Comment Diophante composait et résolvait les équations quadratiques. D'où l'équation : (10+x)(10 -x) =96 ou : 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) La solution x = -2 n'existe pas pour Diophante, puisque les mathématiques grecques ne connaissaient que des nombres positifs .

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="(!LANG : équations quadratiques en Inde. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Équations quadratiques à al-Khorezmi. 1) « Les carrés sont des racines égales », c'est-à-dire ax2 + c = bx. 2) « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire ax2 = c. 3) « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire ax = c. 4) « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire ax2 + c = bx. 5) « Les carrés et les racines sont égaux au nombre », c'est-à-dire ax2 + bx = c. 6) « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-dire bx + c = ax2.

Les équations quadratiques en Europe aux XIIIe et XVIIe siècles. x2 +bx = c, pour toutes les combinaisons possibles de signes des coefficients b, c n'a été formulé en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.

À propos du théorème de Vieta. "Si B + D fois A - A 2 est égal à BD, alors A est égal à B et est égal à D." Dans le langage de l'algèbre moderne, la formulation Vieta ci-dessus signifie : si (a + b)x - x2 = ab, c'est-à-dire x2 - (a + b)x + ab = 0, alors x1 = a, x2 = b.

Méthodes de résolution d'équations quadratiques. 1. MÉTHODE : Factorisation du côté gauche de l’équation. Résolvons l'équation x2 + 10 x - 24 = 0. Factorisons le côté gauche : x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x-2). Par conséquent, l'équation peut être réécrite comme suit : (x + 12)(x - 2) = 0 Puisque le produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul. Par conséquent, le côté gauche de l’équation devient nul à x = 2, ainsi qu’à x = - 12. Cela signifie que les nombres 2 et - 12 sont les racines de l’équation x2 + 10 x - 24 = 0.

2. MÉTHODE : Méthode d’extraction par carrés complets. Résolvons l'équation x2 + 6 x - 7 = 0. Sélectionnez un carré complet sur le côté gauche. Pour ce faire, on écrit l'expression x2 + 6 x sous la forme suivante : x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. Dans l'expression résultante, le premier terme est le carré du nombre x, et le second est le double produit de x par 3. Par conséquent, pour obtenir un carré complet, vous devez ajouter 32, puisque x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Maintenant, nous transformons le côté gauche de l'équation x2 + 6 x - 7 = 0, en y ajoutant et en soustrayant 32. Nous avons : x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16. Ainsi, cette équation peut s'écrire comme suit : (x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16. Par conséquent, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, ou x + 3 = -4, x2 = -7.

3. MÉTHODE : Résolution d'équations quadratiques à l'aide de la formule. Multiplions les deux côtés de l'équation ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 par 4 a et séquentiellement nous avons : 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ca,

4. MÉTHODE : Résolution d'équations à l'aide du théorème de Vieta. Comme on le sait, l'équation quadratique réduite a la forme x2 + px + c = 0. (1) Ses racines satisfont au théorème de Vieta, qui pour a = 1 a la forme x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p une) x 2 – 3 x + 2 = 0 ; x 1 = 2 et x 2 = 1, puisque q = 2 > 0 et p = - 3 0 et p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x – 5 = 0 ; x 1 = - 5 et x 2 = 1, puisque q= - 5 0 ; x 2 – 8 x – 9 = 0 ; x 1 = 9 et x 2 = - 1, puisque q = - 9

5. MÉTHODE : Résolution d'équations par la méthode du « lancer ». Considérons l'équation quadratique ax2 + bx + c = 0, où a ≠ 0. En multipliant les deux côtés par a, nous obtenons l'équation a 2 x2 + abx + ac = 0. Soit ax = y, d'où x = y/a ; on arrive alors à l'équation y2 + by + ac = 0, qui est équivalente à celle donnée. On trouve ses racines y1 et y2 en utilisant le théorème de Vieta. On obtient finalement x1 = y1/a et x1 = y2/a.

Exemple. Résolvons l'équation 2 x2 – 11 x + 15 = 0. Solution. "Jetons" le coefficient 2 au terme libre, nous obtenons ainsi l'équation y2 – 11 y + 30 = 0. D'après le théorème de Vieta, y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Réponse : 2, 5; 3. x 1 = 2. 5 x 2 = 3.

6. MÉTHODE : Propriétés des coefficients d'une équation quadratique. A. Soit l'équation quadratique ax2 + bx + c = 0, où a ≠ 0. 1) Si a + b + c = 0 (c'est-à-dire que la somme des coefficients est nulle), alors x1 = 1, x2 = c/A. Preuve. En divisant les deux côtés de l'équation par a ≠ 0, nous obtenons l'équation quadratique réduite x 2 + b/a x + c/a = 0. D'après le théorème de Vieta, x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/c. Par condition, a – b + c = 0, d'où b = a + c. Ainsi, x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), c'est-à-dire x1 = -1 et x2 = c/ a, ce qui est ce qui devait être prouvé.

B. Si le deuxième coefficient b = 2 k est un nombre pair, alors la formule des racines B. L'équation ci-dessus x2 + px + q = 0 coïncide avec une équation générale dans laquelle a = 1, b = p et c = q. Par conséquent, pour l’équation quadratique réduite, la formule racine est

7. MÉTHODE : Solution graphique d'une équation quadratique. Si dans l'équation x2 + px + q = 0 nous déplaçons les deuxième et troisième termes vers la droite, nous obtenons x2 = - px - q. Construisons des graphiques de la dépendance y = x2 et y = - px - q.

Exemple 1) Résolvons graphiquement l'équation x2 - 3 x - 4 = 0 (Fig. 2). Solution. Écrivons l'équation sous la forme x2 = 3 x + 4. Construisons une parabole y = x2 et une droite y = 3 x + 4. La droite y = 3 x + 4 peut être construite à l'aide de deux points M (0; 4) et N (3 ; 13) . Réponse : x1 = - 1 ; x2 = 4

8. MÉTHODE : Résolution d'équations quadratiques à l'aide d'un compas et d'une règle. trouver les racines d’un compas carré et d’une règle (Fig. 5). équations Alors, par le théorème sécant, on a OB OD = OA OC, d'où OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 en utilisant

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Le rayon du cercle est supérieur à l'ordonnée du centre (AS > SK, ou R > un +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. MÉTHODE : Résolution d'équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme. z 2 + pz + q = 0. L'échelle curviligne du nomogramme est construite selon les formules (Fig. 11) : En supposant OS = p, ED = q, OE = a (le tout en cm), De la similarité des triangles SAN et CDF on obtient la proportion

Exemples. 1) Pour l'équation z 2 - 9 z + 8 = 0, le nomogramme donne les racines z 1 = 8, 0 et z 2 = 1, 0 (Fig. 12). 2) A l'aide d'un nomogramme, on résout l'équation 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Divisons les coefficients de cette équation par 2, on obtient l'équation z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Le nomogramme donne le racines z 1 = 4 et z 2 = 0, 5. 3) Pour l'équation z 2 - 25 z + 66 = 0, les coefficients p et q sont hors échelle, on effectue la substitution z = 5 t, on obtient le équation t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, que nous résolvons à l'aide de nomogrammes et obtenons t 1 = 0,6 et t 2 = 4, 4, à partir desquels z 1 = 5 t 1 = 3, 0 et z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. MÉTHODE : Méthode géométrique pour résoudre des équations quadratiques. Exemples. 1) Résolvons l'équation x2 + 10 x = 39. Dans l'original, ce problème est formulé comme suit : « Le carré et les dix racines sont égaux à 39 » (Fig. 15). Pour le côté requis x du carré d'origine, nous obtenons

y2 + 6 y - 16 = 0. La solution est présentée sur la Fig. 16, où y2 + 6 y = 16, ou y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Solution. Les expressions y2 + 6 y + 9 et 16 + 9 représentent géométriquement le même carré, et l'équation originale y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 est la même équation. De là, nous obtenons que y + 3 = ± 5, ou y1 = 2, y2 = - 8 (Fig. 16).

Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans les temps anciens, était causée par la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies des parcelles et aux travaux d'excavation d'un nature militaire, ainsi qu'avec le développement de l'astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les Babyloniens étaient capables de résoudre des équations quadratiques environ 2000 ans avant notre foi. En utilisant la notation algébrique moderne, nous pouvons dire que dans leurs textes cunéiformes, en plus des textes incomplets, il existe, par exemple, des équations quadratiques complètes : La règle de résolution de ces équations, énoncée dans les textes babyloniens, coïncide avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens ont obtenu ces règles. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne présentent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont elles ont été trouvées. Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre en Babylonie, les textes cunéiformes manquent du concept de nombre négatif et des méthodes générales de résolution des équations quadratiques.

Comment Diophante a composé et résolu les équations quadratiques « Trouvez deux nombres, sachant que leur somme est 20 et leur produit est 96. Diophante raisonne comme suit : des conditions du problème, il s'ensuit que les nombres requis ne sont pas égaux, car. » s'ils étaient égaux, alors leur produit ne serait pas 96, mais 100. Ainsi, l'un d'eux représenterait plus de la moitié de leur somme, c'est-à-dire 10+X, l'autre est inférieur, c'est-à-dire 10-X. La différence entre eux est 2X Donc X=2. L'un des nombres requis est 12, l'autre est 8. La solution X = -2 n'existe pas pour Diophante, puisque les mathématiques grecques ne connaissaient que des nombres positifs. ÉQUATION : ou :

Les équations quadratiques en Inde Des problèmes sur les équations quadratiques se retrouvent également dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta, a exposé la règle générale de résolution des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique : ax ² +bx=c, a>0 Un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle Bhaskara Un troupeau de singes fringants , après avoir mangé à volonté, se sont amusés. Huitième partie d'entre eux sur la place je m'amusais dans la clairière. Et douze sur les vignes... Ils se mirent à sauter en se suspendant... Combien y avait-il de singes, dis-moi, dans ce troupeau ? L'équation correspondant au problème : Baskara écrit sous la forme : Complété le côté gauche d'un carré, 0 Un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle Bhaskara Un troupeau de singes fringants, ayant mangé à volonté, s'est amusé. Huitième partie d'entre eux sur la place je m'amusais dans la clairière. Et douze sur les vignes... Ils se mirent à sauter en se suspendant... Combien y avait-il de singes, dis-moi, dans ce troupeau ? L'équation correspondant au problème : Baskara écrit sous la forme : Complété le côté gauche d'un carré,">

Équations quadratiques dans l'Asie ancienne C'est ainsi que le scientifique d'Asie centrale al-Khwarizmi a résolu cette équation : Il a écrit : « La règle est : doublez le nombre de racines, x = 2x 5, vous obtenez cinq dans ce problème, multipliez 5 par cet égal à cela, ce sera vingt-cinq, 5 ·5=25 ajoutez cela à trente-neuf, il y aura soixante-quatre, 64 enlevez la racine, ce sera huit, 8 et soustrayez de cette moitié le nombre de racines, c'est-à-dire cinq, 8-5 restera 3, ce sera la racine du carré que je cherchais." Et la deuxième racine ? La deuxième racine n’a pas été trouvée puisque les nombres négatifs n’étaient pas connus. xx = 39

Les équations quadratiques en Europe XIII-XVII siècles. La règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique x2+inx+c=0 n'a été formulée en Europe qu'en 1544 par Stiefel. Les formules pour résoudre les équations quadratiques en Europe ont été énoncées pour la première fois en 1202 par le mathématicien italien Leonard Fibonacci. La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique sous forme générale est disponible auprès de Vieth, mais Vieth n'a reconnu que les racines positives. Seulement au 17ème siècle. grâce aux travaux de Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne

À propos du théorème de Vieta Le théorème exprimant la relation entre les coefficients d'une équation quadratique et ses racines, portant le nom de Vieta, fut formulé par lui pour la première fois en 1591 comme suit : « Si B + D multiplié par A-A est égal à BD, alors A est égal à B et est égal à D." Pour comprendre Vieta, il faut se rappeler que A, comme toute voyelle, signifiait l'inconnu (notre x), tandis que les voyelles B, D sont des coefficients pour l'inconnu. Dans le langage de l'algèbre moderne, la formulation Vieta ci-dessus signifie : Si l'équation quadratique donnée x 2 +px+q=0 a des racines réelles, alors leur somme est égale à -p et le produit est égal à q, c'est-à-dire x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (la somme des racines de l'équation quadratique ci-dessus est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre ).

La méthode de factorisation amène une équation quadratique générale sous la forme : A(x)·B(x)=0, où A(x) et B(x) sont des polynômes par rapport à x. Objectif : Sortir le facteur commun des parenthèses ; Utiliser des formules de multiplication abrégées ; Méthode de regroupement. Méthodes : Exemple :

Racines d'une équation quadratique : Si D>0, Si D 0, Si D"> 0, Si D"> 0, Si D" title="Racines d'une équation quadratique : Si D>0, Si D"> title="Racines d'une équation quadratique : Si D>0, Si D"> !}

X 1 et x 2 – racines de l'équation Résoudre des équations à l'aide du théorème de Vieta X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 · X 2 = – 10, ce qui signifie que les racines ont des signes différents X 1 + X 2 = – 3, ce qui signifie la racine a un module plus grand - négatif Par sélection on retrouve les racines : X 1 = – 5, X 2 = 2 Par exemple :

0, par le théorème inverse du théorème de Vieta, on obtient les racines : 5;6, puis on revient aux racines de l'équation originale : 2,5 ; 3. Réponse : 2,5 ; 3. Solution de l'équation" title="Résolvez l'équation : 2x 2 - 11x +15 = 0. Transférons le coefficient 2 au terme libre de 2 - 11y +30= 0. D>0, selon au théorème inverse du théorème de Vieta, on obtient les racines : 5;6, puis on revient aux racines de l'équation originale : 2,5. Réponse : 2,5 ;" class="link_thumb"> 14 !} Résolvez l'équation : 2x x +15 = 0. Transférons le coefficient 2 au terme libre y y +30= 0. D>0, d'après le théorème inverse du théorème de Vieta, on obtient les racines : 5;6, puis on revenir aux racines de l'équation originale : 2, 5 ; 3. Réponse : 2,5 ; 3. Résoudre des équations à l'aide de la méthode du « lancer » 0, par le théorème inverse du théorème de Vieta, on obtient les racines : 5;6, puis on revient aux racines de l'équation originale : 2,5 ; 3. Réponse : 2,5 ; 3. Solution de l'équation "> 0, d'après le théorème inverse du théorème de Vieta, on obtient les racines : 5;6, puis on revient aux racines de l'équation d'origine : 2,5 ; 3. Réponse : 2,5 ; 3. Solution des équations par la méthode du "lancement". > 0, par le théorème inverse du théorème de Vieta, on obtient les racines : 5;6, puis on revient aux racines de l'équation originale : 2,5; 3. Réponse : 2,5 ; 3. Solution de l'équation" title="Résolvez l'équation : 2x 2 - 11x +15 = 0. Transférons le coefficient 2 au terme libre de 2 - 11y +30= 0. D>0, selon au théorème inverse du théorème de Vieta, on obtient les racines : 5;6, puis on revient aux racines de l'équation originale : 2,5. Réponse : 2,5 ;"> title="Résolvez l'équation : 2x 2 - 11x +15 = 0. Transférons le coefficient 2 au terme libre y 2 - 11y +30= 0. D>0, d'après le théorème inverse du théorème de Vieta, on obtient les racines : 5 ;6, puis nous revenons aux racines des équations originales : 2.5 ; 3. Réponse : 2,5 ; 3. Solution de l'équation"> !}

Si dans une équation quadratique a+b+c=0, alors l'une des racines est égale à 1, et la seconde par le théorème de Vieta est égale à la seconde par le théorème de Vieta est égale à Si dans une équation quadratique a+c=b , alors l'une des racines est égale à (-1), et la seconde selon le théorème de Vieta est égale à Exemple : Propriétés des coefficients de l'équation quadratique 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = une + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Réponse : 1 ; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Réponse : 1 ;

Méthode graphique pour résoudre une équation quadratique Sans utiliser de formules, une équation quadratique peut être résolue graphiquement. Résolvons l'équation. Pour ce faire, nous allons construire deux graphiques : X Y X 01 Y012 Réponse : Les abscisses des points d'intersection des graphiques seront les racines de l'équation. Si les graphiques se coupent en deux points, alors l’équation a deux racines. Si les graphiques se croisent en un point, alors l’équation a une racine. Si les graphiques ne se croisent pas, alors l’équation n’a pas de racine. 1)y=x2 2)y=x+1

Résolution d'équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme Il s'agit d'une méthode ancienne et injustement oubliée de résolution d'équations quadratiques, placée à la p. 83 « Tableaux mathématiques à quatre chiffres » Bradis V.M. Tableau XXII. Nomogramme pour résoudre une équation Ce nomogramme permet, sans résoudre une équation quadratique, de déterminer les racines de l'équation à partir de ses coefficients. Pour l'équation, le nomogramme donne les racines

Méthode géométrique pour résoudre les équations quadratiques Dans les temps anciens, lorsque la géométrie était plus développée que l'algèbre, les équations quadratiques n'étaient pas résolues algébriquement, mais géométriquement. Mais, par exemple, comment les anciens Grecs résolvaient l'équation : ou Les expressions et représentent géométriquement le même carré, et l'équation originale est la même équation. Où obtenons-nous quoi, ou

Conclusion Ces méthodes de résolution méritent attention, car elles ne sont pas toutes reflétées dans les manuels scolaires de mathématiques ; la maîtrise de ces techniques aidera les élèves à gagner du temps et à résoudre efficacement les équations ; la nécessité d'une solution rapide est due à l'utilisation d'un système de tests pour les examens d'entrée ;

Histoire du développement de solutions aux équations quadratiques

Aristote

D.I. Mendeleïev

Trouver les côtés d'un champ en forme de rectangle si son aire 12 , UN

Considérons ce problème.

• Soit x la longueur du champ, puis sa largeur,
• – sa superficie.
• Faisons une équation quadratique :
• Le papyrus donne la règle pour le résoudre : « Diviser 12 par ».
• 12: .
• Donc, .
• « La longueur du champ est de 4 », précise le papyrus.

• Équation quadratique réduite
• où sont les nombres réels.

Dans l'un des problèmes babyloniens, il fallait également déterminer la longueur d'un champ rectangulaire (notons-le) et sa largeur ().

En additionnant la longueur et les deux largeurs d'un champ rectangulaire, vous obtenez 14 et l'aire du champ est de 24. Trouvez ses côtés.

Créons un système d'équations :

De là, nous obtenons une équation quadratique.

Pour le résoudre, on ajoute un certain nombre à l'expression,

pour obtenir un carré complet :

Ainsi, .

Fondamentalement, une équation quadratique

A deux racines :

• DIOPHANTE
• Un mathématicien grec ancien qui aurait vécu au 3ème siècle avant JC. e. Auteur de "Arithmetic" - un livre dédié à la résolution d'équations algébriques.
• De nos jours, par « équations diophantiennes », on entend généralement des équations à coefficients entiers dont les solutions doivent être trouvées parmi des nombres entiers. Diophante fut également l'un des premiers à développer la notation mathématique.

"Trouvez deux nombres en sachant que leur somme est 20 et leur produit est 96."

L'un des nombres sera supérieur à la moitié de leur somme, c'est-à-dire 10+, tandis que l'autre sera inférieur, c'est-à-dire 10-.

D'où l'équation ()()=96

Présentons un des problèmes du fameux

Bhaskara, mathématicien indien du XIIe siècle :

Un troupeau de singes fringants

Après avoir mangé à ma guise, je me suis bien amusé.

La huitième partie d'entre eux au carré

Je m'amusais dans la clairière.

Et douze le long des vignes...

Ils ont commencé à sauter, à se suspendre...

Combien y avait-il de singes ?

Dis-moi, dans ce pack ?

• La solution de Bhaskara montre qu'il savait que les racines des équations quadratiques sont à deux valeurs.
• La solution correspondante à l'équation

• Bhaskara écrit sous la forme et, pour compléter le côté gauche de cette équation en un carré, nous ajoutons 32 2 aux deux côtés, ce qui donne

« AL-JEBR » – RESTAURATION – AL-KHWAZMI A APPELÉ L’OPÉRATION D’EXCLUATION DES TERMES NÉGATIFS DES DEUX PARTIES DE L’ÉQUATION EN AJOUTANT DES TERMES ÉGAUX, MAIS OPPOSÉS EN SIGNE.

« AL-MUQABALAH » – CONTRASTITION – RÉDUCTION DE TERMES SIMILAIRES DANS DES PARTIES D’UNE ÉQUATION.

RÈGLE "AL-JEBR"

LORS DE LA RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION

SI DANS LA PREMIÈRE PARTIE,

CELA N'IMPORTE PAS QUOI

RENCONTREZ UN MEMBRE NÉGATIF,

NOUS SOMMES AUX DEUX PARTIES

NOUS DONNERONS UN MEMBRE ÉGAL,

UNIQUEMENT AVEC UN AUTRE SIGNE,

ET NOUS TROUVERONS UN RÉSULTAT POSITIF.

1) les carrés sont égaux aux racines, c'est-à-dire ;

2) les carrés sont égaux aux nombres, c'est-à-dire ;

3) les racines sont égales au nombre, c'est-à-dire ;

4) les carrés et les nombres sont égaux aux racines, c'est-à-dire ;

5) les carrés et les racines sont égaux au nombre, c'est-à-dire ;

6) les racines et les nombres sont égaux aux carrés, c'est-à-dire

Tâche . Le carré et le nombre 21 sont égaux à 10 racines. Trouvez la racine.

Solution. Divisez le nombre de racines en deux - vous obtenez 5, multipliez 5 par lui-même,

Soustrayez 21 du produit, laissant 4.

Prenez la racine de 4 et vous obtenez 2.

Soustrayez 2 de 5 - vous obtenez 3, ce sera la racine souhaitée. Ou ajoutez-le à 5, ce qui donne 7, c'est aussi une racine.

Fibonacci est né à Pise, centre commercial italien, probablement dans les années 1170. . En 1192, il fut nommé représentant de la colonie commerciale pisane en Afrique du Nord. À la demande de son père, il s'installe en Algérie et y étudie les mathématiques. En 1200, Léonard retourne à Pise et commence à écrire son premier ouvrage, Le Livre du Boulier. [ . Selon l'historien des mathématiques A.P. Yushkevich Le Livre de l'Abacus « s'élève nettement au-dessus de la littérature arithmétique-algébrique européenne des XIIe-XIVe siècles avec la variété et la puissance des méthodes, la richesse des problèmes, l'évidence de la présentation... Les mathématiciens ultérieurs en ont largement tiré à la fois des problèmes et des méthodes. pour les résoudre ».

Traçons la fonction

• Le graphique est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, puisque

2) Coordonnées du sommet de la parabole

W. Sawyer a parlé :

« Il est souvent plus utile pour une personne qui étudie l’algèbre de résoudre le même problème de trois manières différentes que de résoudre trois ou quatre problèmes différents. En résolvant un problème en utilisant différentes méthodes, vous pouvez découvrir grâce à des comparaisons laquelle est la plus courte et la plus efficace. C’est ainsi que se développe l’expérience.

« La ville est une unité de dissemblances »

Aristote

« Un nombre exprimé sous forme de signe décimal peut être lu indifféremment par un Allemand, un Russe, un Arabe et un Yankee. »

a) Les équations quadratiques dans l'ancienne Babylone

La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans l'Antiquité, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies de terrains et aux travaux d'excavation à caractère militaire. comme pour le développement de l’astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les équations quadratiques ont pu être résolues vers 2000 avant JC. Babyloniens. En utilisant la notation algébrique moderne, on peut dire que dans leurs textes cunéiformes il y a, en plus des textes incomplets, comme par exemple des équations quadratiques complètes :

x 2 + x = , x 2 – x = 14

La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne fournissent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont ils ont été trouvés.

Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent du concept de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.

L'arithmétique de Diophante ne contient pas une présentation systématique de l'algèbre, mais elle contient une série systématique de problèmes, accompagnés d'explications et résolus en construisant des équations de différents degrés.

Lors de la composition d'équations, Diophante sélectionne habilement les inconnues pour simplifier la solution.

Voici par exemple l'une de ses tâches.

Problème 2. « Trouver deux nombres, sachant que leur somme est 20 et leur produit est 96. »

Diophante raisonne ainsi : des conditions du problème il résulte que les nombres requis ne sont pas égaux, puisque s'ils étaient égaux, alors leur produit ne serait pas égal à 96, mais à 100. Ainsi, l'un d'eux sera supérieur à la moitié de leur somme, soit 10 + x. L'autre est inférieur, c'est-à-dire 10 - x. La différence entre eux est de 2x. D'où l'équation :

(10+x)(10-x) =96,

ou

D'où x = 2. L'un des nombres requis est 12, l'autre est 8. La solution x = - 2 n'existe pas pour Diophante, puisque les mathématiques grecques ne connaissaient que des nombres positifs.

Si vous résolvez ce problème en choisissant l'un des nombres requis comme inconnu, vous pouvez trouver une solution à l'équation :

Il est clair qu'en choisissant comme inconnue la demi-différence des nombres requis, Diophante simplifie la solution ; il parvient à réduire le problème à la résolution d'une équation quadratique incomplète.
b) Équations quadratiques en Inde.

Des problèmes sur les équations quadratiques se retrouvent déjà dans le traité astronomique « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), a établi une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique.

Oh 2 + bx = c, une > 0

Dans l'équation, les coefficients sauf UN, peut être négatif. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre.

Les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants en Inde. Un vieux livre indien dit à propos de ces concours : « De même que le soleil éclipse les étoiles par son éclat, de même un homme érudit éclipsera sa gloire dans les assemblées publiques en proposant et en résolvant des problèmes algébriques. » Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.

C’est l’un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle. Bhaskars.

Tâche 3.

L'équation correspondant au problème 3 est :

Bhaskara écrit sous couvert :

x2 - 64x = - 768

et, pour compléter le côté gauche de cette équation en un carré, ajoute 32 2 aux deux côtés, obtenant alors :

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

c) Équations quadratiques d'Al-Khorezmi

Le traité algébrique d'Al-Khwarizmi donne une classification des équations linéaires et quadratiques. L'auteur dénombre 6 types d'équations, les exprimant ainsi :

1. 
   « Les carrés sont égaux aux racines », c'est-à-dire ax 2 = bx.
2. 
   « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire hache 2 = c.
3. 
   « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire ax = c.
4. 
   « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire ax 2 + c = bx.
5. 
   « Les carrés et les racines sont égaux au nombre », c'est-à-dire ax 2 + bx = c.
6. 
   « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-dire bx + c == ax 2.

Donnons un exemple.

Problème 4. « Le carré et le nombre 21 sont égaux à 10 racines. Trouvez la racine »(c'est-à-dire la racine de l'équation x 2 + 21 = 10x).

Solution : divisez le nombre de racines par deux, vous obtenez 5, multipliez 5 par lui-même, soustrayez 21 du produit, ce qui reste est 4. Prenez la racine de 4, vous obtenez 2. Soustrayez 2 de 5, vous obtenez 3, cela sera la racine souhaitée. Ou ajoutez 2 à 5, ce qui donne 7, c'est aussi une racine.

Le traité d'Al-Khorezmi est le premier livre qui nous soit parvenu, qui expose systématiquement la classification des équations quadratiques et donne des formules pour leur solution.

d) Les équations quadratiques en Europe aux XIIIe-XVIIe siècles.

Les formules de résolution d'équations quadratiques inspirées d'al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le « Livre de l'Abacus », écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. Cet ouvrage volumineux, qui reflète l'influence des mathématiques des pays islamiques et de la Grèce antique, se distingue par son exhaustivité et la clarté de sa présentation. L'auteur a développé indépendamment de nouveaux exemples algébriques de résolution de problèmes et a été le premier en Europe à aborder l'introduction de nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes du Livre de l'Abacus ont été utilisés dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles. et en partie XVIII.

Règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique

x 2 + bx = c,

pour toutes les combinaisons possibles de signes de coefficient b, Avec n'a été formulée en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.

La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique sous forme générale est disponible auprès de Vieta, mais Vieta n'a reconnu que les racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XVIe siècle. En plus des racines positives, les racines négatives sont également prises en compte. Seulement au 17ème siècle. Grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne.

Les origines des méthodes algébriques pour résoudre des problèmes pratiques sont associées à la science du monde antique. Comme le montre l'histoire des mathématiques, une partie importante des problèmes de nature mathématique, résolus par les scribes-calculateurs égyptiens, sumériens et babyloniens (XX-VI siècles avant JC), étaient de nature informatique. Cependant, même alors, de temps en temps, des problèmes surgissaient dans lesquels la valeur souhaitée d'une quantité était spécifiée par certaines conditions indirectes qui nécessitaient, de notre point de vue moderne, la composition d'une équation ou d'un système d'équations. Initialement, des méthodes arithmétiques étaient utilisées pour résoudre ces problèmes. Par la suite, les prémices des concepts algébriques ont commencé à se former. Par exemple, les calculateurs babyloniens étaient capables de résoudre des problèmes qui, du point de vue de la classification moderne, peuvent être réduits à des équations du deuxième degré. Une méthode de résolution de problèmes de mots a été créée, qui a ensuite servi de base pour isoler la composante algébrique et son étude indépendante.

Cette étude a été réalisée à une autre époque, d'abord par des mathématiciens arabes (VI-X siècles après JC), qui ont identifié des actions caractéristiques par lesquelles les équations étaient amenées à une forme standard : amener des termes similaires, transférer des termes d'une partie de l'équation à une autre avec un changement de signe. Puis par les mathématiciens européens de la Renaissance, qui, à la suite de longues recherches, ont créé le langage de l'algèbre moderne, l'utilisation des lettres, l'introduction de symboles pour les opérations arithmétiques, les parenthèses, etc. XVIIe siècles. L'algèbre en tant que partie spécifique des mathématiques, avec son propre sujet, sa méthode et ses domaines d'application, était déjà formée. Son développement ultérieur, jusqu'à nos jours, a consisté à améliorer les méthodes, à élargir le champ d'application, à clarifier les concepts et leurs liens avec les concepts d'autres branches des mathématiques.

Ainsi, compte tenu de l'importance et de l'immensité du matériel lié au concept d'équation, son étude dans les méthodes mathématiques modernes est associée à trois domaines principaux de son origine et de son fonctionnement.

Ministère de l'Éducation de la Fédération de Russie

Établissement d'enseignement municipal

"École secondaire n°22"

Équations quadratiques et d'ordre supérieur

Complété:

Elèves de 8e classe "B"

Kuznetsov Evgeniy et Rudi Alexey

Superviseur:

Zenina Alevtina Dmitrievna

professeur de mathématiques

Introduction

1.1 Équations dans l'ancienne Babylone

1.2 Équations arabes

1.3 Équations en Inde

Chapitre 2. Théorie des équations quadratiques et des équations d'ordre supérieur

2.1 Notions de base

2.2 Formules pour un coefficient pair en x

2.3 Théorème de Vieta

2.4 Équations quadratiques de nature particulière

2.5 Théorème de Vieta pour les polynômes (équations) de degrés supérieurs

2.6 Équations réductibles au quadratique (biquadratique)

2.7 Etude des équations biquadratiques

2.8 Formules Cordano

2.9 Équations symétriques du troisième degré

2.10 Équations réciproques

2.11 Schéma Horner

Conclusion

Liste de la littérature utilisée

Annexe 1

Annexe 2

Annexe 3

Introduction

Les équations occupent une place prépondérante dans le cours d'algèbre scolaire. Plus de temps est consacré à leur étude qu’à tout autre sujet. En effet, les équations ont non seulement une signification théorique importante, mais servent également à des fins purement pratiques. La grande majorité des problèmes liés aux formes spatiales et aux relations quantitatives dans le monde réel se résume à la résolution de divers types d'équations. En maîtrisant les moyens de les résoudre, nous trouvons des réponses à diverses questions issues de la science et de la technologie (transports, agriculture, industrie, communications, etc.).

Dans cet essai, je voudrais afficher des formules et des méthodes pour résoudre diverses équations. A cet effet, sont données des équations qui ne sont pas étudiées dans le programme scolaire. Il s'agit principalement d'équations de nature particulière et d'équations de degrés supérieurs. Pour développer ce sujet, des preuves de ces formules sont données.

Objectifs de notre essai :

Améliorer les compétences en résolution d’équations

Développer de nouvelles façons de résoudre des équations

Apprenez de nouvelles façons et formules pour résoudre ces équations.

L'objet d'étude est l'algèbre élémentaire. L'objet d'étude est les équations. Le choix de ce sujet s'est basé sur le fait que les équations sont incluses à la fois dans le programme primaire et dans chaque niveau ultérieur des écoles secondaires, des lycées et des collèges. De nombreux problèmes géométriques, problèmes de physique, de chimie et de biologie sont résolus à l'aide d'équations. Les équations ont été résolues il y a vingt-cinq siècles. Ils sont encore créés aujourd'hui - à la fois pour être utilisés dans le processus éducatif et pour les concours dans les universités, pour les olympiades du plus haut niveau.

Chapitre 1. Historique des équations quadratiques et d'ordre supérieur

1.1 Équations dans l'ancienne Babylone

L'algèbre est née de la résolution de divers problèmes à l'aide d'équations. Généralement, les problèmes nécessitent de trouver une ou plusieurs inconnues, tout en connaissant les résultats de certaines actions effectuées sur les quantités souhaitées et données. De tels problèmes se résument à résoudre une ou un système de plusieurs équations, à trouver celles requises à l'aide d'opérations algébriques sur des quantités données. L'algèbre étudie les propriétés générales des opérations sur les quantités.

Certaines techniques algébriques permettant de résoudre des équations linéaires et quadratiques étaient connues il y a 4 000 ans dans l'ancienne Babylone. La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans les temps anciens, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies de terrains et de travaux fonciers à caractère militaire, ainsi que avec le développement de l'astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Comme mentionné précédemment, les Babyloniens ont pu résoudre les équations quadratiques vers 2000 avant JC. En utilisant la notation algébrique moderne, nous pouvons dire que des équations quadratiques incomplètes et complètes apparaissent dans leurs textes cunéiformes.

La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec les règles modernes, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne fournissent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont ils ont été trouvés.

Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent du concept de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre une équation quadratique.

1.2 Équations arabes

Certaines méthodes permettant de résoudre des équations quadratiques et d'ordre supérieur ont été développées par les Arabes. Ainsi, le célèbre mathématicien arabe Al-Khorezmi a décrit dans son livre « Al-Jabar » de nombreuses façons de résoudre diverses équations. Leur particularité était qu'Al-Khorezmi utilisait des radicaux complexes pour trouver les racines (solutions) des équations. La nécessité de résoudre de telles équations s’imposait dans les questions de partage de l’héritage.

1.3 Équations en Inde

Des équations quadratiques ont également été résolues en Inde. Les problèmes liés aux équations quadratiques se retrouvent déjà dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), a établi une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme conique :

aх² + bx= c, où a > 0

Dans cette équation, les coefficients, sauf a, peuvent être négatifs. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre.

Dans l’Inde ancienne, les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants. Un vieux livre indien dit à propos de telles compétitions : « De même que le soleil éclipse les étoiles par son éclat, ainsi un homme érudit éclipsera la gloire d’un autre dans les assemblées publiques, proposant et résolvant des problèmes algébriques. » Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.

Diverses équations, à la fois quadratiques et de degrés supérieurs, ont été résolues par nos lointains ancêtres. Ces équations ont été résolues dans des pays très différents et lointains. Le besoin d’équations était grand. Les équations étaient utilisées dans la construction, dans les affaires militaires et dans des situations quotidiennes.

Chapitre 2. Équations quadratiques et équations d'ordre supérieur

2.1 Notions de base

Une équation quadratique est une équation de la forme

où les coefficients a, b, c sont des nombres réels et a ≠ 0.

Une équation quadratique est dite réduite si son coefficient dominant est 1.

Exemple :

x2 + 2x + 6 = 0.

Une équation quadratique est dite non réduite si le coefficient dominant est différent de 1.

Exemple :

2x2 + 8x + 3 = 0.

Une équation quadratique complète est une équation quadratique dans laquelle les trois termes sont présents, autrement dit, c'est une équation dans laquelle les coefficients b et c sont non nuls.

Exemple :

3x2 + 4x + 2 = 0.

Une équation quadratique incomplète est une équation quadratique dans laquelle au moins un coefficient b, c est égal à zéro.

Ainsi, il existe trois types d'équations quadratiques incomplètes :

1) ax² = 0 (a deux racines coïncidentes x = 0).

2) ax² + bx = 0 (a deux racines x 1 = 0 et x 2 = -)

Exemple :

x1 = 0, x2 = -5.

Répondre: x 1 =0, x 2 = -5.

Si -<0 - уравнение не имеет корней.

Exemple :

Répondre: L'équation n'a pas de racines.

Si –> 0, alors x 1,2 = ±

Exemple :

Répondre: x 1,2 = ±

Toute équation quadratique peut être résolue à l'aide du discriminant (b² - 4ac). Habituellement, l'expression b² - 4ac est désignée par la lettre D et est appelée le discriminant de l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 (ou le discriminant des trois termes quadratiques ax² + bx + c)

Exemple :

x2 +14x – 23 = 0

D = b2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x2 =

Répondre: x 1 = 1, x 2 = - 15.

Selon le discriminant, l'équation peut ou non avoir une solution.

1) Si D< 0, то не имеет решения.

2) Si D = 0, alors l'équation a deux solutions coïncidentes x 1,2 =

3) Si D > 0, alors il a deux solutions trouvées selon la formule :

x 1,2 =

2.2 Formules pour coefficient pair en x

Nous sommes habitués au fait que les racines d'une équation quadratique

ax² + bx + c = 0 sont trouvés par la formule

x 1,2 =

Mais les mathématiciens ne laisseront jamais passer l’occasion de faciliter leurs calculs. Ils ont constaté que cette formule peut être simplifiée dans le cas où le coefficient b est b = 2k, notamment si b est un nombre pair.

En fait, soit le coefficient b de l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 b = 2k. En substituant le nombre 2k au lieu de b dans notre formule, nous obtenons :

Ainsi, les racines de l'équation quadratique ax² + 2kx + c = 0 peuvent être calculées à l'aide de la formule :

x 1,2 =

Exemple :

5x2 - 2x + 1 = 0

L'avantage de cette formule est que ce n'est pas le nombre b qui est au carré, mais sa moitié ; ce n'est pas 4ac qu'on soustrait à ce carré, mais simplement ac, et, enfin, que le dénominateur contient non pas 2a, mais simplement a. .

Si l'équation quadratique est réduite, alors notre formule ressemblera à ceci :

Exemple :

x2 – 4x + 3 = 0

Répondre: x 1 = 3, x 2 = 1.

2.3 Théorème de Vieta

Une propriété très intéressante des racines d'une équation quadratique a été découverte par le mathématicien français François Viète. Cette propriété s'appelle le théorème de Vieta :

Pour que les nombres x 1 et x 2 soient les racines de l'équation :

ax² + bx + c = 0

il est nécessaire et suffisant pour réaliser l'égalité

x 1 + x 2 = -b/a et x 1 x 2 = c/a

Le théorème de Vieta permet de juger des signes et de la valeur absolue d'une équation quadratique

x² + bx + c = 0

1. Si b>0, c>0 alors les deux racines sont négatives.

2. Si b<0, c>0 alors les deux racines sont positives.

3. Si b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Si b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Équations quadratiques de nature particulière

1) Si a + b + c = 0 dans l'équation ax² + bx + c = 0, alors

x 1 = 1, et x 2 = .

Preuve :

Dans l'équation ax² + bx + c = 0, ses racines

x 1,2 = (1).

Représentons b à partir de l'égalité a + b + c = 0

Remplaçons cette expression dans la formule (1) :

=

Si l’on considère séparément les deux racines de l’équation, on obtient :

1) x 1 =

2)x2 =

Il s'ensuit : x 1 = 1, et x 2 =.

1. Exemple :

2x² - 3x + 1 = 0

une = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, donc

2. Exemple :

418x² - 1254x + 836 = 0

Cet exemple est très difficile à résoudre à l’aide d’un discriminant, mais connaissant la formule ci-dessus, il peut être facilement résolu.

a = 418, b = -1254, c = 836.

x1 = 1 x2 = 2

2) Si a - b + c = 0, dans l'équation ax² + bx + c = 0, alors :

x 1 =-1 et x 2 =-.

Preuve :

Considérons l'équation ax² + bx + c = 0, il s'ensuit que :

x 1,2 = (2).

Représentons b à partir de l'égalité a - b + c = 0

b = a + c, remplacer dans la formule (2) :

=

On obtient deux expressions :

1) x 1 =

2)x2 =

Cette formule est similaire à la précédente, mais elle est aussi importante car... Les exemples de ce type sont courants.

1) Exemple :

2x² + 3x + 1 = 0

une = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, donc

2)Exemple :

Répondre:x1 = -1 ; x2 = -

3) Méthode « transferts ”

Les racines des équations quadratiques y² + by + ac = 0 et ax² + bx + c = 0 sont liées par les relations suivantes :

x 1 = et x 2 =

Preuve :

a) Considérons l'équation ax² + bx + c = 0

x 1,2 = =

b) Considérons l'équation y² + by + ac = 0

oui 1,2 =

Notez que les discriminants des deux solutions sont égaux ; comparons les racines de ces deux équations. Ils diffèrent les uns des autres par un facteur déterminant, les racines de la première équation sont inférieures aux racines de la seconde par a. En utilisant le théorème de Vieta et la règle ci-dessus, il n'est pas difficile de résoudre diverses équations.

Exemple :

Nous avons une équation quadratique arbitraire

10x² - 11x + 3 = 0

Transformons cette équation selon la règle donnée

y² - 11a + 30 = 0

Nous obtenons l’équation quadratique réduite, qui peut être résolue assez facilement à l’aide du théorème de Vieta.

Soient y 1 et y 2 les racines de l'équation y² - 11y + 30 = 0

y 1 y 2 = 30 y 1 = 6

oui 1 + oui 2 = 11 oui 2 = 5

Sachant que les racines de ces équations diffèrent les unes des autres par a, alors

x1 = 6/10 = 0,6

x2 = 5/10 = 0,5

Dans certains cas, il est pratique de résoudre d'abord non pas l'équation donnée ax² + bx + c = 0, mais la réduction y² + by + ac = 0, qui est obtenue à partir du coefficient de « transfert » donné a, puis de diviser le résultat trouvé racines par a pour trouver l’équation originale.

2.5 Formule Vieta pour les polynômes (équations) de degrés supérieurs

Les formules dérivées de Viète pour les équations quadratiques sont également vraies pour les polynômes de degrés supérieurs.

Laissez le polynôme

P(x) = une 0 x n + une 1 x n -1 + … +une n

A n racines différentes x 1, x 2..., x n.

Dans ce cas, il a une factorisation de la forme :

une 0 x n + une 1 x n-1 +…+ une n = une 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Divisons les deux côtés de cette égalité par a 0 ≠ 0 et ouvrons les parenthèses dans la première partie. On obtient l'égalité :

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Mais deux polynômes sont identiquement égaux si et seulement si les coefficients de mêmes puissances sont égaux. Il s'ensuit que l'égalité

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Par exemple, pour les polynômes du troisième degré

une 0 x³ + une 1 x² + une 2 x + une 3

Nous avons des identités

x1 + x2 + x3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x1x2x3 = -

Comme pour les équations quadratiques, cette formule est appelée formule de Vieta. Les membres de gauche de ces formules sont des polynômes symétriques à partir des racines x 1, x 2 ..., x n de cette équation, et les membres de droite sont exprimés par le coefficient du polynôme.

2.6 Équations réductibles au quadratique (biquadratique)

Les équations du quatrième degré se réduisent à des équations quadratiques :

hache 4 + bx 2 + c = 0,

appelé biquadratique, et a ≠ 0.

Il suffit de mettre x 2 = y dans cette équation, donc,

ay² + par + c = 0

trouvons les racines de l'équation quadratique résultante

oui 1,2 =

Pour trouver immédiatement les racines x 1, x 2, x 3, x 4, remplacez y par x et obtenez

x² =

x1,2,3,4 = .

Si une équation du quatrième degré a x 1, alors elle a aussi une racine x 2 = -x 1,

Si a x 3, alors x 4 = - x 3. La somme des racines d’une telle équation est nulle.

Exemple :

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Remplaçons l'équation dans la formule des racines des équations biquadratiques :

x1,2,3,4 = ,

sachant que x 1 = -x 2, et x 3 = -x 4, alors :

x 3,4 =

Répondre: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Etude des équations biquadratiques

Prenons l'équation biquadratique

hache 4 + bx 2 + c = 0,

où a, b, c sont des nombres réels, et a > 0. En introduisant l'inconnue auxiliaire y = x², on examine les racines de cette équation et on inscrit les résultats dans le tableau (voir annexe n°1)

2.8 Formule Cardano

Si nous utilisons le symbolisme moderne, la dérivation de la formule de Cardano peut ressembler à ceci :

X =

Cette formule détermine les racines d'une équation générale du troisième degré :

hache 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Cette formule est très lourde et complexe (elle contient plusieurs radicaux complexes). Cela ne s'appliquera pas toujours, parce que... très difficile à remplir.

2.9 Équations symétriques du troisième degré

Les équations symétriques du troisième degré sont des équations de la forme

ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )

ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )

où a et b reçoivent des nombres, avec a¹0.

Montrons comment l'équation ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – une)x + une).

On trouve que l'équation ( 1 ) est équivalent à l’équation

(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.

Cela signifie que ses racines seront les racines de l'équation

ax² +(b – a)x + a = 0

et nombre x = -1

l'équation ( 2 )

ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + hache + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).

1) Exemple :

2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0

Il est clair que x 1 = 1, et

x 2 et x 3 racines de l'équation 2x² + 5x + 2 = 0,

Trouvons-les grâce au discriminant :

x 1,2 =

x2 = -, x3 = -2

2) Exemple :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

Il est clair que x 1 = -1, et

x 2 et x 3 racines de l'équation 5x² + 26x + 5 = 0,

Trouvons-les grâce au discriminant :

x 1,2 =

x2 = -5, x3 = -0,2.

2.10 Équations réciproques

Équation réciproque – équation algébrique

une 0 x n + une 1 x n – 1 + … + une n – 1 x + une n =0,

dans laquelle a k = a n – k, où k = 0, 1, 2…n, et a ≠ 0.

Le problème de trouver les racines d'une équation réciproque se réduit au problème de trouver des solutions à une équation algébrique d'un degré inférieur. Le terme équations réciproques a été introduit par L. Euler.

Équation du quatrième degré de la forme :

hache 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

Réduire cette équation à la forme

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, et y = x + m/x et y² - 2m = x² + m²/x²,

d'où l'équation se réduit à quadratique

ay² + par + (c-2h) = 0.

3x 4 + 5x 3 – 14x 2 – 10x + 12 = 0

Le diviser par x 2 donne l'équation équivalente

3x 2 + 5x – 14 – 5 ×, ou

Où et

3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, d'où

y 1 = y 2 = -2, donc

Et d'où

Réponse : x 1,2 = x 3,4 = .

Un cas particulier d'équations réciproques sont les équations symétriques. Nous avons parlé plus tôt des équations symétriques du troisième degré, mais il existe des équations symétriques du quatrième degré.

Équations symétriques du quatrième degré.

1) Si m = 1, alors il s'agit d'une équation symétrique de première espèce, de la forme

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 et résolu par une nouvelle substitution

2) Si m = -1, alors il s'agit d'une équation symétrique du deuxième type, ayant la forme

ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 et résolu par nouvelle substitution

2.11 Schéma Horner

Pour diviser des polynômes, la règle de « division par angle », ou schéma de Horner, est utilisée . A cet effet, les polynômes sont classés par degrés décroissants X et trouvez le terme principal du quotient Q(x) à partir de la condition selon laquelle lorsqu'il est multiplié par le terme principal du diviseur D(x), le terme principal du dividende P(x) est obtenu. Le terme trouvé du quotient est multiplié, puis par le diviseur et soustrait du dividende. Le terme principal du quotient est déterminé à partir de la condition selon laquelle, multiplié par le terme principal du diviseur, il donne le terme principal du polynôme différence, etc. Le processus se poursuit jusqu'à ce que le degré de la différence soit inférieur au degré du diviseur (voir annexe n°2).

Dans le cas des équations R = 0, cet algorithme est remplacé par le schéma de Horner.

Exemple :

x3 + 4x2 + x – 6 = 0

Trouver les diviseurs du terme libre ±1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 6.

Notons le côté gauche de l'équation par f(x). Évidemment, f(1) = 0, x1 = 1. Divisez f(x) par x – 1. (voir annexe n° 3)

x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)

On note le dernier facteur Q(x). Nous résolvons l’équation Q(x) = 0.

x 2,3 =

Répondre : 1; -2; -3.

Dans ce chapitre, nous avons donné quelques formules pour résoudre diverses équations. La plupart de ces formules permettent de résoudre des équations partielles. Ces propriétés sont très pratiques car il est beaucoup plus facile de résoudre des équations en utilisant une formule distincte pour cette équation plutôt qu'en utilisant le principe général. Nous avons fourni une preuve et plusieurs exemples pour chaque méthode.

Conclusion

Le premier chapitre a examiné l'histoire de l'émergence des équations quadratiques et des équations d'ordres supérieurs. Diverses équations ont été résolues il y a plus de 25 siècles. De nombreuses méthodes permettant de résoudre de telles équations ont été créées à Babylone, en Inde. Il y a eu et il y aura toujours un besoin d’équations.

Le deuxième chapitre présente différentes manières de résoudre (trouver les racines) des équations quadratiques et des équations d'ordre supérieur. Fondamentalement, ce sont des méthodes permettant de résoudre des équations d'une nature particulière, c'est-à-dire que pour chaque groupe d'équations unies par des propriétés ou un type communs, une règle spéciale est donnée qui s'applique uniquement à ce groupe d'équations. Cette méthode (sélectionner votre propre formule pour chaque équation) est beaucoup plus simple que de trouver des racines via un discriminant.

Dans ce résumé, tous les objectifs ont été atteints et les tâches principales ont été accomplies, de nouvelles formules jusqu'alors inconnues ont été éprouvées et apprises. Nous avons travaillé sur de nombreuses variantes d'exemples avant de les inclure dans le résumé, nous avons donc déjà une idée de la façon de résoudre certaines équations. Chaque solution nous sera utile dans des études ultérieures. Cet essai a aidé à classer les anciennes connaissances et à en apprendre de nouvelles.

Références

1. Vilenkin N.Ya. "Algèbre pour la 8e année", M., 1995.

2. Galitski M.L. « Recueil de problèmes d'algèbre », M. 2002.

3. Daan-Dalmedico D. « Chemins et labyrinthes », M., 1986.

4. Zvavich L.I. « Algèbre 8e année », M., 2002.

5. Kushnir I.A. «Équations», Kyiv 1996.

6. Savin Yu.P. « Dictionnaire encyclopédique d'un jeune mathématicien », M., 1985.

7. Mordkovitch A.G. « Algèbre 8e année », M., 2003.

8. Khudobin A.I. « Recueil de problèmes d'algèbre », M., 1973.

9. Sharygin I.F. « Cours optionnel d'algèbre », M., 1989.

Annexe 1

Etude des équations biquadratiques

Annexe 2

Diviser un polynôme en un polynôme à l'aide d'un coin

Annexe 3

Schéma Horner