Fins du segment. Présentation sur le thème "Détermination des angles dièdres" Le point sur l'arête peut être arbitraire...

Diapositive 18

Définition:

α β B A C M N P

Diapositive 19

Il est parfois commode de construire un angle linéaire d'un angle dièdre comme suit : à partir d'un point A, on dépose la face α sur l'arête a AC┴a, la perpendiculaire à l'autre face AB┴β CB sera la projection de AC sur le plan β. Puisque AC┴a, alors BC┴a par le théorème inverse sur 3 perpendiculaires. ACB est l'angle linéaire d'un angle dièdre d'arête a. A B C une α β

Diapositive 20

Plans perpendiculaires. Deux plans sécants sont dits perpendiculaires si l’angle entre eux est de 90°.

Diapositive 21

Propriétés:

Si un plan passe par une ligne perpendiculaire à un autre plan, alors ces plans sont perpendiculaires.

Diapositive 22

Résolution de problèmes :

Diapositive 23

Notes sur la résolution de problèmes.

Vous pouvez résoudre sur des ordinateurs en utilisant des « Autofigures ». Vous pouvez résoudre sur un « interboard ». Peut être projeté directement sur un tableau ordinaire ou un tableau blanc. Nous affichons les conditions du problème sur l'écran, complétons le dessin et le résolvons directement sur le cadre. Chaque élève peut sauvegarder la solution du problème, et l'enseignant l'évaluera ensuite. Vous pouvez afficher les solutions des étudiants sur un écran commun et envisager différentes méthodes.

Diapositive 24

Le point M est situé sur l'une des faces d'un angle dièdre égal à 30. La distance du point au bord de l'angle dièdre est de 18 cm. Calculez la distance de la projection du point M sur la deuxième face au bord de. l'angle dièdre.

Diapositive 25

Les segments AC et BC situés sur les faces d'un angle dièdre droit sont perpendiculaires à son arête. Calculez la distance entre les points A et B si AC=10cm, BC=24cm.

Diapositive 26

Le point K, sur la face d'un angle dièdre, est éloigné de l'autre face de 12 cm, et du bord par Calculer la valeur de l'angle dièdre.

Diapositive 27

Le point A est situé au bord d'un angle dièdre égaux entre eux. Sur ses faces se trouvent des perpendiculaires aux bords AB et AC, égales respectivement à 10 cm et 8 cm. Calculez la distance entre les points B et C.

Diapositive 28

Trouvez la distance du point D à la ligne AB, si AC = CB = 10, AB = 16, CD = 6. Tracez une perpendiculaire du point D à la ligne AB. Trouvez l'angle dièdre au bord AB. ▲ABC, CD╨ABC D

Diapositive 29

▲ABC, CD ╨ABC). Trouver la distance du point D à la droite AB, (trouver la valeur de l'angle dièdre au bord AB) droite ACB, AC=15, CB=20, CD=35. ANNONCE

Diapositive 30

Les points M et K se trouvent sur des faces différentes d'un angle dièdre droit. La distance entre ces points et le bord est de 20 cm et 21 cm. Calculez la distance entre les segments du MC et le bord de l'angle dièdre.

Diapositive 31

Les extrémités du segment reposent sur les faces de l'angle dièdre et sont à 6 cm de son bord. La distance entre ce segment et le bord est de 3 cm. Calculez l'angle dièdre.

Diapositive 32

Le point K est à 8 cm de chaque côté du triangle équilatéral ABC, AB = 24 cm Calculez la valeur de l'angle dièdre dont l'arête est la droite BC, et dont les faces contiennent les points K et A.

K A V S A V S

Diapositive 33

a) Le plan M passe par le côté AD du carré ABCD. La diagonale BD forme un angle de 45 degrés avec le plan M. Trouvez l'angle entre le plan du carré et le plan M. b) Le plan M passe par le côté AD du carré ABCD et forme un angle de 30 degrés avec le plan. Trouvez l'angle que fait la diagonale BD avec le plan M.

Diapositive 34

La base de la pyramide PABCD est un rectangle ABCD dont les côtés sont égaux. Les plans RAB et RBC sont perpendiculaires au plan ABC et le plan PAC y est incliné d'un angle. Trouvez la hauteur et le volume de la pyramide.

Diapositive 35

Propriété d'un angle trièdre.

Si deux angles plans sont égaux, alors leur arête commune est projetée sur la bissectrice du troisième angle plan. ABCD

Diapositive 36

Toutes les faces du parallélépipède sont des losanges égaux, de côté a et d'angle aigu. Trouvez la hauteur du parallélépipède.

Diapositive 37

Répondre:

Diapositive 38

*La base de la pyramide est un losange. Deux faces latérales sont perpendiculaires au plan de la base et l'angle dièdre qu'elles forment est de 120° ; les deux autres faces sont inclinées par rapport au plan de base d'un angle de 30°. La hauteur de la pyramide est h. Trouvez la surface totale de la pyramide.

Diapositive 39

MABCD est une pyramide donnée, ABCD est un losange ; (ABM)┴(ABC) et (MSV)┴(ABC), signifie MV┴ABC). MB=H,ABC - angle linéaire de l'angle dièdre avec l'arête MB, ABC=120°. ABCD

Les cercles sont égaux. Trouvez l'aire du parallélogramme. Partie. Diagonale. Quadrilatère. Parallélogramme. Angles. Centres de cercles. Cercle. Preuve. Triangles. Deux cercles. Propriété d'un parallélogramme. Hauteur du parallélogramme. Géométrie. Carré. Aire d'un parallélogramme. Propriétés d'un parallélogramme. Égalité des segments. Points. Tâches. Tangente à un cercle. Angle aigu. Ligne médiane. Signes d'un parallélogramme.

« Angle dièdre, perpendiculaire des plans » - Les six faces sont des rectangles. La distance entre les lignes qui se croisent. Un signe de perpendiculaire de deux plans. Trouvez la distance. Angle dièdre linéaire. Trouvez l'angle. Un plan perpendiculaire à une ligne. Planimétrie. Angles dièdres. La droite a est perpendiculaire au plan. Bord d'un cube. Parallélépipède. Section. Les plans ABC1 et A1B1D sont perpendiculaires. Trouvez la tangente de l'angle. Diagonale.

« Corollaires des axiomes de stéréométrie » - Section de géométrie. L'intersection d'une ligne et d'un plan. Plat et droit. Avions. Construisez une image d’un cube. Combien de visages passent par un, deux, trois, quatre points. Explication du nouveau matériel. Tracez une ligne droite. Preuve. Solution. Travail oral. Déclarations. Axiomes de stéréométrie et quelques conséquences qui en découlent. Qu'est-ce que la stéréométrie ? Axiomes de planimétrie. Trouvez la ligne d'intersection des plans.

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«Axiomes de stéréométrie, 10e année» - Axiomes de stéréométrie. A, B, C ? une ligne droite A, B, C ? ? ? - le seul avion. Un avion passe par deux lignes qui se croisent, et une seule. Problème Étant donné un tétraèdre MABC dont chaque arête mesure 6 cm, nommez la ligne le long de laquelle les plans se coupent : A) (MAB) et (MFC) B) (MCF) et (ABC). Corollaires des axiomes de la stéréométrie. 4. Calculez les longueurs des segments AK et AB1, si AD=a. 2. Trouvez la longueur du segment CF et l'aire du triangle ABC.

5. Encerclez l’image :

L'image d'un cercle de centre au point O1 est une ellipse de centre au point O, appartenant au plan de projection α

La perpendiculaire commune de deux lignes sécantesappelé segment dont les extrémités sur ces lignes sont perpendiculaires à chacune d'elles.

Distance entre les lignes qui se croisentest appelée la longueur de leur perpendiculaire commune. Elle est égale à la distance entre plans parallèles passant par ces lignes.

Angle entre les lignes qui se croisentL'angle entre les lignes sécantes parallèles aux lignes sécantes données est appelé.

Théorème généralisé des trois perpendiculaires

Toute droite sur un plan perpendiculaire à la projection d'un incliné sur ce plan est également perpendiculaire à l'incliné.

Et vice versa : si une droite dans un plan est perpendiculaire à une droite inclinée, alors elle est également perpendiculaire à la projection de l'inclinée.

L'angle entre une droite et un plan appelé l'angle entre une droite et sa projection sur un plan (angle φ).

L'angle entre deux plans sécantsappelé l'angle entre la droite d'intersection de ces plans avec

un plan perpendiculaire à la ligne d’intersection de ces plans (angle φ‘).

Aire de projection orthogonale d'un polygone sur un planest égal au produit de son aire et du cosinus de l'angle entre le plan du polygone et l'aire de projection.

Problème 1. Par le point O de l'intersection des diagonales du carré ABCD, une perpendiculaire MO de longueur 15 cm est tracée à son plan. Trouvez la distance du point M aux côtés du carré si son côté est de 16 cm.

Réponse : 17 cm.

Problème 2. Un segment AS égal à 12 cm est perpendiculaire au plan d'un triangle ABC, dans lequel AB=AC=20 cm, BC=24 cm Trouvez la distance du point S à la droite BC.

Réponse : 20 cm.

Problème 3. Au plan d'un rectangle ABCD dont l'aire est de 180 cm2, une perpendiculaire SD est tracée, SD = 12 cm, BC = 20 cm Trouvez la distance du point S aux côtés du rectangle.

Réponse : 12 cm, 12 cm, 15 cm, 4 à 34 cm.

Problème 4. La branche AC d'un triangle rectangle est égale à a, l'angle B est égal à φ. Par le sommet de l'angle droit, une perpendiculaire MC de longueur a est tracée au plan de ce triangle. Trouvez la distance entre les extrémités de la perpendiculaire à l'hypoténuse.

Réponse : un cosϕ ; une 1+ cos2 ϕ .

Problème 5. Dans le triangle ABC, côtés AB = 13 cm, BC = 14 cm, AC = 15 cm À partir du sommet A, une perpendiculaire AD de longueur 5 cm est tracée à son plan. Trouvez la distance du point D au côté BC.

Réponse : 13 cm.

Problème 6. Une perpendiculaire MC de longueur 7 cm est tracée au plan d'un losange ABCD, dans lequel Ð A = 45°, AB = 8 cm Trouvez la distance du point M aux côtés du losange.

Réponse : 7 cm, 7 cm, 9 cm, 9 cm.

Tâche 7. Construire des perpendiculaires communes aux droites AB et CD sur l'image du cube.

Problème 8. Un plan α est tracé passant par le côté AC du triangle équilatéral ABC. L'angle entre la hauteur BD du triangle et ce plan est égal à φ. Trouvez l'angle entre la ligne AB et le plan α.

Problème 9. Par le centre O d'un triangle régulier ABC est dessiné vers son plan

perpendiculaire à MO. AB = un 3. L'angle entre la droite MA et le plan du triangle est de 45°. Trouvez l'angle entre les plans : 1) AMO et VMO ; 2) DIU et ABC.

Réponse : 1) 60° ; 2) arct 2.

Problème 10. Les plans des triangles équilatéraux ABC et ABD sont perpendiculaires. Trouvez l'angle :

1) entre la droite DC et le plan ABC ; entre les avions ADC et BDC.

Réponse : 1) 45° ; 2) arccos 1 5 .

Problème 11. Démontrer le théorème sur l'aire de projection d'un polygone pour le cas où le polygone est un triangle dont aucun des côtés n'est parallèle au plan de projection.

Problème 12. Le bord du cube est égal à a. Trouvez l'aire de la section transversale du cube par un plan passant par le haut de la base à un angle de 30° par rapport à cette base et coupant tous les bords latéraux.

Réponse : 2 3 une 2 .

Problème 13. Les côtés du rectangle mesurent 20 et 25 cm. Sa projection sur le plan lui est similaire. Trouvez le périmètre de la projection.

Réponse : 72 cm ou 90 cm.

Problème 14. Un triangle isocèle d'une hauteur de 16 cm est plié le long de la ligne médiane MN, parallèlement à la base AC, de sorte que le sommet B soit à 4 cm du plan du quadrilatère ACNM.

a) Trouver l'angle entre les plans AMC et MBN ;

b) Construire l'angle linéaire de l'angle dièdre BMNC et trouver la mesure angulaire si la projection orthogonale du sommet B sur le plan du quadrilatère AMNC se trouve en dehors de ses limites ;

c) Comparer les mesures angulaires de l'angle dièdre BMNC et de l'angle BMA ; d) Trouver la distance du point B à la droite AC ;

e) Trouver la distance entre la droite MN et le plan ABC ;

f) Construire la ligne d'intersection des plans AMB et BNC.

3. Tâches de maîtrise de soi

1. Le bord d’un cube mesure 10 cm. Trouvez la distance entre les lignes a et b.

2. Par le sommet A du triangle ABC, on trace une droite a, perpendiculaire au plan du triangle. Trouvez la distance entre les lignes a et BC si AB = 13 cm, BC = 14 cm, AC = 15 cm.

Réponse : 12 cm.

3. Une perpendiculaire KD est tracée au plan du carré ABCD. Le côté du carré mesure 5 cm. Trouvez la distance entre les lignes : 1) AB et KD ; 2) KD et AC.

Réponse : 1) 5 cm ; 2) 5 2 2 cm.

4. L'angle entre les plans α et β est de 30°. Le point A, situé dans le plan α, est à 12 cm de la ligne d'intersection des plans. Trouvez la distance du point A au plan β.

Réponse : 6 cm.

5. Passant par le centre O du carré ABCD, une perpendiculaire SO est tracée à son plan. L'angle entre la droite SC et le plan du carré est de 60°, AB = 18 cm Trouvez l'angle entre les plans ABC et BSC.

Réponse : arctg 6.

6. Un carré de côté 4 2 cm est plié le long d'une ligne droite qui passe par les milieux des côtés M et N DC et BC, de sorte que le sommet C soit retiré du plan.

AMN de 1 cm.

a) trouver l'angle entre les plans ADM et CMN ;

b) construire l'angle linéaire de l'angle dièdre BMNC et trouver sa mesure angulaire si la projection orthogonale du sommet C sur le plan du pentagone ABNMD se situe au-delà de ses limites ;

c) comparer les mesures angulaires de l'angle dièdre BMNC et de l'angle CNB ; d) trouver la distance du point C à la droite BD ;

e) trouver la distance entre la droite MN et le plan BDC ;

f) construire la ligne d'intersection des plans BNC et DMC.

Réponse : a) 30° ; d) 2 × 2 + 3 cm ; d) 2 à 3 cm.

7. Les sommets A et D du parallélogramme ABCD se trouvent dans le plan α, et les deux autres se trouvent à l'extérieur de ce plan, AB = 15 cm, BC = 19 cm. Les projections des diagonales du parallélogramme sur le plan α sont de 20 cm. et 22 cm. Trouvez la distance entre le côté BC et le plan α.

Consigne : Utilisez le théorème sur la somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme.

Réponse : 12 cm.

8. Le point M est retiré de chaque côté d'un trapèze isocèle à une distance de 12 cm. Les bases du trapèze sont de 18 cm et 32 ​​cm. Trouvez la distance du point M au plan du trapèze.

Réponse : le point M se situe dans le plan du trapèze.

9. Par le sommet A du rectangle ABCD, on trace un AM incliné par rapport au plan du rectangle, faisant un angle de 50° avec les côtés AD et AB. Trouvez l'angle entre ce plan incliné et le plan du rectangle.

Réponse : 32°57’.

10. Les extrémités du segment AB=25 cm se trouvent sur les faces d'un angle dièdre égal à 60°. A partir des points A et B, les perpendiculaires AC et BD sont déposées sur le bord de l'angle dièdre, AC = 5 cm, BD = 8 cm.

Réponse : 24 cm.

Leçon n°7

Sujet de cours : « Système de coordonnées cartésiennes dans l'espace »

- consolider les connaissances scolaires des élèves sur le système de coordonnées rectangulaires dans l'espace ;

- systématiser les connaissances sur les équations des figures dans l'espace ;

- consolider les compétences dans la résolution de problèmes d'élaboration d'équations d'images géométriques dans l'espace.

1. Bref résumé du matériel théorique

t.O – origine des coordonnées ; Bœuf – axe des abscisses ; Оу – axe des ordonnées ; Оz – appliquer l’axe. xy , xz u yz – plans de coordonnées

Distance entre deux points

Coordonnées du milieu du segment

La figure F est donnée par cette équation en coordonnées rectangulaires, si un point appartient à la figure F si et seulement si les coordonnées de ce point satisfont à l'équation donnée. Cela signifie que 2 conditions sont remplies :

1) si le point appartient à la figure F, alors ses coordonnées satisfont à l'équation ;

2) si les nombres x, y, z satisfont à cette équation, alors le point avec de telles coordonnées appartient à la figure F.

Équation d'une sphère Une sphère est un ensemble de points dans l'espace distants d'un point donné par

distance positive spécifiée. Dans ce cas, ce point est appelé centre de la sphère, et cette distance est son rayon.

Une sphère de rayon R avec centre au point A (a;b;c) est donnée par l'équation (par définition)

(x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 = R 2.

Si le centre de la sphère coïncide avec l'origine des coordonnées, alors a=b=c=0 et l'équation de la sphère a la forme : x 2 + y 2 + z 2 = R 2.

Équation plane

Théorème. Un plan dans l'espace est spécifié dans un système de coordonnées rectangulaires x, y, z par une équation de la forme Ax+By+Cz+D=0, à condition que A2 +B2 +C2 >0.

L'affirmation inverse est également vraie : l'équation Ax+By+Cz+D=0, à condition que A2 +B2 +C2 >0 définisse un plan dans l'espace dans le système de coordonnées rectangulaires.

Équation d'une droite

Une droite dans l’espace est la ligne d’intersection de deux plans.

Ð A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ; í î A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Si la droite AB passant par les points A (x1 ;y1 ;z1 ) et B (x2 ;y2 ;z2 ) n'est parallèle à aucun plan de coordonnées, alors son équation a la forme :

2. Système de tâches pour la formation en classe

Problème 1. Le côté d'un cube est 10. Trouvez les coordonnées de ses sommets.

Problème 2. Trouver le périmètre du triangle ABC si A(7;1;-5), B(4;-3;-4), C(1;3;-2).

Réponse : 14 + 26.

Problème 3. Est-ce que trois points A, B, C se trouvent sur la même ligne si A(3;2;2), B(1;1;1),

Réponse : Oui.

Problème 4. Lequel des points – A(2;1;5) ou B(-2;1;6) – se trouve le plus proche de l'origine ? Réponse : Point A.

Problème 5. Étant donné les points K(0;2;1), P(2;0;3) et T(-1;y;0). Trouvez une valeur de y telle que la condition soit satisfaite : CT = RT.

Réponse : -3.

Problème 6. Trouver les coordonnées des milieux des côtés du triangle ABC, si A(2;0;2),

B(2;2;0), C(2;2;2).

Réponse : A1 (2;2;1), B1 (2;1;2), C1 (2;1;1).

Problème 7. Trouver la longueur de la médiane AM du triangle ABC si A(2;1;3), B(2;1;5),

Réponse : AM=1.

Problème 8. Lesquelles des équations suivantes sont des équations d'une sphère :

Problème 9. Écrire les équations du plan passant par : a) l'axe Ox et le point A(1;1;1);

b) points O(0;0;0); A(1;2;-3) et B(2;-2;5).

Problème 10. Le plan et la sphère sont donnés par les équations 4x+3y–4=0 et x2 +y2 +z2 –2x+8y+8=0. Le centre de la sphère appartient-il à ce plan ?

Problème 11. Écrivez une équation pour une droite passant par les points A(1;3;2) et

Trouvez leurs points d'intersection.

Problème 13. Trouver la distance entre le sommet D du tétraèdre ABCD et sa face ABC,

si AC=CB=10, AB=12, DA=7, DB= 145, DC= 29.

Réponse : 3.

Problème 14. Trouver la longueur de l'arête AD du tétraèdre ABCD, si AB=AC=BC=10,

DB=2 29, DC= 46 et la distance du sommet D au plan de la face ABC est égale à

Réponse : 214 ou 206.

3. Tâches de maîtrise de soi

1. Étant donné les points K(0;1;1); P(2;-1;3) et T(-1;y;0). Trouvez une valeur de y telle que la condition soit satisfaite : CT = RT.

2. Étant donné les points A (1;2;3) et B (3;-6;7). Trouvez les coordonnées du milieu du segment AB.

3. Trouvez les coordonnées d'un point situé sur l'axe Oy et équidistant des points A (4;-1;3) et B (1;3;0).

4. Trouvez les points équidistants des points A(0;0;1), B(0;1;0), C(1;0;0) et à une distance de 2 du plan yz.

8. Écrivez une équation pour un plan parallèle au plan xy et passant par le point A(2;3;4).

9. Points O(0;0;0); UNE(3;0;0); B(0;4;0) et O 1 (0;0;5) – sommets d'un parallélépipède rectangle. Écrivez les équations pour les plans de toutes ses faces.

10. Écrivez les équations d'une droite passant par les points A(1;1;2) et B(-3;2;7).

11. A quelle distance de la base du cube se trouve un segment de longueur b parallèle à la base, si une extrémité du segment se trouve sur la diagonale du cube, l'autre sur la diagonale de la face latérale qui le coupe ? Longueur du bord du cube a.

Réponse : (2a ± 5b 2 − a 2) ÷ 5.

12. ABCDA1 B1 C1 D1 – parallélépipède rectangle, AB=BC=a, AA1=2a. Trouvez la longueur du segment MK, parallèle à la face ABB1 A1, si M AD1, K DB1, AM:AD1 = 2:3.

Réponse : un 3 5 .

Leçon n°8

Sujet de la leçon : « Vecteurs dans l'espace et méthode vectorielle pour résoudre des problèmes stéréométriques »

- généraliser et approfondir les connaissances scolaires des élèves sur les vecteurs et les actions sur ceux-ci ;

- continuer à étudier la méthode vectorielle pour résoudre des problèmes planimétriques et stéréométriques ; une pour " une, b.

Propriété 2 : (xa) × b = x(a × b) pour " a, b, x. Propriété 3 : (a + b) × c = a × c + b × c pour " a, b, c.

Deux cas particuliers :

1) une = b; une × une = une2 = une 2 .

2) a × b = 0 si et seulement si les vecteurs a et b sont perpendiculaires. Si a ou b est un vecteur nul, alors par définition il est perpendiculaire à n'importe quel vecteur.

Si une =(a1;a2;a3); b =(b1 ;b2 ;b3 ), alors une × b = une 1 × b 1 + une 2 × b 2 + une 3 × b 3 .