sous forme de puissances de deux :

Réponses (en désarroi) :

Est-ce que ça a marché ? Super! Ensuite, nous effectuons une mission de combat - nous résolvons les équations exponentielles les plus simples et les plus simples !

Tâche 2.

Résolvez les équations (toutes les réponses sont en désordre !) :

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Réponses :

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Est-ce que ça a marché ? En effet, c’est bien plus simple !

Ensuite, nous résolvons le jeu suivant :

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Réponses :

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Et ces exemples en sont-ils un? Super! Vous grandissez ! Alors voici quelques exemples supplémentaires à grignoter :

Réponses :

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Et est-ce décidé ? Eh bien, respectez-vous ! Je tire mon chapeau.) Cela signifie que la leçon n'a pas été vaine et que le niveau initial de résolution d'équations exponentielles peut être considéré comme maîtrisé avec succès. Les niveaux suivants et les équations plus complexes sont à venir ! Et de nouvelles techniques et approches. Et des exemples non standard. Et de nouvelles surprises.) Tout cela est dans la prochaine leçon !

Quelque chose s'est mal passé ? Cela signifie que les problèmes proviennent probablement de . Ou en . Ou les deux à la fois. Je suis impuissant ici. Je ne peux encore une fois suggérer qu'une chose : ne soyez pas paresseux et suivez les liens.)

À suivre.)

Conférence : « Méthodes de résolution d'équations exponentielles. »

1 . Équations exponentielles.

Les équations contenant des inconnues dans les exposants sont appelées équations exponentielles. La plus simple d'entre elles est l'équation ax = b, où a > 0, a ≠ 1.

1) En b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Pour b > 0, en utilisant la monotonie de la fonction et le théorème racine, l'équation a une racine unique. Pour le trouver, b doit être représenté sous la forme b = aс, аx = bс ó x = c ou x = logab.

Les équations exponentielles par transformations algébriques conduisent à des équations standards, qui sont résolues à l'aide des méthodes suivantes :

1) méthode de réduction à une base ;

2) méthode d'évaluation ;

3) méthode graphique ;

4) méthode d'introduction de nouvelles variables ;

5) méthode de factorisation ;

6) exponentielle – équations de puissance ;

7) démonstratif avec un paramètre.

2 . Méthode de réduction à une base.

La méthode est basée sur la propriété suivante des degrés : si deux degrés sont égaux et que leurs bases sont égales, alors leurs exposants sont égaux, c'est-à-dire qu'il faut essayer de réduire l'équation à la forme

Exemples. Résolvez l'équation :

1 . 3x = 81 ;

Représentons le côté droit de l'équation sous la forme 81 = 34 et écrivons l'équation équivalente à l'original 3 x = 34 ; x = 4. Réponse : 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">et passons à l'équation des exposants 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4 ; x = 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Notez que les nombres 0,2, 0,04, √5 et 25 représentent des puissances de 5. Profitons-en et transformons l'équation originale comme suit :

, d'où 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, d'où on trouve la solution x = -1. Réponse : -1.

5. 3x = 5. Par définition du logarithme x = log35. Réponse : log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Réécrivons l'équation sous la forme 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, c'est-à-dire.png" width="181" height="49 src="> D'où x – 4 =0, x = 4. Réponse : 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. En utilisant les propriétés des puissances, on écrit l'équation sous la forme 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 puis 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, c'est-à-dire x+1 = 2, x =1. Réponse : 1.

Banque à problèmes n°1.

Résolvez l'équation :

Essai n°1.

Essai n°2

3 Méthode d'évaluation.

Théorème racine: si la fonction f(x) augmente (diminue) sur l'intervalle I, le nombre a est n'importe quelle valeur prise par f sur cet intervalle, alors l'équation f(x) = a a une racine unique sur l'intervalle I.

Lors de la résolution d'équations à l'aide de la méthode d'estimation, ce théorème et les propriétés de monotonie de la fonction sont utilisés.

Exemples. Résoudre des équations : 1. 4x = 5 – x.

Solution. Réécrivons l'équation comme 4x +x = 5.

1. si x = 1, alors 41+1 = 5, 5 = 5 est vrai, ce qui signifie que 1 est la racine de l'équation.

Fonction f(x) = 4x – augmente sur R, et g(x) = x – augmente sur R => h(x)= f(x)+g(x) augmente sur R, comme somme des fonctions croissantes, alors x = 1 est la seule racine de l'équation 4x = 5 – x. Réponse : 1.

2.

Solution. Réécrivons l'équation sous la forme .

1. si x = -1, alors , 3 = 3 est vrai, ce qui signifie que x = -1 est la racine de l'équation.

2. prouver qu'il est le seul.

3. Fonction f(x) = - diminue sur R, et g(x) = - x – diminue sur R=> h(x) = f(x)+g(x) – diminue sur R, comme la somme de fonctions décroissantes. Cela signifie que, selon le théorème racine, x = -1 est la seule racine de l'équation. Réponse : -1.

Banque à problèmes n°2. Résoudre l'équation

une) 4x + 1 =6 – x ;

b)

c) 2x – 2 =1 – x ;

4. Méthode d'introduction de nouvelles variables.

La méthode est décrite au paragraphe 2.1. L'introduction d'une nouvelle variable (substitution) s'effectue généralement après transformations (simplification) des termes de l'équation. Regardons des exemples.

Exemples. R. Résolvez l'équation : 1. .

Réécrivons l'équation différemment : https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> c'est-à-dire.png" width="210" height = "45">

Solution. Réécrivons l'équation différemment :

Désignons https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ne convient pas.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - équation irrationnelle. On note que

La solution de l’équation est x = 2,5 ≤ 4, ce qui signifie que 2,5 est la racine de l’équation. Réponse : 2.5.

Solution. Réécrivons l'équation sous la forme et divisons les deux côtés par 56x+6 ≠ 0. Nous obtenons l'équation

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Les racines de l'équation quadratique sont t1 = 1 et t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Solution . Réécrivons l'équation sous la forme

et notons qu'il s'agit d'une équation homogène du deuxième degré.

Divisez l'équation par 42x, nous obtenons

Remplaçons https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Réponse : 0 ; 0,5.

Banque à problèmes n°3. Résoudre l'équation

b)

g)

Essai n°3 avec un choix de réponses. Niveau minimum.

Essai n°4 avec un choix de réponses. Niveau général.

5. Méthode de factorisation.

1. Résolvez l'équation : 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , d'où

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Solution. Mettons 6x entre parenthèses sur le côté gauche de l'équation et 2x sur le côté droit. Nous obtenons l'équation 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ou 6x = 2x.

Puisque 2x >0 pour tout x, nous pouvons diviser les deux côtés de cette équation par 2x sans craindre de perdre des solutions. Nous obtenons 3x = 1ó x = 0.

3.

Solution. Résolvons l'équation en utilisant la méthode de factorisation.

Sélectionnons le carré du binôme

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 est la racine de l'équation.

Équation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Essai n°6 Niveau général.

6. Exponentielle – équations de puissance.

À côté des équations exponentielles se trouvent les équations dites de puissance exponentielle, c'est-à-dire les équations de la forme (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Si l'on sait que f(x)>0 et f(x) ≠ 1, alors l'équation, comme l'équation exponentielle, est résolue en égalisant les exposants g(x) = f(x).

Si la condition n'exclut pas la possibilité de f(x)=0 et f(x)=1, alors nous devons considérer ces cas lors de la résolution d'une équation exponentielle.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Solution. x2 +2x-8 – a du sens pour tout x, puisqu'il s'agit d'un polynôme, ce qui signifie que l'équation est équivalente à la totalité

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Équations exponentielles avec paramètres.

1. Pour quelles valeurs du paramètre p l'équation 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) a-t-elle une solution unique ?

Solution. Introduisons le remplacement 2x = t, t > 0, alors l'équation (1) prendra la forme t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Discriminant de l'équation (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

L'équation (1) a une solution unique si l'équation (2) a une racine positive. Ceci est possible dans les cas suivants.

1. Si D = 0, c'est-à-dire p = 1, alors l'équation (2) prendra la forme t2 – 2t + 1 = 0, donc t = 1, donc l'équation (1) a une solution unique x = 0.

2. Si p1, alors 9(p – 1)2 > 0, alors l'équation (2) a deux racines différentes t1 = p, t2 = 4p – 3. Les conditions du problème sont satisfaites par un ensemble de systèmes

En substituant t1 et t2 dans les systèmes, nous avons

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Solution. Laisser alors l'équation (3) prendra la forme t2 – 6t – a = 0. (4)

Trouvons les valeurs du paramètre a pour lesquelles au moins une racine de l'équation (4) satisfait à la condition t > 0.

Introduisons la fonction f(t) = t2 – 6t – a. Les cas suivants sont possibles.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Cas 2. L'équation (4) a une solution positive unique si

D = 0, si a = – 9, alors l'équation (4) prendra la forme (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Cas 3. L'équation (4) a deux racines, mais l'une d'elles ne satisfait pas l'inégalité t > 0. Ceci est possible si

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Ainsi, pour a 0, l’équation (4) a une seule racine positive . Alors l'équation (3) a une solution unique

Quand un< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

si un< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
si a = – 9, alors x = – 1 ;

si un  0, alors

Comparons les méthodes de résolution des équations (1) et (3). A noter que lors de la résolution de l'équation (1) on a réduit à une équation quadratique dont le discriminant est un carré parfait ; Ainsi, les racines de l'équation (2) ont été immédiatement calculées à l'aide de la formule des racines d'une équation quadratique, puis des conclusions ont été tirées concernant ces racines. L'équation (3) a été réduite à une équation quadratique (4), dont le discriminant n'est pas un carré parfait, donc lors de la résolution de l'équation (3), il est conseillé d'utiliser des théorèmes sur l'emplacement des racines d'un trinôme quadratique et un modèle graphique. Notez que l'équation (4) peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta.

Résolvons des équations plus complexes.

Problème 3 : Résoudre l’équation

Solution. ODZ : x1, x2.

Introduisons un remplacement. Soit 2x = t, t > 0, alors suite aux transformations l'équation prendra la forme t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Trouvons les valeurs de a pour lesquelles au moins une racine de l'équation (*) satisfait à la condition t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Réponse : si a > – 13, a  11, a  5, alors si a – 13,

a = 11, a = 5, alors il n'y a pas de racines.

Liste de la littérature utilisée.

1. Fondements Guzeev de la technologie éducative.

2. Technologie Guzeev : de la réception à la philosophie.

M. « Directeur d'école » n°4, 1996

3. Guzeev et les formes organisationnelles de formation.

4. Guzeev et la pratique de la technologie éducative intégrale.

M. « Éducation publique », 2001

5. Guzeev à partir des formes d'une leçon - séminaire.

Mathématiques à l'école n°2, 1987 pp. 9 – 11.

6. Technologies éducatives Séleuko.

M. « Éducation publique », 1998

7. Les écoliers d'Episheva étudient les mathématiques.

M. "Lumières", 1990

8. Ivanova prépare des cours - des ateliers.

Mathématiques à l'école n°6, 1990 p. 37-40.

9. Le modèle d’enseignement des mathématiques de Smirnov.

Mathématiques à l'école n°1, 1997 p. 32 – 36.

10. Méthodes Tarasenko d'organiser les travaux pratiques.

Mathématiques à l'école n°1, 1993 p. 27 – 28.

11. À propos d'un des types de travail individuel.

Mathématiques à l'école n°2, 1994, pp. 63 – 64.

12. Capacités créatives Khazankin des écoliers.

Mathématiques à l'école n°2, 1989 p. 10.

13. Scanavi. Editeur, 1997

14. et autres. L'algèbre et les débuts de l'analyse. Matériel didactique pour

15. Tâches de Krivonogov en mathématiques.

M. «Premier septembre», 2002

16. Tcherkassov. Manuel pour les lycéens et

entrer dans les universités. «A S T - école de presse», 2002

17. Zhevnyak pour ceux qui entrent à l'université.

« Revue » de Minsk et de la Fédération de Russie, 1996

18. Écrit D. Nous nous préparons à l'examen de mathématiques. M. Rolf, 1999

19. etc. Apprendre à résoudre des équations et des inégalités.

M. "Intellect - Centre", 2003

20. etc. Matériel pédagogique et de formation pour la préparation à l'EGE.

M. "Renseignement - Centre", 2003 et 2004.

21 et autres. Centre d'essais du ministère de la Défense de la Fédération de Russie, 2002, 2003.

22. Équations de Goldberg. "Quantique" n°3, 1971

23. Volovich M. Comment réussir à enseigner les mathématiques.

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24 Okunev pour la leçon, les enfants ! M. Éducation, 1988

25. Yakimanskaya - apprentissage orienté à l'école.

26. Les Liimets travaillent en classe. M. Connaissance, 1975

L'utilisation d'équations est répandue dans nos vies. Ils sont utilisés dans de nombreux calculs, construction de structures et même dans le sport. L’homme utilisait des équations dans l’Antiquité et depuis lors, leur utilisation n’a fait que croître. Les équations de puissance ou exponentielles sont des équations dans lesquelles les variables sont en puissances et la base est un nombre. Par exemple:

Résoudre une équation exponentielle se résume à 2 étapes assez simples :

1. Vous devez vérifier si les bases de l’équation de droite et de gauche sont les mêmes. Si les raisons ne sont pas les mêmes, nous recherchons des options pour résoudre cet exemple.

2. Une fois que les bases sont devenues identiques, nous égalisons les degrés et résolvons la nouvelle équation résultante.

Supposons que l’on nous donne une équation exponentielle de la forme suivante :

Il vaut la peine de commencer la solution de cette équation par une analyse de la base. Les bases sont différentes - 2 et 4, mais pour résoudre, nous avons besoin qu'elles soient identiques, nous transformons donc 4 en utilisant la formule suivante -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

On ajoute à l'équation originale :

Sortons-le des parenthèses \

Exprimons \

Puisque les diplômes sont les mêmes, nous les écartons :

Répondre: \

Où puis-je résoudre une équation exponentielle à l’aide d’un solveur en ligne ?

Vous pouvez résoudre l’équation sur notre site https://site. Le solveur en ligne gratuit vous permettra de résoudre des équations en ligne de toute complexité en quelques secondes. Tout ce que vous avez à faire est simplement de saisir vos données dans le solveur. Vous pouvez également regarder des instructions vidéo et apprendre à résoudre l'équation sur notre site Web. Et si vous avez encore des questions, vous pouvez les poser dans notre groupe VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Rejoignez notre groupe, nous sommes toujours heureux de vous aider.

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Rappelons d’abord les formules de base des pouvoirs et leurs propriétés.

Produit d'un nombre un se produit sur lui-même n fois, on peut écrire cette expression sous la forme a a … a=a n

1. une 0 = 1 (une ≠ 0)

3. un n un m = un n + m

4. (un n) m = un nm

5. a n b n = (ab) n

7. un n / un m = un n - m

Equations de puissance ou exponentielles– ce sont des équations dans lesquelles les variables sont en puissances (ou exposants), et la base est un nombre.

Exemples d'équations exponentielles :

Dans cet exemple, le chiffre 6 est la base ; il est toujours en bas, et la variable x degré ou indicateur.

Donnons plus d'exemples d'équations exponentielles.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Voyons maintenant comment les équations exponentielles sont résolues ?

Prenons une équation simple :

2 x = 2 3

Cet exemple peut être résolu même dans votre tête. On voit que x=3. Après tout, pour que les côtés gauche et droit soient égaux, vous devez mettre le chiffre 3 au lieu de x.
Voyons maintenant comment formaliser cette décision :

2x = 2 3
x = 3

Afin de résoudre une telle équation, nous avons supprimé motifs identiques(c'est-à-dire deux) et j'ai noté ce qui restait, ce sont des diplômes. Nous avons obtenu la réponse que nous recherchions.

Résumons maintenant notre décision.

Algorithme de résolution de l'équation exponentielle :
1. Besoin de vérifier identique si l'équation a des bases à droite et à gauche. Si les raisons ne sont pas les mêmes, nous recherchons des options pour résoudre cet exemple.
2. Une fois que les bases sont devenues les mêmes, assimiler degrés et résolvez la nouvelle équation résultante.

Voyons maintenant quelques exemples :

Commençons par quelque chose de simple.

Les bases des côtés gauche et droit sont égales au chiffre 2, ce qui signifie que nous pouvons écarter la base et égaliser leurs puissances.

x+2=4 L'équation la plus simple est obtenue.
x=4 – 2
x=2
Réponse : x=2

Dans l'exemple suivant, vous pouvez voir que les bases sont différentes : 3 et 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Tout d’abord, déplaçons le neuf vers la droite, nous obtenons :

Maintenant, vous devez créer les mêmes bases. Nous savons que 9=3 2. Utilisons la formule de puissance (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

On obtient 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Il est maintenant clair que sur les côtés gauche et droit, les bases sont les mêmes et égales à trois, ce qui signifie que nous pouvons les écarter et égaliser les degrés.

3x=2x+16 on obtient l'équation la plus simple
3x-2x=16
x=16
Réponse : x=16.

Regardons l'exemple suivant :

2 2x+4 - 10 4x = 2 4

Tout d’abord, nous examinons les bases, les bases deux et quatre. Et nous avons besoin qu’ils soient les mêmes. Nous transformons les quatre en utilisant la formule (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Et nous utilisons également une formule a n a m = a n + m :

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Ajoutez à l'équation :

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Nous avons donné un exemple pour les mêmes raisons. Mais les autres nombres 10 et 24 nous dérangent. Que faire d’eux ? Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir que sur le côté gauche nous avons 2 2x répétés, voici la réponse - nous pouvons mettre 2 2x entre parenthèses :

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calculons l'expression entre parenthèses :

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

On divise l'équation entière par 6 :

Imaginons 4=2 2 :

2 2x = 2 2 bases sont les mêmes, nous les rejetons et égalisons les degrés.
2x = 2 est l'équation la plus simple. Divisez-le par 2 et nous obtenons
x = 1
Réponse : x = 1.

Résolvons l'équation :

9 x – 12*3 x +27= 0

Transformons :
9 x = (3 2) x = 3 2x

On obtient l'équation :
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Nos bases sont les mêmes, égales à trois. Dans cet exemple, vous pouvez voir que les trois premiers ont un degré deux fois (2x) que le second (juste x). Dans ce cas, vous pouvez résoudre méthode de remplacement. On remplace le nombre par le plus petit degré :

Alors 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Nous remplaçons toutes les puissances x dans l'équation par t :

t2 - 12t+27 = 0
Nous obtenons une équation quadratique. En résolvant par le discriminant, on obtient :
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Revenir à la variable x.

Prenez le t1 :
t 1 = 9 = 3x

Donc,

3x = 9
3x = 3 2
x1 = 2

Une racine a été trouvée. Nous recherchons le deuxième à partir de t 2 :
t 2 = 3 = 3x
3x = 3 1
x2 = 1
Réponse : x 1 = 2 ; x2 = 1.

Sur le site, vous pouvez poser des questions d'intérêt dans la section AIDE À DÉCIDER, nous vous répondrons certainement.

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