Définition 1

Le moment de force est représenté par un couple ou moment de rotation, étant une grandeur physique vectorielle.

Il est défini comme le produit vectoriel du vecteur force, ainsi que du rayon vecteur, qui est tracé depuis l'axe de rotation jusqu'au point d'application de la force spécifiée.

Le moment de force est une caractéristique de l’effet rotationnel d’une force sur un corps solide. Les notions de moments « rotatifs » et « de couple » ne seront pas considérées comme identiques, puisqu'en technologie la notion de moment « rotatif » est considérée comme une force externe appliquée à un objet.

Dans le même temps, le concept de « couple » est considéré sous la forme d'une force interne qui apparaît dans un objet sous l'influence de certaines charges appliquées (un concept similaire est utilisé pour la résistance des matériaux).

Notion de moment de force

Le moment de force en physique peut être considéré sous la forme de ce qu'on appelle la « force de rotation ». L'unité de mesure SI est le newton mètre. Le moment d'une force peut également être appelé « moment d'un couple de forces », comme le notent les travaux d'Archimède sur les leviers.

Remarque 1

Dans des exemples simples, lorsqu'une force est appliquée à un levier dans une relation perpendiculaire à celui-ci, le moment de force sera déterminé comme le produit de l'ampleur de la force spécifiée et de la distance à l'axe de rotation du levier.

Par exemple, une force de trois newtons appliquée à une distance de deux mètres de l'axe de rotation du levier crée un moment équivalent à une force d'un newton appliquée à une distance de 6 mètres au levier. Plus précisément, le moment de force d'une particule est déterminé sous le format du produit vectoriel :

$\vec (M)=\vec(r)\vec(F)$, où :

• $\vec (F)$ représente la force agissant sur la particule,
• $\vec (r)$ est le rayon du vecteur particule.

En physique, l’énergie doit être comprise comme une quantité scalaire, tandis que le couple serait considéré comme une quantité (pseudo) vectorielle. La coïncidence des dimensions de telles quantités ne sera pas fortuite : un moment de force de 1 N m, qui est appliqué pendant toute une révolution, effectuant un travail mécanique, confère une énergie de 2 $\pi$ joules. Mathématiquement, cela ressemble à ceci :

$E = M\theta$, où :

• $E$ représente l'énergie ;
• $M$ est considéré comme le couple ;
• $\theta$ sera l'angle en radians.

Aujourd'hui, la mesure du moment de force est effectuée à l'aide de capteurs de charge spéciaux de type jauge de contrainte, optique et inductif.

Formules pour calculer le moment de force

Une chose intéressante en physique est le calcul du moment de force dans un champ, réalisé selon la formule :

$\vec(M) = \vec(M_1)\vec(F)$, où :

• $\vec(M_1)$ est considéré comme le moment de levier ;
• $\vec(F)$ représente l'ampleur de la force agissante.

L’inconvénient d’une telle représentation est le fait qu’elle ne détermine pas la direction du moment de force, mais seulement sa grandeur. Si la force est perpendiculaire au vecteur $\vec(r)$, le moment du levier sera égal à la distance du centre au point de la force appliquée. Dans ce cas, le moment de force sera maximum :

$\vec(T)=\vec(r)\vec(F)$

Lorsqu’une force effectue une certaine action à n’importe quelle distance, elle effectue un travail mécanique. De la même manière, le moment de force (lors de l'exécution d'une action sur une distance angulaire) fera le travail.

$P = \vec (M)\oméga $

Dans le système de mesure international existant, la puissance $P$ sera mesurée en watts et le moment de force lui-même sera mesuré en Newton mètres. Dans ce cas, la vitesse angulaire est déterminée en radians par seconde.

Moment de plusieurs forces

Remarque 2

Lorsqu’un corps est exposé à deux forces égales et également dirigées de manière opposée qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite, le corps n’est pas en état d’équilibre. Cela s'explique par le fait que le moment résultant des forces indiquées par rapport à l'un des axes n'a pas de valeur nulle, puisque les deux forces représentées ont des moments dirigés dans la même direction (une paire de forces).

Dans une situation où le corps est fixé sur un axe, il tournera sous l’influence de quelques forces. Si une paire de forces est appliquée à un corps libre, celui-ci se mettra alors à tourner autour d’un axe passant par le centre de gravité du corps.

Le moment d’une paire de forces est considéré comme le même par rapport à tout axe perpendiculaire au plan de la paire. Dans ce cas, le moment total $M$ de la paire sera toujours égal au produit d'une des forces $F$ et de la distance $l$ entre les forces (bras de la paire) quels que soient les types de segments en dont il divise la position de l'axe.

$M=(FL_1+FL-2) = F(L_1+L_2)=FL$

Dans une situation où le moment résultant de plusieurs forces est égal à zéro, il sera considéré comme identique par rapport à tous les axes parallèles entre eux. Pour cette raison, l’effet de toutes ces forces sur le corps peut être remplacé par l’action d’une seule paire de forces ayant le même moment.

En physique, les problèmes liés aux corps en rotation ou aux systèmes en équilibre sont considérés en utilisant le concept de « moment de force ». Cet article examinera la formule du couple et comment elle peut être utilisée pour résoudre ce type de problème.

en physique

Comme indiqué dans l'introduction, cet article abordera les systèmes capables de tourner autour d'un axe ou autour d'un point. Considérons un exemple d'un tel modèle présenté dans la figure ci-dessous.

On voit que le levier gris est fixé à l'axe de rotation. Au bout du levier se trouve un cube noir d'une certaine masse qui est soumis à une force (flèche rouge). Il est intuitivement clair que le résultat de cette force sera la rotation du levier autour de son axe dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Le moment de force est une grandeur en physique qui est égale au produit vectoriel du rayon reliant l'axe de rotation et le point d'application de la force (vecteur vert sur la figure), et de la force externe elle-même. C'est-à-dire que la force relative à l'axe s'écrit comme suit :

Le résultat de ce produit sera le vecteur M¯. Sa direction est déterminée en fonction de la connaissance des vecteurs multiplicateurs, c'est-à-dire r¯ et F¯. D'après la définition d'un produit vectoriel, M¯ doit être perpendiculaire au plan formé par les vecteurs r¯ et F¯, et dirigé selon la règle de la main droite (si les quatre doigts de la main droite sont placés le long du premier vecteur multiplié vers la fin de la seconde, puis le pouce étendu vers le haut indiquera où est dirigé le vecteur souhaité). Sur la figure, vous pouvez voir où est dirigé le vecteur M¯ (flèche bleue).

Forme de notation scalaire M¯

Dans la figure du paragraphe précédent, la force (flèche rouge) agit sur le levier selon un angle de 90°. En général, il peut être appliqué sous absolument n’importe quel angle. Considérez l'image ci-dessous.

Nous voyons ici que la force F agit déjà sur le levier L sous un certain angle Φ. Pour ce système, la formule du moment de force par rapport à un point (indiqué par une flèche) sous forme scalaire prendra la forme :

M = L * F * péché(Φ)

Il résulte de l'expression que le moment de force M sera d'autant plus grand que la direction d'action de la force F est proche de l'angle de 90 o par rapport à L. Au contraire, si F agit le long de L, alors sin(0 ) = 0, et la force ne crée aucun moment ( M = 0).

Lorsqu'on considère le moment de force sous forme scalaire, le concept de « levier de force » est souvent utilisé. Cette grandeur représente la distance entre l'axe (le point de rotation) et le vecteur F. En appliquant cette définition à la figure ci-dessus, on peut dire que d = L * sin(Φ) est le levier de force (l'égalité découle de la définition de la fonction trigonométrique "sinus"). A l'aide du levier de force, la formule du moment M peut être réécrite comme suit :

Signification physique de la quantité M

La grandeur physique considérée détermine la capacité de la force externe F à exercer un effet de rotation sur le système. Pour amener un corps en mouvement de rotation, il faut lui communiquer un certain moment M.

Un exemple frappant de ce processus est l’ouverture ou la fermeture de la porte d’une pièce. En tenant la poignée, une personne applique une force et fait tourner la porte sur ses charnières. Tout le monde peut faire ça. Si vous essayez d’ouvrir la porte en agissant dessus à proximité des charnières, vous devrez faire beaucoup d’efforts pour la déplacer.

Un autre exemple consiste à dévisser un écrou avec une clé. Plus cette clé est courte, plus il est difficile de réaliser la tâche.

Ces caractéristiques sont démontrées par la force exercée sur l'épaule, donnée dans le paragraphe précédent. Si M est considéré comme une valeur constante, alors plus d est petit, plus F doit être appliqué pour créer un moment de force donné.

Plusieurs forces agissant dans le système

Nous avons évoqué plus haut les cas où une seule force F agit sur un système capable de rotation, mais que faire lorsqu'il existe plusieurs de ces forces ? En effet, cette situation est plus fréquente, puisque des forces de natures diverses (gravitationnelles, électriques, frictions, mécaniques et autres) peuvent agir sur le système. Dans tous ces cas, le moment de force résultant M¯ peut être obtenu en utilisant la somme vectorielle de tous les moments M i ¯, soit :

M¯ = ∑ i (M i ¯), où i est le nombre de forces F i

Une conclusion importante découle de la propriété d’additivité des moments, appelée théorème de Varignon, du nom du mathématicien de la fin du XVIIe et du début du XVIIIe siècle Pierre Varignon. On y lit : « La somme des moments de toutes les forces influençant le système considéré peut être représentée comme le moment d’une force, qui est égal à la somme de toutes les autres et est appliqué à un certain point. » Mathématiquement, le théorème peut s'écrire comme suit :

∑ je (M je ¯) = M¯ = d * ∑ je (F je ¯)

Ce théorème important est souvent utilisé en pratique pour résoudre des problèmes impliquant la rotation et l’équilibre des corps.

Un moment de force fonctionne-t-il ?

En analysant les formules données sous forme scalaire ou vectorielle, nous pouvons conclure que la valeur M est une sorte de travail. En effet, sa dimension est N*m, ce qui en SI correspond au joule (J). En fait, le moment de force n’est pas du travail, mais seulement une quantité capable de le faire. Pour que cela se produise, il est nécessaire d'avoir un mouvement circulaire dans le système et une action à long terme M. Par conséquent, la formule du travail du moment de force s'écrit sous la forme suivante :

Dans cette expression, θ est l'angle selon lequel la rotation a été effectuée par le moment de force M. En conséquence, l'unité de travail peut s'écrire N*m*rad ou J*rad. Par exemple, une valeur de 60 J*rad indique que lors d'une rotation de 1 radian (environ 1/3 de cercle), la force F créant le moment M a effectué 60 joules de travail. Cette formule est souvent utilisée pour résoudre des problèmes dans des systèmes où agissent des forces de friction, comme nous le verrons ci-dessous.

Moment de force et moment d'impulsion

Comme cela a été montré, l'action d'un moment M sur le système conduit à l'apparition d'un mouvement de rotation dans celui-ci. Ce dernier est caractérisé par une grandeur appelée « moment angulaire ». Il peut être calculé à l'aide de la formule :

Ici, I est le moment d'inertie (une quantité qui joue le même rôle lors de la rotation que la masse lors du mouvement linéaire d'un corps), ω est la vitesse angulaire, elle est liée à la vitesse linéaire par la formule ω = v/r.

Les deux moments (impulsion et force) sont liés l’un à l’autre par l’expression suivante :

M = I * α, où α = dω / dt - accélération angulaire.

Présentons une autre formule importante pour résoudre des problèmes impliquant le travail des moments de forces. En utilisant cette formule, vous pouvez calculer l’énergie cinétique d’un corps en rotation. Cela ressemble à ceci :

Équilibre multi-corps

Le premier problème est lié à l’équilibre d’un système dans lequel plusieurs forces agissent. La figure ci-dessous montre un système soumis à trois forces. Il est nécessaire de calculer la masse dont un objet doit être suspendu à ce levier et à quel moment cela doit être fait pour que ce système soit en équilibre.

D’après les conditions du problème, on peut comprendre que pour le résoudre, il faut utiliser le théorème de Varignon. La première partie du problème peut être résolue immédiatement, puisque le poids de l'objet qui doit être suspendu au levier sera égal à :

P = F 1 - F 2 + F 3 = 20 - 10 + 25 = 35 N

Les signes ici sont choisis en tenant compte du fait qu'une force faisant tourner un levier dans le sens inverse des aiguilles d'une montre crée un couple négatif.

La position du point d, où ce poids doit être suspendu, est calculée par la formule :

M 1 - M 2 + M 3 = d * P = 7 * 20 - 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4,714 m

Notez qu'en utilisant la formule du moment de gravité, nous avons calculé la valeur équivalente de M à celle créée par les trois forces. Pour que le système soit en équilibre, il faut suspendre un corps pesant 35 N en un point situé à 4,714 m de l'axe de l'autre côté du levier.

Problème de déplacement de disque

La solution au problème suivant repose sur l’utilisation de la formule du moment de friction et de l’énergie cinétique d’un corps en rotation. Problème : étant donné un disque de rayon r = 0,3 mètre, qui tourne à une vitesse de ω = 1 rad/s. Il est nécessaire de calculer la distance qu'il peut parcourir le long de la surface si le coefficient de frottement de roulement est μ = 0,001.

Ce problème est plus facile à résoudre si vous utilisez la loi de conservation de l’énergie. Nous avons l'énergie cinétique initiale du disque. Lorsqu'il commence à rouler, toute cette énergie est dépensée pour chauffer la surface sous l'action du frottement. En égalisant les deux quantités, on obtient l'expression :

Je * ω 2 /2 = μ * N/r * r * θ

La première partie de la formule est l’énergie cinétique du disque. La deuxième partie est le travail du moment de force de frottement F = μ * N/r appliqué au bord du disque (M=F * r).

Considérant que N = m * g et I = 1/2m * r 2, on calcule θ :

θ = m * r 2 * ω 2 /(4 * μ * m * g) = r 2 * ω 2 /(4 * μ *g) = 0,3 2 * 1 2 /(4 * 0,001 * 9,81 ) = 2,29358 rad

Puisque 2pi radians correspondent à une longueur de 2pi * r, alors nous constatons que la distance requise que le disque parcourra est :

s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 m soit environ 69 cm

Notez que la masse du disque n’affecte en rien ce résultat.

Un moment de pouvoir par rapport à un centre arbitraire dans le plan d'action de la force, on appelle le produit du module de force et de l'épaule.

Épaule- la distance la plus courte du centre O à la ligne d'action de la force, mais pas au point d'application de la force, car vecteur force-glissement.

Signe du moment :

Dans le sens des aiguilles d'une montre - moins, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre - plus ;

Le moment de force peut être exprimé sous forme de vecteur. Ceci est perpendiculaire au plan selon la règle de Gimlet.

Si plusieurs forces ou un système de forces sont localisés dans le plan, alors la somme algébrique de leurs moments nous donnera point principal systèmes de forces.

Considérons le moment de force autour de l'axe, calculons le moment de force autour de l'axe Z ;

Projetons F sur XY ;

Fxy =F cosα= un ab

m 0 (F xy)=m z (F), c'est-à-dire m z =F xy * h=F cosα* h

Le moment de force par rapport à l'axe est égal au moment de sa projection sur le plan perpendiculaire à l'axe, pris à l'intersection des axes et du plan

Si la force est parallèle à l'axe ou le coupe, alors m z (F)=0

Exprimer le moment de force sous forme d'expression vectorielle

Traçons r a au point A. Considérons OA x F.

C'est le troisième vecteur m o , perpendiculaire au plan. L'ampleur du produit vectoriel peut être calculée en utilisant deux fois l'aire du triangle ombré.

Expression analytique de la force par rapport aux axes de coordonnées.

Supposons que les axes Y et Z, X de vecteurs unitaires i, j, k soient associés au point O. Considérant que :

r x =X * Fx ; r y =Y * F y ; r z =Z * F y on obtient : m o (F)=x =

Développons le déterminant et obtenons :

m x = YF z - ZF y

m y =ZF x - XF z

m z =XF y - YF x

Ces formules permettent de calculer la projection du moment vectoriel sur l'axe, puis le moment vectoriel lui-même.

Théorème de Varignon sur le moment de la résultante

Si un système de forces a une résultante, alors son moment par rapport à n'importe quel centre est égal à la somme algébrique des moments de toutes les forces par rapport à ce point

Si nous appliquons Q= -R, alors le système (Q,F 1 ... F n) sera également équilibré.

La somme des moments autour de n’importe quel centre sera égale à zéro.

Condition d'équilibre analytique pour un système de forces plan

Il s'agit d'un système plat de forces dont les lignes d'action sont situées dans le même plan

Le but du calcul de problèmes de ce type est de déterminer les réactions des connexions externes. Pour ce faire, les équations de base d’un système de forces plan sont utilisées.

2 ou 3 équations de moment peuvent être utilisées.

Exemple

Créons une équation pour la somme de toutes les forces sur les axes X et Y.

Moment de pouvoir. Moment d'impulsion.

Supposons qu'un corps, sous l'influence de la force F appliquée au point A, entre en rotation autour de l'axe OO" (Fig. 1.14).

La force agit dans un plan perpendiculaire à l'axe. La perpendiculaire p tombée du point O (couché sur l'axe) jusqu'à la direction de la force est appelée épaule de force. Le produit de la force par le bras détermine le module du moment de force par rapport au point O :

M = Fp = Frsinα.

moment de forceest un vecteur déterminé par le produit vectoriel du rayon vecteur du point d'application de la force et du vecteur force :

(3.1)
L'unité du moment de force est le newton mètre (N·m).

La direction de M peut être trouvée à l’aide de la bonne règle à vis.

moment d'impulsion la particule est le produit vectoriel du rayon vecteur de la particule et de sa quantité de mouvement :

ou sous forme scalaire L = rPsinα

Cette quantité est vectorielle et coïncide en direction avec les vecteurs ω.

§3.2 Moment d'inertie. Théorème de Steiner

La mesure de l'inertie des corps lors d'un mouvement de translation est la masse. L'inertie des corps lors d'un mouvement de rotation dépend non seulement de la masse, mais aussi de sa répartition dans l'espace par rapport à l'axe de rotation. La mesure de l'inertie pendant le mouvement de rotation est une quantité appelée moment d'inertie du corps par rapport à l'axe de rotation.

Moment d'inertie d'un point matériel par rapport à l'axe de rotation, le produit de la masse de ce point et du carré de sa distance à l'axe s'appelle :

Je je =m je r je 2 (3.2)

Moment d'inertie du corps par rapport à l'axe de rotation appelons la somme des moments d'inertie des points matériels qui composent ce corps :

(3.3)

Le moment d'inertie d'un corps dépend de l'axe autour duquel il tourne et de la façon dont la masse du corps est répartie dans le volume.

Le moment d'inertie des corps ayant une forme géométrique régulière et une répartition uniforme de la masse sur le volume est le plus facilement déterminé.

· Moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à un axe passant par le centre d'inertie et perpendiculaire à la tige

(3.6)

· Moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe perpendiculaire à sa base et passant par le centre d'inertie,

(3.7)

· Moment d'inertie d'un cylindre à paroi mince ou cerceau par rapport à un axe perpendiculaire au plan de sa base et passant par son centre,

(3.8)

· Moment d'inertie de la bille par rapport au diamètre

(3.9)

Les formules données pour les moments d'inertie des corps sont données à condition que l'axe de rotation passe par le centre d'inertie. Pour déterminer les moments d'inertie d'un corps par rapport à un axe arbitraire, vous devez utiliser Théorème de Steiner : le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe de rotation arbitraire est égal à la somme du moment d'inertie du corps par rapport à un axe parallèle à celui donné et passant par le centre de masse du corps, et le produit de la masse corporelle par le carré de la distance entre les axes :

(3.11)

L'unité du moment d'inertie est le kilogramme mètre carré (kg m2).

Ainsi, le moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à l'axe passant par son extrémité, selon le théorème de Steiner, est égal à

(3.12)

§ 3.3 Équation de la dynamique du mouvement de rotation d'un corps rigide

Considérons d'abord un point matériel A de masse m, se déplaçant dans un cercle de rayon r (Fig. 1.16). Qu'il soit soumis à l'action d'une force constante F dirigée tangentiellement au cercle. Selon la deuxième loi de Newton, cette force provoque une accélération tangentielle ou F = m un τ .

En utilisant la relation unτ = βr, on obtient F = m βr.

Multiplions les deux côtés de l'équation ci-dessus par r.

Fr = m βr 2 . (3.13)

Le côté gauche de l’expression (3.13) est le moment de force : M = Fr. Le côté droit est le produit de l'accélération angulaire β et du moment d'inertie du point matériel A : J= m r 2.

L'accélération angulaire d'un point lorsqu'il tourne autour d'un axe fixe est proportionnelle au couple et inversement proportionnelle au moment d'inertie. (l'équation de base de la dynamique du mouvement de rotation d'un point matériel):

M = β J ou (3.14)

À moment constant de force de rotation, l'accélération angulaire sera une valeur constante et peut être exprimée par la différence de vitesses angulaires :

(3.15)

L’équation de base de la dynamique du mouvement de rotation peut alors s’écrire sous la forme

ou (3.16)

[ - moment d'impulsion (ou moment cinétique), МΔt - impulsion de moment de forces (ou impulsion de couple)].

L’équation de base de la dynamique du mouvement de rotation peut s’écrire sous la forme

(3.17)

§ 3.4 Loi de conservation du moment cinétique

Considérons le cas fréquent de mouvement de rotation, lorsque le moment total des forces extérieures est nul. Lors du mouvement de rotation d'un corps, chacune de ses particules se déplace avec une vitesse linéaire υ = ωr, .

Le moment cinétique d'un corps en rotation est égal à la somme des moments

impulsions de ses particules individuelles:

(3.18)

La variation du moment cinétique est égale à l'impulsion de couple :

dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3.19)

Si le moment total de toutes les forces externes agissant sur le système corporel par rapport à un axe fixe arbitraire est égal à zéro, c'est-à-dire M = 0, alors dL et la somme vectorielle du moment cinétique des corps du système ne change pas dans le temps.

La somme du moment cinétique de tous les corps dans un système isolé reste inchangée ( loi de conservation du moment cinétique):

d(Jω)=0 Jω=const (3.20)

D’après la loi de conservation du moment cinétique, on peut écrire

J 1 ω 1 = J 2 ω 2 (3.21)

où J 1 et ω 1 sont le moment d'inertie et la vitesse angulaire à l'instant initial, et J 2 et ω 2 – à l'instant t.

De la loi de conservation du moment cinétique il résulte que lorsque M = 0, lors de la rotation du système autour d'un axe, toute modification de la distance des corps à l'axe de rotation doit s'accompagner d'une modification de la vitesse de leur rotation autour de cet axe. À mesure que la distance augmente, la vitesse de rotation diminue ; à mesure que la distance diminue, elle augmente. Par exemple, un gymnaste effectuant un saut périlleux pour avoir le temps de faire plusieurs tours dans les airs se met en boule pendant le saut. Une ballerine ou une patineuse artistique, tournant en pirouette, écarte les bras si elle veut ralentir la rotation et, à l'inverse, les presse contre son corps lorsqu'elle essaie de tourner le plus rapidement possible.

§ 3.5 Énergie cinétique d'un corps en rotation

Déterminons l'énergie cinétique d'un corps rigide tournant autour d'un axe fixe. Divisons ce corps en n points matériels. Chaque point se déplace avec une vitesse linéaire υ i =ωr i , alors l'énergie cinétique du point

ou

L'énergie cinétique totale d'un corps rigide en rotation est égale à la somme des énergies cinétiques de tous ses points matériels :

(3.22)

(J est le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe de rotation)

Si les trajectoires de tous les points se situent dans des plans parallèles (comme un cylindre roulant sur un plan incliné, chaque point se déplace dans son propre plan Fig), cela mouvement à plat. Selon le principe d'Euler, le mouvement plan peut toujours être décomposé en mouvements de translation et de rotation d'innombrables façons. Si une balle tombe ou glisse le long d'un plan incliné, elle se déplace uniquement en translation ; lorsque la balle roule, elle tourne également.

Si un corps effectue simultanément un mouvement de translation et de rotation, alors son énergie cinétique totale est égale à

(3.23)

D'après une comparaison des formules d'énergie cinétique pour les mouvements de translation et de rotation, il est clair que la mesure de l'inertie pendant le mouvement de rotation est le moment d'inertie du corps.

§ 3.6 Travail effectué par des forces extérieures lors de la rotation d'un corps rigide

Lorsqu'un corps rigide tourne, son énergie potentielle ne change pas, donc le travail élémentaire des forces extérieures est égal à l'incrément de l'énergie cinétique du corps :

ΔA = ΔE ou

En tenant compte du fait que Jβ = M, ωdr = dφ, on a

ΔA = MΔφ (3.24)

Le travail effectué par les forces externes lors de la rotation d'un corps rigide d'un angle fini φ est égal à

Lorsqu'un corps rigide tourne autour d'un axe fixe, le travail des forces extérieures est déterminé par l'action du moment de ces forces par rapport à cet axe. Si le moment des forces par rapport à l’axe est nul, alors ces forces ne produisent pas de travail.

Dans cette leçon, dont le thème est « Moment de force », nous parlerons de la force qui doit être appliquée à un corps afin de modifier sa vitesse, ainsi que du point d'application de cette force. Regardons des exemples de rotation de différents corps, par exemple une balançoire : à quel moment une force doit-elle être appliquée pour que la balançoire se mette en mouvement ou reste en équilibre.

Imaginez que vous êtes un joueur de football et qu’il y a un ballon de football devant vous. Pour le faire voler, il faut le frapper. C’est simple : plus vous frappez fort, plus la balle volera vite et loin, et vous toucherez très probablement le centre de la balle (voir Fig. 1).

Et pour que le ballon tourne en vol et vole le long d'une trajectoire courbe, vous ne frapperez pas au centre du ballon, mais sur le côté, ce que font les footballeurs pour tromper leurs adversaires (voir Fig. 2).

Riz. 2. Trajectoire courbe du ballon

Ici, il est déjà important de savoir quel point atteindre.

Autre question simple : à quel endroit faut-il prendre le bâton pour qu'il ne bascule pas lors du levage ? Si le bâton est uniforme en épaisseur et en densité, nous le prendrons au milieu. Et s'il était plus massif à une extrémité ? Ensuite, nous le rapprocherons du bord massif, sinon il l'emportera (voir Fig. 3).

Riz. 3. Point de levage

Imaginez : papa était assis sur une balançoire (voir Fig. 4).

Riz. 4. Balancement

Pour contrebalancer cela, vous vous asseoirez sur la balançoire plus près de l’extrémité opposée.

Dans tous les exemples donnés, il était important pour nous non seulement d'agir sur le corps avec une certaine force, mais il était également important à quel endroit, sur quel point du corps agir. Nous avons choisi ce point au hasard, en nous basant sur l'expérience de la vie. Et s'il y avait trois poids différents sur le bâton ? Et si vous le souleviez ensemble ? Et s'il s'agissait d'une grue ou d'un pont à haubans (voir Fig. 5) ?

Riz. 5. Exemples tirés de la vie

Pour résoudre de tels problèmes, l’intuition et l’expérience ne suffisent pas. Sans une théorie claire, ils ne peuvent plus être résolus. Aujourd'hui, nous allons parler de la résolution de ces problèmes.

Habituellement, dans les problèmes, nous avons un corps sur lequel des forces sont appliquées, et nous les résolvons, comme toujours auparavant, sans penser au point d'application de la force. Il suffit de savoir que la force s’applique simplement au corps. De tels problèmes surviennent souvent, nous savons comment les résoudre, mais il arrive qu'il ne suffit pas simplement d'appliquer une force sur le corps - cela devient important à quel moment.

Un exemple de problème dans lequel la taille du corps n'est pas importante

Par exemple, il y a une petite boule de fer sur la table, qui est soumise à une force gravitationnelle de 1 N. Quelle force faut-il appliquer pour la soulever ? La balle est attirée par la Terre, nous allons agir vers le haut en appliquant une certaine force.

Les forces agissant sur la balle sont dirigées dans des directions opposées et pour soulever la balle, vous devez agir sur elle avec une force supérieure à la force de gravité (voir Fig. 6).

Riz. 6. Forces agissant sur le ballon

La force de gravité est égale à , ce qui signifie que la balle doit être poussée vers le haut avec une force :

Nous n’avons pas réfléchi à la manière exacte dont nous prenions le ballon, nous le prenons simplement et le soulevons. Lorsque nous montrons comment nous avons soulevé le ballon, nous pouvons facilement dessiner un point et montrer : nous avons agi sur le ballon (voir Fig. 7).

Riz. 7. Action sur le ballon

Lorsque nous pouvons faire cela avec un corps, le montrer dans un dessin en l'expliquant sous la forme d'un point et ne pas prêter attention à sa taille et à sa forme, nous le considérons comme un point matériel. Ceci est un modèle. En réalité, la balle a une forme et des dimensions, mais nous n'y avons pas prêté attention dans ce problème. S’il faut faire tourner la même balle, il n’est plus possible de dire simplement que nous influençons la balle. La chose importante ici est que nous avons poussé la balle depuis le bord et non vers le centre, la faisant tourner. Dans ce problème, la même balle ne peut plus être considérée comme un point.

Nous connaissons déjà des exemples de problèmes dans lesquels il faut prendre en compte le point d'application de la force : un problème avec un ballon de football, avec un bâton non uniforme, avec un swing.

Le point d'application de la force est également important dans le cas d'un levier. A l'aide d'une pelle, on agit sur le bout du manche. Il suffit ensuite d'appliquer une petite force (voir Fig. 8).

Riz. 8. Action à faible force sur le manche de la pelle

Qu'ont en commun les exemples considérés, où il est important pour nous de prendre en compte la taille du corps ? Et la balle, et le bâton, et la balançoire, et la pelle - dans tous ces cas, nous parlions de la rotation de ces corps autour d'un certain axe. La balle tournait autour de son axe, la balançoire tournait autour de la monture, le bâton autour de l'endroit où nous la tenions, la pelle autour du point d'appui (voir Fig. 9).

Riz. 9. Exemples de corps tournants

Considérons la rotation des corps autour d'un axe fixe et voyons ce qui fait tourner le corps. Nous considérerons la rotation dans un plan, nous pouvons alors supposer que le corps tourne autour d'un point O (voir Fig. 10).

Riz. 10. Point pivot

Si nous voulons équilibrer une balançoire dont la poutre est en verre et mince, elle peut simplement se briser, et si la poutre est en métal mou et également mince, elle peut se plier (voir Fig. 11).

Nous ne considérerons pas de tels cas ; Nous considérerons la rotation de corps rigides forts.

Il serait faux de dire que le mouvement de rotation est déterminé uniquement par la force. Après tout, sur une balançoire, la même force peut la faire tourner, ou non, selon l'endroit où nous sommes assis. Ce n'est pas seulement une question de force, mais aussi de localisation du point sur lequel on agit. Tout le monde sait à quel point il est difficile de soulever et de maintenir une charge à bout de bras. Pour déterminer le point d'application de la force, la notion d'épaule de force est introduite (par analogie avec l'épaule de la main avec laquelle une charge est soulevée).

Le bras d’une force est la distance minimale d’un point donné à la droite le long de laquelle la force agit.

D'après la géométrie, vous savez probablement déjà qu'il s'agit d'une perpendiculaire tombant du point O jusqu'à une ligne droite le long de laquelle la force agit (voir Fig. 12).

Riz. 12. Représentation graphique de l'effet de levier

Pourquoi le bras d’une force est-il la distance minimale du point O à la droite le long de laquelle la force agit ?

Il peut paraître étrange que le bras d'une force se mesure du point O non pas au point d'application de la force, mais à la ligne droite le long de laquelle cette force agit.

Faisons l'expérience suivante : attachez un fil au levier. Appliquons une certaine force sur le levier à l'endroit où le fil est noué (voir Fig. 13).

Riz. 13. Le fil est attaché au levier

Si un couple suffisant est créé pour faire tourner le levier, il tournera. Le fil montrera une ligne droite le long de laquelle la force est dirigée (voir Fig. 14).

Essayons de tirer le levier avec la même force, mais en maintenant le fil. Rien ne changera dans l’effet sur le levier, même si le point d’application de la force changera. Mais la force agira le long de la même ligne droite, sa distance à l'axe de rotation, c'est-à-dire le bras de la force, restera la même. Essayons d'actionner le levier selon un angle (voir Fig. 15).

Riz. 15. Action sur le levier en biais

Désormais, la force est appliquée au même point, mais agit le long d’une ligne différente. Sa distance à l'axe de rotation est devenue petite, le moment de force a diminué et le levier ne peut plus tourner.

Le corps est soumis à une influence visant à la rotation, à la rotation du corps. Cet impact dépend de la force et de son effet de levier. La grandeur caractérisant l’effet rotationnel de la force sur un corps est appelée moment de force, parfois aussi appelé couple ou couple.

La signification du mot « moment »

Nous sommes habitués à utiliser le mot « moment » pour désigner une période de temps très courte, comme synonyme du mot « moment » ou « moment ». Il n’est alors pas tout à fait clair quelle relation le moment doit imposer. Revenons à l'origine du mot « moment ».

Le mot vient du latin élan, qui signifie « force motrice, poussée ». Le verbe latin movēre signifie « bouger » (tout comme le mot anglais move, et mouvement signifie « mouvement »). Il est désormais clair pour nous que le couple est ce qui fait tourner un corps.

Le moment d’une force est le produit de la force et de son bras.

L'unité de mesure est le newton multiplié par le mètre : .

Si vous augmentez le bras de force, vous pouvez diminuer la force et le moment de force restera le même. Nous l'utilisons très souvent dans la vie de tous les jours : lorsque nous ouvrons une porte, lorsque nous utilisons une pince ou une clé.

Le dernier point de notre modèle demeure : nous devons déterminer quoi faire si plusieurs forces agissent sur le corps. Nous pouvons calculer le moment de chaque force. Il est clair que si les forces font tourner le corps dans une direction, alors leur action s'additionnera (voir Fig. 16).

Riz. 16. L'action des forces s'additionne

S'ils sont dans des directions différentes, les moments de force s'équilibreront et il est logique qu'ils devront être soustraits. Par conséquent, nous écrirons les moments des forces qui font tourner le corps dans différentes directions avec des signes différents. Par exemple, notons si la force est censée faire tourner le corps autour d'un axe dans le sens des aiguilles d'une montre et si elle tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (voir Fig. 17).

Riz. 17. Définition des signes

Ensuite, nous pouvons écrire une chose importante : pour qu'un corps soit en équilibre, la somme des moments des forces agissant sur lui doit être égale à zéro.

Formule d'effet de levier

On connaît déjà le principe de fonctionnement d'un levier : deux forces agissent sur le levier, et plus le bras de levier est grand, moins la force est importante :

Considérons les moments des forces qui agissent sur le levier.

Choisissons un sens de rotation positif du levier, par exemple dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (voir Fig. 18).

Riz. 18. Sélection du sens de rotation

Ensuite, le moment de force aura un signe plus et le moment de force aura un signe moins. Pour que le levier soit en équilibre, la somme des moments de forces doit être égale à zéro. Écrivons :

Mathématiquement, cette égalité et le rapport écrit ci-dessus pour le levier ne font qu'un, et ce que nous avons obtenu expérimentalement s'est confirmé.

Par exemple, Déterminons si le levier montré sur la figure sera en équilibre. Trois forces agissent sur lui(voir fig. 19) . , Et. Les épaules des forces sont égales, Et.

Riz. 19. Dessin pour les conditions de la tâche 1

Pour que le levier soit en équilibre, la somme des moments des forces qui agissent sur lui doit être égale à zéro.

Selon la condition, trois forces agissent sur le levier : , et . Leurs épaules sont respectivement égales à , et .

Le sens de rotation du levier dans le sens des aiguilles d'une montre sera considéré comme positif. Dans cette direction le levier est entraîné en rotation par une force, son moment est égal à :

Les forces et faites tourner le levier dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous écrivons leurs moments avec un signe moins :

Il reste à calculer la somme des moments de forces :

Le moment total n’est pas égal à zéro, ce qui signifie que le corps ne sera pas en équilibre. Le moment total est positif, ce qui signifie que le levier tournera dans le sens des aiguilles d'une montre (dans notre problème, c'est le sens positif).

Nous avons résolu le problème et obtenu le résultat : le moment total des forces agissant sur le levier est égal à . Le levier commencera à tourner. Et quand il tourne, si les forces ne changent pas de direction, les épaules des forces changeront. Ils diminueront jusqu'à devenir nuls lorsque le levier sera tourné verticalement (voir Fig. 20).

Riz. 20. Les forces des épaules sont nulles

Et avec une rotation ultérieure, les forces seront dirigées de manière à le faire tourner dans la direction opposée. Par conséquent, après avoir résolu le problème, nous avons déterminé dans quelle direction le levier commencerait à tourner, sans parler de ce qui se passerait ensuite.

Vous avez maintenant appris à déterminer non seulement la force avec laquelle vous devez agir sur le corps afin de modifier sa vitesse, mais également le point d'application de cette force pour qu'il ne tourne pas (ou ne tourne pas, comme nous en avons besoin).

Comment pousser une armoire sans qu’elle ne bascule ?

Nous savons que lorsque nous poussons une armoire avec force vers le haut, elle va basculer, et pour éviter que cela ne se produise, nous la poussons plus bas. Nous pouvons désormais expliquer ce phénomène. L'axe de sa rotation est situé sur le bord sur lequel il repose, tandis que les épaules de toutes les forces, à l'exception de la force, sont soit petites, soit égales à zéro, donc sous l'influence de la force, l'armoire tombe (voir Fig. 21).

Riz. 21. Action sur le dessus du meuble

En appliquant une force en dessous, nous réduisons son épaule, ce qui signifie que le moment de cette force et le renversement ne se produisent pas (voir Fig. 22).

Riz. 22. Force appliquée ci-dessous

Le meuble en tant que corps, dont nous prenons en compte les dimensions, obéit à la même loi qu'une clé, une poignée de porte, des ponts sur supports, etc.

Ceci conclut notre leçon. Merci de votre attention !

Références

1. Sokolovich Yu.A., Bogdanova G.S. Physique : Un ouvrage de référence avec des exemples de résolution de problèmes. - Répartition de la 2ème édition. - X. : Vesta : Maison d'édition Ranok, 2005. - 464 p.
2. Perychkine A.V. Physique. 7e année : manuel. pour l'enseignement général institutions - 10e éd., ajouter. - M. : Outarde, 2006. - 192 p. : ill.

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2. solverbook.com ().

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