Comment comparer des décimales infinies. Comparaison de décimales finies et infinies : règles, exemples, solutions

Dans cet article, nous aborderons le sujet « comparer des décimales" Tout d’abord, discutons du principe général de la comparaison de fractions décimales. Après cela, nous déterminerons quelles fractions décimales sont égales et lesquelles sont inégales. Ensuite, nous apprendrons à déterminer quelle fraction décimale est la plus grande et laquelle est la plus petite. Pour ce faire, nous étudierons les règles de comparaison des fractions finies, périodiques infinies et non périodiques infinies. Nous fournirons l'intégralité de la théorie avec des exemples avec des solutions détaillées. En conclusion, regardons la comparaison des fractions décimales avec les nombres naturels, les fractions ordinaires et les nombres fractionnaires.

Disons tout de suite qu'ici nous ne parlerons que de comparer des fractions décimales positives (voir nombres positifs et négatifs). Les cas restants sont discutés dans les articles comparaison des nombres rationnels et comparaison de nombres réels.

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Principe général de comparaison de fractions décimales

Sur la base de ce principe de comparaison, sont dérivées des règles de comparaison de fractions décimales qui permettent de se passer de convertir les fractions décimales comparées en fractions ordinaires. Nous discuterons de ces règles, ainsi que des exemples de leur application, dans les paragraphes suivants.

Un principe similaire est utilisé pour comparer des fractions décimales finies ou des fractions décimales périodiques infinies avec des nombres naturels, des fractions ordinaires et des nombres fractionnaires : les nombres comparés sont remplacés par leurs fractions ordinaires correspondantes, après quoi les fractions ordinaires sont comparées.

Concernant comparaisons de décimales non périodiques infinies, alors cela revient généralement à comparer des fractions décimales finies. Pour ce faire, considérons le nombre de signes des fractions décimales infinies non périodiques comparées qui permettent d'obtenir le résultat de la comparaison.

Décimales égales et inégales

Nous introduisons d'abord définitions des fractions décimales égales et inégales.

Définition.

Les deux fractions décimales finales sont appelées égal, si leurs fractions ordinaires correspondantes sont égales, sinon ces fractions décimales sont appelées inégal.

Sur la base de cette définition, il est facile de justifier l'affirmation suivante : si vous ajoutez ou supprimez plusieurs chiffres 0 à la fin d'une fraction décimale donnée, vous obtiendrez une fraction décimale égale à celle-ci. Par exemple, 0,3=0,30=0,300=… et 140,000=140,00=140,0=140.

En effet, ajouter ou supprimer un zéro à la fin d'une fraction décimale à droite correspond à multiplier ou diviser par 10 le numérateur et le dénominateur de la fraction ordinaire correspondante. Et nous connaissons la propriété fondamentale d’une fraction, selon laquelle multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur d’une fraction par le même nombre naturel donne une fraction égale à celle d’origine. Cela prouve que l'ajout ou la suppression de zéros à droite dans la partie fractionnaire d'une décimale donne une fraction égale à celle d'origine.

Par exemple, la fraction décimale 0,5 correspond à la fraction commune 5/10, après avoir ajouté un zéro à droite, correspond la fraction décimale 0,50, qui correspond à la fraction commune 50/100, et. Ainsi, 0,5=0,50. A l'inverse, si dans la fraction décimale 0,50 on écarte 0 à droite, alors on obtient la fraction 0,5, donc de la fraction ordinaire 50/100 on arrive à la fraction 5/10, mais . Donc 0,50=0,5.

Passons à détermination de fractions décimales périodiques infinies égales et inégales.

Définition.

Deux fractions périodiques infinies égal, si les fractions ordinaires correspondantes sont égales ; si les fractions ordinaires qui leur correspondent ne sont pas égales, alors les fractions périodiques comparées le sont également pas égal.

Trois conclusions découlent de cette définition :

• Si les notations des fractions décimales périodiques coïncident complètement, alors ces fractions décimales périodiques infinies sont égales. Par exemple, les décimales périodiques 0,34(2987) et 0,34(2987) sont égales.
• Si les périodes des fractions périodiques décimales comparées commencent à partir de la même position, la première fraction a une période de 0, la seconde a une période de 9 et la valeur du chiffre précédant la période 0 est supérieure de un à la valeur du chiffre période précédente 9, alors ces fractions décimales périodiques infinies sont égales. Par exemple, les fractions périodiques 8,3(0) et 8,2(9) sont égales, et les fractions 141,(0) et 140,(9) sont également égales.
• Deux autres fractions périodiques ne sont pas égales. Voici des exemples de fractions décimales périodiques infinies inégales : 9,0(4) et 7,(21), 0,(12) et 0,(121), 10,(0) et 9,8(9).

Il reste à traiter fractions décimales infinies non périodiques égales et inégales. Comme on le sait, de telles fractions décimales ne peuvent pas être converties en fractions ordinaires (ces fractions décimales représentent des nombres irrationnels), donc la comparaison de fractions décimales non périodiques infinies ne peut pas être réduite à la comparaison de fractions ordinaires.

Définition.

Deux décimales infinies non périodiques égal, si leurs enregistrements correspondent complètement.

Mais il y a une mise en garde : il est impossible de voir l'enregistrement « fini » de fractions décimales non périodiques sans fin, il est donc impossible d'être sûr de la coïncidence complète de leurs enregistrements. Comment est-ce possible ?

Lors de la comparaison de fractions décimales non périodiques infinies, seul un nombre fini de signes des fractions comparées est pris en compte, ce qui permet de tirer les conclusions nécessaires. Ainsi, la comparaison de fractions décimales non périodiques infinies se réduit à la comparaison de fractions décimales finies.

Avec cette approche, on ne peut parler de l'égalité de fractions décimales infinies non périodiques que jusqu'au chiffre en question. Donnons des exemples. Les décimales infinies non périodiques 5,45839... et 5,45839... sont égales aux cent millièmes les plus proches, puisque les décimales finies 5,45839 et 5,45839 sont égales ; les fractions décimales non périodiques 19,54... et 19,54810375... sont égales au centième le plus proche, puisqu'elles sont égales aux fractions 19,54 et 19,54.

Avec cette approche, l'inégalité des fractions décimales infinies non périodiques est établie de manière assez définitive. Par exemple, les décimales infinies non périodiques 5,6789... et 5,67732... ne sont pas égales, car les différences dans leurs notations sont évidentes (les décimales finies 5,6789 et 5,6773 ne sont pas égales). Les décimales infinies 6,49354... et 7,53789... ne sont pas non plus égales.

Règles de comparaison de fractions décimales, exemples, solutions

Après avoir établi que deux fractions décimales sont inégales, il faut souvent savoir laquelle de ces fractions est la plus grande et laquelle est inférieure à l'autre. Voyons maintenant les règles de comparaison des fractions décimales, nous permettant de répondre à la question posée.

Dans de nombreux cas, il suffit de comparer des parties entières des fractions décimales comparées. Ce qui suit est vrai règle pour comparer les décimales: plus grande est la fraction décimale dont la partie entière est plus grande, et moins est la fraction décimale dont la partie entière est inférieure.

Cette règle s'applique aux fractions décimales finies et infinies. Regardons les solutions aux exemples.

Exemple.

Comparez les décimales 9,43 et 7,983023….

Solution.

Évidemment, ces décimales ne sont pas égales. La partie entière de la fraction décimale finie 9,43 est égale à 9, et la partie entière de la fraction infinie non périodique 7,983023... est égale à 7. Depuis 9>7 (voir comparaison des nombres naturels), alors 9,43>7,983023.

Répondre:

9,43>7,983023 .

Exemple.

Quelle fraction décimale 49,43(14) et 1045,45029... est la plus petite ?

Solution.

La partie entière de la fraction périodique 49,43(14) est inférieure à la partie entière de la fraction décimale non périodique infinie 1045,45029..., donc 49,43(14)<1 045,45029… .

Répondre:

49,43(14) .

Si les parties entières des fractions décimales comparées sont égales, alors pour savoir laquelle d'entre elles est la plus grande et laquelle est la plus petite, vous devez comparer les parties fractionnaires. La comparaison des parties fractionnaires des fractions décimales s'effectue petit à petit- de la catégorie des dixièmes aux inférieures.

Tout d’abord, regardons un exemple de comparaison de deux fractions décimales finies.

Exemple.

Comparez les décimales finales 0,87 et 0,8521.

Solution.

Les parties entières de ces fractions décimales sont égales (0=0), passons donc à la comparaison des parties fractionnaires. Les valeurs des dixièmes sont égales (8=8), et la valeur des centièmes de la fraction est supérieure de 0,87 à la valeur des centièmes de la fraction 0,8521 (7>5). Donc 0,87>0,8521.

Répondre:

0,87>0,8521 .

Parfois, afin de comparer des fractions décimales finales avec différents nombres de décimales, les fractions avec moins de décimales doivent être ajoutées à un certain nombre de zéros à droite. Il est assez pratique d'égaliser le nombre de décimales avant de commencer à comparer les fractions décimales finales en ajoutant un certain nombre de zéros à droite de l'une d'entre elles.

Exemple.

Comparez les décimales finales 18.00405 et 18.0040532.

Solution.

Évidemment, ces fractions sont inégales, puisque leurs notations sont différentes, mais en même temps elles ont des parties entières égales (18 = 18).

Avant la comparaison bit à bit des parties fractionnaires de ces fractions, nous égalisons le nombre de décimales. Pour ce faire, on ajoute deux chiffres 0 à la fin de la fraction 18,00405, et on obtient une fraction décimale égale 18,0040500.

Les valeurs des décimales des fractions 18.0040500 et 18.0040532 sont égales jusqu'au cent millième, et la valeur de la millionième place de la fraction 18.0040500 est inférieure à la valeur de la place correspondante de la fraction 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Répondre:

18,00405<18,0040532 .

Lors de la comparaison d'une fraction décimale finie avec une fraction infinie, la fraction finie est remplacée par une fraction périodique infinie égale avec une période de 0, après quoi une comparaison est effectuée par chiffre.

Exemple.

Comparez le nombre décimal fini 5,27 avec le nombre décimal infini non périodique 5,270013... .

Solution.

Les parties entières de ces fractions décimales sont égales. Les valeurs des dixièmes et centièmes de ces fractions sont égales, et afin d'effectuer une comparaison plus approfondie, nous remplaçons la fraction décimale finie par une fraction périodique infinie égale de période 0 de la forme 5,270000.... Jusqu'à la cinquième décimale, les valeurs des décimales 5,270000... et 5,270013... sont égales, et à la cinquième décimale nous avons 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Répondre:

5,27<5,270013… .

La comparaison de fractions décimales infinies est également effectuée par endroits, et se termine dès que les valeurs de certains chiffres s'avèrent différentes.

Exemple.

Comparez les décimales infinies 6,23(18) et 6,25181815….

Solution.

Les parties entières de ces fractions sont égales et les dixièmes de position sont également égales. Et la valeur des centièmes d'une fraction périodique 6,23(18) est inférieure aux centièmes d'une fraction décimale non périodique infinie 6,25181815..., donc, 6,23(18)<6,25181815… .

Répondre:

6,23(18)<6,25181815… .

Exemple.

Laquelle des décimales périodiques infinies 3,(73) et 3,(737) est la plus grande ?

Solution.

Il est clair que 3,(73)=3.73737373... et 3,(737)=3.737737737... . À la quatrième décimale, la comparaison au niveau du bit se termine, puisque nous avons là 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Répondre:

3,(737) .

Comparez les nombres décimaux avec les nombres naturels, les fractions et les nombres fractionnaires.

Le résultat de la comparaison d'une fraction décimale avec un nombre naturel peut être obtenu en comparant la partie entière d'une fraction donnée avec un nombre naturel donné. Dans ce cas, les fractions périodiques avec des périodes de 0 ou 9 doivent d'abord être remplacées par des fractions décimales finies qui leur sont égales.

Ce qui suit est vrai règle pour comparer les fractions décimales et les nombres naturels: si la partie entière d'une fraction décimale est inférieure à un nombre naturel donné, alors la fraction entière est inférieure à cet nombre naturel ; si la partie entière d'une fraction est supérieure ou égale à un nombre naturel donné, alors la fraction est supérieure à l'entier naturel donné.

Regardons des exemples d'application de cette règle de comparaison.

Exemple.

Comparez l'entier naturel 7 avec la fraction décimale 8,8329….

Solution.

Puisqu'un nombre naturel donné est inférieur à la partie entière d'une fraction décimale donnée, alors ce nombre est inférieur à une fraction décimale donnée.

Répondre:

7<8,8329… .

Exemple.

Comparez l'entier naturel 7 et la fraction décimale 7.1.

Une leçon de maîtrise et de consolidation de nouvelles connaissances

Sujet : Comparaison des décimales

Dambaeva Valentina Matveevna

Professeur de mathématiques

MAOU "École secondaire n°25" Oulan-Oude

Sujet. Comparer des décimales.

Objectif didactique : apprendre aux élèves à comparer deux nombres décimaux. Initier les élèves à la règle de comparaison. Développer la capacité de trouver des fractions plus grandes (plus petites).

Objectif pédagogique. Développer l'activité créative des élèves dans le processus de résolution d'exemples. Cultivez l’intérêt pour les mathématiques en sélectionnant différents types de tâches. Cultivez l’intelligence, l’ingéniosité et développez une pensée flexible. Continuer à développer chez les élèves la capacité d’autocritique quant aux résultats de leur travail.

Matériel de cours. Matériel à distribuer. Cartes de signalisation, cartes de tâches, papier carbone.

Aides visuelles. Tableaux-tâches, affiches-règles.

Type de cours. Assimilation de nouvelles connaissances. Consolidation de nouvelles connaissances.

Plan de cours

Moment organisationnel. 1 minute.

Vérification des devoirs. 3 minutes.

Répétition. 8 minutes.

Explication d'un nouveau sujet. 18-20 minutes.

Consolidation. 25-27 minutes.

Résumer le travail. 3 minutes.

Devoirs. 1 minute.

Dictée expresse. 10-13 minutes

Progression de la leçon.

1. Moment organisationnel.

2. Vérifier les devoirs. Collection de cahiers.

3. Répétition(oralement).

a) comparer des fractions ordinaires (travailler avec des cartes de signalisation).

4/5 et 3/5 ; 4/4 et 13/40 ; 1 et 3/2 ; 4/2 et 12/20 ; 3 5/6 et 5 5/6 ;

b) Dans quelle catégorie y a-t-il 4 unités, 2 unités..... ?

57532, 4081

c) comparer les nombres naturels

99 et 1111 ; 5 4 4 et 5 3 4, 556 et 55 9 ; 4 366 et 7 366;

Comment comparer des nombres ayant le même nombre de chiffres ?

(Les nombres avec le même nombre de chiffres sont comparés au niveau du bit, en commençant par le chiffre le plus significatif. Règle de l'affiche).

On peut imaginer que les chiffres d'un même nom « rivalisent » dont le terme numérique est le plus grand : un avec les uns, des dizaines avec des dizaines, etc.

4. Explication d'un nouveau sujet.

UN) Quel signe (>,< или =) следует заменить вопросительный знак между десятичными дробями на рисунке.

Tâche d'affichage

3425, 672678 ? 3425, 672478

14, 24000 ? 14, 24

Pour répondre à cette question, vous devez apprendre à comparer des nombres décimaux.

12, 3 < 15,3

72,1 > 68,4 Pourquoi ?

Parmi deux fractions décimales, celle dont la partie entière est la plus grande est la plus grande.

13,5 > 13,4

0, 327 > 0,321

Pourquoi?

Si les parties entières des fractions comparées sont égales les unes aux autres, alors leur partie fractionnaire est comparée par chiffres.

3. 0,800 ? 0,8

1,32 ? 1,3

Mais que se passe-t-il s’il existe des nombres différents de ces nombres ? Si vous ajoutez un ou plusieurs zéros à droite d’une fraction décimale, la valeur de la fraction ne changera pas.

A l'inverse, si une fraction décimale se termine par des zéros, alors ces zéros peuvent être ignorés, la valeur de la fraction ne changera pas.

Regardons trois fractions décimales :

1,25 1,250 1,2500

En quoi sont-ils différents les uns des autres ?

Uniquement le nombre de zéros à la fin de l'enregistrement.

Quels chiffres représentent-ils ?

Pour le savoir, vous devez écrire la somme des termes numériques pour chaque fraction.

1,25 = 1+ 2/10 + 5/100

1,250 = 1+ 2/10 + 5/100 1 25/100 = 1,25

1,2500 = 1+ 2/10 + 5/100

Dans toutes les égalités, la même somme est écrite à droite. Cela signifie que les trois fractions représentent le même nombre. Sinon, ces trois fractions sont égales : 1,25 = 1,250 = 1,2500.

Les fractions décimales peuvent être représentées sur un rayon de coordonnées de la même manière que les fractions ordinaires. Par exemple, pour représenter la fraction décimale 0,5 sur un rayon de coordonnées. Tout d'abord, présentons-le sous la forme d'une fraction ordinaire : 0,5 = 5/10. Mettons ensuite de côté cinq dixièmes de segment unitaire à partir du début du rayon. On obtient le point A(0.5)

Les fractions décimales égales sont représentées sur le rayon de coordonnées par le même point.

La plus petite fraction décimale se trouve sur le rayon de coordonnées à gauche de la plus grande, et la plus grande se trouve à droite du plus petit.

b) Travaillez avec le manuel, avec la règle.

Essayez maintenant de répondre à la question qui a été posée au début de l'explication : quel signe (>,< или =) следует заменить вопросительный знак.

5. Consolidation.

№1

Comparer: Travailler avec des cartes de signal

85.09 et 67.99

55.7 et 55.700

0,0025 et 0,00247

98,52 m et 65,39 m

149,63 kg et 150,08 kg

3,55 0 C et 3,61 0 C

6,784 heures et 6,718 heures

№ 2

Écrivez la décimale

a) avec quatre décimales, égal à 0,87

b) avec cinq décimales, égal à 0,541

c) avec trois décimales, égal à 35

d) avec deux décimales, égal à 8,40000

2 étudiants travaillent sur des planches individuelles

№ 3

Smekalkin s'est préparé à accomplir la tâche de comparaison des nombres et a copié plusieurs paires de nombres dans un cahier, entre lesquels vous devez mettre un signe > ou<. Вдруг он нечаянно уронил тетрадь на мокрый пол. Записи размазались, и некоторые цифры стало невозможно разобрать. Вот что получилось:

a) 4,3** et 4,7**

b) **, 412 et *, 9*

c) 0,742 et 0,741*

d)*, *** et **,**

e) 95,0** et *4,*3*

Smekalkin a aimé pouvoir accomplir la tâche avec des chiffres barbouillés. Après tout, au lieu d'une tâche, nous avons eu des énigmes. Il a lui-même décidé d'inventer des énigmes aux chiffres barbouillés et vous les propose. Dans les entrées suivantes, certains chiffres sont flous. Vous devez deviner de quels chiffres il s’agit.

a) 2.*1 et 2.02

b) 6,431 et 6,4*8

c) 1,34 et 1,3*

d) 4.*1 et 4.41

e) 4,5*8 et 4,593

e) 5,657* et 5,68

La tâche est sur l'affiche et sur des cartes individuelles.

Vérifier et justifier chaque signalétique posée.

№ 4

J'affirme :

a) 3,7 est inférieur à 3,278

Après tout, le premier nombre comporte moins de chiffres que le second.

b) 25,63 est égal à 2,563

Après tout, ils portent les mêmes numéros dans le même ordre.

Corrige ma déclaration

"Contre-exemple" (oral)

№ 5

Quels nombres naturels se trouvent entre les nombres ? (par écrit).

a) 3, 7 et 6.6

b) 18.2 et 19.8

c) 43 et 45.42

d) 15 et 18

6. Résumé de la leçon.

Comment comparer deux fractions décimales avec des nombres entiers différents ?

Comment comparer deux fractions décimales avec les mêmes nombres entiers ?

Comment comparer deux décimales avec le même nombre de décimales ?

7. Devoirs.

8. Exprimez la dictée.

Écrivez les nombres plus courts

0,90 1,40

10,72000 61,610000

Comparer des fractions

0,3 et 0,31 0,4 et 0,43

0,46 et 0,5 0,38 et 0,4

55.7 et 55.700 88.4 et 88.400

Disposer dans l'ordre

Descendant Ascendant

3,456; 3465; 8,149; 8,079; 0,453

Quels nombres naturels se trouvent entre les nombres ?

7,5 et 9,1 3,25 et 5,5

84 et 85,001 0,3 et 4

Entrez les nombres pour que l'inégalité soit vraie :

15,*2 > 15,62 4,60 < 4,*3

6,99 6,8

Vérification de la dictée express du tableau

Tâche supplémentaire.

1. Écrivez 3 exemples à votre voisin et vérifiez !

Littérature:

Stratilatov P.V. "Sur le système de travail d'un professeur de mathématiques" Moscou "Lumières" 1984

Kabalevsky Yu.D. "Travail indépendant des étudiants en cours d'apprentissage des mathématiques" 1988

Boulanova L.M., Dudnitsyn Yu.P. "Tâches de test en mathématiques",

Moscou « Dédicace » 1992

V.G. Kovalenko « Jeux didactiques dans les cours de mathématiques » Moscou « Lumières » 1990

Minaeva S.S. « Calculs dans les cours et activités parascolaires en mathématiques » Moscou « Lumières » 1983

Le segment AB est égal à 6 cm, soit 60 mm. Puisque 1 cm = dm, alors 6 cm = dm. Cela signifie que AB est de 0,6 dm. Puisque 1 mm = dm, alors 60 mm = dm. Cela signifie AB = 0,60 dm.
Ainsi, AB = 0,6 dm = 0,60 dm. Cela signifie que les fractions décimales 0,6 et 0,60 expriment la longueur d'un même segment en décimètres. Ces fractions sont égales entre elles : 0,6 = 0,60.

Si vous ajoutez un zéro ou supprimez le zéro à la fin de la fraction décimale, vous obtenez fraction, égal à ceci.
Par exemple,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Comparons deux fractions décimales 5,345 et 5,36. Égalisons le nombre de décimales en ajoutant un zéro à droite du nombre 5,36. On obtient les fractions 5,345 et 5,360.

Écrivons-les sous forme de fractions impropres :

Ces fractions ont les mêmes dénominateurs. Cela signifie que celui avec le plus grand numérateur est plus grand.
Depuis 5345< 5360, то ce qui veut dire 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Pour comparer deux fractions décimales, vous devez d'abord égaliser le nombre de décimales en ajoutant des zéros à l'une d'elles à droite, puis, en supprimant la virgule, comparer le résultat nombres naturels.

Les fractions décimales peuvent être représentées sur un rayon de coordonnées de la même manière que les fractions ordinaires.
Par exemple, pour représenter la fraction décimale 0,4 sur un rayon de coordonnées, on la présente d'abord sous la forme d'une fraction ordinaire : 0,4 = Puis on met de côté quatre dixièmes de segment unitaire à partir du début du rayon. On obtient le point A(0,4) (Fig. 141).

Les fractions décimales égales sont représentées sur le rayon de coordonnées par le même point.

Par exemple, les fractions 0,6 et 0,60 sont représentées par un point B (voir Fig. 141).

La plus petite fraction décimale se trouve sur rayon de coordonnéesà gauche du plus grand et le plus grand à droite du plus petit.

Par exemple, 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Une décimale changera-t-elle si un zéro est ajouté à la fin ?
Des zéros A6 ?
Formuler une règle de comparaison décimal fractions.

1172. Écrivez la fraction décimale :

a) avec quatre décimales, égales à 0,87 ;
b) avec cinq décimales, égal à 0,541 ;
c) avec trois chiffres après occupé, égal à 35 ;
d) avec deux décimales, égal à 8,40000.

1173. En ajoutant des zéros à droite, égalisez le nombre de décimales dans les fractions décimales : 1,8 ; 13,54 et 0,789.

1174. Écrivez des fractions plus courtes : 2,5000 ; 3,02000 ; 20 010.

85,09 et 67,99 ; 55,7 et 55,7000 ; 0,5 et 0,724 ; 0,908 et 0,918 ; 7,6431 et 7,6429 ; 0,0025 et 0,00247.

1176. Classez les nombres par ordre croissant :

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

ranger par ordre décroissant.

une) 1,41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
b) 0,1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
c)2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Comparez les valeurs :

a) 98,52 m et 65,39 m ; e) 0,605 t et 691,3 kg ;
b) 149,63 kg et 150,08 kg ; f) 4,572 km et 4671,3 m ;
c) 3,55°C et 3,61°C ; g) 3,835 hectares et 383,7 a ;
d) 6,781 heures et 6,718 heures ; h) 7,521 l et 7538 cm3.

Est-il possible de comparer 3,5 kg et 8,12 m ? Donnez quelques exemples de quantités qui ne peuvent être comparées.

1185. Calculer oralement :

1186. Restaurer la chaîne de calculs

1187. Est-il possible de dire combien de chiffres après la virgule décimale il y a dans une fraction décimale si son nom se termine par le mot :

a) les centièmes ; b) dix millièmes ; c) les dixièmes ; d) des millionièmes ?

Objectif de la leçon :

• créer les conditions pour dériver une règle de comparaison des fractions décimales et la possibilité de l'appliquer ;
• répétez l'écriture des fractions communes sous forme de décimales, en arrondissant les décimales ;
• développer la pensée logique, la capacité de généraliser, les compétences de recherche, la parole.

Progression de la leçon

Les gars, rappelons-nous ce que nous avons fait avec vous lors des leçons précédentes ?

Répondre:étudié les fractions décimales, écrit les fractions ordinaires sous forme de décimales et vice versa, arrondi les décimales.

Qu’aimeriez-vous faire aujourd’hui ?

(Les élèves répondent.)

Mais vous découvrirez dans quelques minutes ce que nous ferons en classe. Ouvrez vos cahiers et notez la date. Un élève se rendra au tableau et travaillera depuis l’arrière du tableau. Je vous proposerai des tâches que vous réaliserez oralement. Notez vos réponses dans votre cahier sur une ligne séparée par un point-virgule. Un élève au tableau écrit dans une colonne.

Je lis les tâches qui sont écrites à l'avance au tableau :

Vérifions. Qui a d'autres réponses ? Rappelez-vous les règles.

Reçu: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

Établissez un modèle et continuez la série résultante pour 2 autres numéros. Vérifions.

Prenez le relevé de notes et sous chaque numéro (la personne qui répond au tableau met une lettre à côté du numéro) mettez la lettre correspondante. Lisez le mot.

Explication:

Alors, qu'allons-nous faire en classe ?

Répondre: comparaison.

En comparaison ! Bon, par exemple, je vais maintenant commencer à comparer mes mains, 2 manuels, 3 règles. Que veux-tu comparer ?

Répondre: fractions décimales.

Quel sujet de la leçon allons-nous écrire ?

J'écris le sujet de la leçon au tableau, et les élèves l'écrivent dans leurs cahiers : « Comparer des nombres décimaux ».

Exercice: comparer les nombres (écrits au tableau)

Nous ouvrons d’abord le côté gauche. Des parties entières sont différentes. Nous tirons une conclusion sur la comparaison de fractions décimales avec différentes parties entières. Ouvrez le côté droit. Les parties entières sont des nombres égaux. Comment comparer ?

Offre:Écrivez les décimales sous forme de fractions et comparez.

Écrivez une comparaison de fractions ordinaires. Si vous convertissez chaque fraction décimale en une fraction commune et comparez 2 fractions, cela prendra beaucoup de temps. Peut-être pourrions-nous proposer une règle de comparaison ? (Les étudiants suggèrent.) J'ai écrit la règle de comparaison des fractions décimales, suggérée par l'auteur. Comparons.

Il y a 2 règles imprimées sur une feuille de papier :

1. Si les parties entières des fractions décimales sont différentes, alors la fraction dont la partie entière est la plus grande est la plus grande.
2. Si les parties entières des fractions décimales sont identiques, alors la fraction dont la première des décimales incompatibles est la plus grande est la plus grande.

Toi et moi avons fait une découverte. Et cette découverte est la règle pour comparer les fractions décimales. Cela coïncidait avec la règle proposée par l'auteur du manuel.

J'ai remarqué que les règles disent laquelle des 2 fractions est la plus grande. Pouvez-vous me dire laquelle des 2 fractions décimales est la plus petite ?

À compléter dans le cahier n° 785(1, 2) à la page 172. La tâche est écrite au tableau. Les élèves commentent et le professeur fait des signes.

Exercice: comparer

3.4208 et 3.4028

Alors qu’avons-nous appris à faire aujourd’hui ? Vérifions nous-mêmes. Travaillez sur des morceaux de papier avec du papier carbone.

Les élèves comparent des fractions décimales en utilisant >,<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Travail indépendant.

(Vérifiez - réponses au dos du tableau.)

Comparer

148.05 et 14.805

6.44806 et 6.44863

35.601 et 35.6010

Le premier à le faire reçoit la tâche (effectue depuis l'arrière du tableau) n° 786(1, 2) :

Trouvez le modèle et notez le numéro suivant dans la séquence. Dans quelles séquences les nombres sont-ils classés par ordre croissant et dans lesquels sont-ils classés par ordre décroissant ?

Répondre:

1. 0,1 ; 0,02 ; 0,003 ; 0,0004 ; 0,00005 ; (0,000006) – décroissant
2. 0,1 ; 0,11 ; 0,111 ; 0,1111 ; 0,11111 ; (0,111111) – augmente.

Une fois que le dernier étudiant a soumis son travail, vérifiez-le.

Les élèves comparent leurs réponses.

Ceux qui ont tout fait correctement se donneront une note de « 5 », ceux qui ont commis 1-2 erreurs – « 4 », 3 erreurs – « 3 ». Découvrez dans quelles comparaisons des erreurs ont été commises, sur quelle règle.

Notez vos devoirs : n° 813, n° 814 (article 4, p. 171). Commentaire. Si vous avez le temps, complétez le n° 786(1, 3), le n° 793(a).

Résumé de la leçon.

1. Qu’avez-vous appris à faire en classe ?
2. Vous avez aimé ou pas ?
3. Quelles ont été les difficultés ?

Prenez les fiches et remplissez-les en indiquant le degré de votre assimilation de la matière :

• parfaitement maîtrisé, je peux jouer ;
• Je le maîtrise parfaitement, mais j'ai du mal à l'utiliser ;
• partiellement maîtrisé ;
• pas appris.

Merci pour la leçon.

Une fraction est une ou plusieurs parties égales d’un tout. Une fraction s'écrit à l'aide de deux nombres naturels séparés par une ligne. Par exemple, 1/2, 14/4, ¾, 5/9, etc.

Le nombre écrit au-dessus de la ligne est appelé le numérateur de la fraction, et le nombre écrit en dessous de la ligne est appelé le dénominateur de la fraction.

Pour les nombres fractionnaires dont le dénominateur est 10, 100, 1000, etc. Nous avons convenu d'écrire le nombre sans dénominateur. Pour ce faire, écrivez d'abord la partie entière du nombre, mettez une virgule et écrivez la partie fractionnaire de ce nombre, c'est-à-dire le numérateur de la partie fractionnaire.

Par exemple, au lieu de 6 * (7/10), ils écrivent 6,7.

Cette notation est généralement appelée fraction décimale.

Comment comparer deux décimales

Voyons comment comparer deux fractions décimales. Pour ce faire, vérifions d’abord un fait auxiliaire.

Par exemple, la longueur d'un certain segment est de 7 centimètres ou 70 mm. Aussi 7 cm = 7/10 dm ou en notation décimale 0,7 dm.

Par contre, 1 mm = 1/100 dm, alors 70 mm = 70/100 dm ou en notation décimale 0,70 dm.

Ainsi, nous obtenons que 0,7 = 0,70.

De là, nous concluons que si nous ajoutons ou supprimons un zéro à la fin d’une fraction décimale, nous obtenons une fraction égale à celle donnée. En d’autres termes, la valeur de la fraction ne changera pas.

Fractions ayant les mêmes dénominateurs

Disons que nous devons comparer deux fractions décimales 4,345 et 4,36.

Vous devez d’abord égaliser le nombre de décimales en ajoutant ou en supprimant les zéros à droite. Les résultats seront 4,345 et 4,360.

Vous devez maintenant les écrire sous forme de fractions impropres :

• 4,345 = 4345 / 1000 ;
• 4,360 = 4360 / 1000 .

Les fractions résultantes ont les mêmes dénominateurs. D'après la règle de comparaison des fractions, on sait que dans ce cas la fraction avec le plus grand numérateur est la plus grande. Cela signifie que la fraction 4,36 est supérieure à la fraction 4,345.

Ainsi, pour comparer deux fractions décimales, vous devez d'abord égaliser le nombre de décimales en ajoutant des zéros à l'une d'elles à droite, puis, en supprimant la virgule, comparer les nombres naturels résultants.

Les fractions décimales peuvent être représentées sous forme de points sur une droite numérique. Et donc, parfois dans le cas où un nombre est supérieur à un autre, on dit que ce nombre est situé à droite de l'autre, ou s'il est inférieur, alors à gauche.

Si deux fractions décimales sont égales, alors elles sont représentées par le même point sur la droite numérique.